´ STANOVENI´ VLASTNOSTI´ ELEKTROAKUSTICKYCH SOUSTAV POMOCI´ ´ ´ U ´ ˚ PSEUDONAHODN YCH SIGNAL David Burs´ık, Frantiˇsek Kadlec ˇ CVUT FEL, katedra radioelektroniky, Technick´a 2, Praha 6
[email protected],
[email protected] ´ 1 Uvod Pro anal´yzu elektroakustick´ych soustav lze pouˇz´ıt mˇeˇren´ı pomoc´ı pseudon´ahodn´ych sign´al˚u. Mˇeˇren´ım je moˇzn´e stanovit vlastnosti elektroakustick´ych soustav, zejm´ena jejich kmitoˇctov´e charakteristiky a neline´arn´ı zkreslen´ı. Mˇeˇren´ı pomoc´ı pseudon´ahodn´ych sign´al˚u, mezi kter´e patˇr´ı i sign´aly MLS (Maximum Length Sequences), m´a ˇradu v´yhod. Mezi nˇe patˇr´ı vysok´a sˇumov´a imunita, kr´atk´a doba mˇeˇren´ı a moˇznost mˇeˇren´ı soustav v bˇezˇ n´ych prostor´ach bez akustick´ych u´ prav. V´ystupem t´eto metody je impulsn´ı odezva mˇeˇren´e soustavy. Impulsn´ı odezvu m˚uzˇ eme d´ale zpracovat s ohledem na v´ysledky, kter´e poˇzadujeme. V naˇsem pˇr´ıpadˇe se jednalo o mˇeˇren´ı kmitoˇctov´ych charakteristik reproduktorov´ych soustav, stanoven´ı odolnosti mˇeˇr´ıc´ı metody v˚ucˇ i okoln´ımu sˇumu a vlivu neline´arn´ıho zkreslen´ı mˇeˇren´ych soustav na pˇresnost mˇeˇren´ı. ˇ ıslicov´e zpracov´an´ı mˇeˇr´ıc´ıch sign´al˚u prob´ıhalo v programov´em prostˇred´ı MATLABu. C´
2 Stanoven´ı impulsn´ı odezvy line´arn´ı soustavy pomoc´ı MLS Pseudon´ahodn´e MLS sign´aly jsou bin´arn´ı sign´aly, jejichˇz periodickou autokorelaˇcn´ı funkci m˚uzˇ eme napsat ve tvaru [1-3] Rpxy [n] = δp [n] −
1 . L+1
(1)
Autokorelaˇcn´ı funkce Rpxy [n] pro n = mod(L) = 0 nab´yv´a u´ rovnˇe L/(L + 1). Pro ostatn´ı hodnoty n plat´ı Rpxy [n] = −1/(L + 1). Line´arn´ı syst´em m˚uzˇ e b´yt charakterizov´an periodickou impulsn´ı odezvou hp [n], coˇz je odezva na δp [n]. V´ystupn´ı periodick´y sign´al yp [n] je urˇcen periodickou (cyklickou) konvoluc´ı periodick´eho vstupn´ıho sign´alu xp [n] s periodickou impulsn´ı odezvou hp [n] L−1 X xp [k]hp [n − k], (2) yp [n] = xp [n] ⊗ hp [n] = k=0
kde symbol ⊗ pˇredstavuje operaci cyklick´e konvoluce. D´ale si urˇc´ıme vz´ajemnou cyklickou korelaˇcn´ı funkci mezi vstupn´ım xp [n] a v´ystupn´ım sign´alem yp [n] line´arn´ı soustavy L−1
1 X Rpxy [n] = xp [n] ⊕ yp [n] = xp [k]yp [k + n]. L + 1 k=0
(3)
Dosazen´ım yp [n] z rovnice (2) do vztahu (3) obdrˇz´ıme Rpxy [n] = xp [n] ⊕ yp [n] = xp [n] ⊕ {xp [n] ⊗ hp [n]}.
(4)
V rovnici (4) se vyskytuj´ı cyklick´e operace korelace a konvoluce. Vzhledem k tomu, zˇ e se jedn´a o line´arn´ı operace, m˚uzˇ eme pˇri jejich zpracov´an´ı zamˇenit jejich poˇrad´ı. Provedeme tedy nejprve
operaci korelace a pot´e konvoluci Rpxy [n] = {xp [n] ⊕ xp [n]} ⊗ hp [n],
(5)
Rpxy [n] = Rpxx [n] ⊗ hp [n].
(6)
Dosazen´ım v´yrazu pro autokorelaˇcn´ı funkci (1) do vztahu (5) obdrˇz´ıme n 1 o Rpxy [n] = δp [n] − ⊗ hp [n], L+1
(7)
L−1
1 X Rpxy [n] = hp [n] − hp [k], L + 1 k=0
(8)
Rpxy [n] = hp [n] + rss .
(9)
Rovnice (9) vyjadˇruje vztah mezi periodickou impulsn´ı odezvou hp [n] a vz´ajemnou korelaˇcn´ı funkc´ı Rpxy [n]. Druh´y cˇ len rovnice rss pˇredstavuje stejnosmˇernou sloˇzku vz´ajemn´e korelaˇcn´ı funkce, kter´a je v˚ucˇ i u´ rovni hp [n] mal´a. Na z´akladˇe t´eto u´ vahy m˚uzˇ eme ˇr´ıci, zˇ e vz´ajemn´a korelaˇcn´ı funkce Rpxy [n] je prakticky shodn´a s periodickou impulsn´ı odezvou soustavy . (10) Rpxy [n] = hp [n].
3 Vliv aditivn´ıho sˇumu na mˇerˇ en´ı pomoc´ı MLS sign´alu˚ V dalˇs´ı cˇ a´ sti pr´ace jsme se zab´yvali stanoven´ım vlivu aditivn´ıho sˇumu na pˇresnost mˇeˇren´ı elektroakustick´ych soustav. Blokov´e sch´ema mˇeˇren´ı vlivu sˇumu je na obr.1 . n2(t)
n1(t)
x(t)
+
h(t)
+
y(t)
Obr. 1 Blokov´e sch´ema mˇerˇ en´ı vlivu aditivn´ıho sˇumu.
Mˇeˇren´ı pˇrenosov´ych vlastnost´ı elektroakustick´ych soustav je zat´ızˇ eno chybou, kter´a vznik´a ˇ pˇr´ıtomnost´ı sˇumov´eho sign´alu jak na vstupu, tak i na v´ystupu mˇeˇren´e soustavy. Sumov´ a sloˇzka sign´alu n1 (t) pˇredstavuje sˇum zp˚usoben´y na stranˇe elektronick´ych zaˇr´ızen´ı. Sloˇzka n2 (t) na v´ystupu soustavy je n´ahodn´y akustick´y sign´al z okol´ı mˇeˇren´e soustavy. Sign´al n1 (t) m˚uzˇ eme zanedbat v pˇr´ıpadˇe, zˇ e pouˇzijeme kvalitn´ı elektronick´a mˇeˇr´ıc´ı zaˇr´ızen´ı. V´ysledn´y sign´al bude m´ıt tvar y[n] = {h[n] ⊗ x[n]} + n2 [n], (11) kde x[n] je MLS sign´al, h[n] je impulsn´ı odezva mˇerˇen´e elektroakustick´e soustavy a n2 [n] je n´ahodn´y sign´al nekorelovan´y s mˇeˇr´ıc´ım MLS sign´alem. Pˇri vz´ajemn´e korelaci vstupn´ıho sign´alu s v´ystupn´ım dost´av´ame Rxy [n] = y[n] ⊕ x[n] = {(h[n] ⊗ x[n]) + n2 [n]} ⊕ x[n],
(12)
a po u´ pravˇe Rxy [n] = {h[n] ⊗ (x[n] ⊕ x[n])} + {n2 [n] ⊕ x[n]}
(13)
´ Upravou rovnice (13) pomoc´ı vztahu (9) obdrˇz´ıme Rxy [n] ∼ = h[n] + {n2 [n] ⊕ x[n]}.
(14)
Vzhledem k tomu, zˇ e n´ahodn´y sign´al n2 [n] je nekorelovan´y s MLS sign´alem, m˚uzˇ eme napsat {n2 [n] ⊕ x[n]} ∼ = 0.
(15)
Korelace mezi vstupn´ım a v´ystupn´ım sign´alem je pˇribliˇznˇe rovna impulsn´ı odezvˇe. To ovˇsem plat´ı za pˇredpokladu, zˇ e n´ahodn´y sign´al je nekorelovan´y s MLS sign´alem. V praxi se pˇri mˇeˇren´ı s takov´ymi sign´aly cˇ asto nesetk´av´ame. Proto bude imunita t´eto metody z´avisl´a tak´e na u´ rovni n´ahodn´eho sign´alu n2 [n]. 3.1 Stanoven´ı vlivu aditivn´ıho sˇumu na mˇerˇ en´ı pomoc´ı MLS sign´alu˚ Provedli jsme praktick´a mˇeˇren´ı s t´ım, zˇ e n´ahodn´y sign´al n2 [n] byl b´ıl´y sˇum. Mˇeˇren´ı prob´ıhalo v akusticky upraven´e m´ıstnosti. Blokov´e sch´ema mˇeˇren´ı je zn´azornˇeno na obr.2. Generator sumu
Merici mikrofon Elektroakusticky menic
MLSSA
mls (t)
Vykonovy zesilovac
Merici zesilovac
y(t)
Obr. 2 Blokov´e sch´ema mˇerˇ en´ı vlivu aditivn´ıho sˇumu na pˇresnost mˇerˇen´ı pˇrenosov´ych funkc´ı soustav.
Mˇeˇren´e reproduktorov´e soustavy jsou buzeny z gener´atoru MLS sign´alu pomoc´ı v´ykonov´eho zesilovaˇce. Jako zdroj aditivn´ıho sˇumu byl pouˇzit gener´ator b´ıl´eho sˇumu a reproduktorov´a soustava Tesla. Vzd´alenost soustav od mikrofonu byla 1,2 m. Hladina akustick´eho tlaku MLS sign´alu v m´ıstˇe mˇeˇr´ıc´ıho mikrofonu byla 70 dB. Nejprve byla zmˇeˇrena bez aditivn´ıho sˇumu referenˇcn´ı impulsn´ı odezva elektroakustick´e soustavy href (t) s hladinou akustick´eho tlaku 70 dB. D´ale pak byly postupnˇe zmˇeˇreny impulsn´ı odezvy hi (t) s aditivn´ım sˇumem na hladin´ach akustick´eho tlaku 40, 50, 60, 70, 80 a 90 dB. Pro stanoven´ı vlivu sˇumu na pˇresnost mˇeˇren´ı jsme pouˇzili stˇredn´ı kvadratickou odchylku Ek =
N X
(href [n] − hk [n]))2 ,
(16)
n=1
kde k pˇredstavuje jednotliv´e hladiny akustick´eho tlaku aditivn´ıho sˇumu a kde N je celkov´y poˇcet vzork˚u sign´alu. V naˇsem pˇr´ıpadˇe byla pouˇzita d´elka sign´alu 685 vzork˚u.
−3
1.2
x 10
stredni kvadraticka odchylka
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0 40
45
50
55
60
65 L [dB]
70
75
80
85
90
Obr. 3 Velikost tˇredn´ı kvadratick´e odchylky Ek v z´avislosti na hladinˇe akustick´eho tlaku aditivn´ıho sˇumu.
Na obr. 3 jsou zpracov´any v´ysledky v´ypoˇct˚u dle rovnice (16). Z grafu je patrn´e, zˇ e mˇeˇren´ı nen´ı v´yznamnˇe ovlivˇneˇ no aditivn´ım sˇumem aˇz do hladiny akustick´eho tlaku L=70dB. 4 Neline´arn´ı zkreslen´ı elektroakustick´ych soustav Mˇeˇren´ı pˇrenosov´ych funkc´ı pomoc´ı MLS sign´al˚u bylo odvozeno pro line´arn´ı soustavy. Nyn´ı se budeme zab´yvat rozˇs´ıˇren´ım metody pro mˇeˇren´ı neline´arn´ıch syst´em˚u s moˇznost´ı stanoven´ı jejich nelinearit. Jednotliv´e zp˚usoby ˇreˇsen´ı pˇrenosu syst´em˚u obsahuj´ıc´ıch nelinearity jsou pops´any v literatuˇre [4, 5, 7]. Pˇri odvozen´ı budeme vych´azet z modelu neline´arn´ı soustavy zn´azornˇen´em na obr. 4. c r v r [n ] ci v i [n] c3 v 3 [n ]
Lineární soustava x n vn h n ,H W
c2 v 2 [n ] yn S
Obr. 4 Blokov´e sch´ema modelu neline´arn´ı soustavy.
Pseudon´ahodn´y MLS sign´al x[n] je pˇriveden na vstup mˇerˇen´e neline´arn´ı soustavy. Model neline´arn´ı soustavy se skl´ad´a z line´arn´ı cˇ a´ sti soustavy reprezentovan´e impulsn´ı odezvou h[n],
na jej´ımˇz v´ystupu je sign´al v[n] pro kter´y plat´ı v[n] = h[n] ⊗ x[n] =
L−1 X
h[k]x[n − k],
(17)
k=0
Sign´al na v´ystupu soustavy y[ n] m˚uzˇ eme napsat ve tvaru y[n] = c1 v[n] + c2 v 2 [n] + c3 v 3 [n] + . . . + cr v r [n],
(18)
kde c1 = 1 pˇredstavuje line´arn´ı cˇ a´ st pˇrenosu a c2 , c3 , . . . , cr jsou koeficienty neline´arn´ıho zkreslen´ı. Obecnˇe pak m˚uzˇ eme pro vz´ajemn´e korelaˇcn´ı funkce Rxv [n], Rxy [n] vstupn´ıho sign´alu x[n], line´arn´ıho v´ystupu v[n] a v´ystupn´ıho sign´alu y[n] napsat Rxv = x[n] ⊕ v[n] = h[n],
(19)
L−1
1 X Rxy [n] = x[n] ⊕ y[n] = x[k]y[k + n], L + 1 k=0
(20)
Rxy [n] = h[n] + e[n],
(21)
kde e[n] je celkov´y chybov´y sign´al vznikl´y p˚usoben´ım nelinearit mˇeˇren´e soustavy.
4.1 Mˇerˇ en´ı neline´arn´ıho zkreslen´ı elektroakustick´ych soustav Mˇeˇren´ım elektroakustick´ych soustav pˇri n´ızk´e u´ rovni bud´ıc´ıho sign´alu, kdy pˇredpokl´ad´ame minim´aln´ı zkreslen´ı soustavy, stanov´ıme pomoc´ı vztahu (9) referenˇcn´ı impulsn´ı odezvu sou´ stavy href [n]. Uroveˇ n hladiny akustick´eho tlaku bud´ıc´ıho sign´alu byla v tomto pˇr´ıpadˇe 50 dB v m´ıstˇe mˇeˇr´ıc´ıho mikrofonu. V dalˇs´ım kroku jsme mˇeˇrili impulsn´ı odezvy pˇri zvyˇsuj´ıc´ıch se u´ rovn´ıch buzen´ı. V naˇsem pˇr´ıpadˇe se jednalo o hodnoty akustick´eho tlaku L=55, 60, 65, 70, 75, 80, 85 a 90 dB. Pro v´ypoˇcet chybov´eho sign´alu bylo zapotˇreb´ı tyto namˇeˇren´e impulsn´ı odezvy normovat referenˇcn´ım sign´alem tak, abychom mohli vypoˇc´ıtat odpov´ıdaj´ıc´ı sloˇzky sign´alu e[n] dle vztahu (21) A hd [n] = 10( 20 ) href [n], (22) kde hd [n] je impulsn´ı odezva normovan´eho sign´alu, A je n´ar˚ust zes´ılen´ı hladiny akustick´eho tlaku sign´alu v dB vzhledem k referenˇcn´ı impulsn´ı odezvˇe. Blokov´e sch´ema mˇeˇren´ı je na obr. 5. Upravenou impulsn´ı odezvu pouˇzijeme pˇri v´ypoˇctu chybov´eho sign´alu e[n] podle vztahu (21) a spoˇcteme jeho energii. Vztah ed =
N X
(href [n] − hd [n])2 ,
(23)
n=1
kde N je poˇcet vzork˚u, v naˇsem pˇr´ıpadˇe 650 vzork˚u, vyjadˇruje souˇcet kvadr´at˚u chybov´eho sign´alu vznikl´eho p˚usoben´ım nelinearit mˇeˇren´e soustavy. Abychom z´ıskali hodnoty neline´arn´ıho zkreslen´ı kd , je zapotˇreb´ı hodnoty ed ze vztahu (23) normovat referenˇcn´ı impulsn´ı odezvou.
Merici mikrofon
Elektroakusticke menice
MLSSA
mls (t)
Vykonovy zesilovac
Merici zesilovac
y(t)
Obr. 5 Blokov´e sch´ema mˇerˇen´ı neline´arn´ıho zkreslen´ı.
Po u´ pravˇe dostaneme vztah N P
kd =
(href [n] − hd [n])2
n=1
N P
· 100.
(24)
href [n]2
n=1
12
30
10
25
8
20 zkresleni [%]
zkresleni [%]
V´ysledky v´ypoˇct˚u podle vztahu (24) jsou vyneseny do graf˚u na obr. 6.
6
15
4
10
2
5
0 55
60
65
70
75 L [dB]
80
85
90
0 55
60
65
70
75
80
85
90
L [dB]
Obr. 6 Neline´arn´ı zkreslen´ı reproduktorov´ych soustav RS1 a RS2
5 Z´avˇer Pouˇzit´ım MLS sign´alu lze mˇeˇren´ım efektivnˇe stanovit pˇrenosov´e funkce elektroakustick´ych soustav v prostor´ach bez akustick´ych u´ prav. V pˇr´ıspˇevku jsme se zab´yvali vlivem sˇumu prostˇred´ı na pˇresnost mˇeˇren´ı. D´ale jsme analyzovali vznik neline´arn´ıho zkreslen´ı elektroakustick´ych soustav pˇri jejich vybuzen´ı vyˇssˇ´ı u´ rovn´ı sign´alu. Z´avˇerem lze konstatovat, zˇ e pouˇzit´ı pseudon´ahodn´ych MLS sign´al˚u pˇri mˇeˇren´ı elektroakustick´ych soustav vede k dobr´ym v´ysledk˚um i
pˇri mˇeˇren´ı v hluˇcn´em prostˇred´ı. Pˇri mˇeˇren´ı m˚uzˇ e vznikat chyba, kter´a je zp˚usobena neline´arn´ım ˇ ıslicov´e zpracov´an´ı mˇeˇr´ıc´ıch sign´al˚u a v´ypoˇcty pˇrenosov´ych zkreslen´ım mˇeˇren´ych soustav. C´ funkc´ı byly provedeny v programov´em prostˇred´ı MATLABu. ˇ Projekt byl podporov´an Grantovou agenturou Cesk´ e republiky, grant cˇ . 102/02/0156 a v´yzkumn´ym ˇ z´amˇerem MSMT J04/98:212300016. Literatura [1] Rife, D. D. - Vanderkooy, J.: Transfer-function measurement with maximum-length sequences. J. Audio Engineering Society, June 1989, Vol. 37, No. 6, p. 419-443. [2] Dunn, C., Hawksford, M. O.: Distortion immunity of MLS-derived impulse response measurements. J. Audio Engineering Society, May 1993, Vol. 41, No. 5, p. 314-335. [3] Vanderkooy, J.: Aspects of MLS measuring systems. J. Audio Engineering Society, April 1994, Vol. 42, No. 4, p. 219-231. [4] Greest, M. C., Hawksford, M. O. J.: Nonlinear distortion analysis using maximum-length sequences. Electronics letters, June 1994,Vol. 30, No. 13, p. 1033-1035. [5] Greest, M. C., Hawksford, M. O. J.: Distortion analysis of nonlinear systems with memory using maximum-length sequences. IEE Proc.-Circuits Devices Syst., October 1995, Vol. 142, No. 5, p. 345-350 [6] Kadlec, F.: Measurement of Distributed Acoustic Systems Using Maximum-Length Sequences. In: 100th Convention of the Audio Engineering Society, Copenhagen, Denmark, May 11 - 14, 1996, Preprint 4269. [7] Kadlec, F.: The Measurement of Acoustical and Electroacoustical Systems by Means of Pseudorandom Signals. In: Proc. of 7th International Congress on Sound and Vibration, Garmisch - Partenkirchen, 4 -7 July, 2000, pp. 3345-3352. ˇ [8] Kadlec, F.: Zpracov´an´ı akustick´ych sign´al˚u. Skripta, CVUT FEL, Praha, 2002.
