Efek de Haas-Van Alphen

Efek de Haas-Van Alphen • Diagmagnetisasi Landau pada suhu rendah menimbulkan efek osilasi dari susceptibilitas magnetik ketika medan magnet luar diturunkan, efek ini disebut efek de Haas-Van Alphen. • Secara prinsip penyebabnya adalah karena Level Landau yg di bawah sudah penuh sehingga elektron harus melompat mengisi level Landau yang berikutnya. • Telah diturunkan definisi 𝑔 =

𝑒𝐻 2 𝐿 ℎ𝑐

dan 𝜔0 =

𝑒𝐻 . 𝑚𝑐

• Untuk level Landau-j energi (mengabaikan gerak arah Z): • 𝜖𝑗 = ℏ𝜔0 𝑗 +

1 2

=

ℏ𝑒𝐻 𝑚𝑐

𝑗+

1 2

Efek de Haas-Van Alphen eℏ

• Dengan definisi Bohr magneton, 𝜇0 = maka ungkapan 2𝑚𝑐 energi dapat dituliskan:

• 𝜖𝑗 = 2𝜇0 𝐻(𝑗 + tsb : • 𝑔=

𝑒𝐻 2 𝐿 ℎ𝑐

=

1 ), 2

𝐻𝐿2 ℎ𝑐 𝑒

=

sedangkan degenerasi dari level Landau 𝐻𝐿2 ℎ𝑐 𝑒

• Definisikan n=N/L2 jumlah elektron persatuan luas (dibidang XY), maka : • 𝑔=

𝐻𝑁 𝑛ℎ𝑐/𝑒

=𝑁

𝐻 𝐻0

dengan 𝐻0 = 𝑛ℎ𝑐/𝑒.

Efek de Haas-Val Alphen • H0 : besar medan magnet H batas, jikalau H>H0 maka seluruh N partikel dapat ditampung dalam 1 level Landau. • Jika H>H0 maka seluruh partikel (N) dapat ditampung pada level Landau terendah (ground state), sebab g>N. • Energi ground state per partikel adalah:

•

𝐸0 𝑁

= 𝜇0 𝐻 (kasus j=0, dengan kondisi H>H0).

• Jika H
Efek de Haas-Val Alphen • Misal H sedemikian sehingga sebanyak j level Landau terendah terisi penuh, lalu level (j+1) terisi sebagian dan level lebih tinggi kosong. Maka syarat bagi H semacam ini adalah: •

𝑗 + 1 𝑔 < 𝑁 < 𝑗 + 2 𝑔 𝑎𝑡𝑎𝑢

𝑗+1 <

𝑁 𝑔

< 𝑗+2

atau

•

1 𝑗+2

<

𝐻 𝐻0

<

1 𝑗+1

• Untuk H dalam interval yg disebutkan, maka energi per partikel: • E0 = {energi level-0 ds level-j}+{energi sisa partikel yg menempati level-(j+1)}

Energi Per Partikel • 𝐸0 = 𝑔

𝑗 𝑖=0 𝜖𝑖

+ 𝑁 − 𝑗 + 1 𝑔 𝜖𝑗+1 1

• Dengan 𝜖𝑖 = 2𝜇0 𝐻(𝑖 + ) dan 𝑔 = 𝑁𝐻/𝐻0 dapat 2 ditunjukkan: • 𝐸0 = 𝜇0 𝑁𝐻 2𝑗 + 3 − 𝑗 + 1 𝑗 + 2

• Ini untuk

1 𝑗+2

<

𝐻 𝐻0

<

1 𝑗+1

1 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑗+2

𝐻 𝐻0

<𝑥<

1 𝑗+1

dengan

x=H/H0, sehingga untuk kondisi ini (x<1): • 𝐸0 /𝑁 = 𝜇0 𝐻0 𝑥 2𝑗 + 3 − 𝑗 + 1 𝑗 + 2 𝑥 • Sedangkan untuk H>H0 atau x>1, maka seluruh partikel di ground state:

• 𝐸0 = 𝑁𝜇0 𝐻 𝑎𝑡𝑎𝑢

𝐸0 𝑁

= 𝜇0 𝐻0 𝑥

Energi, Magnetisasi dan Susceptibilitas 𝐸0 = 𝑁

𝜇0 𝐻0 𝑥 𝜇0 𝐻0 𝑥 2𝑗 + 3 − 𝑗 + 1 𝑗 + 2 𝑥

Sedangkan magnetisasi per volum

𝑀 : 𝑉

=−

𝜕𝐸0 𝑁

−𝜇0

𝑀=

−𝜇0 2𝑗 + 3 − 2 𝑗 + 1 𝑗 + 2 𝑥

Susceptibilitas per volum :𝜒 = −

0 𝜒=

𝑥>1 1 1 𝑥 <1& <𝑥< 𝑗+2 𝑗+1

2𝜇0 𝑗+1 𝑗+2 H0

𝜕𝑀 𝜕𝐻

=−

𝜕𝐻

=−

1 𝜕𝐸0 /𝑁 , 𝐻0 𝜕𝑥

𝑥>1 1 1 𝑥 <1& <𝑥< 𝑗+2 𝑗+1

1 𝜕𝑀 , 𝐻0 𝜕𝑥

𝑥>1 1 1 𝑥 <1& <𝑥< 𝑗+2 𝑗+1

Efek De Haas – Van Alphen

x

x

Paramagnetism Pauli • Gejala paramagnetism yg bersumber pada induksi elektron bebas oleh medan magnet luar. Bandingkan dengan paramagnetism Curier (pierre!) yg terkait dengan elektron yg terlokalisir. • Mekanisme mikro yg menyebabkan timbulnya paramagnetism Pauli ini adalah karena pada elektron bebas, ketika dipengaruhi oleh medan magnet luar maka density of states dari elektron yg parallel dan anti parallel mengalami shifting (lihat gbr)

Paramagnetism Pauli • . Sedangkan tingkat Fermi (top level) tetap, maka sebagian dari elektron yg parallel yg energinya > energi Fermi akan mengalami flipping sehingga menjadi anti paralel. Sebagai akibatnya terjadi perbedaan DOS dari paralel states dan anti paralel state, yg menyebabkan nett magnetisasi.

Paramagnetism Pauli • Hamiltonian dari elektron bebas di bawah pengaruh medan magnet H, diberikan oleh:

1 = 2𝑚

𝒑

𝟐 𝑒 + 𝑨 𝑐

− 𝜇0 𝝈. 𝑯

• Dengan 𝜇𝑜 = 𝑒ℏ/2𝑚𝑐 dan  matrix spin Pauli. Suku pertama terkait dengan diamagnetism, sedangkan yg kedua dengan paramagnetism. • Energi satu elektron bebas terkait dengan spin Pauli adalah: •

𝜖𝒑,𝑠 =

𝑝2 2𝑚

− 𝑠𝜇0 𝐻

dengan s=1

• Energi total sistem N elektron bebas diberikan oleh: 𝐸 𝑛𝒑,𝑠 =

𝜖𝒑,𝑠 𝑛𝒑,𝑠 𝒑,𝑠

Paramagnetism Pauli Sebagai Fermion maka elektron dengan spin ½ tunduk pada persamaan: 𝑃 𝑘𝑇

=

2 𝑓 𝜆3 5/2

(𝑧) dan

1 𝑣

=

2 𝑓 𝜆3 3/2

(𝑧)

• Dengan definisi: 𝑓3/2 𝑧𝑚

4 = 𝜋

∞

𝑑𝑥 0

Dimana 𝑧𝑚 = 𝑧𝑒 ±𝛽𝜇0 𝐻 dan 𝑧 = 𝑒 𝛽𝜇 .

𝑥2 −1 𝑥 2 𝑧𝑚 𝑒 +1

Rapat Spin Up/Down Karena energi perspin s diberikan oleh Es = s0H, maka 𝜕𝐸 𝜕𝐻

magnetisasi per spin adalah m = = 𝑠𝜇0 . Dan magnetisasi total menjadi: 𝑀 = 𝜇0 𝑁+ − 𝑁− Dengan N+/- adalah jumlah spin up/down, untuk masing-masing spin diberikan oleh : 1 𝑁+ 1 = = 3 𝑓3/2 ( 𝑧𝑒 𝛽𝜇0 𝐻 ) 𝑣+ 𝑉 𝜆 1 𝑁− 1 = = 3 𝑓3/2 ( 𝑧𝑒 −𝛽𝜇0 𝐻 ) 𝑣− 𝑉 𝜆

Magnetisasi Suhu Tinggi • Kasus T>> (suhu tinggi) H<< medan lemah. Jika suhu tinggi dan medan H relatif kecil, maka z kecil sehingga boleh didekati: 𝑓3/2 𝑧 ≈ 𝑧 Magnetisasi menjadi: 𝜇0 𝑉 𝑀 = 3 [ 𝑓3 𝑧𝑒 𝛽𝜇0 𝐻 − 𝑓3 (𝑧𝑒 −𝛽𝜇0 𝐻 )] 𝜆 2 2 𝜇0 𝑉 2𝜇0 𝑉 𝛽𝜇 𝐻 −𝛽𝜇 𝐻 0 0 𝑀≈ 3 𝑧𝑒 −𝑒 = 3 𝑧sinh(𝛽𝜇0 𝐻) 𝜆 𝜆 Parameter z bisa dieliminasi dengan bantuan jumlah total spin =N

Magnetisasi Suhu Tinggi 2𝑉𝑧 𝑁 = 𝑁+ + 𝑁− ≈ 3 cosh(𝛽𝜇0 𝐻) 𝜆 Sehingga diperoleh : 𝑀 ≈ 𝜇0 N tanh(𝛽𝜇0 𝐻) • Pada suhu tinggi medan H kecil, maka aproksimasi tanh 𝑥 ≈ 𝑥 akan menghasilkan : • 𝑀≈

𝜇02 𝑁𝛽𝐻

=

𝜇02 𝑁 𝐻 𝑘𝑇

Susceptibiltas Suhu Tinggi • Susceptibilitas magnetiknya menjadi: • 𝜒=

𝜕𝑀 𝜕𝐻

≈

𝜇02 𝑁 𝑘𝑇

• Atau susceptibilitas per unit volum:𝜒 ≈

𝜇02 𝑘𝑇𝑣

• Dengan v=V/N. Hasil ini sama dengan kalau diturunkan untuk kasus klasik dengan spin lokal up/down menggunakan distribusi Boltzmann yang dikenal dengan hukum Curie (Pierre!). Jadi efek kuantum tidak signifikan pada suhu tinggi.

Kasus Ground State • Kasus Ground State • Pada suhu rendah sekali (ground state) maka z>>, sehingga aproksimasi yang dipergunakan adalah: 3 1 4 𝜋2 − 𝑓3/2 𝑧 = [ ln 𝑧 2 + ln 𝑧 2 + ⋯ ] 8 3 𝜋 Pada suhu rendah sekali, kita ambil suku pertama saja sehingga: 3 4 𝑓3/2 𝑧 ≈ [ ln 𝑧 2 3 𝜋 Maka untuk kasus ini: 4 ±𝛽𝜇 𝐻 0 𝑓3 𝑧𝑒 ≈ ln 𝑧 ± 𝛽𝜇0 𝐻 3/2 3 𝜋 2

Kasus Ground State Seperti pernah diturunkan pada suhu rendah 𝑧 ≈ 𝑒 𝛽𝜖𝐹 dengan 𝜖𝐹 : energi Fermi. Berarti dalam kasus ini: 𝜆3 4 ≈2∗ 𝛽𝜖𝐹 3/2 𝑣 3 𝜋 Magnetisasi menjadi: 𝜇0 𝑉 𝑀 = 3 [ 𝑓3 𝑧𝑒 𝛽𝜇0 𝐻 − 𝑓3 (𝑧𝑒 −𝛽𝜇0 𝐻 )] 𝜆 2 2 Memakai aproksimasi suhu rendah: 𝑀≈

𝜇0 𝑁 4∗2

3 𝜋 𝛽𝜖𝐹

4 3/2 3 𝜋 [

𝛽𝜖𝐹 + 𝛽𝜇0 𝐻

3/2

− 𝛽𝜖𝐹 − 𝛽𝜇0 𝐻

3/2

]

Magnetisasi & Susceptibilitas Ground State Jikalau 𝜖𝐹 ≫ 𝛽𝜇0 𝐻 maka :

𝑀≈

𝜇0 𝑁

3/2 3/2 𝜖𝐹 [ 3/2 𝛽 3/2 2𝛽 𝜖 𝐹

𝑀≈

3𝑁𝜇02 𝐻 2𝜖𝐹

≈

1+

𝛽𝜇0 𝐻 𝜖𝐹

3 2

− 1

𝛽𝜇0 𝐻 − 𝜖𝐹

3 2

]

3𝑁𝜇02 𝐻 2𝜖𝐹

Atau susceptibilitasnya : 𝜒=

𝜒≈

𝜕𝑀 3𝑁𝜇02 ≈ 𝜕𝐻 2𝜖𝐹 2 3𝜇0 2𝜖𝐹 𝑣

atau susceptibilitas per unit volum