Dynamické systémy 4 Deterministický chaos Ing. Jaroslav Jíra, CSc.
Jednorozměrné mapy Jednorozměrné mapy (též známé jako diferenční rovnice) jsou matematické systémy, které modelují vývoj proměnné v čase po diskrétních krocích.
Obecná forma vypadá takto
takové
mapy
xn1 f ( xn )
Z předchozího již známe příklad lineární mapy (bankovní účet):
xn1 rxn
a také známe příklad nelineární mapy (logistická mapa):
xn1 rxn (1 xn )
V následujícím si ukážeme novou techniku řešení takovýchto diferenčních rovnic. Nazývá se pavučinový diagram.
Pavučinový diagram Jako příklad použijeme známou logistickou rovnici (logistickou mapu) v podobě y=rxn (1-xn ) . Základním krokem je nakreslení grafu funkce y=f(x) a nakreslení přímky odpovídající y=x. a) Poté na ose x označíme počáteční bod, v našem příkladě x0=0.08 . b) Z tohoto bodu nakreslíme vertikální čáru k funkci f(x), čímž dostaneme f(x0)=x1. c) Z tohoto bodu nakreslíme horizontální čáru k přímce y=x, čímž se dostaneme na úroveň bodu x1 také v horizontálním směru. d) Z tohoto bodu znova kreslím vertikální čáru k funkci f(x), čímž získáme f(x1)=x2 Postup opakujeme tak dlouho, dokud se nedostaneme do pevného bodu.
Příklady pavučinových diagramů pro různé hodnoty parametru r Pro r=2.0 máme jediný pevný bod v 0.5
Pro r=2.93 máme stále jediný pevný bod v 0.6587, ale konvergence je velmi pomalá.
Příklady pavučinových diagramů pro různé hodnoty parametru r Pro r=3.39 máme dvě periodicky se střídající hodnoty 0.45 a 0.84
Pro r=3.45 máme čtyři periodicky se střídající hodnoty 0.846, 0.4495, 0.8537 a 0.4309
Příklady pavučinových diagramů pro různé hodnoty parametru r Pro r=3.57 je střídajících se hodnot šestnáct.
Pro r=3.97 jsme již chaosu.
oblasti
Feigenbaumovy konstanty Feigenbaumovy konstanty jsou dvě konstanty pojmenované po matematikovi Michelu Fiegenbaumovi a váží se k bifurkačním diagramům. Tyto konstanty jsou univerzální pro bifurkace se zdvojováním periody. Lze je také pozorovat např. v Mandelbrotově množině.
Pokud si zvětšíme šedě vyznačenou oblast, v bifurkačním diagramu logistické rovnice, získáme graf zobrazení v dolní části. Vertikální modré čáry označují hodnoty r, kde dochází k bifurkacím.
Pokud si ve zvětšené části diagramu vyznačíme další oblast, a opět ji zvětšíme, dostaneme opět podobný tvar.
Feigenbaumova konstanta delta Vyjádříme-li di bifurkační hodnoty numericky, získáme tabulku vpravo, kde n je pořadové číslo bifurkace, perioda je počet cyklujících hodnot za touto bifurkací a rn je odpovídající hodnota parametru r pro tuto bifurkaci. Poslední hodnota označená ∞ se nazývá akumulační bod. Za tímto bodem začíná oblast chaosu. Poměr (ratio) je vyjádřen tímto vzorcem:
rn rn 1 ratio rn1 rn
Například
ratio
3.44948974 3 4.751446 3.54409036 3.44948974
Poměr konverguje k hodnotě 4.669201609…, což je hodnota Feigenbaumovy konstanty delta
rn rn1 lim 4.669201609 n r n 1 rn
Feigenbaumova konstanta alfa Budeme-li měřit vertikální rozteče „vidliček“ v bifurkačním diagramu vztažené k hodnotě x=0.5, a označíme-li je postupně a1, a2, a3 …, objevíme další poměr, který konverguje k určité konstantní hodnotě.
an lim 2.502907875 n a n 1 Číslo 2.502907875 je hodnota Feigenbaumovy konstanty alfa
Atraktor dynamického systému Atraktorem je stav, do kterého systém směřuje. Je to množina, ve které je stavový vektor v nekonečném čase. 1. Pevný bod. Systém směřuje k jednomu určitému stavu a vněm zůstává. Příkladem je tlumené kyvadlo nebo koule na dně půlkulové misky. 2. Periodický nebo kvaziperiodický. Systém směřuje k limitnímu cyklu. Příkladem je netlumené kyvadlo nebo planeta obíhající kolem Slunce. 3. Podivný atraktor. Systém je velmi citlivý na počáteční podmínky, chová se chaoticky, a my nejsme schopni jednoduše předpovědět jeho chování. Chaotické chování však neznamená náhodné chování. Pro stejné počáteční podmínky dostáváme vždy stejné řešení. Tento atraktor vykazuje vlastnosti do jisté míry shodné s těmi, jako mají fraktály. Příkladem je Lorenzův atraktor nebo Mandelbrotova množina.
Lorenzův atraktor Tento podivný atraktor je pojmenován po meteorologovi Edwardu Lorenzovi, který se pokoušel vytvořit matematický model atmosféry pro předpovídání počasí. Model se skládal z válcové nádoby naplněné vzduchem, která byla zespoda ohřívána a zeshora chlazena, zatímco stěny byly udržovány na konstantní teplotě. Původní soustava dvanácti diferenciálních rovnic byla zjednodušena na tři:
dx ( y x) dt dy r x y xz dt dz xy z dt
kde δ je poměr viskozity média k jeho tepelné vodivosti, r představuje teplotní rozdíl mezi horní a dolní podstavou válce, β je poměr výšky nádoby k její šířce, x představuje rychlost rotace média, y představuje rozdíl teplot mezi mezi stoupající a klesající vrstvou média a z představuje odchylku od lineárního teplotního gradientu ve vertikálním směru. Nejčastěji používané hodnoty parametrů: δ= 10, r= 28 and β= 8/3
Při propočítávání tohoto modelu Lorenz narazil na zvláštní jev. Když zadal počáteční podmínky, které se od předchozích jen nepatrně lišily, dostal zcela odlišné výsledky.
Tento efekt byl později pojmenován jako efekt motýlích křídel, jenž vyjadřuje vysokou citlivost na počáteční podmínky podle metafory říkající, že „Jediné mávnutí motýlích křídel v Jižní Americe může způsobit změnu počasí v Texasu“. Následující grafy vyjadřují časovou závislost funkcí x(t) a z(t) v Lorenzově atraktoru pro doporučené hodnoty parametrů a počáteční podmínky x(0)=1; y(0)=1; z(0)=10
Ukázka efektu motýlích křídel Následující grafy ukazují časovou závislost funkcí x(t) a z(t) v Lorenzově atraktoru pro doporučené parametry, přičemž modré křivky se váží k počátečním podmínkám x(0)=1; y(0)=1; z(0)=10 a červené křivky se váží k počátečním podmínkám x(0)=1; y(0)=1; z(0)=10.01
Nepatrná změna počátečních podmínek znamená velkou změnu ve výsledném průběhu.
3D podoba Lorenzova atraktoru z různých úhlů
3D porovnání různých počátečních podmínek x(0)=1; y(0)=1; z(0)=10
x(0)=1.01; y(0)=1; z(0)=10
Pevné body a stabilita Lorenzova atraktoru Soustava rovnic
Podmínky pro pevné body
x ( y x) y r x y x z
( y x) 0
yx
r x y xz 0
r x x xz
z x y z
xy z 0
x2 z
Řešením dostáváme tři pevné body
z r 1 x 2 z (r 1)
Pro r=28 a β=8/3
(r 1) (r 1) 0 ~ x A 0; ~ xB (r 1) ; ~ xC (r 1) ; r 1 r 1 0
72 72 ~ ~ xB 72 ; xC 72 ; 27 27
Jacobiho matice původního systému
0 Df r z 1 x y x
x ( y x) y r x y x z z x y z
Linearizovaná Jacobiho matice pro pevné body a odpovídající vlastní čísla
0 10 10 Df ( ~ x A ) 28 1 0 0 0 8 / 3 0 10 10 Df ( ~ xB ) 1 1 72 72 72 8 / 3 10 0 10 Df ( ~ xC ) 1 1 72 72 72 8 / 3
λ1=-22.8, λ2=11.8, λ3=-2.67,
λ1=-13.8, λ2=0.09+10.2i, λ3=0.09-10.2i
λ1=-13.8, λ2=0.09+10.2i, λ3=0.09-10.2i
Závěr ohledně pevných bodů: všechny tři pevné body jsou nestabilní, protože všechny obsahují vlastní číslo s kladnou reálnou částí. Program v Mathematice pro kreslení Lorenzova atraktoru.
Obrázek vlevo ukazuje 3D grafický výstup pro počáteční podmínky v jednom z pevných bodů, obrázek vpravo má nepatrně jiný počáteční stav.
A ( 72 , 72 , 27)
B ( 72 , 72 , 27.0001)
Fraktály Fraktál je geometrický tvar, který má následující vlastnosti:
• Je soběpodobný, což znamená, že můžeme pozorovat určitý tvar na více místech a v různých měřítkách • Má jednoduchou rekurzivní definici • Má jemnou strukturu i ve velmi malých měřítkách • Je příliš nepravidelný na to, aby byl jednoduše popsán jazykem euklidovské geometrie. • Má Hausdorfovu dimenzi své hranice vyšší než je její topologická dimenze.
Topologická dimenze – bod má topologickou dimenzi 0, přímka či křivka má dimenzi 1, povrch má dimenzi 2 atd. Hausdorffova dimenze – pokud objekt obsahuje n kopií sebe sama, které jsou přitom k-krát zmenšené oproti původnímu rozměru, potom lze Hausdorffovu dimenzi spočítat jako log(n)/log(k) Příklad – Cantorova množina Postup vzniku této množiny – na začátku máme úsečku, kterou rozdělíme na tři části. Vynecháme prostřední část a dvě krajní části nakreslíme pod původní úsečku. Tento postup opakujeme s každou nově vzniklou úsečkou.
Budeme-li tento postup opakovat do nekonečna, dostaneme nekonečné množství bodů s topologickou dimenzí 0. Množina obsahuje n=2 kopie sebe sama, které jsou zmenšeny na 1/3 původní velikosti (k=3). Hausdorffova dimenze je log(2)/log(3)=0.6309…, což je větší než 0, tudíž je splněna podmínka pro fraktál.
Mandelbrotova množina Mandelbrotova množina M je množinou hodnot c v komplexní rovině, pro než při nekonečném počtu iterací podle vzorce zn+1=zn 2+c pro z0=0 platí, že hodnota z zůstává konečná. Jedná se o množinu komplexních čísel, pro než platí kde sekvence z0,z1,z2… je definována rekurzivním vzorcem
lim zn n
zn 1 zn c ; z0 0 2
Konstanta c představuje souřadnice zkoumaného bodu. Základní vlastnosti: • celá množina leží uvnitř kružnice o poloměru 2 se středem v počátku • množina je souvislá • Hausdorffova dimenze množiny je 2 • plocha Mandelbrotovy množiny je odhadována na 1.50659177 • je-li absolutní hodnota kteréhokoli zn větší než 2, potom sekvence roste do nekonečna • průsečík M s reálnou osou je přesně v intervalu [-2, 0.25]
Příklady iterací podle vzorce zn+1=zn 2+c pro rlzné hodnoty konstanty c.
Mandelbrotova množina vypočítaná v Matlabu
Černé oblasti představují body, které nedosáhly „nekonečna“ ani po 500 iteracích (nekonečno pro Matlab je řádově 10308). Barvy na HSV škále vpravo představují počet iterací potřebný pro dosažení „nekonečna“. Červené oblasti představují body dosáhly „nekonečna“ během prvních 35 iterací. Každá další barva znamená o 30 iterací více, tzn. například žlutá barva znamená body, které dosáhly „nekonečna“ mezi 95 a 125 iterací.
Některé zajímavé oblasti Mandelbrotovy množiny
Deterministický chaos – dvojité kyvadlo
