E könyvet drága szüleim emlékének ajánlom
TARTALOMJEGYZÉK
I. kötet
0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
Elıszó A lineáris algebra rövid története Testek Vektortér Alterek Bázis és dimenzió Lineáris leképezések Mátrixok Determinánsok Lineáris egyenletrendszerek Irodalom Tárgymutató
4 6 11 17 23 36 44 73 109 146 170 172
3
ELİSZÓ
Ez a jegyzet a Berzsenyi Dániel Tanárképzı Fıiskola matematika és számítástechnika szakos hallgatói számára készült és az "Algebra" címő tantárgy lineáris algebrai témájú elıadásainak anyagát tartalmazza kibıvített formában. Az anyag egy részére az elıadásokon csupán utalás történik, továbbá egyes tételek csak bizonyítás nélkül szerepelnek. A jegyzetben olyan részek is találhatók, amelyek egyéni, illetve speciálkollégium keretében történı feldolgozása segítséget adhat a téma iránt érdeklıdı hallgatók tanulmányaihoz. További ismeretek győjtésére ad lehetıséget a jegyzet végén található irodalomjegyzék is, amelyben több magyar és idegen nyelvő munkát soroltunk fel. A jegyzetben a lineáris algebra bevezetı fejezeteit tárgyaljuk. Az I. kötetben egy rövid történelmi áttekintés után összefoglaljuk a testekkel kapcsolatos alapvetı ismereteket, majd megalapozzuk a test feletti vektorterek elméletét. Ezután a vektorterek közötti lineáris leképezéseket vizsgáljuk meg, majd a mátrixok, a determinánsok és a lineáris egyenletrendszerek elméletével foglalkozunk. A II. kötetben ismerkedhetünk meg a lineáris transzformációk normálalakjával, a bilineáris leképezésekkel, majd pedig a kvadratikus és hermitikus formákkal. Az utolsó fejezetben párhuzamos felépítésben tárgyaljuk az euklideszi és az unitér vektorterek elméletének legfontosabb eredményeit. Az anyag tárgyalása során ismertnek tekintjük az "Algebra" címő tárgy alapozó részében feldolgozott halmazelméleti alapismereteket, a relációk, leképezések és permutációk tulajdonságait, végül a közismert algebrai struktúrákra vonatkozó legfontosabb ismereteket. Az egyes eredményekre való hivatkozás megkönnyítése céljából a tételeket sorszámmal láttuk el. Az i-edik fejezet j-edik tétele az i.j. tételként szerepel, a bizonyítások végét pedig a szimbólum jelöli. A definíciók számozását mellıztük, de a bevezetett új fogalmakat dılt betükkel írva hangsúlyoztuk ki. E fogalmak könnyen felkereshetık az egyes kötetek végén végén található tárgymutató segítségével. Minden fejezet végén a feldolgozott anyag megértését könnyítı gyakorló feladatok találhatók.
4
A jegyzetet tematikája alapján fıiskolánk hallgatóin kívül elsısorban a többi tanárképzı fıiskola, illetve a tudományegyetemek matematika szakos hallgatóinak ajánlhatjuk. Végül a szerzı köszönetét fejezi ki dr. Megyesi László egyetemi docensnek a jegyzet lektorálásáért, hasznos javaslataiért és tanácsaiért, továbbá dr. Nagy Péter egyetemi docensnek támogatásáért és segítségéért. Szombathely, 1999. május hó.
Péntek Kálmán
5
0. A LINEÁRIS ALGEBRA RÖVID TÖRTÉNETE
A lineáris algebra a matematika két klasszikus nagy fejezetébıl, az analitikus geometriából és a lineáris egyenletrendszerek elméletébıl alakult ki a XIX. század közepén. A geometriai problémák algebrai megoldásával foglalkozó analitikus geometria kezdetei az ókorba nyúlnak vissza. Apollóniosz (i.e. 260?-190?) "Kónika" (Kúpszeletek) címő munkájában a kúpszeletek értelmezésére alkalmas tulajdonságot következetesen két konjugált átmérı egyenesére vonatkoztatta, s az így nyert összefüggésbıl új tulajdonságokat vezetett le. Ezzel tulajdonképpen ferdeszögő koordinátarendszert alkalmazott anélkül, hogy bevezette volna ezt a fogalmat. Ptolemaiosz Klaudiosz (100?-170?) a földrajzi helyek meghatározásának kézenfekvı eszközeként említi a koordináták alkalmazását, amelyet Hipparkhosztól (i.e. 180?-125?) vett át. A mozgások sebességének idıbeli változását Nicole d'Oresme (1320-1382) már derékszögő koordinátarendszerben ábrázolta. René Descartes du Peron (1596-1650) francia matematikus és filozófus a derékszögő koordinátarendszer segítségével következetesen alkalmazta a geometriára az algebra jelöléseit és eljárásait. Ezzel követendı példát mutatott az algebrai és geometriai módszerek együttes használatára. A "Discours de la méthode" (Értekezések a módszerrıl) címő 1637-ben megjelent mővének "La géométrie" (A geometria) címő függelékében megkísérelte az algebrát és a geometriát egységes "mathesis universalis" elméletté alakítani. Descartes eredményeinek megszületésével egyidıben hasonló gondolatokat vetett fel Pierre Fermat (1601-1665) francia mőkedvelı matematikus is. Az "Ad locus planos et solidos isagoge" (Bevezetés a síkbeli és térbeli mértani helyek elméletébe) címő munkája levelezıtársai elıtt már 1636-ban ismeretes volt, de nyomtatásban csak 1679-ben jelent meg. Ebben az értekezésben Fermat bizonyos tekintetben túl is haladta Descartes gondolatait, mert már következetesen használta a derékszögő koordinátarendszert a kúpszeletek vizsgálatára. Nem csak a kúpszeletek egyenletét vezette le, hanem a fordított feladattal is foglalkozott: az elsı- és másodfokú egyenletek általános alakját vizsgálva megállapította, hogy azok a koordinátákon végrehajtott alkalmas transzformációkkal kanonikus alakra hozhatók. Az angol John Wallis (1616-1703) "Arithmetica infinitorum" (A végtelenek aritmetikája) címő 1655-ben kiadott mővében a Descartes-féle analitikus geometria módszereivel tárgyalta a kúpszeleteket. Jan Witt (1625-1672) holland 6
matematikus "Elementa linearum carvarum" (A görbe vonalak elemei) címő 1659-ben megjelent munkája volt az elsı rendszeres analitikus geometria kézikönyv. A francia Philippe de Lahire (1640-1718) elsınek írta fel "Nouveaux éléments des sections coniques" (A kúpszeletek új elmélete) címő mővében egy felület egyenletét, s ezzel sikerült egy térbeli alakzatot megragadni analitikus geometriai eszközökkel. Sylvestre Francois Lacroix (17651843) francia matematikustól származik az analitikus geometria elnevezés. Sir Isaac Newton (1643-1727) angol matematikus és fizikus a Descartes-féle analitikus geometriát a harmadrendő görbék tanulmányozásához használta fel. E görbéket leíró egyenleteik fokszáma szerint osztályozta, s vizsgálataival megvetette az algebrai geometria alapjait, amelynek tárgya az algebrai görbék és felületek kutatása. Newton a Descartes-féle koordinátarendszert már a ma közismert formában használta: mindkét tengelyt negatív felével együtt tekintette, s a tengelyek egymással teljesen egyenértékő szerepet játszottak. A francia Alexis Claude Clairaut (1713-1765) "Recherches sur les courbes à double courbure" (Tanulmányok a kettıs görbülető görbékrıl) címő 1731ben kiadott mőve az elsı analitikus térgeometria. Az elsı igazán mai értelemben vett analitikus geometriát a svájci származású Leonhard Euler (1707-1783) írta meg, rendszerezve benne a már korábban feltárt, s az általa felfedezett ismereteket. Az 1748-ban megjelent "Introductio in analysis infinitorum" (Bevezetés a végtelenek analízisébe) címő mővének II. kötetében olvashatjuk a sík és a tér részletesen és tervszerően felépített analitikus geometriáját. Vizsgálatai során alkalmazott derékszögő, ferdeszögő és polár koordinátarendszereket, s meghatározta a koordináták transzformációjának képleteit. Foglalkozott algebrai geometriával, kidolgozta a trigonometria ma is használatos rendszerét. Analitikus geometriai úton bevezette az affin transzformációkat, s felírta a nem elfajuló másodrendő felületek egyenleteit is. A német August Ferdinand Möbius (1790-1868) "Der baryzentrische Kalkül" (A baricentrikus számítás) címő munkájával a homogén koordináták használatát vezette be az analitikus geometriába. Ezt a munkát folytatta Julius Plücker (1801-1868) szintén német matematikus több mővében is. A "System der analytischen Geometrie" (Az analitikus geometria rendszere) címő 1835ben megjelent könyvében a többdimenziós analitikus geometriát homogén koordinátákkal tárgyalta, a "Theorie der algebraische Curven" (Az algebrai görbék elmélete) címő 1839-ben kiadott munkájában pedig kidolgozta homo7
gén koordinátákat alkalmazva a kúpszeletek és az algebrai görbék rendszeres elméletét. A lineáris egyenletrendszerek elméletének történetét tanulmányozva megállapíthatjuk, hogy a XIX. század utolsó negyedéig csak megegyezı számú egyenletet és ismeretlent tartalmazó egyenletrendszereket vizsgáltak a kutatók. Az ilyen típusú lineáris egyenletrendszerekre vonatkozó megoldóképlettel három egyenlet és három ismeretlen esetén Gottfried Wilhelm Freiherr von Leibniz (1646-1716) német matematikus egy 1693-ban kelt, L'Hospital francia matematikushoz írt levelében tett említést, bár a módszer számára már 1678-ban ismert volt. Az általa adott megoldóképletben bukkant fel elıször a determináns, ám fejtegetései csakhamar feledésbe merültek. Így a determinánsok igazi felfedezıjének Gabriel Cramer (1704-1752) svájci filozófia tanárt kell tekintenünk, aki 1750-ben megjelent "Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques" (Bevezetés az algebrai görbék analízisébe) címő munkájában megadta az n egyenletet és n ismeretlent tartalmazó lineáris egyenletrendszer megoldóképletét. E megoldóképletet igyekezett minél egyszerőbb formában megfogalmazni, s így jutott el a determináns fogalmához. A francia Étienne Bézout (1739-1783) 1764-ben, Pierre Simon Laplace (1749-1827) 1772-ben, továbbá Alexandre Théophile Vandermonde (17351796) szintén 1772-ben tovább egyszerősítették Cramernak a determinánsokra vonatkozó jelöléseit. A determinánsok értékének a Cramer-féle definíció alapján történı kiszámítása nagyobb n értékek esetén igen nehézkes. Ezért a determinánsokkal foglalkozó matematikusok mindenekelıtt arra törekedtek, hogy ennél egyszerőbb kiszámítási módszereket találjanak. Ilyen módszert tetszıleges n-ed rendő determináns esetén Laplace dolgozott ki, s eredményeit a "Recherches sur le calcul intégral" (Tanulmányok az integrálszámításról) címő munkájában 1772-ben hozta nyilvánosságra. Joseph Louis Lagrange (1736-1813) francia matematikus 1773-ban felfedezte a 3-ad rendő determináns alapvetı tulajdonságait, s bevezette a reciprok determináns fogalmát. Carl Friedrich Gauss (1777-1855) német matematikustól származik a determináns elnevezés. Nála a kvadratikus alakok transzformációinak vizsgálata során bukkantak fel ezek a sajátos kifejezések. A francia Augustin Louis Cauchy (1789-1857) összefoglalta a determinánsokra vonatkozó addigi ismereteket, s neki tulajdoníthatjuk a determinánsok önálló elméletének megalapozását. Egy 1812-ben megtartott elıadásában, 8
amelynek anyaga nyomtatásban csak 1815-ben jelent meg, Cauchy az alternáló függvényekbıl kiindulva meghatározta az n-ed rendő determinánsok tulajdonságait, s igazolta a determinánsok szorzási tételét is. Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851) német matematikus és fizikus 1841ben írt "De formatione et proprietatibus determinantium" (A determinánsok alakjáról és tulajdonságairól) címő értekezése ráirányította a matematikusok figyelmét a determinánsok fontosságára, elınyeire, továbbá az analízis és a geometria területén való alkalmazhatóságára is. Elérkeztünk a XIX. század közepéhez, amikor az analitikus geometriából és a lineáris egyenletrendszerek elméletébıl egy német és egy ír tudós munkái nyomán megszületett a lineáris algebra, illetve a vektorszámítás módszere. Hermann Grassmann (1809-1877) német matematikus, fizikus és nyelvész 1844-ben publikálta a "Die lineare Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik" (A lineáris kiterjedéstan, a matematika egy új ága) címő értekezését. Ez a mő a vektorszámításnak tetszıleges véges dimenzió számú térre alkalmas formalizmussal történı kifejtését tartalmazta, bár Grassmann csupán a legfeljebb 3-dimenziós tér elméletét tekintette geometriának. Az 1862ben kiadott "Die Ausdehnungslehre" (A kiterjedéstan) címő mőve az elızınek tökéletesített, bıvített és részletesebben kifejtett változata volt. Grassmann eredményeitıl függetlenül az ír William Rowan Hamilton (18051865) 1833-ban terjesztette fel az Ír Akadémiának a komplex számokról, mint rendezett valós számpárok algebrájáról szóló értekezését, majd mintegy tíz éves munkával megalkotta a kvaterniók, mint rendezett valós számnégyesek algebráját. Az 1853-ban megjelent "Lectures on Quaternions" (Elıadások a kvaterniókról) címő mővével egy minden tekintetben kész rendszerrel lepte meg a tudományos világot. A mő tökéletesített változatát 1866-ban "Elements of Quaternions" (A kvaterniók elemei) címmel adták ki. Érdekes párhuzam Grassmann és Hamilton között az is, hogy mindketten foglalkoztak a matematikán kívül nyelvészettel is. Megjegyezzük még, hogy a skalár és a vektor elnevezés Hamiltontól származik. 1845-ben az angol Arthur Cayley (1821-1895) megalapozta a mátrixok elméletét, amelyet a szintén angol James Joseph Sylvester (1814-1897) fejlesztett tovább. Cayleytıl származik egyébként a determinánsok mai jelölése is. Georg Frobenius (1849-1917) német matematikus Cayley eredményeire alapozva bevezette a mátrix rangjának fogalmát és megalkotta a lineáris egyenletrendszerek általános elméletét. 9
A fentieken kívül jelentıs eredményeket értek el a lineáris algebra kiépítésében a német Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815-1897) és Leopold Kronecker (1823-1891), továbbá a francia Charles Hermite (1822-1901) és Camille Jordan (1838-1921). Josiah Willard Gibbs (1839-1903) "Elements of Vector Analysis" (A vektoranalízis elemei) címő, az 1881-1884 években megjelent munkájában elsısorban Grassmann és Hamilton eredményeit felhasználva kidolgozta a vektorszámítás jelenlegi formáját. Az olasz Giuseppe Peano (1858-1932) 1888-ban axiomatikus úton alapozta meg a vektorterek elméletét. Ernst Steinitz (1871-1928) német matematikus pedig az "Algebraischer Theorie der Körper" (A testek algebrai elmélete) címő 1910-ben megjelent mővében axiomatikusan megalapozta a testelméletet, s így vált lehetıvé a tetszıleges test feletti vektorterek tanulmányozása. A lineáris algebra korszerő elméletének kidolgozása azzal a törekvéssel függött össze, hogy tételeit véges dimenziós vektorterekrıl végtelen dimenziós vektorterekre is kiterjesszék. Ez által lehetıség nyílt a lineáris algebra eredményeinek a funkcionálanalízisben való alkalmazására is. Jelentıs eredményeket értek el ezen a téren Otto Toeplitz (1881-1940) és David Hilbert (1862-1943) német matematikusok, továbbá úttörı jelentıségő a magyar Riesz Frigyes (1880-1956) 1913-ban megjelent "Les systèmes d'équation linéaires à une infinité d'inconnues" (Végtelen sok ismeretlenes lineáris egyenletrendszerek) címő munkája. A lineáris algebrával több magyar kutató is foglalkozott. Hunyadi Jenı (1838-1889) és Scholtz Ágoston (1844-1916) a determinánsok elméletében, Réthy Mór (1848-1925), Zemplén Gyızı (1879-1916) és Farkas Gyula (1847-1930) a vektoralgebra és a vektoranalízis területén, Egerváry Jenı (1891-1958) a mátrixelméletben értek el jelentıs eredményeket.
10
