ÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE Přednáška č. 3
DYNAMIKA ROTUJÍCÍCH SYSTÉMŮ Prof. Ing. Vladimír Zeman, DrSc.
Úvod do modelování v mechanice (UMM)
OBSAH 1. Úvod 2. Základní výpočtový model v rotujícím prostoru 3. Základní výpočtový model rotoru (Lavalův rotor) 4. Ukázka řešených aplikací
Úvod do modelování v mechanice (UMM) • Rotující systémy • Základní výpočtový model (n = 2) v rotujícím souřadnicovém systému • Složky rychlosti tělesa
vx = xɺ − ω y , v y = yɺ + ω x • Kinetická energie
[
1 2 2 m ( xɺ − ω y ) + ( yɺ + ω x ) 2
Ek =
]
• Potenciální energie pružin • Lagrangeovy rovnice
d ∂Ek ∂Ek ∂E p + = 0, − dt ∂xɺ ∂x ∂x
1 1 2 E p = kx x + k y y2 2 2 d ∂Ek ∂Ek ∂E p + =0 − ɺ dt ∂y ∂y ∂y
• Matematický model (pohybové rovnice):
mɺxɺ − 2mωyɺ + (k x − mω 2 ) x = 0 , mɺyɺ + 2mωxɺ + (k y − mω 2 ) y = 0
Úvod do modelování v mechanice (UMM) • Přepis do maticového tvaru
q = [x y ] T 2 0 x 0 m 0 ɺxɺ 0 − 2m xɺ k x − ω m + = 2 0 m ɺyɺ + ω 2m 0 k y − ω m y 0 0 yɺ
• Matematický model v maticovém tvaru
ɺɺ + ω Gqɺ + (K − ω 2 K d )q = 0 Mq
kx k y K (ω ) ⇒ pro ω > min , m m ∗
antisymetrická matice gyroskopických účinků ⇓ provázanost pohybu ve směrech x, y
2
není pozitivně definitní ⇓ nestabilita
Úvod do modelování v mechanice (UMM) • Základní výpočtový model rotoru (n = 2) v pevném souřadnicovém systému (Laval, teorie Jeffcott 1919) • Pohybová rovnice ve vektorovém tvaru (2.NZ) HORNÍ LOŽISKO OSA HŘÍDELE KOTOUČ
SPODNÍ LOŽISKO
mɺyɺS = −kyH ma S = F mɺzɺS = −kz H
• Parametry: m … hmotnost kotouče k …. příčná tuhost hřídele e = SH ... excentricita • Vztah mezi souřadnicemi středu hmotnosti (těžiště) kotouče S a středu hřídele H
y S = y H + e cos ω t z S = z H + e sin ω t
• Matematický model rotoru
mɺyɺH + ky H = meω 2 cos ω t mɺzɺH + kz H = meω 2 sin ω t Soustava dvou nezávislých ODR 2. řádu
Úvod do modelování v mechanice (UMM) • Partikulární řešení pohybových rovnic
y H = Y cos ω t , z H = Z sin ω t ⇒ rH = Y = Z ⇒ dráha středu hřídele je
kružnice o poloměru rH
− mω 2Y cos ω t + k Y cos ω t = meω 2 cos ω t
meω 2 Y= =Z 2 k − mω
Amplitudy (maximální výchylky) • Amplitudová charakteristika
• Kritické otáčky (pro Y = Z → ∞ )
ωkrit
k = [rad / s ] , m
nkrit =
30
π
ωkrit [ot / min ]
Úvod do modelování v mechanice (UMM) APLIKACE
• Kmitání olopatkovaného disku vybuzené aerodynamickými silami proudem páry - Vytvořit model rotujícího olopatkovaného disku rotoru vysokotlakového dílu turbíny JE Temelín - Aplikovat metodu modelování založenou na dekompozici systému na dva subsystémy – disk (ANSYS) a olopatkování (MATLAB), modelování vazeb mezi lopatkami a diskem a na redukci počtu stupňů volnosti - Vyšetřit kmitání lopatek vyvolané proudem páry (MATLAB)
Úvod do modelování v mechanice (UMM)
Úvod do modelování v mechanice (UMM) • Schéma olopatkovaného disku
Úvod do modelování v mechanice (UMM)
Úvod do modelování v mechanice (UMM)
Úvod do modelování v mechanice (UMM)
Úvod do modelování v mechanice (UMM)
Úvod do modelování v mechanice (UMM) • Campbellův diagram k = 5450 45 40
1000
35
30
25
20
18
15
f
21
f
20
14
f
19
f
900
18
13
f
17
f16 800
12
f
15
f 11
13
f
12
700
f
i
f [Hz]
14
f
10
11
f
10
f 600
9
9
f
8
f k=8
7
f
6
500
f
5
f4 f 400 0
3
500
1000
1500
2000 ω [RPM]
2500
3000
3500
4000
f
2
f
1
Úvod do modelování v mechanice (UMM) • Modelování kmitání automobilové převodovky vybuzené kinematickými úchylkami převodového poměru - Vytvořit model automobilové převodovky Škoda MQ200 při zařazeném 2. převodovém stupni - Vyvinout metodu modelování založenou na dekompozici systému na 4 subsystémy – hnací hřídel, předlohový hřídel, diferenciál s poloosami (MATLAB) a skříň převodovky (ANSYS) - Modelovat ložiskové a zubové vazby (MATLAB) - Vytvořit komplexní model převodovky s redukovaným počtem stupňů volnosti a využití jej pro výpočet kmitání hřídelů a hluku vyzařovaného stěnami převodové skříně
Úvod do modelování v mechanice (UMM) Převodovka Škoda MQ200
Úvod do modelování v mechanice (UMM)
Úvod do modelování v mechanice (UMM)
Úvod do modelování v mechanice (UMM)
Úvod do modelování v mechanice (UMM)
Úvod do modelování v mechanice (UMM)
Úvod do modelování v mechanice (UMM) • Modelování a počítačová simulace nelineárních kmitů převodových ústrojí v důsledku rázových jevů v ozubení - Rozšířit lineární model převodového ústrojí s ozubenými koly respektováním nelinearit v ložiskových a zubových vazbách - Vyvinout metodu modelování rozsáhlých systémů s nelineárními vazbami - Vyšetřit hraniční křivky mezi lineárním a nelineárním (s rázy) kmitáním převodového ústrojí v závislosti na otáčkách a hnacím momentu motoru (MATLAB) - Analyzovat vliv nelineárních jevů prostřednictvím fázových trajektorií a bifurkačních diagramů pro deformace ozubení (MATLAB)
Úvod do modelování v mechanice (UMM) Převodovka Škoda MQ200 Stupně volnosti modelu – před kondenzací N1=198, N2=140, N3=36, N4=166816; po kondenzaci M1=32, M2=28, M3=14, M4=70 ⇒ M=144
Úvod do modelování v mechanice (UMM)
Úvod do modelování v mechanice (UMM)
Úvod do modelování v mechanice (UMM) Bifurkační diagram deformace ozubení
