vektor ( MAT ) Disusun Oleh : Drs. Pundjul Prijono Nip

MODUL MATEMATIKA SMA

vektor

( MAT 12.1.4 ) Disusun Oleh : Drs. Pundjul Prijono Nip. 19580117.198101.1.003

PEMERINTAH KOTA MALANG DINAS PENDIDIKAN

SMA NEGERI 6 Jalan Mayjen Sungkono No. 58 Telp. (0341) 752036 Malang

Modul 12.1.4 VEKTOR

Halaman 1

Standar Kompetensi : Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan masalah. Kompetensi Dasar : 

Menggunakan sifat-sifat dan operasi aljabar vektor dalam pemecahan masalah tentang panjang (besar) vektor, operasi pada vektor serta rumus perbandingan vektor.



Menggunakan sifat-sifat dan operasi perkalian skalar dan vektor dalam pemecahan masalah tentang hasil kali skalar dua vektor, sudut antara dua vektor, panjang proyeksi (proyeksi skalar) serta vektor proyeksi.

BAB I. PENDAHULUAN A. Deskripsi Dalam modul ini anda akan mempelajari notasi vektor, panjang vektor, operasi aljabar pada vektor, vektor posisi, vektor satuan, perbandingan vektor di bidang dan di ruang, perkalian skalar dua vektor, sudut antara dua vektor, proyeksi skalar dan proyeksi vektor pada vektor lain.

B. Prasyarat Agar dapat mempelajari modul ini, anda harus mempelajari operasi bilangan real dan dasar trigonometri, dan matriks.

C. Petunjuk Penggunaan Modul Untuk mempelajari modul ini, hal-hal yang perlu Anda lakukan adalah sebagai berikut: 1. Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena materi yang mendahului merupakan prasyarat untuk mempelajari materi berikutnya. 2. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua soal latihan yang ada. Jika dalam mengerjakan soal Anda menemui kesulitan, kembalilah mempelajari materi yang terkait. 3. Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat. Jika Anda menemui kesulitan dalam mengerjakan soal evaluasi, kembalilah mempelajari materi yang terkait. 4. Jika Anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat Anda pecahkan, catatlah,

Modul 12.1.4 VEKTOR

Halaman 2

kemudian tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap muka atau bacalah referensi lain yang berhubungan dengan materi modul ini. Dengan membaca referensi lain, Anda juga akan mendapatkan pengetahuan tambahan.

D. Tujuan Akhir Setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda dapat: 1. Menjelaskan vektor sebagai besaran yang memilki besar dan arah 2. Mengenal vektor satuan 3. Menentukan operasi aljabar vektor : jumlah, selisih, hasil kali vektor dengan skalar, dan lawan suatu vektor 4. Menjelaskan sifat-sifat vektor secara aljabar dan geometri 5. Menggunakan rumus perbandingan vektor 6. Melakukan operasi aljabar atas dua matriks 7. Menentukan hasilkali skalar dua vektor di bidang dan ruang 8. Menjelaskan sifat-sifat perkalian skalar dua vektor

BAB II. PEMBELAJARAN

Penerapan Konsep Vektor untuk Menyelesaikan Masalah Vektor sangat dikenal dalam pelajaran Fisika karena merupakan salah satu besaran selain besaran skalar. Perbedaan keduanya adalah:  Skalar merupakan besaran yang hanya mempunyai nilai saja, yang dapat dinyatakan dengan bilangan real tertentu. Contoh besaran ini adalah suhu, massa, dan lain-lain;  Vektor merupakan besaran yang mempunyai nilai serta memiliki arah. Contoh besaran vektor adalah jarak, kecepatan, dan lain-lain.

Banyak manfaat yang diperoleh dari penerapan konsep vektor dalam kehidupan sehari-hari. Vektor dapat digunakan untuk menghitung jarak, kecepatan, medan listrik dan sebagainya. Uraian materi berikut akan memperjelas pemahaman Anda mengenai konsep vektor dan penerapannya.

Modul 12.1.4 VEKTOR

Halaman 3

A. Notasi Vektor Secara geometris vektor dinyatakan sebagai ruas garis berarah yang panjang dan arahnya tertentu. Suatu vektor dapat digambarkan sebagai sebuah ruas garis berarah.

u

Ruas garis AB menunjukkan sebuah vektor dengan A sebagai titik pangkal, B

B

sebagai titik ujung, arah anak menunjukkan arah vektor, dan panjang anak panah sebagai panjang atau besar vektor. Vektor biasanya dituliskan dengan

A



huruf kecil tebal atau miring, misalnya u, u, atau u .

Secara analitis vektor dinyatakan sebagai pasangan terurut bilangan real. Vektor di bidang (R2) dinyatakan sesuai pasangan bilangan pada koordinat sumbu X dan Y, yaitu vektor u  (x, y) atau u   xy  . Vektor di ruang (R3) dinyatakan menurut koordinat sumbu  

x

X, Y, dan Z. Jadi u  (x, y, z) atau u   y  .

(x2 ,y2 )

z

u

Andaikan vektor u dengan titik pangkal di (x 1,y1) dan titik ujungnya

pada

(x2,y2)

maka

sesuai

dengan

teorema

y2 - y1

(x1 ,y1 ) x 2 - x1

Pythagoras panjang dari vektor u ditentukan dengan rumus: u  ( x  x )2  ( y  y )2 2 1 2 1

B. Aljabar Vektor Sebelum membahas aljabar vektor perlu dipahami ketentuan berikut: u



Dua vektor dikatakan sama jika besar dan arahnya.



Suatu vektor v dikatakan invers dari vektor u jika berlaku u + v =

= v

0. (0 adalah vektor nol dimana arahnya tak tentu). Dua vektor

u

v= - u

dikatakan saling invers jika besarnya sama tetapi berlawanan arah.  Penjumlahan Vektor Secara geometris penjumlahan vektor dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu:

a) Aturan segitiga, langkah-langkahnya: v u Modul 12.1.4 VEKTOR

Halaman 4

u+v

 Tempatkan titik pangkal vektor v sehingga berimpit dengan titik ujung vektor u;  Vektor (u+v) diperoleh dengan cara menghubungkan titik pangkal vektor u dengan titik ujung vektor v.

b) Aturan jajargenjang, langkah-langkahnya:  Tempatkan titik pangkal

vektor

v sehingga u

berimpit dengan titik pangkal vektor u;

u+v

 Bentuklah jajargenjang dengan sisi-sisi yang v

sejajar dengan u dan v;

 Vektor (u+v) adalah diagonal jajargenjang dengan titik pangkal vektor u. Secara analitis penjumlahan vektor dilakukan dengan menjumlahkan komponen-komponen yang seletak. Jika

a  u    b 

dan

c  v    d 

maka u  v

Besar atau panjang vektor hasil penjumlahan:

a  c   a  c   .          b  d   b  d 

u  v  (a  c )2  (b  d )2

Contoh : Diketahui u   3  , tentukan panjang vektor u.   6

Jawab: u  32  ( 6 )2  3 5

Contoh : Jika p  sebuah gaya yang besarnya 40 N dan berarah ke Timur Dan q  sebuah gaya yang besarnya 30 N dan berarah ke Utara, maka besar vektor jumlah kedua gaya tersebut, yaitu r adalah 50 N, karena : r 2 = p2 + q2

r q

= 1600 + 900 = 2500 r = 2500 = 50 N

p

Penjumlahan beberapa vektor , misalnya a + b + c + d adalah hasil jumlah keseluruhan vektor, a , b, c, d, merupakan sebuah vektor yang menghubungkan pangkal vektor pertama dengan ujung vektor terakhir dalam hal ini AE. Hasil ini diperoleh langsung berdasarkan definisi kita tentang penjumlahan dua vektor.

Modul 12.1.4 VEKTOR

Halaman 5

E

d

a

D c

A

C b B Serupa dengan itu, PQ + QR + RS + ST = PT Misalkan dalam suatu persoalan kita harus mencari jumlah vektor a, b, c, d, e. Setelah kita gambarkan diagram vektornya, kita dapatkan bahwa diagram yang diperoleh membentuk gambar tertutup, maka jumlah vektor a + b + c + d + e = 0. D d c

E e

C b

A

B

a Karena, jumlah vektor diberikan oleh sebuah vektor setara yang menghubungkan pangkal vektor pertama dengan ujung vektor terakhir. Jika diagram vektor itu membentuk gambar tertutup, ujung vektor terakhir berimpit dengan pangkal vektor pertama, sehingga vektor resultannya merupakan sebuah vektor yang tidak mempunyai besar. Contoh 1. AB + BC + CD + DE + EF = AF Tanpa menggambarkan diagramnyapun dapat kita lihat bahwa vektor vektor tersebut telah tersusun berantai, masing-masing vektor berpangkal di ujung vektor sebelumnya. Karena itu jumlah vektornya langsung diberikan oleh vektor yang menghubungkan pangkal vektor yang pertama dengan ujung vektor yang terakhir. Dengan penalaran serupa, maka : AK + KL + LP + PQ = AQ. Contoh 2. AB – CB + CD – ED = AE Ingat - CB = BC, yaitu besarnya sama, arahnya sejajar tetapi berlawanan. Demikian juga – ED = DE. Jadi AB – CB + CD – ED = AB + BC + CD + DE = AE. Contoh 3. AB + BC – DC – AD = 0 Karena AB + BC – DC – AD = AB + BC + CD + DA = AA = 0 dan ujung penulisan hurufnya

menunjukkan bahwa ujung vektor yang terakhir berimpit dengan pangkal

Modul 12.1.4 VEKTOR

Halaman 6

vektor yang pertama. Jadi diagram vektornya membentuk gambar tertutup, karena itu jumlah vektornya sama dengan 0. Seperti halnya AB + BC + CD + DE dapat digantikan oleh AE, maka sembarang vektor PT dapat digantikan dengan sejumlah vektor komponen asalkan komponen-komponen tersebut membentuk rantai diagram vektor yang berpangkal di P dan berakhir di T, yaitu

b

c PT = a + b + c + d

a

d P

T

Contoh. ABCD adalah sebuah segi empat. Titik G terletak di tengah-tengah AD dan titik H di tengah-tengah BC. Tunjukkanlah bahwa AB + DC = 2 GH. A G

B

D

H C

Vektor AB dapat diganti dengan rangkaian vektor apa saja asalkan dimulai di A dan berakhir di B. Jadi dapat kita katakan AB = AG + GH + HB. Serupa dengan itu, dapat kita katakan juga DC = DG + GH + HC, sehingga kita peroleh : AB = AG + GH + HB DC = DG + GH + HC Jadi AB + DC = AG + GH + HB + DG + GH + HC = 2 GH + (AG + DG) + (HB + HC) G adalah titik tengah AD, karena itu vektor AG dan DG sama panjang, tetapi berlawanan arah. Jadi DG = - AG. Serupa dengan itu, HC = - HB Jadi AB + DC = 2 GH + (AG - AG) + (HB - HB) = 2 GH

 Pengurangan Vektor Secara geometris pengurangan vektor u dengan vektor v adalah penjumlahan vektor u dengan invers vektor v, yang

v u

dapat dilakukan dengan salah satu aturan penjmlahan vektor di atas. Modul 12.1.4 VEKTOR

-v u-v Halaman 7

Pengurangan vektor secara analitis dilakukan dengan meng-operasikan komponenkomponen

yang

letaknya

sama.

a  u    b 

Jika

c  v    d 

dan

maka

a    c   a  c      . u  v  u  (v )      b    d  b  d 

Besar atau panjang vektor hasil pengurangan:

u  v  (a  c ) 2  (b  d ) 2

Contoh : Diketahui p   1  dan q    4  , tentukan p  q dan q  p .   8  2 

Jawab: 1  ( 4 )    3  pq     8  2    6 q  p    4  1     5   2  ( 8 )   10 

 Perkalian Vektor dengan Skalar Jika m adalah bilangan real (skalar), maka mu adalah penggandaan atau perbanyakan vektor u sebanyak m. Arah mu

mu

-mu

u

sama dengan arah vektor u dan besarnya m u .

Sedangkan (-mu) merupakan vektor yang panjangnya sama dengan m u tetapi berlawanan arah dengan vektor u. Secara analitis perkalian skalar m dengan vektor

a  u    b 

a    ma  . adalah m b       mb 

Contoh:

6  2  4 Diketahui : a =  , b    dan c     3   1  2  Tentukan: a.

2a - b + 3c

b.

–a + 2b - 2 c

Jawab:

  6   2    4    12    2    12    26  a. 2      3 =       3    1   2   6   1   6   13 

  6   2    4   6   4   8   18  b.     2   2  =      3   1  2    3    2    4    9  Modul 12.1.4 VEKTOR

Halaman 8

Kerjakan soal-soal berikut supaya anda lebih memahami uraian materi kegiatan belajar 1. Jangan membaca/melihat petunjuk mengerjakan latihan ( kunci jawaban ) sebelum anda coba mengerjakannya. Petunjuk untuk mengerjakan latihan hanya sebagai panduan bila anda mengalami kesulitan menjawab soal berikut ini.

Kegiatan 12.1.4.1 : Carilah hasilnya : 1. PQ + QR + RS + ST = ……. 2. AC + CL – ML = ……… 3. GH + HJ + JK + KL + LG = ……. 4. AB + BC + CD + DB = ………. 5. Dalam suatu segitiga ABC, titik L, M, N berturut-turut adalah titik tengah sisi AB, BC, CA. Tunjukkanlah bahwa : a. AB + BC + CA = 0 b. 2 AB + 3 BC + CA = 2 LC c. AM + BN + CL = 0 6. Perhatikan gambar. Diantara pernyataan berikut manakah yang tidak benar. D a)

AB  BE  AC  CE

b)

BE  BC  CD  DE

c)

AE  AC  CD  DE

d)

AC  CE  BE

e)

AB  BC  CE  AE

E

C A B

7. Dalam segi empat ABCD, P dan Q berturut-turut adalah titik tengah diagonal AC dan BD. Tunjukkanlah bahwa AB + AD + CB + CD = 4 PQ. C

B P

A

Q D

8. Buktikanlah dengan cara vektor bahwa garis yang menghubungkan dua titik tengah sisi suatu segi tiga sejajar dengan sisi ketiga dan panjangnya hanya setengahnya.

Modul 12.1.4 VEKTOR

Halaman 9

A E

D B 9. Jika

C

titik A(-3,5), B(1,-7), C(x,1) dan D(2,y). Jika vektor yang diwakili oleh AB

berlawanan dengan DC , maka nilai x + y adalah…. 10. Diketahui 2 vektor p = 3i – (2x1)j dan q = 6i = 2j, jika vektor p sejajar dengan vektor q maka panjang vektor P = ….. Jika anda sudah menyelesaikan kegiatan 1 cocokkan jawaban anda pada kunci jawaban yang berada dibelakang modul ini. Setelah anda cocokkan berilah nilai kegiatan anda didalam mengerjakan kegiatan 12.1.4.1  Jika nilai perolehan < 75 , artinya anda belum paham tentang aljabar vektor, maka anda harus mengulang kembali membaca dan memahami konsep tentang pengertian aljabar vektor.  Jika nilai perolehan ≥ 75 maka anda boleh meneruskan pada kegiatan modul berikut ini.

C. Vektor Basis Vektor basis adalah vektor yang panjangnya sama dengan 1 satuan panjang. Vektor basis dalam sistem koordinat bidang dinyatakan dengan vektor i dan j. Vektor i merupakan vektor basis searah sumbu X positif dan vektor j adalah vektor basis searah sumbu Y positif. Sedangkan vektor basis dalam ruang dinyatakan dalam vektor i, j, dan k berturutturut sejajar dengan sumbu X, Y, dan Z positif. Y

j X O

Vektor i dan j merupakan vektor basis dalam bidang (R 2) i vektor satuan searah sumbu X positif j vektor satuan searah sumbu Y positif

i

Vektor i, j, dan k merupakan vektor basis dalam ruang (R 3) i vektor satuan searah sumbu X positif j vektor satuan searah sumbu Y positif Modul 12.1.4 VEKTOR

Halaman 10

Z

k vektor satuan searah sumbu Z positif

Contoh : vektor u  (2, 3, 4) bila dinyatakan dalam bentuk vektor basis menjadi u  2i  3 j  4k

k Y O

Contoh :Diketahui koordinat P(2, 3, 5) dan Q(1, 5, 2) i

a) Nyatakan komponen dari PQ . b) Nyatakan PQ sebagai kombinasi linear vektor basis.

X

c) Hitung panjang PQ .

Jawab:

Z

a) PQ  PO  OQ

P(2,3,5)

 p  q  q  p 1 2   1  5  3   2  2  5    3      

p q

PQ  (1  2)2  (5  3)2  (2  5)2  14

Q(1,5,2)

O

b) PQ  i  2 j  3k c)

j

Y

X

D. Vektor Posisi Vektor posisi adalah vektor yang berpangkal pada titik pangkal koordinat. Komponen sebuah vektor dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor basis. Y

yj

•R(x,y)

Pada R2 Vektor OR diwakili oleh vektor r yaitu vektor posisi

r

dengan titik R(x,y) atau dinyatakan dalam kombinasi linear maka X

O

xi

r  xi  y j .

Panjang dari r : r  x 2  y 2 Z

Dalam ruang dimensi tiga (R 3) titik R(x,y,z) adalah vektor posisi dari OR yang dinyatakan sebagai r  xi  y j  zk .

r

Berlaku panjang dari r adalah: r  x 2  y 2  z 2 Vektor satuannya: e 

Modul 12.1.4 VEKTOR

r r

R(x,y,z)

zk

O

Y yj

xi X

Halaman 11

Z

U(u 1,u2,u3)

OU  u dan OV  v adalah vektor-vektor posisi.

u

UV  UO  OV V(v1,v2,v3)

v

Y

O

UV  OV  OU UV  v  u  v1   u1   v1  u1        UV   v 2    u2    v2  u2  v   u  v  u  3  3  3  3

X

Secara umum komponen vektor dari dua titik dalam sistem koordinat dapat ditentukan dengan cara komponen titik ujung dikurangi komponen titik pangkal. Contoh : Ditentukan vektor 1 2

Jawab:

p   6  dan q   2  . Nyatakan vektor-vektor 1 3

p  2q

dan

( p  q) .

p  2q   6   2 2    6  4   10 1 3  1  6   7  1 2

 6  2    1   3       1 4    2   2   2    1    

( p  q) 

1 2

1 2

 6  2 1  3   

Contoh : Jika P    5  dan Q   3  tentukan komponen vektor PQ dan QP .  3    9

Jawab:  3  ( 5)   8  PQ       9  3    12 QP    5  3     8   3  ( 9)   12 

E. Rumus pembagian ruas garis a. Titik P menjadi di dalam ruas garis AB Perbandingannya = AP = PB = m : n n

m A

P

B

b. Titik P membagi di luar garis AB m Modul 12.1.4 VEKTOR

 AP : PB = m : - n Halaman 12

A

B

-n

P

c. Rumus pembagian ruas garis AB n m A

P p

a -

b

O Jika diketahui vektor a dan b maka vektor p adalah: p

-

B

ma  nb mn

Jika diketahui koordinat titik A dan B maka koordinat titik P (x p,yp,zp) adalah: xp 

mxB  nx A myB  ny A mz B  nz A ; yp  ;zp  mn mn mn

2. Tiga titik yang segaris (kolinier) a. Tiga titik A, B, dan C dikatakan segaris (kolinier) jika dipenuhi: AB = k AC atau AB = k BC atau AC = k BC dengan k bilangan real

b. Dua vektor a dan b dikatakan segaris atau sejajar jika dipenuhi A = kb atau b = ka, elemen bilangan real

3. Tiga titik yang sebidang (koplanar) Tiga titik A(x 1, y1, z1), B(x2, y2, z2), dan (x3, y3, z3), dikatakan sebidang atau coplanar jika dipenuhi:

x1 y1 z1 Jika dipenuhi: x 2 y 2 z 2 = 0 (diterminan matrik ordo tiga)

x3 y 3 z 3

4. Titik berat dari sebuah segitiga Jika diketahui segitiga ABC dengan A(x 1, y1, z1), B(x2, y2, z2), dan C(x3, y3, z3) maka koordinat titik berat segitiga tersebut adalah Z(x z, yz, zz) 1 x z  ( x1  x2  x3 ) 3 Modul 12.1.4 VEKTOR

Halaman 13

1 y z  ( y1  y 2  y3 ) 3 1 z z  ( z1  z 2  z 3 ) 3

Kerjakan soal-soal berikut supaya anda lebih memahami uraian materi kegiatan belajar . Jangan membaca/melihat petunjuk mengerjakan latihan ( kunci jawaban ) sebelum anda coba mengerjakannya. Petunjuk untuk mengerjakan latihan hanya sebagai panduan bila anda mengalami kesulitan menjawab soal berikut ini.

Kegiatan 12.1.4.2 : 1. Diketahui titik P (x+1, 1,-2), Q (2,y-2, 2) dan R (5, -3, -10) Jika P, Q dan R kolinier tentukan nilai x + y !

2. Segitiga PQR, titik P(1,2,3). Q(2,8,3) dan R (2,-1,3) jika titik A pada QR sehingga QA : QR = 1 : 3 tentukan vektor PA.

3. Koordinat titik P (2,-3,1), vektor posisi PQ = -3i + 5j + 4k dan OR = I +4j + 4k maka panjang vektor QR adalah….

4. Diketahui ruas garis AB dengan A(-3,1,-3) dan B(3,-2,6) jika titik c diperpanjangan AB dan AB 

3 AC maka koordinat titik c adalah…. 4

5. Segitiga ABC dengan A(-2,1,-3), B(x, y, z) dan C(3, 1, 3) jika titik berat ABC adalah Z(2, -1, 2) maka nilai x + y + z = …..

6. Diketahui P(1, -2, -1), Q(6, 3, 4) dan R(a, b, 2) jika R membagi PQ di dalam dengan perbandingan m : n, maka nilai a dan b adalah …..

7. Diketahui jajaran genjang ABCD, titik P dan DC sehingga DP = DC = 1 : 2 dan Q titik tengah BC. Jika a , b , c dan d berturut-turut merupakan vektor posisi titik A, B, C dan D maka tentukan: a. Vektor AP b. Vektor D,Q dalam a , b , c dan d Modul 12.1.4 VEKTOR

Halaman 14

8. Segitiga PQR, koordinat titik P(-5,1), vektor PQ = 7i – 4j dan QR  i  5 j tentukan: c. Koordinat titik Q dan R d. Vektor posisi PR

9. Koordinat titik P(5,-7), Q(-1,2) jika 3PR = 2PQ, tentukan a. PR.PQ b. QR.PQ

10. Segitiga ABC, AB  P , AC  q , jika titik D pada BC dimana BD : DC = 3 : 2 maka tentukan vektor AD dalam P dan q

Jika anda sudah menyelesaikan kegiatan cocokkan jawaban anda pada kunci jawaban yang berada dibelakang modul ini. Setelah anda cocokkan berilah nilai kegiatan anda didalam mengerjakan kegiatan 12.1.4.2  Jika nilai perolehan < 75 , artinya anda belum paham tentang vektor basis, vektor posisi dan pembagian ruas garis, maka anda harus mengulang kembali membaca dan memahami konsep tentang konsep vektor diatas.  Jika nilai perolehan ≥ 75 maka anda boleh meneruskan pada kegiatan modul berikut ini.

E. Perkalian Skalar Vektor ( Perkalian Titik / Dot ) U

u

Hasil kali skalar dua vektor u dan v didefinisikan sebagai: v



V

u v cos 

u  v  u v cos  ; dengan  adalah sudut yang diapit oleh vektor u dan

v.

Perkalian skalar antar vektor menghasilkan sebuah skalar. Z

i  i  i i cos 0o  1 j  j  j j cos 0o  1

k (0,0,1) Y O

karena sejajar

k  k  k k cos 0o  1

j (0,1,0)

i (1,0,0) Modul 12.1.4 VEKTOR

X

Halaman 15

i  j  i j cos 90o  0

j  k  j k cos 90o  0

karena tegak lurus

k  i  k i cos 90o  0

Perkalian skalar dua vektor dalam bentuk komponen: Misalkan vektor u  u1i  u2 j  u3k dan v  v1i  v2 j  v3k , maka: u  v  (u1i  u2 j  u3k )  (v1i  v2 j  v3k ) u  v  u1v1  u2v2  u3v3

Sifat-sifat perkalian skalar vektor:  Sifat komutatif: u  v  v  u  Sifat distributif: u  (v  w )  u  v  u  w  Dua vektor yang saling sejajar, sudut antara keduanya sama dengan 0o. Jadi: u  v  u v cos 0  u v  Dua vektor yang saling tegak lurus, sudut antara keduanya sama dengan 90 o. Jadi: u  v  u v cos 90  0  Dua vektor yang berlawanan arah, sudut antara keduanya sama dengan 180 o. Jadi: u  v  u v cos 180   u v Tanda dari hasil kali skalar:

Jika

0    90

maka u  v  0

  90

maka u  v  0

90    180

maka u  v  0

F. Perkalian Silang Vektor (Cross Product) uxv

Jika diketahui vektor u dan v, sudut yang dibentuk oleh keduanya sama dengan  , maka: u x v  u v sin v 

u

Modul 12.1.4 VEKTOR

Perkalian silang vektor menghasilkan sebuah vektor. Arah vektor hasil perkalian silang adalah tegak lurus pada kedua vektor dan memenuhi aturan tangan kanan.

Halaman 16

Z

i  i  i i sin 0o  0

j  j  j j sin 0o  0

karena sejajar

o

k (0,0,1)

k  k  k k sin 0  0 Y

O

j (0,1,0)

i (1,0,0) X

i  j  i j sin 90o  1 (karena i  j)

menurut aturan tangan kanan maka:

i j k jk  i k i  j j  i  k k  j  i i  k  j Hasil perkalian silang ini memiliki sifat urutan berputar dan dapat diingat dengan berpedoman pada gambar lingkaran di samping. Perkalian skalar dua vektor dalam bentuk komponen: Salah satu cara untuk menentukan perkalian silang vektor dalam bentuk komponen adalah dengan berpedoman pada penentuan nilai determinan matriks ordo 3 dengan cara Sarrus. Misalkan vektor u  u1i  u2 j  u3k dan

j

i k

v  v1i  v2 j  v3k Maka: u x v  (u1i  u2 j  u3k ) x (v1i  v2 j  v3k )

Sifat-sifat perkalian silang vektor:  uxv v xu  u x v  (v x u )

i j k i j k i j u x v  u1 u2 u3  u1 u2 u3 u1 u2 v1 v 2 v3 v1 v2 v 3 v1 v2 -

-

-

+

+



( ku ) x v  k(u x v )  u( kv ) u x (v  w )  (u x v )  (u x w)



u  (v x w )  (u x v )  w

 +

u x v  (u2v3i  u3v1 j  u1v2k )  (u2v1k  u3v2i  u1v3 j ) u x v  (u2v3  u3v2 )i  (u3v1  u1v3 ) j  (u1v2  u2v1 )k  u2v 3  u3v 2    u x v   u3v1  u1v 3  u v  u v  2 1  1 2

Contoh : Ditentukan vektor a  3i  2 j  2k dan b  i  4 j  3k . Hitunglah a x b .

Jawab: i j k i j k i j a x b  3 2 2  3 2 2 3 2 1 4 3 1 4 3 1 4

Modul 12.1.4 VEKTOR

Halaman 17

i j k i j k i j a x b  3 2 2  3 2 2 3 2 1 4 3 1 4 3 1 4 -

-

-

+

+

+

a x b  ( 2(3)i  ( 2)1 j  ( 3)(4)k )  ( 2(1)k  ( 2)(4)i  ( 3)3 j ) a x b  (6 - 8)i  ( 2  9) j  (12  2)k a x b  2i  7 j  10k

G. Sudut antara Dua Vektor di Ruang (R3) Z

Dari rumus: u  v  u v cos   cos  

u3k u 

Y





u2j

u1i X

Misalkan:  sudut antara vektor satuan i dengan vektor u  sudut antara vektor satuan j dengan vektor u  sudut antara vektor satuan k dengan vektor u Sudut-sudut , ,  disebut sudut-sudut arah vektor u dan cosinus dari sudut-sudut tersebut dinamakan cosinus arah. Jika u  u1i  u2 j  u3k diperoleh: cos  

Z

u  i u1  ui u

cos  

u  j u2  u j u

cos  

u  k u3  uk u

Vektor u  u1i  u2 j  u3k dan v  v1i  v2 j  v3k

u 

u v uv

v Y

O

Sudut antara kedua vektor: u1v1  u2v2  u3v3 u v cos    uv u12  u22  u32  v12  v22  v32

X

Contoh : Tentukan besar sudut antara vektor u  3i  2 j  k dengan sumbu-sumbu koordinat.

Jawab: Misalkan:  sudut antara vektor u dengan sumbu X  sudut antara vektor u dengan sumbu Y  sudut antara vektor u dengan sumbu Z u  32  ( 2)2  12  14

 3 14  3 14   36,7o    arc cos    14 14 14    2 14  u 2 2 14   122,3o cos   2       arc cos     14 14 u 14     u 1 14 14  cos   3      arc cos   74,5o   14 14 u 14  

u cos   1  u

3



Contoh : Diketahui vektor a  ( 1, 0, 2) dan b  ( 3, 0, 1) . Tentukan besar sudut antara vektor a dan b.

Jawab: Misalkan  adalah sudut antara vektor a dan b Modul 12.1.4 VEKTOR

Halaman 18

cos  

ab  ab

cos  

1( 3)  0( 0 )  2(1) ( 1)2  02  22  ( 3)2  02  12

5 5  10



5 5 2



1 1  2    arc cos  2   45o 2 2 

Jadi besar sudut antara vektor a dan b adalah 45o

Kerjakan soal-soal berikut supaya anda lebih memahami uraian materi kegiatan belajar . Jangan membaca/melihat petunjuk mengerjakan latihan ( kunci jawaban ) sebelum anda coba mengerjakannya. Petunjuk untuk mengerjakan latihan hanya sebagai panduan bila anda mengalami kesulitan menjawab soal berikut ini. Kegiatan 12.1.4.3 : 1. Diberikan vektor–vektor a = 4i – 2j + 2k dan b = i + j + 2k. Besar sudut yang dibentuk vektor a dan b sama dengan … 























2. Diketahui vektor a  6 i  3 j  3 k , b  2 i  j  3 k dan c  5 i  2 j  3 k . Besar sudut    antara vektor a dan b  c adalah ....          3. Diketahui vektor a  i  2 j  2 k dan b   i  j . Besar sudut antara vektor a dan b adalah .... 4. Diketahui balok ABCD EFGH dengan AB = 2 cm, BC = 3 cm, dan AE = 4 cm. Jika

AC

wakil vektor u dan wakil DH adalah vektor v, maka sudut antara vektor u dan v adalah … 5. Diketahui a 

2, b 

9 , a  b  5 . Besar sudut antara vektor

a dan vektor b

adalah …. 6. Diketahui a  6 , ( a – b ).( a + b ) =0, dan a . ( a – b ) = 3. Besar sudut antara vektor a dan b adalah …. 7. Diketahui segitiga ABC dengan A(2, 1, 2), B(6, 1, 2), dan C(6, 5, 2). Jika u mewakili AB dan v mewakili AC , maka sudut yang dibentuk oleh vektor u dan v adalah …

8. Diketahui a = 3i – 2j + k dan b =2i – j + 4k. Jika a dan b membentuk sudut , maka nilai sin  = .... 9. Diketahui a = i + 2j – 3k dan b = 2i + 2j – k, jika a dan b membentuk sudut , maka tan  = ... .

Modul 12.1.4 VEKTOR

Halaman 19

10. Diberikan vektor a =

 2     p  dengan   2 2 

p  Real dan vektor b =

1     1 .    2

Jika a dan b

membentuk sudut 60º, maka kosinus sudut antara vektor a dan a + b adalah … 11. Diketahui titik A(5, 1, 3), B(2, –1, –1), dan C(4, 2, –4). Tentukanlah nilai sin B. 12. Diketahui titik A(5, –1, –2), B(6, 3, 6), dan C(2, 5, 10), bila a wakil dari vektor AB dan b wakil dari BC , tentukanlah kosinus sudut antara a dan b Jika anda sudah menyelesaikan kegiatan cocokkan jawaban anda pada kunci jawaban yang berada dibelakang modul ini. Setelah anda cocokkan berilah nilai kegiatan anda didalam mengerjakan kegiatan 12.1.4.3  Jika nilai perolehan < 75 , artinya anda belum paham tentang perkalian vektor, maka anda harus mengulang kembali membaca dan memahami konsep tentang perkalian vektor diatas.  Jika nilai perolehan ≥ 75 maka anda boleh meneruskan pada kegiatan modul berikut ini.

H. Vektor Proyeksi P

u  O

c

Q R

v

Jika u dan v dua vektor bukan nol, maka: 1. panjang proyeksi (proyeksi skalar ortogonal) u pada v = | c | =

2. vektor proyeksi (proyeksi vektor ortogonal) u pada v = c =

uv |v|

uv | v |2

v

Contoh : Tentukan proyeksi vektor 𝑢 = Jawab :

2 6 ke vektor 𝑣 = dan panjang vektor itu 4 2

panjang proyeksi (proyeksi skalar ortogonal) u pada v = | c | = = Modul 12.1.4 VEKTOR

2 6 4 2 6 2+ 2 2

=

uv |v|

12+8 40

=

20 2 10

= 10 Halaman 20

Kegiatan 12.1.4.4 : Kerjakan soal-soal berikut supaya anda lebih memahami uraian materi kegiatan belajar . Jangan membaca/melihat petunjuk mengerjakan latihan ( kunci jawaban ) sebelum anda coba mengerjakannya. Petunjuk untuk mengerjakan latihan hanya sebagai panduan bila and a mengalami kesulitan menjawab soal berikut ini.

1. Jika w adalah hasil proyeksi orthogonal dari vektor v =

2      3  terhadap 4   

vektor u =

  1   2  ,   1  

maka w = … 2. Proyeksi vektor ortogonal v = (1 3 3) pada u = (4 2 2) adalah … 3. Diketahui vektor a = 4i – 2j + 2k dan vektor b = 2i – 6j + 4k. Proyeksi vektor orthogonal vektor a pada vektor b adalah … 4. Diketahui vektor a = 2i – 4j – 6k dan vektor b = 2i – 2j + 4k. Proyeksi vektor orthogonal vektor a pada vektor b adalah … 5. Diketahui vektor a  i  2 j  k dan vektor

b  i  j  k . Proyeksi ortogonal vektor a

pada b adalah … 6. Diketahui koordinat A(–4, 2, 3), B(7, 8, –1), dan C(1, 0, 7). Jika AB wakil vektor u, AC wakil vektor v, maka proyeksi u pada v adalah … 7. Diketahui titik A(2,7,8), B(–1,1,–1) dan C(0,3,2). Jika AB wakil vektor u dan BC wakil vektor v, maka proyeksi orthogonal vektor u pada v adalah … 8. Diketahui segitiga ABC dengan titik A(2, –1, – 3), B(–1, 1, –11), dan C(4, –3, –2). Proyeksi vektor AB pada AC adalah … 9. Diketahui segitiga ABC dengan titik A(–2, 3, 1), B(1, –1, 0), dan C(–1, 1, 0). Proyeksi vektor AB terhadap AC adalah … 10. Diketahui segitiga ABC dengan A(2, –1, –1), B(–1, 4, –2), dan C(5, 0, –3). Proyeksi vektor AB pada AC adalah … 11. Panjang proyeksi vektor a  2i  8 j  4k pada vektor b  pj  4k adalah 8. Maka nilai p adalah .... 12. Jika vektor a = –3i – j + xk dan vektor b = 3i – 2j + 6k. Jika panjang proyeksi vektor a pada b adalah 5, maka nilai x = … 13. Diketahui p = 6i + 7j – 6k dan q = xi + j + 4k. Jika panjang proyeksi q pada p adalah 2, maka x adalah … Modul 12.1.4 VEKTOR

Halaman 21

Jika anda sudah menyelesaikan kegiatan cocokkan jawaban anda pada kunci jawaban yang berada dibelakang modul ini. Setelah anda cocokkan berilah nilai kegiatan anda didalam mengerjakan kegiatan 12.1.4.4  Jika nilai perolehan < 75 , artinya anda belum paham tentang proyeksi suatu vektor, maka anda harus mengulang kembali membaca dan memahami konsep tentang proyeksi suatu vektor diatas.  Jika nilai perolehan ≥ 75 maka anda boleh meneruskan pada kegiatan modul berikut ini Berupa tes akhir modul. Persiapkan diri anda

Daftar Pustaka Anton, Howard., Elementary Linear Algebra (Fourth Edition). John Wiley & Sons, Inc., Canada, 1984. Depdiknas., Kurikulum 2004(Standar Kompetensi Mata Pelajaran Matematika SMA dan MA). Departeman Pendidikan Nasional, Jakarta, 2003. (----------)., Broad Based Education(Buku II). Departemen Pendidikan Nasional, Jakarta, 2003. Holland, D-Treeby, T., Vektor (Pure and Applied). Edward Arnold Limited, London, 1983. Muharti HW., Ilmu Ukur Analit Ruang, FPMIPA IKIP Yogyakarta, 1975. Raharjo, Marsudi., Vektor R2 dan R3 (Standar Bahan Ajar Penataran Matematika Guru SMA), PPPG Matematika, Yogyakarta, 2000. Thomas, George B – Finley, Ross L., Calculus and Analytic Geometry. Addisson Wesley Publishing Co, Boston, 1986

Modul 12.1.4 VEKTOR

Halaman 22