TRANSFORMASI-Z. Transformsi-Z Langsung Sifat-sifat Transformasi-Z Transformasi -Z Rasional Transformasi-Z Balik Transformasi-Z Satu Sisi

TRANSFORMASI-Z  Transformsi-Z Langsung    

Sifat-sifat Transformasi-Z Transformasi -Z Rasional Transformasi-Z Balik Transformasi-Z Satu Sisi

TRANSFORMASI-Z LANGSUNG  Definisi : X( z) 



n x ( n ) z 

n  

Contoh Soal 1 Tentukan transformasi Z dari beberapa sinyal diskrit di bawah ini

a ). x1 (n )  1, 2, 5, 7, 0, 1

b). x 2 (n )  1, 2, 5, 7, 0, 1

c). x 3 (n )  0, 1, 2, 5, 7, 0, 1 d ). x 4 (n )  2, 5, 7, 0, 1

Jawab:

a ). x1 (n )  1, 2, 5, 7, 0, 1 X1 (z)  1  2z 1  5z  2  7z  3  z  5

b). x 2 (n )  1, 2, 5, 7, 0, 1

X 2 (z)  z 2  2z1  5  7z 1  z  3 c). x3 (n)  0, 1, 2, 5, 7, 0, 1 X 3 ( z )  z 1  2 z  2  5 z 3  7 z  4  z 6

d). x 4 (n )  2, 5, 7, 0, 1 X 4 (z)  2z1  5  7z 1  z  3

Contoh Soal 2 Tentukan transformasi Z dari beberapa sinyal impuls di bawah ini

a ). x1 (n )  (n ) b). x 2 (n )  (n  k ), k  0 c). x 3 (n )  (n  k ), k  0

Jawab: a ). X1 (z)  b). X 2 (z)  c). X 3 (z) 



n  ( n ) z 1 

n   

n k  ( n  k ) z  z 

n   

n k  ( n  k ) z  z 

n  

Contoh Soal 3 Tentukan transformasi Z dari sinyal Jawab: n



n

1 x (n )    u (n ) 2

n



  1 1  n   z  A      n 0  2 n 0 1 2 3 1 A  A  A   A 1 1 A

 1  n X(z)     z  n 0  2 

1 1 z 1 2



z 

x (n )   u (n )



n

x (n )  u (n )



1 2



X( z) 

1  1  1 1   z 2

1 X( z )  1   z 1 1 X( z )  1  z 1

SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI-Z  Linieritas x1 (n )  X1 (z)

x 2 ( n )  X 2 ( z)

x ( n )  a 1 x1 ( n )  a 2 x 2 ( n )



Contoh Soal 4 Tentukan transformasi Z dari sinyal

X(z)  a1X1 (z)  a 2 X 2 (z)



Jawab: x1 (n )  (2) n u (n )



x(n)  3(2) n  4(3) n u(n)

x 2 (n )  (3) n u (n )

3 4 X(z)  3X1 (z)  4X 2 (z)   1 1  2z 1  3z 1

Contoh Soal 5 Tentukan transformasi Z dari sinyal-sinyal di bawah ini :

a ). x (n )  cos(o n ) u (n ) b). x (n )  sin(o n ) u (n )

Jawab: 1 jo n 1  jo n a ). x (n )  cos(o n ) u (n )  e u (n )  e u (n ) 2 2 1 1 1 1 X( z )   jo 1 21 e z 2 1  e  jo z 1 1 (1  e  jo )  (1  e  jo ) 1 (1  e  jo z 1  e  jo z 1  1) X( z)   jo 1  jo 1 2 (1  e z )(1  e z ) 2 (1  e  jo z 1  e  jo  z 2 ) 1  z 1 cos o x (n )  cos o n  X(z)  1  2z 1 cos o  z 2

1 jo n 1  jo n b). x (n )  sin(o n ) u (n )  e u (n )  e u (n ) 2j 2j 1 1 1 1 X( z )   jo 1 2 j 1 e z 2 j 1  e  jo z 1 1 (1  e  jo )  (1  e  jo ) X(z)  2 j (1  e jo z 1 )(1  e  jo z 1 ) 1 (e  jo z 1  e  jo z 1 )  2 j (1  e  jo z 1  e  jo  z  2 ) z 1 sin o x (n )  sin o n  X(z)  1  2z 1 cos o  z 2

 Scaling in the Z-domain x ( n )  X( z )

z a x1 (n )  X(a z)  X  a n

1

Contoh Soal 6 Tentukan transformasi Z dari sinyal-sinyal di bawah ini : a). x1 (n)  a n cos(o n)

b). x2 (n)  a n sin(o n)

Jawab: 1  z 1 cos o x (n )  cos o n  X(z)  1  2z 1 cos o  z 2 1 1 1  ( a z) cos o n x1 (n )  a cos o n  X1 (z)  1  2(a 1z) 1 cos o  (a 1z) 2

1  az 1 cos o X1 (z)  1  2az 1 cos o  a 2 z  2

az 1 sin o X 2 (z)  1  2az 1 cos o  a 2 z  2

 Time Reversal x(n)  X(z 1 )

x(n)  X(z)

Contoh Soal 7 Tentukan transformasi Z dari sinyal

x ( n )  u ( n )

Jawab:

x (n )  u (n )

x (n )  u (n )



1 X( z )  1  z 1



1 1 X( z )   1 1 1  (z ) 1 z

1 x ( n )  u (  n )  X( z)  1 z

 Diferensiasi dalam domain z x ( n )  X( z )

dX(z) nx (n )   z dz

Contoh Soal 8 Tentukan transformasi Z dari sinyal Jawab:

x(n)  na n u(n)

1 x1 (n )  a u (n )  X1 (z)  1  az 1 n

dX1 (z) dz dX1 (z) d  1   az 2 X( z )   z  z   (z) 1  dz dz  1  az  1  az 1 2 x (n )  na n u (n )  X(z)  z

na u (n )  n

az 1

1  az 

1 2

nu (n ) 

z 1

1  z 

1 2

 Konvolusi antara dua sinyal x1 (n )  X1 (z)

x 2 (n )  X 2 (z)

x (n )  x1 (n ) * x 2 (n )  X(z)  X1 (z)X 2 (z) Contoh Soal 9 Tentukan konvolusi antara x1(n) dan x2(n) dengan : x1 (n )  1,  2, 1

1, 0  n  5 x 2 (n )   0, lainnya

Jawab: X1 (z)  1  2z 1  z 2

X 2 (z)  1  z 1  z 2  z 3  z 4  z 5

X(z)  X1 (z)X 2 (z)  (1  2z 1  z 2 )(1  z 1  z 2  z 3  z 4  z 5 ) X(z)  X1 (z)X 2 (z)  1  z 1  z 6  z 7

x(n)  x1 (n) * x 2 (n)  1,  1, 0, 0, 0, 0,  1,1

TRANSFORMASI Z RASIONAL  Pole dan Zero

Pole : harga-harga z = pi yang menyebabkan X(z) = 

Zero : harga-harga z = zi yang menyebabkan X(z) = 0

 Fungsi Rasional M

N(z) b o  b1z 1    b M z  M X(z)    1 N D ( z ) a o  a 1z    a N z

k b z  k k 0 N

k a z  k k 0

 b1  M 1  bM   z   z      bo   bo   a1  N 1  aN  N Z   z       ao   ao  M

N(z) b o z  M a o  0 b o  0  X(z)   D( z ) a o z  N

 b1  M 1  bM   z   z      bo   bo   a1  N 1  aN  N Z   z       ao   ao  M

N(z) b o z  M a o  0 b o  0  X(z)   D( z ) a o z  N

 N(z) dan D(z) polinom X ( z) 

N ( z ) bo N  M ( z  z1 )( z  z 2 ) ( z  z M )  z D ( z ) ao ( z  p1 )( z  p2 ) ( z  p N ) M

X(z)  G z N  M

 (z  z

k

)

 (z  p

k

)

k 1 N

k 1

Contoh Soal 10 Tentukan pole dan zero dari

2  1,5z 1 X( z)  1  1,5z 1  0,5z  2

Jawab: 2 z 1 z  0,75 X(z)  1 z  2 z 2  1,5z  0,5 z  0,75 2z(z  0,75) 2 1  2z  (z  1)(z  0,5) (z  1)(z  0,5)

Zero : z1  0

z 2  0,75

Pole : p1  1

p2  0,5

Contoh Soal 11 Tentukan pole dan zero dari

Jawab:

1  z 1 X( z)  1  z 1  0,5z  2

z(z  1) X( z)  2 z  z  0,5 

z(z  1) [z  (0,5  j0,5)][z  (0,5  j0,5)]

Zero : z1  0

z2  1

Pole : p1  0,5  j0,5

p2  0,5  j0,5

p1  p 2

*

 Fungsi Sistem dari Sistem LTI Y( z ) y( n )  h ( n ) * x ( n )  Y ( z )  H ( z ) X ( z )  H ( z )  X( z )

Respon impuls h(n)  H(z)

Fungsi sistem

Persamaan beda dari sistem LTI :

y( n )  

N

a k 1

Y( z )  

M

k

y( n  k )   b k x ( n  k ) k 0

N

a k 1

k

Y( z) z

k

M

  b k X( z ) z k 0

k

Y( z )  

N

a k 1

Y(z)[1 

k

N

a k 1

Y( z) z

k

  b k X( z ) z

k

k 0

M

z ]  X( z) b k z k

k

M

k

k 0

M

Y(z)  X(z)

k b z  k k 0

1

N

k a z  k k 1

 H(z) Fungsi sistem rasional

M

Y(z)  X(z)

k b z  k k 0

1

N

k a z  k

 H(z)

pole-zero system

k 1

1kN

Hal khusus I : ak = 0, H( z) 

M

k b z  k k 0

1  M z

M

M  k All-zero system b z  k k 0

1kM

Hal khusus II : bk = 0, bo

H(z)  1

N

k a z  k k 1



bo N

k a z  k k 0

ao  1

All-pole system

Contoh Soal 12 Tentukan fungsi sistem dan respon impuls sistem LTI :

1 y(n )  y(n  1)  2x (n ) 2 Jawab: 1 1 Y ( z )  z Y ( z )  2X ( z ) 2 1 1 Y(z)(1  z )  2X(z) 2 2 H(z)  1 1 1 z 2

n

1 h (n )  2   u (n ) 2

TRANSFORMASI -Z BALIK  Definisi transformasi balik X( z) 



n x ( n ) z 

n  

1 n 1 x (n )  X ( z ) z dz  2j

Teorema residu Cauchy :  1 d k 1f (z) , bila z o di dalam C  1 f (z) k 1 dz   (k  1)! dz z  zo k  C 2j (z  z o )  bila z o di luar C 0,

Ekspansi deret dalam z dan z-1 X(z) 



n c z  n

n  

Contoh Soal 13 Tentukan transformasi-z balik dari X ( z)  1 

Jawab:

3 1 7  2 15 3 31  4 z  z  z  z  2 4 8 16

3 1 7  2 15 3 31  4 X ( z)  1  z  z  z  z  2 4 8 16

X( z) 



 x (n )z

n  

n

 3 7 15 31  x (n )  1, , , , ,   2 4 8 16 

 Ekspansi fraksi-parsial dan tabel transformasi-z X(z)  1X1 (z)   2 X 2 (z)     K XK (z) x(n)  1x1 (n)   2 x 2 (n)     K x K (n) Contoh Soal 14 Tentukan transformasi-z balik dari

X( z ) 

1 1  1,5z 1  0,5z  2

Jawab: z2 z2 X( z )  2  z  1,5z  0,5 (z  1)(z  0,5)

X( z ) z A1 A2  2   z z  1,5z  0,5 (z  1) (z  0,5)

X( z ) z A1 A2 2 1  2     z z  1,5z  0,5 (z  1) (z  0,5) (z  1) (z  0,5) z A1 A2 A1 (z  0,5)  A 2 (z  1)    2 z  1,5z  0,5 (z  1) (z  0,5) (z  1)(z  0,5) z A1 A2 (A1  A 2 )z  (0,5A1  A 2 )    2 z  1,5z  0,5 (z  1) (z  0,5) z 2  1,5z  0,5

A1  A2  1

0,5A1  A2  0

A1  0,5A1  0,5A1  1



2 1 X( z )   1 (1  z ) (1  0,5z 1 )

 A1  2

A2  0,5A1 

A2  1

x(n)  [2  (0,5) 2 ]u(n)

Contoh Soal 15 Tentukan respon impuls dari suatu sistem LTI (Linear Time Invariant) yang dinyatakan oleh persamaan beda :

y(n)  3y(n  1)  y(n  2)  4,5x(n)  9,5x(n  1) Jawab:

Y(z)  3z 1Y(z)  2z 2 Y(z)  4,5X(z)  9,5z 1X(z)

Y(z)(1  3z

1

2

1

 2z )  X(z)(4,5  9,5z )

Y( z) 4,5  9,5z 1 H( z)   1 2 X(z) 1  3z  2z

4,5  9,5z 1 H(z)  1  3z 1  2z  2

H(z) 4,5z  9,5  2 z z  3z  2

H( z ) A1 A2 5 0,5     z z 1 z  2 z 1 z  2 5 0,5 H( z )   1 1  (1)z 1  (2)z 1

h(n)  [5(1) n  0,5(2) n ]u(n)

Contoh Soal 16 Tentukan output dari suatu sistem LTI (Linear Time Invariant) yang dinyatakan oleh persamaan beda :

y(n)  3y(n  1)  y(n  2)  4,5x(n)  9,5x(n  1) y(1)  0

y(2)  0

dan mendapat input x(n) = (-3)nu(n)

y(n)  y zs (n)

Jawab: Y(z)  3z 1Y(z)  2z 2 Y(z)  4,5X(z)  9,5z 1X(z) Y(z)(1  3z 1  2z 2 )  X(z)(4,5  9,5z 1 )

Y(z)(1  3z 1  2z 2 )  (4,5  9,5z 1 )X(z)

x (n )  (3) u (n )



n

Y(z)(1  3z

1

1 1 X( z )   1 1  (3)z 1  3z 1

1  2z )  (4,5  9,5z ) 1 1  3z 2

1

(4,5  9,5z 1 ) Y( z )  (1  3z 1  2z  2 )(1  3z 1 ) Y(z) z 2 (4,5  9,5z 1 )  3 z z (1  3z 1  2z  2 )(1  3z 1 ) Y( z) (4,5z 2  9,5z) (4,5z 2  9,5z)  2  z (z  3z  2)(z  3) (z  1)(z  2)(z  3)

Y( z) (4,5z 2  9,5z) (4,5z 2  9,5z)  2  z (z  3z  2)(z  3) (z  1)(z  2)(z  3) A3 (4,5z 2  9,5z) A1 A2    (z  1)(z  2)(z  3) (z  1) (z  2) (z  3) Y(z) A1 (z 2  5z  6)  A 2 (z 2  4z  3)  A 3 (z 2  3z  2)  z (z  1)(z  2)(z  3) A1  A 2  A 3  4,5 5A1  4A 2  3A 3  9,5 6A1  3A 2  2A 3  0

1 D 5 6

1 1 4 3 2 3 2

A1 

4,5 1 1 9,5 4 3 0 3 2 D



5  2,5 2

 2,5  1  A3  4,5



A2 

1 5 6

A3  6

Y(z)  2,5 1 6    z (z  1) (z  2) (z  3)  2,5 1 6 Y(z)    1 1 (1  z ) (1  2z ) (1  3z 1 )

y zs (n)  [2,5(1) n  (2) 2  6(3) n ]u(n)

4,5 9,5 0 D

1 3 2



2 1 2

 Pole-pole berbeda semua

AN X( z ) A1 Ak    z z  p1 z  pk z  pN (z  p k )A N (z  p k )X(z) (z  p k )A1     Ak    z z  p1 z  pN

( z  p k ) X( z)  Ak z z  pk

Contoh Soal 17 Tentukan zero-state response dari suatu sistem LTI yang mendapat input x(n) = u(n) dan dinyatakan oleh persamaan beda :

y(n)  6y(n  1)  8y(n  2)  5x(n)  28x(n  1)  8x(n  2)

Jawab: Y(z)  6z 1Y(z)  8z 2 Y(z)  5X(z)  28z 1X(z)  8z 2 X(z)

1 X(z)  1  z 1

(5  28z 1  8z 2 ) 1 Y( z )  1  6z 1  8z  2 1  z 1

A3 Y( z) (5z 2  28z  8) A1 A2  2    z (z  6z  8)(z  1) z  2 z  4 z  1

A3 Y( z) (5z 2  28z  8) A1 A2     z (z  2)(z  4)(z  1) z  2 z  4 z  1 (z  2)Y(z) 5z 2  28z  8 20  56  8 84 A1      14 z (z  4)(z  1) z  2 (2)(3) 6

(z  4)Y(z) 5z 2  28z  8 80  112  8 200 A2      20 z (z  2)(z  1) z  4 (2)(5) 10 (z  1)Y(z) 5z 2  28z  8 5  28  8  15 A3      1 z (z  2)(z  4) z 1 (3)(5) 15

Y( z)  14 20 1    z z  2 z  4 z 1

 14 20 1 Y( z )    1 1 1  2z 1  4z 1  z 1

y zs (n)  [14(2) n  20(4) n  1]u(n)

 Ada dua pole yang semua AN X( z) A1 A1k A 2k     2 z z  p1 (z  p k ) z  pk z  pN

(z  p k ) X( z)  z zp 2

A1k

A 2k

k

d  ( z  p k ) 2 X(z)     dz  z  z  pk

Contoh Soal 18 Tentukan transformasi-Z balik dari :

1 X( z)  (1  z 1 )(1  z 1 ) 2 Jawab: 2

A3 X( z) z A1 A2     2 2 z (z  1)(z  1) z  1 (z  1) (z  1)

(z  1)X(z) z2 A1   z (z  1) 2

z  1

1  4

(z  1) X(z) z 1 A2    z (z  1) z 1 2 2

2

d  (z  1) 2 X(z)  d  z2  A3      dz  z  dz  (z  1)  (2z)(z  1)  (1)(z 2 ) z 2  2z 3    2 2 (z  1) (z  1) z 1 4

1 1 3 n x (n )  [ (1)  n  ]u (n ) 4 2 4

 Pole kompleks A1 A2 X( z)   1 1  p1z 1  p 2 z 1 p1  p



p2  p *

A1  A



A2  A *

1

1

A A* A  Ap * z  A * A * pz   1 1 1  pz 1 p*z 1  pz1  p * z 1  pp * z  2 b o  b1z 1 (A  A*)  (Ap *  A * p)z 1  1 2 1 2 1  (p  p*)z  pp * z 1  a1z  a 2 z

A  A*  Re( A)  j Im(A)  Re( A)  j Im(A)  2 Re( A) b o  A  A*  2 Re( A) p  p*  Re( p)  j Im(p)  Re( p)  j Im(p)  2 Re( p) a1  (p  p*)  2 Re( p) pp*  [Re( p)  j Im(p)][Re(p)  j Im(p)]  Re (p)  Im (p)  p 2

2

2



a 2  pp*  p

2

Ap *  A * p  [Re( A)  j Im(A)][Re( p)  j Im(p)]  [Re( A)  j Im(A)][Re( p)  j Im(p)]  2 Re( A) Re( p)  2 Im(A) Im(p) Ap*  [Re( A)  j Im(A)][Re(p)  j Im(p)]  [Re( A) Re( p)  Im(A) Im(p)]  j [Re( p) Im(A)  Re( A) Im(p] b1  (Ap *  A * p)  2 Re( Ap*)

Contoh Soal 19 Tentukan transformasi-Z balik dari :

1  z 1 X( z)  1  z 1  0,5z  2

Jawab: b o  b1z 1 1  z 1 X( z)   1 2 1  z  0,5z 1  a1z 1  a 2 z  2

bo  2 Re( A)  1



Re( A)  0,5

a1  2 Re( p)  1



Re( p)  0,5

b1  2 Re( Ap*)  1



Re( Ap*)  0,5

a 2  p  0,5 2



Re 2 (p)  Im2 (p)  0,5

Re( p)  0,5

Re( A)  0,5

Re (p)  Im (p)  0,25  Im (p)  0,5 2

2

2

Im2 (p)  0,25  Im(p)  0,5  p  0,5  j 0,5 Ap*  [0,5  j Im(A)](0,5  j0,5) Re( Ap*)  0,25  0,5 Im(A)  0,5 Im(A)  0,25  A  0,5  j 0,25 A A* X(z)   1 1 1  pz 1 p*z 0,5  j 0,25 0,5  j 0,25   1 1  (0,5  j 0,5)z 1  (0,5  j 0,5)z 1

0,5  j 0,25 0,5  j 0,25 X( z)   1 1 1  (0,5  j 0,5)z 1  (0,5  j 0,5)z

0,5  j 0,5  0,707e j45

0,5  j 0,5  0,707e j45

x (n )  (0,5  j 0,25)(0,707e j45 ) n  (0,5  j 0,25)(0,707e j45 ) n  (0,5)(0,707) n (cos 45n  j sin 45n )  j(0,25)(0,707 )(cos 45n  j sin 45n ) n

 (0,5)(0,707) n (cos 45n  j sin 45n )  j(0,25)(0,707 n )(cos 45n  j sin 45n )  (0,707) n cos 45n  0,5(0,707) n sin 45n

TRANSFORMASI-Z SATU SISI

 Definisi :

X  (z) 



n x ( n ) z  n 0

Contoh Soal 20 Tentukan transformasi Z satu sisi dari beberapa sinyal diskrit di bawah ini

a ). x1 (n )  1, 2, 5, 7, 0, 1

b). x 2 (n )  1, 2, 5, 7, 0, 1

c). x 3 (n )  0, 1, 2, 5, 7, 0, 1 d ). x 4 (n )  2, 5, 7, 0, 1

Jawab:

a ). x1 (n )  1, 2, 5, 7, 0, 1 X1 (z)  1  2z 1  5z  2  7z  3  z  5

b). x 2 (n )  1, 2, 5, 7, 0, 1 X 2 (z)  5  7z 1  z  3 c). x 3 (n )  0, 1, 2, 5, 7, 0, 1 X 3 (z)  z 1  2z  2  5z  3  7z  4  z  7

d). x 4 (n )  2, 5, 7, 0, 1 X 4 (z)  5  7z 1  z  3

Contoh Soal 21 Tentukan transformasi Z satu sisi dari beberapa sinyal impuls di bawah ini

a ). x 5 (n )  (n ) b). x 6 (n )  (n  k ), k  0 c). x 7 (n )  (n  k ), k  0 Jawab: a ). X 5 (z) 



n  ( n ) z 1 

b). X 6 (z) 

n 0 

c). X 7 (z) 

n k  ( n  k ) z  z  n 0 

n  ( n  k ) z 0  n 0

 Time Delay

k

x (n  k )  z  k [X  (z)   x (n )z n ] n 1

Contoh Soal 22 Tentukan transformasi Z satu sisi dari x1(n) = x(n-2) dimana x(n) = anu(n )

Jawab:

1 x ( n )  a u (n )  X ( z)  1  az 1 2   2  n X1 (z)  z X   x (n )z  n 1    z  2 X   x (1)z  x (2)z 2 

n



z2 1 1 2   a z  a 1  az 1



 Time advance

k 1

x (n  k )  z k [X  (z)   x ( n )z  n ] n 0

Contoh Soal 23 Tentukan transformasi Z satu sisi dari x2(n) = x(n+2) dimana x(n) = anu(n )

Jawab: x (n )  a n u (n )

1  X ( z)  1  az 1 1   2  n  X 2  z X (z)   x (n )z  n 0    z 2 X   x (0)  x (1)z 1



z2 2   z  az 1 1  az





Contoh Soal 24 Tentukan output dari suatu sistem LTI (Linear Time Invariant) yang dinyatakan oleh persamaan beda :

y(n)  3y(n  1)  y(n  2)  4,5x(n)  9,5x(n  1) y(1)  8,5

y(2)  7,5

y(n)  y zi (n)

dengan input x(n) = 0

Jawab:

Y  (z)  3z 1[Y  (z)  y(1)z] 2



 2z [Y (z)  y(1)z  y(2)z ]  0 2

Y  (z)  3z 1[Y  (z)  y(1)z]  2z  2 [Y  (z)  y(1)z  y(2)z 2 ]  0 

Y (z)[1  3z

1

2

 2z ]  3y(1)  2 y(1)z

1  3 (  8 , 5 )  2 (  8 , 5 ) z  2(7,5)  Y (z)  1  3z 1  2z  2 1 17z  10,5  1  3z 1  2z  2

Y  (z) 10,5z  17 10,5z  17  2  z z  3z  2 (z  1)(z  2)

1

 2 y(2)

Y  (z) 10,5z  17 10,5z  17 A1 A2  2    z z  3z  2 (z  1)(z  2) z  1 z  2

(z  1)Y  (z) 10,5z  17 6,5 A1     6,5 z z  2 z  1 1 (z  2)Y  (z) 10,5z  17 4 A2    4 z z  1 z  2 1

6,5z 4z 6,5 4 Y ( z)     1 1 z 1 z  2 1 z 1  2z 

y zi (n)  6,5(1) n  4(2) n

Contoh Soal 25 Tentukan output dari suatu sistem LTI yang mendapat input x(n) = u(n) dan dinyatakan oleh persamaan beda :

y(n )  6 y(n  1)  8y(n  2)  5x (n )  28x (n  1)  8x (n  2) y(1)  4 y(2)  3

Jawab: Y  (z)  6z 1[Y  (z)  y(1)z] 2





 8z [Y (z)  y(1)z  y(2)z ]  5X (z) 2

 28z 1[X  (z)  x (1)z]  8z  2 [X  (z)  x (1)z  x (2)z 2 ] Y  (z)[1  6z 1  8z 2 ]  24  32z 1  24  X  (z)[5  28z 1  8z  2 ]

Y  (z)[1  6z 1  8z 2 ]  24  32z 1  24  X  (z)[5  28z 1  8z  2 ]

Y  (z)[1  6z 1  8z  2 ]  32z 1

5  28z 1  8z 2   1 1 z

1 2 1 2 32 z  32 z  5  28 z  8 z Y  (z)  (1  6z 1  8z  2 )(1  z 1 ) 1 2 5  4 z  24 z Y  (z)  (1  6z 1  8z  2 )(1  z 1 )

Y  (z) 5z 2  4z  24  2 z (z  6z  8)(z  1)

Y  (z) 5z 2  4z  24 5z 2  4z  24  2  z (z  6z  8)(z  1) (z  2)(z  4)(z  1) A3 5z 2  4z  24 A1 A2    (z  2)(z  4)(z  1) z  1 z  2 z  4 5z 2  4z  24 5  4  24  15 A1     1 (z  2)(z  4) z 1 (3)(5) 15 5z 2  4z  24 20  8  24  12 A2    2 (z  4)(z  1) z  2 (2)(3) 6 5z 2  4z  24 80  16  24 40 A3    4 (z  2)(z  1) z  4 (2)(5) 10

Y 1 2 4    z z 1 z  2 z  4

1 2 4 Y    1 1 1 z 1  2z 1  4z 1 

y(n)  [1  2(2)  4(4) ]u(n) n

2

Latihan Soal:

Tentukan transformasi Z dari: 1. 𝑥 𝑛 = −1 𝑛 𝑢 𝑛 1 2. 𝑥 𝑛 = 𝑢 𝑛 − 1 𝑛

Tentukan invers transformasi Z: 1 1. 𝑥 𝑧 = 𝑧 > 0.4 −1 2

2. 𝑥 𝑧 =

(1−0,4𝑧 𝑧 5 −3 1−𝑧 −5

)

𝑧 >1