VYUŽITÍ MATLABU VE VÝUCE MECHANIKY NA FAKULTĚ ELEKTROTECHNICKÉ ČVUT Jiří Vondřich
Katedra mechaniky a materiálů, Fakulta elektrotechnická, ČVUT Praha,
Úvod Katedra mechaniky a materiálů zalištuje výuku mechaniky pro obor Kybernetika v předmětech Dynamika procesů v 5 semestru a Dynamika mechanických soustav v 6 semestru v rozsahu dvě hodiny přednášek a dvě hodiny cvičení. V předmětu Dynamika procesů jsou studenti seznámeni na začátku ze základy statiky a kinematiky, pak následuje dynamika se zaměřením na dynamiky soustav. V závěru semestru jsou ještě seznámeni krátce hydromechanikou a termomechanikou. V předmětu Dynamika mechanických soustav jsou seznámeni s vytvářením náhradního modelu zařízení, jeho popsáním matematickými rovnicemi, simulací vstupních dat a numerickým řešením pomocí výpočetního programu Matlab. Na cvičeních, po krátkém seznámení s Matlabem, studenti již sestavují v úvodních cvičeních dle vzorů jednoduché programy či schémata pro řešení průběhů jednoduchých funkcí a algebraických a diferenciálních rovnic. Dále již následuje řešení modelů mechanických, popřípadě též hydromechanických a termomechanických soustav. Student vytvoří a prokonzultuje s vyučujícím náhradní schéma soustavy, matematické popsání, sestavení programu v Matlabu, či schématu v Simulinku (př.1 a 2), jeho odladění, simulaci vstupních dat a požadované výsledky ve formě grafů. Studenti mají k dispozici sborník příkladů mechanických a hydromechanických soustav, s náhradními modely, matematickým popisem a programem v Matlabu, popř. Simulinkové schéma a výsledném řešení ve formě grafů. Na webových stránkách katedry jsou rovněž tyto vzorové příklady k dispozici. Průběhy hnacích momentů jsou u stejnosměrných motorů aproximovány funkcí M H = M 0 − B0ω (M0 - rozběhový moment, B0 - konstanta a ω - úhlová rychlost) a u asynchronních motorů vztahem (tzv. Klossovou momentovou charakteristikou) 2 2 M H = 2M 0 σ s /(σ + s ), kde s = 1 − ω / ω je skluz vůči synchronní rychlosti ω , σ parametr, který udává hodnotu skluzu, při které je M 0 maximální. Simulací provozních podmínek je pak možné získat vhodné vstupní parametry (např. tuhosti a tlumení jednotlivých členů, hnací síly a momenty ap.), nebo naopak požadované výstupní parametry ( např. trajektorie, rychlosti a zrychlení ap.) a parametry pro návrh řídící jednotky ovládající například hnací jednotky soustavy. ,
syn
syn
Ukázky řešení 1) ZAŘÍZENÍ S NEVYVÁŽENOU HMOTOU ULOŽENÉ NA PRUŽNÉ PODLOŽCE (posouzení vlivu F0 , k a b na chování systému) ω
m
r
m0 F0
k,b
Obr. 1 Strojní zařízení uložené na základě s pružnými a tlumícími vlastnostmi
Náhradní model:
F(t)
F(t)
x0 y
x
m&x&
m
m
k
F(G)=mg Fk=kx
b
Fb=b x&
Obr.2 Model strojního zařízení Pohybová rovnice:
F (t )
m& x&
+ Fk + Fb − F (t ) − F G = 0
m& x&
+ bx& + kx = mg + F (t )
(
= F0 sin(ω t ) = m0 rω 2 sin(ω t )
Rovnovážný stav x0 při působení
kx0 y
)
= x − x0
⇒
x
F(G):
= F (G )
⇒
x0
=
mg k
= y + x 0 ⇒ x& = y& , &x& = &y&
+ by& + k ( y + x0 ) = mg + F (t ) & + ky = F (t) + mg − kx 0 m& y& + by & + ky = F (t ) m& y& + by
m& y&
mg
− kx0 = 0
Zavedeme stavové proměnné y , ν : & y
=ν,
ν& = −
k m
y
b
1
m
m
− ν+
F (t ).
V maticovém tvaru: 0 y& = k − ν& m
1
0 y b + 1 F (t ) − ν m m
(1)
Přenos systému G(s)
= Y (s) ℑ(s)
Y ( s ) - obraz výstupní výchylky
ℑ(s) - obraz působící síly F(t). y
P.p.
mY ( s )s
y(t),
= 0, y& = 0
2
+ bsY (s ) + kY ( s ) = ℑ( s ), 1
G(s)
=
1
ms
2
+ bs + k
=
k m k
s
2
+
b k
.
s
(2)
+1
Výpis mfilu se simulací stavového modelu (1) a jeho převodem na přenos (2) je
%pružně uložené těleso s tlumičem m=5;k=100;b=10 %hmotnost [kg], tuhost [N/m], tlumeni Nm/s A=[0 1 ;-k/m -b/m];B=[0;1/m];C=[1 0];D=[0];%pohyb. rov. v matic. tvaru step(A,B,C,D); %výpočet,vykreslení přechodové charakteristiky grid; %mřížka grafu [num,den]=ss2tf(A,B,C,D) %převedení stavového modelu na přenos %G(s)=num(s)/den(s),num, den-vek %koeficientů od nejvyšší mocniny [AA,BB,CC,DD]=tf2ss(num,den); %převod přenosu na stavový model printsys(AA,BB,CC,DD) %vykreslení stavového modelu S te p R e s p o n s e From : U(1)
0 .0 1 5
0 .0 1
ed tuli p m A
)1 ( Y :o T 0 .0 0 5
0
0
1
2
3
T im e (s e c . )
4
5
6
Obr.4 Přechodová charakteristika – strojní zařízení uložené na základě s pružnými a tlumícími vlastnostmi 0 .2 s 2 + 2 s+ 2 0 S in e W a ve
T r a n sf e r F c n
v y c h y l ka
h m 1 .m a t T o File
si l a
Obr.5 Simulinkový model pružně uloženého zařízení
Hodnoty parametru tělesa:
m = 5 kg -1 k = 100 Nm -1 b = 10 Nm s m1 = 0,001 kg r = 0,05 m n = 2800 ot/min
M file sloužící pro vykreslení výsledků, které jsou uloženy v souboru hm1.mat: %zobrazeni výsledků load hm1.mat; figure; plot(vysl(1,:),vysl(2,:)); title('Zavislost vychylky y na case'); xlabel('t [s]'); ylabel('y [m]'); grid; figure; plot(vysl(1,:),vysl(3,:)); title('Vstupni sila'); xlabel('t [s]'); ylabel('F [N]'); grid; ma=vysl(:,600:1:700) figure; plot(ma(1,:),ma(3,:)); title('Vstupni sila detail'); xlabel('t [s]'); ylabel('F [N]'); grid;
5
x
1 0
Z a v is lo s t v y c h y lk y
-4
y
n a
c a s e
4 3 2
] m [ y
1 0 -1 -2 -3
0
1
2
3
4
5 t [s ]
6
7
8
9
1 0
Obr. 6 Průběh výchylky y V s t u p n i s ila
5
d e t a il
4 3 2 ] N [ F
1 0 -1 -2 -3 -4 5 .1
5 .2
5 .3
5 .4
5 .5
5 .6 t [s ]
5 .7
5 .8
5 .9
6
Obr.7 Průběh zatěžující síly F(t)
2) ZAŘÍZENÍ S NEVYVÁŽENOU HMOTOU ULOŽENÉ NA DVOU PRUŽNÝCH PODLOŽKÁCH (posouzení vlivu F0 , k a b na chování systému) ω m2
m1
r
m0 F0 k2,b2
k1,b1
Obr. 1 Strojní zařízení uložené na dvou pružných podložkách
6 .1
F(t) y2
F(t)
m2 m2 k2
b2
m1 &y&1
k2(y2-y1)
k2(y2-y1)
b2 ( y& 2 −− y&y&11)) y1
b2 ( y& 2
m1
− y&1 )
m1 k1
b1
k1(y2-y1)
b1 ( y& 2
− y&1 )
Obr.2 Model strojního zařízení 2 hmotové soustavy s pružnými a tlumícími prvky Pohybové rovnice soustavy , uvažujeme-li výchylky od rovnovážného stavu jsou: = k 2 ( y 2 − y1 ) + b2 ( y& 2 − y&1 ) − k1 y1 − by&1 &2 − y &1 ) − F (t ) m2 & y&2 = − k 2 ( y 2 − y1 ) − b2 ( y
m1 & y&1
kde F (t ) = F0 sin(ω t ) = m0 rω 2 sin(ω t ) . Zavedeme-li stavové proměnné y1 , ν1, y2, , ν2 je možné zapsat pohybové rovnice ve tvaru y&1 0 ν& 1 = k +k 1 2 y& 2 − m1 ν&2
−
b1
1
0
+ b2
k2
m1
m1
0 y1 0 0 ν 1 + 0 b2 y 2 m1 1 y2 m2
F (t )
(1)
Výpis mfilu se simulací strojního zařízení 2 hmotové soustavy s pružnými a tlumícími prvky: m0=0.001; m1=30; m2=5; r=.05; k1=1000; k2=100; b1=100; b2=10; n=2800; A=[0 1 0 0;-(k1+k2)/m1 -(b1+b2)/m1 k2/m1 b2/m1;0 0 0 1;k2/m2 b2/m2 -k2/m2 -b2/m2]; B=[0; 0; 0; 1/m2]; C=[-k2 -b2 k2 b2]; D=[0]; t=0:0.001:1; F=4.3*sin(293*t);
t; [y,x]=lsim(A,B,C,D,F,t); plot(t,y);grid; title('Síla působící na tlumící podložku'); xlabel('t');ylabel('Fk2 [N]'); S íl a p ù s o b íc í n a t lu m íc í p o d l o ž k u
0.08 0.06 0.04 ] N [ 2k F
0.02 0 -0 . 0 2 -0 . 0 4 -0 . 0 6
0
0 .1
0.2
0 .3
0.4
0 .5 t
0.6
0 .7
0.8
0 .9
Obr.1 Průběh síly působící na podložku v závislosti na čase ( Matlab) Simulinkový model zařízení s nevyváženou hmotou na dvou pružných podložkách: Sine Wave Scope1
1 0.2 s m2 Integrator b2 10
1 s Integrator1
k2 100
1 -Ks m1 Integrator2 b1 100
Obr. 3 Simulinkové schéma modelu
1 s Integrator3 k1 -K-
1
Obdobným způsobem jsou ve sborníku a na webových stránkách řešeny níže uvedené příklady mechanických a hydromechanických soustav. V článku je uveden jen stručný popis, úplné řešení je uvedeno v [1],[2].
3) MECHANICKÁ SOUSTAVA POHÁNĚNÁ STEJNOSMĚRNÝM MOTOREM S PRUŽNOU SPOJKOU
Hřídelové spojky umožňuji spojení výstupního hřídele hnací části stroje s vstupním koncem hřídele hnané části stroje (Obr.1). Na vstupní část stroje působí hnací moment Mh. V případě, že hnaná část stroje je zatížena nerovnoměrně, například prudce vzrůstajícím zatěžovacím momentem Mz je vhodné použít pružnou spojku doplněnou tlumícím členem a soustavu řešit jako dynamicky namáhaný torzní systém. Model stroje s pružnou spojkou pak představuje dvouhmotovou torzní soustavu, kde nahrazení hnací části stroje ( včetně hnacího členu spojky ) a poháněné části stroje je provedeno tuhým rotačním tělesem o momentu setrvačnosti I1, popř. I2 . Soustava se řeší zjednodušeně jako dvouhmotový dynamický torzní systém, u kterého je nutné provést redukci hmotnosti na hřídel spojky. U spojky se předpokládají pružné a tlumící vlastnosti dané torzní tuhostí spojky k a součinitelem tlumení b.
M
k,b
ϕ1
ϕ2
I
MZ
I2
Obr.1 Model mechanické soustavy poháněné stejnosměrným motorem s pružnou spojkou
4) STROJ S PŘEVODOVKU A SPOJKOU S PRUŽNÝMI A TLUMÍCÍMI VLASTNOSTMI, POHÁNĚNÝ ASYNCHRONNÍM MOTOREM
Strojní zařízení je složitý dynamický systém skládající z řídící jednotky, z navzájem propojených strojních částí a podskupin a z pohonné a pracovní jednotky. Postup spočívá v sestavení modelu strojního zařízení (Obr.1b), jeho matematického popisu rovnicemi (1), (2) a numerického řešení pomocí SW MATLAB. Simulací vstupních a výstupních hodnot je pak možné provést návrh parametrů zařízení. SW MATLAB umožňuje simulaci různých momentových charakteristik hnacích motorů (např. sledování chování soustavy při rozběhu s hnacím momentem s charakterem motoru s cizím buzením, popř. buzení soustavy momentem s nelineární charakteristikou asynchronního motoru) a rovněž simulaci různých průběhů zatěžujících momentů. MOTOR PRUŽNÁ SPOJKA ϕ 1
Mh
i12
J1 k,bs
Obr.1a Schéma strojního zařízení
Mz J2
PRAC. STROJ
ϕ2
k,bs,i1,2 1
2
ϕ1, J1, Mh
ϕ2, J2, Mz
Obr.1b Náhradní model
Mechanické schéma vyšetřovaného strojního zařízení je na obr. 1a. Skládá se z hnacího asynchronního motoru, pružné spojky (konstanta tuhosti k a tlumení b ), převodovky s převodem s převodovým poměrem i a pracovního stroje , na který působí krátkodobě po dobu 0,6 s zátěžový moment M s
12
z
5) Model pružného řemenového převodu hnaného asynchronním motorem
Asynchronní motor (Obr.2) pohání nevyvážené řemenové kolo 1 (Obr.1) řemenového převodu s pružným řemenem. Simulací různých zatěžovacích momentů působících na řemenové kolo 2 je možné určit síly v horní a dolní části řemene. Torque characteristic of asynchronous motor
200 180 160 140
]120 m [N eu100 qr oT 80 60 40 20 0 0
Obr.1 Model řemenového převodu
50
100
150 200 Velocity [rad/s]
250
300
350
Obr.2 Hnací moment asynchronního motoru
6) Model mostového jeřábu s 5 stupni volnosti Asynchronní motory pohání pojezd mostového nosníku, mostového vozíku a navíjecí buben pro lano zvedající břemeno. Úkolem je navrhnout řízení motorů tak, aby při plynulém rozjezdu a dojezdu mostového nosníku, jeřábového vozíku a zdvihu břemene byla výchylka břemene minimální. z
y x 1
y
2
M
m 1K , r1K , I1
z 3 ≡ -z
x
y
1
x
ϕ
3
ρ
Obr.1 Model jeřábového mostu
7) Zdviž poháněná stejnosměrným motorem Úkolem je určit průběh napětí na motoru, tak, aby rozjezd a dojezd břemene zdviže byl plynulý.
R
L ϕ ,k1i
φ
D M
= konst
u
i z
Obr. 1 Model zdviže
8) Model pružně a tlumeně uloženého generátoru
Generátor je uložen na podložkách mající pružné a tlumící G , G vlastnosti. Nevyvážeností otáčejících se částí x dochází k výchylkám ve směru jednotlivých os a k pootočení kolem os. Soustava ma 6 stupňů volnosti. Úkolem je určit konstanty tuhosti a tlumení podložek tak, aby tyto výchylky a pootočení byly co nejmenší. u
ϕz
z
ϕz
z
Fz
Fz
m , I x , I y , Iz
∆z
U
S
U
ϕy
S
y
∆y
16
h
F
e
Fx
x
∆x
b ky
b
b
kz
l 04
Literatura
l 03
l 02
l01 l 1
l2
l3
l4
kz
ϕx x 16
x
b kx
b
kz 2 x 8
a
Obr. 1 Model pružně uloženého generátoru
a
[1] J.Vondřich: Soubor modelů dynamicky namáhaných mechanických soustav řešených pomocí programového systému Matlab a Simulink. Zprava ke grantu FRVŠ č.1893/2001. K312,Fakulta elektrotechnická, ČVUT Praha, 2001
[2] J.Vondřich: Modely mechanických soustav s možností simulace provozních stavů řešených v Matlabu a Simulinku prezentovaných na webových stránkách. Zpráva ke grantu IGS ČVUT č.CTU0216213, K312,Fakulta elektrotechnická, ČVUT Praha, 2002 [3] V.Záda: O jedné universální metodě optimálního řízení. Automatizace č.1/1999
J.Vondřich, ČVUT FEL, Technická 2, 166 27 Praha 6,
[email protected], t.224352096
