EINDRAPPORTAGE VAN LION ONDERZOEK: Applet als instrument voor een veelzijdig functiebegrip ONDERZOEKER: INLEIDING WERKZAAMHEDEN

EINDRAPPORTAGE VAN LION ONDERZOEK: Applet als instrument voor een veelzijdig functiebegrip ONDERZOEKER: Ir. J.C.M. van Gisbergen Staalstraat 8 3572RJ Utrecht Tel: 030 2731358 E-mail: [email protected]

INLEIDING Van 1 augustus 2006 tot 1 augustus 2008 werkte ik aan mijn Lion onderzoek ‘Applet als instrument voor een veelzijdig functiebegrip’. Doel van het onderzoek is inzicht te krijgen in de manier waarop het gebruik van applets in de onderbouw een geschikte start kan vormen van een lange leerlijn naar een veelzijdig functiebegrip. In deze eindrapportage bespreek ik achtereenvolgens de verrichte werkzaamheden en de opbrengst en besluit ik met een reflectie op het onderzoek. Voor een samenvatting van de beschrijving van het onderzoek verwijs ik naar bijlage 1.

WERKZAAMHEDEN • Literatuurstudie Allereerst deed ik een literatuurstudie die met name gericht was op de volgende drie aspecten van het onderzoek. - Het functiebegrip Het functiebegrip omvat drie aspecten die in het leerproces in het algemeen in dezelfde volgorde worden doorlopen. Van de functie als lokale rekenprocedure naar een dynamisch proces dat het verband aangeeft tussen twee variabelen naar de functie als wiskundig object. - Instrumentele benadering van ICT gebruik In deze benadering wordt onderscheid gemaakt tussen het ICT-gereedschap, in dit geval het applet, en het instrument. Het instrument bevat behalve het gereedschap ook de wiskundige denkschema’s die de leerling ontwikkelt om het gereedschap efficiënt te kunnen gebruiken. Er is een duidelijke samenhang en wisselwerking tussen de door de leerling gebruikte zich steeds verder ontwikkelende technieken en de bij die leerling gevormde wiskundige concepten. - Docent-leerling interacties in een IC-rijke omgeving Voor de ontwikkeling en verdieping van wiskundige concepten is interactie tussen leerlingen onderling en tussen leerling(en) en docent van groot belang. De integratie van ICT in de wiskundelessen is complex en vereist een uitbreiding van de visie en de vaardigheden van een docent. Voor de geraadpleegde literatuur verwijs ik naar het endnote bestand op de site www.fi.uu.nl/tooluse .

1

• Ontwikkelen van lesmateriaal Voor de pilot in november 2006 is lesmateriaal ontwikkeld voor een serie van zeven lessen. Daarin wordt het functiebegrip opgebouwd van een rekenprocedure voor het bepalen van de uitvoer naar een functie als dynamisch proces en een functie als object. Er is een hypothetisch leertraject ontworpen waarin staat aangegeven welk effect de verschillende onderdelen van het lesmateriaal beogen en welk wiskundig concept zij dienen. Er is een eindtoets gemaakt zowel in digitale vorm als op papier en er is een docentenhandleiding samengesteld. Naar aanleiding van de resultaten van de pilot is het lesmateriaal op verschillende plaatsen aangepast voor het eerste experiment. Analyse van dit experiment leidde tot de uiteindelijke versie van acht lessen voor het laatste experiment. Uitgangspunten bij het ontwikkelen van het lesmateriaal zijn: - Constructieruimte - Realistisch wiskundeonderwijs - Instrumentele genese - Afwisseling tussen media zoals ICT en pen en papier - Interactieve werkvormen (leerlingen in groepjes van vier en in tweetallen aan de pc) In de eerste les werken de leerlingen in groepjes van vier aan drie open, contextrijke opdrachten met veel constructieruimte. De leerlingen worden uitgenodigd zelf verbanden tussen grootheden te beschrijven en presentaties daarbij te bedenken om die verbanden te illustreren. De contexten van deze opdrachten komen in latere lessen steeds weer terug. De leerlingen werken in de volgende lessen afwisselend met het applet op de computer en met pen en papier. Al werkend maken de leerlingen zich de technieken van het applet eigen en ontwikkelen zij de bijbehorende wiskundige concepten. Voor het lesmateriaal en het digitale lesmateriaal zie bijlage 2 en 3 en de site www.fi.uu.nl/tooluse . • Experimenten op school De pilot van november 2006 is uitgevoerd in een tweede klas havo/vwo op het Gregorius College, de school waar ik werkzaam ben. De leerlingen en leerkracht zijn intensief gevolgd. Elke les waren minstens drie extra mensen aanwezig die assisteerden en observeerden. Van elke les is een verslag gemaakt. De data van dit experiment bestaan uit deze lesverslagen, interviews vooraf en achteraf, videofilms van elke les en screen video’s van alle computerlessen van twee tweetallen leerlingen. Het werk van alle leerlingen is opgeslagen in de dwo, de digitale wiskunde omgeving. Het eerste experiment is in mei 2007 uitgevoerd op drie verschillende scholen, waaronder het Gregorius College. Bij dit experiment werden twee klassen op verschillende scholen intensief gevolgd. Het tweede experiment is in april/mei 2008 gedaan op negen scholen in drieëntwintig verschillende klassen, waaronder ook 2hm klassen en een brugklas. Bij dit experiment werden twee klassen intensief gevolgd. Beide experimenten leverden data zoals hierboven beschreven. Bij het laatste experiment is extra informatie vergaard zoals enquêteformulieren en logboeken van de deelnemende docenten en beschrijvingen van de klassen. • Data-analyse Voor het analyseren van de data is gebruik gemaakt van het software programma Atlas.ti. Dit programma maakt het mogelijk de data in fragmenten op te delen, deze fragmenten te voorzien van commentaar, deze te coderen en eenvoudig te archiveren. Verschillende

2

fragmenten kunnen ook aan elkaar worden gekoppeld zodat een soort netwerk van informatie en verbanden ontstaat. Dit maakt het bijvoorbeeld mogelijk om met enkele stappen alle informatie van een bepaalde opdracht die door tientallen leerlingen is gemaakt, op te vragen, evenals eventuele interventies van docenten bij het maken van deze opdrachten. De deelname aan een cursus in het gebruik van Atlas voor kwalitatieve data-analyse maakt deel uit van het onderzoek. Alle digitale data zijn in dit programma ingevoerd. Eindconclusies en publicaties volgen eind 2008. • Overleg Er is veel samengewerkt en overlegd met de onderzoekers van het door NWO-PROO gehonoreerde onderzoek ‘Tool use in innovative learning arrangements for mathematics’. Naast het tussentijdse overleg was er elke twee à drie weken een vergadering. In mei 2007 stuurde ik informatie over de stand van zaken aan mijn begeleidingsgroep. In juli 2007 is er een expert meeting gehouden om te reflecteren op het onderzoek en de gekozen aanpak.

OPBRENGST • Lesmateriaal ‘Pijlenketting en functie’, een experimentele lessenserie over functies met het applet Algebrapijlen voor havo-vwo klas 2. Het lesmateriaal bestaat uit gedeelten op papieren en digitaal. Ook is er een bijbehorende docentenhandleiding. Zie bijlage 2, 3 en 4 en zie www.fi.uu.nl/tooluse . • Publicaties en voordrachten ‘Applet en context als krachtige combinatie’ Nieuwe Wiskrant, tijdschrift voor Nederlands wiskundeonderwijs, 27-2/december 2007, 2126. Zie bijlage 5 ‘An applet a day ………’. Workshop op de Dag van de Wiskunde. Kortrijk, november 2007. Zie bijlage 6 en zie www.fi.uu.nl/tooluse . ‘Op zoek naar een beter functiebegrip’. Workshop op de studiedag van de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren, november 2008. Zie aankondiging in Euclides, september 2008 Co-auteur van de volgende publicaties: ‘Het ligt aan de belminuten hoeveel eruit komt’. Nieuwe Wiskrant, tijdschrift voor Nederlands wiskundeonderwijs, 26-3, maart 2007 ‘Tool use in a technology-rich learning arrangement for the concept of functions’. Proceedings of the V Congress of the European Society for Research in Mathematics Education CERME5, 1389 - 1398.

3

• Website project Zie www.fi.uu.nl/tooluse

CONCLUSIE EN REFLECTIE Leerlingen en docenten reageren in het algemeen positief op het werken met dit lesmateriaal en dit applet. Het applet biedt interessante mogelijkheden voor activiteiten die de begripsontwikkeling bevorderen. De mogelijkheid om snel verschillende representaties van een functie op te kunnen roepen bevordert het inzicht in het verband tussen die representaties en verlaagt de drempel om vermoedens te testen met behulp van het applet. Omdat alle representaties tegelijkertijd voorhanden zijn is het eenvoudig mogelijk voor een leerling een niveau terug te schakelen indien nodig. Dit bied ook mogelijkheden voor een docent die intervenieert. De nauwe relatie tussen applet techniek en het werken met pen en papier zorgt voor een geïntegreerde ontwikkeling van het denken en voor transfer tussen notaties in het applet en op papier. Het onderwijsarrangement vraagt veel van de leerkracht. Vooral in het begin gaat er veel tijd zitten in organisatorische zaken. De mogelijkheid voor de docent om het leerlingenwerk in de DWO in te zien komt van pas bij het peilen van de voortgang en bij het aanpassen van de lesvoorbereidingen daaraan. De interacties tussen docent en leerling tijdens het werken in tweetallen met het applet lijken vooral vruchtbaar te zijn als de docent in de uitleg zowel technische als conceptuele elementen betrekt. Het werk in tweetallen met het applet is niet voldoende; klassikale demonstraties en klassengesprekken spelen een wezenlijke rol in het expliciteren van de resultaten van de leerlingen en het bewerkstelligen van een convergentie in het wiskundige denken. Het uitvoeren van dit Lion onderzoek zie ik als een positieve ervaring. Het werk als onderzoeker verschilt veel met een lesgevende taak en heeft daarmee een verfrissend effect. Enerzijds gaf het overleg met de andere onderzoekers mij ondersteuning en richting. Anderzijds heeft mijn praktische ervaring in het werkveld er onder andere toe bijgedragen om in de experimenten realistische doelen te stellen wat betreft beginniveau en moeilijkheidsgraad van de leerstof.

4

BIJLAGEN

BIJLAGE 1 SAMENVATTING BIJLAGE 2 PAPIEREN LESMATERIAAL BIJLAGE 3 DIGITAAL LESMATERIAAL BIJLAGE 4 DOCENTENHANDLEIDING BIJLAGE 5 ARTIKEL WISKRANT BIJLAGE 6 VOORDRACHT KORTRIJK

BIJLAGE 1 SAMENVATTING

ONDERZOEK

SAMENVATTING Het gebruik van ICT in de wiskundeles is al enige tijd veelbelovend; tot op heden zijn de hooggespannen verwachtingen echter nog niet waargemaakt. Zinvolle integratie van ICT in de les blijkt minder eenvoudig dan eerder werd gedacht (Artigue, 2002; Doorman, 2005; Drijvers, 2003). In de projecten Wisweb en Welp ontwikkelde het Freudenthal Instituut een groot aantal applets die worden gebruikt in de wiskundeles. Leerlingen zijn enthousiast over en gemotiveerd door het leren van wiskunde met behulp van applets. Docenten wijzen op de krachtige mogelijkheden van de applets voor het ontwikkelen van denkmodellen en het oefenen van vaardigheden. Een genuanceerd beeld van de potentie en de beperkingen van het gebruik van deze applets is er echter nog niet. In dit onderzoek ligt het accent op het leren van het functiebegrip. De functie is een centraal concept in het wiskundecurriculum van zowel onderbouw als bovenbouw van havo en vwo. Bij het aanvankelijk functiebegrip gaat het met name om het formuleren van een ‘stappenplan’ om een bepaalde serie van operaties te beschrijven. De functie heeft dan het karakter van een proces. Onder invloed van representaties zoals tabellen, grafieken en formules krijgt de functie geleidelijk aan het karakter van een rechtseenduidige afhankelijkheidsrelatie en wordt de functie een object dat onderworpen wordt aan operaties van hogere orde zoals bijvoorbeeld differentiëren. Deze conceptuele ontwikkeling, die fundamenteel is voor verdere studie in de bètawetenschappen, blijkt voor veel leerlingen complex te zijn. Doel van het onderzoek is inzicht te krijgen in de manier waarop het gebruik van applets in de onderbouw een geschikte start kan vormen van een lange leerlijn naar dit veelzijdige functiebegrip. Met name applets als Algebrapijlen en Algebraexpressies richten zich op het ontwikkelen van een dergelijk functiebegrip. Het vermoeden is, dat het gebruik van deze applets bijdraagt aan een flexibel functiebegrip, waarin een functie als rekenproces én als wiskundig object wordt beschouwd en zowel operationele als structurele aspecten heeft. Deze aanpak sluit aan bij vakdidactische literatuur. Arcavi (1994, 2005) pleit bijvoorbeeld voor het opbouwen van ‘symbol sense’, wat onder meer flexibele concepties van wiskundige begrippen behelst. Deze beoogde ‘wiskundige wendbaarheid’ omvat ook het vermogen om te schakelen tussen de operationele, procesmatige kijk op een wiskundig begrip en de structurele, objectmatige kijk (Sfard, 1991; Tall & Thomas, 1991). Naast theorieën over de veelzijdigheid van wiskundige concepten zoals het functiebegrip, speelt ook de instrumentele benadering van ICT-gebruik een rol in het theoretisch kader van dit onderzoek (Artigue, 2002; Drijvers, 2003; Drijvers&Gravemeijer, 2004). Het ‘concept image’ van de leerling bepaalt de wijze waarop ICT-gereedschap, in dit geval het applet, wordt aangewend (Vinner, 1983). Andersom beïnvloedt het ‘artefact’ de wiskundige denkprocessen van de gebruiker. Het onderzoek beoogt inzicht te verwerven in de manier waarop het gebruik van applets de begripsontwikkeling van het functieconcept bevordert. Daarmee draagt het bij aan een ondersteunende didactiek om de mogelijkheden van ICT in het leerproces optimaal te benutten. In het bijzonder bestaat de opbrengst van het onderzoek ten eerste uit een ICT-rijke leerlijn voor de ontwikkeling van een veelzijdig functiebegrip, ten tweede uit inzichten over het leren en onderwijzen van het onderwerp ‘functie’ en ten derde uit conclusies over de manier waarop ICTgebruik het wiskundig denken kan bevorderen.

BIJLAGE 2 PAPIEREN LESMATERIAAL

Pijlenketting en functie Een experimentele lessenserie over functies met het applet AlgebraPijlen voor klas 2 h/v

NAAM:

___________________________

KLAS:

___________________________

SCHOOL: ___________________________

Freudenthal Instituut voor Didactiek van Wiskunde en Natuurwetenschappen Universiteit Utrecht maart 2008

-1

Pijlenketting en functie

Inhoudsopgave 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Beschrijven en voorspellen Van berekening naar pijlenketting AlgebraPijlen verkennen Omslagpunten Omkeerkettingen Verschillende manieren van kijken Functies en families Functies voorstellen

Pijlenketting en functie Project:

Het gebruik van tools in een innovatief leerarrangement voor wiskunde Projectnummer: NWO PROO 411-04-123 Ontwerp: Peter Boon, Michiel Doorman, Paul Drijvers, Sjef van Gisbergen © Freudenthal instituut, maart 2008

0

1 Beschrijven en voorspellen Draaiende stangen

Vier stangen vormen een vierhoek. De verbindingen in de hoekpunten zijn flexibel. Daardoor kun je de vierhoek bewegen. Wat gebeurt er dan met de omtrek en de oppervlakte? Dat ga je onderzoeken door zelf een vierhoek te maken van stroken karton. Knip vier stroken uit van 10 cm lang. Perforeer de uiteinden en maak ze met split-pennen aan elkaar vast. Als je de vierhoek op ruitjespapier legt, kun je bepalen welke oppervlakte door de vierhoek wordt ingesloten (zie foto).

Opgave 1.1 a. Bij welke standen is de oppervlakte 50 cm2? Tip: leg de onderste zijde netjes op het ruitjespapier en houd die vast als je de rest beweegt.

b. De oppervlakte van de vierhoek hangt af van de vorm. Leg op een duidelijke manier uit hoe de oppervlakte van de vierhoek varieert als je de vorm verandert. Gebruik als je wilt een schema of een tekening.

1


c. En wat gebeurt er eigenlijk met de omtrek als de vorm verandert?

Goedkoop bellen

Vergelijk de volgende mobiele abonnementen: • Tom Soms: abonnementskosten per maand € 7,50 en kosten per belminuut 25 cent. De eerste 30 belminuten zijn gratis. • Tom Vaak: abonnementskosten per maand € 22,50 en kosten per belminuut 15 cent. De eerste 80 belminuten zijn gratis.

Opgave 1.2 a. Nadia belt ongeveer 100 minuten per maand. Welk abonnement is voor haar aantrekkelijker, Tom Soms of Tom Vaak ?

b. Zoek een manier om in beeld te brengen hoe de telefoonkosten bij Tom Vaak variëren als je meer of minder belt.

2

Rem op tijd!

15

De remweg van een scooter hangt af van de snelheid. Bij verschillende snelheden is de remweg gemeten. De resultaten staan in de tabel en de grafiek. snelheid (km/u)

remweg (m)

15

1,9

20

3,4

25

5,4

30

7,7

35

10,5

40

13,7

remweg (in meters)

10

5

15

20

25

30

35

40

snelheid (km/u)

Opgave 1.3 a. Voorspel de remweg van een scooter die 60 km/u rijdt. Leg uit hoe je dit hebt aangepakt en geef argumenten daarvoor.

b. Beschrijf nauwkeurig hoe de remweg verandert als de snelheid toeneemt.

3


2 Van berekening naar pijlenketting Berekeningen

Opgave 2.1 Kijk nog eens terug naar de situatie van de belabonnementen. Beschrijf in woorden hoe je uit het aantal belminuten de kosten bij beide abonnementen berekent.

Opgave 2.2 Kijk nog eens terug naar de situatie van de vierhoek. Iemand zegt: ‘hoogte-van-de-vierhoek x 10 = oppervlakte’. Klopt dat? Leg uit waarom.

Pijlenketting

Berekeningen zoals in de vorige opgaven kun je je voorstellen als pijlenkettingen. In een pijlenketting ‘rijg’ je de rekenstappen aan elkaar met pijlen. Met de onderstaande bordjes kun je pijlenkettingen maken: ...

... ...

...

Bijvoorbeeld: doe keer 3 en trek er daarna 2 vanaf

4

Opgave 2.3 a. Teken pijlenkettingen bij de situatie van de twee belabonnementen.

b. Hoe bereken je de kosten bij 100 belminuten?

Opgave 2.4 Teken een pijlenketting bij de situatie van de oppervlakte van de vierhoek.

In de volgende les ga je werken met een computerprogramma. Daarin kun je een pijlenketting maken met de volgende symbolen: Dit is een vakje waarin je een invoergetal kunt zetten. Je kunt er een ‘etiketje’ boven zetten, een label, waarin je de naam zet. Je gebruikt het vakje ook voor uitvoer van je berekening. Dit is een vakje waarin je een bewerking schrijft. In het voorbeeld is dat +3, dus 3 bij het invoergetal optellen. Zo maak je dan bijvoorbeeld een pijlenketting bij de optelling 4+3:

5


3 AlgebraPijlen verkennen In de vorige paragraaf heb je pijlenkettingen getekend om rekenprocessen in kaart te brengen. Met het applet AlgebraPijlen kun je op de computer handig pijlenkettingen tekenen en er berekeningen mee maken. Dat ga je nu eerst doen. Daarna, of later thuis, kun je opgave 3.1 op papier maken. Je gaat als volgt te werk: • Ga naar www.fi.uu.nl/dwo/prootool en log in. ‘dwo’ betekent Digitale Wiskunde Oefenomgeving; prootool is de naam van het experiment. • Kies de module Pijlenketting en functie en dan de eerste activiteit Verkenning. • Maak de 11 opdrachten van deze activiteit. • Je kunt met de rode bolletjes naar andere opdrachten springen. • Gebruik de activiteit Help in de module als je vragen hebt over de bediening van het applet. Hieronder zie je pijlenketting, tabel en grafiek bij het belabonnement van Tom Vaak.

6

Opgave 3.1 a. Bekijk de grafiek op de vorige pagina. Wat betekent de stip op het punt (120, 28.5)? Leg dit uit in eigen woorden.

b. De stippen in de grafiek zijn eens per 20 minuten getekend. Hoeveel hoger staat elke stip dan de vorige? Hoe heb je dat gevonden?

c. De grafiek op de vorige pagina is niet perfect, want: • Je kunt niet alle punten aflezen. De kosten bij 110 belminuten zie je bijvoorbeeld niet precies. • De kosten kloppen niet altijd, bijvoorbeeld niet voor 20 of 40 belminuten. Schets in het plaatje op de vorige pagina een betere grafiek en leg hieronder uit waarom je dat zo doet.

7


4 Omslagpunten In de vorige paragraaf heb je met het applet AlgebraPijlen leren werken. Nu ga je het applet gebruiken voor het zoeken van omslagpunten. Daarna, of later thuis, kun je de opgaven op hieronder op papier maken. Je gaat als volgt te werk: • Ga naar www.fi.uu.nl/dwo/prootool en log in. • Kies in Pijlenketting en functie voor activiteit 2: Omslagpunten. • Maak de opdrachten van deze activiteit. Je kunt tussendoor terugbladeren of een eerder gegeven antwoord veranderen. • Als je wilt nagaan of je goed kunt werken met het applet, kun je opdrachten 5.1 - 5.2 maken uit activiteit 5: Test jezelf. Opgave 4.1 a. Leg in eigen woorden uit wat een omslagpunt is.

b. Bij twee pijlenkettingen zoek je een omslagpunt. Hoe pak je dat aan?

Opgave 4.2 Hoe zie je in de grafieken van TomSoms en TomVaak dat TomSoms per belminuut duurder is dan TomVaak?

Samenvatting

8

• Bij een serie rekenstappen kun je een pijlenketting maken. Aan de ketting zie je hoe de uitkomst afhangt van een beginwaarde. Bijvoorbeeld: De pijlenketting van een belabonnement geeft aan hoe de totale kosten afhangen van het aantal belminuten. • Bij een pijlenketting kun je een tabel en een grafiek maken. Daarmee kun je gebruiken om een situatie te beschrijven of om te voorspellen hoe de uitkomst verandert als de invoer verandert. Bijvoorbeeld: Bij de vierhoek kun je met de tabel en de grafiek beschrijven hoe de oppervlakte verandert als de hoogte verandert. • Een omslagpunt is een invoerwaarde waarvoor twee kettingen dezelfde uitvoer geven. Voor die invoerwaarde snijden de grafieken elkaar.

5 Omkeerkettingen In deze paragraaf maak je met het applet AlgebraPijlen omkeerkettingen, zodat je bij een gegeven uitvoer snel de invoer terug kunt vinden. Daarna, of later thuis, kun je opgave 5.1 hieronder op papier maken. Je gaat als volgt te werk: • Ga naar www.fi.uu.nl/dwo/prootool en log in. • Kies in Pijlenketting en functie voor activiteit 3: Omkeerkettingen. • Maak de opdrachten van deze activiteit. • Als je wilt nagaan of je goed kunt werken met de omkeerkettingen, kun je opdracht 5.3 maken uit activiteit 5: Test jezelf. Opgave 5.1 a. Stel dat je een pijlenketting hebt en je wilt daarbij een omkeerketting maken. Hoe kun je dat aanpakken?

b. Je kunt niet bij elke ketting een omkeerketting maken. Leg uit waarom niet een geef een voorbeeld van zo’n ketting waar het niet bij lukt.

Samenvatting

• In een omkeerketting maak je alle bewerkingen van de ketting in omgekeerde volgorde ongedaan. Bijvoorbeeld: Met een omkeerketting kun je in de situatie van een belabonnement uit de kosten het aantal belminuten terugrekenen. • Niet elke ketting heeft een omkeerketting. Bijvoorbeeld Een ketting waarin invoer x uitvoer x2 geeft, kun je niet omkeren, omdat je niet weet of de invoer van 4 het getal 2 of het getal -2 was.

9


6 Verschillende manieren van kijken In het applet heb je gewerkt met pijlenkettingen, tabellen, grafieken en formules. Dat zijn verschillende manieren om tegen hetzelfde invoer-uitvoer verband aan te kijken. Nu ga je na welke voorstellingen hetzelfde verband weergeven. Als de invoer twee groter wordt, wordt de uitvoer één kleiner. Als de invoer groter wordt, wordt de uitvoer steeds kleiner.

0 1 2 3 4

2 5 8 11 14

0 1 2 3 4

5 4,5 4 3,5 3

Als de invoer groter wordt, wordt de uitvoer steeds langzamer groter.

0 1 2 3 4

? 1 1/2 1/3 1/4

Als de invoer groter wordt, neemt de uitvoer met steeds grotere sprongen toe.

0 1 2 3 4

10

0 1/6 4/6 9/6 16/6

0 1 2 3 4

0 2 2,83 3,46 4

Als de invoer één groter wordt, neemt de uitvoer met 3 toe.

Opgave 6.1 Plaatjes sorteren Op de vorige pagina staat een aantal zinnen, pijlenkettingen, tabellen en grafieken. Je krijgt deze voorstellingen ook in het groot. a. Zoek de plaatjes bij elkaar die hetzelfde invoer-uitvoer verband weergeven. Bespreek met elkaar ook hoe je dat weet. b. Plak ze bij elkaar op de poster en schrijf erbij waarom ze hetzelfde verband voorstellen. c. Als je plaatjes overhoudt, maak daar dan zelf aanvullende voorstellingen bij om het setje compleet te maken.

11


7 Functies en families Functie

In de afgelopen lessen heb je een aantal verbanden gezien tussen invoer en uitvoer: je hebt een invoervariabele, zoals hoogte, aantal belminuten, of snelheid, waarvan een uitvoervariabele (oppervlakte, kosten, remweg) afhangt. Elke waarde voor die invoer geeft volgens een berekening een waarde van de uitvoer. Zo’n invoer-uitvoerverband heet een functie. De invoervariabele heet ook wel de onafhankelijke variabele, en de uitvoer de afhankelijke variabele.

Remweg

De lengte van de remweg van een scooter is een functie van de snelheid. Je kunt de remweg benaderen met een berekening: snelheid x snelheid / 120 geeft de lengte van de remweg Een auto heeft een kortere remweg dan een brommer en een vrachtwagen heeft juist een langere remweg. De remweg is voor de ene gelijk aan snelheid 2 / 200 en voor de andere snelheid2 / 80

15

remweg (in meters)

snelheid (km/u)

remweg (m)

15

1,9

20

3,4

25

5,4

30

7,7

35

10,5

40

13,7

10

5

15

20

25

30

35

40

snelheid (km/u)

Ga als volgt te werk: • Ga naar www.fi.uu.nl/dwo/prootool en log in. • Kies in de module Pijlenketting en functie voor 4: Families. • Maak de opdrachten 4.1 - 4.4.

12

de BMI van

Onlangs is veel te doen geweest over het figuur van mannequins. Elsevier, vrijdag 15 september 2006

Magere mannequins niet welkom in Spanje Hoe slanker, hoe beter, was lange tijd het motto in de modewereld. Maar in Spanje hebben ze genoeg van al die graatmagere modellen, die jonge meisjes anorexia bezorgen. Modellen die geen gezond gewicht hebben, mogen niet meer meedoen aan de Spaanse modeweek. Als criterium voor een gezond gewicht houdt de organisatie van de modeweek de Body Mass Index (BMI) aan. De BMI is een index voor het gewicht in verhouding tot de lichaamslengte en wordt berekend door het lichaamsgewicht in kilo’s te delen door het kwadraat van de lichaamslengte in meters.

Gedwongen Een BMI tussen de 18,5 en 25 wordt over het algemeen als gezond beschouwd. Modellen met een BMI onder de 18 worden dan ook geweerd van de Pasarela Cibeles, zoals de Spaanse modeweek heet. Volgens de Spaanse media is de maatregel afgedwongen door de lokale overheid, die het evenement meefinanciert.

De nieuwe gewichtscriteria hebben tot gevolg dat 30 tot 40 procent van de modellen die de laatste keer wel deelnamen dit jaar niet meer op de catwalk te zien zijn. ‘Mode is een spiegel, veel tienermeisjes imiteren wat ze op de catwalk zien,’ zegt een woordvoerder van de gemeente Madrid.

Ga als volgt te werk: • Lees het bovenstaande artikel. • Ga naar www.fi.uu.nl/dwo/prootool en log in. • Kies in de module Pijlenketting en functie voor 4: Families. • Maak de opdrachten 4.5 - 4.9. • Als je wilt nagaan of je goed kunt werken met de families, kun je opdrachten 5.4 -5.6 maken uit activiteit 5: Test jezelf. Samenvatting

• Een functie is een invoer-uitvoerverband dat beschrijft hoe je voor elke waarde van de invoervariabele de uitvoervariabele kunt berekenen. Bijvoorbeeld: De remweg is een functie van de snelheid. • De verschillende voorstellingen van functies (pijlenkettingen, tabellen, grafieken, formules, omschrijvingen) houden verband met elkaar. Bijvoorbeeld: Als een grafiek steeds steiler loopt, dan worden de sprongen in de tabel steeds groter. • Een familie van functies bestaat uit functies die bepaalde kenmerken gemeenschappelijk hebben, bijvoorbeeld doordat slechts één getal in de pijlenketting voor iedere functie anders is. De grafieken van deze functies zijn allemaal van hetzelfde type. Bijvoorbeeld: De snelheid-remweg functies voor verschillende voertuigen vormen één familie.

13


Opgave 7.1 Voorbeelden van functies Bedenk nog twee voorbeelden van een functie van een onafhankelijke naar een afhankelijke variabele.

In de vorige paragraaf heb je verschillende voorstellingen van functies aan elkaar gekoppeld. Die voorstellingen komen weer van pas in de situatie van de remweg, die in de eerste les aan de orde kwam. Opgave 7.2 Een familie van functies Schets in onderstaand assenstelsel de grafieken van een ‘familie van functies’ en schrijf de formules erbij.

14

8 Functies voorstellen In deze slotparagraaf gaan we na op welke manieren je een functie kunt voorstellen en hoe je dat kort kunt opschrijven. Functie

Een functie is een invoer-uitvoerverband, waarbij de uitvoer van de invoer afhangt. De invoervariabele heet ook wel de onafhankelijke variabele, en de uitvoer de afhankelijke variabele. In de figuur hieronder zie je verschillende manieren om zo’n functie voor te stellen.

Opgave 8.1 In de pijlenketting zie je dat invoer 3 uitvoer 1.5 oplevert. Geef aan hoe je het paar (3, 1.5) in de tabel en in de grafiek kunt aflezen.

Samenvatting

Elke functievoorstelling laat verschillende kanten van de functie zien. • In de pijlenketting zie je goed het stapsgewijze rekenproces. Als de invoer een variabele is, staat in het uitvoervakje ook de formule. Bijvoorbeeld: de ketting hierboven op de pagina, die eerst kwadrateert en dan deelt door 6. • In de tabel zie je goed de getallenparen (invoergetal, uitvoergetal) Bijvoorbeeld: het getallenpaar (3, 1.5) in de tabel van opgave 8.1. • In de grafiek zie je goed de samenhang tussen invoer en uitvoer. De invoer staat op de horizontale en de uitvoer op de verticale as. Bijvoorbeeld: bij 3 op de horizontale as hoort 1.5 op de verticale as. • De ingeklapte pijlenketting is korter dan de uitgeklapte. Je kunt er zowel de formule als2de getallenparen in zien. x Bijvoorbeeld: x → ----- . 6

15


Opgave 8.2 Een functie kun je dus voorstellen met een pijlenketting, een tabel, een grafiek en een formule. a. Welke voorstelling vind jij handig voor welk doel? Waarom?

b. Hoe zou je in eigen woorden een functie omschrijven?

Opgave 8.2 Stel je hebt een of andere functie gegeven. a. Kan het zijn dat in de tabel het volgende voor komt: invoer uitvoer 37 115 ... ... 85 115 Waarom wel of waarom niet?

b. Kan het zijn dat in de tabel het volgende voor komt: invoer uitvoer 37 115 ... ... 37 85 Waarom wel of waarom niet?

16

Opgave 8.3 a. Beschrijf de volgende functie met een formule.

b. Maak een pijlenketting bij de functie x → ( 2x + 3 ) 2 – 1 .

c. Bedenk een verhaal bij de volgende tabel en schets de grafiek.

17


18

19

BIJLAGE 3 DIGITAAL LESMATERIAAL

BIJLAGE 4 DOCENTENHANDLEIDING

Docentenhandleiding Pijlenketting en functie versie maart 2008

Vooraf In deze handleiding wordt beschreven hoe u de lessenserie ‘Pijlenketting en functie’ kunt uitvoeren in uw klassen. Het doel is u te informeren over de opzet zoals wij die voor ogen hebben en waarin de eerdere ervaringen met deze lessenserie zijn verwerkt. We hopen echter dat u een en ander niet als spoorboekje of diktaat opvat, maar zich vrij voelt om van het onderstaande af te wijken als u dat wenselijk vindt. Vanzelfsprekend zijn we wel geïntereseerd in uw redenen om dat te doen! Omvang, planning, materiële en technische zaken • Het lesmateriaal wordt aangeleverd als pdf en door de school gereproduceerd. • De leerlingen krijgen per tweetal een account op de DWO-server van het FI. DWO staat voor Digitale WiskundeOmgeving en is digitale omgeving waarin het applet functioneert. U kunt deze logins van tevoren aanmaken, dan wel door de leerlingen zelf laten aanmaken aan het begin van de derde les. • De lessenserie is gepland voor 8 lesuren van 50 minuten. Het is wellicht verstandig om één les uitloop te reserveren. De eindtoets kan dan plaatsvinden in les 9 of 10. • De lessen 1 en 2 vinden plaats in een gewoon lokaal. In les 1 is een aantal beweegbare parallellogrammen met onderliggens ruitjespapier nodig. Een ‘bouwpakket’ daarvoor wordt aangeleverd, maar dit vraagt nog enig knipwerk. Dat kunt u vooraf zelf doen, of door de leerlingen laten uitvoeren. • Afhankelijk van het alternatief dat u bij les 1 en 2 kiest, zijn daarbij posters en stiften nodig. We gaan ervan uit dat die op school beschikbaar zijn. Als u de ‘levende pijlenketting’ wilt maken, zijn er grote ‘bordjes’ op A4-formaat nodig. • De lessen 3, 4, 5 en 7 vinden plaats in een computerlokaal, dat mogelijk al tijdig gereserveerd dient te worden. De computers dienen voorzietn te zijn van een snelle internetverbinding en van Java (http://www.java.com/nl/download/). Het is voor demonstraties en nabesprekingen zeer wenselijk als het tijdens deze lessen ook mogelijk is om het scherm van een computer (met internettoegang) te projecteren via een beamer. Als dit in het computerlokaal niet mogelijk is, is een optie om deze delen van de lessen in een ander lokaal te laten plaatsvinden. Het nadeel daarvan is dat de klas tijdens de les een keer moet verhuizen.

1

• De lessen 6 en 8 vinden plaats in een gewoon lokaal, waar het echter wel zeer wenselijk is als er een computer met internettoegang en beamer beschikbaar is. Bij les 6 zijn envelopjes met functierepresentaties nodig (worden op A4 aangeleverd, vraagt nog wat snij/knipwerk) en eventueel ook posters en stiften. Afronding en beoordeling Voor de afronding en de beoordeling van de lessenserie stellen we een combinatie voor van • een beoordeling van het digitale werk van de tweetallen leerlingen in de DWO • een beoordeling van het papieren werk van de individuele leerlingen • een eindtoets, die bestaat uit een papieren, individuele toets, een digitale toets (individueel of in tweetallen), of een combinatie van beide. Gelet op de ervaringen lijkt het verstandig om zowel het DWO-werk van de duo’s (het ‘digitale schrift’) als de uitwerkinge in het papieren werkboek te waarderen, bijvoorbeeld elk met 1 punt, en dan de toets met maximaal 8 punten. Een alternatief kan zijn om de toets op 10 punten te normeren en bonuspunten voor het boekje en de DWO te geven. Voor de eindtoets zal een opzet worden aangeleverd, die zowel een individueel papieren toets als een DWO-toets voor tweetallen omvat. Als er slechts tijd is voor één van de twee, dan svp de papieren toets afnemen. Voorstellen voor toetsopgaven zijn bijzonder welkom!

2

Les 1 Beschrijven en voorspellen Benodigdheden

• 1 boekje voor elke leerling (repro op school) • per groepje 1 vierhoek en ruitjesvel (zelf in elkaar zetten, materiaal aangeleverd) • eventueel per groepje 1 poster, stiften, plakband om poster op te hangen

Klassikale inleiding groepswerk

Vooraf zo nodig iets zeggen over het experiment en over de wijze van afronden en beoordelen van de lessenserie, en met name over de waardering van DWO-werk, papierwerk en eindtoets? Inleiding in de geest van: “Je gaat nu in groepjes drie situaties verkennen waarin wiskundige beschrijvingen van afhankelijkheidssituaties een rol spelen, waarin je twee grootheden/variabelen hebt waarbij de ene van de andere afhangt, waarin de andere de waarde van de ene bepaalt.” De nadruk leggen op de gerichte afhankelijkheid, en minder op vagere uitdrukkingen als verband of samenhang. Dan elk van de drie problemen kort inleiden, groepjes indelen (het kan handig zijn dat al de les tevoren te doen of aan te kondigen) en het doel van het groepswerk duidelijk maken: het is de bedoeling dat de opdrachten in het boekje worden beantwoord (en niet te kort: een antwoord als “meer” is onvoldoende), maar ook dat men het daar over eens is in het groepje en dat de antwoorden de volgende les gepresenteerd moeten worden. Omdat deze les nogal vol zit, is het belangrijk dat de inleiding niet te lang duurt en dat de leerlingen snel in groepjes aan de slag zijn.

Groepswerk

Het is de bedoeling dat de leerlingen veel zelf handelen en keuzes maken (zelf bewegen van een figuur, zelf kiezen en benoemen van variabelen, ...) en daardoor het idee van afhankelijkheidsrelaties ervaren, en de vraag hoe die te beschrijven of te representeren. Voor de docent is het zaak te signaleren in hoeverre de ideeën van leerlingen aanknopingspunten bieden in gebruik van voorstellingen voor het vervolg met AlgebraPijlen. Vooral de organisatie van berekeningen onder elkaar of het maken van een tabel helpt bij de vierhoek en bij de telefoontarieven. Praktisch: Groepjes van 3 of 4 leerlingen, heterogeen samenstellen. Elk groepje begint aan een van de opdrachten (dus niet allemaal aan opgave 1!), die ze volgende les moeten presenteren. Voor de opdracht van de vierhoek hebben de leerlingen een ruitjesvel als onderlegger nodig, en de vierhoeken. Voor die presentatie zijn er twee opties. Optie 1 is dat elk groepje tijdens deze les een poster maakt over de eigen opgave. In dat geval 20 minuten voor het einde van de les posters en stiften uitdelen en leerlingen hieraan laten beginnen! Mochten leerlingen hun poster klaar hebben, dan kan die worden opgehangen en kunnen ze even de andere opdrachten lezen. Als leerlingen de poster in de les niet afkrijgen, kunnen ze die als huiswerk (of op school als er tijd is) verder afmaken.

3

Optie 2 is dat de groepjes voor de volgende les een presentatie op het bord voorbereiden. Het voordeel daarvan is dat het minder tijdrovend is dan het maken van een poster, het nadeel is dat de poster ook van tevoren en naderhand nog zichtbaar is, en de docent eraan kan refereren. Begeleiding groepswerk: Rondlopen en vragen stellen, de ideeën van overzichtelijke organisatie van berekeningen, keuze van onafhankelijke/beginvariabele, covariatie en afhankelijkheid oproepen. Verder ook vragen naar manieren om de samenhang op een wiskundige manier in beeld te brengen / voor te stellen / weer te geven / te representeren. • Bij de situatie van de vierhoek bijvoorbeeld vragen wat nu de oppervlakte en de omtrek bepaalt, waar hangen die vanaf? Als leerlingen de hoogte van de ruit als onafhankelijke variabele nemen, dan is de oppervlakte daarmee recht evenredig (opp = hoogte x basis). Als leerlingen de hoek nemen, is het moeilijker, want dan heeft de hoogte met de sinus van de hoek te maken. In beide gevallen wel vragen hoe de oppervlakte van de onafhankelijke variabele afhangt. Wat gebeurt er met de oppervlakte als de hoek toeneemt? Eventueel suggereren (of idee oproepen) om gegevens van specifieke standen in een tabel te zetten. Overigens is vanwege de dikte van de stangen de oppervlakte niet precies gelijk aan 10 keer de hoogte. Leerlingen eventueel erop wijzen dat ze de situatie mogen idealiseren! • Bij de situatie van de mobieltjes kan een vraag zijn hoe de kosten van het aantal belminuten afhangen. Als ze alleen met rekenmachine rekenen, dan vragen om berekeningen op te schrijven. Daarna eens kijken of ze dat bijvoorbeeld onder elkaar doen zodat een recept zichtbaar is. Eventueel vragen naar het recept om bij een gegeven aantal belminuten de kosten te berekenen, en hoe je kunt weten bij welk aantal belminuten welk abonnement het voordeligst is. Wat gebeurt er bij beide abonnementen als je steeds meer gaat bellen? • Bij de situatie van de remweg vragen naar een manier om de remweg uit de snelheid te berekenen, en daarbij erop wijzen dat het kennelijk niet lineair is, dus dat er niet steeds evenveel bijkomt, of dat de punten niet op een rechte lijn liggen. Eventueel leerlingen vragen te onderzoeken hoeveel er elke stap (10 km) bijkomt. Huiswerk opgeven

4

Het huiswerk is: • Poster eventueel afmaken / presentatie voorbereiden. • Van de opgave waar je niet aan hebt gewerkt, onderdeel a maken. Dus als je groepswerk ging over 1.1 (de vierhoek), dan thuis 1.2a en 1.3a op papier maken. Het doel hiervan is dat iedereen in staat is de poster/presentatie van de andere groepjes te volgen.

Les 2 Van berekening naar pijlenketting Benodigdheden

• plakband om posters op te hangen • eventueel ‘bordjes’ van de pijlenketting om levende pijlenketting te maken (aangeleverd, zelf afdrukken) • stiften om de bewerkingen op de ‘bordjes’ in te vullen

Presentaties

In het geval van posters worden deze, probleem bij probleem, naast elkaar in het lokaal opgehangen. Elk probleem wordt door één groepje besproken (ca. 5 minuten). De groepjes die hetzelfde probleem hadden, presenteren dit niet nog een keer in zijn geheel, maar geven aanvullingen en bespreken de verschillen met de voorgaande groepjes. De leerlingen die niet aan dit probleem hebben gewerkt, mogen aangeven of het zo duidelijk is en op welke punten ze meer moeten weten. In het geval van presentaties zonder poster verloopt dit analoog, maar nu worden de leerlingen aangemoedigd tekeningen / berekeningen / tabellen / ... op het bord te zetten en toe te lichten. In beide gevallen let de docent op aanknopingspunten voor (i) organisatie van gegevens en berekeningen, (ii) het identificeren van grootheden en bewerkingen, (iii) het idee van afhankelijkheidsrelaties, en voor (iv) het gebruik en nut van de verschillende voorstellingen zoals tabellen, formules, vuistregels, grafieken bij het beschrijven en voorspellen.

Nabespreken

Na de presentaties in een klassegesprek ingaan op de verschillen tussen en het gemeenschappelijke van de drie situaties. Bij de vierhoek: tabel helpt. Bij de beltarieven: berekeningen onder elkaar helpt bij het herkennen van een recept (eventueel zelfs pijlenketting of formule). Bij remweg: met tabel kun je toenamen onderzoeken en grafiek helpt bij voorspellen (hier (nog) geen rekenrecept, terwijl dit bij de andere 2 problemen wel al mogelijk is). Conclusie: Wiskunde, en de voorstellingen zoals grafieken en tabellen, kunnen helpen om greep te krijgen op die samenhang. Soms kun je zelfs precies weten hoe de variabelen samenhangen. Redeneren over en begrijpen van co-variatie kan met behulp van formule, grafiek of tabel. Eventueel voorstellingen al op het bord zetten in een vorm die lijkt op de voorstellingen in AlgebraPijlen, maar dat kan ook bij het volgende punt.

De levende ketting

Een optie is vervolgens om leerlingen op een informele manier te laten kennismaken met pijlenkettingen, waarin ze zelf een rol spelen. Dit kan aansluiten op de resultaten van de opgave over de beltarieven. Hiervoor is een aantal kaarten nodig (A4-formaat) waarop een bewerking kan worden ingevoerd of die als invoer/uitvoerkaart kunnen dienen. Kleuren overeenkomstig de kleuren in het applet AlgebraPijlen. Leerlingen krijgen rollen, bijvoorbeeld invoergetal, vaste kosten, totale kosten, belminuten, ... en maken samen een stappenplan / ketting voor de situatie van de beltarieven. Wat is het gemak van zo’n ketting? Kan het ook op een andere manier, zijn er ook andere kettingen mogelijk? Misschien ook al terugrekenen vanuit gegeven totale kosten naar aantal belminuten? Een leerling op het bord laten bijhouden wat er gebeurt. Eventueel kan dit alles ook alleen op het bord.

5

6

Uitleiding

“Je hebt nu situaties gezien waarin een ‘ding’ afhangt van iets anders: bijvoorbeeld hangt de drukte in het zwembad af van de buitentemperatuur. Hoe?” Als leerling alleen komen met: “Als het heet is, dan is het leuk om te gaan.” Dan vragen naar zinnen met ‘meer’ of ‘minder’. Vervolgens: “Het gaat in deze lessen om hoe de ene grootheid de andere bepaalt, erop van invloed is. Deze invloed is met wiskundige middelen in kaart te brengen. De pijlenketting is zo’n middel. Wie weet er nog meer voorbeelden? Over welke dingen gaat het en hoe hangen die samen? Welke grootheid is oorzaak en welke gevolg? Met welke (wiskunde-)woorden kun je die samenhang beschrijven?” Het woord ‘verband’ nu liefst vermijden, dat is te ongericht en te vaag. Eventueel op het bord de woorden verzamelen en bespreken: variëren, beïnvloeden, veranderen, afhangen, relatie, verband, toenemen, ...

Huiswerk

Huiswerk: opgaven 2.1 - 2.4 maken uit het boekje. Als er nog tijd over is, dan kunnen leerlingen hiermee al een begin maken tijdens de les.

Les 3 AlgebraPijlen verkennen Benodigdheden

• voor appletdemo: computer met java en internet, beamer • voor practicum: leerlingcomputers met internet en java

Huiswerk / stand van zaken

Het resultaat van de eerste twee lessen is inzicht in afhankelijkheid en covariatie is handig voor beschrijven en voorspellen. Pijlenkettingen, tabellen en grafieken helpen daarbij. Daarom gaan we ons in de samenhang tussen die voorstellingen verdiepen. Vragen naar het huiswerk. Problemen met pijlenkettingen? Een steekproef nemen uit opgaven 2.1 - 2.4. Vervolgens de kern samenvatten: “We hebben situaties gezien waarin een grootheid afhangt van een andere, bijvoorbeeld oppervlakte van hoogte, kosten van belminuten. Die situaties kun je wiskundig op verschillende manieren voorstellen. Eén daarvan is een pijlenketting. Het computerprogrammaatje (applet) AlgebraPijlen kan je helpen om zulke kettingen te maken, en ook voor grafieken en tabellen. Daarmee ga je nu werken om meer situaties te onderzoeken en nut van en relatie tussen ketting, grafiek en tabel beter te begrijpen.”

Demo AlgebraPijlen

Demonstratie met beamer: • inloggen • even wat bewerkingen en invoer/uitvoer in het werkveld slepen • door op een operatie te klikken de operant veranderen • een ketting maken en een antwoord uitrekenen • tabel en grafiek maken, eventueel grafiekenvenster verplaatsen en vergroten • een antwoord in het antwoordvel intypen en benadrukken dat dat belangrijk is • heen-en-weer springen tussen opgaven, navigatie door opgaven en activiteiten • aan de hand van de eerste opgave demonsteren hoe je naar de online help kunt gaan. • eventueel op de knop Kopieer Pijlenketting wijzen. Benadrukken dat al het werk wordt opgeslagen en een soort digitaal schrift vormt, je hoeft niets op papier op te schrijven! De docent kan alles altijd zien... Alternatieve aanpak van de demonstratie: een leerling het applet laten bedienen, terwijl de docent zegt wat er moet gebeuren. Kost misschien iets meer tijd, maar geeft een grote betrokkenheid in de klas, en geeft ook inzicht in wat vanzelfsprekend is voor leerlingen en wat niet.

Werken in tweetallen in de DWO

Leerlingen krijgen per tweetal een loginnaam en een wachtwoord. De twee leerlingen zijn voor de hele lessenserie samen verantwoordelijk voor de voortgang en afronding van de activiteiten onder de loginnaam. De leerlingen beginnen aan de activiteit ‘AlgebraPijlen verkennen’ in de module ‘Pijlenketting en functie’. Begeleiding: Rondlopen en vragen stellen, die ideeën van covariatie en afhankelijkheid oproepen. “Wat gebeurt er als ... groter wordt? Hoe zie je dat in de ketting,

7

in de grafiek, in de tabel?“ Proberen precieze antwoorden uit te lokken, dus niet alleen “Dan wordt die ook groter“ maar ook hoeveel die groter wordt, of dat steeds sneller gaat of met een constante groeisnelheid, etcetera. Bij technische problemen naar Help verwijzen.

8

Eerste deel nabespreken

Als het allemaal erg vlot gaat, of als veel leerlingen juist op dezelfde zaken vastlopen, kan het goed zijn een klassikaal moment in te lassen, eventueel aan het einde van de les. Als er geen tijd voor is, kan dit ook aan het begin van de volgende les. Als de meeste leerlingen bijvoorbeeld de eerste vijf opgaven van de DWO af hebben, een leerling naar voren vragen, laten inloggen en laten zien wat dat tweetal bij verschillende vragen heeft gedaan. Anderen laten zeggen of dat goed is, of hoe het anders kan. Tips hierbij: • Bij DWO opdracht 1.2 kijken of leerlingen meerdere kettingen maken voor delen door 7 of niet. Als het uitkomt benadrukken dat één ketting volstaat. • DWO1.4: aandacht voor het kopieren van de ketting van de vorige opgave, en voor het inen uitzoomen op de tabel. • DWO1.5: aandacht voor het schalen van de grafiek, en voor de dynamiek (onderdeel c). • Misschien aandacht besteden aan het toevoegen van labels aan invoeren uitvoervakje, en aan precieze naamgeving van de variabelen. Beltijd is een betere variabelenaam dan minuten, bijvoorbeeld. • Aandacht besteden aan de verschillende manieren waarop je een getallenpaar van de vorm (invoer, uitvoer) tegen komt in ketting, tabel en grafiek.

Huiswerk

• Thuis (of op school) DWO-activiteit 1 afmaken, dus neem login en wachtwoord van je tweetal mee en spreek af hoe en wanneer je hieraan verder werkt! • Op papier individueel opgave 3.1 maken. Dat laatste kan ook als je onverhoopt thuis problemen hebt met inloggen! • Het kan zijn dat dit veel huiswerk is. De volgende les is iets minder vol, dus dan kan een en ander worden ingelopen.

Les 4 Omslagpunten Benodigdheden Huiswerk nabespreken

• voor appletdemo: computer met java en internet, beamer • voor practicum: leerlingcomputers met internet en java Vooraf in de DWO kijken hoe ver leerlingen zijn gekomen, waar eventuele problemen zitten of waar oplossingen en formuleringen te vinden zijn die geschikt zijn om in de klas aan de orde te laten komen. DWO-huiswerk nabespreken: Leerlingen vinden het leuk, zo is de ervaring, als hun werk gebruikt wordt bij de nabespreking. Verder kan de docent in het leerlingenwerk tijdens de nabesprekingen dingen wijzigen of aanpassen: dergelijke veranderingen worden niet opgeslagen zolang er niet onder de naam van het betreffende tweetal is ingelogd. De docent kan zelf aan de knoppen zitten, of een of twee leerlingen met de beamer enkele uitwerkingen laten zien van de opgaven en die toelichten. Anderen reageren of het goed is, of ze het zelf ook zo hebben gedaan. Eventueel kan een ander laten zien hoe zij het hebben aangepakt. Opmerkingen bij het eerste deel van de activiteit: zie vorige les. • DWO1.7: inventariseren welke strategieen leerlingen gebruiken. Dit is een opstapje naar het onderwerp van vandaag, de omslagpunten. • DWO1.8 en/of 1.10: dit is een gelegenheid om in te gaan op de techniek van het inzoomen, die leerlingen lastig vinden. Ook wellicht trace laten zien? • DWO1.9: benadrukken dat je het paar (invoergetal, uitvoergetal) als coordinaten in de grafiek terugziet. • DWO1.11: een puzzelachtige opgave die aanleiding kan zijn tot leuke klassengesprekken. In geval van tijdgebrek eventueel laten zitten. Nadruk leggen op functie als invoer-uitvoer machine en op afhankelijheid: als de invoer verandert, verandert de uitvoer op een bepaalde manier mee. De manier waarop dat precies gebeurt verschilt van situatie tot situatie. Papieren huiswerk nabespreken: Bij opgave 3.1 eventueel de boekjes van leerlingen langslopen om te zien hoe de grafieken op p. 7 eruit zien. Met name vraag c nabespreken, waarin het verschil tussen het wiskundige model en de werkelijke context aan de orde komt. Eventueel deze opgave gebruiken om te wijzen op de samenhang tabel-grafiek-ketting.

Klassikaal de stand van zaken

We weten nu meer over pijlenkettingen, tabellen en grafieken. Terugblik op de problemen uit les 1. Vragen aan leerlingen: Wat kunnen we beter, wat begrijpen we beter, wat moeten we nog beter uitzoeken … ? Vervolg: niet alleen kijken naar de gerichte afhankelijkheid tussen invoergetal en uitvoergetal, maar ook globaal kijken, de pijlenkettingen als geheel vergelijken, bijvoorbeeld om te zien welke van de twee belabonnementen uiteindelijk voordelig is.

Tweetallen in de DWO

Praktisch Werken in dezelfde tweetallen als vorige les, maar nu aan de activiteit Om-

9

slagpunten. Begeleiding: Rondlopen en vragen stellen, die ideeën van globaal kijken naar de functie als geheel oproepen en verbanden tussen de voorstellingen aan de orde stellen: “Hoe zie je dat in de grafiek, welke kenmerken heeft de grafiek, wat betekent het omslagpunt, hoe vind je dat, ...” Afhankelijk van de tijd en de voortgang: als de leerlingen de activiteit af hebben, kunnen ze de eerste twee opgaven van de activiteit Test jezelf doen, dan wel de eerst activiteit nog afwerken, dan wel aan opgave 4.1 uit het boekje beginnen.

10

Klassikaal nabespreken

Als er genoeg tijd is, kunnen enkele opgaven worden nabesproken, bijvoorbeeld door een tweetal naar voren tevragen, te laten inloggen en hun antwoorden te laten uitleggen. Anderen laten zeggen of dat goed is, of hoe het anders kan. • DWO2.1d legt verband tussen de stijlheid en de factor in de vermenigvuldiging. Dergelijke verbanden tussen grafische kenmerken en operaties in de pijlenketting verdienen aandacht. • DWO2.2 en 2.3 zijn geschikt om in te gaan op de strategie om een omslagpunt te vinden. • DWO2.3b: hier kunnen leerlingen verschillende methodes hanteren, die aardig zijn om naast elkaar te zetten. • DWO2.5 is iets opener geformuleerd. Vermoedelijk zullen leerlingen vooral grafieken gebruiken, maar het is aardig na te gaan of het ook met tabellen kan, of zelfs met alleen de pijlenkettingen. • Eventueel ergens trace laten zien als methode om omslagpunt te vinden. • Eventueel ook nog een keer de ontwikkeling van puntgrafiek (getalinvoer) naar puntENgrafiek (tabel aan) naar lijngrafiek (variabele invoer) laten zien.

Huiswerk

• Thuis (of op school) DWO-activiteit Omslagpunten afmaken op dezelfde manier als de vorige les. Eventueel ook de opgaven 5.1 en 5.2 uit de activiteit Test jezelf. Een andere optie is om deze activiteit tot het einde te bewaren als oefenmateriaal. • Uit het boekje de opgaven 4.1 en 4.2 maken • De samenvatting op p. 8 lezen.

Les 5 Omkeerkettingen Benodigdheden Huiswerk nabespreken

• voor appletdemo: computer met java en internet, beamer • voor practicum: leerlingcomputers met internet en java Deze les kent een vergelijkbare opbouw als de vorige. Vooraf in de DWO kijken hoe ver leerlingen zijn gekomen, waar eventuele problemen zitten of waar oplossingen en formuleringen te vinden zijn die geschikt zijn om in de klas aan de orde te laten komen. DWO-huiswerk nabespreken: zie opmerkingen aan het einde van de beschrijving van de vorige les. Papieren huiswerk nabespreken: Bij opgave 4.1 even wat antwoorden inventariseren. Bij 4.2 is de vraag of leerlingen in staat zijn een link te leggen tussen de steilheid van de grafiek en de operatie in de ketting.

Klassikaal de stand van zaken

Aan de hand van bijvoorbeeld DWO2.5 de vraag oproepen hoe je nu handig bij een gegeven uitvoerwaarde de invoerwaarde terugvindt. Misschien komen leerlingen met informele strategieen. Die kunnen ze verder uitwerken in de DWO.

Tweetallen in de DWO

Praktisch Als vorige les, met de vaste tweetallen. Het gaat nu om de activiteit Omkeerkettingen. Begeleiding: Als de vorige les. Rondlopen en vragen stellen, die het idee van de omkeerketting ondersteunen: wat doet de functie met de tabel als geheel, wat doe je om de bewerking voor alle invoergetallen ongedaan te maken, weet je zeker dat het voor elk getal klopt, kun je zoiets altijd doen, .... Als leerlingen klaar zijn, weer een optie om opdracht 5.3 te doen, of eerder digitaal werk af te maken, dan wel opgave 5.1 uit het boekje te maken.

Klassikaal nabespreken

Als er genoeg tijd is, kunnen enkele opgaven worden nabesproken. • DWO3.2 zullen leerlingen moeilijk vinden, van een kant vanwege het dynamische in de vraagstelling, en van de andere kant vanwege het vergelijken van de twee uitkomsten. Misschien dat enkele goede leerlingen dit kunnen toelichten. Anders kan het ook achterwege blijven. • DWO3.3c: hier is een optie om de ketting en de omkeerketting met elkaar te verbinden, en dan krijg je de identieke tabel. Dat is wat gebeurt bij 3.4. • DWO3.6: hier gaat het om het besef (in ons jargon) dat niet elke functie inverteerbaar is.

Huiswerk

• Thuis (of op school) DWO-activiteit Omkeerkettingen afmaken op dezelfde manier als de vorige les. Eventueel ook opgave 5.3 uit de activiteit Test jezelf. Een andere optie is om deze activiteit tot het einde te bewaren als oefenmateriaal. • Uit het boekje de opgave 5.1 maken • De samenvatting op p. 9 lezen.

11

Les 6 Verschillende manieren van kijken Benodigdheden

• voor nabespreking DWO: computer met java en internet, beamer • voor matchingsopgave: per groepje een enveloppe met representaties (bestand aangeleverd, zelf afdrukken en snijden) Deze les zit mogelijk vrij vol vanwege de groepsopdracht. De nabespreking van het huiswerk van de vorige les zal dus niet te veel tijd in beslag moeten nemen. Verder is een optie om de bespreking van het groepswerk aan het einde van de les uit te stellen tot de volgende les.

12

Huiswerk nabespreken

Vooraf even in de DWO kijken hoe ver leerlingen zijn gekomen en waar eventuele problemen zitten. Voor de nabespreking van de DWOopdrachten zie opmerkingen aan het einde van de beschrijving van de vorige les. Eventueel aandacht besteden aan opgave 5.1 op papier. De clou is dat niet elke ketting een omkeerketting heeft.

Stand van zaken

We kijken steeds meer naar een functie als geheel, met globale kenmerken en eigenschappen, van de grafiek of de tabel, bijvoorbeeld stijgen, of er komt steeds hetzelfde getal bij, of de ene haalt de andere in, of het tweede deel van de ketting maakt het eerste deel altijd ongedaan. We kunnen nu dus naar de functie als geheel kijken. Die kun je je voorstellen als grafiek, formule, tabel, pijlenketting. De vraag is nu: Hoe hangen ketting, formule, tabel en grafiek samen? Vandaar de volgende groepsopdracht: Zoek bij elkaar passende voorstellingen. Het gaat daarbij vooral om de redeneringen: hoe weet je dat die voorstellingen bij dezelfde functie horen.

Groepswerk matching

Praktisch Het gaat om opgave 6.1 uit het boekje. De leerlingen zitten in groepjes van drie of vier en krijgen per groepje een stapeltje plaatjes die overeenkomen met de voorstellingen in het lesmateriaal, en ook een aantal lege kaarten. De opdracht is om de voorstellingen te matchen die dezelfde functie representeren. Dat geeft setjes van ketting, taal, tabel en grafiek. Leerlingen kunnen de bij elkaar horende representaties met elkaar verbinden op p. 10 van het boekje, maar de bedoeling is ook dat ze aangeven welke redenering erachter zit, dus hoe ze weten dat de representaties bij elkaar horen. Het totale aantal representaties is 19, dus er ontbreekt er een. De vraag is natuurlijk welke aanvulling de vijf setjes compleet maakt. Een geschikte vorm hierbij is dat de leerlingen de bij elkaar horende voorstellingen op een flap plakken, en er met stift bijschrijven hoe je weet dat die bij elkaar horen. Begeleiding: Rondlopen en vragen stellen, die zich vooral richten op de motivatie: hoe zie je, of hoe weet je zeker dat twee voorstellingen dezelfde functie voorstellen? Ook op de formule wijzen die aan het einde van de pijlenketting staat, die heeft tot nu toe (bewust) nog niet veel aandacht gekregen. Als blijkt dat velen niet goed weten wat handige strategieën zijn, dan daar na circa 10 minuten even een klassikaal moment voor reserveren. Vragen: wie is al op weg, heeft al een groepje? Hoe pak je dat aan? Eventueel tips geven. Dan iedereen weer verder laten werken.

Nabespreken matching

Huiswerk

Flappen ophangen en langslopen. Ten eerste vergelijken of alle groepjes het eens zijn, dan de verschillende argumenten langslopen en de toegevoegde voorstellingen. Bij tijdgebrek kan dit worden doorgeschoven naar de volgende les. Opgave 6.1 in het boekje afmaken.

13

Les 7 Functies en families Benodigdheden huiswerk nabespreken

• voor appletdemo: computer met java en internet, beamer • voor practicum: leerlingcomputers met internet en java De antwoorden op de opgave 6.1 uitgebreid nabespreken, omdat daaruit de beelden naar voren komen die leerlingen nu van een functie hebben. Dat kan door de flappen / posters langs te lopen en te laten toelichten, of door leerlingen mondeling aan de hand van p. 10 hun resulaten te laten uitlegen. In de bespreking de veelzijdigheid van het functiebegrip benadrukken, zonder misschien deze terminologie te gebruiken: • locale invoer-uitvoer machine, gerichte afhankelijkheidsrelatie, ‘je stopt er iets in en er komt iets uit’. Termen onafhankelijke en afhankelijke variabele gebruiken • co-variatie, gekoppelde verandering; ‘als de onafhankelijke verandert, moet de afhankelijke op een of andere manier mee’ • globaal functiebegrip, eigenschappen en voorstellingen: een functie is een geheel, één ketting die je als geheel ongedaan kunt maken, één grafiek die je kunt snijden met een andere, een formule. • samenhang van voorstellingen In deze les is het doel om functies als lid van een familie te gaan beschouwen, met gemeenschappelijke kenmerken en individuele verschillen. Dat gebeurt aan de hand van een van de probleemsituaties van de eerste les, het probleem van de remweg, en vervolgens aan de hand van de context van de BMI.

14

Stand van zaken

Als we een functie meer als een ‘ding’ beschouwen, kunnen we ook verschillende functies met elkaar vergelijken, zoals we al bij de omslagpunten hebben gedaan. Nu gaan we verschillende ‘gelijksoortige’ functies bekijken.

Werken in tweetallen in DWO

Praktisch Leerlingen in de bekende tweetallen aan de DWO aan de activiteit Families van functies. Begeleiding: Rondlopen, maar nu de leerlingen zoveel mogelijk zelf laten uitzoeken. Eventueel wel vragen stellen die gericht zijn op het gemeenschappelijke karakter van de ‘familie’ van functies, zodat leerlingen op het spoor komen om de verschillende grafieken te zien als element van een overkoepelende klasse. Bij tijd over: opgaven 5.4 - 5.6 van Test jezelf.

Nabespreken remweg

Bij voldoende tijd als afsluiting terugkomen op het remwegprobleem (DWO4.1 - 4.4). Een leerling de verschillende kettingen in de DWO laten demonstreren? • DWO4.3: het identificeren van de grafieken (welke hoort bij welke functie) vinden leerlingen moeilijk. Goed om stil te staan bij de redeneringen. Benadrukken dat het een afspraak is dat de onafhankelijke / invoer op de horizontale, en de afhankelijke / uitvoer op de verticale as staat.

• DWO4.4: Hier uitlokken dat leerlingen nadenken over het verband tussen grafische ‘familiekenmerken’ en eigenschappen van de kettingen. Huiswerk

• Thuis (of op school) DWO-activiteit Families van functies afmaken op dezelfde manier als de vorige keren. • De samenvatting op p. 13 lezen. • Opgaven 7.1 en 7.2 uit het boekje.

15

Les 8 Functies voorstellen Benodigdheden

huiswerk nabespreken

Nabespreken DWO: Voor wat betreft de remwegen zie beschrijving vorige les. Voor wat betreft de BMI: • DWO4.7bc: leerlingreacties inventariseren en verbanden tussen kenmerken en pijlenketting / formule benadrukken. • DWO4.8: hier is het aardig om te zien welke families leerlingen hebben bedacht, en om hen te laten formuleren waarom het een familie is, en welke kenmerken of familietrekjes de familie heeft. Dit kan in verband worden gebracht met opgave 7.2 uit het boekje. • DWO4.9: Hier komt een wat ‘ontaard’ familielid van de lineaire functies aan de orde, namelijk de constante functie. Aanleiding voor discussie of je dit nog als familielid beschouwt of niet.

Stand van zaken

Benadrukken dat een familie functies op verschillende manieren te herkennen is: aan eigenschappen in de pijlenketting, in de grafiek, in de tabel, in de formule. Benadrukken dat zo’n familie dus een collectie is, en dat een functie dus een familielid kan zijn. Het doel van deze les is om het functiebegrip op basis van het voorafgaande voorzichtig wat te formaliseren en het repertoire aan notaties uit te breiden. Twee zaken van p. 15 van het boekje benadrukken: • Ten eerste het idee van een functie: gerichte afhankelijkheidsrelatie van invoervariabele naar uitvoervariabele, voor te stellen door een tabel met geordende getallenparen, een grafiek, een formule, een pijlenketting. • Ten tweede de notaties. De pijlenketting kan worden afgekort tot de pijlnotatie, en als varianten daarop zijn er ook vergelijkingnotaties.

Werken in tweetallen

Dan werken de leerlingen een tijdje aan opgaven 8.1 - 8.3 op papier, individueel of in tweetallen zoals ze in de bank zitten.

Nabespreking Huiswerk

16

• • •

Als er tijd is opgaven 8.2 en 8.3 nabespreken. • Opgaven 8.1 - 8.3 uit het boekje afmaken • De DWO afwerken zodat die compleet is en daarop door de docent kan worden gecheckt. • Eventueel de Test jezelf activiteit afmaken, als voorbereiding op de eindtoets. • Alle opgaven in het boekje afmaken. Verder afspraken over inleveren boekje en afronding maken.

BIJLAGE 5 ARTIKEL WISKRANT

Een leerarrangement voor het ontwikkelen van een veelzijdig functiebegrip met contextrijke opdrachten en het applet Algebrapijlen is uitgevoerd in een experiment van zeven lessen in een tweede klas HAVO/VWO. In dit artikel beschrijven Sjef van Gisbergen, Peter Boon, Michiel Doorman en Paul Drijvers hoe de combinatie van applet en context een krachtige leeromgeving vormt.

Applet en context als krachtige combinatie Inleiding Sinds september 2006 wordt er gewerkt aan het LIOonderzoek1 ‘Applet als instrument voor een veelzijdig functiebegrip’. Dit onderzoek wordt gefaciliteerd door de Nederlandse organisatie voor Wetenschappelijk Onderzoek (NWO). Het onderzoek heeft tot doel de vraag te beantwoorden, hoe het gebruik van applets een veelzijdig functiebegrip kan bevorderen bij leerlingen van de tweede klas van HAVO en VWO. Het onderzoek is ingebed in een groter onderzoek van het NWO-PROO-programma over het gebruik van technologisch gereedschap, dat wordt uitgevoerd door het Freudenthal Instituut2. Een eerste artikel over het onderzoek werd in de Nieuwe Wiskrant van maart 2007 gepubliceerd onder de titel Het ligt aan de belminuten hoeveel eruit komt3. Het gaat over een speciaal voor dit onderzoek ontworpen lessenserie van zeven lessen die is gegeven in een 2 HAVO/VWO-klas van het St. Gregorius College te Utrecht. In het genoemde artikel worden de eerste twee lessen van deze reeks beschreven. De leerlingen werken in deze lessen aan drie verschillende open problemen, en worden aangezet tot nadenken en discussiëren over variabelen, afhankelijkheid en formules, en over representaties zoals pijlenkettingen, tabellen en grafieken. Deze twee lessen eindigen met een introductie van de pijlenketting. In de vijf lessen die daarop volgen, is gewerkt met het applet waarin pijlenkettingen een centrale rol spelen: Algebrapijlen.

Nieuwe Wiskrant 27-2/december 2007

In het artikel dat nu voor u ligt, wordt beschreven hoe het inzetten van dit applet Algebrapijlen uitwerkt bij contextrijke opgaven. Deze uitwerking wordt geïllustreerd met twee fragmenten waarin leerlingen werken met dit applet. Allereerst worden verschillende stadia van inzicht in functies beschreven. Vervolgens wordt het applet Algebrapijlen beschreven. De opzet van het onderzoek en de manier waarop de data zijn verzameld, worden kort toegelicht. Daarna volgen fragmenten uit het leerproces van een tweetal leerlingen dat tijdens de lessen in het computerlokaal met het applet werkt. Uit deze fragmenten wordt duidelijk dat de combinatie van applet en context een krachtige leeromgeving vormt. Het applet nodigt de leerlingen uit tot onderzoekgedrag en de context biedt hen aanknopingspunten voor het geven van betekenis aan wat zij in het applet zien gebeuren.

Aspecten van het functiebegrip Bij aanvang van het experiment zien de leerlingen een functie als een rekenprocedure; de functie is een beschrijving van de berekeningen die je stap voor stap moet doen om bij een bepaald invoergetal het uitvoergetal uit te rekenen. Dat blijkt uit de interviews die we vooraf hebben afgenomen. We onderzoeken in dit experiment in hoeverre het lesmateriaal en het onderwijs en vooral het gebruik van het applet bijdragen aan het ontwikkelen van een uitgebreider functiebegrip. Dit functiebegrip kent de volgende facetten: – Een invoer-uitvoertoekenning. De functie is een invoer-uitvoertoekenning die rekenprocessen helpt organiseren en uitvoeren. Er ontstaat inzicht in hoe de uitvoer bepaald wordt door de invoer. Het oorspronkelijk lokale karakter wordt meer globaal: de functie is niet alleen een relatie tussen inen uitvoergetallen, maar ook tussen domein en bereik. Functies kunnen worden vergeleken op globale kenmerken, zoals mate van stijgen of dalen. – Een dynamisch proces. Hier gaat het om het besef dat de onafhankelijke variabele een bepaald domein doorloopt, en daarmee de variatie van een afhankelijke variabele over een be-

21

reik bepaalt. De vraag naar het hoe en waarom van dit gezamenlijke dynamische proces wordt opgeroepen: wat gebeurt er met de afhankelijke variabele als de onafhankelijke toeneemt, bijvoorbeeld met één eenheid? Hoe kun je dat zien in de tabel en in de grafiek, of verklaren uit de formule? De aandacht voor de verschillende representaties nodigt uit tot de kijk op de functie als wiskundig object. – Een wiskundig object. Een functie is een wiskundig object dat op verschillende manieren kan worden voorgesteld: als pijlenketting, als tabel, als grafiek, als formule. Met elke voorstelling kijk je als het ware vanuit een ander perspectief naar hetzelfde object. Het gaat om een geïntegreerd functiebeeld dat redeneren op een globaal niveau mogelijk maakt: hoe zie je een bepaalde eigenschap van de grafiek terug in de tabel of in de formule, hoe kun je beslissen of twee functies tot een zelfde ‘familie’ behoren? Voor het onderzoek hebben we een hypothetisch leertraject ontwikkeld waarin we acties van leerlingen met het applet koppelen aan bovengenoemde facetten. Als een leerling bijvoorbeeld het invoergetal zoekt waarvoor het uitvoergetal 100 is en hij doet dat door steeds een nieuw getal in te voeren, terwijl een andere leerling kiest voor het oproepen van een tabel of grafiek, dan zegt dat iets over een verschil in het functiebegrip van deze leerlingen. In het hypothetisch leertraject wordt beschreven wat we verwachten qua leerlingactiviteiten en wat dat ons zegt over het functiebegrip van die leerling. Zo verwachten we bijvoorbeeld een ontwikkeling in het gebruk van de pijlenketting, die aanvankelijk een middel zal zijn om berekeningen te organiseren en uit te voeren, en geleidelijk aan een representatie wordt om over functies te redeneren. Door een experiment willen we onderzoeken of onze verwachtingen terecht zijn en in hoeverre de ontwikkeling van het beoogde functiebegrip door onze activiteiten wordt ondersteund.

maken. Deze kettingen kunnen worden toegepast op getallen, maar ook op variabelen. Er kunnen tabellen, formules en (punt)grafieken worden gemaakt. Kettingen kunnen worden uitgebreid, verbonden en vergeleken. Figuur 1 geeft een indruk van de belangrijkste mogelijkheden van het applet. Je kunt in het applet onder andere inen uitvoervakjes naar je werkveld slepen, kiezen uit verschillende bewerkingen en de getallen in die bewerkingen aanpassen, een tabel of grafiek wel of niet zichtbaar maken, scrollen in de tabel en de grafiek doorlopen met ‘trace’. Het applet is ingebed in een digitale leeromgeving, de Digitale Wiskunde Omgeving (DWO). In de DWO wordt al het werk van de leerlingen opgeslagen op een centrale server. Daardoor kunnen de leerlingen hun werk later terugzien, verbeteren en ermee doorgaan op een ander tijdstip en op een andere plaats, bijvoorbeeld thuis. Voor de docent betekent de DWO dat de voortgang van de leerlingen eenvoudig kan worden nagegaan, dat de resultaten van de hele klas eenvoudig in beeld komen en dat daarnaast het werk van de individuele leerling kan worden beoordeeld.

Het applet fig. 1 Het applet Algebrapijlen ingebed in de DWO

In het onderwijsexperiment wordt zowel met pen en papier als met digitaal gereedschap gewerkt. Het lesmateriaal omvat zowel een flexibel parallellogram dat de leerlingen in de eerste lessen gebruiken om een verband te vinden tussen vorm en oppervlakte, als posters voor presentaties, kaarten met bewerkingssymbolen om ‘levende pijlenkettingen’ te maken en kaarten met functierepresentaties die aan elkaar gekoppeld moeten worden. In dit artikel beperken we ons tot het digitale gereedschap, dat bestaat uit het applet ingebed in een digitale leeromgeving.

De DWO biedt ook de mogelijkheid om opdrachten en vragen op te nemen, die de leerlingen buiten het venster van het eigenlijke applet kunnen beantwoorden. Op die manier ontstaat als het ware een digitaal werkboek. In het venster linksboven in figuur 2 staat de opdracht. De leerlingen werken in het appletvenster rechts en formuleren hun antwoord in het venster linksonder.

Het belangrijkste digitale gereedschap is dus het applet Algebrapijlen (zie www.wisweb.nl). Dit applet maakt het mogelijk om invoer-uitvoerkettingen van bewerkingen te

We hebben een leerarrangement van zeven lessen ontworpen dat enerzijds het applet in de DWO omvat en anderzijds lesmateriaal en opdrachten voor de leerlingen,

22

Onderzoeksopzet

Applet en context als krachtige combinatie

die gedeeltelijk op papier en gedeeltelijk digitaal worden aangeboden. Onder andere omdat de combinatie en integratie van papierwerk en digitaal werk nieuw is voor de docent, is ook een docentenhandleiding ontworpen. Het onderwijsexperiment vindt weer plaats in een 2 HAVO/VWO-klas van het St. Gregorius College te Utrecht en levert verschillende typen gegevens. Van alle leerlingen zijn de papieren en digitale uitwerkingen verzameld. Een aantal leerlingen is gefilmd tijdens het werken. Daarnaast zijn klassikale delen van de lessen gefilmd en is de docent gevolgd in haar interacties met leerlingen terwijl die in tweetallen of in groepjes aan het werk zijn. Tijdens de lessen in het computerlokaal zijn er zogeheten screenvideo’s gemaakt van twee tweetallen. Dit houdt in dat alles wat dat tweetal in dat lesuur doet op de computer en alle uitspraken die zij daarbij doen, wordt opgeslagen op de harde schijf. Op een later tijdstip is dat alles precies zo weer te zien en te beluisteren.

Applet en context In het lesmateriaal is er een wisselwerking tussen de context en de functievoorstellingen in het applet, zoals de ketting, tabellen en grafieken. Dat samen vormt een krachtige leeromgeving. Het applet nodigt de leerlingen uit om te praten over wat zij voor zich zien en de context helpt hen bij het kiezen van de juiste woorden en begrippen bij deze abstracte voorstellingen. De leerlingen werken in tweetallen om de communicatie over en weer te stimuleren. Door met elkaar te overleggen over hun initiatieven en handelingen is er sprake van reflectie en heroverweging4.

fig. 2 Opdracht 5

Na enkele opdrachten waarin de leerlingen het applet op de computer verkennen en de pijlenketting gebruiken om berekeningen te maken, beginnen Iris en Michelle aan opdracht vijf van Werken met algebrapijlen (zie figuur 2).

De taken en leerdoelen in deze opdracht zijn: – Leerlingen maken voor het eerst een pijlenketting met meerdere bewerkingen. De gegevens uit de context moeten zij op een juiste manier omzetten in de pijlenketting. Doel is hier het kiezen van de onafhankelijke variabele, het bepalen van de volgorde van de bewerkingen en het plaatsen van de juiste labels. – Leerlingen maken voor het eerst een grafische weergave van de inen uitvoer in een assenstelsel. Doel is hier het beheersen van de techniek om het applet de grafiek (in dit geval een punt) te laten tekenen, het realiseren dat de invoer op de horizontale as en de uitvoer op de verticale as zijn terug te vinden en het correct schalen van de assen. – Leerlingen onderzoeken wat er gebeurt met het punt in het assenstelsel als de invoer 10 minuten groter wordt. Doel is hier het realiseren dat de invoer de uitvoer verandert. Dat is gemakkelijk te zien in de pijlenketting, maar wat betekent dat voor het punt in het assenstelsel? De pijlenketting representeert meer een verband tussen inen uitvoer dan een rekenvoorschrift, een begin van het ervaren van gekoppelde verandering.

In deze opdracht wordt gevraagd een pijlenketting te maken voor de berekening van de kosten bij het belabonnement Tom Vaak. Vervolgens moeten zij de kosten berekenen bij 300 minuten en daarna moeten zij verklaren wat er met het punt in het assenstelsel gebeurt als het aantal belminuten 10 groter wordt.

Hoe pakken Michelle en Iris deze opdracht aan? Zoals wij al hadden verwacht, ondervinden zij geen noemenswaardige problemen bij het maken van de pijlenketting. In de vorige les hadden de lerares en enkele leerlingen al een pijlenketting gemaakt, maar dan voor het bord, door middel van kartonnen bordjes. Michelle en Iris tikken 300 in

Hieronder bespreken we twee fragmenten om de kracht van die leeromgeving duidelijk te maken. Deze fragmenten komen uit een screenvideo van een tweetal meisjes, Michelle en Iris.

De dynamiek van het bellen


23

het invoervak en lezen 55.5 af in het uitvoervak. Dan vullen zij als invoer 310 in, dat geeft als uitvoer 57. Aldus vinden zij de toename van de kosten. Vervolgens wordt gevraagd wat er gebeurt met het punt in de grafiek als het aantal belminuten 10 groter wordt. De leerlingen laten in het applet een assenstelsel verschijnen, maar vergeten de pijlenketting met het assenstelsel te verbinden waardoor ze geen punt zien. Er volgt het gesprek dat hieronder is beschreven. Uiteindelijk lukt het hen wel. Zie de opdracht en hun eindresultaat in figuur 3. Iris: Ik zie geen punt. Michelle klikt op de pijltjes waarmee de assen kunnen worden geschaald. Michelle: Ik doe hem een stukje omhoog. Michelle klikt tot er 100.000 euro kosten langs de verticale as verschijnt. Iris: Da’s wel een beetje ver. Michelle schaalt nu de horizontale as. Michelle lacherig: Hé, hij gaat wel heel ver, hij gaat wel tot een miljoen! Iris: Michelle, wat doe je? Michelle: Hij moet bij 57 uitkomen. (Dit is niet correct, want dat dient bij de verticale as te worden afgelezen.) Michelle schaalt de horizontale as zodat 0 tot en met 120 zichtbaar is, maar de leerlingen zien nog steeds geen punt. Dan ontdekt Iris dat zij de ketting abusievelijk nog niet met het assenstelsel hebben verbonden; zij verbindt ze nu wel. Zij zien nu nog steeds geen punt, maar Iris zegt zonder aarzeling: Iris: Ga eens ietsje daarheen (duidend op het schalen van de horizontale as, en ja hoor, het punt verschijnt). ‘Aha’, klinkt het tevreden, alsof men een groots mysterie heeft opgelost. De leerlingen vullen achtereenvolgens 300 en 310 in bij de invoer en kijken hoe het punt in het assenstelsel beweegt. Er ontstaat een hevige discussie over wat er nu eigenlijk groter wordt, de kosten of het aantal belminuten. Michelle: Wacht, als je 10 minuten groter doet, dan verschuift het naar rechts, dan wordt het getal groter. Iris: Nee, ook een beetje naar boven. Michelle: Oh, ja, maar worden de kosten dan duurder of goedkoper? Iris: Hoger, dan worden de kosten hoger. De context en het zoeken naar de grafiek nodigen Michelle en Iris uit na te denken over wat zij zien. Zij zien het betreffende punt niet in het assenstelsel en gaan op zoek. Dat je de assen van het applet kunt oprekken zover je wilt verbaast hen; honderdduizend euro kosten en een miljoen minuten bellen is wel wat veel. Zij zoeken de grafiek en praten over waar je de beltijd zou moeten zien en waar de kosten. Zij denken na over op welke as je de invoer kunt vinden en over de samenhang van het horizontaal en ver-

24

ticaal verschuiven van het punt. Ondanks dat het in dit fragment in het begin misgaat, is het nuttig dat de leerlingen met dit soort trial-and-improve processen onderzoekend bezig zijn. Zij spreken vermoedens uit die onmiddellijk onderhevig zijn aan kritiek van de ander. Het applet dient als een soort testmachine; ‘nee hoor, kijk maar, als je…’ Michelle en Iris onderzoeken de dynamiek in de grafiek door nog eens opnieuw te kijken wat er gebeurt als zij achtereenvolgens 300 en 310 als invoer kiezen. Als je in de DWO kijkt naar het antwoord dat dit tweetal geeft: ‘Dan worden de kosten hoger en gaat het punt in de grafiek naar rechts’, dan zie je niet veel meer terug van de rijke conversatie die Michelle en Iris voerden bij deze vraag. Een ander tweetal antwoordt: ‘Dan verschuift het punt een beetje’, of weer een ander ‘Het gaat in een schuine lijn omhoog’. Leerlingen zijn niet erg kritisch op het antwoord dat zij intypen. Zij vinden al snel dat hun antwoord voldoet. De resultaten van alle leerlingen in de DWO laten inderdaad zien dat in deze opdracht de pijlenketting redelijk goed is gemaakt, maar dat de antwoorden op de vraag van de beweging van het punt vaag en onvolledig zijn.

fig. 3 Opdracht 5 met de uitwerking van de leerlingen

Mogelijke hoogten en oppervlakten Even later werken deze leerlingen aan opdracht 7 (zie figuur 4). Deze opdracht gaat over de draaibare ruit van de eerste les van het experiment: een ruit met zijden van 10 cm die draaibaar is in de hoekpunten, om aldus te experimenteren met verschillende standen en oppervlakten. De leerlingen wordt gevraagd een pijlenketting en grafiek te maken bij de bijbehorende formule: hoogte ⋅ 10 = oppervlakte . En vervolgens wordt gevraagd naar de kleinste en de grootste waarde van de oppervlakte.


fig. 5 Opdracht 7 met uitwerking van de leerlingen

fig. 4 Opdracht 7 en beschrijving van flexibel parallellogram

De taken en leerdoelen bij deze opdracht zijn: – Leerlingen maken een pijlenketting en een puntengrafiek en gebruiken eventueel de tabel bij exploratie. Doel is hier het kennen van verschillende representaties van een functie en het zien van de verbanden tussen de representaties. Zo ontstaat een toenemend inzicht in het objectkarakter van een functie. – Leerlingen bedenken welke getallen zij als invoer kunnen of mogen gebruiken en onderzoeken hoe groot de uitvoer wordt. Doel is hier het inzicht dat de pijlenketting (functie) een verband is tussen de domein- en bereikverzamelingen. We kijken weer naar hoe Michelle en Iris de opdracht aanpakken. Zij hebben de pijlenketting gemaakt en het assenstelsel aangevinkt (zie figuur 5). De vraag is welke de kleinste en welke de grootste waarden van de oppervlakte zijn (zie protocol hiernaast). Het betekenis geven aan een abstracte voorstelling gaat met behulp van termen uit de context. Het feit dat invoer nul als uitvoer nul oplevert, wordt door Iris vertaald als ‘Als je niks hebt, is er ook geen oppervlakte’. Zij praten erover dat de uitvoer van de invoer afhangt en realiseren zich gaandeweg dat die pijlenketting voor alle invoer het goede antwoord geeft. ‘Bij dat vierhoekding wordt de oppervlakte 10 keer 10 en anders wordt het oneindig keer 10’.


Michelle: 100 is toch de grootste. Iris: Nee, 10 is de grootste. Michelle: Dat zei ik toch, 10 keer 10 is 100. Iris: Kijk, 0 is de kleinste want dan komt er ook 0 uit. Michelle: Goh. Iris: Als je niks hebt, is er ook geen oppervlakte. Michelle: Ja, maar ze vragen de grootste waarde. Iris: En de kleinste. Michelle: Ja, de kleinste is nul. Iris begint het antwoord in te vullen in het antwoordvak: ‘kleinste is nul, grootste ...” Iris: Grootste is... hm... grootste is toch zo groot als je wilt. Michelle: 100 Iris: Nee, want 10 is de grootste als je zo’n vierhoekding hebt, maar... Michelle: Ja maar deze (Michelle is bezig de y-as op te schalen) gaat heel ver hé. Iris: Ja, daarom Michelle: Wacht even... Juffrouw? De juffrouw wordt erbij gehaald. Iris: Moet je hierbij rekenen met dat schuifbare ding of iets keer tien? Want hier kan het oneindig keer 10 zijn, maar niet als je dat schuifbare ding pakt van 10 keer 10. Het ‘zo groot als je wilt’ kunnen maken van de getallen op de assen ondersteunt het begrip dat je als invoer en uitvoer van een pijlenketting een hele verzameling getallen kunt gebruiken. De uitspraak: ‘de grootste oppervlakte is oneindig keer 10’ maakt duidelijk dat zij goed begrijpen waarover het gaat in deze opdracht. De leerlingen voelen hier zelf de noodzaak van het bepalen van een domein en vragen letterlijk: ‘Mevrouw, moeten we hier kijken voor de vierhoek die u hebt uitgedeeld in de eerste les of mag de vierhoek zo groot zijn als maar kan?’

Conclusie Het applet en de context vormen samen een krachtige combinatie. Die kracht ligt vooral in het feit, dat de con-

25

text fungeert als een raamwerk dat leerlingen ondersteunt om woorden te vinden om te beschrijven en te begrijpen wat er in het applet gebeurt. Ook maken zij veronderstellingen binnen de context die zij met behulp van het applet, dat immers snel rekent en plaatjes en tabellen maakt, kunnen onderzoeken. In de discussie over de grafiek van de telefoonabonnementen over wat er nu eigenlijk verandert, de minuten, de euro’s of beide, dwingt de grafiek de leerlingen goed na te denken over het verband tussen de verschillende representaties van de functie. De context biedt hen houvast en voorziet hen van de nodige woorden bij deze discussie. Het gesprek over het assenstelsel bij de grafiek die het verband aangeeft tussen hoogte en oppervlakte, gaat enerzijds over de mogelijkheden van het applet en anderzijds over de concrete vierhoek waar de leerlingen in de eerste les mee manipuleerden. Het wordt de leerlingen duidelijk dat zij een keuze moeten maken. Óf de context óf de mogelijkheden van het applet zijn doorslaggevend voor het afbakenen van domein en bereik. De combinatie van applet en contextrijke opdrachten levert de vragen, de verwondering en het houvast die de leerlingen uitnodigen tot experimenteren, reflecteren, heroverwegen en herformuleren. Een krachtige combinatie dus.

Sjef van Gisbergen, Peter Boon, Michiel Doorman, Paul Drijvers, Freudenthal Instituut Oproep In april-mei 2008 vindt een nieuwe experimenteerronde plaats. We zoeken nog docenten die in hun tweede klas HAVO/VWO hieraan ongeveer 10 lesuren willen besteden. Bent u geïnteresseerd, kijk dan op www.fi.uu.nl/tooluse en stuur een mail aan [email protected].

Noten [1] LIO, het programma Leraar in Onderzoek, van de Nederlandse organisatie voor Wetenschappelijk Onderzoek, www.nwo.nl. [2] Dit onderzoek wordt gesubsidieerd door de Programmaraad Onderwijs Onderzoek van NWO onder nummer 411-04-123. [3] Doorman, M., P. Drijvers, P. Boon & S. van Gisbergen (2007). Het ligt aan de belminuten hoeveel eruit komt. Nieuwe Wiskrant, Tijdschrift voor Nederlands wiskundeonderwijs, 26(3), 42-46. [4] Dekker, R. & M. Elshout-Mohr (1998). A process model for interaction and mathematical level raising. Educational Studies in Mathematics, 36, 303-314.

Foto: Harm ten Napel

26


BIJLAGE 6 VOORDRACHT KORTRIJK

Werken met applets Applets

An applet a day ………

Sjef van Gisbergen St. Gregorius College Freudenthal Instituut Utrecht

• Algemeen • Meerwaarde • Soorten Op school • Hoe gebruiken • Randvoorwaarden • DWO Twee praktijkvoorbeelden • Algebra vaardigheden oefenen • Functiebegrip ontwikkelen

Applets algemeen

Wat is een applet

• Wisweb 2000 ontwikkelen, uittesten, bijwerken • Wisweb 2007 120 applets, wisweb+, DWO • Applets in wiskundemethoden CD’s, sites, I-clips

• Kleine programma’s, geschreven in Java die goed via het internet kunnen worden verspreid • Vaak interactief • Gebruikersvriendelijk

Meerwaarde applets

Soorten applets • Open versus gesloten

• • •

Motivatie (ook als afwisseling) Feedback (direct en neutraal) Leerlingen werken op eigen niveau en tempo

voorbeelden??

• Mate van interactiviteit • Functie - als verkenning - als oefening - als didactisch hulpmiddel • Spelelement

1

Op School

Randvoorwaarden

• Als instap en verkenning

• • • •

– Met beamer in de klas – Leerlingen thuis voorafgaand aan les

• Als didactisch hulpmiddel ter ondersteuning

Computers Verbinding Docent Leerlingen

– Grafiek, animatie om dynamiek te verhelderen,…….

• Als oefenapplet – Vaardigheden oefenen – Oude leerstof verfrissen – Voorbereiding op toets

Digitale wiskunde oefenomgeving

Algebraische vaardigheden oefenen

• Docent zet serie applets klaar • Leerlingen werken via internet,op school of thuis, aan de applets in hun digitale omgeving • Docent kan resultaten zien van een klas als geheel en van de individuele leerling

Oefenapplet • • • •

Docent zet applet klaar en kan voortgang volgen Leerlingen werken zelfstandig Op elk uur van de dag, in eigen tempo, op eigen niveau Applet is geduldig en geeft goede, waardevrije feedback

• • • •

Leerlingen werken zelfstandig in DWO Applet Formules met haakjes Eigen niveau en tempo Klas vwo4 en havo4

Draagt het werken met applets bij aan het ontwikkelen van een veelzijdig functiebegrip?

• • • •

Drie jaar onderzoek (twee jaar LiO) Leerarrangement met applet Algebrapijlen Experimenten op school Rol docent

2

Functiebegrip ontwikkelen

Algebrapijlen

Leerarrangement – Verschillende werkvormen: in groepjes, in tweetallen achter de pc., klassegesprek – Werken met het applet, papier en potlood, thuis en op school – Leerlingen van ongeveer 13 jaar, tweede klas havo/vwo – Zeven lessen van 50 minuten – Contextrijk lesmateriaal

• • • • • •

Leerarrangement Les 1


• In groepjes werken aan de drie beginopdrachten

• Posters en “levende ketting”



• Introductie van het applet

• Tweede les werken met het applet

Algebrapijlen Invoer en uitvoer Bewerkingen Tabel Grafiek Verband tussen verschillende representaties

3



• In groepjes ‘matchen’van de functierepresentaties

• Derde les werken met het applet

Leerarrangement Les 7 • Vierde les met het applet en aandacht voor reflectie en notatie

4

EINDRAPPORTAGE VAN LION ONDERZOEK: Applet als instrument voor een veelzijdig functiebegrip ONDERZOEKER: INLEIDING WERKZAAMHEDEN

Recommend Documents