Dr. Kuczmann Miklós, Ph.D

´dio ´ frekvencia ´s Induktivita ´s Ra ´geselemes Anal´ızise e ´s Ve ´si Leheto ˝ se ´gei Fejleszte K´esz´ıtette:

´ lik Zolta ´n Po Villamosm´ern¨oki (B.Sc.) szakos hallgat´o

Konzulens:

´ s, Ph.D. Dr. Kuczmann Miklo Egyetemi docens

A dolgozat az Orsz´agos Tudom´anyos Di´akk¨ori Tan´acs ´altal szervezett ´ gos Tudoma ´ nyos Dia ´ kko ¨ ri Konferencia XXIX. Orsza M˝ uszaki Tudom´anyi Szekci´oj´aban val´o r´eszv´etelre k´esz¨ ult

T´avk¨ozl´esi Tansz´ek Elektrom´agneses Terek Laborat´orium Sz´echenyi Istv´an Egyetem Gy˝or 2009

P´olik Zolt´an, OTDK Dolgozat

2009

A zsenialit´as - vagyis az a k´epess´eg, hogy valami u ´jat felfedezz¨ unk - mindig azt jelenti, hogy valakinek els˝ok´ent jut esz´ebe egy teljesen mag´at´ol ´ertet˝od˝o dolog. /Gustav Ludwig Hertz/

I

Tartalomjegyz´ ek 1. Bevezet´ es 1.1. A dolgozat ´attekint´ese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. K¨osz¨onetnyilv´an´ıt´as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Irodalmi ´ attekint´ es 2.1. Az induktivit´asok fontosabb jellemz˝oi 2.2. A r´adi´oamat˝or¨ok munk´ass´aga . . . . 2.3. Induktivit´asok analitikus modellez´ese 2.4. A v´egeselem-m´odszer . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

3. Elm´ eleti h´ att´ er 3.1. A Maxwell-egyenletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Az Maxwell-egyenletek integr´alis ´es differenci´alis 3.1.2. A Maxwell-egyenletek oszt´alyoz´asa . . . . . . . 3.1.3. Hat´ar- ´es peremfelt´etelek . . . . . . . . . . . . . 3.2. Potenci´alformalizmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. A gyenge alak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Szimul´ aci´ o COMSOL Multiphysics k¨ ornyezetben 4.1. A feladat ´attekint´ese . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Teend˝ok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. A k´etdimenzi´os modell . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. A feladat megold´asa . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1. A modell berajzol´asa . . . . . . . . . . . . . 4.4.2. Preprocessz´al´as . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3. PDE megad´asa . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.4. R´acsgener´al´as ´es szimul´aci´o . . . . . . . . . 4.4.5. A modell optimaliz´al´asa . . . . . . . . . . . 4.4.6. A szimul´aci´ok eredm´enyei, posztprocessz´al´as ´ anyagok a gy´art´asban . . . . . . . . . . . 4.4.7. Uj 5. Konkl´ uzi´ o´ es j¨ ov˝ obeli tervek

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . . alakja . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . .

1 2 3

. . . .

4 4 6 9 11

. . . . . .

16 16 16 18 19 21 23

. . . . . . . . . . .

25 25 29 32 33 33 34 35 36 38 40 44 47

II

1. fejezet Bevezet´ es Az elekronik´aban h´arom passsz´ıv komponens ismert, az ellen´all´as, a kapacit´as ´es az induktivit´as. Az induktivit´as, m´asn´even tekercs olyan passz´ıv alkatr´esz, amely k´epes a rajta ´atfoly´o ´aram ´altal l´etrehozott m´agneses energi´at t´arolni [1]. Fel´ep´ıt´es´et tekintve az induktivit´as egy feltekercselt vezet˝o, mely ´allhat egyetlen ´aramhurokb´ol vagy t¨obb ezer menetb˝ol is. A feltekercselt vezet˝o ´altal´aban szolenoid vagy toroid alak´ u, ferrom´agneses vagy dielektromos tulajdons´agokkal rendelkez˝o hordoz´o anyagra ker¨ ul, de l´eteznek bonyolultabb form´aj´ u ´es l´egmagos tekercsek is. M´eret¨ uk nagyban f¨ ugg felhaszn´al´asi ter¨ ulet¨ ukt˝ol, a legkisebbek a millim´etern´el is kisebbek, a legnagyobbak ak´ar m´eteres nagys´agrend˝ uek is lehetnek. Elm´eleti ismereteink szerint az induktivit´as egy tiszt´an reakt´ans, line´aris, id˝oinvari´ans elem, amelyen az ´atfoly´o, id˝oben v´altoz´o iL = iL (t) ´aram ´es a rajta es˝o id˝oben v´altoz´o uL = uL (t) fesz¨ ults´eg kapcsolata a k¨ovetkez˝o differenci´alegyenlettel ´ırhat´o le [2]: uL (t) = L

diL (t) . dt

(1.1)

Az induktivit´as, mint mennyis´eg jele: L, amelyet legel˝osz¨or Oliver Heaviside haszn´alt 1886 febru´arj´aban [3]. Joseph Henry tisztelet´ere az induktivit´as dimenzi´oja henry [H]. 2 1 H= 1Wb . SI alap´ u m´ert´ekegys´egekben kifejezve a weber m´ert´ekegys´ege kgs2mA , amely 1A egyszer˝ us´ıtve volt-szekundum (Vs). M´assz´oval 1 H jelenti azt a mennyis´eget, amely 1 As ´aramv´altoz´as eset´en 1 V fesz¨ ult´esget hoz l´etre. Egy alkatr´esz ¨oninduktivit´asa a Φ m´agneses fluxus ´es az eszk¨oz¨on ´atfoly´o iL ´aram h´anyados´aval adhat´o meg, amelyet egyszer˝ ubben az alkatr´esz induktivit´as´anak nevez¨ unk: L=N

Φ , iL

(1.2)

ahol N a menetek sz´ama. Egy ide´alis induktivit´as tiszt´an reakt´ıv komponens, teh´at csak induktivit´asa van, ellen´all´asa ´es kapacit´asa nincs, nem disszip´al energi´at, azonban a val´os´agban nem megval´os´ıthat´o. Egy val´odi induktivit´as ezzel szemben rendelkezik ellen´all´assal a tekercsel˝o huzal ellen´all´as´anak k¨osz¨onhet˝oen, van n´emi kapacit´asa, amely a menetek k¨oz¨otti sz´ort kapacit´asokb´ol ad´odik, tov´abb´a energi´at is disszip´al a huzal ellen´all´as´anak k¨ovetkezt´eben l´etrej¨ov˝o h˝om´ers´eklet-n¨oveked´es ´altal. A ferrom´agneses anyagb´ol k´esz¨ ult maggal rendelkez˝o tekercsek energi´at disszip´alnak m´eg az anyag hiszter´ezis- ´es ¨orv´eny´aramvesztes´eg´enek k¨osz¨onhet˝oen is. Ez az oka annak, hogy az induktivit´as a legkev´esb´e ide´alis, teh´at legnehezebben modellezhet˝o ´es tervezhet˝o passz´ıv alkatr´esz. 1

P´olik Zolt´an, OTDK Dolgozat

2009

Az elektronikai alkatr´eszgy´art´ok tetemes id˝ot ´es p´enzt fektetnek induktivit´asaik fejleszt´es´ebe, ide ´ertve u ´j alkatr´eszek tervez´es´et a piaci ig´enyeknek megfele˝oen, valamint a m´ar gy´art´asban l´ev˝ok param´etereinek fejleszt´es´et, mely param´eterek k¨oz¨ ul a legfontosabbak az induktivit´as ´ert´eke, az impedancia nagys´aga, a j´os´agi t´enyez˝o ´ert´eke, az alkatr´esz m´eretei, stb. Napjainkban a legelterjedtebb m´odszer a fejleszt´esi f´azisban m´eg mindig az analitikus sz´am´ıt´asok eredm´enyein ´es a tapasztalatokon alapul. A gy´art´ok rengeteg pr´obaalkatr´eszt gy´artanak le ´es vizsg´alnak meg, mire kialakul a v´egleges, gy´art´asra is alkalmas tov´abbfejlesztett komponens. A fejleszt´esek alapj´aul gyakran szolg´alnak a XX. sz´azad elej´en tev´ekenyked˝o un. r´adi´o amat˝or¨ok, ´ıgy Nagaoka, Medhurst, Lundin, Wheeler, stb. [4–8] munk´ai, akik b´ar rengeteg t¨orv´enyszer˝ us´eget figyeltek meg ´es ´ırtak le induktivit´asokkal kapcsolatban, munk´aik m´egsem nevezhet˝oek teljesen ´atfog´onak, ´ıgy gyakorlati alkalmaz´asuk is csak speci´alis esetekben lehets´eges. Nem alkalmazhat´ok p´eld´aul tetsz˝oleges alak´ u tekercsek sz´amol´as´ara, ami azonban napjaink elektronikai vil´ag´at ismerve mindenk´eppen sz¨ uks´egszer˝ u volna. Eredm´enyeik j´ol haszn´alhat´ok azonban ellen˝orz´es´ere ´es k¨ ul¨onb¨oz˝o folyamatok meg´ert´es´ere. Mindezeket figyelembe v´eve, u ´j, hat´ekonyabb m´odszerek alkalmaz´as´anak l´etjogosults´aga megk´erd˝ojelezhetetlen induktivit´asok tervez´es´eben ´es fejleszt´es´eben. Sz´amos m´ern¨oki kutat´asi ´es fejleszt´esi ter¨ uleten egyre n´epszer˝ ubb a sz´am´ıt´og´eppel t´amogatott tervez´es, azaz a CAD (Computer Aided Design), gyorsas´ag´anak ´es j´o alkalmazhat´os´ag´anak k¨osz¨onhet˝oen. Egy u ´j eszk¨ozr˝ol p´eld´aul v´egeselem-m´odszerrel t¨ort´en˝o szimul´aci´o seg´ıts´eg´evel m´eg a gy´art´osor be´all´ıt´asa, az u ´j anyagok megrendel´ese ´es tov´abbi k¨olts´eges l´ep´esek el˝ott eld¨onthet˝o, hogy ´erdemes-e gy´artani, vagy sem. Munk´am c´elja ezek alapj´an az EPCOS Elektronikai Alkatr´esz Kft. meghat´arozott t´ıpus´ u induktivit´asainak vizsg´alata ´es feljeszt´esi lehet˝os´egeinek meghat´aroz´asa v´egeselemm´odszer seg´ıts´eg´evel.

1.1.

A dolgozat ´ attekint´ ese

Munk´am els˝odleges c´elkit˝ uz´ese SMT (Surface Mount Technology) induktivit´asok szimul´aci´oj´anak elv´egz´ese v´egeselem-m´odszer alkalmaz´as´aval, valamint a szimul´aci´ok eredm´enyeinek ´ert´ekel´ese, a k¨ovetkeztet´esek levon´asa, v´eg¨ ul az alkatr´eszek n´eh´any meghat´arozott param´eter´enek tov´abfejleszt´ese. Szem´elyes n´ez˝opontb´ol a legfontosabb c´elom az induktivit´asok bels˝o m˝ uk¨od´es´enek ´es legfontosabb tulajdons´againak meg´ert´ese ´es megtanul´asa, bele´ertve sz´amos fizikai jelens´eget ´es azok hat´asait az alkatr´eszek param´etereire. C´elom tov´ab´a r´aj¨onni hogyan lehets´eges az egyes param´eterek m´odos´ıt´asa, m´as tulajdons´agok v´altoztat´as´aval, ezen kereszt¨ ul pedig az alkatr´eszek tov´abbfejleszt´esi, jav´ıt´asi lehet˝os´egeinek meghat´aroz´asa. M´ern¨oki szemsz¨ogb˝ol n´ezve a kutat´as c´elja egy olyan v´egeselemes modell l´etrehoz´asa, amely k´epes tetsz˝oleges induktivit´asok pontos szimul´aci´oj´ara ´es azok fontos param´etereinek (induktivit´as, impedancia, ellen´all´as, j´os´agi t´enyez˝o) kisz´am´ıt´as´ara, el˝orejelz´es´ere a teljes frekvenciatartom´anyban. Ezen ismeretek birtok´aban k´epesek lenn´enk jobb induktivit´asok kifejleszt´es´ere, gy´art´as´ara. A kit˝ uz¨ott c´elok megval´os´ıt´asa ´erdek´eben munk´am sor´an el˝osz¨or egy v´egeselemes modell fel´ep´ıt´es´et v´egeztem el, amely k´epes tetsz˝oleges m´eret˝ u, form´aj´ u ´es anyag´ u induktivit´as szimul´aci´oj´ara. A modellt a COMSOL Multiphysics szoftvercsomag seg´ıts´eg´evel ´es vektor v´egeselemek alkalmaz´as´aval k´esz´ıtettem el. A feladat megold´as´ahoz sz¨ uks´eges potenci´alformalizmus kidolgoz´as´at A m´agneses vektorpotenci´al ´es V elektromos skal´ar2

P´olik Zolt´an, OTDK Dolgozat

2009

potenci´al alkalmaz´as´aval v´egeztem el. A vizsg´alt induktivit´as j´os´agi t´enyez˝oj´enek n¨ovel´ese ´erdek´eben sz´amos tekercsel´esi k´epet vizsg´altam a fel´ep´ıtett v´egeselemes modellel t¨ort´en˝o szimul´aci´okon ´es a gy´art´osoron elk´esz´ıtett k´ıs´erleti alkatr´eszeken v´egzett m´er´eseken kereszt¨ ul egyar´ant. A k´ıs´erleti alkatr´eszek legy´art´as´at ´es m´er´es´et az EPCOS AG magyarorsz´agi telephely´en, Szombathelyen v´egeztem. A m´er´esi eredm´enyeket ¨osszevetettem a szimul´aci´os eredm´enyekkel a v´egeselemes modell pontos m˝ uk¨od´es´enek ellen˝orz´ese c´elj´ab´ol. A feladat lez´ar´asak´ent javaslatot tettem a gy´art´onak az eszk¨oz lehets´eges fejleszt´esi lehet˝os´egeir˝ol. Munk´am fel´ep´ıt´ese a k¨ovetkez˝o: A m´asodik fejezet egy r¨ovid irodalmi ´attekint´est ny´ ujt a dolgozatom ´altal ´erintett t´em´akban sz¨ uletett eredm´enyekr˝ol, n´eh´any konkr´et, kiemelt p´eld´an kereszt¨ ul. Megeml´ıt´esre ker¨ ulnek az induktivit´asok fontosabb param´eterei, a XX. sz´azad elej´en tev´ekenyked˝o r´adi´oamat˝or¨ok munk´aj´anak n´eh´any r´eszlete, az induktivit´asok analitikus modellez´es´evel kapcsolatban sz¨ uletett fontosabb eredm´enyek, valamint a v´egeselem-m´odszerrel kapcsolatos n´eh´any alapfogalom. A harmadik fejezet a v´egeselemes szimul´aci´ok elm´eleti h´atter´et mutatja be. A Maxwellegyenletekb˝ol kiindulva a feladat megold´asa sor´an haszn´alt potenci´alformalizmus, valamint gyenge alakj´anak levezet´ese ker¨ ul le´ır´asra. A negyedik fejezet mutatja be munk´am gyakorlati r´esz´et, amely a COMSOL Multiphysics szoftvercsomag seg´ıts´eg´evel v´egzett modellez´es. Itt a probl´ema ´attekint´es´ere, a v´egeselemes modell fel´ep´ıt´es´ere, a szimul´aci´ora, a szimul´aci´os ´es m´er´esi eredm´enyek ¨osszehasonl´ıt´as´ara ´es az ezekb˝ol levont konkl´ uzi´ora t´erek ki b˝ovebben. V´eg¨ ul a munka ´ert´ekel´ese ´es a j¨ov˝obeli terveim olvashat´oak az ¨ot¨odik fejezetben. A felhaszn´alt irodalom felsorol´asa a dolgozat v´eg´en tal´alhat´o. A dolgozat elk´esz´ıt´es´ehez LATEX sz¨ovegszerkeszt˝ot haszn´altam.

1.2.

K¨ osz¨ onetnyilv´ an´ıt´ as

Dolgozatom elk´esz´ıt´es´et a Sz´echenyi Istv´an Egyetem (15-3210-02), az EPCOS Elektronikai Alkatr´esz Kft. ´es az Orsz´agos Tudom´anyos Kutat´asi Alap (OTKA PD 73242) t´amogatta. Ez´ uton szeretn´ek k¨osz¨onetet mondani konzulensemnek, Dr. Kuczmann Mikl´os, Ph.D.nek a munk´am ´es tanulm´anyaim sor´an ny´ ujtott t´amogat´as´ert, b´ator´ıt´as´ert ´es szakmai seg´ıts´egny´ ujt´as´ert. K¨osz¨onetemet szeretn´em kifejezni tov´abb´a Novotny Gy¨orgynek ´es Csurgai P´eternek a t´amogat´as´ert ´es az induktivit´asok gy´art´as´aval ´es fejleszt´es´evel kapcsolatban val´o seg´ıts´egny´ ujt´as´ert. Szeretn´ek m´eg k¨osz¨onetet mondani az Elektrom´agneses Terek Laborat´orium tagjainak ´es v´eg¨ ul, de nem utols´osorban szeretn´em megk¨osz¨onni csal´adomnak ´es bar´atn˝omnek a mindennapi meg´ert´est ´es t´amogat´ast.

3

2. fejezet Irodalmi ´ attekint´ es 2.1.

Az induktivit´ asok fontosabb jellemz˝ oi

Induktivit´asok tervez´ese sor´an sz´amos jellemz˝ot figyelembe kell venni az alkatr´esz felhaszn´al´asi ter¨ ulet´et˝ol f¨ ugg˝oen. Tekercsek eset´eben term´eszetesen a legfontosabb t´enyez˝o az induktivit´as ´ert´eke, amelyet az els˝o fejezetben m´ar meghat´aroztunk. Ez a formula (1.2) azonban csak addig igaz, ameddig az eszk¨oz ide´alisnak tekinthet˝o. Sok esetben elhanyagolhatjuk a huzal miatt jelenl´ev˝o ellen´all´ast ´es az eszk¨oz saj´at kapacit´as´at, azonban a pontos modellez´eshez ´es kalkul´aci´okhoz sz¨ uks´eges ezek figyelembe v´etele. Ha egy val´odi induktivit´assal egyen´ert´ek˝ u elektromos h´al´ozatoi modellt szeretn´enk k´esz´ıteni, az eszk¨oz ellen´all´as´at egy az L induktivit´assal sorba k¨ot¨ott R rezisztancia, a saj´at kapacit´ast pedig e kett˝ovel p´arhuzamosan kapcsolt ide´alis C kondenz´ator jelenten´e. Ezzel eljutottunk az induktivit´asok viselked´es´enek val´os´agh˝ u le´ır´as´ara alkalmas legegyszer˝ ubb elm´eleti modellig, amely a 2.1. ´abr´an l´athat´o.

2.1. ´abra. A legegyszer˝ ubb h´aromkomponens˝ u induktivit´asmodell Egy val´odi tekercs induktivit´asa p´eld´aul az alkatr´esszel egyen´ert´ek˝ u Z¯L impedanci´ab´ol hat´arozhat´o meg, amely Ohm t¨orv´eny´enek v´altakoz´o a´ram´ u esetre t¨ort´en˝o kiterjeszt´ese. M´assz´oval az alkatr´esz impedanci´aja egyenl˝o a komponensen es˝o szinuszos lefut´as´ u fesz¨ ults´eg Uˆ¯ = Uˆ ej(ωt+ϕU ) (2.1) 4

P´olik Zolt´an, OTDK Dolgozat

2009

komplex cs´ ucs´ert´eke osztva az ´atfoly´o ´aram ˆ j(ωt+ϕI ) Iˆ¯ = Ie

(2.2)

komplex cs´ ucs´ert´ek´evel, ahol ω a k¨orfrekvencia ´es ω = 2πf , ahol f a frekvencia, tov´abb´a ˆ U a fesz¨ ults´eg cs´ ucs´ert´eke, Iˆ az ´aram cs´ ucs´ert´eke, t az id˝o, ϕU a fesz¨ ults´eg f´azisa, ϕI pedig az ´aram f´azisa, teh´at Uˆ¯ (2.3) Z¯L = ZL ejθ = , Iˆ¯ ahol Z¯L a komplex impedancia ´es θ = ϕU − ϕI . Dimenzi´oj´at tekintve az impedancia megegyezik az ellen´all´assal, teh´at SI m´ert´ekegys´ege [Ω]. A fenti egyenlet eredm´enyek´ent komplex sz´amot kapunk, amib˝ol l´athat´o, hogy a komplex impedancia ´ert´eke nemcsak a fesz¨ ults´eg ´es az ´aram amplit´ ud´oj´at´ol f¨ ugg, hanem azok egym´ashoz viszony´ıtott f´azisk¨ ul¨onbs´eg´et˝ol is. Az impedancia le´ırhat´o a k¨ovetkez˝o o¨sszef¨ ugg´essel is: Z¯L = R + jX,

(2.4)

ahol az impedancia val´os r´esze az R ellen´all´as, valamint az impedancia k´epzetes r´esze az X reaktancia. Az induktivit´as ´es a kapacit´as reaktanci´aja a k¨ovetkez˝o ¨osszef¨ ugg´esekkel sz´am´ıthat´o: XL = 2πf L (2.5) ´es

1 . (2.6) 2πf C V´eg¨ ul az egyen´ert´ek˝ u soros induktivit´as meghat´aroz´asa egy eszk¨oz impedanci´aj´ab´ol a (2.4) egyenletb˝ol sz´armaztathat´o. A m´er´esek ´es a szimul´aci´ok sor´an a m´er˝om˝ uszer ´es a fel´ep´ıtett modell teh´at a k¨ovetkez˝o egyenlettel sz´am´ıtja az induktivit´as ´ert´ek´et: XC =

Ls =

Im{Z¯L } . 2πf

(2.7)

Az egyenletb˝ol l´etszik, hogy Ls tartalmazza az eszk¨oz reaktanci´aj´anak indukt´ıv (2.5) ´es kapacit´ıv (2.6) r´esz´et is, azonban induktivit´asok eset´eben a kapacit´ıv r´esz csak magas frekvenci´akon, az eszk¨oz saj´at f0 rezonanciafrekvenci´aja, k¨ozel´eben v´alik sz´amottev˝ov´e. A saj´at rezonanciafrekvenci´at n´eh´any helyen az angol szaknyelv alapj´an szok´as SRF-nek (self resonant frequency) is jel¨olni. A SRF az a frekvencia, ahol az indukt´ıv reaktancia ´es a kapacit´ıv reaktancia ´ert´eke megegyezik, ez´altal az elektromos energia oszcill´alni kezd az indukt´ıv r´esz m´agneses tere ´es a kapacit´ıv r´esz elektromos tere k¨oz¨ott. Ha sorosan kapcsolunk egym´assal egy induktivit´ast ´es egy kondenz´atort, rezonanciafrekvenci´an azt tapasztaljuk, hogy a komponensek ered˝o impedanci´aja nulla lesz, a p´arhuzamosan kapcsolt komponensek ered˝o impedanci´aja pedig v´egtelen nagy lesz rezonanciafrekvenci´an. Induktivit´asok vizsg´alata sor´an azt tapasztaljuk, hogy saj´at rezonanciafrekvenci´aj´an az impedancia v´egtelen nagy, teh´at helyes az induktivit´as modellj´eben alkalmazott p´arhuzamosan kapcsolt induktiv ´es kapacit´ıv elem. 1 Amikor az indukt´ıv ´es kapacit´ıv reaktancia egyenl˝o, teh´at ωL = ωC , akkor [2, 9, 11] ω0 = √ 5

1 , LC

(2.8)

P´olik Zolt´an, OTDK Dolgozat

2009

amelyet Thomson-k´epletnek is nevez¨ unk, ahol ω0 = 2πf0 , ´es f0 a rezonanciafrekvencia. R´adi´ofrekvenci´an m˝ uk¨od˝o induktivit´asok egyik legfontosabb jellemz˝oje a Q j´os´agi t´enyez˝o. A fizik´aban ´es a m´ern¨oki tudom´anyokban a j´os´agi t´enyez˝o egy m´ert´ekegys´eg n´elk¨ uli param´eter, mely ´altal´anosan a k¨ovetkez˝o k´eplettel ´ırhat´o le [11]: Q=ω

ES , PL

(2.9)

ahol ES az eszk¨oz ´altal t´arolt energia ´es PL a vesztes´egi teljes´ıtm´eny. A j´os´agi t´enyez˝o megmutatja egy adott k¨orfrekvenci´an az eszk¨oz ´altal t´arolt energia ´es a vesztes´egi teljes´ıtm´eny h´anyados´at. Ha PL = WTC , ahol WC a peri´odusonk´ent disszip´alt energia, akkor (2.9) le´ırhat´o ES (2.10) Q = 2π WC alakban is. Nagyobb j´os´agi t´enyez˝o teh´at kisebb disszip´alt energi´at jelent, teh´at egy mag´ara hagyott oszcill´al´o rendszer amplit´ ud´oj´anak lecseng´ese lassabb lesz. Rezon´atorokban ´es k¨ ul¨onb¨oz˝o frekvenci´akra hangolt ´aramk¨or¨okben p´eld´aul pont ez´ert fontos nagy j´os´agi t´enyez˝oj˝ u reakt´ans komponensek alkalmaz´asa. Komplex impedanci´aval rendelkez˝o alkatr´eszek eset´eben, mint amilyen egy tekercs vagy egy kondenz´ator, Q a reaktancia ´es a rezisztancia h´anyados´ab´ol hat´arozhat´o meg. Q=

¯ |Im{Z}| ¯ . Re{Z}

(2.11)

A j´os´agi t´enyez˝o meghat´arozhat´o m´eg kiz´ar´olag a teljes´ıtm´enyt´enyez˝o cos φ ismeret´eben is, ahol φ a komplex impedancia f´azissz¨oge. cos φ =

P , S

(2.12)

ahol P a val´os teljes´ıtm´eny, S pedig a l´atsz´olagos teljes´ıtm´eny. A j´os´agi t´enyez˝o a teljes´ıtm´enyt´enyez˝o ismeret´eben a k¨ovetkez˝o ¨osszef¨ ugg´essel hat´arozhat´o meg: p r 1 − cos2 φ 1 = − 1. (2.13) Q= cos φ cos2 φ Q meghat´arozhat´o tov´abb´a a k¨ovetkez˝o fomul´aval is: Q=

2.2.

| sin φ| = | tan φ|. | cos φ|

(2.14)

A r´ adi´ oamat˝ or¨ ok munk´ ass´ aga

A XX. sz´azad elej´en a vezet´ek n´ekl¨ uli kommuni´aci´o egyre ink´abb elterjedt, majd elkezdett vil´agm´eret˝ u hobbiv´a, szabadid˝os tev´ekenys´egg´e v´alni. Azokat az embereket, akik k¨ ul¨onb¨oz˝o r´adi´okommunik´ac´os eszk¨oz¨oket haszn´altak m´as emberekkel t¨ort´en˝o kommunik´aci´ora, kapcsolattart´asra, r´adi´oamat˝or¨oknek nevezz¨ uk. Eset¨ ukben az amat˝or sz´o nem pejorat´ıve ´ertend˝o, gyakran ezek az emberek kimagasl´o tud´assal rendelkeztek a telekommunik´aci´o ´es az elektronika ter¨ ulet´en. Az amat˝or sz´o itt azt jelenti, hogy a r´adi´oamat˝or¨ok 6

P´olik Zolt´an, OTDK Dolgozat

2009

kommunik´aci´oja leggyakrabban tanul´asi, sz´orakoz´asi ´es k¨ozszolg´alati c´elokat szolg´alt, teh´at nem bev´eteli forr´ask´ent szolg´alt. Sz´amos r´adi´oamat˝or ´erdekl˝od¨ott az akkoriban haszn´ alt kommunik´aci´os eszk¨oz¨ok ´es azok alkatr´eszeinek fejleszt´ese ir´ant. Rengeteg ´altaluk ´ırott publik´aci´o jelent meg akkoriban antenn´akr´ol, induktvit´asokr´ol ´es mindenfajta vezet´ek n´elk¨ uli eszk¨ozr˝ol ´es ezek viselked´es´er˝ol [4–7]. Induktivit´asok eset´eben t¨obb cikket olvashatunk magas frekvenci´as ellen´all´as, saj´at kapacit´as, valamint ¨on- ´es k¨olcs¨on¨os indukci´o kalkul´aci´oj´ara alkalmas m´odszerekr˝ol. Sz´amos tanulm´any k´esz¨ ult tov´abb´a a szkinhat´assal, vagy kis- ´es nagy menetemelked´es˝ u tekercsekkel kapcsolatban [7, 8]. Az egyik els˝o ´es legfontosabb kiadv´any a H. Nagaoka ´altal ´ırt The Inductance Coefficients of Solenoids, azaz A szolenoidok induktivit´as-koefficiense c´ım˝ u munk´aja [5]. Ebben az id˝oben sz´amtalan bonyolultabbn´al bonyolultabb k´epletet ´es m´odszert haszn´altak k¨ ul¨onf´ele m´eret˝ u tekercsek induktivit´as´anak sz´amol´as´ara. Nagaoka munk´aj´anak legf˝obb c´elja az volt, hogy egy olyan szabv´anyos m´odszert hozzon l´etre, amellyel tetsz˝oleges m´eret˝ u szolenoidok induktivit´as´anak pontos sz´amol´asa egyszer˝ ubben lehets´eges. Fontos megjegyezni, hogy ezek a sz´amol´asok csak szolenoidokra vonatkoztatva adnak pontos eredm´enyt, azonban m´as alak´ u tekercsek viselked´es´ere is lehet k¨ovetkeztetni az eredm´enyekb˝ol. Nagaoka egy u ´j, a tekercs m´ereteit˝ol f¨ ugg˝o koefficienst vezetett be, amelyet L bet˝ uvel jel¨olt. Napjainkban ezt a sz´amot leggyakrabban K-val jel¨olj¨ uk ´es Nagaoka-konstansnak vagy Nagaoka-koefficiensnek nevezz¨ uk [5]. Ismeretes, hogy egy v´egtelen hossz´ u szolenoid induktivit´asa a k¨ovetkez˝o k´eplettel sz´amolhat´o: µ0 N 2 A , (2.15) l H ahol µ0 = 4π 10−7 m , amely a v´akuum permeabilit´asa, N a menetek sz´ama, A a tekercs keresztmetszete, l pedig a tekercs hossza. Egytetsz˝oleges hossz´ us´ag´ u szolenoid induktivit´asa a k¨ovetkez˝o formul´aval sz´amolhat´o [5]: µ0 N 2 A K, (2.16) L= l ahol K a Nagaoka konstans, amely a tekercs ´atm´er˝oj´enek ´es hossz´anak f¨ uggv´eny´eben v´altozik [5]. Munk´aj´aban sz´amos t´abl´azatot k´esz´ıtett, melyekb˝ol K ´ert´eke meghat´arozhat´o, mind k¨oz¨ ul a leghasznosabb a konstans ´ert´ek´et a tekercs ´atm´er˝oj´enek ´es hossz´ us´ag´anak h´anyados´ab´ol megad´o t´abl´azat. Ebb˝ol a t´abl´azatb´ol l´athat´o egy r´eszlet a 2.2 ´abr´an. A Nagaoka koefficiens sz¨ uks´egess´ege azzal magyar´azhat´o, hogy az induktivit´asok belsej´eben a m´agneses t´er nem egyenletes – ez legink´abb a tekercsek v´egein´el jelent˝os. Min´el r¨ovidebb egy induktivit´as a tekercs´atm´er˝oh¨oz k´epest, ez a hat´as ann´al jobban ´erv´enyes¨ ul, ´ıgy a konstans ´ert´eke kisebb lesz, min´el hosszabb az induktivit´as K ann´al jobban tart egyhez, teh´at visszakapjuk a (2.16) egyenletet. 1911-ben Edward B. Rosa ´es Frederick W. Grover a Formulas and Tables for the Calculation of Mutual and Self-induction, azaz Formul´ ak ´es t´ abl´azatok az o¨n- ´es k¨olcs¨ on¨os indukci´ o meghat´ aroz´as´ahoz c. m˝ uv´eben ¨osszegezt´ek Maxwell, Nagaoka, Havelock, Rayleigh, Lorenz ´es sok m´as neves m´ern¨ok ´es fizikus ebben a t´emak¨orben kidolgozott eredm´eny´et [8]. A k´es˝obbi ´evek sor´an a fejleszt´esi ir´anyok egyre ink´abb a´tterjedtek az alkatr´eszek, ´ıgy az induktivit´asok fejleszt´es´enek ir´any´aba is. Ez ´erthet˝o, mivel jobb min˝os´eg˝ u alkatr´eszekb˝ol jobb eszk¨oz¨oket lehet ´ep´ıteni. Az induktivit´asok szemsz¨og´eb˝ol n´ezve a L=

7

P´olik Zolt´an, OTDK Dolgozat

2009

2.2. ´abra. T´abl´azat K ´ert´ek´enek meghat´aroz´as´ara [5] m´ern¨ok¨ok, fizikusok – Medhurst ´es Butterworth [10] munk´ai a legjelent˝osebbek – c´elja az volt, hogy min´el jobban megismerj´ek az induktivit´asok bels˝o m˝ uk¨od´es´et ´es a benn¨ uk lej´atsz´od´o komplex folyamatokat. Ennek k¨osz¨onhet˝oen a XX. sz´azad k¨ozep´en j´on´eh´any cikk jelent meg a tekercsek ellen´all´as´anak, kapacit´as´anak, rezonanciafrekvenci´aj´anak, a szkinhat´asnak, a szomsz´edos menetek k¨oz¨otti k¨olcs¨onhat´asnak tulajdons´agair´ol ´es viselked´es´er˝ol [7]. Fontos gyakorlati eredm´enyek p´eld´aul, hogy ha egy tekercs k´esz´ıt´es´en´el vastagabb huzalt haszn´alunk, annak kapacit´asa is n˝oni fog, induktivit´asa cs¨okken, tov´abb´a 8

P´olik Zolt´an, OTDK Dolgozat

2009

ha a menetek k¨oz¨otti t´avols´ag, teh´at a menetemelked´es n¨ovekszik, a kapacit´as ´es az induktivit´as is cs¨okkenni fog [7]. R´aj¨ottek arra is, hogy mi´ert v´altozik egy sok menetb˝ol ´all´o alkatr´esz ellen´all´asa a frekvencia, a huzal´atm´er˝o ´es a menetemelked´es f¨ uggv´eny´eben. Kiindul´asi pontnak tekints¨ unk egyetlen v´egtelen hossz´ u egyenes vezet˝ot, amelyben alacsony frekvenci´an az ´aram a rendelkez´esre ´all´o keresztmetszetet egyenletesen kit¨oltve folyik kereszt¨ ul. Magas frekvenci´an a vezet˝oben l´etrej¨ov˝o ¨orv´eny´aramok hat´as´ara az ´aram a vezet˝o fel¨ ulet´ere szorul ki, a vezet˝o belsej´eben pedig nem folyik ´aram. Ez a szkinhat´as [12]. A szkinhat´as a δ behatol´asi m´elys´eg fogalm´aval sz´amszer˝ us´ıthet˝o, amely egy bizonyos frekvenci´an megadja azt vezet˝o fel¨ ulet´et˝ol sz´am´ıtott t´avols´agot, ahol a vezet˝oben foly´o ´aram amplit´ ud´oja az e−1 -szeres´ere cs¨okken, 1 δ=√ , (2.17) πf µσ ahol f a frekvencia, µ az vezet˝o permeabilit´asa, σ pedig az anyag elektromos vezet´ese. A szkinhat´as k¨ovetkezt´eben – a cs¨okken˝o keresztmetszet ok´an – a huzal ellen´all´asa megn˝o. Tekercsekben, ahol sok menet ´all egym´as mellett a szkinhat´as – ez´altal az ellen´all´as – nem csak az ¨orv´eny´aramokt´ol f¨ ugg, hanem az egyes menetek ´altal l´etrehozott m´agneses mez˝ok egym´asra hat´as´at´ol is. Ennek eredm´enyek´epp a szomsz´edos menetekben az ´aram m´eg jobban kiszorul a vezet˝o fel¨ ulet´ere. A szaknyelv ezt a jelens´eget proximity hat´asnak nevezi. Ez az oka annak, hogy egy kis menetemelked´es˝ u tekercs ellen´all´asa nagyobb, mint egy nagyobb menetemelked´es˝ u´e, mivel az egym´ashoz k¨ozelebbi menetek hat´as´ara az ´aram kiszorul´asa jelent˝osebb lesz [7,13]. A szomsz´edos menetek egym´asra hat´asa a 2.3 ´abr´an figyelhet˝o meg. Az ´abr´an a teljes ´arams˝ ur˝ us´eg l´athat´o egy v´egeselem-m´odszerrel t¨ort´en˝o szimul´aci´o eredm´enyek´epp.

2.3. ´abra. Proximity hat´as egy tekercsben

2.3.

Induktivit´ asok analitikus modellez´ ese

Az elektronikai alkatr´eszpiacon megfigyelhet˝o egyre nagyobb versenynek k¨osz¨onhet˝oen a gy´art´oknak egyre jobb min˝os´eg˝ u komponenseket kell k´esz´ıteni¨ uk. Az alkatr´eszek fejleszt´ese sor´an fontos szempont azok pontos m˝ uk¨od´es´enek megismer´ese ´es meg´ert´ese, ennek ´erdek´eben a gy´art´ok m´er´eseik alapj´an modelleket k´esz´ıtenek alkatr´eszeikhez [11, 14, 15]. Ezek seg´ıts´eg´evel le´ırhat´o az eszk¨oz pontos m˝ uk¨od´ese, tov´abb´a viselked´ese modellezhet˝o bonyolultabb ´aramk¨or¨okben is. A h´arom passz´ıv alkatr´esz k¨oz¨ ul az induktivit´as a leg¨osszetettebb, ez´ert ennek modellez´ese a legbonyolultabb feladat. Az alkatr´esz komplexit´asa k´et r´eszb˝ol tev˝odik ¨ossze, az egyik a tekercstest, a m´asik pedig a mag. A tekercstest anyaga leggyakrabban r´ez, amely huzal vagy v´ekony r´eteg form´aj´aban ker¨ ul a hordoz´ora. Magas frekvenci´an a szkinhat´as eredm´enyek´epp a vezet˝o ellen´all´asa 9

P´olik Zolt´an, OTDK Dolgozat

2009

a frekvenci´aval n´egyzetesen ar´anyosan n¨ovekszik [11], a proximity hat´as miatt az ´aram kiszorul´asa viszont bonyol´odik kis menetemelked´es˝ u tekercsek eset´eben [13]. Az induktivit´as, a kapacit´as ´es ezeken kereszt¨ ul a rezonanciafrekvencia pedig a huzal vastags´ag´anak ´es a menetemelked´es v´altoz´as´anak hat´as´ara m´odosul. A m´asik oldal az induktivit´as magja [11]. L´egmagos, ker´amiamagos, vagy m´as m´agneses tulajdons´agokat nem mutat´o maggal rendelkez˝o induktivit´asok eset´eben az itt lej´atsz´od´o folyamatok, jelent´ektelenek, elhagyagolhat´ok. Ferrom´agneses anyagokb´ol k´esz¨ ult magok eset´en azonban az ¨orv´eny´aram´ u vesztes´eg ´es a hiszter´ezisvesztes´eg jelent˝osek lehetnek [11]. A k¨ozelm´ ultban sz´amos modell sz¨ uletett az induktivit´asok m˝ uk¨od´es´enek szimul´aci´oj´ara, ´ıgy a kapott tud´asb´azissal jelenleg m´ar nem neh´ez feladat modellt l´etrehozni egy ismert induktivit´as param´etereinek le´ır´as´ara. Az RF-inductor modeling for the 21st century, azaz az RF induktivit´ as modellez´es a XXI. sz´ azadnak c. munk´aj´aban Leslie Green egy u ´j elm´eleti modell fel´ep´ıt´es´et mutatja be, amely magas frekvenci´akon is pontosan modellezi az induktivit´asok m˝ uk¨od´es´et. A m˝ u a m´ar j´ol ismert h´arom elem˝ u induktivit´asmodellb˝ol indul ki, amely a 2.1 ´abr´an l´athat´o. E modellben L reprezent´alja az induktivit´as DC ´ert´ek´et. A C kapacit´as k¨onnyen sz´amolhat´o az alkatr´esz rezonanciafrekvenci´aj´anak ismeret´eben a k¨ovetkez˝o m´odon: C=

1 , ω2L

(2.18)

amely a (2.8) Thomson-k´epletb˝ol sz´armaztathat´o. Az R elen´all´as ´ert´eke nem kapcsolhat´o fizikai jellemz˝oh¨oz, mint az el˝oz˝o k´et param´eter, ez sokkal ink´abb csak egy param´eter, amely seg´ıts´eg´evel a modell pontosabban szimul´alja a komponens viselked´es´et a m˝ uk¨od´esi frekvenciatartom´anyban. Green r´amutat, hogy ez az alapvet˝o modell pontosan sz´amolja az alkatr´esz induktivit´as´at ´es impedanci´aj´at sz´eles frekvenciatartom´anyban, azonban a j´os´agi t´enyez˝o modellez´es´eben nem el´eg egzakt. A pontos modellez´es ´erdek´eben Green k´et u ´jabb param´eter-ellen´all´ast adott az el˝oz˝o t´ıpushoz. Ezen param´eterek seg´ıts´eg´evel a modell j´os´agi t´enyez˝oj´enek cs´ ucs´ert´eke ´es maximum helye m´ar pontosan be´all´ıthat´o. Az u ´j matematikai modellel teh´at az induktivit´as param´eterei eg´eszen j´o k¨ozel´ıt´essel szimul´alhat´ok [11]. A h´al´ozat impedanci´aja a k¨ovetkez˝o ¨osszef¨ ugg´essel sz´amolhat´o [11]: Z=

1 1 f )η +j2πf L RS ( SRF

+

1 1 RHF + j2πf C

,

(2.19)

ahol RS a soros ellen´all´as, η egy param´eter, melynek ´ert´eke 0.5 ´es 1 k¨oz¨ott v´altozhat, RHF pedig egy olyan param´eter, amely a Q maximumhely´et m´odos´ıtja. L ´es C meghat´aroz´asa itt is ugyan´ ugy t¨ort´enik, mint az el˝oz˝o modell eset´eben. A j´os´agi t´enyez˝o sz´am´ıt´asa (2.11) haszn´alat´aval t¨ort´enik. A param´eterek be´all´ıt´asa ut´an a modell ´es a referenciak´ent haszn´alt, k´es˝obbiekben bemutat´asra ker¨ ul˝o induktivit´as j´os´agi t´enyez˝oje a 2.4 ´abr´an l´athat´o. A modell j´os´agi t´enyez˝oje a k¨ovetkez˝o param´eter´ert´ekek haszn´alat´aval szimul´alta legpontosabban a val´odi induktivit´as j´os´agi t´eny´ez˝oj´et: L = 180 nH, C = 85 fF, RHF = 15 Ω, η = 0.54, RS = 6.5 mΩ, SRF = 1030 MHz. Az utols´o k´et alfejezetben bemutatott munk´ak az induktivit´asok pontos m˝ uk¨od´es´enek, valamint a k¨ ul¨onb¨oz˝o param´eterek (induktivit´as, impedancia, j´os´agi t´enyez˝o, rezonanciafrekvencia) v´altoz´as´anak ´es v´altoztathat´os´ag´anak meg´ert´es´et szolg´alt´ak, tov´abb´a seg´ıtettek a k¨ovetkez˝okben bemutat´asra ker¨ ul˝o v´egeselem-m´odszerrel t¨ort´en˝o szimul´aci´ok ´es a fel´ep´ıtett v´egeselemes modellek helyess´eg´enek ellen˝orz´es´eben. 10

P´olik Zolt´an, OTDK Dolgozat

2009

70 60

Predicted Q Measured Q

50 Q

40 30 20 10 0 6 10

8

10 Frequency [Hz]

10

10

2.4. ´abra. A m´ert ´es a Green modellje ´altal becs¨ ult j´os´agi t´enyez˝o a frekvencia f¨ uggv´eny´eben

2.4.

A v´ egeselem-m´ odszer

Gyakran felmer¨ ulnek olyan l´enyegesen ¨osszetettebb probl´em´ak is, amelyek megold´asa nem lehets´eges analitikus m´odon. Ez lehet egy nemline´aris tekercs induktivit´as´anak meghat´aroz´asa vagy k´et tetsz˝oleges form´aj´ u vezet˝o k¨oz¨otti kapacit´as kisz´am´ıt´asa, de p´eld´aul lehetetlen analitikus megold´ast tal´alni az ¨orv´eny´aramok hat´as´ara egy ors´o form´aj´ u l´agym´agneses maggal rendelkez˝o teljes´ıtm´eny-induktivit´as eset´eben is. Az ilyen ´altal´anos probl´em´ak megold´as´ahoz parci´alis nemline´aris differenci´alegyenlet-rendszerek megold´as´ara van sz¨ uks´eg. A v´egeselem-m´odszer (FEM – Finite Element Method) egy olyan matematikai elj´ar´as, amely tetsz˝oleges geometri´aj´ u tartom´anyok kisebb tartom´anyokra, v´eges m´eret˝ u elemekre oszt´as´an ´es az ezekben lej´atsz´od´o folyamatokat le´ır´o egyenleteken kereszt¨ ul azok vizsg´alat´an alapul. A FEM egy olyan numerikus technika, amely parci´alis differenci´alegyenletek (PDE) k¨ozel´ıt˝o megold´as´at adja, amelynek pontoss´aga a fel´ep´ıtett v´egeselemes modellt˝ol nagyban f¨ ugg. A 2.5 ´abr´an l´athat´oak egy v´egeselem-m´odszerrel t¨ort´en˝o szimul´aci´o l´ep´esei [16–21]. Az els˝o l´ep´es a specifik´aci´os f´azis, amikor a val´os ´eletb˝ol mer´ıtett probl´ema geometriai megfogalmaz´asa t¨ort´enik egy CAD (Computer Aided Design) tervez˝o k¨ornyezetben. A k¨ovetkez˝o l´ep´es a feladat megold´as´ahoz sz¨ uks´eges differenci´alegyenletek ´es a peremfelt´etelek megfogalmaz´asa, amelyek le´ırj´ak a vizsg´alt jelens´egek tulajdons´agait. A k¨ovetkez˝o feladat a preprocessz´al´as, azaz a modell el˝ok´esz´ıt´ese. Itt a k¨ ul¨onb¨oz˝o param´eterek, u ´gy mint az anyagjellemz˝ok, a gerjeszt´es, stb. ´ert´ekeinek be´all´ıt´as´at, tov´abb´a a geometria egyszer˝ us´ıt´es´et v´egezhetj¨ uk el a szimmetriatengelyek figyelembev´etel´evel. A v´egeselem-m´odszer, ahogy a neve is mutatja v´eges sz´am´ u geometriai elem megold´as´an alapul, amelyek ¨osszegz´ese vezet a probl´ema v´egs˝o megold´as´ahoz. A vizsg´alt geometria kisebb r´eszekre oszt´as´ahoz azt diszkretiz´alni kell oly m´odon, hogy egy v´egeselemr´acsot hozunk l´etre [16,20]. A r´acs egy eleme k´etdimenzi´os modell eset´en lehet h´aromsz¨og vagy n´egysz¨og, ahogy a 2.6 ´abr´an l´athat´o, h´aromdimenzi´os modell eset´eben pedig lehet

11

P´olik Zolt´an, OTDK Dolgozat

2009

2.5. ´abra. A v´egeselemes szimul´aci´o l´ep´esei tetra´eder vagy hexa´eder alak´ u, ahogy a 2.7 ´abr´an l´athat´o. Egy h´aromsz¨og alak´ u elem

2.6. ´abra. 2D v´egeselemek h´arom csom´oponttal ´es h´arom ´ellel, egy n´egysz¨og alak´ u elem pedig n´egy csom´oponttal ´es n´egy ´ellel rendelkezik. Egy tetra´eder alak´ u h´aromdimenzi´os v´egeselem 4 csom´oponttal ´es hat ´ellel, egy hexa´eder alak´ u pedig nyolc csom´oponttal ´es tizenk´et ´ellel rendelkezik [16,20]. V´egeselemes szimul´aci´o sor´an k´et lehet˝os´eg¨ unk van. Amennyiben csom´oponti 12

P´olik Zolt´an, OTDK Dolgozat

2009

2.7. ´abra. 3D v´egeselemek elemeket alkalmazunk, akkor a fel´ırt egyenletek megold´as´at az elemek csom´opontjaiban keress¨ uk, vektor- vagy ´elelemek eset´en pedig az elemek ´elein keress¨ uk az ismeretlen potenci´alok megold´as´at [16, 26]. R´acsgener´al´askor n´eh´any fontos szab´aly megtart´asa sz¨ uks´eges, ´ıgy p´eld´aul nem lehet ´atfed´es vagy lyuk a r´acs elemei k¨oz¨ott [16]. A 2.8 ´es a 2.9 ´abr´an a COMSOL Multiphysics szoftvercsomag [22] ´altal gener´alt k´et- ´es h´aromdimenzi´os v´egeselemes r´acsok l´athat´ok. Az el˝obbi egy SMT (Surface Mount Technology) induktivit´as h´aromsz¨og alak´ u elemekre bontott k´etdimenzi´os v´egeselemes r´acs´at ´abr´azolja, a m´asodik pedig egy SMT teljes´ıtm´eny-induktivit´as ´arny´ekolt t´ıpus´anak tetra´eder alak´ u elemekre bontott r´acs´at mutatja be. A v´egeselem-r´acs a leveg˝oben, e m´asodik esetben nem ker¨ ult megjelen´ıt´esre.

2.8. ´abra. Egy induktivit´as 2D v´egeselemes r´acsa A geometria diszkretiz´al´asa ut´an a probl´ema megold´asa k¨ovetkezik. Egy v´egeselemes modell egyenletei a vizsg´alt fizikai jelens´eget le´ır´o potenci´alformalizmusok gyenge alakj´an alapulnak, amelyek a villamosm´ern¨oki gyakorlatban a Maxwell-egyenletekb˝ol vezethet˝ok le [16]. Az egyenletek megold´asa az egyes elemek szintj´en t¨ort´enik. Ezen egyenletek v´egeselemes r´acson kereszt¨ uli ¨osszegz´ese adja a konkr´et probl´ema teljes egyenlet13

P´olik Zolt´an, OTDK Dolgozat

2009

2.9. ´abra. Egy SMT teljes´ıtm´eny induktivit´as 3D v´egeselemes r´acsa rendszer´et, amelyek megold´asa az ismeretlen potenci´alok k¨ozel´ıt˝o megold´as´ahoz vezet. A vizsg´alt jelens´eg egyenletrendszere a probl´em´at´ol f¨ ugg˝oen lehet line´aris vagy nemline´aris. Az egyenletrendszer fel´ep´ıt´ese ut´an annak megold´asa k¨ovetkezik, amelyet egy megold´oalgoritmus seg´ıts´eg´evel v´egezhet¨ unk el. Ha a konstitut´ıv egyenletek nemline´arisak, p´eld´aul ferrom´agneses anyagok szimul´aci´oja eset´en, akkor a megold´as iter´aci´ot tartalmaz. Ez azt jelenti, hogy az egyenletrendszer fel´ep´ıt´ese ´es megold´asa l´ep´esr˝ol l´ep´esre t¨ort´enik, mindaddig ameddig az eredm´eny a k´ıv´ant hibahat´aron bel¨ ulre nem ker¨ ul. Amennyiben a szimul´aci´o id˝oben nem ´alland´o, az egyenletrendszert minden diszkr´et id˝opillanatban meg kell oldani [17]. A k¨ovetkez˝o l´ep´es a posztprocessz´al´as. A sz´amol´asok eredm´enyeik´ent a keresett potenci´alok k¨ozel´ıt˝o megold´as´at kapjuk a v´egeselemek csom´opontjaiban vagy azok ´elein. Ezek ¨osszegz´ese adja a konkr´et probl´ema megold´as´at. Ezek ut´an, a potenci´alok ismeret´eben b´armely elektrom´agneses t´erjellemz˝o, u ´gy mint a m´agneses t´erer˝oss´eg, a m´agneses fluxuss˝ ur˝ us´eg, stb. vagy b´armely elektrom´agneses mennyis´eg, u ´gy mint az induktivit´as, a kapacit´as, a m´agneses- vagy elektromos energia, stb. kisz´am´ıthat´o. Ebben a f´azisban lehet˝os´eg van a geometria, az anyagjellemz˝ok, vagy a v´egeselem-r´acs m´odos´ıt´as´ara a jobb eredm´enyek el´er´ese ´erdek´eben. A 2.10 ´abr´an egy r´adi´ofrekvenci´an vizsg´alt SMT induktivit´as k´etdimezi´os szimul´aci´oja sor´an kapott eredm´enyt l´athatunk. A nyilak ´es a fel¨ ulet sz´ınei a szkin- ´es proximity hat´as ´altal m´odos´ıtott m´agneses fluxuss˝ ur˝ us´eget ´abr´azolj´ak. Szin´en a m´agneses fluxuss˝ ur˝ us´eget ´abr´azolj´ak a nyilak egy SMT teljes´ıtm´eny-induktivit´as belsej´eben a 2.11 ´abr´an.

14

P´olik Zolt´an, OTDK Dolgozat

2009

2.10. ´abra. M´agneses indukci´o egy SMT induktivit´as belsej´eben

2.11. ´abra. M´agneses indukci´ovektorok egy SMT teljes´ıtm´eny induktivit´as belsej´eben

15

3. fejezet Elm´ eleti h´ att´ er 3.1. 3.1.1.

A Maxwell-egyenletek Az Maxwell-egyenletek integr´ alis ´ es differenci´ alis alakja

Minden elektrom´agneses jelens´eg le´ırhat´o egy parci´alis differenci´alegyenlet-rendszerrel, amelyet Maxwell-egyenleteknek nevez¨ unk [24]. Ezek az egyenletek kapcsolatot teremtenek az elektrom´agneses t´erjellemz˝ok, az E elektromos t´erer˝oss´eg, a H m´agneses t´erer˝oss´eg, a D elektromos fluxuss˝ ur˝ us´eg, a B m´agneses fluxuss˝ ur˝ us´eg m´asn´even m´agneses indukci´o ´es a forr´as jelleg˝ u mennyis´egek, a J ´arams˝ ur˝ us´eg ´es a ρ elektromos t¨olt´ess˝ ur˝ us´eg k¨oz¨ott. Egy elektrom´agneses t´ersz´am´ıt´ast ig´enyl˝o probl´ema numerikus anal´ızise vagy valamely CAD szoftverrel t¨ort´en˝o tervez´ese a Maxwell-egyenletekb˝ol kiindulva v´egezhet˝o el. A Maxwell-egyenletek k¨ozismertebb ´es kifejez˝obb alakja, amelyet integr´alis alaknak is nevez¨ unk a k¨ovetkez˝o [25]:  I Z  ∂D · dΓ, (3.1) H · dl = J+ ∂t l Γ I Z ∂B E · dl = − · dΓ, (3.2) l Γ ∂t I B · dΓ = 0, (3.3) Γ

I

Γ

D · dΓ =

Z

ρ dΩ.

(3.4)

Ω

Elektrom´agneses t´ersz´am´ıt´asi feladatok megold´asa potenci´alformalizmusok alkalmaz´as´aval lehets´eges, amelyek levezet´es´ehez a Maxwell-egyenletek differenci´alis alakj´ab´ol c´elszer˝ u kiindulni. Ezek a k¨ovetkez˝ok [19]: ∇×H =J +

∂D , ∂t

∂B , ∂t ∇ · B = 0,

∇×E =−

∇ · D = ρ. 16

(3.5) (3.6) (3.7) (3.8)

P´olik Zolt´an, OTDK Dolgozat

2009

A (3.1) vagy (3.5) ¨osszef¨ ugg´est, azaz els˝o Maxwell-egyenletet k¨ozismert n´even Ampere t¨orv´eny´enek is nevezz¨ uk. Ez az ¨osszef¨ ugg´es megmutatja, hogy a J ´arams˝ ur˝ us´eg, amely ∂D a forr´as´arams˝ ur˝ us´eg ´es az ¨orv´eny´arams˝ ur˝ us´eg o¨sszege, ´es a ∂t eltol´asi ´aram, amelyet az id˝oben v´altoz´o elektromos t´er hoz l´etre, H m´agneses t´erer˝oss´eget gener´al. A t¨orv´eny klasszikus alakja kimondja, hogy a m´agneses t´erer˝oss´egvektorok z´art l g¨orb´en sz´am´ıtott vonalmenti integr´alja egyenl˝o az l g¨orbe ´altal hat´arolt Γ fel¨ uleten ´atfoly´o ´arams˝ ur˝ us´egek ¨osszeg´enek fel¨ uleti integr´alj´aval. Ampere t¨orv´eny´enek szem´eltet´ese a 3.1 ´abr´an l´athat´o.

3.1. ´abra. Ampere t¨orv´enye A (3.2) vagy (3.6) egyenletet Faraday t¨orv´eny´enek nevezz¨ uk. Faraday t¨orv´enye le´ırja, hogy az id˝oben v´altoz´o m´agneses t´er, elektromos teret hoz l´etre. Amikor a m´agneses t´er id˝oben v´altozik, akkor az elektromos ´es a m´agneses t´er, vagyis az els˝o ´es m´asodik Maxwell-egyenlet csatol´odik. A m´agneses mez˝o id˝obeli v´altoz´asa vele ellent´etes ir´any´ u elektromos mez˝ot gener´al, amely ¨orv´eny´aramokat hoz l´etre a vezet˝o anyagokban, amelyek m´agneses tere m´odos´ıtja a kezdeti m´agneses teret. Az egyenlet integr´alis alakja megmutatja, hogy az elektromos t´erer˝oss´eg vektorok l z´art g¨orb´en sz´amolt vonalmenti integr´alja egyenl˝o az l g¨orbe ´altal hat´arolt Γ fel¨ uleten vett m´agneses indukci´o id˝obeli v´altoz´as´anak fel¨ uleti integr´alj´aval. Faraday t¨orv´eny´enek szeml´eltet´ese a 3.2 ´abr´an l´athat´o. A harmadik Maxwell-egyenletet m´asn´even m´agneses Gauss-t¨orv´enynek is nevezz¨ uk, amely kimondja, hogy a m´agneses mez˝o divergenciamentes. M´assz´oval ez azt jelenti, hogy a m´agneses fluxusvonalak ¨onmagukban z´ar´odnak. Az egyenlet klasszikus alakja megmutatja, hogy a m´agneses indukci´ovektorok egy Γ z´art fel¨ uleten vett fel¨ uleti integr´alja egyenl˝o null´aval. A (3.4) vagy (3.8) ´altal defini´alt Gauss-t¨orv´eny azt mondja ki, hogy az elektromos mez˝o forr´asa az elektromos t¨olt´es, tov´abb´a, hogy az elektromos fluxusvonalak a t¨olt´esb˝ol indulnak ki ´es ott is v´egz˝odnek. Az egyenlet integr´alis alakja azt fejezi ki, hogy az elektromos fluxuss˝ ur˝ us´eg Γ z´art fel¨ uleten vett integr´alja egyenl˝o a t¨olt´ess˝ ur˝ us´eg Ω t´erben vett t´erfogati integr´alj´aval, ahol Ω teret Γ fel¨ ulet hat´arolja. A vizsg´alt anyag tulajdons´agait, azaz az anyagjellemz˝o karakterisztik´akat az u ´gyne-

17

P´olik Zolt´an, OTDK Dolgozat

2009

3.2. ´abra. Faraday t¨orv´enye vezett konstitut´ıv egyenletek defini´alj´ak, melyek a k¨ovetkez˝ok [16, 17, 24]: B = µ0 H,

(3.9)

D = ε0 εr E,

(3.10)

J = σ(E + Ek),

(3.11)

ahol Ek a k¨ uls˝o elektromos mez˝o, µ0 a v´akuum permeabilit´asa, ε0 a v´akuum permittivit´asa, εr az anyag relat´ıv permittivit´asa ´es σ a vizsg´alt anyag elektromos vezet´ese. Leveg˝oben ǫr eggyel egyenl˝o, m´agnesesen line´aris anyagban B = µ0 µr H.

3.1.2.

A Maxwell-egyenletek oszt´ alyoz´ asa

A Maxwell-egyenletek sz´amos krit´erium alapj´an oszt´alyozhat´ok [16]. E fejezetben kiz´ar´olag a szimul´aci´ok sor´an haszn´alt formula levezet´es´ehez sz¨ uks´eges eseteket mutatjuk be. A legegyszer˝ ubb esetben az elektrom´agneses t´er id˝oben ´alland´o, teh´at az ´aramok ∂ = 0. Ekkor az id˝oben ´alland´o J0 ´aramm´agnesez˝o hat´as´at figyelembe vessz¨ uk, de ∂t s˝ ur˝ us´eg id˝oben ´alland´o H m´agneses teret ´es B m´agneses fluxust hoz l´etre. Ebben az esetben a Maxwell-egyenletek a k¨ovetkez˝o alakra egyszer˝ us¨odnek: ∇ × H = J0 ,

(3.12)

∇ · B = 0,

(3.13)

kieg´esz´ıtve a konstitut´ıv egyenletekkel. (3.12) divergenci´aj´at k´epezve a k¨ovetkez˝o egyenletet kapjuk: ∇ · J0 = 0, (3.14) amely el˝o´ırja, hogy az ´arams˝ ur˝ us´eg vonalak ¨onmagukban z´ar´odjanak, vagy a v´egtelenb˝ol a v´egtelenbe tartsanak. Id˝oben v´altoz´o esetben az elektromos ´es a m´agneses t´er o¨sszef¨ ugg, azaz mindegyik hat´assal van a m´asikra. Ekkor az id˝oben v´altoz´o ´arams˝ ur˝ us´eg m´agneses teret hoz 18

P´olik Zolt´an, OTDK Dolgozat

2009

l´etre, amelynek id˝obeli v´altoz´asa elektromos teret gener´al. A l´etrej¨ott elektromos t´er ¨orv´eny´aramokat ind´ıt el a vezet˝o anyagokban, amelyek m´agneses tere m´odos´ıtja az ere|, az eltol´asi ´aramok elhanyagolhat´oan deti m´agneses teret. Amennyiben |J | >> | ∂D ∂t kicsik. Ekkor ¨orv´eny´aram´ u t´err˝ol besz´el¨ unk, amelynek egyenletei ∇ × H = J, ∂B , ∂t ∇ · B = 0,

∇×E =−

J = σE,

(3.15) (3.16) (3.17) (3.18)

kieg´esz´ıtve a megfelel˝o konstitut´ıv egyenletekkel. (3.15) divergenci´aj´at k´epezve az ¨orv´eny´arams˝ ur˝ us´eg forr´asmentes tulajdons´ag´at kapjuk, vagyis ∇ · J = 0.

(3.19)

Nagyon magas frekvenci´akon az eltol´asi ´aramok hat´asa m´ar nem elhanyagolhat´o. Ezekben az esetekben a Maxwell-egyenletek teljes form´aj´at kell haszn´alnunk.

3.1.3.

Hat´ ar- ´ es peremfelt´ etelek

Fontos megjegyezni, hogy ha k´et anyag, Ω1 ´es Ω2 van a vizsg´alt tartom´anyban, amelyek m´as anyagjellemz˝okkel, ´ıgy m´as permeabilit´assal, permittivit´assal ´es vezet´essel rendelkezik, akkor k¨ ul¨onb¨oz˝o hat´arfelt´eteleknek kell eleget tenn¨ unk a k´et anyag Γ-val jel¨olt hat´ar´an. M´assz´oval a Maxwell-egyenletek megold´asa sor´an hat´ar- ´es peremfelt´eteleknek kell eleget tenn¨ unk a k¨ ul¨onb¨oz˝o anyagok ´es a vizsg´alt r´egi´o hat´ar´an. A 3.3 ´abr´an l´athat´oak az anyagjellemz˝oket reprezent´al´o v´altoz´ok a k¨ ul¨onb¨oz˝o anyagokban. Az n norm´al egys´egvektor a k¨ozeg kifel´e mutat´o egys´egvektor´at jelenti.

3.3. ´abra. Elektrom´egneses t´erjellemz˝ok k¨ ul¨onb¨oz˝o anyagok hat´arfel¨ ulet´en´el Statikus ´es ¨orv´eny´aram´ u probl´em´ak eset´eben a nyitott t´er, amelyben egy probl´em´at ´ vizsg´alunk egy olyan g¨ombbel modellezhet˝o, amelynek sugara a v´egtelenhez tart. Ertelemszer˝ uen a v´egtelenben tal´alhat´o g¨ombfel¨ uleten energia nem haladhat kereszt¨ ul, mivel 19

P´olik Zolt´an, OTDK Dolgozat

2009

a tanulm´anyozott jelens´eg ennek a belsej´eben a g¨ombfel¨ ulett˝ol kell˝oen nagy t´avols´agban megy v´egbe. Ez a felt´etel a k¨ovetkez˝o egyenlettel el´eg´ıthet˝o ki [16]: lim r2 (E × H) · n = 0,

(3.20)

r→∞

azaz lim r|E| = 0,

r→∞

´es

lim r|H| = 0.

r→∞

(3.21)

Ez azt jelenti, hogy az elektromos ´es m´agneses t´er a v´egtelenben z´erus. Elektromos ´ es m´ agneses t´ erer˝ oss´ eg A hat´arfelt´etelek el˝o´ırj´ak az elektromos t´er tangenci´alis komponens´enek folytonoss´ag´at, n × (E2 − E1 ) = 0.

(3.22)

Ha a fel¨ uleten nem folyik ´aram, akkor a m´agneses mez˝o tangenci´alis komponense folytonos, n × (H2 − H1 ) = 0. (3.23) Ha a Γ fel¨ ulet az Ω1 vizsg´alt tartom´any hat´ara, azaz E2 = 0 ´es H2 = 0, tov´abb´a E = E1 ´es H = H1 , akkor a peremfelt´etelek a k¨ovetkez˝ok´ent ´ırhat´ok: −n × E = 0,

vagy

E × n = 0,

(3.24)

−n × H = 0,

vagy

H × n = 0.

(3.25)

´es

Elektromos ´ es m´ agneses fluxuss˝ ur˝ us´ eg K¨ ul¨onb¨oz˝o anyagok tal´alkoz´as´an´al az elektromos fluxuss˝ ur˝ us´eg norm´al komponense folytonos, ha a fel¨ uleten nem tal´alhat´o t¨olt´es, n · (D2 − D1 ) = 0.

(3.26)

K¨ ul¨onb¨oz˝o anyagok hat´arfel¨ ulet´en a m´agneses fluxuss˝ ur˝ us´eg norm´al komponense folytonos, n · (B2 − B1 ) = 0. (3.27) Az ¨orv´eny´arams˝ ur˝ us´eg norm´al ir´any´ u komponens´enek folyamatosnak kell lennie ¨orv´eny´aram´ u terek eset´eben, n · (J2 − J1 ) = 0, (3.28) vagy ´altal´anosan a n · (J2 − J1 ) + n ·



∂D2 ∂D1 − ∂t ∂t



= 0,

(3.29)

egyenlet ´erv´enyes¨ ul a hat´arfel¨ uleten. Ha a Γ fel¨ ulet az Ω1 vizsg´alt tartom´any hat´ara, azaz D2 = 0, B2 = 0, J2 = 0 ´es ∂D2 /∂t = 0, tov´abb´a D = D1 , B = B1 ´es J = J1 , akkor a peremfelt´etelek a k¨ovetkez˝o alakban ´ırhat´ok fel: −n · D = 0,

vagy 20

D · n = 0,

(3.30)

P´olik Zolt´an, OTDK Dolgozat

2009

´es −n · B = 0,

vagy

B · n = 0,

(3.31)

−n · J = 0,

vagy

J · n = 0,

(3.32)

∂D = 0, ∂t

vagy

J ·n+

´es vagy ´altal´anosan −n · J − n ·

∂D · n = 0. ∂t

(3.33)

Elnyel˝ o peremfelt´ etel N´eh´any esetben, f˝oleg magas frekvenci´akon fontos krit´erium, hogy az elektrom´agneses hull´amok ne ver˝odjenek vissza a t´avoli peremekr˝ol. Ennek ´erdek´eben az u ´gynevezett elnyel˝o peremfelt´etelt vezett¨ uk le ´es alkalmaztuk a feladat megval´os´ıt´asa sor´an. A felt´etel ´altal´anos form´ai a k¨ovetkez˝ok [19]:

vagy

jk0 1 n × (∇ × E) − n × (n × E) = 0, µr2 η

(3.34)

1 n × (∇ × H) − jk0 ηn × (n × H) = 0, εr2

(3.35)

p ahol η = µr1 /εr1 az 1. sz´am´ u anyag – azaz amelyikben a hull´am terjed – normaliz´alt √ bels˝o impedanci´aja, amely leveg˝oben eggyel egyenl˝o, k0 = ω ε0 µ0 , εr2 = 1 ´es µr2 = 1. Helyettes´ıts¨ uk be a (3.34) egyenletbe η-t, k0 -t ´es µr2 -t, ´ıgy eredm´eny¨ ul √ n × (∇ × E) − jω ε0 µ0 · n × (n × E) = 0

(3.36)

egyenletet kapjuk, ahol ∇ × E = −jωµ0 H. Egyszer˝ us´ıt´es ut´an az elnyel˝o peremfelt´etel a k¨ovetkez˝ok´epp ´ırhat´o: r µ0 n × H + n × (n × E) = 0. (3.37) ε0 Fontos megjegyezni, hogy a fenti peremfelt´etel csak szinuszos lefut´as´ u gerjeszt´es eset´en alkalmazhat´o.

3.2.

Potenci´ alformalizmus

Egy elektrom´agneses t´ersz´am´ıt´ast ig´enyl˝o probl´ema megold´as´ahoz, a jelens´eget le´ır´o parci´alis differenci´alegyenlet-rendszert c´elszer˝ u potenci´alformalizmuss´a egyszer˝ us´ıten¨ unk. A potenci´alformalizmus egy vagy t¨obb olyan parci´alis differenci´alegyenlet, amelyben valamely potenci´al jelenti az ismeretlen v´altoz´ot. A k´es˝obbiekben bemutat´asra ker¨ ul˝o feladat potenci´alformalizmus´anak le´ır´as´ara ebben a r´eszben ker´ıt¨ unk sort [33–36]. A feladatban alkalmazott potenci´alformalizmus meghat´aroz´as´ahoz legel˝osz¨or be kell vezetn¨ unk az A m´agneses vektorpotenci´alt [16, 18, 27], B = ∇ × A, 21

(3.38)

P´olik Zolt´an, OTDK Dolgozat

2009

3.4. ´abra. Structure of a wave propagation problem amely a ∇ · ∇ × A ≡ 0 matematikai azonoss´ag miatt kiel´eg´ıti a m´agneses Gauss-t¨orv´enyt (3.7). Az elektromos skal´arpotenci´al a k¨ovetkez˝ok´epp hat´arozhat´o meg. Helyettes´ıts¨ uk (3.38) egyenletet Faraday-t¨orv´eny´ebe (3.6) [16],   ∂ ∂A ∂A ∇ × E = − ∇ × A = −∇ × = 0, (3.39) ⇒ ∇× E+ ∂t ∂t ∂t mivel az id˝obeli ´es t´erbeli deriv´al´as felcser´elhet˝o. A E + ∂A tagb´ol a V elektromos ∂t skal´arpotenci´al levezethet˝o, mivel ∇ × ∇v = 0 minden skal´arf¨ uggv´enyre n´ezve. Teh´at E+

∂A = −∇V, ∂t

(3.40)

v´eg¨ ul az elektromos skal´arpotenci´al a k¨ovetkez˝o egyenlettel ´ırhat´o le: E=−

∂A − ∇V, ∂t

(3.41)

ahol bel´athat´o, hogy k´etdimenzi´oban V = 0 [17]. (3.38) egyenletet az els˝o Maxwell-egyenlet (3.5) megfelel˝o form´aj´aba helyettes´ıtve, a H = νB lineariz´alt konstitut´ıv egyenletet haszn´alva, tov´abb´a figyelembe v´eve, hogy 2 szinuszos gerjeszt´es eset´en σE = −σ ∂A ⇒ −jωσA, valamint ∂D = ε ∂E = −ε ∂∂ 2At ⇒ ∂t ∂t ∂t ω 2 εA, a potenci´alformalizmus k¨ ul¨onb¨oz˝o anyagokban ´erv´enyes egyenleteit kapjuk: ∇ × (ν∇ × A) − ω 2 εA = 0, Ωn tartom´anyban,

(3.42)

∇ × (ν∇ × A) + jωσA = J0 , Ωc tartom´anyban,

(3.43)

∇ × (ν∇ × A) − ω 2 εA = 0, ΩD tartom´anyban.

(3.44)

ν∇ × A = 0, ΓHn peremen,

(3.45)

A potenci´alformalizmus peremfelt´etelei a k¨ovetkez˝ok:

22

P´olik Zolt´an, OTDK Dolgozat

2009 n × A = 0, ΓB peremen,

nD × A + nn × A = 0, ΓnD peremen,

(ν∇ × A) × nD + (ν∇ × A) × nn = 0, ΓnD peremen, nc × A + nD × A = 0, ΓcD peremen,

(ν∇ × A) × nc + (ν∇ × A) × nD = 0, ΓcD peremen, n × A = 0, ΓE peremen,

ν∇ × A = 0, ΓHD peremen,

(ν∇ × A) × nD + (ν∇ × A) × nn = 0, ΓnD peremen,

(3.46) (3.47) (3.48) (3.49) (3.50) (3.51) (3.52) (3.53)

ahol (3.47) ´es (3.49) automatikusan teljes¨ ul. A Γa t´avoli peremen az u ´gynevezett elnyel˝o peremfelt´etelt alkalmaztuk. Helyettes´ıts¨ uk a H = ν0 ∇ × A ´es a E = −jωA egyenletet a (3.37) ¨osszef¨ ugg´esbe: r ε0 n × (n × A) = 0, Γa peremen, (3.54) −ν0 n × (∇ × A) + jω µ0 amely a peremfelt´etel alkalmazott alakja [33–36].

3.3.

A gyenge alak

A v´egeselemes szimul´aci´ok a potenci´alformalizmusok gyenge alakj´an alapszanak. Egy parci´alis differenci´alegyenlet gyenge alakj´at a s´ ulyozott marad´ek elv seg´ıts´eg´evel hat´arozhatjuk meg [16], amely egy olyan m´odszercsal´ad, aminek seg´ıts´eg´evel parci´alis differenci´alegyenletek k¨ozel´ıt˝o megold´as´at kapjuk. Ebben a r´eszben a bemutaott potenci´alformalizmus gyenge alakj´anak levezet´es´et ´ırjuk le [20, 21, 28]. A gyenge alak a potenci´alformalizmus parci´alis differenci´alegyenleteinek ´es peremfelt´eteleinek seg´ıts´eg´evel ´ep´ıthet˝o fel [16]. Az egyenletekben haszn´alt A m´agneses vek˜ f¨ ˜ A s´ torpotenci´alt egy A uggv´ennyel k¨ozel´ıtj¨ uk, teh´at A ∼ ulyozott marad´ek elv egy = A. parci´alis differenci´alegyenlet ´es egy W s´ ulyf¨ uggv´eny szorzat´an alapul [16]. A p´eld´aban alkalmazott potenci´alformalizmus gyenge alakja a (3.42), (3.43), (3.44) parci´alis differenci´alegyenletek, valamint a (3.45), (3.48), (3.50) ´es (3.52)-(3.54) Neumann-t´ıpus´ u peremfelt´etelek seg´ıts´eg´evel ´ep´ıthet˝o fel [35]: Z Z 2 ˜ ˜ ˜ + jωσ A]dΩ ˜ Wk · [∇ × (ν∇ × A) − ω εA]dΩ + Wk · [∇ × (ν∇ × A) Ωn Ωc Z Z 2 ˜ ˜ × n]dΓ ˜ Wk · [(ν∇ × A) + Wk · [∇ × (ν∇ × A) − ω εA]dΩ + ΩD ΓHn Z ˜ × nD + (ν∇ × A) ˜ × nn]dΓ + Wk · [(ν∇ × A) ZΓnD ˜ × nD + (ν∇ × A) ˜ × nn]dΓ + Wk · [(ν∇ × A) ZΓnD Z ˜ ˜ ˜ × n]dΓ + Wk · [(ν∇ × A) × nc + (ν∇ × A) × nD]dΓ + Wk · [(ν∇ × A) Γ ΓHD r Z cD ˜ + jω ε0 n × (n × A)]dΓ = 0. + Wk · [−ν0 n × ∇ × A µ0 Γa (3.55) 23

P´olik Zolt´an, OTDK Dolgozat

2009

A ∇ · (u × v) = v · ∇ × u − u · ∇ × v matematikai azonoss´agot felhaszn´alva ´es a Gauss t´etelt alkalmazve az egyenlet ´at´ırhat´o a k¨ovetkez˝o alakra: Z Z ˜ ˜ × Wk]n dΓ ν(∇ × Wk) · (∇ × A)dΩ + [(ν∇ × A) Ω ∪Ω ΓHn ∪Γa ∪ΓB ∪ΓnD Z n D Z ˜ dΩ + ˜ dΩ − Wk ω 2 ε A ν∇ × Wk∇ × A Ωc ZΩn ∪ΩD Z ˜ × Wk]n dΓ + ˜ dΩ + [(ν∇ × A) Wkjωσ A Ωc D Ωc Z Z ˜ × n]dΓ ˜ × Wk]n dΓ + Wk · [(ν∇ × A) + [(ν∇ × A) ΓE ∪ΓHD ∪ΓnD ∪ΓcD ΓHn Z ˜ × nD + (ν∇ × A) ˜ × nn]dΓ + Wk · [(ν∇ × A) ΓnD Z ˜ × nD + (ν∇ × A) ˜ × nn]dΓ + Wk · [(ν∇ × A) ΓnD Z Z ˜ ˜ ˜ × n]dΓ + Wk · [(ν∇ × A) × nc + (ν∇ × A) × nD]dΓ + Wk · [(ν∇ × A) Γ ΓHD r Z cD ε 0 ˜ + jω n × (n × A)]dΓ = 0, + Wk · [−ν0 n × ∇ × A µ 0 Γa (3.56) ahol minden fel¨ uleti integr´alnak megvan a p´arja, amellyel kiejtik egym´ast, tov´abb´a n × W = 0 a ΓB ´es ΓE peremeken. Matematikai egyszer˝ us´ıt´esek ut´an a k¨ovetkez˝o fejezetben bemutat´asra ker¨ ul˝o k´etdimenzi´os probl´em´ara a Maxwell-egyenletek teljes alakj´ab´ol levezetett, elnyel˝o peremfelt´etelt is tartalmaz´o potenci´alformalizmus a k¨ovetkez˝o: Z ˜ − ω 2 εA]dΩ ˜ [ν(∇ × Wk) · (∇ × A) Ωn ∪ΩD Z ˜ + jωσ AW ˜ k]dΩ + [ν(∇ × Wk) · (∇ × A) (3.57) Ωc r Z ε0 ˜ dΓ = 0. + jω Wk A µ 0 Γa ahol k = 1, . . . , J.

24

4. fejezet Szimul´ aci´ o COMSOL Multiphysics k¨ ornyezetben 4.1.

A feladat ´ attekint´ ese

Az EPCOS AG Eur´opa vezet˝o aut´oipari elektronikai alkatr´esz-besz´all´ıt´ojak´ent, passz´ıv elektronikai alkatr´eszek fejleszt´es´evel, gy´art´as´aval ´es kereskedelm´evel foglalkozik. Az aut´oiparon k´ıv¨ ul legfontosabb felv´as´arl´oik az inform´aci´otechnol´ogia, a telekommunik´aci´o ´es a sz´orakoztat´o elektronika k¨or´eb˝ol ker¨ ulnek ki. N´eh´any esetben saj´atos ig´enyeket is ki kell el´eg´ıteni, mint p´eld´aul a katal´ogusadatokhoz k´epest m´as m´eretet, nagyobb ´aramterhelhet˝os´eget, vagy egy´eb param´eterek m´odos´ıt´as´at. Az ilyen, m´odos´ıtott vev˝oi ig´enyeknek megfelel˝o alkatr´eszek kifejlesz´es´et tapasztalt m´ern¨ok¨okb˝ol ´all´o csapatok v´egzik. Sz´amos munka ´es kutat´as van jelenleg is folyamatban k¨ ul¨onb¨oz˝o induktivit´asok tulajdons´againak fejlesz´es´evel, u ´j geometri´ak ´es u ´j anyagok kifejleszt´es´evel kapcsolatban a c´eg magyarorsz´agi telephely´en, Szombathelyen [29]. A jelenlegi kutat´asi projektek egyike egy r´adi´ofrekvenci´as SMT induktivit´as j´os´agi t´enyez˝oj´enek n¨ovel´ese. A nagy j´os´agi t´enyez˝oj˝ u induktivit´asok alkalmaz´asa a vele fel´ep´ıtett ´aramk¨or¨ok rezg´eseinek lassabb lecseng´ese miatt sok esetben rendk´ıv¨ ul fontos, ´ıgy p´eld´aul oszcill´atorokban, vagy bizonyos frekvenci´akra hangolt ´aramk¨or¨okben. Ez´ert egy ilyen induktivit´as-sorozat megjelen´ese az alkatr´eszpiacon jelent˝os el˝ony¨oket ´es sz´amos u ´j megrendel´est hozhatna a gy´art´onak. A sz´oban forg´o induktivit´as j´os´agi t´enyez˝oj´enek kit˝ uz¨ott ´ert´eke legal´abb 60 a 85 ´es 110 MHz k¨oz¨otti frekvenciatartom´anyban. Ezt a specifik´aci´ot SHQ-nak (Super High Q) nevezt´ek el. A jelenleg gy´artott alkatr´esz j´os´agi t´enyez˝oje ebben a frekvenciatartom´anyban k¨or¨ ulbel¨ ul 30, ahogy ez a 4.1 ´abr´an is l´athat´o. A 80 ´es 110 MHz k¨oz¨otti tartom´any az ´abr´an kiemel´esre ker¨ ult. Megfigyelhet˝o, hogy az el´erend˝o j´os´agi t´enyez˝o ´ert´eke el´eg messze van a jelenlegi ´ert´ekt˝ol, ez´ert a legels˝o l´ep´es a j´os´agi t´enyez˝o akkora m´ert´ekben val´o n¨ovel´ese, amekkora maxim´alisan realiz´alhat´o. Ennek ´erdek´eben, a m´odszer el˝onyeit figyelembe v´eve, a lehets´eges fejleszt´esi lehet˝os´egek vizsg´alat´ara ´es az alkatr´esz m˝ uk¨od´es´enek pontos szimul´aci´oj´ara v´egeselem-m´odszert alkalmaztunk ´es egy v´egeselemes modellt ´ep´ıtett¨ unk fel. A j´os´agi t´enyez˝o n¨ovel´es´enek els˝o l´ep´esek´ent a fel´ep´ıtett modell seg´ıts´eg´evel a tekercsel´esi k´ep j´os´agi t´enyez˝ore gyakorolt hat´as´anak vizsg´alat´at v´egezt¨ uk el. Sz´amos u ´j induktivit´ast k´esz´ıtett¨ unk el az u ¨zemben kis ´es nagy menetemelked´essel, t¨obb huzal´atm´er˝ovel, majd elv´egezt¨ uk ezek m´er´es´et, valamit az elk´esz¨ ult pr´obadarabok alapj´an v´egeselemes modelleket k´esz´ıtett¨ unk, majd elv´egezt¨ uk ezek szimul´aci´oj´at. A m´er´esi ´es a szimul´aci´os eredm´enyek ¨osszevet´ese ut´an a c´el a lehet˝o legjobb tekercsel´esi k´ep meg25

P´olik Zolt´an, OTDK Dolgozat

2009

80 Range of SHQ

Q

60

40

20

0 6 10

7

10

8

10 10 Frequency [Hz]

9

10

10

4.1. ´abra. A j´os´agi t´enyez˝o jelenlegi ´ert´eke hat´aroz´asa a legnagyobb j´os´agi t´enyez˝o n¨oveked´es ´erdek´eben. Az induktivit´as magj´anak m´odos´ıt´asa egyenl˝ore nem szerepelt a tervek k¨oz¨ott, mivel ez egy nemzetk¨ozileg szabv´anyos´ıtott magfajta, ´ıgy az u ´j geometri´ara val´o ´att´er´esnek k¨olts´egei magasra r´ ugn´anak. Az eml´ıtett induktivit´ascsal´ad t´ıpusjelz´ese SIMID 0805-F, amelynek gy´art´asa ´es fejleszt´ese az EPCOS Elektronikai Alkatr´esz Kft. szombathelyi u ¨zem´eben folyik. A t´ıpusjelz´esben 0805 egy nemzetk¨ozi m´eretszabv´any, amely SMT alkatr´eszek m´ereteit ´ırja le, fontos, hogy nem kiz´ar´olag induktivit´asokra vonatkozik. A projekt t´argya teh´at egy r´adi´ofrekvenci´an m˝ uk¨od˝o SMT induktivit´as. Az alkatr´esz m´eretei 1.24±0.04 mm × 1.22±0.04 mm × 2.03±0.04 mm. Az induktivit´as ferrit-, vagy ker´amiamaggal k´esz¨ ul – 2.7 nH-t˝ol 820 nH n´evleges ´ert´ekig ker´amia, 1 µH-t˝ol 6.8 µH-ig ferrit –, amelyen tekercsel´es n´egyzet alap´ u has´ab form´aj´aban helyezkedik el. A gy´art´as sor´an lakkr´eteggel szigetelt r´ez tekercsel˝ohuzalt az alkatr´esz kivezet´eseire felvitt v´ekony f´embor´ıt´asra hegesztik. A f´embor´ıt´as k´esz¨ ulhet egym´asra hordott ez¨ ust, pall´adium ´es platina egy¨ uttes´eb˝ol, egyes esetekben azonban wolfram, nikkel ´es arany bor´ıt´ast is alkalmaznak. A gy´art´as utols´o f´azisak´ent epoxy gyant´ab´ol k´esz¨ ult sima fedelet kap az alkatr´esz, hogy v´akuumcs˝ovel felemelhet˝o ´es ´aramk¨orbe illeszthet˝o legyen. Az induktivit´as legf˝obb saj´atoss´aga a magas rezonanciafrekvencia (300 MHz ´es 9 GHz k¨oz¨ott, fajt´at´ol f¨ ugg˝oen), valamint az alacsony tolerancia, amely bizonyos fajt´ak eset´eben ±2% is lehet. Az eszk¨ozt leggyakrabban rezon´atorokban, antenna er˝os´ıt˝okben, mobiltelefonokban, DECT (Digital enhanced cordless telecommunication) – Digit´alis tov´abbfejlesztett vezet´ekn´elk¨ uli telekommunik´aci´o – rendszerekben, aut´ok biztons´agi rendszer´eben, guminyom´asm´er˝o rendszerekben – TPMS (tire pressure monitoring system) –, vezet´ek´elk¨ uli t´avk¨ozl´esi rendszerekben ´es GPS vev˝okben tal´alhatjuk meg. Az alkatr´esz mikroszk´opos k´epe a 4.2 ´abr´an l´athat´o. Fontos megjegyezni, hogy az eszk¨oz k¨ ul¨onb¨oz˝o c´elokra val´o felhaszn´al´asra az induktivit´as, az ellen´all´as, a j´os´agi t´enyez˝o ´es sok m´as param´eter k¨ ul¨onb¨oz˝o ´ert´ekeire van sz¨ uks´eg. A legt¨obb param´eter egyszer˝ uen m´odos´ıthat´o a tekercsel´es vagy a mag anyag´anak m´odos´ıt´as´aval, azonban egy param´eter m´odos´ıt´asa a t¨obbi param´eter v´alto26

P´olik Zolt´an, OTDK Dolgozat

2009

4.2. ´abra. Az induktivit´as mikroszk´opos f´enyk´epe z´as´at is eredm´enyezi. P´eld´aul ha az induktivit´as ´ert´ek´enek n¨ovel´es´et a menetek sz´am´anak n¨ovel´es´evel, vagy a menetemelked´es cs¨okkent´es´evel szeretn´enk el´erni, akkor n˝oni fog az alkatr´esz ellen´all´asa, ennek hat´as´ara a j´os´agi t´enyez˝o cs¨okken, tov´abb´a a rezonanciafrekvencia is cs¨okkenni fog. Mind a k´et fajta m´odos´ıt´as eset´eben ugyanazt tapasztaljuk, de m´as-m´as jelens´eg miatt. Az els˝o esetben az ellen´all´as a t¨obb menet, ezen kereszt¨ ul a hosszabb huzal miatt n¨ovekszik, a Q ´ert´eke a j´os´agi t´enyez˝o kifejez´es´eb˝ol ad´od´oan (2.11) cs¨okken, a rezonanciafrekvencia pedig a t¨obb menet k¨oz¨ott fell´ep˝o nagyobb kapacit´as miatt fog cs¨okkenni. A m´asodik esetben az ellen´all´as a k¨ozelebb ker¨ ul˝o menetekben jobban jelentkez˝o proximity hat´as miatt cs¨okken, Q ´ert´eke emiatt cs¨okken, v´eg¨ ul a rezonanciafrekvencia a k¨ozelebb ker¨ ul˝o menetek k¨oz¨ott fell´ep˝o nagyobb sz´ort kapacit´asok miatt fog cs¨okkenni. B´armely param´eter m´odos´ıt´asa eset´en hasonl´o komplex folyamatokat kell figyelembe venni. L´atszik teh´at, hogy nem egyszer˝ u feladat an´elk¨ ul jav´ıtani valamely tulajdons´agot, hogy egy m´asikat ne m´odos´ıtsunk rossz ir´anyba ek¨ozben. A 4.3 ´es a 4.4 ´abr´an l´athat´o az alkatr´eszcsal´ad adatlapja, ahol megfigyelhet˝oek a fent eml´ıtett v´altoz´asok az ellen´all´as, a rezonanciafrekvencia ´es a j´os´agi t´enyez˝o ´ert´ekeinek v´altoz´as´aban. Fontos, hogy a j´os´agi t´enyez˝o f¨ ugg a tekercstest hossz´at´ol is, ´ıgy lehets´eges az ´abr´an megfigyelhet˝o ´ert´ekn¨oveked´es a kis ´ert´ek˝ u induktivit´asok eset´eben. Ezt a gy´art´o a nagyobb menetemelked´essel ´eri el. Nagyobb menetsz´amok eset´en, a 100 nH ´ert´ek˝ u alkatr´eszt˝ol kezdve a fenti gondolatk´ıs´erlet helyess´ege m´ar l´atszik a t´abl´azat ´ert´ekeib˝ol is. 1 µH n´evleges ´ert´ek f¨ol¨ott az alkatr´eszek ferritmaggal k´esz¨ ulnek, mivel a gy´art´o tapasztalatai szerint ekkora induktivit´as´ert´ekek m´ar csak nagy permeabilit´assal ´erhet˝ok el. Ezeknek a magoknak azonban nagy h´atr´anyuk, hogy a benn¨ uk fell´ep˝o hiszter´ezis- ´es ¨orv´eny´aramvesztes´egeknek k¨osz¨onhet˝oen a j´os´agi t´enyez˝o jelent˝osen leromlik. A m´er´esek ´es a szimul´aci´ok realiz´al´as´ahoz a 0805 t´ıpuscsal´adb´ol kiv´alasztottunk egyet. A terv szerint az erre kapott eredm´enyek birtok´aban az eg´esz alkatr´eszcsal´adra ´erv´enyes m´odos´ıt´asi javaslatokat tudunk majd adni. A kiv´alasztott alkatr´esz a 180 nH n´evleges ´ert´ekkel rendelkez˝o darab, mely ker´amiamaggal ´es 14 menetes tekerccsel k´esz¨ ul. A magk´ent haszn´alt ker´amia elnevez´ese Rubalit 710, amelyet a Ceramtec gy´art. Anyaga 99,6%-ban alum´ınim-oxid. A Rubalit 710 felsz´ın´enek mikroszk´opos k´epe a 4.5 ´abr´an l´athat´o. Az anyag j´o szigetel˝o, εr relat´ıv permittivit´asa 10, permeabilit´asa egyezik 27

P´olik Zolt´an, OTDK Dolgozat

2009

4.3. ´abra. A 0805 t´ıpus´ u induktivit´as adatlapja I [29]

28

P´olik Zolt´an, OTDK Dolgozat

2009

4.4. ´abra. A 0805 t´ıpus´ u induktivit´as adatlapja II [29]

4.5. ´abra. A Rubalit 710 felsz´ın´enek mikroszk´opos fot´oja [31] a leveg˝o´evel. Az elektronikai iparban nagy n´epszer˝ us´egnek ¨orvend nagy mechanikus, h˝om´ers´ekleti ´es elektromos t¨olt´esekkel szembeni t˝ ur˝ok´epess´ege ´es alacsony vesztes´egei miatt. Fontos szempont m´eg alacsony h˝ovezet˝o k´epess´ege is, melynek t¨obb abyaggal val´o ¨osszehasonl´ıt´asa a 4.6 ´abr´an l´athat´o. A 4.6 ´abr´an h´arom alum´ınium-oxidb´ol k´esz¨ ul˝o anyag ¨osszehasonl´ıt´asa l´athat´o. A vizsg´alt alkatr´esz tekercse 50 µm ´atm´er˝oj˝ u lakkszigetel´es˝ u r´ezhuzalb´ol k´esz¨ ul. A 7 S v´egeselemes szimul´aci´o sor´an a huzal elektromos vezet´es´et (σ = 5.7·10 m ) ´es a szigetel´es relat´ıv permittivit´as´at (εr = 5) is figyelembe kell venn¨ unk [32, 34].

4.2.

Teend˝ ok

A munka k´et r´eszb˝ol ´all. Az egyik a szimul´aci´os f´azis, ahol a COMSOL Multiphysics szoftvercsomag [22] seg´ıts´eg´evel az induktivit´as v´egeselemes modellj´et ´ep´ıtett¨ uk fel, majd a sz¨ uks´eges szimul´aci´okat v´egezt¨ uk el az eszk¨oz bels˝o m˝ uk¨od´es´enek megfigyel´ese, valamint a tekercsel´es j´os´agi t´enyez˝ore gyakorolt hat´as´anak vizsg´alata c´elj´ab´ol. A c´el

29

P´olik Zolt´an, OTDK Dolgozat

2009

4.6. ´abra. Az Al2 O3 h˝om´ers´ekleti vezet˝ok´epess´ege [31] a lehet˝o legmagasabb Q-´ert´ek el´er´ese a tekercsel´es m´odos´ıt´as´aval ´es a n´evleges induktivit´as´ert´ek megtart´as´aval. A munka m´asik r´esze a k´ıs´erleti darabok legy´art´asa – melyek ugyanazokkal a be´all´ıt´asokkal k´esz¨ ultek, mint a v´egeselemes modellek –, majd azok param´etereinek m´er´ese volt. Ez a szimul´aci´os eredm´enyek al´at´amaszt´asa ´es a fel´ep´ıtett modell helyess´eg´enek m˝ uk¨od´ese miatt volt l´etfontoss´ag´ u. A k´ıs´erleti alkatr´eszek m´er´es´ere az Agilent E4991A RF impedancia- ´es anyaganaliz´ator´at haszn´altuk, amely a 4.8 ´abr´an l´athat´o. Ez az berendez´es SMT eszk¨oz¨ok ´es m´agneses vagy dielektromos tulajdons´agokkal rendelkez˝o anyagok vizsg´alat´anak elv´egz´es´ere alkalmazhat´o egy megahertz ´es h´arom gigahertz k¨oz¨otti frekvenciatartom´anyban. Kezel˝oi fel¨ ulete felhaszn´al´obar´at, a hardveren egy Windows 2000 alap´ u vez´erl˝oszoftver fut, melynek be´ep´ıtett programoz´oi fel¨ ulete (VBA – Visual Basic for Applications) nagy seg´ıts´eget ny´ ujthat k¨ ul¨onb¨oz˝o fajta m´er´esek elv´egz´es´ehez. A berendez´es LAN interf´eszen kereszt¨ ul k´epes kapcsolatot l´etes´ıteni m´as eszk¨oz¨okkel. Sz´amos m´er˝ofejjel rendelkezik az apr´ol eszk¨oz¨ok ´es k¨ ul¨onb¨oz˝o anyagok r¨ogz´ıt´es´ehez [30]. A k´ıs´erleti alkatr´eszek m´er´es´ehez az Agilent 16197A t´ıpus´ u r¨ogz´ıt˝o fejet haszn´altuk, amelynek fot´oja a 4.9 ´abr´an l´athat´o. Az alkatr´eszek legy´art´as´at ´es m´er´es´et az EPCOS AG magyarorsz´agi telephely´en, Szombathelyen v´egezt¨ uk el [32, 34]. A fenti probl´ema szimul´aci´oj´ahoz a COMSOL Multiphysics szoftvercsomagot [22] haszn´altuk. a COMSOL Multiphysics egy v´egeselemes modellez˝o ´es megold´o szoftver, amely sz´amos fizikai ´es m´ern¨oki feladat elv´egz´es´ere, valamint ¨osszetett fizikai jelens´egek szimul´aci´oj´ara alkalmas. Ezen fel¨ ul egy k¨onnyen kezelhet˝o MATLAB [23] interf´esszel rendelkezik, ´ıgy lehet˝os´eg ny´ılik a MATLAB eszk¨ozeinek ´es programoz´asi technik´ainak felhaszn´al´as´ara is. A COMSOL rendelkezik m´eg egy hasonl´o programoz´asi fel¨ ulettel is, ezt COMSOL Scriptnek nevezik [22]. A szoftvercsomag Windows, Mac/OS, Linux ´es Unix fel¨ uleten m˝ uk¨od˝ok´epes. Szimul´aci´ok felhaszn´al´obar´at elk´esz´ıt´es´en k´ıv¨ ul, amely ¨osszetett fizikai jelens´egek le´ır´as´an alapul, a COMSOL-ban lehet˝os´eg van a fizikai jelens´egeket le´ır´o parci´alis differenci´alegyenletek (PDE) manu´alis megad´as´ara is. A PDE-k k¨ozvetlen¨ ul be´ırhat´ok a megfelel˝o helyre, vagy magadhatjuk ˝oket gyenge alakjukkal is. 30

P´olik Zolt´an, OTDK Dolgozat

2009

4.7. ´abra. Ker´amia szubsztr´atok ¨osszehasonl´ıt´asa [31] Sz´amos be´ep´ıtett modullal rendelkezik, amelyek k¨ ul¨onb¨oz˝o probl´em´ak egyenleteit foglalj´ak magukba: AC/DC Module, Acoustics Module, CAD Import Module, Chemical Engineering Module, Earth Science Module, Heat Transfer Module, Material Library, MEMS Module, RF Module and Structural Mechanics Module. Az AC/DC modul ad lehet˝os´eget elektronikai alkatr´eszek ´es eszk¨oz¨ok, valamint minden olyan jelens´eg szimul´aci´oj´ara, amelyek elektrosztatikus, magnetosztatikus ´es kv´azistacion´arius elektrom´agneses terekt˝ol f¨ uggenek, ´ıgy ez a legalkalmasabb r´esz induktivit´asok, kondenz´atorok, motorok, hull´amterjed´esi probl´em´ak ´es minden elektrom´agneses jelens´eg

31

P´olik Zolt´an, OTDK Dolgozat

2009

4.8. ´abra. Agilent E4991A RF impedancia- ´es anyaganaliz´ator

4.9. ´abra. Agilent 16197A t´ıpus´ u SMD r¨ogz´ıt˝ofej szimul´aci´oj´anak elv´egz´es´ere. A v´egeselemes szimul´aci´o c´elja egy olyan val´os´agh˝ u modell fel´ep´ıt´ese, amely vizualiz´alja az induktivit´asok bels˝o m˝ uk¨od´es´et, valamint pontos megold´ast ad az induktivit´asok fontosabb param´etereinek (induktivit´as, impedancia, j´os´agi t´enyez˝o, rezonanciafrekvencia) ´ert´ekeire a m˝ uk¨od´esi frekvenciatartom´anyban. Tov´abbi c´el annak kider´ıt´ese, hogy lehets´eges-e a j´os´agi t´enyez˝o n¨ovel´ese a tekercstest m´odos´ıt´as´aval.

4.3.

A k´ etdimenzi´ os modell

A modell fel´ep´ıt´ese sor´an az els˝o neh´ezs´eget az eszk¨oz komplexit´asa okozta. A legnagyobb probl´ema a tekercstest n´egyzet alap´ u mivolta, ugyanis a COMSOL-ban a tekercsben foly´o ´aramok le´ır´asa matematikai formul´aval lehets´eges. P´eld´aul egy spir´al alak´ u tekercsben (szolenoid) foly´o ´aramok megad´asa a k¨or egyenlet´eb˝ol kiindulva hat´arozhat´o meg. Emiatt, els˝o megk¨ozel´ıt´esben a mag ´es a tekercsel´es geometriai tulajdons´agait elhanyagoltuk ´es egy forg´asszimmetrikus modellt hoztunk l´etre. M´ern¨oki szempontb´ol n´ezve 32

P´olik Zolt´an, OTDK Dolgozat

2009

egy modell fontos tulajdons´aga a hat´ekonys´aga, a gyorsas´aga ´es az egyszer˝ us´ege, ez´ert a h´aromdimenzi´os modell tov´abb egyszer˝ us´ıtett¨ uk egy k´etdimenzi´os forg´asszimmetrikus modell´e. Ez a m´odos´ıt´as nem jelent adatveszt´est az el˝oz˝o egyszer˝ us´ıt´essel ellent´etben, mivel a haszn´alt szoftver k´epes forg´asszimmetrikus modellek kezel´es´ere. Az egyszer˝ us´ıt´es folyamata a 4.10 ´abr´an l´athat´o. A 2D szimul´aci´o sor´an k´etfajta modellt hoztunk l´etre, az egyik eset´eben a gerjeszt´es fesz¨ ults´eggel, a m´asik eset´eben ´arammal t¨ort´enik.

4.10. ´abra. Az egyszer˝ us´ıt´es folyamata

4.4. 4.4.1.

A feladat megold´ asa A modell berajzol´ asa

A modell fel´ep´ıt´es´enek els˝o l´ep´ese a probl´ema geometriai megfogalmaz´as´anak realiz´aci´oja, teh´at a berajzol´as. A COMSOL Multiphysics tartalmaz egy CAD modellez˝o r´eszt, amellyel lehet˝os´eg ny´ılik egyszer˝ ubb rajzol´asi met´odusok elv´egz´es´ere, ´ıgy p´eld´aul k´etdimenzi´oban pont, vonal, g¨orbe, k¨or, n´egyzet rajzol´as´ara, t¨ ukr¨oz´esre, ´atm´eretez´esre, kerek´ıt´esre, u ´ni´o-, metszet- ´es k¨ ul¨onbs´egk´epz´esre, forgat´asra, extrud´al´asra, stb [22, 47, 48], teh´at j´o megold´ast ad k´etdimenzi´os probl´em´ak berajzol´as´ara. A szoftver rendelkezik egy olyan modullal, amely seg´ıts´eg´evel m´as tervez˝oprogramokkal, p´eld´aul AutoCAD-del vagy Solid Works-szel k´esz´ıtett geometri´akat is tudunk import´alni. A fent bemutatott k´etdimenzi´os modell berajzol´as´ahoz legel˝osz¨or v´alasszuk a 2D axial symmetry opci´ot a New model ablakban. Ezut´an az induktivit´as berajzol´as´ahoz k´esz´ıts¨ unk egy t´eglalapot, melynek sarkai a 0 ; 1.015·10−3 m, 6.2·10−4 m; -1.015·10−3 m pontokban helyezkedjenek el. A k¨ovetkez˝o l´ep´es a tekercs berajzol´asa, amely 50 µm ´atm´er˝ uj˝ u menetekb˝ol ´all, valamint szigetel´essel rendelkezik. Ezzel egy¨ utt ´atlagos ´atm´er˝oje 57.5 µm. A 14 menetet teh´at 14 darab 6.4875·10−4 m k¨oz´eppont´ u k¨orb˝ol −4 ´all´ıthatjuk ¨ossze, mivel a mag sz´ele 6.2·10 m-n´el helyezkedik el, ehhez hozz´a kell m´eg adnunk a huzal sugar´at 57.5/2 · 10−6 m-t, ahol a kordin´at´ak a k¨oz´epponti szimmetriatengelyt˝ol sz´am´ıtott t´avols´agot jelentik. A szigetel´es a menetekre azonos k¨oz´epponttal, de 57.5 µm-es ´atm´er˝ovel ker¨ ul, v´eg¨ ul a huzal ´es a szigetel´esk´ent berajzolt k¨or k¨ ul¨onbs´eg´et kell k´epezn¨ unk. A menetemelked´es, teh´at a menetek k¨oz¨otti t´avols´ag megegyezik a gy´art´asban l´ev˝o alkatr´esszel, teh´at 30 µm. Az utols´o l´ep´es a probl´em´at k¨or¨ ulvev˝o ter¨ ulet berajzol´asa, amelyben leveg˝o tal´alhat´o. Ezt egy 0 ; 0 m k¨oz´eppont´ u k¨orrel realiz´alhatjuk, amelynek a szimmetriatengelyt˝ol negat´ıv ir´anyba es˝o fel´et lev´agjuk. Az elk´esz¨ ult geometria a 4.11 k´epen l´athat´o. 33

P´olik Zolt´an, OTDK Dolgozat

2009

4.11. ´abra. Az induktivit´as k´etdimenzi´os geometri´aja COMSOL Multiphysics k¨ornyezetben

4.4.2.

Preprocessz´ al´ as

A k¨ovetkez˝o l´ep´es a preprocessz´al´as f´azisa, amikor a feladat megold´as´ahoz sz¨ uks´eges v´altoz´okat, konstansokat ´es egyenleteket tudjuk megadni. A konstansok magad´asa a Options/Constants... men¨ uben lehets´eges, ahol defini´altuk az N menetek sz´am´at, a r´ez σ elektromos vezet´es´et, amit sigma-val jel¨olt¨ unk, a r´ez ̺ fajlagos ellen´all´as´at, amit ro-val jel¨olt¨ unk, a huzal rc ´atm´er˝oj´et, a tekercs A keresztmetszet´et, a modell analitikusan sz´amolt Rdc DC ellen´all´as´at, valamint a C kapacit´as- ´es az R0 ellen´all´asparam´eter ´ert´ek´et. Az ut´obbi k´et konstansra k´es˝obb m´eg visszat´er¨ unk. A konstansok be´all´ıt´as´ara szolg´al´o ablak a 4.12 ´abr´an l´ athat´o. A gerjeszt˝o fesz¨ ults´eg vagy a gerjeszt˝o ´aram a Options/Expressions/Global Expressions... men¨ uben adhat´o meg. A fesz¨ ults´eggel gerjesztett modell eset´eben a gerjeszt´es ´ert´eke 1 V, az ´arammal gerjesztett esetben a gerjeszt´es ´ert´eke 1 A. A k¨ ul¨onb¨oz˝o mennyis´egek kisz´amol´as´ahoz sz¨ uks´eges integr´alokat is tartalmaz´o egyenleteket a Options/Integration Coupling Variables/Subdomain Variables... men¨ upontban ´ırhatjuk be [22, 47, 48]. P´eld´aul eset¨ unkben a legt¨obb mennyis´eg meghat´aroz´asa az alkatr´esz impedanci´aj´ab´ol sz´armaztathat´o, teh´at legel˝osz¨or a rajta es˝o fesz¨ ults´eg ´es a rajta ´atfoly´o ´aram h´anyados´at kell kisz´amolnunk. Ehhez esetekt˝ol f¨ ugg˝oen az ´aram vagy a fesz¨ ults´eg ´ert´ek´et kell meghat´aroznunk. Amikor a fesz¨ ults´eg ismert, az ´aram a k¨ovetkez˝o fel¨ uleti integr´allal sz´amolhat´o [48]: Z Itot = Jϕ dΓ, (4.1) Γcoil

ahol Γcoil a huzal keresztmetszet´enek fel¨ ulete, Jϕ az ´arams˝ ur˝ us´eg ϕ ir´any´ u komponense, ami egyenl˝o a fesz¨ ults´eggel val´o gerjeszt´es ´altal l´etrehozott ´aram, az ¨orv´eny´aramok ´es az eltol´asi ´aramok ¨osszeg´evel. Amikor az ´aram ´ert´eke ismert, a komponensen es˝o fesz¨ ults´eg a k¨ovetkez˝o formul´aval 34

P´olik Zolt´an, OTDK Dolgozat

2009

4.12. ´abra. A modellben haszn´alt konstansok ´es skal´aris kifejez´esek sz´amolhat´o [34]: V0 = 2πr

R

Γcoil

(−Eϕ + Jϕ/σ)dΓ

, (4.2) S ahol Eϕ az elektromos t´erer˝oss´eg ϕ ir´any´ u komponense, σ a huzal elektromos vezet´ese, valamint S a huzal keresztmetszete. A k¨ ul¨onb¨oz˝o mennyis´egek kalkul´aci´oj´ahoz sz¨ uks´eges egyenleteket a Options/Expressions/Scalar Expressions... men¨ uben adhatjuk meg. Ebben az esetben ide ker¨ ult a Z impedancia, a Q j´os´agi t´enyez˝o, az impedanci´ab´ol sz´armaztatott L induktivit´as, a m´agneses energi´ab´ol sz´armaztatott Lw induktivit´as, az R ellen´all´as, a m´odos´ıtott Iv ´atfoly´o ´aram ´es a modell Z0 impedanci´aja. Az omega− emqa a gerjeszt´es k¨orfrekvenci´aja, W m pedig a m´agneses energia. Iv ´es Z0 v´altoz´okra k´es˝obb m´eg kitr´eu ¨nk. A megold´ashoz felhaszn´alt egyenletek szint´en a 4.12 ´abr´an l´athat´ok.

4.4.3.

PDE megad´ asa

Egy fizikai jelens´eg matematikai le´ır´as´ahoz ismern¨ unk kell a jelens´eget le´ır´o egyenleteket. A COMSOL Multiphysics szoftvercsomagban t¨obb lehet˝os´eg is ny´ılik az egyenletek megad´as´ara. Az egyik az egyenletek gyenge alakj´anak beg´epel´ese a megfelel˝o ablakba, a m´asodik az egyenletek direkt megad´asa parci´alis differenci´alegyenletekkel. A harmadik lehet˝os´eg a COMSOL be´ep´ıtett formul´aci´oinak alkalmaz´asa. A 2D szimul´aci´o sor´an a be´ep´ıtett Azimuthal Induction Currents, Vector Potential, formalizmust alkalmaztuk, amely levezethet˝o a (3.42)-(3.44) egyenletekb˝ol azzal a megjegyz´essel, hogy a V elektromos skal´arpotenci´al k´etdimenzi´oban null´aval egyenl˝o [16] ´es a ∇ × T0 helyett J0 v´altoz´ot haszn´alunk. Tov´abb´a fontos, hogy a fesz¨ ults´eggel val´o gerjeszt´es hat´as´ara l´etrej¨ov˝o ´aram a k¨ovetkez˝o k´eplettel sz´amolhat´o [48]: Jp = σ

Vloop , 2πr

(4.3)

ahol Vloop egy z´art hurkon es˝o fesz¨ ults´eg, σ a huzal elektromos vezet´ese ´es r a tekercs ∂ hely´ere jω-´at helyettes´ıtve ´es (4.3) k¨ozepes sugara. Ezeket a t´enyeket figyelembe v´eve, ∂t defin´ıci´oj´at hozz´aadva a k¨ovetkez˝o egyenletet kapjuk [48]: (jωσ + ω 2 ε)A + ∇ × (ν∇ × A) = J0 + σ 35

Vloop . 2πr

(4.4)

P´olik Zolt´an, OTDK Dolgozat

2009

Az egyenletrendszer meghat´aroz´asa ut´an a Physics/Subdomain Settings... men¨ uben az anyagok fizikai tulajdons´agait ´all´ıthatjuk be, ´ıgy a relat´ıv permeabilit´ast, a relat´ıv permittivit´ast ´es az elektromos vezet´est, tov´abb´a megadhatjuk a konstitut´ıv egyenletek form´aj´at ´es azt is, hogy a gerjeszt´es ´arammal vagy fesz¨ ults´eggel t¨ort´enjen, ahogy ez a 4.13 ´abr´an l´athat´o [22, 47, 48].

4.13. ´abra. Az anyagjellemz˝ok be´all´ıt´asa Ezut´an a peremfelt´etelek be´all´ıt´asa k¨ovetkezik a Physics/Boundary Settings... men¨ upontban. Ebben a p´eld´aban k´et peremfelt´etelt alkalmaztunk, az egyik r = 0 a modell szimmetriatengely´en ´erv´enyes, a m´asik pedig a t´avoli peremen, azaz a leveg˝ot reprezent´al´o k¨or sz´els˝o perem´en. Itt az un. elnyel˝o peremfelt´etelt alkalmaztuk, amely a k¨ovetkez˝o m´odon ´ırhat´o le [19, 22, 34]: r µ n × H + Eϕ = −Esϕ, (4.5) ε − jσω ahol ebben az esetben Esϕ = 0, mivel nincs fel¨ uleti elektromos mez˝o ´es σ = 0, mivel a leveg˝o vezet´ese nulla. Ezeket figyelembe v´eve a (3.37) egyenletet kapjuk, amely az elnyel˝o peremfelt´etel ´altal´anos alakja. A peremfelt´etelek be´all´ıt´as´ara szolg´al´o ablak a 4.14 ´abr´an l´athat´o.

4.4.4.

R´ acsgener´ al´ as ´ es szimul´ aci´ o

A feladat megold´asi f´azis´aban a k¨ovetkez˝o folyamat a r´acsgener´al´as, amikor a geometri´at v´eges sz´am´ u elemre bontjuk. A COMSOL Multiphysics r´acsgener´atora sz´amos be´all´ıt´ast tesz lehet˝ov´e az elemek form´aj´at´ol kezdve az elemek m´eret´eig. K´etdimenzi´oban h´aromsz¨og ´es n´egysz¨og alak´ u elemeket haszn´alhatunk, tov´abb´a t¨obb r´acsm´eret k¨oz¨ ul v´alaszthatunk. A 4.15 ´abr´an a 2D forg´asszimmetrikus modell v´egeselemes r´acsa l´athat´o, amely 34108 h´aromsz¨og alak´ u elemet tartalmaz. 36

P´olik Zolt´an, OTDK Dolgozat

2009

4.14. ´abra. A peremfelt´etelek be´all´ıt´asa

4.15. ´abra. A forg´asszimmetrikus 2D modell v´egeselemes r´acsa V´eg¨ ul a probl´ema megold´asa k¨ovetkezik. A Solver/Solver Parameters... men¨ upontban sok be´all´ıt´asi lehet˝os´eg¨ unk van. Mivel eset¨ unkben a gerjeszt´es id˝oben v´altoz´o szinuszos lefut´as´ u f¨ uggv´eny, ez´ert a time-harmonic, teh´at harmonikus anal´ızist v´alasztjuk ki az ablak bal fels˝o sark´aban [22, 47, 48]. A probl´ema megold´as´at a frekvencia sz´eles tartom´any´aban keress¨ uk, teh´at a p´eld´at sz´amos frekvencia´ert´ek eset´eben ki kell sz´amolnunk, ez´ert a param´eteres megold´ot v´alasztjuk. A param´etert f req n´evvel jel¨olt¨ uk, amely a k´ıv´ant frekvenciatartom´anyb´ol a k´ıv´ant l´ep´esk¨ozzel vehet fel ´ert´eket. A f req param´etert be kell ´ırnunk m´eg a Physics/Salar Variables... ablak nu− emqa mez˝oj´ebe is.

37

P´olik Zolt´an, OTDK Dolgozat

2009

A p´elda megold´as´ara ezesetben direkt megold´ot haszn´alhatunk, p´eld´aul UMFPACK ot vagy SPOOLES -t [46], mivel az ismeretlenek sz´ama nem t´ ul nagy, itt 68375 darab. A megold´asi param´eterek be´all´ıt´as´a´ert felel˝os ablakot a 4.16 ´abr´an l´athatjuk. A parameter values sorban a logspace(0,10,20) jelenti azt, hogy a probl´ema a 100 Hz ´es 1010 Hz k¨oz¨otti frekvenciatartom´any 20 pontj´aban ker¨ ul megold´asra, valamint, hogy a pontok eloszl´asa logaritmikus.

4.16. ´abra. A megold´o param´etereinek be´all´ıt´asa

4.4.5.

A modell optimaliz´ al´ asa

A fenti probl´ema megold´asa a jelens´eget le´ır´o parci´alis differenci´alegyenlet rendszer ismeretlen potenci´aljainak megold´as´at adja, amelyekb˝ol a k´ıv´ant elektrom´agneses t´erjellemz˝ok ´es mennyis´egek kisz´amolhat´ok. Ez az els˝o lehet˝os´eg, hogy a kapott eredm´enyeket ellen˝orizz¨ uk ´es ha sz¨ uks´eges m´odos´ıt´asokat hajtsunk v´egre a modellen. Az els˝o szimul´aci´okat k¨ovet˝oen eset¨ unkben is felmer¨ ultek kisebb probl´em´ak. T´ ul nagy volt a r´acs elemsz´ama, sz´amszerint 59952 darab, amelynek hat´as´ara a megoldand´o egyenletrendszer ismeretlenjeinek sz´ama 120085 lett. Ez viszonylag lass´ u szimul´aci´ohoz vezetett. A megold´as ideje 406 m´asodperc volt egy 4 GB rammal ´es k´et AMD processzorral rendelkez˝o sz´am´ıt´og´epen. A v´egeselemes r´acs elemsz´am´anak cs¨okkent´ese ´erdek´eben megpr´ob´altunk olyan egyszer˝ us´ıt´esi lehet˝os´egeket keresni, amelyek alkalmaz´as´aval a kapott eredm´enyek nem v´altoznak. A tapasztalati eredm´enyek azt mutatt´ak, hogy a huzalon elhelyezked˝o lakk szigetel´es elhagy´as´aval az eredm´enyek gyakorlatilag semmit sem v´altoznak, ahogy az a 4.17 ´abr´an is l´athat´o az induktivit´as-frekvencia grafikon eset´eben. 38

P´olik Zolt´an, OTDK Dolgozat

2009

Az egyszer˝ us´ıt´es hat´as´ara a megoldand´o ismeretlenek sz´ama 68375-re cs¨okkent a megold´ashoz sz¨ uks´eges id˝o pedig 230 m´asodpercre.

4.17. ´abra. Az induktivit´as ¨osszehasonl´ıt´asa a szigetel´es figyelembev´etel´evel ´es an´elk¨ ul Sokkal jelent˝osebb probl´ema volt, hogy az elk´esz´ıtett k´etdimenzi´os modell, amely a val´odi induktivit´ashoz k´epest l´enyegesen egyszer˝ us´ıtve lett, nem k´epes a val´odi alkatr´esz n´eh´any tulajdons´ag´anak figyelembe v´etel´ere. A val´odi induktivit´as kivezet´esei k¨oz¨ott p´eld´aul kapacit´as j¨on l´etre. A m´asik probl´ema, hogy a tekercsel˝o huzal v´egeit hozz´ahegesztik a kivezet´esekhez, aminek hat´as´ara a huzal v´egeinek ´atm´er˝oje cs¨okken, ami ellen´all´asn¨oveked´est okoz. A kezdeti szimul´aci´okban a kisebb ellen´all´as ´es a kisebb kapacit´as a m´ert eredm´enyekn´el magasabb rezonanciafrekvenci´at ´es nagyobb j´os´agi t´enyez˝o ´ert´ekeket eredm´enyezett. A t¨obbletkapacit´as ´es ellen´all´as figyelembe v´etel´ere egy h´al´ozati modellt illesztett¨ unk a szimul´aci´ohoz, amely egy kapacit´ast ´es egy ellen´all´ast tartalmaz a modellezett induktvit´assal p´arhuzamosan [34]. Az ´aramk¨or a 4.18 ´abr´an l´athat´o. Tapasztalataink azt

4.18. ´abra. A t¨obbletkapacit´as ´es a t¨obbletellen´all´as modellez´es´ere haszn´alt h´al´ozati modell mutatt´ak, hogy a kapacit´as ´es az ellen´all´as optim´alis ´ert´eke 0.09 pF ´es 40 kΩ az aktu´alis 39

P´olik Zolt´an, OTDK Dolgozat

2009

induktivit´ast´ıpus eset´eben. A kapacit´ast C-vel az ellen´all´ast pedig R0-val jel¨olt¨ uk az ´abr´an ´es a modellben egyar´ant. Az ´aramk¨or modellhez val´o illeszt´es´et az alkatr´eszen ´atfoly´o ´aram m´odos´ıt´as´anak seg´ıts´eg´evel ´ert¨ uk el. A m´odos´ıtott ´aramot Iv-vel jel¨olt¨ uk a modellben. Az ´aramk¨or¨on ´atfoly´o ´aram adja a val´odi alkatr´eszen ´atfoly´o ´aramot, amely seg´ıts´eg´evel az impedanci´at, majd a t¨obbi mennyis´eget kisz´amolva a val´odi induktivit´as m´er´esi eredm´enyeihez j´ol k¨ozel´ı˝o eredm´eyeket kapunk. Az ´aramk¨or¨on ´atfoly´o ´aram a k¨ovetkez˝o egyenlettel sz´amolhat´o: Iv = Itot + V0 jωC +

V0 . R0

(4.6)

Fontos megjegyezni, hogy az ´aramk¨or komponensei csak param´eterek, fizikai jelent´es¨ uk nem egyezik a gy´art´asban l´ev˝o alkatr´eszek kivezet´esein m´erhet˝o kapacit´assal ´es ellen´all´assal, kiz´ar´olag a m´er´esi ´es szimul´aci´os eredm´enyek egym´ashoz illeszt´es´ehez alkalmaztuk ˝oket.

4.4.6.

A szimul´ aci´ ok eredm´ enyei, posztprocessz´ al´ as

A p´elda megold´asa ut´an az eredm´enyek ki´ert´ekel´ese ´es vizu´alis megjelen´ıt´ese k¨ovetkezik, amit idegen sz´oval posztprocessz´al´asnak is nevez¨ unk. A kapott eredm´enyeket legel˝osz¨or analitikus sz´am´ıt´asokkal ´es m´er´esi eredm´enyekkel ellen˝orizt¨ uk a modell helyes alacsonyfrekvenci´as m˝ uk¨od´es´enek igazol´as´ara. Az egyen´aram´ u ellen´all´as analitikus sz´amol´asa az ismert k´eplettel lehets´eges, RDC = N ̺

2r0 π , A

(4.7)

ahol r0 = 0.62 mm, N = 14 ´es A = rc2 π = 1.9635 10−9 m2 , ahol rc a huzal sugara. Az adatok behelyettes´ıt´ese ut´an 0.463088 Ω ellen´all´ast kapunk. A DC rezisztancia m´ert ´ert´eke 0.47 Ω. A v´egeselemes modell ellen´all´asa az impedancia val´os r´esz´eb˝ol kaphat´o meg, azaz RDC = Re{Z¯DC }, ahol ZDC a az impedancia ´ert´eke egyen´aram´ u esetben. A szimul´aci´o eredm´enyek´ent 0.485 Ω egyen´aram´ u ellen´all´ast kapunk. Az induktivit´as gy´art´o ´altal megadott alacsony frekvenci´as induktivit´asa 180 nH. A m´er´esek sor´an kiv´alasztott mintadarabok induktivit´asa 179 nH ´es 183 nH k¨oz´e esett. A szimul´aci´o sor´an az induktivit´as ´ert´ek´et a k¨ovetkez˝o ¨osszef¨ ugg´essel sz´am´ıtottuk, L=

¯ Im{Z} , 2πf

(4.8)

eredm´eny¨ ul 185 nH induktivit´ast kaptunk. Az analitikus sz´amol´ashoz a Nagaoka ´altal meghat´arozott ¨osszef¨ ugg´est (2.16) haszn´altuk [5]. Ebben a konkr´et esetben a tekercs hossza 1.1 mm, sugar´anak k¨oz´ep´ert´eke pedig 0.62 mm. Nagaoka coefficiens t´abl´azat´ab´ol az ezekre a m´eretekre kapott ´alland´o ´ert´eke K = 0.6618. Behelyettes´ıtve K, A ´es l ´ert´ek´et a (2.16) k´epletbe, 178.9 nH-t kapunk eredm´eny¨ ul [34]. Mivel a h´arom m´odszerrel kapott ´ert´ekek el´eg k¨ozel vannak egym´ashoz, kijelenthetj¨ uk, hogy a fel´ep´ıtett v´egeselemes modell kit˝ un˝oen m˝ uk¨odik alacsony frekvenci´an. Az alkatr´esz teljes m˝ uk¨od´esi frekvenciatartom´any´ara n´ezve is v´egezt¨ unk ¨osszehasonl´ıt´asokat. A 4.19 ´es a 4.20 ´abr´an a m´ert ´es a modellezett eszk¨oz induktivit´as´anak ´es j´os´agi t´enyez˝oj´enek ¨osszehasonl´ıt´as´at l´athatjuk a frekvencia f¨ ugg´ev´eny´eben 10 MHz ´es 3GHz k¨oz¨ott. L´athat´o, hogy az eredm´enyek az induktivit´as ´ert´ekeinek eset´eben gya40

P´olik Zolt´an, OTDK Dolgozat

2009

x 10

−6

L [H]

2.5

Simulated Measured

0

10 5

7

x 10

8

9

10 10 Frequency [Hz]

10

10

−6

Simulated Measured

L [H]

2.5

0

−2.5

−5 800

1800 Frequency [MHz]

2000

4.19. ´abra. A m´ert ´es a szimul´alt induktivit´as korlatiag megegyeznek, teh´at meg´allap´ıthat´o, hogy a v´egeselemes modell j´ol m˝ uk¨odik az eg´esz frekvenciatartom´anyban. A szimul´alt j´os´agi t´enyez˝o is j´o k¨ozel´ıt´essel tart a m´er´esi eredm´enyekhez, az itt l´athat´o elt´er´esek a geometria n´eh´any tulajdons´ag´anak elhanyagol´as´ab´ol ad´odnak. A modell m˝ uk¨od´es´enek ellen˝orz´ese ut´an, elkezdhet˝o az induktivit´as tekercsel´es´enek vizsg´alata a j´os´agi t´enyez˝o szempontj´ab´ol legide´alisabbnak tekinthet˝o elrendez´es megtal´al´as´ara. Ennek sor´an sz´amos tekercsel´esi k´ep szimul´aci´oj´at v´egezt¨ uk el. Kipr´ob´altunk a jelenlegin´el v´ekonyabb ´es vastagabb huzalokat, kisebb ´es nagyobb menetemelked´est, valamint egy ´es t¨obbr´eteg˝ u tekercsel´est. A 4.21 ´abr´an h´arom k¨ ul¨onb¨oz˝o tekercsel´essel ell´atott modell v´egeselemes r´acsa l´athat´o. A szimul´aci´ok eredm´enyek´ent kapott adatokat v´eg¨ ul ¨osszevetett¨ uk a k´ıs´erleti alkatr´eszek m´er´esi eredm´enyeivel. Sz´amos krit´erium van, amit egy induktivit´as tervez´esekor figyelembe kell venn¨ unk. Az els˝o ´es legfontosabb, hogy b´armilyen m´odos´ıt´ast hajtunk v´egre az alkatr´eszen, az induktivit´as ´ert´eke nem t´erhet el az alkatr´esz n´evleges ´ert´ek´et˝ol, ami ezesetben 180 nH.

41

P´olik Zolt´an, OTDK Dolgozat

2009

250

Q [U]

200

Measured Simulated

150 100 50 0 7 10

8

9

10 10 Frequency [Hz]

10

10

4.20. ´abra. A m´ert ´es a szimul´alt j´os´agi t´enyez˝o

4.21. ´abra. H´arom k¨ ul¨onb¨oz˝o tekercsel´esi k´ep v´egeselemes r´acsa Tov´abbi fontos dolog, hogy a tekercsel´esi kamra sz´eless´ege, teh´at az a hely ahov´a a menetek tekercselhet˝ok 1130 µm, ´ıgy ebbe a sz´eless´egbe kell, hogy belef´erjen a tekercs. A gy´art´asi folyamat pontatlans´aga miatt a menetek k¨oz¨otti t´avols´agnak legal´abb 10-15 µm-nek kell lennie, k¨ ul¨onben keresztbe tekercsel´esek j¨ohetnek l´etre a menetek k¨oz¨ott, amik lerontj´ak az induktivit´as legt¨obb param´eter´et. A 4.22 ´abr´an egy p´elda l´athat´o a keresztbe tekercsel´esre. Sz´amos ´erdekes jelens´eget figyelt¨ unk meg a vizsg´alatok sor´an, amelyek felfedezhet˝oek voltak mind a m´er´esek, mind a szimul´aci´ok sor´an. Az egyik ilyen t¨orv´enyszer˝ us´eg a menetemelked´es, teh´at a menetek k¨oz¨otti t´avols´ag v´altoztat´asakor jelentkezik. E param´eter n¨ovel´es´enek hat´as´ara az induktivit´as ´ert´eke cs¨okken, a rezonanciafrekvencia n˝o a menetek k¨ozt fell´ep˝o kisebb sz´ort kapacit´asoknak k¨osz¨onhet˝oen, valamint a j´os´agi t´enyez˝o maxim´alis ´ert´eke nagyobb frekvenci´an lesz m´erhet˝o, azonban nagys´aga nem v´altozik. Ha cs¨okkentj¨ uk a menetemelked´est ellenkez˝o eredm´enyeket kapunk. A m´asik hasonl´o t¨orv´enyszer˝ us´eg a huzal vastags´ag´anak m´odos´ıt´asokor figyelhet˝o meg. Vastagabb huzalt 42

P´olik Zolt´an, OTDK Dolgozat

2009

4.22. ´abra. Keresztbe tekercsel´es egy k´ıs´erleti alkatr´esz eset´eben haszn´alva az induktivit´as ´ert´eke cs¨okken, v´ekonyabb huzalt haszn´alva n¨ovekszik. Ezeket a jelens´egeket m´ar a r´adi´oamat˝or¨ok is eml´ıtik munk´aikban [4, 7, 13]; az induktivit´as v´altoz´asa mindegyik eml´ıtett esetben a fluxuss˝ ur˝ us´eg v´altoz´as´ara vezethet˝ok vissza. Az alkatr´eszek vizsg´alata sor´an szerzett tapasztalatok a k¨ovetkez˝ok. A (2.11) k´epletb˝ol kiindulva egy´ertelm˝ u, hogy a j´os´agi t´enyez˝o akkor n¨ovelhet˝o, ha az impedancia k´epzetes r´esz´et n¨ovelj¨ uk vagy az impedancia val´os r´esz´et cs¨okkentj¨ uk. Mivel az induktivit´asoknak n´evleges ´ert´eke van, aminek nem szabad v´altoznia, az egyik megold´as a j´os´agi t´enyez˝o n¨ovel´es´ere az ellen´all´as cs¨okkent´ese. Erre a legegyszer˝ ubb a vastagabb huzal haszn´alata. Ez´ert egy k´ıs´erleti alkatr´eszsorozatot, valamint egy v´egeselemes modellt k´esz´ıtett¨ unk 60 µm ´atm´er˝oj˝ u huzallal. A szimul´aci´oban az eredm´enyek a j´os´agi t´enyez˝o n´eh´any sz´azal´ekos n¨oveked´es´et mutatt´ak. Sajn´alatos m´odon a gyakorlatban felmer¨ ultek probl´em´ak. A m´er´esek sor´an azt tapasztaltuk, hogy a j´os´agi t´enyez˝o kisebb m´ert´ekben cs¨okkent, mint azt a szimul´aci´ok el˝orejelezt´ek ´es csak az alacsonyabb frekvenciatartom´anyban. Magas frekvenci´an a Q kisebb ´ert´ekeket vett fel, mint az eredeti tekercsel´es eset´eben. Ez azonban nem probl´ema, mert az SHQ min˝os´ıt´es frekvenciatartom´anya enn´el j´oval alacsonyabb frekvenci´an helyezkedik el. A legnagyobb h´atr´anya a vastagabb huzal haszn´alat´anak, hogy a keresztbe tekercsel´esek elker¨ ul´ese v´egett nagyobb menetemelked´est kellett alkalmaznunk, ami az induktivit´as ´ert´ek´enek 170 nH-re val´o cs¨okken´es´et eredm´enyezte. A tekercsel´esi kamra v´eges sz´eless´ege miatt a cs¨okken´es kompenz´al´as´ara t¨obb menetet alkalmazni nem lehet. A konkl´ uzi´o, hogy vastagabb huzal haszn´alat´aval nem n¨ovelhet˝o e konkr´et alkatr´esz j´os´agi t´enyez˝oje [34]. Ezut´an v´ekonyabb, 40 µm ´atm´er˝oj˝ u huzalt alkalmaztunk a v´egeselemes szimul´aci´oban ´es a k´ıs´erleti alkatr´eszek elk´esz´ıt´ese sor´an is. V´ekonyabb huzal haszn´alat´aval az induktivit´as ´ert´eke megugrik, ez´ert elegend˝o kevesebb menet is a n´evleges ´ert´ek el´er´es´ehez, ´ıgy nagyobb t´er ´all rendelkez´es¨ unkre a tekercsel´esi k´eppel val´o ”j´at´ekra”. M´ar a szimul´aci´ok sor´an kider¨ ult azonban, hogy az induktivit´as n¨oveked´ese nem olyan m´ert´ek˝ u, hogy meneteket elhagyhassunk, ´ıgy a 180 nH be´all´ıt´as´ara a menetemelked´es n¨ovel´ese szolg´al megold´ask´ent. Ezekben az esetekben a m´er´esek ´es a szimul´aci´ok azt mutatt´ak, hogy a rezonanciafrekvencia megn˝o a menetek k¨oz¨otti kisebb sz´ort kapacit´asoknak k¨osz¨onhet˝oen, emiatt a Q maximum ´ert´eke is magasabb frekvenci´ara ker¨ ul. A Q maximuma is ´eszrevehet˝oen n¨ovekszik, tov´abb´a a j´os´agi t´enyez˝o-frekvencia g¨orbe felfut´asa is gyorsabb lesz. 43

P´olik Zolt´an, OTDK Dolgozat

2009

Sajn´alatos m´odon azonban alacsony frekvenci´an kisebb ´ert´ekr˝ol indul, mint az eredeti alkatr´esz´e, ´ıgy 85 ´es 110 MHz k¨oz¨ott m´eg a gyorsabb n¨oveked´es ellen´ere is az eredeti g¨orbe alatt tal´alhat´o. Ezzel kijelenthet˝o, hogy v´ekonyabb huzal alkalmaz´asa sem megold´as a jelen probl´em´ara. A 4.23 ´es a 4.24 ´abr´an a k´ıs´erleti alkatr´eszek ´es a v´egeselemes modellek induktivit´asa ´es j´os´agi t´enyez˝oje l´athat´o a frekvencia f¨ uggv´eny´eben [34]. x 10

−5

Measured − original winding Simulated − 40um coil, spread Measured − 40um coil, spread

0.8

Simulated − original winding

L [H]

0.4 0 −0.4 −0.8 1

1.2 1.4 Frequency [GHz]

1.6

4.23. ´abra. A gy´art´asban l´ev˝o ´es egy k´ıs´erleti alkatr´esz induktivit´as´anak ¨osszehasonl´ıt´asa Egy m´asfajta pr´ob´alkoz´as volt az alkatr´esz ferritmaggal t¨ort´en˝o gy´art´asa. A ferrit magas relat´ıv permeabilit´asa miatt az induktivit´as n´evleges ´ert´eke l´enyegesen kevesebb menettel el´erhet˝o, ´ıgy a tekercs ellen´all´asa cs¨okkenthet˝o. Az elk´esz´ıtett k´ıs´erleti alkatr´eszek m´er´esei azonban azt mutatt´ak, hogy a 180 nH val´oban el´erhet˝o 7-8 menettel, azonban a j´os´agi t´enyez˝o m´egis cs¨okkent az eredeti alkatr´eszhez k´epest, k¨or¨ ulbel¨ ul a fel´ere. Ennek oka a ferrit m´agneses karakterisztik´aja ´es az anyag vezet´es´enek k¨osz¨onhet˝oen, a benne l´etrej¨ov˝o ¨orv´eny´aramok ´altal okozott ¨orv´eny´aram- ´es hiszter´ezisvesztes´eg [38]. Teh´at kijelenthet˝o, hogy az induktivit´asok ferritmaggal t¨ort´en˝o gy´art´asa sem megold´as a j´os´agi t´enyez˝o n¨ovel´es´enek k´erd´es´ere. V´egezet¨ uk azt mondhatjuk, hogy a fejleszt˝om´ern¨ok¨ok sok´eves tapasztalat´anak k¨osz¨onhet˝oen a jelenleg gy´artott alkatr´esz megk¨ozel´ıt˝oleg a legjobb megold´as a j´os´agi t´enyez˝o ´ert´ek´enek szempontj´ab´ol. A legels˝o k´erd´esre a v´alasz teh´at az, hogy a j´os´agi t´enyez˝o ´ert´eke nem n¨ovelhet˝o jelent˝osen a tekercsel´esi k´ep m´odos´ıt´as´aval. Egy k´erd´es azonban m´eg f¨ ugg˝oben van: Lehets´eges a j´os´agi t´enyez˝o n¨ovel´ese, vagy sem? A v´alasz az, hogy igen, lehets´eges, az alkatr´esz geometri´aj´anak m´odos´ıt´as´aval ´es u ´j anyagok felhaszn´al´as´aval. Az els˝o megold´as rengeteg lehet˝os´eget tartalmaz, ami jelenleg meghaladja a tanulm´any kereteit.

4.4.7.

´ anyagok a gy´ Uj art´ asban

A jelenleg induktivit´asokban haszn´alt ferritek l´agym´agneses anyagok, amelyen vasb´ol (Fe), nikkelb˝ol (Ni), cinkb˝ol (Zn), mang´anb´ol (Mn), vagy ezek ¨otv¨ozet´eb˝ol k´esz¨ ulnek. ´ Altal´aban magas prelat´ıv permeabilit´assal ´es keskeny koercit´ıv t´errel rendelkeznek [41– 44], ahogy a 4.25 ´abr´an is l´athat´o. Fontos megjegyezni, hogy a koercit´ıv t´er sz´eless´ege 44

P´olik Zolt´an, OTDK Dolgozat

100

2009

Simulated − original winding Measured − original winding

80

Simulated − 40um winding wire, spread

Q [U]

Measured − 40um winding wire, spread

60 40 20 0 7 10

8

9

10 10 Frequency [Hz]

10

10

100 Simulated − original winding Measured − original winding

80

Simulated − 40um winding wire, spread

Q [U]

Measured − 40um winding wire, spread

60 40 20 0 0.2

1.2 2.2 Frequency [GHz]

3

4.24. ´abra. A gy´art´asban l´ev˝o ´es egy k´ıs´erleti alkatr´esz j´os´agi t´enyez˝oj´enek ¨osszehasonl´ıt´asa ar´anyos a m´agneses anyag hiszter´ezisvesztes´eg´evel, azaz, amelyik anyag keskenyebb koercit´ıv t´errel rendelkezik, annak a hiszter´ezisvesztes´ege is kisebb. Ez´ert a l´agym´agneses anyagok viszonylag j´o megold´ast jelentenek induktivit´asokban val´o alkalmaz´asra. Napjainkban azonban sz´amos kutat´as foglalkozik az elektronikai alkatr´eszek anyagainak tov´abbfejleszt´es´evel, ezen bel¨ ul p´eld´aul szuperparam´agneses anyagok l´etrehoz´as´aval. A szuperparam´agnesess´eg az anyagi r´eszecsk´ek m´eret´eb˝ol ad´od´o anyagi tulajdons´ag. Ha egy egy´ebk´ent ferrom´agneses anyag r´eszecskem´erete egy olyan bizonyos m´eret al´a cs¨okken, amikor egy r´eszecske m´ar csak egy dom´enb˝ol ´all – ez k¨or¨ ulbel¨ ul 15-20 nm a vasoxid eset´eben –, akkor az anyag szuperparam´agneses tulajdons´agokat mutat, ami azt jelenti, hogy a magas permeabilit´as´at megtartja, azonban karakterisztik´aja anhiszteretikuss´a [40] v´alik, nem l´ep fel benne hiszter´ezisvesztes´eg. A koercit´ıv t´er v´altoz´asa a r´eszecsk´ek m´eret´et˝ol f¨ ugg, ahogy az a 4.26 ´abr´an is l´athat´o. Ha hasonl´o anyagokat alkalmazhatn´ank induktivit´asok magjak´ent, a j´os´agi t´enyez˝o

45

P´olik Zolt´an, OTDK Dolgozat

2009

4.25. ´abra. Egy ferritmag hiszter´ezis karakterisztik´aja, f = 10 kHz, T1 = 25 ◦ C, T2 = 100 ◦ C [29]

4.26. ´abra. Szuperparam´agnesess´eg jelent˝os m´ert´ekben n¨ovelhet˝o lenne, mivel az induktivit´as n´evleges ´ert´eke kevesebb menettel el´erhet˝o lenne vesztes´egek n´elk¨ ul. Ehhez azonban az is kell, hogy az anyagban ¨orv´eny´aramvesztes´egek se l´ephessenek fel. T¨obb kutat´as folyik jelenleg is ferrom´agneses anyagok rendk´ıv¨ ul kis m´eret˝ u r´eszecsk´ekre val´o ˝orl´es´evel, majd ezek szigetel˝o anyagokba val´o adal´ekol´as´aval kapcsolatban, ´ıgy k´esz´ıtve szuperparam´agneses tulajdons´agokat mutat´o anyagokat [37, 39]. Egy m´asik ut´opisztikus lehet˝os´eg Q ´ert´ek´enek n¨ovel´es´ere a szobah˝om´ers´ekleten ´es norm´al l´egk¨ori nyom´ason val´o szupravezet´es felfedez´ese. Jelenlegi eredm´enyek alapj´an mindk´et krit´eriumut kiel´eg´ıtett´ek m´ar, de ezek egy¨ uttesen val´o felfedez´ese m´eg v´arat mag´ara. Fejleszt´esi szempontb´ol m´ar az is nagy el˝orel´ep´es lenne, ha olyan anyagot siker¨ ulne felfedezni, amelynek elektromos vezet´ese nagyobb a r´ezn´el ´es az ez¨ ustn´el [45]. 46

5. fejezet Konkl´ uzi´ o´ es j¨ ov˝ obeli tervek A dolgozatban egy aktu´alis, elektronikai alkatr´eszek fejleszt´es´evel kapcsolatos probl´ema u ´jszer˝ u m´odon t¨ort´en˝o megold´asa ker¨ ult bemutat´asra. A munka legf˝obb eredm´enye egy olyan v´egeselemes induktivit´asmodell fel´ep´ıt´ese, amely a j´os´agi t´enyez˝o kalkul´aci´oj´an k´ıv¨ ul alkalmas az induktivit´asok legt¨obb param´eter´enek sz´am´ıt´as´ara. E modell seg´ıts´eg´evel a gy´art´asba ler¨ ul˝o alkatr´eszek tulajdons´agai m´eg az els˝o p´eld´any elk´esz´ıt´ese el˝ott meghat´arozhat´ok. A dolgozatban a modell fel´ep´ıt´es´et a COMSOL Multiphysics szoftvercsomaggal t´amogatva v´egezt¨ uk el, tov´abb´a a modell fel´ep´ıt´es´en kereszt¨ ul r¨ovid u ´tmutat´ast adtunk a szoftver haszn´alat´ahoz. A munka sor´an vizsg´alt fizikai jelens´eg egyenleteib˝ol kiindulva meghat´aroztuk a haszn´alt potenci´alformalizmus v´egeselemes felhaszn´al´asra alkalmas gyenge alakj´at. Levezet´esre ker¨ ult az ilyen form´aban az irodalomban meg nem tal´alhat´o u ´gynevezett elnyel˝o peremfelt´etel, amely az elektrom´agneses hull´amok t´avoli peremr˝ol val´o visszaver˝od´es´et hivatott megakad´alyozni. A gy´art´ot´oval k¨oz¨osen kiv´alasztott alkatr´eszt´ıpus egyszer˝ us´ıtett v´egeselemes modellj´enek szimul´aci´oj´at elv´egezt¨ uk. Az alkatr´esz kivezet´esein l´etrej¨ov˝o t¨obbletkapacit´as ´es t¨obbletellen´all´as figyelembev´etel´ere egy h´al´ozati modellt hoztunk l´etre, a m´er´esi eredm´enyek ´es a szimul´aci´os eredm´enyek illeszt´ese c´elj´ab´ol. A fel´ep´ıtett v´egeselemes modell helyes m˝ uk¨od´es´et analitikus sz´am´ıt´asokkal ´es m´er´esi eredm´enyekkel ellen˝orizt¨ uk. Az ¨osszehasonl´ıt´as azt mutatta, hogy az elk´esz´ıtett modell a´ltal meghat´arozott eredm´enyek gyakorlatilag egyeznek a m´er´esi eredm´enyekkel. A j´os´agi t´enyez˝o kalkul´aci´oj´aban felfedezhet˝o elt´er´esek a modell egyszer˝ us´ıt´ese miatt ad´onak. Sz´amos szimul´aci´ot v´egezt¨ unk a tekercsel´esi k´ep vizsg´alat´ara, hogy a magas j´os´agi t´enyez˝o szempontj´ab´ol a legjobb elrendez´est megtal´aljuk. A szimul´aci´okkal egyez˝o tekercsel´esi k´eppel k´ıs´erleti alkatr´eszeket k´esz´ıtett¨ unk, majd elv´egezt¨ uk ezek anal´ızis´et. A szimul´aci´os ´es m´er´esi eredm´enyeket ¨osszevetett¨ unk, majd levontuk a konkl´ uzi´ot, miszerint kiz´ar´olag a tekercsel´esi k´ep m´odos´ıt´as´aval a j´os´agi t´enyez˝o jelent˝os n¨ovel´ese nem lehets´eges. A Q ´ert´ek´enek jelent˝os n¨ovel´es´ehez u ´j, el˝ony¨osebb tulajdons´agokkal rendelkez˝o anyagok felhaszn´al´as´ara van sz¨ uks´eg. A k´ıs´erleti alkatr´eszek legy´art´as´at ´es azok m´er´eseit az EPCOS AG magyarorsz´agi u ¨zem´eben, Szombathelyen v´egezt¨ uk el. A j¨ov˝oben az induktivit´as maggeometri´aj´anak vizsg´alat´at k´ıv´anjuk elv´egezni a j´os´agi t´enyez˝o min´el nagyobb m´ert´ekben val´o n¨ovel´ese ´erdek´eben, valamint szeretn´enk szimul´aci´okat v´egezni a jelenlegin´el modernebb anyagok karakterisztik´aj´anak figyelembe v´etel´evel is. A gyakorlatban folyamatosan folynak a k´ıs´erletek az alkatr´esz jellemz˝oinek fejleszt´es´ere, f˝o c´elunk el´erni a j´os´agi t´enyez˝o SHQ min˝os´ıt´est a 0805 t´ıpus eset´eben.

47

Irodalomjegyz´ ek [1] Gy. Fodor. Elektrom´ agneses Terek. M˝ uegyetemi Kiad´o, 1996. [2] K. Simonyi and L. Zombory. Elm´eleti Villamoss´ agtan. M˝ uszaki K¨onyvkiad´o, Budapest, 2000. [3] O. Heaviside. Electrical Papers. Macmillan, p. 429-560. New York, 1892. [4] F. W. Grover. Inductance Calculations: Working Formulas and Tables. Dover Publications, New York, 1946. [5] H. Nagaoka. The Inductance Coefficients of Solenoids. Journal of the College of Science, Imperial University, Tokyo, Japan, 1909. [6] R. Lundin. A handbook formula for the inductance of a single-layer circular coil. Proc. IEEE, Vol. 73, No. 9, Sep. 1985 pp.1428-1429. [7] R. G. Medhurst. H.F. resistance and self-capacitance of single-layer solenoids. Wireless Engineer, Feb. 1947, pp. 35-43, Mar. 1947 pp. 80-92. [8] E. B. Rosa and F. W. Grover. Formulas and Tables for the Calculation of Mutual and Self Induction. Bulletin of the Bureau of Standards, Vol 8, No. 1, Washington, 1911. [9] K. Kundert. Modeling Skin Effect in Inductors. Designer’s Guide Community, 2001. [10] S. Butterworth. On the self-inductance of single-layer flat coils. Proceedings of the Physical Society of London. Vol 32, pp. 31-37. London, 1919. [11] L. Green. RF-inductor modeling for the 21st century. EDN, September, 2001. [12] F. E. Terman. Radio Engineers’ Handbook. New York, 1943. [13] D. W. Knight. Inductors and transformers. G3YNH, 2001. [14] O. Martin. Modeling Non-Ideal Inductors in SPICE. Newport Components Limited, 1993. [15] B. K. Sen and R. L. Wheeler. Skin Effects models for Transmission Line Structures using Generic SPICE Circuit Simulators. Electrical Performance of Electronic Packaging. 1998. [16] M. Kuczmann and A. Iv´anyi. The Finite Element Method in Magnetics. Akad´emiai Kiad´o, Budapest, 2008. i

P´olik Zolt´an, OTDK Dolgozat

2009

[17] O. B´ır´o and K. R. Richter. CAD in electromagnetism. in Series Advances in Electronics and Electron Physics, Academic Press, New York, 82, 1991. [18] O. B´ır´o, K. Preis, and K. R. Richter. On the use of the magnetic vector potential in the nodal and edge finite element analysis of 3D magnetostatic problems. IEEE Trans. on Magn., 32:651-654, 1996. [19] J. Jin. The Finite Element Method in Electromagnetics. John Wiley and Sons, New York, 2002. [20] D. W. Pepper and J. C. Heinrich. The Finite Element Method. Taylor and Francis Group, New York, 2006. [21] W. B. J. Zimmerman. Multiphysics Modelling with Finite Element Method. World Scientific Publishing Co., 2006. [22] www.comsol.com [23] www.mathworks.com [24] J. D. Jackson. Classical Electrodynamics. J. Wiley, New York, 1962. [25] I. Standeiszky. Elektrodinamika Unversitas, Gy˝or, 2006. [26] O. B´ır´o. Edge element formulations of eddy current problems. Comput. Meth. Appl. Mech. Engrg., 169:391-405, 1999. [27] O. B´ır´o and K. Preis. On the use of the magnetic vector potential in the finite element analysis of three-dimensional eddy currents. IEEE Trans. on Magn., 25:31453159, 1989. [28] I. Bojt´ar and Zs. G´asp´ar. Finite Element Method for Engineers. TERC, Budapest, 2003. [29] www.epcos.com [30] www.agilent.com [31] www.ceramtec.com [32] Z. P´olik, M. Kuczmann, Examination and Development of a Radio Frequency Inductor, Przeglad Elektrotechniczny, 12:230-233, 2008. [33] Z. P´olik, M. Kuczmann, Increasing the Quality Factor of an RF SMT inductor by using the Vector Finite Element Method, IGTE2008 Proceedings. Graz, 2008. [34] Z. P´olik, M. Kuczmann, Increasing the Quality Factor of an RF SMT inductor by using the Vector Finite Element Method, COMPEL, Volume 28, Number 4, 2009, (under review). [35] Z. P´olik. Examination and Development of RF inductors by using the Finite Element Method. Diploma Thesis, Sz´echenyi Istv´an Egyetem, Gy˝or, 2008.

ii

P´olik Zolt´an, OTDK Dolgozat

2009

[36] Z. P´olik. Examination and Development of a Radio Frequency Inductor. Pollack Periodica. (lektor´al´as alatt). [37] H. Kronm¨ uller and S. Parkin. Handbook of Magnetism and Advanced Magnetic Materials I. John Wiley and Sons, 2007. [38] Z. P´olik, M. Kuczmann. Eddy Currents in SMT Inductors Simulated by the Finite Element Method, Pollack Periodica. (under review). [39] S. Hariharan and J. Gass. Superparamagnetism and Magneto-caloric Effect (MCE) in Functional Magnetic Nanostructures. Rev. Adv. Mater. Sci., Vol. 10:398-402, 2005. [40] A. Iv´anyi. Hysteresis Models in Electromagnetic Computation. Akad´emiai Kiad´o, Budapest, 1997. [41] Z. P´olik, T. Ludvig, M. Kuczmann. Measuring and Control of the Scalar Hysteresis Characteristic with Analog and Digital Integrators. Journal of Electrical Engineering. pp. 236-239, Vol. 58. No. 4, 2007. [42] Z. P´olik. A Skal´ar Hiszter´ezis Karakterisztika M´er´ese ´es Szab´alyoz´asa Anal´og ´es Digit´alis Integr´atorral. Orsz´ agos Di´ akk¨ ori Konferencia D´ıjazott Hallgat´ oinak Publik´ aci´ oi. Sz´echenyi Istv´an Egyetem, Gy˝or, 2007. [43] Z. P´olik, M. Kuczmann. Measurement and Control of Scalar Hysteresis Characteristics. Pollack Periodica. pp. 27-37, Vol. 2, No. 2. 2007. [44] Z. P´olik, M. Kuczmann. Measuring and Control the Hysteresis Loop by using Analog and Digital Integrators. Journal of Optoelectronics and Advanced Materials. pp. 18611865, Vol. 10, No. 7, 2008. [45] www.elektrisola.com [46] P. Kis. Jiles-Atherton Model Implementation to Edge Finite Element Method. PhD thesis, Budapest University of Technology and Economics, 2007. [47] Comsol. COMSOL Manual. COMSOL AB, 2007. [48] COMSOL. COMSOL Multiphysics User’s Guide. COMSOL AB, 2007.

iii