Večerní kurzy matematiky Letní studentská konference Tudy Cesta Nevede 1
Výroková logika
výroky:A,B pravdivost výroku: 0 – nepravda, 1 – pravda logické spojky: ¬A – negace A A∧B – konjunkce A∨B – disjunkce A⇒B – implikace A⇔B – ekvivalence A B ¬A 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1
A∧B 1 0 0 0
A∨B 1 1 1 0
A⇒B A⇔B 1 1 0 0 1 0 1 1
Tabulka 1: Tabulka pravdivostních hodnot A∧B ⇔ ¬(A⇒ ¬B)
2
A∨B ⇔ ¬A⇒B
A⇔B ⇔ (A⇒B ∧ B⇒A)
Jak na kvantifikátory
Existují dva kvantifikátory: • ∀ – tzv. obecný kvantifikátor, pro každé ∀x • ∃ – tzv. existenční kvantifikátor, existuje nějaké ∃x (∃1 x – existuje právě jedno x ) Např.:∀x ∈ R – pro každé reálné číslo x Pozor na pořadí kvantifikátorů: Srovnejte výroky: (∀x ∈ R)(∃y ∈ R)(x + y = 2) (∃y ∈ R)(∀x ∈ R)(x + y = 2) Zapsat různě: Žádný kořen rovnice x3 − x + 3 = 0 není kladný. (∀x ∈ R)(x3 − x + 3 = 0 ⇒ x ≤ 0) (∀x ∈ R)(x3 − x + 3 = 0)(x ≤ 0) (∀x ∈ R)(x > 0)(x3 − x + 3 6= 0) (∀x ∈ R)(x ≤ 0 ∨ x3 − x + 3 6= 0)
1
2.1
Definice omezenosti
Definice: Řekneme, že množina A ⊂ R je omezená shora, když (∃K ∈ R)(∀x ∈ A)(x ≤ K) Takové K nazýváme horní závorou množiny A. Množinu všech horních závor značíme A∗ . Definice: Nechť A ⊂ R. Řekneme, že číslo a ∈ A je maximem množiny A, když platí (∀x ∈ A)(x ≤ a) Definice: Řekneme, že množina A ⊂ R je omezená zdola, když (∃H ∈ R)(∀x ∈ A)(x ≥ H) Takové H nazýváme dolní závorou množiny A. Množinu všech dolních závor značíme A∗ . Definice: Nechť A ⊂ R. Řekneme, že číslo a ∈ A je minimem množiny A, když platí (∀x ∈ A)(x ≥ a) Definice: Řekneme, že množina A je omezená, právě když je omezená shora i zdola.
2.2
Příklady na omezenost
Napsat podmínku neomezenosti (shora či zdola) tj. negaci definice. Vyšetřit omezenost: A = {3 − n|n ∈ N} A = {x|x10 + x7 − 33 = 0} 1 √ A = { √n+1− |n ∈ N} n √ √ A = { 3 n + 1 − 3 n|n ∈ N} omezenost shora
3 3.1
Supremum a infimum množiny Definice suprema a infima
Vlastnosti suprema β množiny A 1. (∀x ∈ A)(x ≤ β) tj. β je horní závora 2. (∀β 0 ∈ R, β 0 < β)(∃x ∈ A)(β 0 < x) tj. nic menšího už není horní závora Druhá vlastnost lze pro reálné β přepsat: (∀ε > 0)(∃x ∈ A)(β − ε < x) Vlastnosti infima α množiny A 1. (∀x ∈ A)(x ≥ α) tj. α je dolní závora 2. (∀α0 ∈ R, α0 > α)(∃x ∈ A)(α0 > x) tj. nic menšího už není dolní závora Druhá vlastnost lze pro reálné α přepsat: (∀ε > 0)(∃x ∈ A)(α + ε > x)
3.2
Příklady k supremu a infimu
n |n ∈ N} = Dokažte: inf{ n+1 n sup{ n+1 |n ∈ N} = 1
1 2
2
inf{n2 + n + 1|n ∈ N} = 3 sup{n2 + n + 1|n ∈ N} = +∞ 2 inf{ 2n n+n+11 |n ∈ N} = 2 2 +5 2n2 +n+11 sup{ n2 +5 |n ∈ N} = 73 |n ∈ N} = − 72 inf{ −9n26n−5 +27n−20 sup{ −9n26n−5 |n ∈ N} = 0 +27n−20 2n3 −n2 +1 inf{ −n3 −n+1 |n > 1, n ∈ N} = −2 3 −n2 +1 sup{ 2n |n > 1, n ∈ N} = − 13 −n3 −n+1 9 n 2
n +1 inf{ (−1) |n ∈ N} = −5 n2 −4n+5 n 2
n +1 sup{ (−1) |n ∈ N} = 5 √n2 −4n+5 √ inf{ √n + 1 − √n|n ∈ N} = 0 1 sup{ n + 1 − n|n ∈ N} = √2+1 x inf{ |x|+1 |x ∈ R} = −1 x sup{ |x|+1 |x ∈ R} = 1 inf{x3 − x2 − x + 2|x ∈< 0, 2 >} = 1 sup{x3 − x2 − x + 2|x ∈< 0, 2 >} = 4 n (−1)n+1 + |n ∈ N} = 0 inf{ 1+(−1) 2 n (−1)n+1 1+(−1)n + n |n ∈ N} = 1 sup{ 2 4x6 −3x2 +x+5 inf{ x6 −x2 +1 |x ∈ R} = 4
4
Okolí bodů
Definice: Nechť a ∈ R, ε ∈ R, ε > 0. Otevřený interval (a − ε, a + ε) nazýváme ε-okolím bodu a v R a značíme Ha (ε). Definice: Nechť a ∈ R, ε ∈ R, ε > 0. Otevřený interval (a, a + ε), resp. (a − ε, a) nazýváme pravým, resp. levým ε-okolím bodu a v R a značíme Ha+ (ε), resp. Ha− (ε). Definice: Nechť α ∈ R, α > 0. Otevřený interval (α, +∞) nazýváme α-okolím bodu +∞ v R a značíme H+∞ (α). Otevřený interval (−∞, −α) nazýváme α-okolím bodu -∞ v R a značíme H−∞ (α). Definice: Nechť a ∈ C, ε ∈ R, ε > 0. Otevřený kruh {z ∈ C||z − a| < ε} nazýváme ε-okolím bodu a v C a značíme Ha (ε). Definice: Nechť α ∈ R, α > 0. Množinu {z ∈ C||z| > α} nazýváme α-okolím bodu ∞ v C a značíme H∞ (α).
5 5.1
Číselné posloupnosti Zadefinování posloupnosti
Definice: Jestliže x a y jsou prvky nějakých množin, zavedeme symbol (x, y) pro uspořádanou dvojici prvků. Tedy (x, y) = (t, z) právě když x = t a y = z. Definice: Nechť A, B jsou množiny. Symbolem A × B označujeme množinu všech uspořádaných
3
dvojic tvaru (x, y), kde x ∈ A, y ∈ B.Tedy A × B = {(x, y)|x ∈ A, y ∈ B} A × B nazýváme kartézský součin množin A a B. Definice: Relace mezi množinami A a B je libovolná podmnožina R kartézského součinu A a B. Je-li B = A, pak mluvíme o relaci na A. Náleží-li dvojice (x, y) ∈ R, říkáme, že x, y jsou v relaci R a zapisujeme též xRy. Definice: Zobrazení množiny A do množiny B 1 je relace f ⊂ A × B, splňující dodatečnou podmínku, že pro každý prvek x ∈ A existuje jediný prvek y ∈ B tak, že xf y. To, že f je zobrazení množiny A do B zapisujeme f : A 7→ B. Množina A se nazývá definiční obor, značíme Df ; množina B obor hodnot Hf . Definice: Zobrazení množiny N do nějaké neprázdné množiny A nazýváme posloupnost. Speciálně: • když A = R nebo C, mluvíme o číselné posloupnosti • když A = C, mluvíme o komplexní posloupnosti • když A = R, mluvíme o reálné posloupnosti Značíme (an )n∈N nebo (an )+∞ n=1 nebo prostě (an ) Obraz množiny M při zobrazení f : A 7→ B f (M ) = {y ∈ B|(∃x ∈ M )(f (x) = y)} Vzor množiny M při zobrazení f : A 7→ B f −1 (M ) = {x ∈ A|(∃y ∈ M )(y = f (x))} Vlastnosti posloupností: Pro komplexní omezenost. Pro reálnou omezenost shora, zdola, monotonie – rostoucí, klesající, monotonní, ostře rostoucí, ostře klesající, ryze monotonní.
5.2
Limita číselné posloupnosti
Definice: Řekneme, že reálná posloupnost (an )+∞ n=1 má limitu a ∈ R, když (∀Ha ⊂ R)(∃n0 ∈ R)(∀n ∈ N, n > n0 )(an ∈ Ha ). Řekneme, že komplexní posloupnost (an )+∞ n=1 má limitu a ∈ C, když (∀Ha ⊂ C)(∃n0 ∈ R)(∀n ∈ N, n > n0 )(an ∈ Ha ). Zapisujeme lim an = a. Přepis definice pro reálnou posloupnost když a ∈ R: (∀ε ∈ R, ε > 0)(∃n0 ∈ R)(∀n ∈ N, n > n0 )(|an − a| < ε). Přepis definice pro reálnou posloupnost když a = +∞ (∀α ∈ R, α > 0)(∃n0 ∈ R)(∀n ∈ N, n > n0 )(an > α). 1
Speciálně: Zobrazení z číselné množiny do číselné množiny nazýváme funkce.
4
5.3
Příklady k posloupnostem
asi z Děmidoviče
6
Druhy důkazů • sporem Věta: Každá číselná posloupnost má nejvýše jednu limitu. Nejdříve si uvědomme, že pro a, b ∈ R, a 6= b existují disjunktní okolí těchto bodů. • indukcí Dokažte binomickou větu n
(a + b) =
n µ ¶ X n k=0
Dokažte:
µ (∀n ∈ N)(n > 1)
k
ak bn−k
1 1 1 1 13 + + + ... + > n+1 n+2 n+3 2n 24
¶
• přímý – používá se k důkazu implikací • nepřímý – též k důkazu implikace, dokazujeme, že negace tvrzení implikuje negaci předpokladu
5
