É-matek
1
Huszk@ Jenő
Módszertani segédlet csak diákoknak! Hogyan elemezzük ki a feladatot? Hogyan alkossunk önmagunk számára szemléletes modellt? Hogyan keressük meg a modell és a matematikai ismeretek kapcsolatait? É-matek matek Hogyan haladjunk lépésről lépésre a teljes megoldás felé? RÉSZLET A VEKTOROK TÉMAKÖRBŐL!
3.1.
Ebben a sorozatban ötletek és eljárások sokasága szerepel, amelyek nem biztos, hogy a legjobbak, de hasznosak!
Van egyáltalán legjobb ötlet? Akinek nincs egyetlen ötlete sem, annak biztosan segít ez a sorozat az önálló ötlethez vezető út megtalálásában! Akinek van, az bővítheti ötlettárát! Minél több ötletünk van egy-egy probléma megoldására, annál kreatívabbak lehetünk munkánk során!
É-matek: Csak azoknak, akik a kudarcfélelem nélküli és sikeres Érettségi vizsgára készülnek! Példa (1) Adott az alábbi KLMN téglalap, amelynek oldalain megjelölt pontok harmadoló-, illetve negyedelőpontok. Továbbá: KA2 = a = a és KR = b = b továbbiakban bázisvektorok
a) Ábrázolja az alábbi vektorokat úgy, hogy kezdő- és végpontjuk is a KLMN téglalap kerületén megjelölt egy -egy pont legyen: 1 2 3 (1) : a − b; (2) : a + 2b (3) : ( 2a − b) − (3a − b) ! 2 3 2 b) Írja fel (adja meg) a két bázisvektor segítségével az ábrán berajzolt vektorokat! c) Határozza meg a fenti vektorok koordinátáit!
Vektorok
É-matek
2
Huszk@ Jenő
Fontos tanács, hogy a megadott ábra mindig legyen a szemünk előtt, hiszen a feltételek megadását is onnan tudjuk „ellenőrizni”, számunkra érthetővé és nyilvánvalóvá tenni. Az emberek közel 80%-a dominánsan vizuális tanulási stílussal rendelkezik, ami természetesen nem „hiba”, vagy elmarasztalandó. Inkább azt kell tudni, hogy ennél a tanulási stílusnál a „látásnak” kiemelt szerepe van, ezért minden lehetőséget meg kell ragadni ennek érdekében.
Értelmezés, kapcsolatkeresés …..,oldalain megjelölt pontok harmadoló-, illetve negyedelőpontok. A téglalap
nem szorul „magyarázatra”, mivel ezt a derékszögű paralelogrammát mindenki ismeri. A harmadolópontok azok a pontok, amelyek az oldalt három egyenlő részre osztják (itt S; R; vagy Q; P). Beszélhetünk pl. a K-hoz közelebbi harmadolópontról (R), vagy az N-hez közelebbihez (S). A negyedelőpontok (három van belőle) az adott oldalt 4 egyenlő részre osztják. Itt is lehet valamelyik végponthoz közelebbi negyedelőpontról beszélni. …..,bázisvektorok. Egymással nem párhuzamos vektorok. Ezek „lineáris kombinációjával” (számszorosaik összegével vagy különbségével) kell kifejezni a megadott vektorokat. Itt az „előállított” vektor kezdőpontjának (kiindulási pont) és végpontjának (ahova mutat) a téglalap kerületén kell hogy legyen. (A vektor fogalmával kapcsolatos ismereteket kell rendszerezni!)
Részekre bontás, beazonosítás a) Ábrázolja az alábbi vektorokat úgy, hogy kezdő- és végpontjuk is a KLMN téglalap kerületén megjelölt egy -egy pont legyen. Szedjük részekre a három feladatot. Ahol szükséges és lehet, ott az ábrázolás előtt a
megfelelő „összevonásokat” végezzük el! (1) : a − b; A különbségvektor mindig a kivonandó végpontjából mutat a kisebbítendő vektor végpontjába. Amelyik vektort kivonjuk az a „kivonandó” vektor!
Vektorok
É-matek
3
Huszk@ Jenő
1 (2) : a + 2b 2 Most a két vektor szám-szorosának az összegét kell ábrázolni. Mivel mind a két szám pozitív, így az eredeti vektorok iránya nem változik. A hosszuk igen! Az egyik hossza felére, a másik kétszeresére!
2b
1 a 2
(3) : (2a − b) −
2 3 (3a − b) 3 2
A vektorok műveleti tulajdonságait felhasználva célszerű a kijelölt műveletek elvégzésével „használhatóbb” alakra hozni! 2 3 (3) : (2a − b) − (3a − b) = 2a − b − 2a + b = 0 3 2 Mivel a kapott vektor egy nullvektor (iránya tetszőleges, hossza nulla), ennek bármelyik pont megfelel a téglalap kerületén.
Vektorok
É-matek
4
Huszk@ Jenő
b) Írja fel (adja meg) a két bázisvektor segítségével az ábrán berajzolt vektorokat!
A feladat lényegében nem más, mint a kiválasztott vektor felbontása, az adott bázisvektorokkal páthuzamos összetevőkre. Jó gyakorlat arra is, hogy a felbontandó vektor koordinátáit meghatározzuk, az adott bázisvektorokra vonatkozóan. Ha egyenlő vektorokat, vagy egyenlő hosszúságú és párhuzamos vektorokat sikerül találni, akkor egyszerűsödik a feladat megoldása! Nagy segítség, ha a felbontandó vektort és a bázisvektorok szám-szorosait „egy háromszögbe” tudjuk foglalni. Természetesen kihasználjuk, hogy a téglalap szemközti oldalainak a hossza egyenlő, így a megfelelő részek is egyenlő hosszúak. Felbontások és azok indoklása A3 B1 = A2 N = A2 K + KN = − a + 3b
B3 B2 = −
1 a 2
PM = KS = 2b
PN = PM + MN = 2b − 2a LR = LK + KR = − 2a + b
MK = MN + NK = − 2a − 3b
SP = − LR = − (− 2a + b) = 2a − b c) Határozza meg a fenti vektorok koordinátáit!
Az adott bázisvektorokra vonatkoztatott koordináták, a lineáris kombinációban szereplő számok, ha megadjuk a vektorok sorrendjét. Legyen itt: a; b A3 B1 (− 1;3) B3 B2 (−
1 ;0) PM (0;2) PN (− 2;2) 2
LR (− 2;1) MK (− 2;− 3) SP(2;− 1)
Vektorok
É-matek
5
Huszk@ Jenő
Példa (2) Egy kismotoros repülőgép szélcsendben nyugatról keletre halad 20 m/sec sebességgel, de a gépre 3 m/sec sebességű felfelé ható légáramlás és északi 13 m/sec sebességű szél hat. Határozza meg, hogyan, milyen irányban és mekkora sebességgel halad a gép! Az ilyen típusú feladatok megoldásához nagyon körültekintően kell hozzákezdeni! Az első, amit fontos észrevenni, hogy itt, egy térbeli mozgásról van szó. Az égtájakat tekintve még síkban modellezhető a feladat, de a felfelé irányuló mozgás a térbeliséget egyértelműen meghatározza.
Kapcsolatkeresés, részekre bontás …., nyugatról keletre halad 20 m/sec sebességgel; ….3 m/sec sebességű felfelé ható légáramlás, és északi 13 m/sec sebességű szél hat. Ha megfigyeljük a három irányt, akkor megállapítható,
hogy ezek egymásra merőlegesek, olyanok, mint egy téglatest egy csúcspontjából kiinduló élek. Mivel a repülőgép sebességvektorát ez a három „vektor” határozza meg, így ezek eredője lesz a repülőgép sebessége. (A sebesség vektormennyiség!) A jó szemléltető rajz nélkülözhetetlen
13
90 0
3
20
90
0
A repülőgép sebességvektora a téglatest testátlója. Ennek hossza a téglatest átlóiból: | v |=
32 + 133 + 20 2 =
578 ≈ 24,04 ≈ 24m / sec
Ezen belül a 13 és 20 „egységnyi” oldalú téglalap átlója, az eredő vektor földi merőleges vetülete: 132 + 20 2 =
569 ≈ 23,85m / sec
Ezzel válaszolhatunk a kérdés egyik részére: a repülőgép kb. 24m/sec sebességgel halad.
Vektorok
É-matek
6
Huszk@ Jenő
Értelmezés, új összefüggések keresése ….,hogyan, milyen irányban? Az irány kelet-északkelet,
valamint felfelé. A „hogyan” kérdésre csak akkor tudunk válaszolni, ha meghatározzuk az emelkedési szöget, valamint azt a szöget, amelyet az eredeti (keleti) iránnyal az eredő vektor bezár. Mivel az eredővektor térbeli vektor, így a keleti iránnyal bezárt szöge alatt a merőleges vetületének (földi) a keleti iránnyal bezárt szögét értjük. A szögek maghatározásához tovább kell bontanunk a térbeli ábrát.
Az eredő vektor merőleges vetülete
Emelkedési szög A keleti iránnyal bezárt szög
Célszerű „kivenni” a két derékszögű háromszöget! 20 α
24 13
β
23,85
3
23,85
Az ismert szögfüggvények bármelyikének az alkalmazásával a szögek kiszámíthatók: 13 = 0,65 ⇒ α = 33,020 ≈ 330 a keleti iránnyal bezárt szög 20 3 sin β = = 0,125 ⇒ β = 7,180 ≈ 7 0 az emelkedési szög 24 tgα =
Vektorok
É-matek
7
Huszk@ Jenő
Példa (3) Bontsa fel az x(− 6;12 ) vektort a következő vektorokkal párhuzamos összetevőkre:
a(2;5) b(− 10;2) A megoldandó feladat azt kéri, hogy az utóbbi két vektor, mint bázisvektorok felhasználásával fejezzük ki (azok lineáris kombinációjával, a bázisvektorok szám-szorosainak összegével) az x vektort. A feladat lényege: határozzuk meg azokat a valós számokat, amelyekkel a bázisvektorokat megszorozva és ezeket összegezve az előállítandó vektort kapjuk. Ez csak akkor lehetséges, ha a bázisvektorok nem párhuzamosak. Ha két vektor párhuzamos, akkor az egyik vektor a másik szám-szorosa (nem nullvektorok természetesen, mert azok is párhuzamosak). Mivel itt a megfelelő koordináták hányadosa nem egyenlő, ezért a két vektor biztosan nem párhuzamos, lehetnek bázisvektorok.
Kapcsolatkeresés, beazonosítás A következőkben felhasználjuk: (1) ha egy koordinátákkal adott vektort megszorzunk egy valós számmal, akkor mindkét koordinátáját meg kell szorozni; (2) az összegvektor koordinátái az összetevő vektorok koordinátáinak az összege; (3) ha két vektor egyenlő, akkor a megfelelő koordinátáik is egyenlők. Készítsünk értelmező rajzot a vektorok felbonthatósági tételének szemléltetésére! b // β ⋅ b a // α ⋅ a
β ⋅b
α ⋅a
x = α ⋅ a + β ⋅ b ⇒ x (α ; β )
A fentiek [ (1),
(2), (3)] felhasználásával a konkrét összefüggések:
α a(2α ;5α ); β b(− 10β ;2 β ) ⇒ α a + β b(2α − 10 β ;5α + 2 β ) x(− 6;12) = α a + β b(2α − 10 β ;5α + 2 β ) ⇓ − 6 = 2α − 10 β ; 12 = 5α + 2 β
Vektorok
É-matek
8
Huszk@ Jenő
Új ismeretek, eljárások is szükségesek lehetnek Ezek után az α ; β ; valós számokat kell meghatározni az egyenletrendszer megoldásával. (1) − 6 = 2α − 10 β ; 12 = 5α + 2 β /⋅ 5 ⇒
(2)
60 = 25α + 10 β
⇓ (1) + (2) → 54 = 27α → α = 2; β = 1
Ezek az értékek a felbontásban (lineáris kombinációban) szereplő valós számok. Válasz a kérdésre:
x = 2 ⋅ a + 1⋅ b
Vektorok
É-matek
9
Huszk@ Jenő
Példa (4) Tudjuk, hogyha egy test elmozdulása s, akkor egy, a testre ható, állandó F erő az elmozdulás során F ⋅ s munkát végez. Legyen a test elmozdulásának nagysága 0, 02 méter, a testre ható állandó erő pedig 7 N nagyságú. Mekkora munkát végzett az erő, ha: a) a test kelet felé mozdult el, és eközben az erő mindvégig nyugati irányban mutatott? b) a test nyugat felé mozdult el, és eközben az erő mindvégig dél felé mutatott? c)a test délkelet felé mozdult el, és eközben az erő mindvégig kelet felé mutatott? d) a test észak felé mozdult el, és eközben az erő mindvégig délnyugat felé mutatott? Kapcsolatkeresés, beazonosítás A fizika tanulmányok során előforduló fogalmak szerepelnek a feladatban. Először ezeket kell felidézni, rendszerezni, majd a vektoroknál tanultakkal kapcsolatba hozni. Az erő (F) és a test által megtett út (elmozdulás) (s) vektormennyiségek (irányuk és hosszuk is jellemzi). Az erő SI egysége a newton, jele N. A munkát (W) állandó nagyságú és irányú erő esetén a következő képlettel lehet kiszámolni: W = F ⋅ s = F ⋅ s ⋅ cos α ahol a képletben szereplő szög az erő (F) és az elmozdulás (s) iránya által bezárt szög. A matematikai modell Ezek után azt is mondhatjuk, hogy a munka, az erő és az elmozdulás „vektorok” skaláris szorzata. Mivel két vektor skaláris szorzata mindig egy valós szám, így a munka skalármennyiség. Ezért az értéke lehet pozitív és negatív szám is. SI mértékegysége a joule (azzal a munkával egyenlő, ami egy testet egy N erő által 1 méter távolságra mozdít el).
Itt az erő „vektor” hossza 7 egység, az elmozdulás „vektor” hossza 0,02 méter, a vektorok iránya kérdésenként különböző. Válaszok a kérdésekre, szemléltető ábrák a) a test kelet felé mozdult el, és eközben az erő mindvégig nyugati irányban mutatott. A keleti és a nyugati irány hajlásszöge 180 fok. Két vektor hajlásszöge az irányuk által bezárt szög, amelyik legfeljebb 180 fok.
α = 1800
nyugat
F
kelet s
A két vektor skaláris szorzata alapján: W = F ⋅ s = | F | ⋅ | s | ⋅ cos1800 = 7 ⋅ 0,02 ⋅ (− 1) = − 0,14 joul
Vektorok
É-matek
10
b) a test nyugat felé mozdult el, és eközben az erő mindvégig dél felé mutatott. Itt két vektor merőleges egymásra (nyugat; dél)!
Huszk@ Jenő
az előzőekben értelmezett
s
nyugat
F
dél
Ha a két vektor merőleges, akkor a skaláris szorzatuk nulla, mert: W = F ⋅ s = | F | ⋅ | s | ⋅ cos 90 0 = 7 ⋅ 0,02 ⋅ (0) = 0 joul
c)a test délkelet felé mozdult el, és eközben az erő mindvégig kelet felé mutatott. A délkelet és
a keleti irányok
45 fokos szöget zárnak be, ezért W = F ⋅ s = | F | ⋅ | s | ⋅ cos 450 = 7 ⋅ 0,02 ⋅ (0,7071) ≈ 0,099 joul
d) a test észak felé mozdult el, és eközben az erő mindvégig délnyugat felé mutatott. Az ábra
észak
135 dé ln yugat
s
0
F
W = F ⋅ s = | F | ⋅ | s | ⋅ cos1350 = 7 ⋅ 0,02 ⋅ (− 0,7071) ≈ − 0,099 joul
Vektorok
alapján:
