EFFECT VAN EEN ‘TUNED MASS’-DEMPER OP HET ONTWERP VAN EEN VOETGANGERSBRUG C. (Caspar) BREMAN Constructief Ontwerper afd. Lichte Constructies Movares Nederland B.V.
H.H. (Bert) SNIJDER Hoogleraar Constructief Ontwerpen (Staal) Faculteit Bouwkunde, Technische Universiteit Eindhoven
H.G. (Herke) STUIT Senior Adviseur afd. Geo Engineering en Ondergrondse Inrichting Movares Nederland B.V.
M.C.M. (Monique) BAKKER Universitair Hoofddocent Faculteit Bouwkunde, Technische Universiteit Eindhoven
Samenvatting Voetgangersbruggen bij treinstations worden gekenmerkt door slanke constructies met een grote overspanning. De eisen die worden gesteld aan het dynamische comfort worden daardoor in toenemende mate bepalend. Dit vormt de aanleiding voor een case study om het effect van een ‘tuned mass’-demper (TMD) te illustreren. Dit effect is bestudeerd door middel van een dynamische analyse voor een eenvoudig type brug. Deze brug is belast door een enkele voetganger en diverse groepen voetgangers, gemodelleerd als zich verplaatsende harmonische puntbelastingen. De respons is bepaald voor een brug met en zonder TMD. De stochastische eigenschappen van de belasting zijn in rekening gebracht door het toepassen van een Monte Carlo benadering. De resultaten worden gepresenteerd voor verschillende belastinggevallen waarbij in elke situatie het effect van de demper wordt geïllustreerd. Uit de analyses volgt dat het effect van de TMD afhangt van het aantal voetgangers wat tegelijk aanwezig is op de brug. Dit artikel is gebaseerd op een paper gepresenteerd op het congres Footbridge 2008 [1]. Keywords voetgangersbrug; tuned mass-demper; trillingen; respons; dynamica; Monte Carlo simulatie 1.
Introductie
Voetgangersbruggen zijn onderdeel van vrijwel elk treinstation in Nederland als verbinding tussen de verschillende perrons. Een typisch voorbeeld van een brug bij een relatief klein treinstation in Nederland is gegeven in figuur 1. Wanneer een dergelijke constructie niet alleen de twee of drie hoofdsporen overspant maar ook een aantal zijsporen, zijn verticale trillingen een belangrijk aandachtspunt. In dit geval neemt de overspanning al snel toe tot meer dan 50 meter en is er een aanzienlijk risico op hinder ten gevolge van dynamische effecten. In deze specifieke situatie is het toevoegen van extra kolommen een ongewenst alternatief in verband met aanrijdingsgevaar. Een andere oorzaak voor potentiële trillingsproblemen is gerelateerd aan een voorkeur voor slanke en transparante constructies uit oogpunt van esthetiek en sociale veiligheid.
Fig. 1 Voetgangersbrug bij een treinstation (Boxtel).
Fig. 2 Wachtruimte als onderdeel van een voetgangersbrug (Lage Zwaluwe).
Voor voetgangersbruggen bij treinstations is een gedegen dynamische analyse dus van groot belang. Dit is specifiek het geval voor bruggen waarbij een wachtruimte onderdeel is van de constructie (figuur 2). In dit geval is een strengere eis van toepassing aangezien zittende mensen gevoeliger zijn voor trillingen dan lopende mensen. Om dynamische problemen te voorkomen kan de stijfheid van de constructie worden vergroot zodat de eigenfrequentie van de constructie verschuift tot buiten de kritische zone (0 – 5 Hz). Deze aanpak resulteert meestal in een zware en logge constructie. Door recente toepassingen van dempers bij bruggen bestaat het vermoeden dat een ‘tuned mass’demper (TMD) een waardevol alternatief kan zijn. Hoewel het nut van een TMD reeds is aangetoond in het recente verleden, zijn de ontwerpaspecten van een TMD bij bruggen onderbelicht gebleven. Dit artikel poogt het effect van een TMD te verduidelijken door het analyseren van een eenvoudig type brug. Allereerst is de theoretische achtergrond toegelicht in paragraaf 2, gevolgd door de omschrijving van de case study in paragraaf 3. Hierin wordt ingegaan op het type belasting en het model dat wordt gebruikt voor de analyses. In paragraaf 4 is het type analyse nader omschreven, gevolgd door de resultaten in de paragrafen 5 en 6. Tot slot worden conclusies en aanbevelingen gegeven in paragraaf 7. 2.
Theoretische achtergrond
De dynamische problemen zoals omschreven in de introductie zijn gerelateerd aan de eerste eigenfrequentie (voor een nadere toelichting: zie paragraaf 3.1). Voor het simuleren van het dynamische gedrag van voetgangersbruggen nabij treinstations is een vereenvoudigd model met een enkele vrijheidsgraad (‘Single Degree Of Freedom’, SDOF) voldoende. Het effect van een TMD kan worden geanalyseerd door een extra vrijheidsgraad toe te voegen aan dit systeem wat resulteert in een systeem met twee vrijheidsgraden (2DOF) (figuur 3). Het dynamische gedrag van deze twee modellen kan worden geïllustreerd met de dynamische vergrotingsfactor (‘Dynamic Amplification Factor’, DAF). Deze factor beschrijft de relatie tussen dynamische (δdyn) en statische vervorming (δst) voor de ‘steady state’ (de toestand na het uitdempen van instelverschijnselen). De grafiek van figuur 4 toont de dynamische vergrotingsfactor voor de verhouding tussen belastingsfrequentie van een harmonische belasting en de eigenfrequentie van het systeem (fs / f1). De grafiek van een SDOF systeem toont een duidelijke piek indien de frequentie van de belasting overeenkomt met de eigenfrequentie van het systeem, ook bekend als ‘resonantie’. Deze piek kan aanzienlijk worden beperkt door het toepassen van een TMD zoals weergegeven in figuur 4. Echter, dit effect is gering voor belastingfrequenties die niet overeenkomen met de eigenfrequentie. Dit laat zien dat het effect van een TMD zeer effectief kan zijn maar dat de mate waarin dit effect wordt benut afhangt van de dynamische eigenschappen van de belasting. Deze eigenschappen worden complexer naarmate groepen voetgangers in beschouwing worden genomen. Dit wordt nader toegelicht in paragraaf 3.
Fig. 3 Een brug zonder TMD geschematiseerd als systeem met één vrijheidsgraad (boven) en met TMD en twee vrijheidsgraden (onder).
Fig. 4 Dynamische vergrotingsfactor (DAF) voor een model met en zonder TMD.
3.
Case study
De case study betreft de analyse van een eenvoudig type voetgangersbrug zoals beschreven in de introductie. De brug is geanalyseerd met behulp van een eindig elementenprogramma met expliciete oplosmethode genaamd Balkmodel [2], dat specifiek ontwikkeld is voor het analyseren van balk-veer-demper combinaties, belast door zich verplaatsende krachten. In tegenstelling tot de SDOF en 2DOF systemen zoals getoond in figuur 3 kan met deze benadering de belasting over de gehele constructie worden aangebracht. In deze paragraaf wordt het rekenmodel toegelicht gevolgd door de dynamische belasting die wordt gebruikt voor het modelleren van voetgangers. De daadwerkelijke analyses worden nader toegelicht in paragraaf 4. 3.1
Computermodel
Het computermodel dat wordt gebruikt voor de analyses is gebaseerd op een 50 meter lange (L), vrij opgelegde balk zoals geïllustreerd in figuur 5. De buigstijfheid (EI) is gekozen op basis van statische vervormingscriteria. Voor voetgangersbruggen is de statische doorbuiging ten gevolge van variabele belasting in het algemeen beperkt tot L/250 wat overeenkomt met 200 mm voor deze brug. Uitgaande van een 4 meter brede brug, belast op een maximale variabele belasting van 5.0 kN/m2, bedraagt de benodigde buigstijfheid 8.16x109 Nm2. Een minimale demping is in rekening gebracht door middel van een dempingmaat ς = 0.005. Dit wil zeggen dat de inherente demping overeenkomt met 0.5% van de kritische demping. Het eigen gewicht (m) van de constructie is relatief laag: 1000 kg/m. Op basis van deze gegevens kan de eigenfrequentie (fn) gerelateerd aan de eerste (n= 1) trillingsvorm als volgt worden bepaald [3]: (1) De tweede eigenfrequentie (n = 2) bedraagt 7.17 Hz. Deze waarde ligt buiten de kritische zone (0 – 5 Hz). Daardoor worden extreme trillingen alleen verwacht in het midden van de brug, gerelateerd aan de eerste trillingsvorm. De brug zonder TMD is geanalyseerd met behulp van Balkmodel op basis van een enkele balk, verdeeld in 0.5m lange segmenten. Daarnaast is een model voor dezelfde brug met TMD geanalyseerd. De TMD is gemodelleerd als een extra 1.0 m lang balksegment, bevestigd in het midden van de brug met twee veren en dempers. De eigenschappen van de brug en de TMD zijn gegeven in figuur 5. De massa van de TMD is arbitrair gekozen als 1/50e deel van de totale massa van de brug. De stijfheid en dempingseigenschappen van de TMD zijn gebaseerd op basis van optimale waarden volgens Den Hartog [4]. De helft van deze waarden is toebedeeld aan elk van beide veren en dempers zodat het gedrag overeenkomt met een systeem met een enkele veer en demper. Hier dient vermeld te worden dat deze geoptimaliseerde waarden gelden voor ongedempte (ς = 0) systemen. Echter, in [5] is aangetoond dat het effect van inherente demping op de optimale waarden minimaal is voor systemen met geringe inherente demping.
Fig. 5 Dynamisch model van de brug zonder en met TMD.
Een gedeelte van het model is weergegeven in figuur 6 ter illustratie van de zich verplaatsende belasting. De belasting wordt aangebracht op een enkele knoop als deze belasting zich direct boven een knoop bevindt (tijdstip ti). Als de belasting is gesitueerd tussen twee knopen bij een volgende tijdstip (ti+1) wordt de belasting proportioneel verdeeld tussen deze knopen, afhankelijk van de onderlinge afstand. Omdat de analyse is gebaseerd op een expliciete oplosmethode is een kleine tijdstap van 1.5 x 10-5 seconden tussen twee tijdstippen noodzakelijk voor het garanderen van stabiele resultaten.
Fig. 6 Zich verplaatsende belasting op twee locaties op twee verschillende tijdstippen.
Inherente demping en eigenfrequentie zijn gecontroleerd door een pulsbelasting van 100 kN aan te brengen op het midden van de brug zonder TMD. De eerste eigenfrequentie (f1) en dempingmaat (ς) zijn vervolgens bepaald op basis van de respons in figuur 7: (2) (vrijwel identiek aan de eigenfrequentie volgens vgl.(1): 1.79 Hz )
Verplaatsing [mm]
= 0.5% (3)
2,0 1,0 0,0 -1,0 0
0,5
1
1,5
-2,0
2
2,5
3
3,5
tijd [s]
Fig. 7 Respons in het midden van de brug zonder TMD na het introduceren van een 100 kN pulsbelasting op dezelfde locatie.
3.2
Krachten uitgeoefend door voetgangers
De dynamische analyses zijn uitgevoerd met behulp van belasting gedefinieerd in het tijdsdomein. Dit geeft de mogelijkheid om de transiënte belastingstoestanden in rekening te brengen (transient state: overgangstoestand naar een steady state, waarin instelverschijnselen nog niet uitgedempt zijn). Dit is relevant omdat voetgangers worden gekenmerkt door bewegende belastingen die slechts een korte tijd een belasting introduceren op de brug. Daarnaast geldt dat voetgangers dicht bij de uiteinden van de brug een significant kleiner effect veroorzaken op de respons dan voetgangers in het midden van de brug. De krachten in Balkmodel worden gedefinieerd als een harmonische belasting F(t), die zich verplaatst met een constante snelheid v: [N] [m/s]
(4) (5)
Hierinvertegenwoordigt: G de statische belasting van één voetganger in [N], α de dynamische belastingsfactor, fs de stapfrequentie in [Hz], φ het faseverschil van de belasting in [rad] en Ls de staplengte in [m]. Het gewicht, de stapfrequentie en de staplengte worden gebaseerd op normale verdelingen zoals gedefinieerd in de literatuur (zie figuur 8). Het faseverschil is gedefinieerd als een uniforme verdeling tussen 0 en 2π.
Fig. 8 Belastingsvariabelen: Gewicht (G) [6], stapfrequentie (fs) [7] en staplengte (Ls) [7].
De dynamische belastingsfactor in vergelijking (4) wordt gegeven door de volgende formule [8]: (6)
4.
Monte Carlo simulatie
Bij het ontwerpen van voetgangersbruggen worden dynamische belastingen veroorzaakt door voetgangers veelal gemodelleerd als een deterministische en periodieke belasting. Echter, recent onderzoek [6,7] heeft aangetoond dat de belasting van voetgangers sterk varieert. Deze variatie wordt uitgedrukt door de normale verdelingen van diverse belastingsvariabelen in figuur 8. Een realistische beoordeling van het dynamische gedrag van een voetgangersbrug is mogelijk door het toepassen van een probabilistische analyse zoals een Monte Carlo simulatie. Deze simulatie kan worden gebruikt voor het bepalen van de kans op falen (Pf) wat overeenkomt met het aantal simulaties waarin een versnellingslimiet (alimiet) is overschreden (Nf), gedeeld door het aantal simulaties (N): (7) De standaardafwijking van de fout die wordt gemaakt bij het bepalen van de faalkans Pf wordt minder voor grote N en grote Pf. Als N oneindig nadert, dan benadert Pf de werkelijke kans op falen. De Monte Carlo simulaties zijn uitgevoerd op basis van vijf verschillende belastingsgevallen zoals weergegeven in figuur 9. Deze gevallen hebben betrekking op een enkele voetganger en groepen bestaande uit drietallen naast elkaar lopende voetgangers. De groepen bestaan uit 3, 6, 12 en 24 voetgangers lopend van één zijde van de brug naar de andere. De belasting zoals aangebracht in Balkmodel bestaat uit een harmonische puntbelasting zoals aangegeven in figuur 6. Elke puntbelasting representeert een enkele voetganger in belastinggeval 1 of de som van drie voetgangers die naast elkaar lopen in de andere belastinggevallen. De analyses hebben betrekking op 500 verschillende steekproeven voor elk belastingsgeval. Dit aantal is groot genoeg voor een betrouwbare voorspelling van de 50%-responslimiet maar is te laag voor een betrouwbare voorspelling van de 95%-responslimiet zoals beschreven in paragraaf 5. Dezelfde steekproeven worden gebruikt voor het model met en zonder TMD. Het verschil in respons kan daardoor worden toegeschreven aan alleen de TMD.
Fig. 9 Belastingsgevallen.
De belasting uitgeoefend door elke voetganger afzonderlijk (Vgl.(4)) wordt willekeurig gekozen in overeenstemming met de kansverdelingen in figuur 8. Dit betekent dat de harmonische belasting van elke voetganger een andere frequentie en amplitude heeft. De loopsnelheid van een enkele voetganger is gegeven in vergelijking (5). In het geval van groepen lopen alle voetgangers met dezelfde snelheid, gebaseerd op het gemiddelde van de individuele snelheden van alle voetgangers in de groep. Hoewel de loopsnelheid voor alle voetgangers binnen een groep gelijk is wordt de stapfrequentie hierdoor niet beïnvloed. Met andere woorden: er is geen sprake van synchronisatie-effecten. Synchronisatie is het fenomeen dat voetgangers in een groep de neiging hebben om ‘in de pas’ te gaan lopen, dus met dezelfde stapfrequentie. De aanname dat synchronisatie geen rol speelt is correct voor groepen met lage voetgangerdichtheid. Echter, indien de dichtheid toeneemt, zal de complexiteit van de dynamische belasting toenemen en kunnen synchronisatie-effecten wel optreden. Deze effecten zijn met name gerelateerd aan zijdelingse trillingen [9]. Daar staat tegenover dat de loopsnelheid en stapfrequentie in het algemeen lager zijn voor groepen met hoge voetgangerdichtheid wat resulteert in lage dynamische belastingsfactoren en daardoor lage dynamische belasting. 5.
Resultaten
De piekversnelling in elke simulatie is berekend na het toepassen van een responsfilter (0 – 5Hz) om hoogfrequente numerieke ruis weg te nemen. Twee voorbeelden zijn getoond in figuur 10 voor een enkele voetganger en een groep van 24 voetgangers. Beide grafieken hebben betrekking op de respons in het midden van de brug met en zonder TMD. De eerste grafiek heeft betrekking op de respons veroorzaakt door een enkele voetganger met een stapfrequentie van 1.80 stappen per seconde en een loopsnelheid van 1.27 m/s. De piekversnelling wordt gevonden na ongeveer 20 seconden, als de voetganger het midden van de brug bereikt (20 s x 1.27 m/s ≈ 25 m). Voor een groep voetgangers is de respons minder vanzelfsprekend zoals blijkt uit figuur 10 (onder). De voetgangers in deze groep van 24 lopen elk met een andere stapfrequentie maar met een gemiddelde loopsnelheid van 1.12 m/s. In dit geval treedt de
piekversnelling op na 20 seconden, ruim voordat de groep het midden van de brug bereikt (20 sx1,12 m/s = 22,4m < 25 m). . zonder TMD met TMD
versnelling [m/s^2]
0,4
.
0,2 0,0
-0,2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 -0,4
tijd [s] zonder TMD met TMD
versnelling [m/s^2]
1,2 0,8 0,4 0,0
-0,4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -0,8 tijd [s]
-1,2
Fig. 10 Voorbeeld van de respons in het midden van de brug veroorzaakt door een enkele voetganger (boven, fs = 1.80 Hz, v = 1.27 m/s) en een groep van 24 voetgangers (onder, v = 1.12 m/s).
De piekversnelling in het midden van de brug voor alle 500 steekproeven zijn weergegeven in figuur 11 door middel van een histogram per belastingsgeval. Deze grafieken zijn gebruikt om het dynamische gedrag van de brug en het effect van de TMD te beoordelen. Criteria voor het beperken van trillingshinder worden gewoonlijk uitgedrukt in versnelling. De British Standard BS5400 bijvoorbeeld geeft als trillingseis: a = 0.5√f1 waarin f1 de fundamentele eigenfrequentie betreft (hier geldt 0.5√1.79 = 0.67 m/s2). Ontwerpeisen gebaseerd op een piekversnelling zijn veilig maar resulteren veelal in zeer conservatieve constructies. Er is daarom een 95%-responslimiet geïntroduceerd om de geringe aantal zeer hoge piekwaarden te negeren. Deze 95%-responslimiet kan worden vergeleken met de trillingseis. belastingsgeval 1: Enkele voetganger met TMD
30
zonder TMD
20 10
2,0
1,9
1,8
1,7
1,6
1,5
1,4
1,3
1,2
1,1
1,0
0,9
piekversnelling [m/s2]
.
belastingsgeval 2: 3 voetgangers met TMD
20
zonder TMD
10
piekversnelling [m/s2]
Fig. 11 Respons per belastingsgeval (de schaalverdeling op de verticale as is aangepast voor elk belastingsgeval).
2,0
1,9
1,8
1,7
1,6
1,5
1,4
1,3
1,2
1,1
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0 0,0
% steekproeven
30
.
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0 0,0
% steekproeven
40
belastingsgeval 3: 6 voetgangers met TMD
15
zonder TMD
10 5
2,0
1,9
1,8
1,7
1,6
1,5
1,4
1,3
1,2
1,1
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0 0,0
% steekproeven
20
piekversnelling [m/s2]
.
belastingsgeval 4: 12 voetgangers met TMD
10
zonder TMD
5
2,0
1,9
1,8
1,7
1,6
1,5
1,4
1,3
1,2
1,1
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0 0,0
% steekproeven
15
piekversnelling [m/s2]
.
belastingsgeval 5: 24 voetgangers
met TMD
8
zonder TMD
6 4 2
.
2,0
1,9
1,8
1,7
1,6
1,5
1,4
1,3
1,2
1,1
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0 0,0
% steekproeven
10
piekversnelling [m/s2]
Fig. 11 (vervolg).
Twee parameters (p en q) zoals geïllustreerd in figuur 12 zijn gebruikt om de resultaten te analyseren. De p-waarde verdeelt het histogram in twee gelijke delen van 50% van de steekproeven. Voor grote aantallen voetgangers benadert het histogram een normale verdeling en benadert p het gemiddelde. Voor kleine aantallen voetgangers ligt p dichtbij, maar is niet noodzakelijk gelijk aan de top van het histogram. De q-waarde verdeelt het histogram in twee delen van 95% en 5% van het totaal aantal steekproeven en is gedefinieerd als de 95%-responslimiet. De p- en q-waarden zijn weergegeven in tabel 1 voor de brug met en zonder TMD. Daarnaast is de verhouding tussen de respons met en zonder TMD weergegeven om het effect van de TMD te illustreren. Dit effect voor p en q is gedefinieerd als respectievelijk p_zonder/ p_met TMD en q_zonder / q_met TMD. De factoren β en γ in tabel 1 worden nader toegelicht in paragraaf 6.
Fig. 12 Typering van de responsverdeling voor kleine aantallen voetgangers (links) en grote aantallen voetgangers (rechts).
Tabel 1 Samenvatting van resultaten uit Monte Carlo simulaties (alle waarden zijn uitgedrukt als versnelling in m/s2). Bel. geval
Aantal voetg. (n)
1 2 3 4 5
1 3 6 12 24
6.
Waarden voor p (50%)
Waarden voor q (95%)
β (= p / √n)
γ (= q / √n)
p_zonder TMD
p_met TMD
p_effect TMD
q_zonder TMD
q_met TMD
q_effect TMD
zonder TMD
met TMD
zonder TMD
met TMD
0.075 0.256 0.518 0.782 1.100
0.062 0.170 0.262 0.372 0.522
1.210 1.506 1.977 2.102 2.107
0.499 0.711 0.925 1.329 1.777
0.096 0.221 0.343 0.520 0.739
5.198 3.217 2.697 2.556 2.405
0.075 0.147 0.211 0.226 0.225
0.062 0.098 0.107 0.107 0.107
0.499 0.410 0.378 0.384 0.363
0.096 0.128 0.140 0.150 0.151
Interpretatie van resultaten
De resultaten in tabel 1 zijn geïnterpreteerd door middel van de grafieken in figuur 13. De grafieken laten zien dat in alle gevallen de respons voor groepen significant hoger is dan voor een enkele voetganger. De respons kan worden benaderd door formules van de vorm p = β√n en q = γ√n waarin n het aantal voetgangers betreft. De factoren β en γ kunnen dan worden teruggerekend uit respectievelijk p enq (zie Tabel 1). Voor grote aantallen voetgangers benadert β 0.23 voor de brug zonder TMD en 0.11 voor de brug met TMD. Voor γ zijn deze waarden respectievelijk 0.36 en 0.15. Naar verwachting zijn β en γ afhankelijk van de brugeigenschappen. De factor √n komt overeen met [10] waar dezelfde factor is afgeleid. Hier dient vermeld te worden dat de standaardafwijking van de fout in de q-waarde vrij groot is door het geringe aantal steekproeven. q_zonder TMD (gebaseerd op simulaties) q_zonder TMD (benadering: 0.36√n) p_zonder TMD (gebaseerd op simulaties) p_zonder TMD (benadering: 0.23√n) q_met TMD (gebaseerd op simulaties) q_met TMD (benadering: 0.15√n) p_met TMD (gebaseerd op simulaties) p_met TMD (benadering: 0.11√n)
2,0
1,6
p, q [m/s^2]
1,2
0,8
0,4
0,0 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Aantal voetgangers
Fig. 13 Respons in relatie tot het aantal voetgangers.
p_effect TMD q_effect TMD
Tabel 1 illustreert dat de respons van de brug met TMD significant lager is dan de respons van de brug zonder TMD. Dit effect kan worden toegelicht door de verhouding tussen de respons met en zonder TMD voor p en q. Deze verhouding is weergegeven in figuur 14 voor elk belastingsgeval. De grafiek laat zien dat voor grote groepen, de verhouding voor p een constante waarde van 2.1 nadert. De verhouding voor q convergeert langzamer en zou naar een lagere waarde dan 2.4 kunnen convergeren. 6 5 4 3 2 1 0
q_effect TMD p_effect TMD
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11 12 13 14 15 Aantal voetgangers
16
Fig. 14 Effect van een TMD voor een toenemend aantal voetgangers voor p en q.
17
18
19
20
21
22
23
24
De grafieken in figuur 14 tonen afwijkingen van de constante waarden 2.1 en 2.4 voor kleine aantallen voetgangers. Hetzelfde fenomeen kan worden waargenomen in figuur 13 waarin de benaderende lijnen gebaseerd op √n voor kleine aantallen voetgangers afwijken. Dit kan worden verklaard doordat de responsverdeling verschuift van een asymmetrische vorm voor een enkele voetganger naar een symmetrische vorm voor groepen voetgangers. Dit fenomeen kan worden waargenomen in figuur 11 voor de respons zonder TMD en is schematisch weergegeven in figuur 15.
Fig. 15 Verandering in responsverdeling van een asymmetrische vorm voor een enkele voetganger naar een symmetrische vorm voor een groep voetgangers.
De vorm van de responsverdeling wordt gedomineerd door de kans dat de stapfrequentie van een voetganger overeenkomt met de eigenfrequentie van de brug. Dit fenomeen is geïllustreerd in de figuren 16 en 17. Deze figuren tonen de respons met alle stapfrequenties zoals van toepassing in belastingsgeval 1 (figuur 16) en belastingsgeval 2 (figuur 17). Voor een enkele voetganger die over een brug loopt zonder TMD (figuur 16, links), worden hoge versnellingen alleen waargenomen als de stapfrequentie van de voetganger dicht bij de eigenfrequentie van de brug ligt. Daardoor veroorzaakt de meerderheid van de voetgangers minimale trillingen wat resulteert in een grote, asymmetrische piek in het responspatroon zoals weergegeven in figuur 16 (links). Echter, voor groepen voetgangers is de kans groter dat de stapfrequentie van één van de voetgangers in de groep overeenkomt met de eigenfrequentie. De andere voetgangers in de groep ervaren dezelfde respons. Met andere woorden: een voetganger met een stapfrequentie die niet overeenkomt met de eigenfrequentie van de brug ervaart ook grote trillingen indien de stapfrequentie van één van de overige voetgangers in de groep wel overeenkomt met de eigenfrequentie van de brug. Dit verklaart de grote spreiding en de normale verdeling in figuur 17 (links). 1,6 voetganger 1 1,2 0,8 0,4 0,0
Piekversnelling [m/s^2]
Piekversnelling [m/s^2]
1,6
voetganger 1 1,2 0,8 0,4 0,0
1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4
1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4
Stapfrequentie [Hz]
Stapfrequentie [Hz]
Fig. 16 Stapfrequenties van toepassing in belastingsgeval 1 (enkele voetganger) zonder TMD (links) en met TMD (rechts).
1,2
1,6
voetganger 1 voetganger 2 voetganger 3
0,8 0,4 0,0 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 Stapfrequentie [Hz]
Piekversnelling [m/s^2]
Piekversnelling [m/s^2]
1,6
voetganger 1 voetganger 2
1,2
voetganger 3 0,8 0,4 0,0 1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
Stapfrequentie [Hz]
Fig. 17 Stapfrequenties van toepassing in belastingsgeval 2 (groepen van drie voetgangers) zonder TMD (links) en met TMD (rechts).
De 95%-responslimiet inclusief een TMD voor een groep van 24 voetgangers bedraagt ongeveer 0.74 m/s2 (tabel 1). Dit is hoger dan de trillingseis zoals gesteld in BS5400: 0.5√1.79 = 0.67 m/s2. De brug voldoet dus net niet voor grote
aantallen voetgangers. Voor kleinere aantallen voldoet de brug wel (zie tabel 1). Het toepassen van een zwaardere TMD kan de respons verder reduceren. Zonder TMD is de 95%responslimiet 1,78 m/s2 voor grote aantallen voetgangers en voldoet de brug niet aan de trillingseis. Dit is ook het geval bij kleine aantallen voetgangers. Alleen bij één voetganger wordt aan de trillingseis van BS5400 voldaan. 7.
Conclusies & Aanbevelingen
Het effect van een ‘tuned mass’-demper (TMD) is geanalyseerd op basis van een eenvoudig type voetgangersbrug, belast door een enkele voetganger en diverse groepen voetgangers. Er is aangetoond dat het effect van een TMD afhangt van het aantal voetgangers. Voor grote groepen voetgangers bedraagt de reductie van de 50%-responslimiet circa een factor 2.1. Voor een nauwkeurige bepaling van de 95%-responslimiet zijn meer steekproeven noodzakelijk. Een toenemend aantal voetgangers resulteert in een toename van de respons. Dit groepseffect wordt gekenmerkt door een factor ter grote van de wortel uit het aantal voetgangers. Dit impliceert dat hogere versnellingen worden verwacht voor groepen met meer dan 24 voetgangers. Echter, de dynamische belasting wordt complexer naarmate de dichtheid van voetgangers toeneemt. Ten eerste zal de loopsnelheid verminderen, wat resulteert in een lagere dynamische belasting. Ten tweede wordt een zekere mate van synchronisatie verwacht wat resulteert in een toename van de respons. Deze fenomenen behoeven nader onderzoek. 8.
Dankwoord
Dit artikel is onderdeel van een MSc-afstudeerproject wat is uitgevoerd onder begeleiding van de Technische Universiteit Eindhoven in samenwerking met Movares Nederland B.V., het ingenieursbureau wat zich met name richt op mobiliteitsvraagstukken. De volgende personen hebben een waardevolle bijdrage aan dit project geleverd: László Vákár initieerde en begeleide het project. Daarnaast heeft Wybo Gardien geassisteerd bij het computerprogramma Balkmodel. 9.
Referenties
[1]
BREMAN C., SNIJDER, H.H., STUIT, H.G., BAKKER, M.C.M., Effect of a Tuned Mass Damper in Footbridge Design, Proceedings of the third international conference on Footbridge 2008 - Footbridges for urban renewal, editors E. Caetano & A. Cunha, Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto (FEUP), Porto, Portugal, 2008, pp. 309-310 and 10 pages on CD.
[2]
GARDIEN W., Walsschot C.P.L., Handleiding Spoormodel, Movares Nederland B.V., Utrecht, 2001.
[3]
BACHMANN H., Ammann W., Vibrations in Structures - Induced by Man and Machines, Structural Engineering Documents, Vol. 3e, International Association of Bridge and Structural Engineering (IABSE), Zürich, 1987.
[4]
DEN HARTOG J.P., Mechanical Vibrations, McGraw-Hill, New York, 1940.
[5]
BACHMANN H., Weber B., Tuned Vibration Absorbers for "Lively" Structures, Structural Engineering International 5, 1995 (1), pp. 31-36.
[6]
BUTZ E.C., Beitrag zur Berechnung fußgängerinduzierter Brückenschwingungen, PhD thesis, RWTH Aachen, 2006.
[7]
ŽIVANOVIĆ S., Probability-based prediction of multi-mode vibration response to walking excitation, Engineering Structures, Vol. 29, No. 6, June 2007, pp. 942-954.
[8]
KERR S.C., Human induced loading on staircases, PhD thesis, University College London, 1998.
[9]
NAKAMURA S., Model for Lateral Excitation of Footbridges by Synchronous Walking, Journal of Structural Engineering, January 2004, pp. 32-37.
[10]
MATSUMOTO Y., Nishioka, T., Shiojiri, H. Matsuzaki, K., Dynamic design of footbridges, IABSE Proceedings, No. P-17/78, 1978, pp. 1-15.
