Ekonomické modelování pro podnikatelskou praxi Ing. Jan Vlachý, Ph.D.
[email protected] Dlouhý, M. a kol. Simulace podnikových procesů Vlachý, J. Řízení finančních rizik Scholleová, H. Hodnota flexibility: Reálné opce
Sylabus 1. Východiska ekonomického modelování – – – –
Typologie a rizika používání ekonomických modelů Definice, popis a kvantifikace rizika Simulace stochastických jevů Jednoduché aplikace
2. Aplikace modelů při řízení tržních rizik – – –
Citlivostní analýza Dynamické zajišťování Value at Risk
3. Aplikace modelů při posuzování investičních projektů – –
Od analýz citlivosti ke statistickým simulacím Reálné opce Ekonomické modelování
Význam ekonomického modelování • Ekonomické modelování se využívá pro analýzu ekonomických jevů v podmínkách rizika. – Modely v ekonomii nahrazují experiment v exaktních vědeckých disciplínách. – Modely umožňují pochopit chování ekonomických systémů a jejich složek.
• Ekonomické modelování řeší především tyto úlohy: – Citlivostní analýzu (význam při kvalitativní analýze rizik a při jejich zajišťování) – Hodnotovou analýzu • Tržní oceňování (rovnovážné tržní modely) • Komparaci; optimalizaci (dynamická analýza systémů)
Ekonomické modelování
Charakteristika ekonomických modelů • Typologie ekonomických modelů – Strukturální (statické) modely – vycházejí z předpokladu tržní rovnováhy (úroková parita, CAPM, Blackův-Scholesův model, Gordonův oceňovací model atd.) – Statistické (dynamické) modely – popisují chování systémů v závislosti na charakteristice rizikových faktorů.
• Riziko modelu – Chybné vstupy; nesprávné odhady předpokladů; chybná implementace; nesprávné použití (nesprávný model).
• Řízení rizika modelu – Nezávislá kontrola; úplná dokumentace; kvalitní správa dat; zpětné testování; validace. – Vždy je třeba používat modely, kterým uživatel dobře rozumí a kontrolovat je zdravým úsudkem. Ekonomické modelování
Co je riziko Riziko je míra odchylky možného budoucího stavu světa od stavu očekávaného. • Ke kvantifikaci rizika se používají statistické míry odchylky (variability) náhodného jevu: – Oboustranné (variační rozpětí, rozptyl, směrodatná odchylka) – Jednostrané (semivariance, kvantilové rozpětí)
• Míra polohy (medián) a variability (sm. odchylka) úplně popisují normální (Gaussovo) rozdělení; jiná rozdělení mohou mít méně nebo více parametrů. • Obecně nelze říci, jestli je riziko „dobré“ nebo „špatné“ (záleží na sklonu jednotlivce k riziku); na efektivním trhu (tzn. v chování firem) se však předpokládá riziková averze (vyšší riziko musí být odměněno vyšším očekávaným výnosem). Ekonomické modelování
Princip diverzifikace • Riziko lze za určitých předpokladů snížit bez snížení očekávaného výnosu pomocí diverzifikace. – U nezávislých rizik (pojišťovnictví, spotřebitelské úvěry) se vychází ze Zákona velkých čísel (Bernoulli 1713, Poisson 1835) – Chování závislých rizik (např. tržní rizika) popisuje Moderní portfoliová teorie (Markowitz 1952)
Ekonomické modelování
Příklad 1 (diverzifikace- ZVČ) • Jak nejlépe investovat, existují-li možnosti – bezrizikový vklad u spořitelny s úrokem 1%; – směnečný úvěr s úrokem 12% a pravděpodobností nesplacení 5%? (srov. Vlachý s. 40-41)
• Spočítat očekávaný výnos a směrodatnou odchylku výnosů pro varianty: – – – –
Vklad u spořitelny Jeden úvěr Dva úvěry Mnoho úvěrů Ekonomické modelování
Vklad vs 1 úvěr Posuzujeme očekávaný výnos/vážený průměr scénářů E(r) a riziko/směrodatnou odchylku s(r). Spořitelna => Jeden scénář (splatí) • BE(r) = 1%; Bs(r) = 0% Směnka => Dva scénáře (splatí×nesplatí) • UE(r) = 95%×12%+5%×(-100%) = 6,4%; Us(r) =95%×(12%-4,5%)2+5%×(-100%4,5%)2 = 24,48% Ekonomické modelování
Dva úvěry Dvě směnky => Tři scénáře • Oba dlužníci splatí: r++ = 12%, P++= 95%×95% = 90,25% • Oba nesplatí: r-- = 100%, P--= 5%×5% = 0,25% • Jeden splatí, druhý ne: r+- = 0,5×12% + 0,5×( 100%) = 44%, P+-= 2×5%×95% = 9,5% • 2UE(r) = 90,25%×12%+0,25%×(100%)+ 9,5%×(44%) = 6,4%; 2Us(r) =90,25%×(12%4,5%)2+0,25%×( 2 = 17,26% 100% 4,5%)2+9,5%×(–44% 4,5%) Ekonomické modelování
Zobecnění • Specifické riziko způsobují (statisticky) nezávislé náhodné jevy. Specifickou složku rizika lze (teoreticky donekonečna) snižovat diverzifikací (zákon velkých čísel).
N E(r) σ 1 6,4%24,41% 2 6,4%17,26% 4 6,4%12,20% 10 6,4% 7,72% 100 6,4% 2,45% 10000 6,4% 0,25%
σ Specifické riziko
Systematické riziko
N
• Systematické riziko je dáno rizikovostí ekonomiky (trhu, pojistné třídy apod.) Není (v rámci investic na daném trhu) diverzifikovatelné. Ekonomické modelování
Analytická vs numerická řešení modelů • V řadě případů je analytické řešení určitého problému složité, případně vůbec neexistuje. • Numerické metody nabývají na významu především s ohledem na dramatické zvyšování výkonu výpočetní techniky. • Příklady: – Bootstrap (interpolace výnosové křivky) (srov. Vlachý s. 135-137)
– Rekurze (Cox-Ross-Rubinsteinova metoda oceňování opcí) – Iterace (výpočet výnosu do splatnosti nebo IRR) – Simulace (analýza scénářů, Monte Carlo) Ekonomické modelování
Příklad 2 (výnos do splatnosti, citlivost) • Spočítejte výnos do splatnosti SD 3,8%/2015 při nákupní ceně 99,6. • Odhadněte změnu jeho tržní hodnoty při růstu tržních úrokových sazeb o 1 procentní bod.
Ekonomické modelování
Příklad 3 (hazardní hra) • Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami padne číslo menší než 8? • Z tabulky kombinací P(<8) = n(<8)/n = 21/36 = 58,3%. x\y
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
Ekonomické modelování
Experimentální řešení • Je ale také možné skutečně mnohokrát hodit dvěma kostkami a spočítat relativní četnosti – Statistická simulace = Metoda Monte Carlo (parametrický model)
• Bylo by rovněž možné vzít záznamy ze skutečných her v kostky a spočítat četnosti zkoumaného jevu – Historická simulace (neparametrický model)
Ekonomické modelování
Realizace statistických simulací • Mechanické metody (hody mincí, vrhy kostkou, speciální zařízení) • Využití výpočetní techniky – Speciální matematický či statistický software (např. MatLab) – Simulační software (např. Crystal Ball, @Risk) – Běžný tabulkový procesor (např. Excel)
• Generátory náhodných čísel – Tabulky náhodných čísel – Mechanické, fyzikální, chemické generátory – Aritmetické generátory (pseudonáhodná čísla splňující testy náhodnosti) Ekonomické modelování
Statistické simulace v Excelu • Funkce =rand() nebo v české verzi =náhčíslo() generuje rovnoměrné rozdělení v intervalu <0; 1> • Transformace na diskrétní rovnoměrná rozdělení =round(rand(); 0) ... nabývá hodnot {0; 1} =int(rand()×6)+1 ... nabývá hodnot {1; 2; 3; 4; 5; 6}
• Transformace na běžná spojitá rozdělení (pomocí inverzní kumulativní distribuční funkce) =norminv(rand(); m; s) ... normální (Gaussovo) rozdělení dále např. =betainv(), =chiinv(), =gammainv(), =loginv(), případně analytická řešení Pozn.: do verze Excel 2002 se nedoporučuje použití vestavěného generátoru pro velké modely (lze pořídit generátory třetích stran nebo přímo simulační nástavby); Excel 2003 má chybu (použít opravný balíček). Ekonomické modelování
Příklad 4 (Ludolfovo číslo) • Jak zjistit hodnotu Ludolfova čísla (p)? – Analyticky (geometricky)... Archimédes (200BC) => Ludolf van Ceulen (1600AD) (pomocí mnohoúhelníků opisujících obvod kružnice) – Numericky (Monte Carlo)... de Buffon (1777- Buffonova jehla)
• Pro obsah kruhu platí S= p r2 • Obsah čtvrtkruhu o jednotkovém poloměru r= 1 je tedy SQ= p/4. Čtvrtkruh se vejde do čtverce o obsahu Sƀ= 1. • Platí tedy, že poměr Sƀ / SQ= 4/p => p = 4 SQ. • Poměr obsahů lze odhadnout náhodným generováním souřadnic {x; y} a zjištěním četností pokusů, při nichž x2 + y2 ≤ 1. Ekonomické modelování
Příklad 5 (investiční strategie) • Podnik je portfoliem tří projektů, jejichž očekávanou hodnotu za rok lze vyjádřit diskrétními rovnoměrnými rozděleními {1; 2; 3; 4; 5; 6} (A a B), resp. {1; 6} (C). • Provozní náklady na každý projekt činí 1; počáteční hodnota (velikost investice) každého projektu činí 2. • Posuďte výnosnost kapitálu a rizikovost za předpokladu investice z vlastních zdrojů, resp. 50% (75%, 90%) financováním úvěrem. • Porovnejte s analogickým investičním rozhodováním, není-li zohledněno riziko. • Lišily by se nějak výsledky, pokud by podnik přijal pouze jeden z uvedených projektů? Ekonomické modelování
