´ N´azev a cˇ´ıslo ulohy Datum mˇerˇ en´ı Mˇerˇ en´ı provedli Vypracoval Datum Hodnocen´ı
1
2 - Difrakce svˇeteln´eho z´aˇren´ı 23. 2. 2011 Tom´asˇ Zikmund, Jakub K´akona Tom´asˇ Zikmund 2. 3. 2011
Difrakˇcn´ı obrazce
V cel´e u´ loze jsme pouˇz´ıvali He-Ne laser s vlnovou d´elkou λ = 632, 8 nm. Paprsek jsme nasmˇerovali poˇzadovan´ym smˇerem pomoc´ı nastaviteln´eho zrc´atka. Pro pozorov´an´ı difrakce na hranˇe jsme museli svazek laserov´eho z´aˇren´ı rozˇs´ıˇrit. K tomu jsme pouˇzili objektiv z mikroskopu. Pro vytvoˇren´ı cˇ ist´eho svazku jsme do v´ystupu z objektivu vloˇzili clonku s mal´ym otvorem (bodov´y zdroj). Pˇred objektiv mikroskopu jsme vloˇzili spojnou cˇ oˇcku, tak aby jej´ı ohnisko bylo v m´ıstˇe bodov´eho zdroje a paprsky vych´azej´ıc´ı z cˇ oˇcky byly rovnobˇezˇ n´e. Do takto rozˇs´ıˇren´eho svazku jsme vloˇzili tenk´y rovnˇe zastˇriˇzen´y plech pˇredstavuj´ıc´ı ostrou hranu. Ve vzd´alenosti pˇribliˇznˇe 3,5 m jsme pozorovali difrakˇcn´ı obrazec. V difrakˇcn´ım obrazci byly znateln´e prouˇzky maxim a minim rovnobˇezˇ n´e s hranou, nejl´epe pozorovateln´e v okol´ı hrany geometrick´eho st´ınu. Pro pozorov´an´ı dalˇs´ıch difrakˇcn´ıch obrazc˚u jsme pouˇzili u´ zk´y laserov´y svazek (bez rozˇs´ıˇren´ı). U difrakce na tenk´em dr´atˇe jsme pozorovali jedno centr´aln´ı maximum jehoˇz intenzita nebyla nejvyˇssˇ´ı uprostˇred, ale sp´ısˇe na okraji. Dalˇs´ı maxima byly od sebe stejnˇe vzd´aleny a jejich intenzita klesala se vzd´alenost´ı od centr´aln´ıho maxima. U difrakce na sˇtˇerbinˇe jsme pozorovali podobn´y obrazec, kter´y se liˇsil pouze t´ım, zˇ e nejvyˇssˇ´ı intenzita centr´aln´ıho maxima byla uprostˇred. To potvrzuje platnost Babinetova doplˇnkov´eho principu. Protoˇze dr´at a sˇtˇerbina jsou vz´ajemnˇe doplˇnkov´e u´ tvary, souˇcet jejich pol´ı mus´ı b´yt stejn´y jako pole samotn´eho svazku bez st´ın´ıtka. Vedlejˇs´ı maxima mus´ı b´yt u obou obrazc˚u na stejn´ych m´ıstech, avˇsak jejich pole budou m´ıt opaˇcnou f´azi. D´ale jsme pozorovali difrakˇcn´ı obrazec obd´eln´ıku, kter´y mˇel delˇs´ı stranu vodorovnˇe. Centr´aln´ı maximum tvoˇril obd´eln´ık, jehoˇz tvar odpov´ıdal tvaru apertury. Ve smˇeru kaˇzd´e stany tohoto obd´eln´ıku byla ˇrada vedlejˇs´ıch maxim. Tyto maxima tvoˇrily tak´e obd´eln´ıky, jejichˇz jeden rozmˇer odpov´ıdal d´elce pˇrilehl´e strany hlavn´ıho maxima a druh´y odpov´ıdal pˇribliˇznˇe polovinˇe d´elky druh´e strany hlavn´ıho maxima. U difrakˇcn´ıho obrazce kruhov´e apertury jsme pozorovali jedno kruhov´e maximum a nˇekolik soustˇredn´ych kruhov´ych maxim okolo nˇej. Pro v´ypoˇcet Fresnelova cˇ´ısla plat´ı vztah NF =
2 x¯2max + y¯max . λz
Napˇr´ıklad pro difrakˇcn´ı obrazec obd´eln´ık o rozmˇerech a = 89 µm a b = 112 µm ve vzd´alenosti 351 cm vych´az´ı Fresnelovo cˇ´ıslo 1 NF = 0, 009 . 2 Urˇcitˇe se tedy jedn´a o vzd´alenou z´onu. Fresnelovo cˇ´ıslo pro tento obd´eln´ık NF = 12 , pr´avˇe kdyˇz je difrakˇcn´ı obrazec vzd´alen 6, 5 cm. Ve Fresnelovˇe z´onˇe, tedy bl´ızˇ neˇz 6, 5 cm jsme vˇsak zˇ a´ dn´e difrakˇcn´ı obrazce nepozorovali. Je to zp˚usobeno t´ım, zˇ e f´aze pole v t´eto z´onˇe je velmi promˇenliv´a a velmi citlivˇe z´avisl´a na vzd´alenosti.
1
2
V´ypoˇcet velikosti apertur podle difrakˇcn´ıho obrazce
Vzd´alenost st´ın´ıtka od apertury je ve vˇsech pˇr´ıpadech stejn´a a to z = 351 cm. U difrakˇcn´ıho obrazce sˇtˇerbiny jsme zmˇeˇrili vzd´alenost -5. a 5. maxima d5 = 13 cm. Odtud vzd´alenost prvn´ıho minima x1 = 1,3 cm. Pro v´ypoˇcet sˇ´ıˇrky sˇtˇerbiny vyjdeme ze vzorce xm =
mλz , a
odkud vyj´adˇr´ıme sˇ´ıˇrku sˇtˇerbiny a=
mλz . xm
Po dosazen´ı hodnoty x1 vych´az´ı sˇ´ıˇrka sˇtˇerbiny a = 171 µm. Pro difrakˇcn´ı obrazec dr´atu jsme namˇeˇrili vzd´alenost -5. a 5. maxima d5 = 22,7 cm. Odtud vzd´alenost prvn´ıho minima x1 = 2,27 cm. Z Babinetova principu plyne, zˇ e pro difrakˇcn´ı minima dr´atu mus´ı platit stejn´y vzorec jako pro sˇtˇerbinu mλz a= , xm kde a je pr˚umˇer dr´atu. Po dosazen´ı x1 vych´az´ı a = 98 µm. Dr´at tedy pravdˇepodobnˇe bude m´ıt pr˚umˇer 0,1 mm. Pˇri mˇeˇren´ı -5. a 5. maxima obd´eln´ıkov´e apertury n´am vyˇsla vzd´alenost ve vodorovn´e ose d5v = 25 cm a vzd´alenost ve svisl´e ose d5s = 19,9 cm. Odtud vzd´alenost prvn´ıho minima ve vodorovn´e ose x1 = 2,5 cm a ve svisl´e ose y1 = 1,99 cm. Z v´yrazu pro intenzitu difrakˇcn´ıho obrazce obd´eln´ıkov´e apertury uveden´eho v [1] je vidˇet, zˇ e pro jednotliv´e rozmˇery obd´eln´ıkov´e apertury bude platit stejn´y vzorec jako pro sˇtˇerbinu. Proto mλz mλz , b= . a= xm ym Po dosazen´ı x1 a y1 dost´av´ame a = 89 µm,
b = 112 µm.
U apertury bylo uvedeno, zˇ e se jedn´a o cˇ tverec o stran´ach 89 µm, jedna strana tedy odpov´ıd´a namˇeˇren´ym u´ daj˚um. Pro kruhovou aperturu jsme namˇeˇrili n´asleduj´ıc´ı pr˚umˇery prvn´ıch minim: d1 = 19, 5 mm, d2 = 36 mm, d3 = 53 mm. Pro polomˇery tedy plat´ı: r1 = 9, 75 mm, r2 = 18 mm, r3 = 26, 5 mm. Ze vzorc˚u 1, 22λz 2, 23λz 3, 24λz r1 = , r2 = , r3 = d d d vypoˇcteme tˇri hodnoty pro pr˚umˇer kruhov´e apertury d ≈ 277, 9 µm ≈ 275, 2 µm ≈ 271, 6 µm. Vz´ajemn´a odchylka jednotliv´ych v´ysledk˚u je d˚usledkem nepˇresn´eho mˇeˇren´ı pr˚umˇer˚u difrakˇcn´ıch minim.
2
3
´ cinnosti na uhlu ´ Z´avislost difrakˇcn´ı uˇ dopadu
Difrakˇcn´ı u´ cˇ innost obou typ˚u mˇr´ızˇ ek jsme mˇeˇrili radiometrick´ym wattmetrem, tak zˇ e jsme difrakˇcn´ı mˇr´ızˇ ku pˇripevnili do otoˇcn´eho stoj´anku s u´ hlomˇerem a pˇri osv´ıcen´ı svazkem nalezli prvn´ı difrakˇcn´ı ˇra´ d. Do tohoto m´ısta jsme pak um´ıstili mˇeˇr´ıc´ı diodu wattmetru. Nat´acˇ en´ım stoj´anku jsme pak mˇenili u´ hel svazku a zapisovali hodnoty v´ykonu dopadaj´ıc´ıho na detektor. Vlivem lomu v podloˇzce mˇr´ızˇ ky bylo ale tˇreba postupnˇe upravovat pozici detektoru, aby citliv´a plocha st´ale z˚ust´avala osv´ıcena difrakˇcn´ım ˇra´ dem. Namˇeˇren´a z´avislost je pak vidˇet v grafu 1.
Obr´azek 1: Z´avislost difrakˇcn´ı u´ cˇ innosti prvn´ıch ˇra´ du tenk´e a objemov´e mˇr´ızˇ ky na u´ hlu dopadu
4
V´ypoˇcet period mˇr´ızˇ ek
Vzd´alenost difrakˇcn´ıho obrazce od mˇr´ızˇ ky je vˇsech pˇr´ıpadech z = 351 cm. U tenk´e f´azov´e mˇr´ızˇ ky jsme namˇeˇrili vzd´alenost mezi -1. a 1. minimem d1 = 44, 7 cm. Odtud vzd´alenost prvn´ıho minima r1 = 22, 35 cm. D´ale jsme zmˇeˇrili vzd´alenost tˇret´ıho minima r3 = 69, 8 cm. Pro v´ypoˇcet periody vyjdeme ze skal´arn´ı mˇr´ızˇ kov´e rovnice λ , Λ kde θm je u´ hel difrakce do m-t´eho difrakˇcn´ıho maxima a θi je u´ hel dopadu rovinn´e vlny na mˇr´ızˇ ku. ´ Uhel θi je v naˇsem pˇr´ıpadˇe nulov´y. Pro mˇr´ızˇ kovou periodu Λ bude tedy platit sin(θm ) − sin(θi ) = m ·
Λ=m·
λ λ λz ≈m· =m· . sin(θm ) tg(θm ) rm
Po dosazen´ı r1 a r3 vych´az´ı Λ ≈ 9, 9 µm ≈ 9, 5 µm. 3
U tenk´e amplitudov´e mˇr´ızˇ ky jsme namˇerˇili vzd´alenost mezi -1. a 1. minimem d1 = 41, 5 cm. Odtud vzd´alenost prvn´ıho minima r1 = 20, 75 cm. D´ale jsme zmˇeˇrili vzd´alenost tˇret´ıho minima r3 = 63, 5 cm. Ze stejn´eho vzorce jako v pˇredchoz´ım pˇr´ıpadˇe vypoˇcteme po dosazen´ı r1 a r3 mˇr´ızˇ kovou periodu Λ ≈ 10, 7 µm ≈ 10, 5 µm. Bragg˚uv u´ hel objemov´e mˇr´ızˇ ky jsme nalezli tak, zˇ e jsme wattmetr nastavili na vlnovou d´elku λ = 632, 8 nm a mˇeˇrili jsme v´ykon maxima prvn´ıho difrakˇcn´ıho ˇra´ du. Sn´ımaˇc jsme se snaˇzili nastavit kolmo na dopadaj´ıc´ı z´aˇren´ı a udrˇzovat st´ale ve stejn´e vzd´alenosti od mˇr´ızˇ ky. Pomoc´ı wattmetru jsme naˇsli u´ hel dopadu rovinn´e vlny na mˇr´ızˇ ku, pˇri kter´em byl v´ykon z´aˇren´ı prvn´ıho maxima nejvyˇssˇ´ı. Pro objemovou mˇr´ızˇ ku n´am vyˇsel tento Bragg˚uv u´ hel θB = 29, 5◦ . Pˇri tomto u´ hlu jsme zmˇeˇrili vzd´alenost mˇr´ızˇ ky od st´ın´ıtka z = 121 mm a vzd´alenost prvn´ıho maxima od nult´eho maxima x = 190 mm. St´ın´ıtko bylo um´ıstˇen´e kolmo na svazek nult´eho maxima. Pro u´ hel mezi paprsky prvn´ıho a nult´eho maxima tedy plat´ı tg(θ1 ) =
x , y
θ1 = 57, 5 ◦ .
Vlnov´y vektor vlny nult´eho maxima oznaˇc´ıme k1 . Z Braggovy podm´ınky a z obr´azku 2 plyne vztah |K|
sin( odkud Λ=
θ1 λ )= 2 = , 2 k1 2Λ
λ = 657, 8 nm. 2 sin( θ21 )
Obr´azek 2: Objemov´a mˇr´ızˇ ka pˇri splnˇen´e Braggovˇe podm´ınce Nakonec jsme jeˇstˇe zmˇeˇrili vzd´alenost nult´eho a prvn´ıho maxima dalˇs´ı tenk´e amplitudov´e mˇr´ızˇ ky r1 = 54 mm ve vzd´alenosti z = 465 mm. Z rovnice pro tenkou mˇr´ızˇ ku jsme vypoˇc´ıtali Λ = 5, 5 µm. U t´eto mˇr´ızˇ ky jsme v pˇredchoz´ı u´ loze mˇeˇrili selektivn´ı kˇrivku. 4
5
Rozd´ıly mezi difrakc´ı na tenk´e a objemov´e mˇr´ızˇ ce
Z grafu na obr´azku 1 je vidˇet znaˇcn´y rozd´ıl v rozloˇzen´ı difrakˇcn´ı u´ cˇ innosti na u´ hlu dopadaj´ıc´ıho z´aˇren´ı vzhledem k typu difrakˇcn´ı mˇr´ızˇ ky. Je zˇrejm´e, zˇ e objemov´a mˇr´ızˇ ka je velmi citliv´a na u´ hel a m´a vysokou difrakˇcn´ı u´ cˇ innost pouze ve velmi u´ zk´em rozsahu. To je d´ano nutnost´ı splnˇen´ı Braggovy podm´ınky, kter´a vyˇzaduje, aby pˇr´ıspˇevky od jednotliv´ych element´arn´ıch vlnoploch vznikaj´ıc´ıch na mˇr´ızˇ ce byly souf´azov´e. A vzhledem k tomu, zˇ e v objemov´e mˇr´ızˇ ce se svˇetlo m˚uzˇ e sˇ´ıˇrit po drah´ach r˚uzn´e optick´e d´elky, bude souf´azovost splnˇena pouze pro konkr´etn´ı u´ hel. Tento probl´em nenast´av´a u tenk´ych mˇr´ızˇ ek, kdy nem˚uzˇ e doj´ıt k v´yrazn´emu f´azov´emu rozd´ılu element´arn´ıch vlnoploch a difrakˇcn´ı u´ cˇ innost se u´ hlem dopadaj´ıc´ıho z´aˇren´ı mˇen´ı pouze minim´alnˇe.
Reference ˇ ´ [1] Kolektiv KFE FJFI CVUT: Uloha cˇ . 2 - Difrakce svˇeteln´eho z´arˇen´ı, [online], [cit. 2. bˇrezna 2010], http://optics.fjfi.cvut.cz/files/pdf/ZPOP 02.pdf
5
