CLAUDIA ZASLAVSKY
ÚJABB MATEMATIKAI JÁTÉKOK ÉS FEJTÖRŐK A VILÁG MINDEN TÁJÁRÓL
AKADÉMIAI KIADÓ
Ajánlás A világon minden embernek, akiknek teljes szívemből kívánok békés holnapot és ragyogó jövőt.
Tartalomjegyzék Bevezetés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII A szülők és tanárok figyelmébe . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII A gyerkőcök figyelmébe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII 1. Három-egy-sorban játékok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 men's morris – Anglia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tic-tac-toe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tic-tac-toe a mágikus négyzeten – ókori Kína . . . . . Tic-tac-toe számokkal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Achi – Ghána . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 men's morris – Olaszország, Franciaország és Anglia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Alquerque de nueve – Spanyolország . . . . . . . . . . . . . Jirig – Mongólia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Murabaraba – Lesothó és Dél-Afrika . . . . . . . . . . . . . . A játéktábla formája . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 4 8 11 13 14
2. Még több táblás játék . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Leopárdok és tigrisek – Thaiföld . . . . . . . . . . . . . . . . . Bárányok és tigrisek – India . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tchuka Ruma– Indonézia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kiskecskés játék – Szudán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ökrös játék – Szudán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aki – Ghána . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28 29 31 33 35 37 39
16 18 21 23 26
3. Hogyan számolnak az emberek? . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Abakusz – Oroszország . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Abakusz – Kína . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Irokéz naptár – Észak-Amerika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A maja naptár – Mexikó és Közép-Amerika . . . . . . . . . Zodiákus jelek – Kína . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wampum, kakaóbab és nyolcas darabkák – amerikai gyarmatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gyöngyök,csigaházak és arany – Afrika . . . . . . . . . . . . Takarékoskodjunk az alumíniumdobozokkal! – Egyesült Államok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mentsünk gyerekéleteket a világ minden táján! . . . . . .
47 49 51
4. Léteznek szerencseszámok? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A 13 szerencsés vagy szerencsétlen szám? – Egyesült Államok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A 7 szerencsés vagy szerencsétlen szám? – ókor . . . . . Betűk és számok – Európa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mágikus négyzetek – Kína és a muszlim világ . . . . . . . Játék a mágikus négyzetekkel – mindenkinek . . . . . . . Négyszer-négyes mágikus négyzetek – Európa . . . . . . Pánmágikus mágikus négyzetek . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
5. Hogyan mérnek az emberek? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Szabványos mértékegységek – ókori Róma . . . . . . . . Szabványos m értékegységek – ókori Egyiptom . . . . . . Rönkkunyhó – Egyesült Államok . . . . . . . . . . . . . . . . . . Az irokéz hosszú ház – New York állam és Kanada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pánsípok – Dél-Amerika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Takarékoskodjunk a vízzel! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78 79 81 82
53 56 58 60
63 65 68 70 72 74 76
84 86 88
6. Rejtvények pontokkal, madzagokkal és papírszalagokkal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Julirde – Nyugat-Afrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Gyöngyös-zsinóros ördöglakat – Kína és Nyugat-Afrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Meglepetések Möbius-szalaggal – Németország . . . . . 96 Homokrajzok I. – Állatrajzok – Angola . . . . . . . . . . . . . . 98 Homokrajzok II. –A három falu meséje – Angola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Homokrajzok III. – Isten hozott az otthonunkban! – India . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 7. Szimmetriák és hasonlóságok a mintákban . . . . . . Az amerikai őslakosok gyöngyvarrott díszei – I. rész . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Az amerikai őslakosok gyöngyvarrott díszei – II. rész . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Festett indián minták . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Akua ba bábu – Ghána . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A mi ábécénk – ókori Róma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
106 108 110 112 114 116
Csillagos zászlók a világ számos országából . . . . . . . Többszörös ötágú csillagok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rajzoljunk csillagokat egyetlen vonallal! . . . . . . . . . . . Navaho szőttesek – amerikai őslakosok . . . . . . . . . . Csillagmintájú foltvarrott takarók . . . . . . . . . . . . . . . . Még több foltvarrott takaró minta . . . . . . . . . . . . . . . .
118 120 122 124 127 130
8. Ismétlődő minták . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hímzett terítők – Magyarország . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tesszalációk –ismétlődő mintázatok . . . . . . . . . . . . . . Adire szövetek – Nigéria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sashiko hímzés – Japán I. rész . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sashiko hímzés – Japán II. rész . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Iszlám művészet – Spanyolország . . . . . . . . . . . . . . . . Iszlám művészet – Irán (a hajdani Perzsia) . . . . . . . . . Fraktális mintázatok – Észak-Amerika őslakosai . . . .
132 133 135 138 140 142 143 146 148
Köszönetnyilvánítás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 Megoldások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
A 13 szerencsés vagy
Egyesült
szerencsétlen szám? – Államok
hogy hozzon. – És ne vacakold el az időt hazafelé jövet! – szólt utána, amikor Sam kilépett az ajtón. Sam elszaladt a pékségbe. Nagyon éhes volt, alig várta, hogy hazaérjen és megvacsorázhasson végre. Felmarkolta a kenyeret és átrohant az úttesten, épp akkor, amikor jött egy autó. Az autó vezetője észrevette Samet, és fékezett, de nem elég gyorsan. Nem tudott megállni, és elütötte Samet, aki az úttestre zuhant. De nem történt nagy baj, Sam feltápászkodott, biztosította az autó vezetőjét arról, hogy kutya baja, majd hazanyargalt, hóna alatt a kenyérrel. Otthon egy szóval sem említette a balesetet. Nem sokkal vacsora után azonban hirtelen rosszul lett. Az anyja látta, hogy Sam milyen sápadt és nagyon megijedt. Végül Sam elmesélte a szüleinek, hogy mi történt vele. Azonnal kihívták az orvost, aki megvizsgálta, majd azt mondta: – Sam csak sokkot kapott, de nem
Léteznek szerencseszámok?
– Tudod, hogy holnap péntek tizenharmadika van? – kérdezte Eddie a barátjától. – És akkor mi van? – kérdezett vissza Sam. Eddie indulatosan válaszolt: – Hogyhogy mi?! Péntek tizenhar madika! Balszerencsés nap! – Ez butaság. Csak egy babona, hogy bizonyos számok balszerencsét hoznak. Hogy bebizonyítsam neked, leírom erre a lapra, hogy péntek tizenharmadika, és holnap a zsebemben fogom hordani. Majd meglátod, hogy a világon semmi rossz nem fog történni velem – mondta Sam. Ezek után Sam tényleg leírta egy lapra a dátumot, majd másnap beletette az inge zsebébe. Másnap, pénteken minden simán zajlott. Sam időről-időre ellenőrizte a zsebét, hogy benne van-e még a papírdarab. Amikor a család leült vacsorázni, Sam édesanyja észrevette, hogy nincs otthon kenyér. Gyorsan elszalasztotta Samet a boltba,
63
16 15 14 12 11 10 9 8 7
Törd a fejed!
6
1. Sam története igaz. Sam a férjem. Mindez 11 éves korában történt vele. Szerinted péntek tizenharmadikán volt bármi köze Sam balesetéhez? Vajon volt bármi köze a baleset végkifejletének ahhoz a papírhoz, amire felírta a dátumot? 2. Sok magas épületben úgy számozzák az emeleteket, hogy 10, 11, 12, 14, vagyis kihagyják a 13. emeletet. Én egy társasház 13. emeletén lakom, ahol nem ugrot-
Léteznek szerencseszámok?
5 4 3 2 1
64
sérült meg. Ne aggódjanak, rendbe fog jönni! Tegyék ágyba, holnap reggelre kutya baja sem lesz! A balesetnek gyorsan híre ment a szomszédságban. Eddie és a többi fiú hamarosan megjelentek Samék nél, hogy megtudják, hogy van a barátjuk. – Én szóltam, hogy péntek tizenharmadika balszerencsés nap! – jelentette ki Eddie. Sam azonnal visszavágott: – Honnan tudod? Lehet, hogy meg is haltam volna, ha nincs a zsebemben az a péntek tizenharmadikás papír!
számozás nélküli ábra egy lift nyomógombjairól (13 hiányzik!!!)
ták át a 13-as számot az emeletek számozásánál. Amikor kivettem a lakást, a gondnok megrázta a kezem, és gratulált a bátorságomhoz. A tizenhármas számtól való félelemnek neve is van: triszka idekafóbia. Nézz utána a szónak a szótárban, és derítsd ki, honnan ered! 3. Az Egyesült Államok 13 gyarmatból alakult meg. Ezért van a lobogón 13 sáv. Nézd meg egy papírdollár hátulját! Számold meg, hány lépcsőfoka van a piramisnak. Számold meg, hány levele van az olajágnak, amelyet a sas tart a csőrében. Mindkét esetben 13-at kapsz. Találsz a bankjegyen más dolgokat is, amelyeknek száma 13? 4. A mexikói és közép-amerikai maják számára a 13-as különleges szám volt. A szent naptáruk 13 hónapot tartalmazott (lásd 49. oldal). Keress más példákat is arra, hogy a 13 különleges szám! 5. Kérdezd meg a barátaidat, hogy mit gondolnak a 13-as számról. Ha balszerencsésnek tartják, kérdezd meg azt is, hogy miért!
Meglepetések
Möbius-szalaggal – Németország Rejtvények pontokkal, madzagokkal és papírszalagokkal
Í 7. ábra
me egy feladvány, amellyel meglepheted a barátaidat! Mindös�sze annyit kell tenned, hogy egy bizonyos módon vágsz le egy papírszalagot. Próbáld ki, és aztán olvasd el, miért működik. (A válaszokat a 154. oldalon találod.)
Kellékek
8. ábra
• Néhány 5 × 50 cm-es papírszalag. Ha nincs ilyen hosszú papírszalagod, ragassz össze két rövidebb papírcsíkot. • ceruza • ragasztó vagy ragasztószalag • olló Készítsd el a Möbius-szalagot!
96
1. Fogd az egyik hosszú papírszalagot, és jelöld meg mindkét végét, ugyanazon az oldalon, egy X-szel! 7. ábra 2. Fogd meg a szalag két végét a két kezeddel! Csavard meg az egyik
végét, és helyezd rá a másik végére, ahogy az ábrán látod. 8. ábra 3. Ragaszd össze a szalag két végét! Így egy zárt hurkot kapsz. A félig csavart, zárt szalag neve Möbiusszalag.
Vágd fel a Möbius-szalagot! – első kísérlet 1. Húzz egy vonalat a Möbius-szalagon, míg visszaérsz a kiindulási pontra! 2. Találd ki, hogy mi történik, ha kettévágod a szalagot a vonal mentén! 3. Vágd ketté a szalagot a vonal mentén! 4. Írd le, mi lett az eredmény. Mi lepett meg benne a legjobban?
Vágd fel a Möbius-szalagot! – második kísérlet 1. Készíts egy újabb Möbius-szalagot!
August Möbius, a német matematikus fedezte fel ezt a csodálatos szalagot 150 évvel ezelőtt. Nem meglepő, hogy korábban még senkinek sem jutott eszébe? De amint feltalálták, számtalan előnyös tulajdonságára is fény derült. Például remekül hasznosítható a gyári futószalagok esetében – manapság már Möbiusszalag formájúak. Kétszer olyan hosszúak, mint a normál szalagok. A művészek is nagyon kedvelik a Möbius-szalagot. Kedvelt témája volt például M. C. Eschernek is. Escher szeretett lehetetlen építményeket rajzolni, például végtelen lépcsőket. Az egyik képén hangyák vonulnak egy Möbius-szalag mentén. De vannak Möbius-szalag versek is.
Egy matematikus titokban megsúgta, Hogy a Möbius-szalagok kissé egyoldalúak. De nagyot nézel, ha elvágod félbe: Kettészelve is egy darab a kézben. Törd a fejed! 1. Mutasd meg, hogy a Möbius-szalagnak csak egyetlen oldala van! Rajzolj egy piros X-et a szalag egyik végére, és egy feketét a másikra, ugyanarra az oldalra! Csavard meg a szalag egyik végét! Érintsd össze a szalag két végét úgy, hogy mindkét X látszódjon! Ragaszd össze a végeket – ügyelj rá, hogy mindkét X látszódjon! Majd futtasd végig az ujjad a szalagon! Indulj el a piros X-től és mozgasd az ujjadat egészen addig, amíg vissza nem érkezel megint a piros X-hez! Közben ne emeld fel az ujjad! Átmentél a fekete X-en? 2. Folytasd a kísérletezést! Vágd el a Möbius-szalagot a szélétől egynegyednyi távolságra! Mi lett az eredmény?
Rejtvények pontokkal, madzagokkal és papírszalagokkal
2. Húzz egy vonalat a jobb széltől egyharmadnyi távolságra, míg vissza nem térsz a kiindulási pontra! 3. Találd ki, hogy mi történik, ha elvágod a szalagot a vonal mentén! 4. Vágd el a szalagot a vonal mentén! 5. Írd le, mi lett az eredmény!
97
Többszörös ötágú csillagok A
F
J
E
Szimmetriák és hasonlóságok a mintákban
I
120
B G
H C
D
9.a ábra A
K
L
F
J
E I
B G
H D
C
A
z előző fejezetben megtanultál ötágú csillagot rajzolni. Meg tudod úgy rajzolni, hogy közben nem emeled fel a ceruzát a lapról? Az ötágú csillag forma neve pentagram. Ez egy nagyon ősi jel. Az ókori Babilonban mágikus erőt tulajdonítottak ennek a jelnek. Az írországi kelta papok úgy vélték, hogy ez a boszorkányok lábnyoma. Sokan abban hittek, hogy az ötágú csillag a biztonság jelképe, amely megvéd a démonoktól. Nem csoda hát, hogy ilyen sok nemzet lobogóján megtaláljuk az ötágú csillagot! Ebben a fejezetben megtanulhatod, hogyan készíts több, kapcsolódó ötágú csillagot anélkül, hogy felemelnéd a ceruzádat a papírról.
Kellékek • • • • • •
üres papírlap ceruza radír körző vonalzó színes ceruzák vagy filctollak
1. Egy sima grafitceruzával rajzolj egy ötágú csillagot! Az előző fejezetben megnézheted, hogyan kell összekötnöd az A, B, C, D és E pontokat. (119. oldal) Ha készen van a csillag, radírozd ki a körívet!
F
J
E I
5. Színes ceruzával kösd össze az F pontot a G ponttal! Majd a G pontból indulva rajzolj egy kisebb csillagot a nagy csillag másik ágára is, amelynek csúcsa a B pont! 6. Folytasd a rajzolást! Rajzolj a nagy csillag minden ágára egy kisebb csillagot, míg vissza nem érkezel a kiindulási F ponthoz! Miközben megrajzoltad az öt kiscsillagot, megrajzoltad a nagy csillagot is. Az egész ábrát megrajzolhatod egyetlen folyamatos vonallal, úgy, hogy nem emeled fel közben a ceruzádat a papírról. 9.c ábra
G J
E
H
F
B C G
D I H A
D
K
L
F
J
E
C
B
A IL
KG J
E
H
F
B C G
D I H
9.b ábra C
D
9.c ábra
Szimmetriák és hasonlóságok a mintákban
2. Jelöld be az F, G, H, I és J pontokat, ahogy a 9.a ábra mutatja! 3. Színes ceruzával rajzolj egy kisebb csillagot a nagy csillag egyik ágára, amelynek csúcsa A pontban van! Kezdd az F pontnál! Kösd össze az F-A, majd az A-J pontokat! 4. A J pontból húzz egy vonalat a K pontba, majd a K pontból az L pontba, végül kösd össze az L pontot az F ponttal! Ezeknek a vonalaknak ugyanolyan hosszúaknak kell lenniük, mint azoknak, amelyeket a 3. lépésnél húztál. 9.b ábra
B
A
121
