Een andere kijk op Financiële Rekenkunde Wim Pijls, Erasmus Universiteit Rotterdam 1. Inleiding Het vak Financiële Rekenkunde levert vanwege zijn sterk wiskundig karakter nogal wat problemen op in het onderwijs. Veel leerlingen (en leraren) zijn nu eenmaal bang voor ingewikkelde formules. Dankzij de komst van de computer, in het bijzonder van de spreadsheets, is een alternatieve benadering mogelijk, waarbij de wiskundige kant aanmerkelijk verlicht wordt. Dit hoeft niet te gaan ten koste van het begrip of het inzicht. Leerlingen die zonder wiskundige formules problemen oplossen met behulp van een spreadsheet verwerven juist een beter inzicht. We hopen in dit artikel een en ander toe te lichten. In de paragrafen 2, 5 en 6 behandelen we theorie. In paragraaf 3 wordt aangegeven, hoe deze theorie in de lespraktijk behandeld kan worden. Paragraaf 4 is een uitstapje naar een naburig vakgebied. 2. Een algemene formule In de vak financiële rekenkunde onderscheiden we verschillende vormen van sparen en lenen. We spreken van sparen ingeval een particulier een vordering heeft op een bank; in het omgekeerde geval spreken we van lenen. Door de tijd heen wijzigt de vordering als gevolg van stortingen en/of aflossingen. Verder geldt nog dat periodiek de vordering "vanzelf" met een bepaald percentage verhoogd wordt. Deze verhoging noemen we rente. Sparen en lenen zijn conceptueel gezien eigenlijk identiek, zoals we hieronder zullen zien. Stel een partij P heeft een positief of negatief saldo bij een partij Q. De hoogte van dit saldo na n renteperiodes wordt aangeduid met Kn . We nemen aan dat in periode n een bedrag ter grootte An van P naar Q gaat, waarbij An ook negatief kan zijn (feitelijk gaat er in dit laatste geval een positief bedrag -An de andere kant op). Voor de gedachtevorming kan men het beste voor P een particulier en voor Q een bank invullen. We kunnen het verloop van Kn beschrijven door middel van de volgende relatie:
K n = K n−1 + rn−1 K n−1 + An
(1) De waarde rn is het renteperunage in de n-de periode. Voor het gemak introduceren nog een grootheid Vn gedefinieerd als:
Vn = K n − K n−1 = rn −1 K n −1 + An waardoor (1) de volgende vorm aanneemt:
K n = K n−1 + Vn Een relatie zoals (1) heet in de wiskunde een recurrente betrekking. Relatie (1) beschrijft diverse practische situaties: • Sparen: Kn >0 en Vn >0 voor alle n; het saldo is positief en de periodieke rente is groter dan een eventuele opname. • Lenen: Kn <0 d.w.z. het saldo is negatief; in dat geval geldt ook rn Kn <0; indien Vn >0 dan is de betaling An hoger dan de verschuldigde rente en is er sprake van aflossing ter grootte Vn . • Rentenieren: Kn >0; iemand neemt een bedrag An <0 op; indien Vn <0, wordt er ingeteerd op het kapitaal. Op deze manier is een uniforme beschrijving verkregen van verschillende problemen uit de financiële rekenkunde. In de volgende paragraaf zullen we laten zien, dat met behulp van spreadsheets vrijwel alle vraagstukken via dezelfde methodiek kunnen worden opgelost. 3. Financiële rekenkunde en spreadsheets De leerling die met financiële rekenkunde aan de slag gaat, moet allereerst inzien dat relatie (1) een formele beschrijving is van de drie genoemde situaties. De volgende stap is het vinden van de passende rij K0 , K1 , K2 ……. , gegeven de grootheden rn en de looptijd. Dit
1
laatste probleem heeft natuurlijk diverse varianten. Tot dusver gebruikten we hier formules en tabellen voor. Vandaag de dag hebben we echter een computer met een spreadsheetprogramma tot onze beschikking. Alle bekende opgaven over sparen en lenen zijn ook op te lossen door een spreadsheet te gebruiken. Formulekaarten, tabellen, zakcalculators en zelfs grafische rekenmachines kunnen terzijde geschoven worden. Het is vooral de compacte en elegante vorm van de recurrente betrekking in (1) die de aanpak met een spreadsheet zo handig maakt. Een bekend en geschikt spreadsheetprograma is Excel. In dit artikel zullen we de werking van Excel overigens niet bespreken. Zoals we formulekaarten, calculators, e.d. links laten liggen, zo negeren we ook de zogeheten financiële functies van Excel (in de Engelse versie FP, NPV, PMT, etc. geheten). Stel we willen de onderstaande stereotiepe vraagstukken oplossen. 1) Een spaarder brengt in 6 achtereenvolgende jaren respectievelijk de bedragen van €7000, €3000, €4500, €5600, €8000 en €4200 naar de bank. De rente is in alle jaren 3,4%. a) Als de rente jaarlijks op dezelfde rekening wordt bijgeschreven, wat is dan het eindsaldo? b) Bij welke rentevoet zou het eindsaldo precies €45.000 zijn? 2) Stel een klant sluit een annuïteitenhypotheek af. De hoogte van de lening is €120.000 en de jaarlijkse annuïteit bedraagt € 7000 bij een rentevoet van 4% per jaar. a) Laat zien wat het jaarlijkse rente- en het aflossingsdeel is in de eerste 20 jaar. b) Bij welke jaarlijkse annuïteit zou de hypotheek na 20 jaar precies afgelost zijn? 3) Bi een annuïteitenlening van €160.000 met rentevoet 4,2% bedraagt de jaarlijkse annuïteit (misschien met uitzondering van het laatste jaar) € 9000. Na hoeveel jaren is de lening afgelost? 4) Een 65-jarige brengt €100.000 euro naar de bank. Hij spreekt af dat hij (of zijn nabestaanden) jaarlijks gedurende 10 jaar € 8000 uitbetaald krijgt. a) Wat is het restsaldo na 10 jaar? b) Bij welke jaarlijkse uitbetaling is het kapitaal volledig verbruikt na 10 jaar? Veronderstel een vaste rentevoet van 3,5%. De werkwijze in Excel voor deze problemen is als volgt. Men reserveert kolommen voor respectievelijk de waarden Kn , An , rn en rn Kn , n=0,1, 2, …. . Indien An of rn een vaste waarde hebben, kan men deze in slechts één cel opslaan. Recurrente betrekkingen worden vertaald in celverwijzingen. De faciliteit "slepen" die in Excel voorhanden is, maakt het werken met een variabele index n eenvoudig. Door de juiste celverwijzingen te definiëren en vervolgens te gaan slepen zijn de a)-onderdelen van bovenstaande vraagstukken snel op te lossen. De b)-vragen kunnen worden opgelost door de goalseek -functie in Excel toe te passen. In de opleiding Informatica & Economie aan de Erasmus Universiteit Rotterdam wordt het pakket Excel gebruikt om economische problemen te modelleren. In dat kader moeten studenten vraagstukken van het bovenstaande type op de zojuist beschreven manier oplossen. Deze manier van werken is onderdeel van een bredere filosofie. In vooral bedrijfseconomische vakken treden veelvuldig algoritmen op. Het begrip algoritme is een begrip uit de informatica en is daar synoniem met oplossingsmethode. Een leerling heeft aangetoond dat hij/zij een algoritme begrepen heeft, indien de leerling het algoritme geïmplementeerd heeft, d.w.z. in een dusdanige vorm geformuleerd heeft, dat het voor de computer interpreteerbaar en uitvoerbaar is. Implementeren kan dus inhouden het opstellen van een spreadsheet of het schrijven van Basic -programma. Men kan dus een leerling opdragen een winstbepalingstelsel, een afschrijvingsmethode, etc. in Excel of in Basic te implementeren. Door dergelijke opdrachten tot een goed einde te brengen toont de leerling zijn/haar inzicht in de theorie. Oplossingstechnieken (ofwel: trucs) met gebruikmaking van
2
formules, tabellen, e.d.ontnemen de leerlingen het zicht op een deel van de theorie en bevorderen derhalve niet het inzicht. De bovenstaande visie sluit aan bij de gedachte van "problem solving" zoals gepropageerd in het artikel [3]. De daar gepresenteerde opgave past naadloos in bovenstaande serie. Een verzameling voorbeelden van bedrijfseconomische opgaven, op te lossen met Excel, is te vinden op Internet, zie [1]. Deze zijn bij het onderdeel Modelleren in bovengenoemde opleiding aan de orde geweest. Overigens is er bij dit onderdeel ook een praktisch tentamen. Studenten zitten gedurende de tentamensessie achter het beeldscherm (vanzelfsprekend zonder zoek- en communicatie -mogelijkheden) en sturen hun uitwerking electronisch in. De benodigde hard- en software moet dus wel beschikbaar zijn, maar waarschijnlijk is dit op de meeste scholen (binnenkort) het geval. 4. Het verband met Levensverzekeringen Een vak dat sterk verwant is aan de financiële rekenkunde is de Levensverzekeringswiskunde. Ook dit vak leent zich uitstekend voor de in de vorige paragraaf beschreven didactische aanpak. We zullen er daarom hier ook aandacht aan besteden. Een essentieel hulpmiddel bij Levensverzekeringen is de zogeheten overlevingstafel (vroeger aangeduid met de term sterftetafel), die elk jaar door het CBS (Centraal Bureau Statistiek) wordt gepubliceerd. Deze bestaat uit een lijst van waarden l j die zodanig zijn gekozen, dat
l j / l j −1 precies gelijk aan de kans dat Nederlander overlijdt in zijn j-de levensjaar. In het algemeen is l p / l q , p>q, de kans dat iemand van q jaar de leeftijd p haalt. De waarde l 0 is steeds =10.000.000 gekozen. We veronderstellen dat, indien iemand voortijdig overlijdt, de tot dan toe betaalde inleg bij de maatschappij blijft. Men kan ook zeggen: de overlevenden profiteren van de inleg van de overledenen. Dit is in overeenstemming met het basisprincipe van verzekeringen: de schadevrije of uitkeringsvrije klanten betalen mee aan de schades of uitkeringen van anderen. De recurrente betrekking van sectie 2 is hier in iets gewijzigde vorm van toepassing.
Kn =
l n−1 ( K n−1 + rn −1 K n −1 ) + An ln
(2)
Men kan deze betrekking als volgt verklaren. Op zijn (n-1)-de verjaardag heeft iemand een tegoed van Kn-1 . Een aantal andere klanten met dezelfde leeftijd heeft ook een tegoed. Een jaar later op zijn n-de verjaardag is nog maar l n / l n−1 van deze groep in leven. De maatschappij verhoogt dus alle saldi met een factor l n −1 / l n . Op zijn n-de verjaardag betaalt of ontvangt de klant verder een bedrag An . Bij een levensverzekering begint en eindigt iedere klant altijd met Kn =0. De onderstaande serie bevat drie stereotiepe vraagstukken. 1) Een spaarder brengt op zijn 45-ste € 54.000 naar een verzekeringsmaatschappij. Welke uitkering kan hij vanaf zijn 65-ste tot aan zijn overlijden jaarlijks ontvangen? De rentevoet is 3,6%. 2) Meneer X betaalt op zijn 50-ste t/m zijn 59-ste verjaardag achtereenvolgens de bedragen van € 7000, € 3000, € 4500, …. (vul zelf aan) aan zijn verzekering. Op zijn 65-ste wil hij, indien hij dan nog in leven is, een uitkering ineens hebben. Welke uitkering zal dat zijn? (Rentevoet 3,1 %). 3) Een levensverzekering in omgekeerde volgorde: een student leent op zijn 18-de t/m zijn 24-ste verjaardag iedere keer € 5500. Van zijn 30-ste t/m zijn 39-ste levensjaar moet hij dit geld in 10 jaarlijkse termijnen terugbetalen. Ingeval van overlijden wordt alle (resterende) schuld kwijtgescholden. Welk constant bedrag betaalt hij gedurende de 10jarige aflossingsperiode? (Rentevoet 3 %.)
3
In [1] zijn bovenstaande opgaven ook te vinden. Tevens is daar een voorbeeld van een reële sterftetabel beschikbaar. 5. Oplossingen van de recurrente betrekking Om een oplossing in de vorm van getallen te krijgen, hebben we aan Excel (zonder financiële functies) voldoende. Het is echter nuttig leerlingen, in het bijzonder leerlingen van het VWO bij wie een hoger abstractievermogen wordt verondersteld, iets meer te vertellen over de analytische oplossing van (1). Als we een oplossing in formulevorm willen hebben, kunnen we als volgt te werk gaan. We splitsen de waarde Kn in twee deelsaldi, zeg Ln en M n , zodanig dat Kn = Ln + Mn . Evenzo splitsen we de betaling An in deelbedragen die betrekking hebben respectievelijk de saldi Ln en Mn . We kiezen voor een splitsing waardoor An in zijn geheel het saldo Mn betreft. We moeten ook nog de constante K0 splitsen in waarden L0 en M0 .. We kiezen L0 =K0 en M0 =0. We krijgen dan de volgende recurrente betrekkingen:
Ln = (1 + rn −1 ) Ln−1 met L0 =K0 , en M n = (1 + rn−1 ) M n −1 + An met M0 =0. Zodra we de rijen Ln en M n afzonderlijk bepaald hebben, hebben we daarmee ook de rij Kn . Voor het geval rn constant is met rn =r zijn Ln en M n eenvoudig te vinden. Voor Ln hebben we dan:
Ln = L0 (1 + r ) n = K 0 (1 + r ) n Economen herkennen dit meteen: als geen rente betaald wordt, is Ln gelijk aan de eindwaarde van L0 na n periodes. Voor Mn kunnen we het volgende schema opstellen:
M1 = A1 M 2 = A1 (1 + r ) + A2 M 3 = A1 (1 + r ) 2 + A2 (1 + r ) + A3 ………………….
M n = A1 (1 + r ) n−1 + A2 (1 + r ) n− 2 + A3 (1 + r ) n−3 + .... + An−1 (1 + r ) + An De vorm voor Kn =Ln + Mn . is derhalve:
K n = K 0 (1 + r ) n + A1 (1 + r ) n−1 + A2 (1 + r ) n −2 + A3 (1 + r ) n −3 + .... + An−1 (1 + r ) + An
(3)
De economische interpretatie van het rechterlid is duidelijk: de eindwaarde van K0 plus de eindwaarde van de betalingen in periode i, wier looptijd zich dus maar over n-i periodes uitstrekt. Het blijkt in (3) dat er wiskundig gezien geen onderscheid is tussen sparen en/of storten enerzijds en rentebetaling anderzijds. Per saldo maakt het niet uit of een betaling als storting of als rente wordt gezien. Veronderstellen we dat bovendien nog An =A geldt, dan kunnen we met gebruikmaking van de wiskundige formule voor een meetkundige reeks formule (3) omvormen tot:
K n = K 0 (1 + r ) n + A
(1 + r ) n − 1 r
(4)
De breuk rechts is gelijk aan sn|r . De lezer wordt uitgenodigd na te gaan dat substitutie van A=-rK0 het resultaat Kn = K0 oplevert.
4
6.. Opmerkingen Naar aanleiding van de in de vorige paragraaf afgeleide wiskundige theorie maken we nog een aantal opmerkingen. Deze dienen als achtergrondinformatie voor de docent (en mogelijk de leerling). Opmerking 1. Als Kn =0 na een bepaald aantal perioden, zeg voor n=n0 , dan leiden we uit (3) af:
− K 0 = A1
1 1 1 1 + A2 + .... + An0 −1 + An0 2 n0 −1 1+ r (1 + r ) (1 + r ) (1 + r ) n0
(5)
Als Ai constant is met Ai =A voor alle i, dan kunnen we Ai =A buiten haakjes halen en wordt (5) gelijkwaardig aan –K0 =A a n|r . Deze laatste relatie is ook gemakkelijk direct uit (4) af te leiden. Als we a n|k in Excel zouden willen berekenen, dan kan dit het beste gebeuren door uitgaande van de het getal 1, een aantal keren door (1+r) te delen; de tussentijdse uitkomsten worden vervolgens opgeteld. Opmerking 2 Als An constant is en er is een vaste rente r, dan geldt de volgende relatie:
Vn = K n − K n−1 = (1 + r )( K n −1 − K n− 2 ) = (1 + r )Vn−1 Het bedrag dat afgelost of ingeteerd wordt (afname van de schuld resp. tegoed), wordt dus elke keer met een vaste factor (1+r) verhoogd. In economische literatuur wordt deze eigenschap gebruikt voor de afleiding van de formule van een annuïteit. Men kan deze eigenschap algemener gebruiken. Met behulp van deze eigenschap kan men namelijk vanuit relatie (1) naar (4) komen. Zie [2], ook opgenomen in [1], voor details van deze afleiding. Opmerking 3. Bij een zogeheten spaarhypotheek wordt om belastingtechnische redenen de schuld kunstmatig hoog gehouden. De periodieke betalingen (of een deel daarvan) worden dan tegen dezelfde rente op een afzonderlijke spaarrekening gezet. Men kan het saldo Kn zien als een optelling van twee deelsaldi op dezelfde manier als dat in paragraaf 5 gebeurd is. De resterende hypotheekschuld noemen we Ln . Het deel van de periodieke betaling An , dat aan Ln ten goede komt (als rente en misschien nog een stukje aflossing) noemen Bn . De recurrente betrekking voor Ln luidt dan: Ln = (1 + rn −1 ) Ln−1 + Bn met L0 =K0 , Met het restant An - Bn van de periodieke betalingen wordt een spaartegoed opgebouwd. Dit tegoed, aageduid met M n , voldoet aan de recurrente betrekking M n = (1 + rn−1 ) M n −1 + An − Bn met M0 =0. Per saldo heeft de klant een schuld van Kn = Ln + M n .De grootheid Kn voldoet aan de relatie: K n = Ln + M n = (1 + rn −1 ) Ln−1 + Bn + (1 + rn−1 ) M n−1 + An − Bn = (1 + rn−1 ) K n −1 + An . Deze grootheid voldoet dus aan de recurrente betrekking in (1). De spaarhypotheek heeft dus per saldo dezelfde recurrente betrekking als een “gewone” hypotheek. Het verloop van de schuld is voor beide hypotheekvormen dan ook hetzelfde. We zien hier tevens, hoe krachtig de recurrente formulering in paragraaf 2 eigenlijk is. Het probleem van de spaarhypotheken heeft er een simpele oplossing door gekregen. . 7. Slot De in paragraaf 2 en 5 gepresenteerde stof omvat feitelijk de volledige theorie die nodig om de problemen uit de Financiële rekenkunde op te lossen. In paragraaf 3 hebben we een nieuwe didactische visie op de behandeling van de stof ontwikkeld. In paragraaf 2 (en 4 voor een ander gebied) werden alle problemen samengevat in één enkele korte formule. Deze formule zorgt ervoor dat alle problemen snel naar een spreadsheet zijn te transformeren.
5
Het onderwerp continue rente is hier niet besproken. Een wiskundig verantwoorde behandeling vraagt kennis van de infinitesimaalrekening. In [2] (ook opgenomen in [1]) wordt dit onderwerp op wiskundige manier behandeld. Het begrip “effectieve rente” wordt daar ook aan een nadere beschouwing onderworpen. Refencenties [1] Webpgina: http://www.few.eur.nl/few/people/pijls/models/finanrek.htm [2] Wim Pijls, Financiële Rekenkunde voor Wiskundigen, Euclides (orgaan van de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren) jaargang 78, nr. 7, pp. 336-339, mei 2003. [3] Fred Spanjerberg, Schoolwerk: problem-solving, Tijdschrift voor het economisch onderwijs, jaargang 103, nr. 3, pp. 227-228, juni 2003. Wim Pijls werkte van 1973 tot 1984 als docent wiskunde en informatica aan de Lerarenopleiding Zuidwest-Nederland te Delft, thans Hogeschool Rotterdam. Hij was daar verbonden aan de secties wiskunde en economie. Sinds 1984 is hij docent informatica aan de Faculteit Economische Wetenschappen van de Erasmus Universiteit Rotterdam.
6
