Fejezet tartalma
Vissza
Tartalomjegyzék
Deriválható függvények
111
V. Deriválható függvények 5.1. A derivált fogalmához vezető feladatok 1. A sebesség értelmezése Legyen az M egy egyenes vonalú egyenletes mozgást végző pont. Ez azt jelenti, hogy a mozgás pályája egyenes és az egyenlő időközökben megtett utak egymással egyenlők (a megtett út arányos az idővel). A mozgás v sebességét megkapjuk, ha megmérjük bizonyos számú t időegység alatt megtett út s hosszát, és ezt elosztjuk az s út megtételéhez szükséges s t idővel: v = . t Mivel a mozgó pont sebessége minden időszakban egyenlő v -vel, azt mondjuk, hogy e mozgás sebessége bármely időpillanatban éppen v -vel egyenlő. Tegyük fel most, hogy az M pont adott irányba egyenes vonalú, de nem egyenletes mozgást végez vagyis, hogy az egyenlő időközökben megtett utak általában nem egyenlők egymással (a megtett út nem arányos az idővel). Mit értünk tehát ebben az esetben a mozgó pont sebességén egy adott időpontban (a t időpillanatban)? Ha s (t ) -vel jelöljük a t idő alatt megtett utat, akkor a t0 és t időpontok között megtett út hossza ∆s = s (t ) − s (t0 ) . Ezt az utat a test ∆t = t − t0 idő alatt teszi meg. Tehát ezen az útszakaszon az átlagos közepes sebesség ∆s s (t ) − s (t0 ) vk = = t − t0 ∆t Ha ennek a kifejezésnek van határértéke, amikor t → t 0 , akkor azt mondjuk, hogy ez a határérték a test sebessége a t0 időpontban. Ezt a sebességet v (t0 ) -val jelöljük. Tehát s (t ) − s (t0 ) ∆s v (t0 ) = lim = lim , ∆t → 0 ∆t t →t0 t − t0 ha ez a határérték létezik. Megjegyzés. Bármilyen mennyiség változási sebességét ehhez hasonlóan értelmezzük. Ha f : D → \ egy M mennyiség időbeli változását leíró függvény (a változója a t -idő), akkor az M változásának sebessége a t0 időpillanatban a
f (t ) − f (t0 ) ∆f = lim ∆t → 0 ∆t t →t0 t − t0
vM (t0 ) = lim
határérték, ha ez létezik. 2. Az érintő probléma Tekintsük az f : [0, π ] → \ , f (x ) = sin x függvényt. Jelöljük m(x ) -szel az
π 2 és M (x , sin x ) pontokon áthaladó egyenes iránytényezőjét. M 0 , 4 2
Tartalomjegyzék
Fejezet tartalma 112
Deriválható függvények
Van-e a αx függvénynek határértéke, ha π x→ ? 4 Az M 0M húr iránytangensét vizsgáljuk: π sin x − sin 4. m(x ) = π x− 4 Tehát meg kell vizsgálnunk, hogy létezik-e az
M0
17. ábra
sin x − sin m = limπ m(x ) = limπ x→
4
x→
M(x, sinx) αx
4
x−
π 4
π 4
határérték. Alakítsuk át a kifejezést:
π π π x+ x− π 4 cos 4 4 sin x+ 2 2 = cos 4⋅ 2 . π π 2 x− x− 4 4 2 π x− π π 4 x+ sin x − sin sin 4 = lim cos 4 ⋅ lim 2 = Tehát a határérték: limπ π π π π x→ x→ x→ 2 x− x− 4 4 4 4 4 2 π x− π sin t π 2 4 és t → 0 , ha x → π . = cos ⋅ lim = 1 ⋅ cos = , ahol t = t → 0 4 t 4 2 2 4 π π 2 Mivel a húrok egyre jobban közelednek az M 0 , sin ponton áthaladó m = 4 2 4 iránytényezőjű egyeneshez azt mondjuk, hogy ez az egyenes az f grafikus képéhez húzott érintő az M 0 pontban. Tehát az érintő egyenlete π sin x − sin 2 sin 4 = π x− 4
x−
2 2 π x − . = 2 2 4 Általában, ha f : D → \ egy függvény és x 0 ∈ D egy torlódási pontja D -nek, akkor f (x ) − f (x 0 ) alakúak, tehát ha az x 0 ponton áthaladó húrok iránytényezői m(x ) = x − x0 f (x ) − f (x 0 ) létezik a lim határérték, akkor azt mondjuk, hogy a függvény grafikus x →x 0 x − x0 képének van érintője x 0 abszcisszájú pontban és az érintő iránytényezője az előbbi határérték. y−
Tartalomjegyzék
Fejezet tartalma Deriválható függvények
113
Megjegyzés. A kör esetén az érintőt úgy értelmeztük, mint egy egyenes, amely pontosan egy pontba metszi a kört. Ez az értelmezés általában nem használható. Például az f : \ → \ , f (x ) = x függvény grafikus képét az origón áthaladó összes egyenes egy pontban metszi, mégsem mondanánk azt, hogy ezek érintik a grafikus képet (lásd a 18. ábrát). y
18. ábra
O
x
5.2. A derivált értelmezése
f (x ) − f (x 0 ) alakú x →x 0 x − x0 határértékekehez juttunk. Ez motiválja a következő fogalom bevezetését. Értelmezés. Legyen x 0 ∈ D a D halmaz egy torlódási pontja. Azt mondjuk, hogy az f : D → \ függvénynek az x 0 pontban van deriváltja, ha létezik a Az
előbbi
problémák
lim
mindegyikében
f (x ) − f (x 0 )
határérték. Ezt a határértéket nevezzük a függvény x 0 pontbeli x − x0 deriváltjának (vagy differenciálhányadosának) és így jelöljük: f (x ) − f (x 0 ) ∆f f ′ (x 0 ) = lim . = lim x →x 0 ∆x → 0 ∆x x − x0
lim
x →x 0
y
M(x, f(x))
M0
f(x)
f(x0)
19. ábra
α O
x0
x
x
Értelmezés. Az f : D → \ függvényt deriválhatónak nevezzük az x 0 helyen, ha az f ′ (x 0 ) = lim x →x 0
f (x ) − f (x 0 ) x − x0
határérték létezik és véges.
Tartalomjegyzék
Fejezet tartalma 114
Deriválható függvények
Megjegyzés. Ha létezik az f ′ (x 0 ) véges szám akkor minden ε > 0 számhoz van olyan δ > 0 , hogy ha 0 < x − x 0 < δ akkor Ezt a lim
f (x ) − f (x 0 ) − f ′ (x 0 )(x − x 0 ) x − x0
x →x 0
f (x ) − f (x 0 ) x − x0
− f ′ (x 0 ) < ε .
= 0 alakban is írhatjuk.
Értelmezés. 1. Ha az f függvény az E ⊆ D halmaz minden pontjában deriválható, akkor azt mondjuk, hogy az f függvény az E halmazon deriválható függvény. 2. Azt az f ′ : E → \ függvényt, amely minden x ∈ E esetén f ′ (x 0 ) -val egyenlő az f függvény derivált függvényének nevezzük (vagy röviden deriváltjának) és f ′ -tal df -el jelöljük. (Leibniz jelölése) vagy dx A derivált geometriai jelentése. A bevezető problémák alapján azt mondjuki,
(
)
hogy az f függvény grafikus képének az M 0 x 0 , f (x 0 ) pontjában létezik érintője, ha létezik az f függvénynek az x 0 pontjában a deriváltja (differenciálhányadosa). Az érintő iránytangense f ′ (x 0 ) = m , tehát az érintő egyenlete
y − f (x 0 ) = f ′ (x 0 ) ⋅ (x − x 0 ) . Példák. 1. Vizsgáljuk az f : \ → \ , f (x ) = x 2 függvény deriválhatóságát. Megoldás. Rögzítsünk egy x 0 ∈ \ pontot és tekintsük az x 0 -ban a következő határértéket: f (x ) − f (x 0 ) (x − x 0 )(x + x 0 ) lim = lim = lim (x + x 0 ) = 2x 0 . x →x 0 x →x 0 x →x 0 x − x0 x − x0 Tehát az f függvény az x 0 pontban deriválható és f ′ (x 0 ) = 2x 0 . Az x 0 ∈ \ pont semmilyen különleges tulajdonságát nem használtuk fel, ezért a függvény minden x ∈ \ pontban deriválható és a derivált függvény f ′ : \ → \ , f ′ (x ) = 2x . Az eredmény szemléletesen azt jelenti, hogy az y = x 2 parabolának minden pontjában
(
)
van érintője. Az M 0 x 0 , x 02 pontbeli érintő egyenlete y − x 02 = 2x 0 (x − x 0 ) vagy
y = 2x 0 ⋅ x − x 02 . f : \ → \ , f (x ) = x n ,
2. Tanulmányozzuk az deriválhatóságát. Megoldás. Rögzítsünk egy x 0 ∈ \ pontot.
lim
x →x 0
f (x ) − f (x 0 ) x − x0
= lim x →x 0
ahol
n∈`
n −1 x n − x 0n = lim ∑ x n −1−k x 0k = n ⋅ x 0n −1 , x →x 0 x − x0 k =0
függvény
Fejezet tartalma
Tartalomjegyzék
Deriválható függvények
115
mert lim x n −1−k x 0k = x 0n −1 , ha k ∈ {1, 2, 3,..., n − 1} és az összegnek n tagja van. x →x 0
Tehát a függvény minden x 0 ∈ \ pontban deriválható és f ′ (x 0 ) = n ⋅ x 0n −1 . Így a vizsgált függvény derivált függvénye (vagy egyszerűen a deriváltja): f ′ : \ → \ , f ′ (x ) = n ⋅ x n −1 , ∀ x ∈ \ . Következmény. Az f : \ → \ , f (x ) = c , ahol c ∈ \ , egy adott állandó függvény deriváltja minden x 0 ∈ \ pontban f ′ (x 0 ) = 0 . 3. Tanulmányozzuk az f : \ → \ , f (x ) = x függvény deriválhatóságát! x Megoldás. Rögzítsünk először egy x 0 > 0 számot. Ha x − x 0 < 0 akkor x is 2 f (x ) − f (x 0 ) x − x0 x − x0 pozitív (x > 0) és így lim = lim = lim = 1 . Tehát x →x 0 x → x x → x 0 0 x − x0 x − x0 x − x0 f ′ (x 0 ) = 1 , ha x 0 > 0 . Ha x 0 < 0 akkor az előzőkhöz hasonlóan
f (x ) − f (x 0 )
x − x0 x − x0 = − lim = −1 , tehát f ′ (x 0 ) = −1 ha x →x 0 x → x x → x 0 0 x − x0 x − x0 x − x0 1, ha x > 0 f (x ) − f (x 0 ) x = = x 0 < 0 . Ha x 0 = 0 akkor . Ebből leolvasható, x − x0 x −1, ha x < 0 hogy az x 0 = 0 pontban nem létezik az f deriváltja. Tehát az f függvény az \ * halmazon deriválható. lim
= lim
5.3. Deriválható függvények folytonossága Tétel. Ha az f : D → \ függvény deriválható az x 0 ∈ D pontban, akkor ez a függvény folytonos az x 0 pontban. Bizonyítás. Az értelmezés alapján x 0 torlódási pontja D -nek és
f ′ (x 0 ) =
f (x ) − f (x 0 ) x − x0
+ α (x ) , ahol lim α (x ) = 0 , tehát
f (x ) − f (x 0 ) x − x0
x →x 0
= f ′ (x 0 ) − α (x ) és így
f (x ) = f (x 0 ) + f ′ (x 0 )(x − x 0 ) − α (x ) (x − x 0 ) . Ebből kapjuk, hogy lim f (x ) = f (x 0 ) , ami azt jelenti, hogy f folytonos az x 0 ∈ D x →x 0
pontban. 5.4. Jobb- és baloldali derivált A jobb- és baloldali határértékhez hasonlóan értelmezhetjük egy függvény jobbilletve baloldali deriváltját is.
Tartalomjegyzék
Fejezet tartalma 116
Deriválható függvények
(
)
Értelmezés. 1. Ha x 0 ∈ D torlódási pontja a −∞, x 0 ∩ D halmaznak és létezik a lim x →x 0 x <x 0
f (x ) − f (x 0 ) x − x0
határérték, akkor ezt az f függvény baloldali deriváltjának
nevezzük az x 0 pontban és fb ′ (x 0 ) -val vagy f ′ (x 0 − 0) -val jelöljük. Tehát f (x ) − f (x 0 ) fb ′ (x 0 ) = f ′ (x 0 − 0) = lim x →x 0 x − x0 x <x 0
2. Ha x 0 ∈ D
lim
x →x 0 x >x 0
f (x ) − f (x 0 ) x − x0
torlódási pontja a
(x , + ∞) ∩ D
halmaznak és létezik a
0
határérték, akkor ezt az f függvény jobboldali deriváltjának
nevezzük x 0 pontban és f j ′ (x 0 ) -val vagy f ′ (x 0 + 0) -val jelöljük. Tehát
f j ′ (x 0 ) = f ′ (x 0 + 0) = lim x →x 0 x >x 0
Megjegyzés. Ha x 0
torlódási pontja a
f (x ) − f (x 0 ) x − x0
(−∞, x ) ∩ D 0
. és
(x , + ∞) ∩ D 0
halmazoknak, az f : D → \ függvény pontosan akkor deriválható az x 0 pontban, ha
fb ′ (x 0 ) = f j ′ (x 0 ) . Gyakorlatok 1. Deriválhatók-e az alábbi függvények a megadott pontokban? a) f (x ) = x ⋅ x , az x 0 = 0 pontban; b) f (x ) = ln x , az x 0 = 1 és x 0 = −1 pontokban; 2
3
c) f (x ) = (x − 1) (x + 1) , az x 0 = −1 és x 0 = 1 pontokban;
sin2 x az x 0 = −1 és x 0 = 1 pontokban; ex + x + 1 1 − x 2 , ha x ≤ 1 az x 0 = 1 és x 0 = −1 pontokban; e) f (x ) = 1 − x , ha x > 1 1 f) f (x ) = arccos (4x − 1) az x 0 = pontban; 4 ln (x 2 + 1), x ≥ 0 az x 0 = 0 pontban; g) f (x ) = 7 x + 5x 4 , x <0 3 x + 1, x ≥ −1 az x 0 = −1 pontban; h) f (x ) = x + 1 , x < −1 x − 1 d) f (x ) =
Tartalomjegyzék
Fejezet tartalma Deriválható függvények
2.
117
3x − 1, x ≥ 0 i) f (x ) = az x 0 = 0 pontban. sin x , x <0 a) Határozd meg az a, b paraméterek értékét úgy, hogy az f : (0, ∞) → \ ,
(
ln 4 x , x ∈ 0, e függvény deriválható legyen e -ben. f (x ) = ax 2 + bx + c, x > e b) Határozd meg az a, b paraméterek értékét úgy, hogy az f : [−1,1] → \ ,
sin x , x ∈ −1, 0 x f (x ) = függvény deriválható legyen 0 -ban, majd bizonyítsd x 3 + ax + b, x ∈ 0, 1 be, hogy az így meghatározott a, b értékekre f (x ) ≤ 1, ∀ x ∈ [−1, 1] .
)
5.5. A gyökfüggvény deriváltja
(
)
Tekintsük az f : 0, + ∞ → \ , f (x ) = n x , n ∈ `* függvényt. x 0 > 0 esetén
lim
x →x 0
lim
x →x 0
=
n
x − n x0 x − x0
= lim x →x 0
n
x − n x0
n
(n x ) − (n x 0 ) n
=
x − n x0
( n x − n x 0 ) ( n x n −1 + n x n −2x 0 1
n
n
x 0n −1 + n x 0n −1 + ... + n x 0n −1
=
+ ... + n x 0n −1
1 n n x 0n −1
=
)
=
1 n1 −1 ⋅ x0 . n
Az f tehát minden x > 0 pontban deriválható és
1
′
1
1
1
. ( n x )′ = x n = ⋅ x n = n n ⋅ n x n −1 Gyakorlatok. Határozd meg a következő függvények maximális deriválhatósági tartományát és számítsd ki a deriváltját: −1
2
1. f (x ) = 5 x ; 2. f (x ) = x 3 ; 3. f (x ) = x 2 x ; 4. f (x ) = (2x + 1) ( 3 x + 3 x + 1) . 5.6. Az exponenciális függvény deriváltja Vizsgáljuk meg az f : \ → \ , f (x ) = a x , a > 0 , a ≠ 1 függvény deriválhatóságát. a x − a x0 a x −x 0 − 1 at − 1 lim = a x 0 ⋅ lim = a x 0 ⋅ lim = a x 0 ⋅ ln a . x →x 0 x − x x →x 0 x − x t →0 t 0 0 Tehát (a x )′ = a x ⋅ ln a . Sajátos esetben (e x )′ = e x .
Fejezet tartalma 118
Tartalomjegyzék
Deriválható függvények
5.7. A logaritmus függvény deriváltja
(
)
Legyen f : 0, + ∞ → \ , f (x ) = ln x és x 0 > 0 .
x − x 0 ln 1 + x 0 1 ln x − ln x 0 ln (1 + t ) 1 1 , = lim ⋅ = ⋅ lim = f ′ (x 0 ) = lim − x x x →x 0 x → x t → 0 0 0 x − x0 x0 x0 t x0 x0 ln x 1 tehát (ln x )′ = , ∀ x > 0 . Ebből és a loga x = egyenlőségből következik, ln a x 1 hogy (loga x )′ = . x ⋅ ln a 5.8. A szinusz és a koszinusz függvény deriváltja 1. Számítsuk ki az f : \ → \ , f (x ) = sin x függvény deriváltját! Rögzített x 0 ∈ \ esetén x − x0 x + x0 sin x − x 0 2 sin cos sin x − sin x 0 x x + = 0 2 2 2 lim cos = lim = lim x − x x →x 0 x →x 0 x →x 0 0 2 x − x0 x − x0 2 x − x0 sin x + x0 = lim x − x2 ⋅ lim cos = 1 ⋅ cos x 0 = cos x 0 , x →x 0 x → x 0 0 2 2 mert a koszinusz függvény minden x 0 ∈ \ pontban folytonos. Tehát a szinusz függvény minden pontban deriválható és (sin x )′ = cos x . 2. Számítsuk ki az f : \ → \ , f (x ) = cos x függvény deriváltját! Rögzített x 0 ∈ \ esetén: x + x0 x − x0 sin −2 sin cos x − cos x 0 2 2 = lim = lim x →x 0 x → x 0 x − x0 x − x0 x − x0 sin x + x0 = lim sin ⋅ lim x − x2 = − sin x 0 , tehát x →x 0 x →x 0 0 2 2 (cos x )′ = − sin x . 5.9. Műveletek deriválható függvényekkel Éppen úgy, mint a folytonosság vizsgálata esetén, azt várjuk, hogy a számolás szempontjából hasznos megállapítani, mit mondhatunk az összeg, szorzat, stb. differenciálhatóságáról (deriválhatóságról).
Fejezet tartalma
Tartalomjegyzék
Deriválható függvények
119
1. Az összeg deriváltja Tegyük fel, hogy az f , g : D → \ függvények deriválhatók a D tartomány
x 0 ∈ D torlódási pontjában. Deriválható-e az f + g függvény az x 0 pontban és ha igen, akkor hogyan számíthatjuk ki deriváltját? A feltevés szerint létezik f (x ) − f (x 0 ) g (x ) − g (x 0 ) lim = f ′ (x 0 ) és lim = g ′ (x 0 ) . Az ( f + g ) -hez tartozó x →x 0 x →x 0 x − x0 x − x0 hányados
( f + g ) (x ) − ( f + g ) (x 0 ) f (x ) + g (x ) − f (x 0 ) − g (x 0 ) = = x − x0 x − x0 =
f (x ) − f (x 0 ) x − x0
+
g (x ) − g (x 0 ) x − x0
,
és ebből
( f + g ) (x ) − ( f + g ) (x 0 ) = f ′ (x 0 ) + g ′ (x 0 ) , x →x 0 x − x0 azaz f + g deriválható és a deriváltja az f és g deriváltjainak összegével egyenlő. Rövid jelölés: (f + g )′ = f ′ + g ′ . Gyakorlatok 1. Számítsd ki a következő függvények deriváltját: 2 a) x + x 2 ; b) x + 3 ; c) (x 2 + x − 1) . lim
2. Számítsd ki a következő függvények deriváltját és állapítsd meg a deriválhatósági tartományt: a) f (x ) = sin x + cos x ; b) f (x ) = cos x − tg x ; c) f (x ) = ctg x + 5x ; x 1 1 1 d) f (x ) = log3 x − ; e) f (x ) = 5 x 3 + 4 x 3 ; f) f (x ) = e x + − 3 . 2 x x 3. Ha az f1, f2 , f3 , ... , fn függvények (n ∈ `* ) az x 0 pontban deriválhatók, akkor n
deriválható-e az f1 + f2 + f3 + ... + fn = ∑ fk függvény az x 0 pontban? Ha k =1
igen, mi a deriváltja? 4. Bizonyítsd be, hogy ha f és g deriválható az x 0 -ban akkor f − g is az, és
( f − g )′ (x 0 ) = f ′ (x 0 ) − g ′ (x 0 ) . 5. Ha f és g egyike sem deriválható az x 0 -ban, következik-e ebből, hogy f + g sem deriválható az x 0 -ban? 2. Szorzat deriváltja Tegyük fel, hogy az f , g : D → \ függvények deriválhatók a D tartomány
x 0 ∈ D torlódási pontjában. Deriválható-e az f ⋅ g függvény az x 0 pontban?
Tartalomjegyzék
Fejezet tartalma 120 A
Deriválható függvények feltevés
lim
x →x 0
g (x ) − g (x 0 ) x − x0
szerint
létezik
a
lim
f (x ) − f (x 0 )
x →x 0
x − x0
= f ′ (x 0 )
és
= g ′ (x 0 ) határérték. Az
f (x ) g (x ) − f (x 0 ) g (x 0 ) x − x0 =
=
f (x ) g (x ) − f (x 0 ) g (x ) + f (x 0 ) g (x ) − f (x 0 ) g (x 0 ) x − x0
f (x ) − f (x 0 ) x − x0
⋅ g (x ) + f (x 0 ) ⋅
f (x ) − f (x 0 ) x − x0
=
,
egyenlőség alapján ( fg ) (x ) − ( fg ) (x 0 ) lim = f ′ (x 0 ) ⋅ g (x 0 ) + f (x 0 ) ⋅ g ′ (x 0 ) . x →x 0 x − x0 Tehát ha az f és g függvény az x 0 pontban deriválható akkor az f ⋅ g függvény is deriválható ebben a pontban és a deriváltja ( fg )′ (x 0 ) = f ′ (x 0 ) g (x 0 ) + f (x 0 ) g ′ (x 0 ) . Rövid jelöléssel ( f ⋅ g )′ = f ′ ⋅ g + f ⋅ g ′ . Következmény. Ha az f : D → \ függvény deriválható a D tartomány x 0 ∈ D torlódási pontjában, akkor a (c ⋅ f ) : D → \ függvény ( c -állandó) is deriválható az x 0 ∈ D pontban és
(c ⋅ f )′ (x 0 ) = c ⋅ f ′ (x 0 ) . Gyakorlatok és feladatok 1. Deriválhatók-e a következő \ -en értelmezett függvények? Ha igen számítsd ki a deriváltjukat is. b) f (x ) = x 3 ; a) f (x ) = (x + 1) (2x 2 + 1) ; c) f (x ) = (3x 3 + x − 1)(x 2 − 4x + 5) ; d) f (x ) = x 2 − x + 2 . 2. Számítsd ki a következő függvények deriváltját és állapítsd meg a deriválhatósági tartományt! 1 b) f (x ) = x 2 ⋅ e x ; c) f (x ) = ⋅ sin x ; a) f (x ) = 3x ⋅ ln x ; x e) f (x ) = 5x ⋅ cos x ; f) f (x ) = ln 2 ⋅ (lg x ) ⋅ x ; d) f (x ) = 3 x ⋅ 3x ;
1 5 ⋅ ln x + 2x 3 ⋅ tg x ; h) f (x ) = 3 x ⋅ ctg x + ln 4 . 2 x 7 3. Ha az f1 , f2 , f3 függvények az x 0 pontban deriválhatók, akkor az f1 f2 f3 szorzat deriválható-e az x 0 pontban? Ha igen, mi a deriváltja? 4. Ha f1, f2 , ... , fn függvények deriválható függvények az x 0 pontban, akkor g) f (x ) =
Fejezet tartalma
Tartalomjegyzék
Deriválható függvények
121
n
f1 f2 ... fn = ∏ fk deriválható függvény-e és mennyi a deriváltja? k =1
5. Számítsd ki a következő függvények deriváltját: a) f (x ) = 10x ⋅ ln x ⋅ e x ; b) f (x ) = 7 x ⋅ sin x ⋅ tg x ; x 4 c) f (x ) = x ⋅ log 3 x ⋅ cos x ⋅ 5 . 6. a) Bizonyítsd be, hogy ha a P ∈ \ [X ] polinom gyökei az x 1, x 2 ,..., x n páronként különböző valós számok, akkor
{
P ′(x ) 1 1 1 , + + ... + = x − x1 x − x 2 x − xn P (x )
}
∀ x ∈ \ \ x 1, x 2 ,..., x n . 1 1 1 + + ... + összeget, ha x 1, x 2 ,..., x n a 1 + x1 1 + x 2 1 + xn P (X ) = X n − X + 1 polinom gyökei. 7. Ha az f és g nem deriválható az x 0 pontban következik-e ebből, hogy f ⋅ g sem deriválható az x 0 pontban? b) Számítsd ki az
3. Hányados deriváltja
f függvény deriválhatóságát az x 0 pontban ha g f , g : D → \ deriválhatók az x 0 ∈ D pontban és g (x 0 ) ≠ 0 ( x 0 torlódási pontja a Vizsgáljuk meg az
D -nek)! f 1 1 deriválhatóságát vizsgálni ha g deriválható = f ⋅ miatt elegendő az g g g az x 0 pontban és g (x 0 ) ≠ 0 . 1 1 − g (x ) g (x 0 ) g (x ) − g (x 0 ) g ′ (x ) 1 = − 2 0 , lim = lim ⋅ − x →x 0 x →x 0 g (x 0 ) g (x ) x − x0 x − x0 g (x 0 ) Az
1 ′ g ′ (x ) 1 f 1 is deriválható és (x 0 ) = − 2 0 . Így az = f ⋅ egyenlőség g g g g g x ( 0) f függvény is deriválható az x 0 pontban és alapján az g
Tehát az
f ′ ′ ′ (x ) = f ⋅ 1 (x ) = f ′ (x ) ⋅ 1 + f (x ) ⋅ 1 (x ) = 0 0 0 0 g 0 g (x 0 ) g g = f ′ (x 0 ) ⋅
f (x 0 ) ⋅ g ′ (x 0 ) f ′ (x 0 ) ⋅ g (x 0 ) − f (x 0 ) ⋅ g ′ (x 0 ) 1 . − = g (x 0 ) g 2 (x 0 ) g 2 (x 0 )
Fejezet tartalma 122
Tartalomjegyzék
Deriválható függvények
f ′ f ′g − fg ′ Érvényes tehát a következő deriválási szabály: = . g g2
Példák. 1. Az f , g : \ → \ , f (x ) = 2x 2 − x és g (x ) = x 4 + 2 függvények deriválhatók minden x ∈ \ pontban és g (x ) > 0 , ∀ x ∈ \ . Ezért
f minden g
pontban deriválható és 2x 3 − x ′ (6x 2 − 1)(x 4 + 2) − (2x 3 − x )(4x 3 ) −2x 6 + 3x 4 + 12x 2 − 2 = . = 2 2 x 4 + 2 (x 4 + 2) (x 4 + 1)
{ π2 + k π} → \ ,
sin x függvény az értelmezési cos x 1 tartomány minden pontjában deriválható és egyenlő -val ugyanis cos x 0 2. Az
f :\\
f (x ) = tgx =
sin x ′ cos x ⋅ cos x − sin x ⋅ (− sin x ) 1 π = = , x ≠ + k π (k ∈ ]) . (tgx )′ = 2 2 cos x 2 cos x cos x Hasonlóan az f (x ) = ctgx függvény esetén, ahol x ≠ k π (k ∈ ]) 1 cos x ′ − sin x ⋅ sin x − cos x . cos x = =− 2 . (ctgx )′ = 2 sin x sin x sin x Gyakorlatok 1. Számítsd ki az alábbi függvények deriváltját (a megadott pontban), határozd meg a függvény maximális értelmezési tartományát és maximális deriválhatósági tartományát: 1 2x − 3 a) f (x ) = 2 , x0 = 1 ; b) f (x ) = n , n ∈ `* , x 0 = 2 ; x x −x +1 2 x −x +1 x c) f (x ) = 2 , x 0 = −1 ; d) f (x ) = , x 0 = ±1 ; x +x +1 1+ x 4 x x x +1 (x ) = e) f (x ) = f , x = 0 ; f) ; g) f (x ) = ; 0 4 6 x +2 1+x 1 + x2 ln x + x x2 4 sin x h) f (x ) = ; i) f (x ) = ; j) f (x ) = ; 4 ln x − x 3 cos x + 1 1+x log 3 x ex − 1 tg x + sin x k) f (x ) = x ; l) f (x ) = ; m) f (x ) = . log3 x − 1 e +1 cos x + 2
Tartalomjegyzék
Fejezet tartalma Deriválható függvények
123
4. Összetett függvény deriváltja A sin 2x vagy sin 3 x függvények összetett függvények. Az f (x ) = sin (2x ) 3
vagy f (x ) = (sin x ) = sin 3 x függvény összetevői (komponensei) külön deriválhatók. Általában hogyan számolhatjuk ki az ( f D g ) (x ) = f [g (x )] függvény deriváltját (az x 0 pontban) az f és g deriváltjának segítségével? f (g (x )) − f (g (x 0 )) g (x ) − g (x ) f (g (x )) − f (g (x 0 )) 0 = lim ⋅ lim = x →x 0 x → x 0 x − x0 g (x ) − g (x 0 ) x − x0
= lim
f (u ) − f (u 0 ) u − u0
u →u0
⋅ lim x →x 0
g (x ) − g (x 0 ) x − x0
,
ahol u = g (x ) , u 0 = g (x 0 ) . Ha x → x 0 akkor u → u0 = g (x 0 ) , tehát
lim
f (g (x )) − f (g (x 0 )) x − x0
x →x 0
= f ′ (g (x 0 )) ⋅ g ′ (x 0 ) .
Röviden:
( f D g )′ (x ) = f ′ (g (x )) ⋅ g ′ (x ) . 2
1
Példák. 1. Az f (x ) = x 3 = 3 x 2 függvény az x 2 és x 3 összetevéséből származik.
1 ′ 2 ′ 1 − 23 2 23 −1 2 − 13 2 ′ 3 3 ) ′ ( x x és , tehát f x x x = = = = x . x = 2 x ( ) 3 3 3 Általában, ha m, n ∈ `* akkor
mn ′ m mn −1 x = ⋅ x . n 2. Ha f (x ) = x 2 + x + 1 , akkor 1 − 1 2x + 1 f ′ (x ) = (x 2 + x + 1) 2 ⋅ (2x + 1) = . 2 2 x2 + x + 1 3. Ha f (x ) = sin50 x , akkor f ′ (x ) = 50 sin 49 x ⋅ cos x . 4. Ha f (x ) = cos4 (x 3 + x ) , akkor f ′ (x ) = 4 cos 3 (x 3 + x ) ⋅ (cos (x 3 + x ))′ =
= −4 cos 3 (x 3 + x ) sin (x 3 + x )(3x 2 + 1) = −4 (3x 2 + 1) cos 3 (x 3 + x ) sin (x 3 + x ) . 3 5. Ha f (x ) = (sin x ) = sin 3 x , akkor f ′ (x ) = 3 sin2 x cos x . 6. Ha f (x ) = sin 2x , akkor f ′ (x ) = 2 cos 2x . 8
7
7. Ha f (x ) = (2x 4 − 5x 2 + 6) , akkor f ′ (x ) = 8 (2x 4 − 5x 2 + 6) (8x 3 − 10x ) . 1
8. Ha f (x ) = a 2 − x 2 = (a 2 − x 2 )2 , akkor
Fejezet tartalma 124
Tartalomjegyzék
Deriválható függvények
1 − 1 2 −x (a − x 2 ) 2 (−2x ) = 2 2 , ha x ∈ (−a, a ) . 2 a −x 3 2 ′ ) ) ( ( 9. Ha f x = sin 5x , akkor f x = 3 sin 5x ⋅ 5 cos 5x = 15 sin2 5x ⋅ cos 5x .
f ′ (x ) =
Gyakorlatok I. Határozd meg a következő függvények deriválási tartományát és számítsd ki a deriváltjukat: cos 2x 1) f (x ) = e x sin 2x ; 2) f (x ) = x 2 ⋅ sin2 x + e x ⋅ cos x ; 3) f (x ) = ; ex sin2 x 5) f (x ) = x 3 ⋅ ln x ; 6) f (x ) = e x ⋅ ln x ; 4) f (x ) = x e +x +1 x 7) f (x ) = ; 8) f (x ) = x 2 cos x + x 3 sin x ; 9) f (x ) = x sin x ; ln x sin x + cos x tgx ; 12) f (x ) = 2 ; 10) f (x ) = sin x cos x ;11) f (x ) = 2 x −x +1 x +1 4 sin 6 x + cos6 x − 1 13) f (x ) = (x 3 + 2) ; 14) f (x ) = ; 15) f (x ) = 1 + 5x 2 ; 4 4 sin x + cos x − 1 x 2 −3 x ; 17) f (x ) = ln (2x 3 − 4x 2 ) ; 18) f (x ) = tg x ; 16) f (x ) = e 19) f (x ) = 5sin x ;
20) f (x ) = log 0,3 (8x 2 − 2x 3 ) ;
21) f (x ) = cos (2x − 1) ;
22) f (x ) = cos2 3x ; 23) f (x ) = lg (2x 3 − 4x 2 ) ;
24) f (x ) = x ⋅ tg2 x ; 1
27) f (x ) = 3 x ; 25) f (x ) = sin ax ; 26) f (x ) = 3 cos x − sin x ; 100 1 ; 29) f (x ) = (x 2 + 5x − 8) ⋅ x 5 ; 30) f (x ) = x 3 + 1 ; 28) f (x ) = cos 2x 1 31) f (x ) = ln sin x ; 32) f (x ) = 5 ; 33) f (x ) = tg2 (x 2 + x 4 ) ; ln (3x ) x −1
34) f (x ) = e x +1 ;
35) f (x ) =
3 log2 (x + x 2 + 1) 4
.
II. 1. Bizonyítsd be, hogy az f (x ) = c 1 + x 2 , x ∈ \ függvényre igaz az xf (x ) f ′ (x ) = egyenlőség. 1 + x2 2. Vezess le egy deriválási szabályt a h(x ) = f (x )g (x ) függvényre, ahol f : D → \ *+ és g : D → \ deriválható függvények. Ennek a segítségével számítsd ki a következő függvények deriváltját: a) f (x ) = x x ;
sin x
b) f (x ) = (x 2 + 1)
;
x
c) f (x ) = x x .
Fejezet tartalma
Tartalomjegyzék
Deriválható függvények
125
3. Bizonyítsd be, hogy ha az fij : D → \ függvények deriválhatók i, j = 1, 3 , akkor a
f11(x ) f12 (x ) f13 (x ) ∆(x ) = f21 (x ) f22 (x ) f23 (x ) , ∀ x ∈ D f31 (x ) f32 (x ) f33 (x ) függvény is deriválható és
f11′ (x ) f12′ (x ) f13′ (x )
f11 (x )
f12 (x ) f13 (x )
f11 (x ) f12 (x ) f13 (x )
∆′(x ) = f21 (x ) f22 (x ) f23 (x ) + f21′ (x ) f22′ (x ) f23′ (x ) + f21 (x ) f22 (x ) f23 (x ) f31(x ) f32 (x ) f33 (x )
f31 (x )
f31′ (x ) f32′ (x ) f33′ (x )
f32 (x ) f33 (x )
4. Számítsd ki a következő függvények deriváltját: x +1 a) f (x ) = ; b) f (x ) = x 2 + 2 ; c) f (x ) = x 3 ⋅ e 2x +1 ; x −1 e) f (x ) = (x 2 + 1) sin (2x + 1) ; d) f (x ) = ln ln x ; 2
f) f (x ) = e 2x +3 ;
g) f (x ) = x ⋅ ln x ;
h) f (x ) = (x + 1) e 2x ;
i) f (x ) = e 2x ln x ;
j) f (x ) = 22x sin2 x ;
k) f (x ) = (e x + x ) ;
l) f (x ) = e x cos3 x ;
m); f (x ) = (sin x + cos x )
n) f (x ) =
12
6
2 + ln x ; 1 + ex
o) f (x ) =
x2 − x + 1 ; ln x 7
q) f (x ) = (sin 3 x + 7 ) ;
2
p) f (x ) = e cos x ;
100
r) f (x ) = sin sin sin x ; s) f (x ) = (x 2 − x + 2)
.
α
5. Számítsd ki az f (x ) = x , x > 0 függvény deriváltját, ha α irracionális szám! 6. Határozd meg a következő függvények grafikus képéhez a megadott pontban húzott érintő egyenletét: a) f (x ) = x 3 + x + 1 , M 0 (1, 3) ; b) f (x ) = cos 2x , M 0 (π, 1) ; c) f (x ) = ln x , M 0 (3, ln 3) ;
d) f (x ) = e x , M 0 (0, 1) ;
7. f (x ) = x 2 − 3x − 6 . Írd fel az érintő egyenletét a grafikus kép x 0 = −1 abszcisszájú pontjában1. 8. f (x ) = x 2 . Mi az érintő egyenlete az x 0 ∈ \ pontban? 9. f (x ) = x (x − 1)(x + 2)(x + 3) . Mi az x 0 = 1 -ben húzott érintő egyenlete? 2
10. f (x ) = (x − 2) (x + 3) . Mi az érintő egyenlete az x 0 = 2 pontban? 1
A továbbiakban, ha félreértésre nem ad okot, egyszerűen az x 0 pontban húzott érintőről beszélünk.
Fejezet tartalma 126
Tartalomjegyzék
Deriválható függvények
11. f (x ) = (x − 3) 7 − x , az x 0 = 3 pontban írd fel az érintő egyenletét! 12. f (x ) = 5 + x 2 , az y 0 = 3 ordinátájú pontokban írd fel az érintők egyenletét! 13. Az f (x ) = 1 + x 2 függvény grafikus képén határozzuk meg azt a pontot, x amelyben a grafikus képhez húzott érintő párhuzamos az y = + 1 egyenessel. 2 2 14. Az f (x ) = (1 − x )(1 + x ) függvény grafikus képének melyik pontjában húzott érintő halad át a (−1, 0) ponton? 15. Van-e az f (x ) = x 2 + 4x + 8 és g (x ) = x 2 + 8x + 4 függvények grafikonjának egy közös érintője? 16. Határozd meg annak az egyenesnek az egyenletét, amely az f (x ) = x 4 − 2x 3 + x 2 + x − 2 függvény grafikonját két helyen érinti. ax + 2 2 → \ , f (x ) = függvény. Határozd meg az a ∈ \ 17) Adott az f : \ \ 3x − 2 3 paraméter értékét úgy, hogy az x 0 pontban a grafikus képhez húzott érintő az Oy tengellyel 45° -os szöget zárjon be. x 18) Határozd meg az m és az n paraméter értékét úgy, hogy az f (x ) = és x +1 g(x ) = mx 2 + nx + 1 függvények 2 abszcisszájú pontban érintsék egymást.
{}
5. Az inverz függvény deriváltja A folytonos függvények tulajdonságai alapján ha I ⊆ \ intervallum és az f : I → \ függvény folytonos, akkor f (I ) is intervallum. Az f : I → f (I ) függvény szürjektív, tehát ha az f függvény injektív is, akkor létezik az f −1 : J → I inverz függvény, ahol J = f (I ) . A folytonos függvények tulajdonságaiból az is következik, hogy az inverz függvény folytonos. A következő tétel az inverz függvény deriválhatóságát biztosítja, ha f deriválható és a deriváltja sehol sem 0 . Tétel. Ha I és J intervallumok és f : I → J bijektív, valamint f deriválható az x 0 pontban és f ′ (x 0 ) ≠ 0 , akkor f −1 deriválható az y 0 = f (x 0 ) pontban és igaz az alábbi egyenlőség:
( f −1 )′ ( f (x 0 )) = Bizonyítás.
lim
y →y 0
f −1(y ) − f −1 (y 0 ) y − y0
= lim x →x 0
1 . f ′ (x 0 ) x − x0 1 = , ′ f (x ) − f (y 0 ) f (x 0 )
ahol
az
f −1 (y ) = x változócserét hajtottuk végre a határértékben. Ebből következik, hogy f −1 deriválható y 0 = f (x 0 ) -ban és igaz a tételben szereplő egyenlőség.
Fejezet tartalma Deriválható függvények Következmény. Ha f
Tartalomjegyzék 127
deriválható I -n és f ′(x ) ≠ 0, ∀ x ∈ I , akkor f −1
deriválható J = f (I ) -n és ( f −1 )′ ( f (x )) =
1 , ∀ x ∈ I . Ezt az összefüggést úgy f ′ (x )
is megkaphatjuk, ha az ( f D f −1 ) (x ) = f ( f −1 (x )) = x egyenlőséget deriváljuk. Így az eredményt előre is megmondhatjuk. Példák 1. Az
π π f : − , → −1, 2 2
1 ,
f (x ) = sin x
függvény szigorúan növekvő a
π π π π intervallumon, tehát van inverze f −1 : −1, 1 → − , , − , 2 2 2 2 −1 f (x ) = arcsin x . Az inverz függvény deriválási szabályát alkalmazva: 1 1 1 = = (arcsin x )′ = , ha x ∈ (−1, 1) . 2 cos (arcsin x ) 1 − sin (arcsin x ) 1− x2 2. Az f : [0, π ] → [−1, 1] , f (x ) = cos x függvény szigorúan csökkenő és inverze
f −1 = arccos : [−1, 1] → [0, π ] , tehát
( f −1 (x ))′ = (arccos x )′ =
1 1 1 , =− = − − sin (arccos x ) 1 − cos2 (arccos x ) 1− x2
ha x ∈ (−1, 1) .
π π 3. Az f : − , → \ , f (x ) = tg x függvény szigorúan növekvő, inverze 2 2 π π f −1 : \ → − , , f −1 (x ) = arctg x , tehát 2 2 1 1 1 = cos2 (arctg x ) = = . (arctg x )′ = 2 1 1 + tg (arctg x ) 1 + x 2 cos2 (arctg x ) Gyakorlatok Számítsd ki a következő függvények deriváltját és határozd meg a deriválhatósági tartományt: 1 5 x a) f (x ) = x ⋅ 3 x ⋅ 4 x ; b) f (x ) = x − arctg 2x + arctg ; 2 3 3 1 + 3x 2x c) f (x ) = arcsin ; d) f (x ) = arccos ; 2 1 + x2 1 e) f (x ) = 5x arcsin 3x ; arccos (x 2 + 1) ; f) 3
Tartalomjegyzék
Fejezet tartalma 128
Deriválható függvények
2x + 1 ; 3 3 3 i) f (x ) = arcsin (cos x ) . g) f (x ) =
2
arctg
h) f (x ) = (x 2 + 1) arctg x ;
5.10. A függvény differenciálja Értelmezés. Az f : D → \ függvényt differenciálhatónak nevezzük az x 0 ∈ D pontban, ha létezik olyan m ∈ \ szám, amelyre f (x ) − f (x 0 ) − m (x − x 0 ) = 0 . lim x →x 0 x − x0 A df (x 0 ) : \ → \ , df (x 0 ) (h ) = m ⋅ h függvényt az f differenciáljának nevezzük az f pontban. Tehát az f függvény akkor és csakis akkor differenciálható az x 0 ∈ \ pontban, ha deriválható x 0 -ban és a függvény differenciálja az x 0 -ban a df (x 0 ) lineáris függvény: df (x 0 ) (t ) = f ′ (x 0 ) ⋅ t . 5.11. Magasabb rendű deriváltak Értelmezés. Az f : D → \ függvényt az x0 ∈ D pontban kétszer deriválhatónak nevezzük, ha f deriválható az x 0 egy V ∩ D környezetén és az f ′ : V ∩ D → \ függvény is deriválható az x0 pontban. Az f másodrendű deriváltját az x 0 pontban
( f ′ )′ ( x0 ) =
f ′′ ( x0 ) -val jelöljük.
Ha f ′ deriválható a D halmazon akkor azt mondjuk, hogy f kétszer deriválható a D -n és a másodrendű deriváltját f ′′ = ( f ′ )′ -vel jelöljük. Az f ′′ : D → \ függvényt
másodrendű deriváltnak (második deriváltnak) nevezzük és f ( ) -vel is jelöljük. Értelmezés. Azt mondjuk, hogy az f : D → \ függvény n -szer deriválható 2
( n ≥ 2)
az x0 ∈ D pontban, ha f
( n − 1) -szer
deriválható az x 0 pont egy V ∩ D
környezetén és az ( n − 1) -ed rendű derivált deriválható az x0 ∈ D pontban. Az f (
n)
( x0 ) = ( f ( n−1) )′ ( x0 )
jelölést alkalmazzuk és ezt az f
n -ed rendű
deriváltjának nevezzük az x 0 pontban. Ha az f : D → \ függvény n -szer
(
)
′ deriválható D -n, akkor az f (n ) : D → \ , f ( n ) ( x) = f ( n −1) ( x) függvényt az f n -ed rendű deriváltjának nevezzük.. Ha minden n ≥ 1 , n ∈ `* esetén az f függvény n -szer deriválható egy pontban (vagy egy halmazon) akkor azt mondjuk, hogy f végtelenszer deriválható (az illető pontban vagy halmazon). 0 Megegyezés szerint, a nulladrendű derivált f ( ) = f éppen a függvénnyel egyenlő.
Fejezet tartalma
Tartalomjegyzék
Deriválható függvények Példák 1. Az f : \ → \ ,
f ( x ) = xk
végtelenszer deriválható és f 2. ( n)
( −1) =
n
(k ∈ `)
(k )
természetes kitevőjű hatványfüggvény
( n)
( x) = k ! , f ( x) = 0 , ha n > k . 1 függvény végtelenszer f ( x) = x
f : \ \ {0} → \ ,
Az
( x)
129
deriválható
és
⋅ n!
, ahol n ≥ 1 , x ≠ 0 . x n 3. Az f ( x ) = e x függvény esetében f ( ) ( x ) = e x , n ∈ ` , x ∈ \ . f
n +1
π n 4. sin ( ) x = sin x + n ⋅ , n ∈ ` , x ∈ \ . 2 π n 5. cos( ) x = cos x + n ⋅ , n ∈ ` , x ∈ \ . 2 6. ( ln x ) 7. ( a
x
)
(n)
( n)
( −1) =
n −1
⋅ ( n − 1)!
x
n
, n ∈ `* .
= a ⋅ ln a , ( a > 0 ) . x
n
Gyakorlatok 1. Az u : D → \ és v : D → \ függvények n -szer deriválhatók. Igazold, hogy a) ( u + v ) b) ( u ⋅ v )
( n)
( n)
= u ( ) + v( ) ; n
n
n
= ∑ Cnk u ( ) v ( k =0
2. Határozd meg tartományon):
k
n−k )
(A Leibniz-formula)
f ′′ ( x ) -et az alábbi függvények esetében (a maximális
a) f ( x ) = x 1 + x 2 ;
b) f ( x ) = x ln x ;
d) f ( x ) = (1 + x 2 ) arctg x .
c) f ( x ) = e − x ; 2
3. Számítsd ki f ( 0 ) -t, f ′ ( 0 ) -t és f ′′ ( 0 ) -t, ha f ( x ) = esin x ⋅ cos ( sin x ) . 4. Bizonyítsd be, hogy az alábbi függvények kétszer deriválhatók a megadott pontokban: arctg x , x ≥ 0 a) f : \ → \ , f (x ) = 3 , x = 0; x + x, x < 0 0 sin2 x , x ≤ 0 b) f : \ → \ , f (x ) = , x0 = 0 ; 2 x , x >0 5 c) f : \ → \ , f (x ) = 2x − 6 , x 0 = 3 .
Fejezet tartalma 130
Tartalomjegyzék
Deriválható függvények
5. Határozd meg az a, b, c ∈ \ paraméterek értékeit úgy, hogy az f : \ → \ ,
ax 2 + b, x ≤0 , x = 0 ; függvény kétszer deriválható f (x ) = cx + 4 + ln (x 2 − x + 1), x < 0 0 legyen az \ -en. 6. Határozd meg az a ∈ \ paraméter értékeit úgy, hogy az f : \ → \ , f (x ) = x ⋅ eax függvény teljesítse az f ′′′(x ) − f ′′(x ) − 8 f ′(x ) + 12 f (x ) = 0 összefüggést minden x ∈ \ esetén. 7. Bizonyítsd be, hogy az f : \ → \ , f (x ) = (3x 2 − 4)e x függvény n -edik deriváltja f (n ) (x ) = (3x 2 + an x + bn )e x alakú, bármely n ∈ `* esetén, ahol
an , bn valós számok. Határozd meg az an és bn valós számokat az n függvényében! 8. Számítsd ki az f : (0, ∞) → \ , f ( x ) = 9. Adott az
f (x ) = c1 cos x + c2 sin x
ln x függvény n -ed rendű deriváltját! x függvény, ahol c1, c2 ∈ \ állandók.
Bizonyítsd be, hogy f ′′ (x ) + f ′ (x ) = 0 . 10. Számítsd ki a következő függvények n -ed rendű deriváltját: a) f : \ → \ , f (x ) = x 2 ⋅ e x ; b) f : \ → \ , f (x ) = x 2 ⋅ e 2x ; c) f : (0, ∞) → \ , f (x ) = x ⋅ ln x ; e) f : \ \ {0,1} , f (x ) =
1 ; x (1 − x )
d) f : (−1, 1) → \ , f (x ) = x ln (1 − x 2 ) ; f) f : \ \ {1, 2} → \ , f (x ) =
x3 ; x 2 − 3x + 2
g) f : \ → \ , f (x ) = (1 − x 2 ) ⋅ cos x ; h) f : \ → \ , f (x ) = e −x . 2
11.
Azt mondjuk, hogy az f : D → \ és g : D → \ függvények grafikus képei
az x 0 pontban n -ed rendben érintik egymást, ha f (k ) (x 0 ) = g (k ) (x 0 ), k = 0, n és
f (n +1) (x 0 ) ≠ g (n +1) (x 0 ) . Vizsgáljuk meg, hogy hányad rendben érintik egymást az alábbi függvénypárok grafikus képei: 1 x2 + x +1. a) f (x ) = x 2 és g(x ) = x + 1 − ; b) f (x ) = e x és g(x ) = 2 x 12. Számítsd ki a következő görbék által bezárt szög mértékét: 2 a) f (x ) = (x − 2) és g(x ) = 4x − x 2 − 4 ; b) f (x ) = sin x és g(x ) = cos x . 1 x 2 −1 e , x ∈ −1,1 13. Bizonyítsd be, hogy az f : \ → \ , f (x ) = P (x ), x ∈ \ \ −1, 1 függvény, ahol P ∈ \ [X ] , pontosan akkor végtelenszer deriválható, ha P identikusan nulla. (Felvételi feladat, Kolozsvár)
(
) (
)
Tartalomjegyzék
Fejezet tartalma Deriválható függvények
131
A könnyebb memorálás érdekében összefoglaltuk a fontosabb deriválási képleteket és szabályokat. f f′ deriválhatósági tart.
xn , n ∈ ` x m , n ∈ ]*−
nx n −1 mx m −1
\ \ \ {0}
xa , a ∈ \ \ ]
a ⋅ x a −1 ex a x ⋅ ln a 1 x 1 x ln a cos x − sin x
(0, ∞)
x
e a , a > 0, a ≠ 1 x
ln x loga x , a > 0, a ≠ 1 sin x cos x tg x ctg x arcsin x
1 = 1 + tg2 x cos2 x −1 = −1 − ctg2 x 2 sin x 1 1− x2 −1
arccos x
1− x2 1 1 + x2 −1 1 + x2
arctg x arcctg x
\ \
(0, ∞) (0, ∞) \ \
{
\ \ (2k + 1)
π k ∈] 2
{
}
}
\ \ kπ k ∈ ] (−1, 1) (−1, 1)
\ \
( f + g )′ = f ′ + g ′ ( f ⋅ g )′ = f ′ ⋅ g + f ⋅ g ′ f ′ = f ′ ⋅ g − f ⋅ g ′ g2 g
( f (g(x )))′ = f ′ (g(x )) ⋅ g ′(x ) (n )
(f ⋅ g )
n
= ∑ C nk ⋅ f (n −k ) ⋅ g (k ) k =1
( f (x )g (x ) )′ = g(x ) ⋅ f (x )g (x )−1 ⋅ f ′(x ) + f (x )g (x ) ⋅ ln f (x ) ⋅ g ′(x )
Tovább
