Zápočtová úloha Grafický software ve výuce deskriptivní geometrie
Příčka mimoběžek
Obsah: • příčka mimoběžek daným bodem • příčka mimoběžek rovnoběžná s daným směrem • nejkratší příčka mimoběžek
vypracoval: Jan Helm
školní rok: 2009/2010
Zadání: Sestrojte příčku mimoběžek p=AB, q=CD ( A=[3,5 ; 2 ; 1], B=[-3 ; 6,5 ; 7], C=[0 ; 1 ; 6] a D=[-4 ; 2 ; 2,5] ), která prochází bodem M=[-1 ; 3,5 ; 3].
p2
q2 B2 C2
M2
D2
A2
0 x 1,2 C1 A1
D1
M1
q1
B1 p1
Řešení: 1) Narýsování zadání.
Zadání: Sestrojte příčku mimoběžek p=AB, q=CD ( A=[3,5 ; 2 ; 1], B=[-3 ; 6,5 ; 7], C=[0 ; 1 ; 6] a D=[-4 ; 2 ; 2,5] ), která prochází bodem M=[-1 ; 3,5 ; 3].
a2
q
N2
p
2
a
N2
B2
q2 C2
nα M2
D2 q
a
P2
0
P2
a
C1 q
N1 q1
A2 q
N1
A1
D1 M1
P1
a
B1
p1
a1
P1
pα
Řešení: 2) Sestrojení roviny určené přímkou q a bodem M - zvolíme přímku a procházející bodem M a různoběžnou s přímkou q - půdorysné stopníky přímek a, q určují půdorysnou stopu roviny, nárysné stopníky určují nárysnou stopu roviny pozn.: Všechny přímky procházející některým bodem přímky q a bodem M leží v rovině α .
x 1,2
Zadání: Sestrojte příčku mimoběžek p=AB, q=CD ( A=[3,5 ; 2 ; 1], B=[-3 ; 6,5 ; 7], C=[0 ; 1 ; 6] a D=[-4 ; 2 ; 2,5] ), která prochází bodem M=[-1 ; 3,5 ; 3].
t = p2 2
q2 B2
N2 C2 U2
nα M2
D2
P2
A2
0
x 1,2
N1 C1 A1
D1 q1
M1
U1
B1
p1
t1
pα
Řešení:
P
1 3) Průsečík přímky p s rovinou - sestrojíme krycí přímku t (nárysný průmět přímky t se kryje s nárysným průmětem přímky p) - narýsujeme půdorysný průmět přímky t tak, aby přímka t ležela v rovině - průsečík půdorysných průmětů přímek p a t je bod U 1 (bod U je bodem příčky mimoběžek)
Zadání: Sestrojte příčku mimoběžek p=AB, q=CD ( A=[3,5 ; 2 ; 1], B=[-3 ; 6,5 ; 7], C=[0 ; 1 ; 6] a D=[-4 ; 2 ; 2,5] ), která prochází bodem M=[-1 ; 3,5 ; 3].
p
2
q2
nα B2 C2
r2 U2 D2
M2
V2
A2
0
x 1,2 D1 q1
C1 A1
V1 M1 U1 B1
p1
r1
pα
Řešení: 4) příčka mimoběžek - spojnice bodů U a M je hledaná příčka r mimoběžek p a q - přímka r leží v rovině α, protože M i U leží v této rovině - přímky p a r mají společný bod U (a bod M neleží na p), proto jsou různoběžné - jestliže není přímka r s přímkou q rovnoběžná, je s ní různoběžná - bod V je průsečík příčky s přímkou q
Zadání: Sestrojte příčku mimoběžek p=AB, q=CD ( A=[5,6 ; 3,2 ; 0], B=[0 ; 2 ; 10,4], C=[3,2 ; 7,2 ; 0] a D=[-2,8 ; 3,2 ; 6,4] ), která je rovnoběžná se směrem s=ST ( S=[-2,8 ; 6,4 ; 2,4], T=[0,5 ; 3,2 ; 6,4] ).
B2
q2
p
2
D2 T2
S2
0 C2
A2
x 1,2
B1
D1
S1
T1
A1
p1
C1 q1
Řešení:
1) Narýsování zadání.
Zadání: Sestrojte příčku mimoběžek p=AB, q=CD ( A=[5,6 ; 3,2 ; 0], B=[0 ; 2 ; 10,4], C=[3,2 ; 7,2 ; 0] a D=[-2,8 ; 3,2 ; 6,4] ), která je rovnoběžná se směrem s=ST ( S=[-2,8 ; 6,4 ; 2,4], T=[0,5 ; 3,2 ; 6,4] ). q
N2 q
B2
a
2
N2 nα
D2
T2 p2 s2
a2 S2 a
q
P2
0
N1
a
N1
A2 q
x 1,2
C2 = P 2 B1
D1
T1
A1
p1
s1 a1 S1
pα
q
C1 = P1 a
q1
P1 Řešení: 2) Sestrojení roviny určené přímkou q a směrem s - bodem D vedeme přímku a rovnoběžnou se směrem s - půdorysné stopníky přímek a, q určují půdorysnou stopu roviny, nárysné stopníky určují nárysnou stopu roviny
Zadání: Sestrojte příčku mimoběžek p=AB, q=CD ( A=[5,6 ; 3,2 ; 0], B=[0 ; 2 ; 10,4], C=[3,2 ; 7,2 ; 0] a D=[-2,8 ; 3,2 ; 6,4] ), která je rovnoběžná se směrem s=ST ( S=[-2,8 ; 6,4 ; 2,4], T=[0,5 ; 3,2 ; 6,4] ).
N2 q
B2
2
nα U2
D2
T2 t = p2 2 s2
S2 A2 = P 2
0 C2
N1 U1
B1
D1
x 1,2
A1
T1
p1
t1 s1 S1 C1
P1
pα
q1 Řešení: 3) Průsečík přímky p s rovinou - sestrojíme krycí přímku t (nárysný průmět přímky t se kryje s nárysným průmětem přímky p) - narýsujeme půdorysný průmět přímky t tak, aby přímka t ležela v rovině - průsečík půdorysných průmětů přímek p a t je bod U1(bod U je bodem příčky mimoběžek)
Zadání: Sestrojte příčku mimoběžek p=AB, q=CD ( A=[5,6 ; 3,2 ; 0], B=[0 ; 2 ; 10,4], C=[3,2 ; 7,2 ; 0] a D=[-2,8 ; 3,2 ; 6,4] ), která je rovnoběžná se směrem s=ST ( S=[-2,8 ; 6,4 ; 2,4], T=[0,5 ; 3,2 ; 6,4] ).
q
B2
2
nα
r2 D2
T2
U2 p
2
s2
V2
S2 C2
0
A2 x 1,2
B1 D1 s1
T1
A1
U1
p1
V1
S1 pα
C1 r1
q1
Řešení: 4) příčka mimoběžek - rovnoběžka se směrem s procházející bodem U je hledaná příčka r mimoběžek p a q - bod V je průsečík příčky s přímkou q
Zadání: Sestrojte nejkratší příčku mimoběžek p=AB, q=CD ( A=[4 ; 6 ; 1], B=[0 ; 2 ; 3], C=[2,5 ; 7,5 ; 7] a D=[-5 ; 5,5 ; 3] ).
q p
2
C2
2
D2
B2 A2
0 x 1,2 B1
q1
A1
D1
p1 C1
Řešení:
1) Narýsování zadání.
Zadání: Sestrojte nejkratší příčku mimoběžek p=AB, q=CD ( A=[4 ; 6 ; 1], B=[0 ; 2 ; 3], C=[2,5 ; 7,5 ; 7] a D=[-5 ; 5,5 ; 3] ).
nα q p
2
C2
2
q´
2
p
D2
N2 B2 A2
q´
q´
N1
P2
0 p
q´ q´
P1
p
P2 x 1,2
N1 B1
N2
p
1
q´
1
pα
q1
A1
D1
p
C1
P1
Řešení: 2) Sestrojení roviny určené přímkami p a q´ - bodem B vedeme rovnoběžku q´ s přímkou q - půdorysné stopníky přímek p, q´ určují půdorysnou stopu roviny, nárysné stopníky určují nárysnou stopu roviny - nejkratší příčka je kolmá na rovinu určenou mimoběžkami p,q
Zadání: Sestrojte nejkratší příčku mimoběžek p=AB, q=CD ( A=[4 ; 6 ; 1], B=[0 ; 2 ; 3], C=[2,5 ; 7,5 ; 7] a D=[-5 ; 5,5 ; 3] ).
N2
nα
q k2 p
C2
2
E2
m2
2
q´´ 2
D2
E´2
B2
0
A2 P2
x 1,2
N1
B1
k1 = m1 E´1
pα q1
P1 D1
q´´
A1
1
p E1
1
C1
Řešení: 3) Pravoúhlý průmět přímky q do roviny - libovolným bodem přímky q vedeme kolmici k rovině - pomocí krycí přímky m sestrojíme průsečík E´ kolmice k s rovinou - bodem E´ vedeme rovnoběžku q´´ s přímkou q
Zadání: Sestrojte nejkratší příčku mimoběžek p=AB, q=CD ( A=[4 ; 6 ; 1], B=[0 ; 2 ; 3], C=[2,5 ; 7,5 ; 7] a D=[-5 ; 5,5 ; 3] ).
r2 p
q
nα
k2
2
C2
2
V2
q´´ 2
D2 B2
U2
0
A2 x 1,2
B1 U1
pα q1
q´´
A1
D1
1
p
V1 r1
1
C1 k1
Řešení:
4) Příčka mimoběžek - průsečík U leží na p i na pravoúhlém průmětu q´´ přímky q - příčka prochází bodem U a je rovnoběžná s přímkou k (kolmá k rovině) - bod V je průsečík příčky s přímkou q
pozn.: Nejkratší příčku lze také získat jako průsečnici roviny obsahující přímku p, která je kolmá na rovinu určenou p,q´´ a roviny, která obsahuje přímku q a je kolmá na rovinu p,q´´ (toto řešení není v Mongeově promítání vhodné).
