Řešení diferenciálních rovnic 1. řádu

Diferenciální rovnice 1. řádu • Metoda separace promˇ enn´ ych • Line´ arn´ı diferenci´ aln´ı rovnice 1. ˇ r´ adu • Reˇ ˇ sen´ı diferenci´ aln´ıch rovnic 1. ˇ r´ adu

. – p.1/13

Metoda separace proměnných xy 2 − x • Pˇ , kter´ e vyhovuje r´ıklad 8.1.1 Naleznˇ ete ˇ reˇ sen´ı diferenci´ aln´ı rovnice y = 2 x y−y poˇ c´ ateˇ cn´ı podm´ınce y( 12 ) = −2 . √ • Pˇ r´ıklad 8.1.2 Naleznˇ ete obecn´ eˇ reˇ sen´ı diferenci´ aln´ı rovnice y = 6x2 y . • Pˇ r´ıklad 8.1.3 Naleznˇ ete ˇ reˇ sen´ı diferenci´ aln´ı rovnice y =

poˇ ca ´teˇ cn´ı podm´ınce y(0) = −1 .

x , kter´ e vyhovuje 2y + 1 Zpˇ et

. – p.2/13

Příklad 8.1.1 xy 2 − x , kter´ e vyhovuje poˇ ca ´teˇ cn´ı podm´ınce Naleznˇ ete ˇ reˇ sen´ı diferenci´ aln´ı rovnice y = 2 x y−y y( 12 ) = −2 .

?

Zpˇ et

. – p.3/13


Výsledek:

√ y(x) = − 5 − 4x2 ,

x ∈ (−1, 1) .

Zpˇ et

. – p.3/13


Návod: Pouˇ zijeme metodu separace promˇ enn´ ych. Zpˇ et

. – p.3/13


Řešení: Postup rozdˇ el´ıme do ˇ ctyˇ r krok˚ u. 1. krok: Z u ´ pravy

xy 2 − x y = 2 x y−y

⇒

x(y 2 − 1) y = (x2 − 1)y

plyne: g(x) =

x , x = ±1 , x2 − 1

y2 − 1 , y = 0 . h(y) = y 2. krok: Nalezneme vˇ sechna konstantn´ı ˇ reˇ sen´ı. Hledejme koˇreny rovnice h(y) = 0 . y2 − 1 =0 y

⇒

y2 − 1 = 0

⇒

(y − 1)(y + 1) = 0

⇒

y = ±1

Rovnice m´ a konstantn´ı ˇ reˇ sen´ı y(x) = −1 a y(x) = 1 . Ani jedno ovˇ sem nesplˇ nuje 1 poˇ c´ ateˇ cn´ı podm´ınku y( 2 ) = −2 . Dalˇ s´ı . – p.3/13


Řešení: 3. krok: Najdeme obd´ eln´ık, kde je h(y) = 0 a kde leˇ z´ı bod ( 12 , −2) . Tedy 12 ∈ (−1, 1) a −2 ∈ (−∞, −1) . Graf hledan´ eho ˇ reˇ sen´ı leˇ z´ı v obd´ eln´ıku (−1, 1) × (−∞, −1) . Hledejme toto ˇreˇ sen´ı. x(y 2 − 1) y x dy = ⇒ dy = dx ⇒ dx (x2 − 1)y y2 − 1 x2 − 1 ⇒

2y dy = y2 − 1

2x dx x2 − 1

⇒

2

2

ln |y − 1| = ln |x − 1| + C

Spoˇ cteme hodnotu integraˇ cn´ı konstanty: 2

ln |(−2) − 1| = ln |( 12 )2 − 1| + C

⇒

ln 3 − ln( 34 ) = C

⇒

C = ln 4 .

Hledejme d´ al funkˇ cn´ı pˇ redpis ˇ reˇ sen´ı. ln |y 2 −1| = ln |x2 −1|+ln 4

⇒

ln |y 2 −1| = ln 4|x2 −1|

⇒

|y 2 −1| = 4|x2 −1|

Pro x ∈ (−1, 1) je x2 − 1 < 0 a |x2 − 1| = −(x2 − 1) . Pro y ∈ (−∞, −1) je y 2 − 1 > 0 a |y 2 − 1| = y 2 − 1 . 2 2 2 2 y − 1 = −4(x − 1) ⇒ y = 1 − 4(x − 1) ⇒ |y| = 5 − 4x2 Dalˇ s´ı . – p.3/13


Řešení: Funkˇ cn´ı hodnoty hledan´ e funkce leˇ z´ı v intervalu (−∞, −1) , tedy y < 0 . Proto y(x) = − 5 − 4x2 . √ 4. krok: Urˇ c´ıme definiˇ cn´ı obor ˇ reˇ sen´ı. V´ yraz − 5 − 4x2 m´ a smysl, pokud √ √ 5 − 4x2 ≥ 0 ⇒ ( 5 − 2x)( 5 + 2x) ≥ 0 . √

5 2 ,

√

5 Nerovnici ˇ reˇ s´ı x ∈ − cn´ım oborem ˇreˇ sen´ı bude cel´ y 2 ⊃ (−1, 1) . Definiˇ interval (−1, 1) , pokud pro kaˇ zd´ e x ∈ (−1, 1) je y(x) < −1 .

−

5 − 4x2 < −1

⇒

2

5 − 4x > 1

⇒

2

x −1<0

Posledn´ı nerovnost je splnˇ ena pr´ avˇ e na intervalu (−1, 1) . Funkce y(x) = − 5 − 4x2 , x ∈ (−1, 1) xy 2 − x je ˇ reˇ sen´ım rovnice y = 2 vyhovuj´ıc´ım poˇ ca ´teˇ cn´ı podm´ınce y( 12 ) = −2 . x y−y

Zpˇ et

. – p.3/13


Maple: >

DR:=(diff(y(x),x)=(x*(y(x))ˆ2-x)/(xˆ2*y(x)-y(x)));

DR := >

d dx

x y(x)2 − x y(x) = 2 x y(x) − y(x)

PP:=y(0.5)=-2;

PP := y(0.5) = −2 >

dsolve({DR,PP},y(x));

√ y(x) = − 5 − 4 x2

Zpˇ et

. – p.3/13


Mathematica: DR = y [x]==(x(y[x])∧ 2 − x)/(x∧ 2 ∗ y[x] − y[x]) y [x] ==

−x+xy[x]2 −y[x]+x2 y[x]

PP = y[1/2] == −2 y 12 == −2 DSolve[{DR, PP}, y[x], x] Solve::ifun : Inverse functions are being used by Solve, so some solutions may not be found; use Reduce for complete solution information. More. . . Solve::ifun : Inverse functions are being used by Solve, so some solutions may not be found; use Reduce for complete solution information. More. . . DSolve::bvnul : For some branches of the general solution, the given boundary conditions lead to an empty solution. More. . . √ y[x] → − 5 − 4x2 Zpˇ et

. – p.3/13

Příklad 8.1.2 Naleznˇ ete obecn´ eˇ reˇ sen´ı diferenci´ aln´ı rovnice y = 6x2 ?

√ y. Zpˇ et

. – p.4/13

Příklad 8.1.2 Naleznˇ ete obecn´ eˇ reˇ sen´ı diferenci´ aln´ı rovnice y = 6x2

√ y.

Výsledek: y(x) = 0 , x ∈ Ê , 2 yK (x) = x3 + K , K ∈

Ê,

x ∈ (−

√ 3 K, ∞) .

Zpˇ et

. – p.4/13


√ y.


. – p.4/13


√ y.

Řešení: Postup rozdˇ el´ıme do ˇ ctyˇ r krok˚ u. √ 1. krok: g(x) = 6x2 , x ∈ Ê , h(y) = y , y ∈ 0, ∞). 2. krok: Koˇ reny rovnice h(y) = 0 odpov´ıdaj´ı konstantn´ım ˇ reˇ sen´ım. √ y=0 ⇒ y=0 Rovnice m´ a jedno konstantn´ı ˇ reˇ sen´ı y(x) = 0 , x ∈

Ê.

3. krok: V obd´ eln´ıku (−∞, ∞) × (0, ∞) je h(y) = 0 . Tam leˇ z´ı grafy hledan´ ych ˇ reˇ sen´ı. Najdˇ eme je. dy 1 2√ 2 −1 2 = 6x y 6x dx ⇒ ⇒ y 2 dy = 6x dx ⇒ √ dy = dx y 1 1 C ⇒ 2y 2 = 2x3 + C ⇒ y 2 = x3 + 2 C cme K . Z posledn´ı rovnosti vyj´ adˇ r´ıme y . Umocnˇ en´ı Integraˇ cn´ı konstantu 2 oznaˇ na druhou je ekvivalentn´ı u ´ prava pouze tehdy, kdyˇ z obˇ e strany rovnice jsou kladn´ e 1

yt x3 + K > 0 . Tedy nebo z´ aporn´ e. Protoˇ ze y 2 > 0 , mus´ı b´

2 3 yK (x) = x + K , x3 + K > 0 , K ∈

Ê.

ˇ sen´ı existuje pro vˇ 4. krok: Reˇ sechna re´ aln´ a x , pro kter´ a x3 + K > 0 , tedy pro x > − 2 ym Nav´ıc mus´ı platit nerovnost y > 0 a z´ aroveˇ n plat´ı x3 + K > 0 . Obecn´ √ 3 2 3 , x ∈ (− K, ∞) plus ˇ reˇ sen´ım rovnice je mnoˇ zina funkc´ı yK (x) = x + K konstantn´ı ˇ reˇ sen´ı y(x) = 0 , x ∈ Ê . Zpˇ et

√ 3 K.

. – p.4/13


√ y.

Maple: >

DR:=(diff(y(x),x)=6*xˆ2*sqrt(y(x)));

DR := >

dsolve(DR,y(x));

d dx

y(x) = 6 x2

y(x)

y(x) − x3 − C1 = 0

Zpˇ et

. – p.4/13


√ y.

Mathematica: DR = y [x] == 6x∧ 2Sqrt[y[x]] y [x] == 6x2 y[x] DSolve[DR, y[x], x] y[x] → 14 4x6 + 4x3 C[1] + C[1]2 Simplify[%] 2 3 1 y[x] → 4 2x + C[1] Lehce se m˚ uˇ zete pˇ resvˇ edˇ cit, ˇ ze ˇ reˇ sen´ı je stejn´ e jako v naˇ sem v´ ypoˇ ctu. Zpˇ et

. – p.4/13

Příklad 8.1.3

Naleznˇ ete ˇ reˇ sen´ı diferenci´ aln´ı rovnice y = y(0) = −1 . ?

x , kter´ e vyhovuje poˇ c´ ateˇ cn´ı podm´ınce 2y + 1 Zpˇ et

. – p.5/13

Příklad 8.1.3

Naleznˇ ete ˇ reˇ sen´ı diferenci´ aln´ı rovnice y = y(0) = −1 .

Výsledek: y(x) = −

1+

√ 2x2 + 1 , 2

x∈

x , kter´ e vyhovuje poˇ c´ ateˇ cn´ı podm´ınce 2y + 1

Ê.

Zpˇ et

. – p.5/13

Příklad 8.1.3




. – p.5/13

Příklad 8.1.3



Řešení: Postup rozdˇ el´ıme do tˇ r´ı krok˚ u. 1. krok: Prav´ a strana rovnice je ve tvaru g(x) · h(y), kde g(x) = x , x ∈ Ê , 1 1 h(y) = , y = − . 2y + 1 2 2. krok: Protoˇ ze vˇ zdy h(y) = 0 , rovnice nem´ aˇ za ´dn´ e konstantn´ı ˇ reˇ sen´ı. 3. krok: Najdeme obd´ eln´ık, kde je h(y) = 0 a kde leˇ z´ı bod (0, −1) . Protoˇ ze 1 −1 ∈ (−∞, − 2 ) , leˇ z´ı graf hledan´ eho ˇ reˇ sen´ı v obd´ eln´ıku (−∞, ∞) × (−∞, − 12 ) . Hledejme toto ˇreˇ sen´ı. dy x = dx 2y + 1

⇒

x dx

(2y + 1) dy =

⇒

x2 y +y = +C 2 2

Spoˇ cteme hodnotu integraˇ cn´ı konstanty: 02 (−1) − 1 = +C 2 2

⇒

C = 0.

Dalˇ s´ı . – p.5/13

Příklad 8.1.3



Řešení: Hledejme d´ al funkˇ cn´ı pˇ redpis ˇ reˇ sen´ı. Mus´ıme vyˇ reˇ sit kvadratickou rovnici pro nezn´ amou y. x2 2 =0 y +y− 2

⇒

D =1−4

x2 − 2

2

= 1 + 2x

⇒

y1,2 =

−1 ±

√

1 + 2x2 2

azkou z˚ ust´ av´ a, kter´ e Pro vˇ sechna re´ aln´ a x je diskriminat kladn´ y ( D = 1 + 2x2 > 0 ). Ot´ 1 y je ˇ reˇ sen´ı. Funkˇ cn´ı hodnoty hledan´ e funkce leˇ z´ı v intervalu (−∞, − 2 ) , tedy chceme, 1 aby y1,2 < − 2 , tj. −1 ±

√ 1 1 + 2x2 <− 2 2

⇒

±

1 + 2x2 < 0 .

ˇ sen´ım je tedy funkce Posledn´ı nerovnost je splnˇ ena pouze pro znam´ enko m´ınus. Reˇ y(x) =

−1 −

√ 1 + 2x2 , 2

x∈

Ê.

Zpˇ et

. – p.5/13

Příklad 8.1.3



Maple: >

DR:=(diff(y(x),x)=(x)/(2*y(x)+1));

DR := >

d dx

y(x) =

x 2 y(x) + 1

PP:=y(0)=-1;

PP := y(0) = −1 >


1 y(x) = − − 2

√ 1 + 2 x2 2

Zpˇ et

. – p.5/13

Příklad 8.1.3


Mathematica:

y[x] →

1 4

3

2x + C[1]


2

DR = y [x] == x/(2y[x] + 1) y [x] ==

x 1+2y[x]

PP = y[0] == −1 y[0] == −1 DSolve[{DR, PP}, y[x], x] DSolve::bvnul : For some branches of the general solution, the given boundary conditions lead to an empty solution. More. . .

√ y[x] → 12 −1 − 1 + 2x2 Zpˇ et

. – p.5/13

Lineární diferenciální rovnice 1. řádu • Pˇ r´ıklad 8.2.1 Naleznˇ ete ˇ reˇ sen´ı diferenci´ aln´ı rovnice poˇ c´ ateˇ cn´ı podm´ınce y(0) = 7 .

1 2

y − xy = x , kter´ e vyhovuje

2y + x • Pˇ . r´ıklad 8.2.2 Naleznˇ ete vˇ sechna ˇ reˇ sen´ı diferenci´ aln´ı rovnice y = x • Pˇ e r´ıklad 8.2.3 Naleznˇ ete ˇ reˇ sen´ı diferenci´ aln´ı rovnice (1 + x) y + xy = 0 , kter´ vyhovuje poˇ c´ ateˇ cn´ı podm´ınce y(0) = 10 .

Zpˇ et

. – p.6/13

Příklad 8.2.1 Naleznˇ ete ˇ reˇ sen´ı diferenci´ aln´ı rovnice y(0) = 7 . ?

1 2

y − xy = x , kter´ e vyhovuje poˇ c´ ateˇ cn´ı podm´ınce Zpˇ et

. – p.7/13

Příklad 8.2.1 Naleznˇ ete ˇ reˇ sen´ı diferenci´ aln´ı rovnice y(0) = 7 .

1 2

y − xy = x , kter´ e vyhovuje poˇ c´ ateˇ cn´ı podm´ınce

Výsledek: 2

y(x) = 8e x − 1 ,

x∈

Ê.

Zpˇ et

. – p.7/13


1 2


Návod: ˇ sen´ı line´ a) Reˇ arn´ı diferenci´ aln´ı rovnice y + a(x)y = b(x) m´ a tvar y(x) = yH (x) + yP (x) , kde yH (x) je obecn´ eˇ reˇ sen´ı pˇ riˇ razen´ e homogenn´ı diferenci´ aln´ı rovnice a yP (x) je partikul´ arn´ı (jedno) ˇ reˇ sen´ı dan´ e rovnice. Obecn´ eˇ reˇ sen´ı yH (x) hled´ ame metodou separace promˇ enn´ ych a v´ıme, ˇ ze yH (x) = Cϕ(x) , kde ϕ(x) je jedno ˇ reˇ sen´ı pˇ riˇ razen´ e homogenn´ı rovnice. Partikul´ arn´ı ˇ reˇ sen´ı yP (x) hled´ ame ve tvaru yP (x) = C(x)ϕ(x) tzv. metodou variace konstanty. b) V tomto pˇ r´ıpadˇ e lze tak´ e pouˇ z´ıt metodu separace promˇ enn´ ych. Zpˇ et

. – p.7/13


1 2


Řešení: Postupujeme ve ˇ ctyˇ rech kroc´ıch. Zadenou NLDR (Nehomogenn´ı Line´ arn´ı Diferenci´ aln´ı Rovnici) pˇ revedeme na tvar y − 2xy = 2x , k n´ı pˇ riˇ razen´ a homogenn´ı rovnice je y − 2xy = 0 . 1. krok: Hledejme metodou separace promˇ enn´ ych ϕ(x) , jedno nenulov´ eˇ reˇ sen´ı pˇ riˇ razen´ e homogenn´ı rovnice. dy 1 2 x2 = 2xy ⇒ dy = 2x dx ⇒ ln |y| = x ⇒ |y| = e ⇒ dx y 2

⇒ napˇr. y = ϕ(x) = e x . Integraˇ cn´ı konstantu jsme nepsali, protoˇ ze hled´ ame jedno ˇ reˇ sen´ı ϕ(x) . Tedy yH (x) = Ce

x2

.

2. krok: Partikul´ arn´ı ˇ reˇ sen´ı dan´ e nehomogenn´ı line´ arn´ı rovnice hled´ ame ve tvaru souˇ cinu 2

yP (x) = C(x) ϕ(x) = C(x)e x , kde C(x) je nezn´ am´ a funkce, tj. v yH (x) nahrad´ıme konstantu C funkc´ı. Hledejme ji. Chceme, aby yP (x) bylo ˇ reˇ sen´ı NLDR. Spoˇ cteme y (x) : P Dalˇ s´ı . – p.7/13


1 2


Řešení: 2

2

y (x) = C (x)e x + C(x)2xe x P

y − 2xy = 2x ⇒

⇒

a dosad´ıme y (x) a yP (x) do rovnice.

C (x)e 2

C (x) = 2xe −x

⇒

P

x2

x2

+ C(x)2xe − 2xC(x)e 2 C(x) = 2xe −x dx ⇒

x2

= 2x

⇒ 2

C(x) = −e −x

Integraˇ cn´ı konstantu nep´ıˇ seme, nebot’ hled´ ame jedno ˇ reˇ sen´ı yP (x) , tedy jednu funkci C(x) . Dosad´ıme za C(x) . Partikul´ arn´ı ˇ reˇ sen´ı je yP (x) = −e

−x2

e

x2

= −1 .

3. krok: V´ ysledky kroku jedna a dva d´ avaj´ı obecn´ eˇ reˇ sen´ı zadan´ e rovnice y(x) = yH (x) + yP (x) = Ce

x2

− 1.

Prav´ a strana NLDR ( b(x) = 2x ) a koeficient u y ( a(x) = 2x ) jsou spojit´ e funkce cn´ı obor ˇ reˇ sen´ı je Ê . na Ê . Tedy definiˇ 4. krok: Ze vˇ sech nalezen´ ych ˇ reˇ sen´ı (obecn´ eho ˇ reˇ sen´ı NLDR) vybereme jedno, kter´ e splˇ nuje poˇ c´ ateˇ cn´ı podm´ınku y(0) = 7 . 0

7 = Ce − 1

⇒

C = 8.

2 ˇ sen´ım dan´ Reˇ e poˇ ca ´teˇ cn´ı u ´ lohy je funkce y(x) = 8e x − 1 , x ∈

Ê.

Zpˇ et . – p.7/13


1 2


Maple: >

DR:=(0.5*diff(y(x),x)-x*y(x)=x); d DR := 0.5 ( dx y(x)) − x y(x) = x

>

PP:=y(0)=7;

PP := y(0) = 7 >

dsolve({DR,PP},y(x)); 2)

y(x) = −1 + 8 e(x Zpˇ et

. – p.7/13


1 2


Mathematica: DR = y [x]/2 − xy[x] == x −xy[x] +

y [x] 2

== x

PP = y[0] == 7 y[0] == 7 DSolve[{DR, PP}, y[x], x] x2 y[x] → −1 + 8e Zpˇ et

. – p.7/13

Příklad 8.2.2

Naleznˇ ete vˇ sechna ˇ reˇ sen´ı diferenci´ aln´ı rovnice y = ?

2y + x . x Zpˇ et

. – p.8/13

Příklad 8.2.2

Naleznˇ ete vˇ sechna ˇ reˇ sen´ı diferenci´ aln´ı rovnice y =

2y + x . x

Výsledek: y(x) = −x + Cx2 , x < 0 nebo y(x) = −x + Cx2 , x > 0, kde C je libovoln´ a re´ aln´ a konstanta. Zpˇ et

. – p.8/13

Příklad 8.2.2


2y + x . x

Návod: Rovnice je line´ arn´ı diferenci´ aln´ı rovnice tvaru y + a(x)y = b(x) a jej´ı ˇ reˇ sen´ı hled´ ame podle n´ avodu v pˇ redchoz´ım pˇ r´ıkladˇ e. Zpˇ et

. – p.8/13

Příklad 8.2.2


2y + x . x

Řešení: Postupujeme ve tˇ rech kroc´ıch. Danou NLDR pˇrevedeme na tvar y −

2 y = 1, x

y −

2 y = 0. x

k n´ı pˇ riˇ razen´ a homogenn´ı rovnice je

1. krok: Hledejme metodou separace promˇ enn´ ych ϕ(x) , jedno nenulov´ eˇ reˇ sen´ı pˇ riˇ razen´ e homogenn´ı rovnice. dy 2 = y dx x

⇒

1 dy = y

2 dx x

napˇr.

⇒

ln |y| = 2 ln |x|

⇒

|y| = |x|

2

y = ϕ(x) = x2 .

Integraˇ cn´ı konstantu jsme nepsali, protoˇ ze hled´ ame jedno ˇ reˇ sen´ı ϕ(x) . Tedy yH (x) = C x2 . Dalˇ s´ı . – p.8/13

Příklad 8.2.2


2y + x . x

Řešení: 2. krok: Partikul´ arn´ı ˇ reˇ sen´ı dan´ e nehomogenn´ı line´ arn´ı rovnice hled´ ame ve tvaru souˇ cinu yP (x) = C(x) ϕ(x) = C(x)x2 , kde C(x) je nezn´ am´ a funkce, tj. v yH (x) nahrad´ıme konstantu C funkc´ı. Hledejme ji. Chceme, aby yP (x) bylo ˇ reˇ sen´ı zadan´ e NLDR. Spoˇ cteme y (x) : P

y (x) = C (x)x2 + C(x)2x a dosad´ıme y (x) a yP (x) do rovnice. P

P

y − ⇒

2 y=1 x

⇒

1 C (x) = 2 x

C (x)x2 + C(x)2x − ⇒

C(x) =

2 C(x)x2 = 1 x

1 dx x2

⇒

⇒

C(x) = −

1 x

Integraˇ cn´ı konstantu nep´ıˇ seme, nebot’ hled´ ame jedno ˇ reˇ sen´ı yP (x) , tedy jednu funkci C(x) . Dosad´ıme za C(x) . Partikul´ arn´ı ˇ reˇ sen´ı je yP (x) = −

1 2 x = −x . x

Dalˇ s´ı

. – p.8/13

Příklad 8.2.2


2y + x . x

Řešení: 3. krok: V´ ysledky kroku jedna a dva d´ avaj´ı obecn´ eˇ reˇ sen´ı zadan´ e rovnice y(x) = yH (x) + yP (x) = Cx2 − x . 2 ) jsou spojit´ e funkce Prav´ a strana NLDR ( b(x) = 1 ) a koeficient u y ( a(x) = − x na Ê \ {0} . Tedy definiˇ cn´ı obor ˇ reˇ sen´ı je bud’ interval (−∞, 0) nebo interval (0, ∞).

Zpˇ et

. – p.8/13

Příklad 8.2.2


2y + x . x

Maple: >

DR:=(diff(y(x),x)=(2*y(x)+x)/(x));

DR := >

d dx

y(x) =

2 y(x) + x x

dsolve(DR,y(x));

y(x) = −x + x2 C1 Zpˇ et

. – p.8/13

Příklad 8.2.2


2y + x . x

Mathematica: DR = y [x] == (2y[x] + x)/x y [x] ==

x+2y[x] x

DSolve[DR, y[x], x] y[x] → −x + x2 C[1] Zpˇ et

. – p.8/13

Příklad 8.2.3

Naleznˇ ete ˇ reˇ sen´ı diferenci´ aln´ı rovnice (1 + x) y + xy = 0 , kter´ e vyhovuje poˇ c´ ateˇ cn´ı podm´ınce y(0) = 10 . ?

Zpˇ et

. – p.9/13

Příklad 8.2.3

Naleznˇ ete ˇ reˇ sen´ı diferenci´ aln´ı rovnice (1 + x) y + xy = 0 , kter´ e vyhovuje poˇ c´ ateˇ cn´ı podm´ınce y(0) = 10 .

Výsledek: y(x) = 10(x + 1)e −x ,

x > −1 .

Zpˇ et

. – p.9/13

Příklad 8.2.3


Návod: ˇ sen´ı homogenn´ı line´ a Reˇ arn´ı diferenci´ aln´ı rovnice a1 (x)y + a0 (x)y = 0 , kde a1 (x) = 0, m´ tvar y(x) = Cϕ(x) , kde ϕ(x) je jedno ˇ reˇ sen´ı dan´ e homogenn´ı rovnice. Funkci ϕ(x) hled´ ame metodou separace promˇ enn´ ych. Zpˇ et

. – p.9/13

Příklad 8.2.3


Řešení: Postupujeme ve dvou kroc´ıch. 1. krok: Hledejme metodou separace promˇ enn´ ych ϕ(x) , jedno nenulov´ eˇ reˇ sen´ı dan´ e homogenn´ı rovnice. dy xy 1 x xy y =− ⇒ =− ⇒ dy = − dx ⇒ 1+x dx x+1 y x+1 ⇒

1 dy = − y

1 1− x+1

|y| = e −x |x + 1|

⇒

dx napˇr.

⇒

ln |y| = −x + ln |x + 1|

⇒

y = ϕ(x) = e −x (x + 1).

Integraˇ cn´ı konstantu jsme nepsali, protoˇ ze hled´ ame jedno ˇ reˇ sen´ı ϕ(x) . Tedy y(x) = C(x + 1)e −x . e funkce Koeficient u y ( a1 (x) = x + 1 ) a koeficient u y ( a0 (x) = x ) jsou spojit´ na Ê , ale a1 (x) = 0 pro x = −1. Tedy definiˇ cn´ı obor ˇ reˇ sen´ı je interval (−∞, −1) nebo interval (−1, ∞). 2. krok: Ze vˇ sech nalezen´ ych ˇ reˇ sen´ı vybereme jedno, kter´ e splˇ nuje poˇ c´ ateˇ cn´ı podm´ınku y(0) = 10 . 0 10 = C(0 + 1)e ⇒ C = 10 . ˇ sen´ım dan´ Reˇ e poˇ ca ´teˇ cn´ı u ´ lohy je funkce y(x) = 10(x + 1)e −x , x ∈ (−1, ∞) , protoˇ ze 0 ∈ (−1, ∞) . Zpˇ et

. – p.9/13

Příklad 8.2.3


Maple: >

DR:=((x+1)*diff(y(x),x)+x*y(x)=0); d DR := (x + 1) ( dx y(x)) + x y(x) = 0

>

PP:=y(0)=10;

PP := y(0) = 10 >


y(x) = 10 e(−x) (x + 1) Zpˇ et

. – p.9/13

Příklad 8.2.3


Mathematica: DR = (1 + x)y [x] + xy[x] == 0 xy[x] + (1 + x)y [x] == 0 PP = y[0] == 10 y[0] == 10 DSolve[{DR, PP}, y[x], x] y[x] → 10e−x (1 + x) Zpˇ et

. – p.9/13

Řešení diferenciálních rovnic 1. řádu • Pˇ r´ıklad 8.3.1 Je funkce y(x) = 2x + 3, x ∈ 2 (y ) + xy = y .

Ê

ˇ reˇ sen´ım diferenci´ aln´ı rovnice

1 • Pˇ r´ıklad 8.3.2 Je funkce y(x) = e x , x > 0 ˇ reˇ sen´ım diferenci´ aln´ı rovnice y ln y + xy = 0 . √ 3 • Pˇ reˇ sen´ım diferenci´ aln´ı rovnice r´ıklad 8.3.3 Je funkce y(x) = 3x3 +3 , x ∈ Ê ˇ √ x2 y = , kter´ e vyhovuje poˇ ca ´teˇ cn´ı podm´ınce y(0) = 33 . y

Zpˇ et

. – p.10/13

Příklad 8.3.1 Je funkce y(x) = 2x + 3, x ∈ ?

Ê

2

ˇ reˇ sen´ım diferenci´ aln´ı rovnice (y ) + xy = y . Zpˇ et

. – p.11/13

Příklad 8.3.1 Je funkce y(x) = 2x + 3, x ∈

Ê

2

ˇ reˇ sen´ım diferenci´ aln´ı rovnice (y ) + xy = y .

Výsledek: Nen´ı ˇ reˇ sen´ım. Zpˇ et

. – p.11/13


Ê

2


Návod: Vypoˇ cteme y (x) a do diferenci´ aln´ı rovnice dosad´ıme za y (x) a y(x) . Lev´ a strana rovnice se mus´ı rovnat prav´ e pro vˇ sechna re´ aln´ a x. Zpˇ et

. – p.11/13


Ê

2


Řešení: Spoˇ cteme: y (x) = 2. Lev´ a strava rovnice je 2

L := (2) + x · 2 = 4 + 2x a prav´ a strana je P := 2x + 3. Tedy L = P pro vˇ sechna re´ aln´ a x, funkce y(x) = 2x + 3 nen´ı ˇ reˇ sen´ım dan´ e rovnice. Zpˇ et

. – p.11/13


Ê

2


Maple: >

res:=y(x)=2*x+3;

>

res := y(x) = 2 x + 3 DR:=((diff(y(x),x))ˆ2+x*diff(y(x),x)=y(x));

>

d d DR := ( dx y(x))2 + x ( dx y(x)) = y(x) odetest(res,DR);

1 Nenulov´ y v´ ysledek znamen´ a, ˇ ze testovan´ a funkce nen´ı ˇ reˇ sen´ım dan´ e diferenci´ aln´ı rovnice. Zpˇ et

. – p.11/13


Ê

2


Mathematica: DR = (D[y[x], x])∧ 2 + x D[y[x], x] == y[x] xy [x] + y [x]2 == y[x] res[x ] = 2x + 3 3 + 2x DR/.y → res 4 + 2x == 3 + 2x L = P , funkce nen´ı ˇ reˇ sen´ım diferenci´ aln´ı rovnice. Zpˇ et

. – p.11/13

Příklad 8.3.2 1

Je funkce y(x) = e x , x > 0 ˇ reˇ sen´ım diferenci´ aln´ı rovnice y ln y + xy = 0 . ?

Zpˇ et

. – p.12/13

Příklad 8.3.2 1

Je funkce y(x) = e x , x > 0 ˇ reˇ sen´ım diferenci´ aln´ı rovnice y ln y + xy = 0 .

Výsledek: Je ˇ reˇ sen´ım. Zpˇ et

. – p.12/13

Příklad 8.3.2 1


Návod: Vypoˇ cteme y (x) a do diferenci´ aln´ı rovnice dosa´ıme za y (x) a y(x) . Lev´ a strana rovnice se mus´ı rovnat nule pro x > 0. Zpˇ et

. – p.12/13

Příklad 8.3.2 1


Řešení:

Spoˇ cteme: y (x) = e

1 x

− x12

L := e

1 x

. Prav´ a strana rovnice je nula a lev´ a strava rovnice je

ln e

1 x

+ xe

1 x

1 − 2 x

=e

1 x

1

1 x 1 −e =0 x x

1

reˇ sen´ım dan´ e diferenci´ aln´ı rovnice. pro vˇ sechna re´ aln´ a x > 0, funkce y(x) = e x je ˇ Zpˇ et

. – p.12/13

Příklad 8.3.2 1


Maple: >

res:=y(x)=exp(1/x);

>

res := y(x) = e( x ) DR:=(y(x)*ln(y(x))+x*diff(y(x),x)=0);

>

d DR := y(x) ln(y(x)) + x ( dx y(x)) = 0 odetest(res,DR);

1

1 e( x ) >

1 ln(e( x ) )

1

e( x ) − x

simplify(%) assuming x::real;

0 V´ ysledek 0 znamen´ a, ˇ ze testovan´ a funkce je ˇ reˇ sen´ım dan´ e diferenci´ aln´ı rovnice. Zpˇ et

. – p.12/13

Příklad 8.3.2 1


Mathematica: DR = y[x]Log[y[x]] + x D[y[x], x] == 0 Log[y[x]]y[x] + xy [x] == 0 res[x ] = Exp[1/x] 1

ex Assuming[x > 0, Simplify[DR/.y → res]] True Funkce je ˇ reˇ sen´ım diferenci´ aln´ı rovnice. Zpˇ et

. – p.12/13

Příklad 8.3.3 Je funkce y(x) =

√

3x3 +3 , 3

poˇ ca ´teˇ cn´ı podm´ınce y(0) = ?

x∈

Ê

√ 3 3 .

x2 , kter´ e vyhovuje ˇ reˇ sen´ım diferenci´ aln´ı rovnice y = y

Zpˇ et

. – p.13/13


√

3x3 +3 , 3

poˇ ca ´teˇ cn´ı podm´ınce y(0) =

x∈

Ê

√ 3 3 .


Výsledek: Nen´ı ˇ reˇ sen´ım. Zpˇ et

. – p.13/13


√

3x3 +3 , 3


x∈

Ê

√ 3 3 .


Návod: Vypoˇ ct’eme y (x) a do diferenci´ aln´ı rovnice dosad´ıme za y (x) a y(x) . Lev´ a strana rovnice se mus´ı rovnat prav´ e pro vˇ sechna re´ aln´ a x a mus´ı b´ yt splnˇ ena poˇ c´ ateˇ cn´ı podm´ınka. Zpˇ et

. – p.13/13


√

3x3 +3 , 3

x∈


Ê

√ 3 3 .


Řešení: Ovˇ eˇ r´ıme, zda je splnˇ ena poˇ c´ ateˇ cn´ı podm´ınka. √ √ 3 · 03 + 3 3 y(0) = = 3 3 D´ ale zkoum´ ame, zda je dan´ a funkce ˇ reˇ sen´ım pˇ r´ısluˇ sn´ e rovnice. Spoˇ cteme: 3x2 9x2 1 = √ . y (x) = √ 3 2 3x3 + 3 2 3x3 + 3

Lev´ a strava rovnice je L := a prav´ a strana je P := √

3x2

2

√ 3x3 + 3

x2

3x3 +3 3

3x2

. = √ 3x3 + 3

Tedy L = P pro vˇ sechna re´ aln´ a x, funkce y(x) =

√

3x3 +3 3

nen´ı ˇ reˇ sen´ım dan´ e rovnice.

Zpˇ et . – p.13/13


√

3x3 +3 , 3


x∈

Ê

√ 3 3 .


Maple: >

f:=x->sqrt(3)/3*(sqrt(xˆ3+1));

f := x → >

>

>

f(0);

√ 3 3 res:=y(x)=sqrt(3)/3*(sqrt(xˆ3+1)); √ √ 3 x3 + 1 res := y(x) = 3 DR:=(diff(y(x),x)=(xˆ2)/y(x)); DR :=

>

1√ √ 3 3 x +1 3

d dx

x2 y(x) = y(x)

odetest(res,DR);

3 x2

− √ 2 3 x3 + 3 Zpˇ et

. – p.13/13


√

3x3 +3 , 3

x∈


Ê

√ 3 3 .


Mathematica: DR = D[y[x], x]==x∧ 2/y[x] y [x] ==

x2 y[x]

res[x ] = Sqrt[3x∧ 3 + 3]/3 √ 1 3 + 3x3 3 res[Sqrt[3]/3] 1 3 + √13 3 DR/.y → res 2

2

√3x

3+3x3

2

== √ 3x

3+3x3

L = P , funkce nen´ı ˇ reˇ sen´ım diferenci´ aln´ım rovnice. Zpˇ et

. – p.13/13

Řešení diferenciálních rovnic 1. řádu

Recommend Documents