Példák ●
Legyen egy kísérlet az, hogy dobókockával dobunk, és felírjuk a dobás értékét! Legyen az A esemény, hogy 6-ot dobunk! Ismételjük meg 100-szor a kísérletet, és összeszámoltuk, hogy 15-ször következett be. Mennyi a gyakorisága és a relatív gyakorisága az A eseménynek?
Példák ●
Legyen egy kísérlet az, hogy dobókockával dobunk, és felírjuk a dobás értékét! Legyen az A esemény, hogy 6-ot dobunk! Ismételjük meg 100-szor a kísérletet, és összeszámoltuk, hogy 15-ször következett be. Mennyi a gyakorisága és a relatív gyakorisága az A eseménynek? Gyakoriság = 15 Relatív gyakoriság =
●
Generáljunk R-ben kockadobást 100 ismétlésben. sample(x, size, replace=F) kocka: 6 lehetséges érték: x=6; size (a generált vektor hossza) = 100; replace=T mert ismételhető
●
> sample(6, 100, replace=T) [1] 2 2 5 2 6 6 3 5 2 6 1 6 1 1 5 4 5 4 2 2 5 3 4 5 6 2 1 3 1 6 2 5 1 5 4 4 1 [38] 2 3 6 4 5 6 3 5 5 1 6 6 2 1 1 2 3 5 3 3 5 3 5 4 4 4 6 2 5 5 1 4 3 3 1 4 3 [75] 3 4 2 3 4 5 3 2 2 3 6 5 2 1 2 6 3 1 3 6 6 4 2 2 5 5
Egy kockát dobunk fel 100-szor! Határozzuk meg a következő események gyakoriságát és relatív gyakoriságát! A dobások eredménye: 1: 15
2: 17
3: 15
4: 18
5: 19
6: 16
A: páros prímszámot dobunk B: páratlan prímszámot dobunk C: a dobott szám prím D: a dobott szám legfeljebb 6 A = {2} esemény gyakorisága 17, relatív gyakorisága: B = {3, 5} esemény gyakorisága 34, relatív gyakorisága: C = {2, 3, 5} esemény gyakorisága 51, relatív gyakorisága:
C= A+B
D = {1, 2, 3, 4, 5, 6} esemény gyakorisága 100, relatív gyakorisága: 1
A kockázás paradoxona Probléma: Szabályos dobókockával azonos eséllyel dobhatjuk az 1, 2, 3, 4, 5 és 6 számok bármelyikét. Két kockával dobva a dobott számok összege 2 és 12 között változhat. A tapasztalat azt mutatta, hogy sokszor feldobva a két kockát a 9 összegként gyakrabban áll elő, mint a 10, pedig mindkettő kétféleképpen tehető össze: 9 = 6 + 3 = 4 + 5 és 10 = 6 + 4 = 5 + 5. Három kocka esetében is ugyanannyiszor, mégpedig hatféleképpen kombinálható össze 9=1+2+6=1+3+5=1+4+4=2+2+5=2+3+4=3+3+3 10 = 1 + 3 + 6 = 1 + 4 + 5 = 2 + 2 + 6 = 2 + 3 + 5 = 2 + 4 + 4 = 3 + 3 + 4 Mégis hogyan lehetséges az, hogy két kocka dobásakor gyakrabban kapunk 9-et, míg három kocka dobásakor 10-et? Két kocka: 9: 6 + 3 = 3 + 6 → 2 elemi esemény 9: 4 + 5 = 5 + 4 → 2 elemi esemény 10: 6 + 4 = 4 + 6 → 2 elemi esemény 10: 5 + 5 → 1 elemi esemény Összes esemény: 6 * 6 = 36
Három kocka: 9 1 + 2 + 6 → 6 elemi esemény 1 + 3 + 5 → 6 elemi esemény 1 + 4 + 4 → 3 elemi esemény 2 + 2 + 5 → 3 elemi esemény 2 + 3 + 4 → 6 elemi esemény 3 + 3 + 3 → 1 elemi esemény
10 1 + 3 + 6 → 6 elemi esemény 1 + 4 + 5 → 6 elemi esemény 2 + 2 + 6 → 4 elemi esemény 2 + 3 + 5 → 6 elemi esemény 2 + 4 + 4 → 3 elemi esemény 3 + 3 + 4 → 3 elemi esemény
Összesen: 25 elemi esemény
Összesen: 27 elemi esemény
Összes esemény: 6*6*6 = 216
Összes esemény: 6*6*6 = 216
Hány eseményből áll a megfigyelhető eseményrendszer a következő kísérletnél: Négy levelet helyezünk el 6 rekeszbe és a) A levelek egyformák és ● Egy rekeszbe legfeljebb egy levelet teszünk ● Egy rekeszbe több levelet is tehetünk
b) A leveleket meg lehet különböztetni egymástól és ● Egy rekeszbe legfeljebb egy levelet teszünk ● Egy rekeszbe több levelet is tehetünk
R parancs: n! = factorial(n)
De Méré lovag problémája (1654): Az alább megfogalmazott két probléma történetileg érdekes. Ezekkel a kérdésekkel fordult de Méré lovag Pascalhoz. Sokan e feladat megoldásától illetve Pascalnak és Fermat-nak e probléma megoldásáról szóló levelezésétől számítják a valószínűség számítás megszületését. a.) Ha egy kockát 4-szer feldobunk, akkor mi annak a valószínűsége, hogy legalább egy hatos dobás lesz? b.) Ha két kockát 24-szer feldobunk, mi annak a valószínűsége, hogy legalább egy dupla hatos lesz? (De Méré lovag arra csodálkozott rá, hogy az első valószínűség 1/2 -nél kicsit nagyobb, a második valószínűség pedig 1/2 -nél kicsit kisebb. Hogyan lehetséges ez, hiszen dupla hatosnak hatodannyi az esélye mint az egyszeri hatosnak, és a 24 éppen hatszor annyi mint a 4.) Ha egy szabályos kockát k-szor feldobunk akkor 6k a lehetséges kimenetelek száma. Ezek közül 5k a valószínűsége annak, hogy nem lesz hatos. Így annak a valószínűsége, hogy legalább egyszer hatos lesz:
De Méré lovag problémája (1654): Két játékos egy igazságos játékot játszik, melynek mindegyik fordulójában az egyes játékosok ½ valószínűséggel nyernek, illetve veszítenek. Megállapodnak, hogy az a játékos nyeri el a tétet, aki először ér el 6 nyerést. A játékot félbe kell szakítaniuk akkor, amikor az egyiküknek 3 a másikuknak pedig 5 nyerése volt. Hogyan kell igazságosan osztozkodniuk? Ahhoz, hogy a játéknak vége legyen, az egyiknek egyszer a másiknak egymás után három játékot kell nyernie.
Hány eset lehetséges összesen? Ω= {ω1=NNN, ω2=NVV, ω3=NVN, ω4=NNV, ω5=NNV, ω6=NVN, ω7=VNN, ω8=VVV} Összesen: 8 eset, kedvező eset ω8=VVV
Egy játékban az a cél, hogy 6-ost dobjunk. Választhatunk, hogy egy szabályos dobókockával dobunk, és a dobott szám az eredményünk, vagy két kockával dobunk, és a dobott számok összege az eredmény. Melyiket válasszuk, hogy nagyobb esélyünk legyen a 6-osra? Egy kocka:
Két kocka:
Ω = {1,2,3,4,5,6},
Ω = {11,12,13,14,15,16, 21, 22, …, 66}, n = 62 = 36 Kedvező esetek: 6 = 1+5 = 2+4 = 4+2 = 5+1 = 3+3
Mi a valószínűsége, hogy két kockát legalább négyszer kell feldobni, hogy a két kockán levő pontok összege 7 legyen?
Keressük annak a valószínűségét, hogy legfeljebb 3 dobásból az összeg 7. Ez 3féleképpen lehet, hogy elsőre, másodikra és harmadikra lesz hét. 7=1+6=6+1=2+5=5+2=3+4=4+3 A7 = 6; összes eset = 6*6 = 36; nem dobunk hetet: Másodikra dobunk hetet: Harmadikra dobunk hetet:
Adott egy hat elemű minta 9,3; 12,5; 11,8; 9,8; 11,6; 14. Számoljuk ki a mintaközepet, a tapasztalati szórásnégyzetet, és a korrigált tapasztalati szórásnégyzetet. (Kézzel és R-ben).
n = 6,
R: > mean(x) [1] 11.5 > sum(x)/length(x) [1] 11.5 > (sqrt(sum((x-mean(x))^2)/6))^2 [1] 2.513333 > (sqrt(sum((x-mean(x))^2)/5))^2 [1] 3.016 > sd(x)^2 [1] 3.016
Adott egy 400 elemű minta. Számoljuk ki a mintaátlagot és a korrigált tapasztalati szórásnégyzetet! Érték (xi)
Gyakoriság (fi)
fi*xi
fi*xi2
0
213
0
0
1
128
128
128
2
37
74
148
3
18
54
162
4
4
16
64
sum
400
272
502
