TIGA DIMENSI
01. MA-75-08 Banyaknya garis lurus yang memotong tiga buah garis yang saling bersilangan ada … A. nol buah B. dua buah C. lebih dari dua buah D. satu buah 02. MA-95-01 Garis g tegak lurus pada bidang V dan bidang W membentuk sudut lancip dengan bidang V. Jika W memotong V menurut suatu garis s, maka proyeksi g pada W A. tegak lurus pada V B. tegak lurus pada s C. berselang tegak lurus dengan g D. sejajar dengan V E. sejajar dengan s 03. MA-96-10 Garis-garis h dan k pada bidang V dengan h ⊥ k. Garis g tegak lurus V, maka … (1) ada bidang melalui g dan sejajar h (2) ada garis memotong g, sejajar V dan tegak lurus h (3) g ⊥ h dan g ⊥ k (4) ada bidang yang tegak lurus g dan tegak lurus h. 04. MA-87-02 a dan b adalah dua buah garis yang bersilang. Titiktitik P, Q, R terletak pada a dan titik-titik K, L, M terletak pada b. Bidang yang melalui P, Q, dan K dan bidang yang melalui R, L , M … A. berhimpit B. sejajar C. berpotongan sepanjang QL D. berpotongan sepanjang PM E. berpotongan sepanjang RK 05. MA-79-42 Garis g dan h bersinggungan. Bidang V melalui g sejajar dengan garis h berpotongan dengan bidang V. Jika k adalah garis potong kedua bidang tersebut, maka A. k sejajar dengan g dan memotong h B. k memotong g dan h C. k dan h bersilangan D. k sejajar h memotong g E. k berimpit dengan g
07. MA-80-43 Bila garis a tegak lurus pada bidang A, garis b tegak lurus pada bidang B, dan bidang A berpotongan dengan bidang B pada garis h, maka … (1) a tegak lurus pada h (2) a tegak lurus pada B (3) b tegak lurus pada h (4) b tegak lurus pada A 08. MA-78-12 Bidang V dan bidang W saling berpotongan pada garis a. Jika garis g tegak lurus bidang V, maka … A. g tegak lurus bidang W B. g sejajar a C. g selalu sejajar bidang W D. g selalu memotong bidang W E. g tegak lurus a 09. MA-83-32 Bidang V dan bidang W berpotongan sepanjang garis a. Bidang U tegak lurus pada garis a. Dengan demikian … (1) bidang U ⊥ bidang V (2) bidang U ⊥ bidang W (3) garis potong bidang U dan bidang W ⊥ a (4) garis potong bidang U dan bidang V ⊥ a 10. MA-82-32 Diketahui tiga bidang U, V dan W, maka yang benar adalah (1) Jika U dan W berpotongan, V dan W berpotongan, maka U sejajar V (2) Jika W tegak lurus U dan V tegak lurus U maka V sejajar W (3) Jika U dan V berpotongan dan W tegak lurus U maka V tidak akan memotong W (4) Jika U sejajar V dan W tegak lurus U, maka W tegak lurus V 11. ITB-76-33 Garis g dan h bersinggungan. Bidang V melalui g dan sejajar dengan garis h, bidang W melalui h dan berpotongan dengan bidang V. Jika k adalah garis potong kedua bidang tersebut, maka … A. k memotong g dan h B. k dan h bersilangan C. k sejajar h dan memotong g D. k sejajar dengan g dan memotong h
06. MA-85-30 Bila garis a tegak lurus bidang A, garis b tegak lurus pa da bidang B, bidang A berpotongan dengan bidang B pada garis h, maka … (1) a tegak lurus pada h (2) a tegak lurus pada B (3) b tegak lurus pada h (4) b tegak lurus pada A
84
12. MA-02-08 Bidang V dan W berpotongan tegak lurus sepanjang garis g. Garis l membentuk sudut 45o dengan V dan 30o dengan W. Sinus sudut antara l dan g adalah … A. 1 2
2
B.
2
3
C. D. E.
2 1 3
3 2 3
13. MA-82-20 ABCD adalah empat persegi panjang pada bidang horisontal, dan ADEF empat persegi panjang pula pada bidang vertikal. Panjang AF = 3 m, BC = 4 m dan CE = 7 m. Jika α dan β berturut-turut sudut antara BE dengan bidang ABCD dan bidang ADEF, maka tan α tan β= … A.
3
B.
4
C.
5
D.
4 21 5 21
E.
17. MA-77-38 B1 ialah bola luar kubus K, sedangkan B2 ialah bola dalam kubus K. Maka perbandingan (isi B1) : (isi B2) sama dengan A. 3√3 : 1 B. 2√2 : 1 C. 27 : 1 D. 3 : 1 E. 2 : 1
35 35
35
14. MA-78-33 Kubus ABCD.EFGH berusuk a cm. P, Q dan R adalah titik-titik tengah dari AD, AB dan BF. Penampang bidang PQR dengan kubus berupa … A. bujur sangkar B. segi tiga sama sisi C. segi lima beraturan D. trapesium sama kaki E. segi enam beraturan 15. MA-78-42 Perbandingan panjang rusuk kubus ABCD.EFGH dan panjang rusuk kubus KLMN.PQRS adalah sebagai 3 : 4 sedangkan jumlah isi kedua kubus itu sama dengan 728 cm2, maka … A. KL = 6 cm B. KL = 4 cm C. AB = 8 cm D. AB = 6 cm E. AB = 3 cm
18. ITB-76-36 Perbandingan antara isi bola dalam dan isi bola luar kubus adalah … A. 1 : 2√2 B. 1 : 3√3 C. 1 : 5√5 D. tergantung dari panjang rusuk kubus. 19. MA-79-36 Dalam sebuah kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk sama dengan 2 dibuat bola dengan titik pusat berhimpit dengan titik pusat kubus sedemikian sehingga rusuk-rusuk AB, CD, EF dan GH menyinggung bola tersebut. Maka luas permukaan bola tersebut sama dengan … A. 12π B. 4π C. D. E.
8 3
π√2
8π√2 8π
20. MA-01-09 Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah a. Jarak A ke diagonal BH adalah … a A. 2 6 B. C. D. E.
a 3
a 4
a 5
a 6
6
6 6 6
21. MA–99–03 Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4. Titik T pada perpanjangan CG sehingga CG = GT. Jika sudut antara TC dan bidang BDT adalah α maka tan α = … A. √2
16. MA-77-25 Dalam kubus ABCD.EFGH garis-garis AF dan BH bersilangan dengan sudut … A. 300 B. 450 C. 600 D. 750 E. 900
85
B.
1 2
√2
C.
1 3
√2
D.
1 4
√2
E.
1 6
√2
22. MA–99–03 Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4. Titik T pada perpanjangan CG sehingga CG = GT. Jika sudut antara TC dan bidang BDT adalah α maka tan α = … A. √2 B.
1 2
√2
C.
1 3
√2
D.
1 4
√2
E.
1 6
√2
G Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a. Melalui diagonal F DF dan titik tengah rusuk AE di buat bidang datar. Luas bagian biC dang di dalam kubus sama dengan … B
E D A A.
3 2
a2
1 2 1 3
a2 √6
B. 2 a2 C. a2 √6 D.
23. MA-06-03 Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Jika titik P pada CG dan titik Q pada DH dan CP = DQ = 1 cm. maka bidang PQEF mengiris kubus tersebut menjadi dua bagian. Volume bagian yang lebih besar adalah … A. 36 cm3 B. 38 cm3 C. 40 cm3 D. 42 cm3 E. 44 cm3 24. MA-00-04 Dalam kubus ABCD.EFGH titik S adalah titik tengah sisi CD dan P adalah titik tengah diagonal ruang BH. Perbandingan antara volume limas P.BCS dan volume kubus ABCD.EFGH adalah … A. 1 : 4 B. 1 : 6 C. 1 : 8 D. 1 : 12 E. 1 : 24 25. MA-94-01 Titik P, Q, R masing-masing terletak rusuk rusuk BC, FG, dan EH sebuah kubus ABCD.EFGH. Jika BP =
26. MA-87-07 H
1 3
BC, FQ=
2 3
FG dan ER =
2 3
E.
27. MA-86-12 Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan sisi a. T adalah suatu ririk pada perpanjangan AE sehingga TE = 1 a. 2
Jika bidang TBD memotong bidang alas EFGH sepanjang PQ, maka PQ = … a T A. 3 H G a B. 3 √2 E F C. D. E.
a
D
2
a 2
√2
2a 3
A
C B
√2
28. MA-03-05 Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a cm. Jika S merupakan proyeksi titik C pada bidang AFH, maka jarak titik A ke titik S adalah … A. B.
EH, perban-
dingan luas irisan bidang P,Q dan R dan luas permukaan kubus adalah … H G A. 1 : 6 R Q B. √8 : 6 E F C. √10 : 6 D. √8 : 18 D C E. √10 : 18 A B P
a
C.
1 a 3 1 a 3 2 a 3
3 cm 6 cm 6 cm
D. a√2 cm E. a√3 cm 29. MA-80-40 Pada suatu kubus ABCD.EFGH, sudut antara garis AH dan bidang diagonal BFHD sama dengan … A. 150 B. 300 C. 450 D. 600 E. 750
86
30. MA-88-03 H E
pertengah F
P A A. B. C. D. E.
G Diketahui kubus ABCD.EFGH P pertengahan AE, Q
D
Q an CG. Bidang yang melalui H, P dan Q membagi kubus atas C dua bagian dengan perbandingan volumenya …
34. MA-05-03 Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 2. Jika P titik tengah HG, Q titik tengah FG, R titik tengah PQ dan BS adalah proyeksi BR pada bidang AMCD, maka panjang BS = … A. B.
B
C.
3:4 3:2 3:1 2:1 1:1
1 2 1 2 1 2
√14 √10 √6
D. 1 E.
1 2
√2
35. MA-81-22 H
31. MA-80-24 Jarak antara titik C dengan bidang BDG dalam kubus ABCD.EFGH yang panjang rusuknya 6 cm , adalah … A. 3√2 cm B. 2√6 cm C. √6 cm D. √3 cm E. 2√3 cm
E
1 2
√3
B. √2 C.
1 2
H E
3. Jarak BD dan CE sama dengan
G
D
C
1 2
a√2
36. MA-81-32 Tinggi suatu bidang empat beraturan, dengan rusukrusuk sama dengan a cm, adalah … A. B.
a C. 2
E.
a√6
yang benar ialah pernyataan … A. 1, 2 dan 4 B. 2, 3 dan 5 C. 2, 4 dan 5 D. 1, 3 dan 5 E. 1, 4 dan 5
B
33. MA-04-09 Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a. P dan Q masing-masing merupakan titik tengah AB dan CD, sedangkan R merupakan titik perpotongan EG dan FH. Jarak titik R ke bidang EPQH adalah … a A. 5 a B. 3
D.
1 6
4. BD ⊥ CH
F
5. Jarak AE dan DF sama dengan A
C
A B ABCD.EFGH suatu kubus dengan rusuk a. Di antara pernyataan-pernyataan di bawah ini 1. AF memotong BG 2. AC ⊥ BH
√2
D. √3 E. √6
F D
32. MA-84-16 Ditentukan kubus ABCD.EFGH. Tangen sudut antara CG dengan bidang BDG ialah A.
G
C. D.
a 5 5 a 2 2
E.
87
1 2 1 3 2 3 1 4 1 3
a√6 cm a√6 cm a√6 cm a√3 cm a√3 cm
37. MA–98–06 Pada bidang empat T.ABCD, bidang alas ABC merupa-kan segitiga sama sisi, TA tegak lurus pada bidang alas, panjang TA sama dengan 1 dan besar sudut TBA ada-lah 30o. Jika α adalah sudut antara bidang TBC dan bidang alas, maka tan α = … 2 A. 3 B. C. D. E.
6
B.
3 3
C.
2 3 3 √3 3 2
D. E.
38. MA-93-05 T
D A A. B. C. D. E.
41. MA-81-20 Dari sebuah bidang-empat ABCD diketahui BC ⊥ BD dan AB tegak lurus bidang BCD. BC = BD = a√2 dan AB = a , maka sudut antara bidang ACD dan bidang BCD sama dengan … π A.
C B
Pada limas beraturan T.ABCD, AT = 3a√2, AB = 3a. Luas irisan bidang datar melalui A dan tegak lurus TC dengan limas …
C. D. E.
7 7
B.
14 7 21 7
C. D.
2 7 7
E.
42 7
4
π 3
π 2
1 2 1 2 1 3
√2 √3 √6
43. MA–98–06 Pada bidang empat T.ABCD, bidang alas ABC merupa-kan segitiga sama sisi, TA tegak lurus pada bidang alas, panjang TA sama dengan 1 dan besar sudut TBA ada-lah 30o. Jika α adalah sudut antara bidang TBC dan bidang alas, maka tan α = … 2 A. 3 B.
40. MA-97-09 Pada bidang empat T.ABC, bidang TAB, TAC dan ABC saling tegak lurus. Jika TA = 3, AB = AC = √3 dan α adalah sudut antara bidang TBC dan ABC, maka sin α adalah … A.
5
π
42. MA-90-05 Rusuk TA, TB TC pada bidang empat T.ABC saling te-gak lurus pada T. AB = AC = 2√2 dan AT = 2. Jika α adalah sudut antara bidang ABC dan bidang TBC, ma-ka tan α = … A. √2 B. √3
a2√3 3a2√2 3a2√6 6a2√3 6a2√6
39. MA-91-06 Panjang setiap rusuk bidang empat beraturan T.ABC sa ma dengan 16 cm. Jika P pertengahan AT dan Q pertengahan BC, maka PQ sama dengan … A. 8 √2 cm B. 8 √3 cm C. 8 √6 cm D. 12 √2 cm E. 12 √3 cm
π
C. D. E.
3 3 2 3 3 √3 3 2
44. MA-83-19 Pada limas beraturan T.ABCD , TA = TB = TC = TD = √3 dm dan ABCD bujur sangkar dengan sisi 2 dm. Besar sudut antara bidang TAB dan TCD ialah … A. 90 0 B. 75 0 C. 60 0 D. 45 0 E. 30 0
88
45. MA-92-10 Diketahui bidang empat T.ABC. TA = TB = 5 ; TC = 2 ; CA = CB = 4 ; AB = 6. Jika α sudut antara TC dan bidang TAB, maka cos α adalah … A. B. C. D. E.
49. MA-85-15 D
15 16 13 16 11 16 9 16 7 16
C A. √3 B. C.
46. MA-89-07 Diketahui ABCD sebuah siku empat. ∆TAB sama kaki dengan alas AB. ∆TAB tegak lurus pada ABCD. Jika AB = 12, AD = 7 dan TD = 25 maka jarak T ke bidang ABCD adalah … C
D B A
A. B. C. D. E.
1 2
√2111
6√15 15√6 17 √612
D. E.
B. C. D. E. C E
48. MA-85-13 Dari limas beraturan T.PQRS diketahui TP = TQ = TR = TS = 2 dan PQ = QR = RS = SP = 2. Jika α adalah su-dut antara bidang TPQ dan bidang TRS, maka cos α sama dengan … A. B. C. D. E.
1 2 1 3 2 3 1 2 1 3
√3 √3
√3 √3
50. MA-79-15 Pada bangun DABC, diketahui bidang ABC sama sisi, DC tegak lurus ABC, panjang DC = 1 , dan sudut DBC = 300. Bila α adalah sudut antara bidang DAB dan CAB, maka tan α adalah … D A. √3
T 47. MA-86-34 Diketahui ABC segitiga D sembarang dan E pada BC. Jika DA ⊥ ABC dan AE ⊥ BC, maka … (1) DA ⊥ BC A (2) BC ⊥ ADE (3) DE ⊥ BC (4) ∠ AED = sudut antara bidang ABC dan bidang BCD B
1 3 2 3 2 3 3 2
Pada bangun DABC diketahui bahwa segitiga ABC sama sisi A DC ⊥ bidang ABC, panjang DC = 1, dan sudut DBC = 300 Bila α menyatakan sudut antara bidang DAB dengan CAB, B maka tg α adalah …
1 3 2 3 3 2 2 3
√3
A
√3
C B
51. MA-79-22 Dari sebuah kerucut lingkaran tegak diketahui bahwa : penambahan volum karena bertambahnya jari-jari dengan 24 cm sama dengan penambahan volum karena bertambahnya tinggi kerucut itu dengan 24 cm. Jika ting gi semula kerucut tersebut 3 cm, maka jari-jari semula … A. 18 cm B. 12 cm C. 8 cm D. 6 cm E. 3 cm 52. MA-75-31 Dari suatu bidang empat tegak OABC, diketahui OA tegak lurus bidang ABC, OA = 6 cm, segitiga ABC sama sisi dengan AB = 8 cm. Maka luas segitiga OBC adalah … A. 4√42 cm2 B. 6√21 cm2 C. 16√5 cm2 D. 42√2 cm2
89
53. MA-75-39 Jika dari suatu limas beraturan T.ABCD diketahui TA = AB = 4 cm, maka tinggi dan isinya berturut-turut adalah … A. 2√2 cm dan 16√2 cm3 2 3
cm3
B.
2√2 cm dan 32
C.
3√2 cm dan 16√3 cm3
D.
3√2 cm dan 32
2 3
cm3
54. MA-84-28 Bidang empat (tetrahedron) T.ABC mempunyai alas segitiga siku-siku ABC, dengan sisi AB = AC. TA = 5√3 dan tegak lurus pada alas. Jika BC = 10, maka sudut an-tara bidang TBC dan bidang alas adalah … A. 300 B. 450 C. 600 D. 750 E. 900 55. ITB-76-34 Tinggi sebuah kerucut lingkaran tegak 16 cm, sedangkan jejari (radius) lingkaran alasnya 12 cm. Perbandingan antara isi bola dalam kerucut dan isi kerucut itu sendiri adalah … A. 3 : 5 B. 3 : 8 C. 5 : 3 D. 5 : 8 56. ITB-76-35 Diketahui limas T.ABC, pada rusuk TA dipilih titik P pada TB titik Q dan pada TC titik R sehingga: TP : PA = 1 : 2 TQ : QB = 2 : 3 TR : RC = 3 : 4 Maka perbandingan isi limas T.ABC dan T.PQR adalah … A. 35 : 2 B. 35 : 98 C. 5 : 1 D. 4 : 1
90
Eksponen
01. MA-77-48 Jika n bilangan asli, maka 10 2n – 1 habis dibagi oleh … (1) 3 (2) 9 (3) 99 (4) 11 02. MA-80-30 Harga x yang memenuhi persamaan 4 x + 3 = ialah … A. 2 B. 5 C.
8x + 5
( )
08. MA-89-06 Nilai x yang memenuhi pertaksamaan 2 1 ( 27 x ) 3 > adalah … 81x-2 9 2x A. x > −
9 5
D. – E.
4
07. MD-04-01 Nilai x yang memenuhi persamaan 1 1 = 2 + 3. −1 x −3 2 2 adalah … A. 4 B. 2 C. 0 D. –2 E. –4
B. x < − 9 5
12 5 12 5
4
C. x > 5
2 5
4
D. x > − 5
4
03. MD-93-09 Nilai x yang memenuhi persamaan
()
1 x −1 4
E. x < − 5 = 3 23 x +1
adalah … A. x = B. x = C. x = D. x = E. x =
09. MD-89-14 Persamaan 93 x+2 =
2 9 4 9 5 9 2 5 4 5
1 812 x - 5
mempunyai
penyelesaian x = ... A. 2 1 6
B. 1 6 C. D.
04. MA-78-02 Akar dari persamaan 3 5x – 1 = 27 x + 3 adalah … A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5
E.
7 11 7 11 12 11 14
10. MA-83-23 ⎛ 3 ⎞ Nilai x dari persamaan ⎜ x- 2 ⎟ ⎝3 ⎠
A.
2 3 1
05. MA-86-35
B. 4 2
2
Jika diketahui 3 x - 1 = 27 x + 3 , maka x = … (1) 5 (2) –5 (3) –2 (4) 2
1
C. –3 3 1
D. 3 3 1
E. –4 2
06. MD-92-13 Penyelesaian persamaan A. 0 B. 1 1
3
2 x+1
= 9 x- 2 ialah …
2
C. 2 D. 3 1
2
E. 4 91
2
=3
1 9
adalah …
11. MD-05-02 Nilai x yang memenuhi persamaan : 3
(0,008)7 − 2 x (0,2)− 4 x + 5
17. MD-85-17 Dari fungsi eksponen f (x) = 2 memenuhi f (x) = 1 adalah … A. 0 B. 1
=1
adalah … A. –3 B. –2 C. –1 D. 0 E. 1
A. B. C. D. E.
4
4
E.
⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 243 ⎟ ⎝ ⎠
1 5 6 7 8
3x
⎛ 3 ⎞ = ⎜ x−2 ⎟ ⎝3 ⎠
2
1 9
Jika xo memenuhi persamaan, maka nilai 1 – A. B. C. 1 81
dan 2x – y – 16 = 0, maka nilai x + y = …
21 20 18 16 14
D. E.
14. MD-96-23 Untuk x dan y yang memenuhi sistem persamaan 5x – 2y + 1 = 25x – 2y dan 4x – y + 2 = 32x – 2y + 1 , maka nilai x.y=… A. 6 B. 8 C. 10 D. 15 E. 20 15. MD-83-16 Nilai x yang memenuhi persamaan 3 x
0,4
=9
2
2
D. 1 E. 1 1
2
20. MD-83-15 Himpunan jawab persamaan 32x + 2 + 8 3x – 1 = 0 adalah
()
1
A. ( 2 )
1 0, 6 3
1
B. ( 2 , C. (–2 ,
B. 1 C. 3 D. √3
1 3 1 3
) )
D. (–2) E. (–2 , – 1 ) 3
16. MA-77-22 1- 3x Jika 2 = 0 maka haruslah … x -4 A. x = 1 B. x = + 2
21. MD-84-17 x 4 3x - 2 8 Bila (2 ) + = 1 , maka x = … 20 5 A. 3
B.
x=
D.
x=0
E.
x=–3
2 2 3
2
C. – 3
1 3
C.
xo = …
13 16 1 14 3 14 1 24 3 24
B. 0 C. 1
3
1 9
3 4
19. MD-06-19 Jika x1 dan x2 solusi persamaan 3.9x + 91 – x = 28, maka x1 + x2 = … A. – 1
adalah … A. 1
E.
–2 atau 1
18. MD-00-21 Diberikan persamaan :
8x = 32 dan 4x . 2y = 322 , maka x + y = … 2y
13. MD-95-20 Jika 3x - 2y = A. B. C. D. E.
harga x yang
C. –1 atau 2 D. 0 atau 1
12. MA-06-13 Jika
x 2-x-2
D. – 3 2
1
E. 1
92
22. MA-92-05
– Diketahui f (x) = 25 x + 2x – 12. Jika f (x1) = f (x2) = 0 maka x1 . x2 = … A. 6 B. 5 C. 4 D. –5 E. –6
23. MD-90-20 Jumlah-jumlah akar persamaan 3 (4x) – 5 (2x) + 2 = 0 adalah … A. –2 B. –1 C. 0 D. 1 E. 2 24. MD-98-19 Jumlah akar-akar persamaan 5x+1 + 51–x = 11 adalah … A. 6 B. 5 C. 0 D. –2 E. –4 25. MA-03-04 Jarak kedua titik potong kurva y = 22x+1 – 5.2x + 2 dengan sumbu x adalah … A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 E. 6 26. MD-94-23 Nilai-nilai x yang memenuhi persamaan (x2 – 3x – 4) (x2 – 2x – 3) 1000 = 10 adalah …
A. x1 = 1 ; x2 =
C. x1 = –1 ; x2 =
27. MD-89-10
A. B. C. D. E.
30. MD-05-16 Jika grafik fungsi y = N (3–ax) melalui titik (1, 1
) dan
1
A. –2 B. –1 C. 1 2
D. E.
1 2
31. MD-05-01 Jika f(n) = 2n +2 6n – 4 dan g(n) = 12n – 1 , n bilangan asli, f ( n) maka =… g ( n)
A.
E.
adalah ...
1 27
( 2 , 9 ), maka nilai a yang memenuhi adalah …
7 2
2
256 64 32 16 8 x
D.
( )x = x 4 x − x
maka f (3) adalah …
⎛1⎞ Kurva y = 3 x +1 − ⎜ ⎟ berada di bawah kurva ⎝9⎠ x y = 3 + 1 pada saat … A. x < 2 B. x > 1 C. x < 1 D. x > 0 E. x < 0
C.
Himpunan penyelesaian x 2 A. {1} B. {2} C. {0 , 2} D. {1 , 2} E. {0, 1 , 2}
1
29. MA-04-06
9 2 7 2
, x2 = 9
x 2( 2 ) ( 67 - x) x
B.
D. x1 = 1 ; x2 = – 1 2
Jika f = x →
9 2
B. x1 = –1 ; x2 =
E. x1 = –
28. MD-85-06
1 32 1 27 1 18 1 9 2 9
32. MA-87-09 Jika f (x) = 4x dan g (x) = 4 –x , maka … (1) grafik f (x) dan grafik g (x) berpotongan di (0,1) (2) g (x) adalah fungsi invers dari f (x) (3) grafik g (x) adalah cermin grafik f (x) terhadap sumbu y (4) grafik f (x) turun dan grafik g (x) naik
93
33. MA-77-24 Bila rumus pertumbuhan suatu kecambah adalah y = 1 – 2 – t, maka garis batas pertumbuhannya adalah … A. y = 0 B. y = 1
C. y = D. y =
1 2 3 4
E. y = 2 34. MA-05-07 Suatu populasi hewan mengikuti hukum pertumbuhan yang berbunyi : N(t) = 100.000 . 2t – 2 N(t) : besar populasi pada saat t t : waktu dalam satuan tahun Agar besar populasi menjadi 3 kali lipat populasi awal (saat t = 0) maka t = … A. 10log 3 B. 10log 3 – 2 C. 2log 3 – 4 D. 2log 3 – 2 E. 2log 3 35. MA-84-23 Jika x1 dan x2 akar-akar dari persamaan 3x + 33 - x – 28 =0 maka jumlah kedua akar tersebut
adalah … A. 0 B. 3 C. log 3 D. 3 log 3 E. 3 log 14
94
Logaritma
01. MA-80-03 Jika diketahui: a, b dan c bilangan-bilangan nyata, a > 0, a ≠ 1 dan b > 0 maka hubungan ac = b dapat dituliskan juga sebagai … A. a log b = c B. b log a = c C. c log a = b D. a log c = b E. b log c = a
07. MA-77-13 ⎛1⎞ b ⎛1⎞ c ⎛1⎞ a log ⎜ ⎟ . log ⎜ ⎟ . log ⎜ ⎟ = … b c ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝a⎠ A. 1 – abc B. 1 + abc C. 1 D. –1 1 E. abc 08. MA-81-05 1 1 Bila x > 1, maka m + n sama dengan … log x log x A. mn log x
02. MD-81-47 c c log b = p dapat dinyatakan dengan (1) c log b . log c = log p (2) c log b . c log c = c log p (3) log b . log c = log p . log c (4) b = p
2 D. x log (m + n) E. x log mn
09. MA-86-32 Jika m = a log x dan n = b log x , maka … m a = log b (1) n 1 1 x a (2) − = log m n b n b (3) = log a m 1 1 x (4) + = log ab m n
03. MD-82-15 a log (b+c) = … A. a log b + a log c
B.
B. (m + n) log x C. (m + n) log2 x
log (b+c) log a
log b + log c log a a log b . a log c D.
C.
E. log (b+c)a
10. MA-81-41
04. MD-94-17
Untuk a > 0 dan b > 0 , a log b n = … A. B. C.
n a log m m a log n
b b
( log b)
n m
a
2
Bila a > 1, b > 1 dan alog b = p, maka a log b2 sama dengan …
m
A.
1 2
B. C. D. E.
p p2 √p 2p
p
m
D.
a
E.
n b log m
log b n
a
05. MD-83-29 Manakah di antara yang berikut ini ekivalen dengan 2 log x2 y4 ? (1) 4log x4 y8 (2) 2log x2 + 2log y4 (3) √2log x + √2log y4 (4) log xy2 06. MA-78-03 Harga dari a log b . b log c . c log d ialah … A. a log d B. d log a C. log a – log d D. log d – log a E. log a . log d
11. MA-78-05 Jika 2 log (a2 – b2) = 2 log (a – b) dan a > b, maka … A. (a – b) = 1 B. (a – b) = 2 C. (a + b) = 1 D. (a + b) = 2
E. (a + b) =
1 2
12. MA-77-05 Bila g dan a masing-masing bilangan nyata positif, maka g log a berharga negatif bila … A. a tidak negatif B. a lebih besar daripada 1 C. a lebih kecil daripada 1 D. a tidak sama dengan 1 E. a lebih kecil daripada g
95
13. MA-88-04
C2
(0,2) (1,0) A. B. C. D. E.
C1
C1 grafik fungsi y = log x C2 grafik fungsi y=…
17. MD-82-34 Jika log 2 = 0,30103 , maka … (1) log 50 = 1,69897 (2) log 160 = 2,20412 (3) log 20 = 1,30103 (4) log 1 = 0,69897 2
18. MD-83-35 Bila log 5 = 0,69897, maka … (1) log 500 = 10,69897 (2) log 50 = 1,69897 (3) log 0,05 = –2,69897 (4) log 2 = 0,30103
log (x + 2) log (x + 100) 2 log x log 2x log 100 x
14. MA–98–10 Grafik fungsi y = log x2 adalah … y A.
19. MD-88-23
Jika a = 0,1666 … maka a log 36 = … A. – 1
x B.
2
y x
C.
y
1 –2 2
log A. B. C. D. E.
y x
E.
C. D. E.
20. MD-99-20 Diketahui log 2 = 0,3010 dan log 3 = 0,4771 maka
x D.
B.
1 2
(
)
3
2× 3 =… 0,1505 0,1590 0,2007 0,3389 0,3891
21. MD-86-20 9 3 log 3 . log 27 adalah … A. 6 B. 2
y
3
x
15. ITB-75-09 Grafik fungsi y = a log |x| , a > 0 dan a ≠ 1 , simetris terhadap … A. garis y = |x| B. garis y = x C. sumbu y D. sumbu x
C.
11
D.
1 6
E.
3
2
22. MD-93-10 5 log √27 . 9 log 125 + 16 log 32 = …
A. B.
16. MA-78-14 Grafik fungsi y = 2 log x berada di bawah sumbu x jika A. 0 < x < 2 B. 0 < x < 1 C. 0 ≤ x < 1 D. x < 1 E. x < 0
C. D. E.
96
61 36 9 4 61 20 41 12 7 2
23. MD-87-30 (3 log 36)2 − (3 log 4)2 3
A. B. C. D. E.
log 12 2 4 8 12 18
29. MA-82-10 Penyelesaian persamaan ( 2 log x )2 = 1
= …
A. x = 2 dan x = B. C. D. E.
24. MD-97-17 Jika b = a4 , a dan b positif, maka alog b – blog a adalah … A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3 4 4
D.
a 2c b
E.
1 6
B.
30. MD-94-24 Jika (alog (3x – 1)) (5log a) = 3 , maka x = … A. 42 B. 48 C. 50 D. 36 E. 35
B. x = c
log
1 = … a3
26. MD-02-24 Jika a > 1, b > 1, dan c > 1, maka b log √a . c log b2 . a log √c = … A.
x = 2 dan x = √2 x=2 x = 1 dan x = –1 x=1
31. MD-81-24 Jika diketahui log log x + log 2 = 0, maka ... A. x = 4
E. 4 1
25. MD-98-20 1 b 1 a . log 2 . log b c A. –6 B. 6 b C. a 2c
1 2
1 4 1 2
C. 1 D. 2 E. 3
27. MA-82-27 Diketahui y = log x dan x2 + ax + (a – 1) = 0. Agar y ada nilainya untuk semua x tersebut di atas, haruslah … A. a ≠ 0 B. a ≠ 1 C. a > 0 D. a < 0 E. 0 < a < 1
C. x =
2 1 2
D. x = 100 E. x =
10
32. MD-89-20 Penyelesaian dari 2 A. 0 B. 1 C. 2 D. 10 1 E. 10
log x
= 1 ialah ...
33. MD-04-16 Jika kurva F(x) = log (x2 – 3x + 3) memotong sumbu x di titik (a, 0) dan (b, 0), maka (a + b) = … A. –2 B. –1 C. 1 D. 2 E. 3 34. MD-89-23
Jika 2log a = 3, maka ((a 2)3) A. B. C.
28. ITB-75-15 Fungsi log x hanya didefinisikan untuk x positif, bilangan-bilangan asli yang terkandung didalam daerah ⎛ 25 − x 2 ⎞ ⎟ adalah … definisi fungsi f (x ) = log ⎜⎜ 2 ⎟ ⎝ 2 x − 3x + 1 ⎠ A. 2, 3, 4 B. 2, 3, 4, 5 … C. 1, 2, 3, 4 D. 1, 2, 3, 5
D. E.
97
1 64 1 81 1 729 1 512 1 4096
−
1 2
= ...
35. MD-91-27 Nilai x yang memenuhi sistem persamaan linear : 2 log x – log y = 1 log x + log y = 8 adalah … A. 2 B. 100 C. 200 D. 1000 E. 2000 36. MD-97-18 log x = 1 log 8 + log 9 – 3
1 3
log 27 dipenuhi untuk x
sama dengan … A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 E. 1
41. MD-85-29 Karena operasi logaritma hanya dapat dilakukan kepada bilangan positif, maka 4
(1) (2) (3) (4)
D. 1 E. 2 log (x x ) + log ( y ) + log (x y 2 ) =… log (x y)
1
3 2
D.
2
E.
2
x + 16 = 1 sama x
dengan ... A. 10 B. 6 C. 2 D. 0 E. –2 40. MD-89-22
Himpunan penyelesaian persamaan 9 adalah ... A. { 1 } 2
C.
{2}
D.
{6 , –2}
E.
{216 , –8}
3
3
3
45. MD-90-27
39. MD-01-18
B. {–2 } C. {3 } D. { 1 , 3 }
B.
{ 6} { 6 ,− 2 }
A.
5 2
Jumlah akar-akar persamaan log
2
44. MD-88-28 Himpunan penyelesaian persamaan 106 log x – 4(10)3 log x = 12 adalah …
38. MD-88-18
B.
–2 –1
Persamaan 104 log x - 3( 102 log x) - 4 = 0 dipenuhi oleh … (1) –1 (2) 1 (3) –2 (4) 2
1 2
C.
3 2 4 5
43. MD-87-36
1
A.
untuk x = …
2
B. – 2
1 2
1 2
42. MD-87-28 Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan log (2x2 – 11x + 22) = 1 , maka x1 x2 = … A. 11 B. 6 C. –5 1
D. E.
37. MD-96-24 Jika 4 log (4x . 4) = 2 – x , maka x = … A. –1
C.
log (x – 3) + 4log (x – 4) =
3
log (2 x −1)
= 25
Persamaan 4 (1) 6 (2) 5 (3) 4 (4) 3
2
log x
− 5.
2
log x
+ 6 = 0 dipenuhi oleh …
46. MD-94-27 Jika a dan b adalah akar-akar persamaan 3 2 log (4x2 + 3) log (x2 – 1) 3 +4 = 39 maka a + b = … A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 E. –1
2
E. {–2 , 3 }
98
47. MD-87-25 Jika x1 dan x2 memenuhi (1 + 2 log x) log x = log 10 maka x1 x2 = … A. 2√10 B. √10 C. 1 2
D. E.
1 10
–1
53. MD-90-25 Nilai maksimum fungsi f (x) = 2 log (x+5) + 2 log (3–x) adalah … A. 4 B. 8 C. 12 D. 15 E. 16 54. MD-95-21
2
Jika f (x) = 48. MD-87-27
Penyelesaian dari ( 2 log x )2 + 2 2 log ( A. B.
x=1 x= 1
C. D. E.
x=2 x=4 x =√2
A. B. C. D. E.
2 ) = 1 adalah x
2
E.
1 2
3 x
4 3
B. x < 0 atau x > C. x ≠
1 3
D. 0 < x <
4 3
atau x ≠ 1 4 3
dan x ≠
1 3
dan x ≠ 1
E. x > 0 dan x ≠ 1 56. MD-92-15 Jika (x+1) log (x3 + 3x2 + 2x + 4) = 3 maka x adalah … A. 0 B. 1 C. 3 D. 5 E. 9 57. MD-98-29 Jika 2x + y = 8 dan log (x + y) = 2
51. MA-84-21 Jika {a log (3x – 1) } (5 log a ) = 3, maka x = … A. 36 B. 39 C. 42 D. 45 E. 48 52. MA-97-03 Jika 2 log a + 2 log b = 12 2 log a – 2 log b = 4 maka a + b = … A. 144 B. 272 C. 528 D. 1024 E. 1040
( ) sama dengan …
3 2 1 –1 –3
A. 0 < x <
⎛ 2x + 5 ⎞ 2x + 5 Jika log ⎜ log 100 , maka x = ⎟= ⎝ 10 ⎠ … –52,5 –2,45 2,55 4,75
50. MA-80-19 Jika x > 0 dan x ≠ 1 , maka nilai x yang memenuhi persamaan x log (x + 12) – 3 x log 4 + 1 = 0 adalah … A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
maka f (x) + f
55. MD-90-22 ⎛⎜ 4 x −3x 2 ⎞⎟ ⎠ log 5 ada nilainya, maka … Supaya ⎝
49. MD-91-28
(1) (2) (3) (4)
3 log x 1− 2 3 log x
3 2
maka x + 3y = … A. 28 B. 22 C. 20 D. 16 E. 12 58. MD-00-17 Jika x1 dan x2 memenuhi persamaan: (2 log x − 1) 2 1 = log 10 log 10 x1 . x2 = … A. 5√10 B. 4√10 C. 3√10 D. 2√10 E. √10
99
log 2 . 8 log 36
59. MD-00-18 Nilai x yang memenuhi: log x = 4log (a+b) + 2log (a–b) – 3log (a2–b2) – log a+b adalah … a −b A. (a + b) B. (a – b) C. (a + b)2 D. 10 E. 1 60. MD-03-14
Jika 2 3 log (x – 2y) = 3 log x + 3 log y, maka A. 4 atau B. 1 atau
x =… y
1 4 1 4
C. 1 atau 4 D. 3 atau 1 E. 4 atau
4 1 3
61. MD-06-23 Jika y = log x dan x2 + ax + (3 – a) = 0, maka yang bernilai real untuk a yang memenuhi … A. a > 3 B. a < 3 C. a < –6 D. a > –6 E. -6 < a < 3 62. MD-84-22
64. MD-95- MD-95-12 Jika 9 log 8 = 3m , nilai 4 log 3 = … 1 A. 4m 3 B. 4m 3 C. 2m m D. 4 4m E. 3 65. MD-06-15 Jika 4 log 6 = m + 1, maka 9 log 8 = … 3 A. 2m + 4 3 B. 4m + 2 3 C. 4m − 2 3 D. 2m − 4 3 E. 2m + 2 66. MD-03-16 Jika 3 log 5 = p dan 3 log 11 = q , maka 2p + q A. p +1
B.
p + 2q p +1
A. –3x B. – 3
C.
2q + 1 p
C. x D. 3
D. E.
Diketahui 3 log 4 =
-2x , maka 0,25 log 9 = … 3
x
x
15
log 275 = …
(2 p + q )( p + 1) ( p + 2q )(q + 1)
E. 3x 63. MD-04-14 Jika 3 log 4 = a dan a+b A. 2a a+b B. 3a 2a + 2b C. 3a 3a + 3b D. 2a a + 2b E. 3a
3
log 5 = b , maka
8
log 20 = …
67. MA-77-11 4 log 39 ada diantara … A. 3 dan 4 B. 1 dan 2 C. 2 dan 3 D. 4 dan 5 E. 5 dan 6 68. MA-85-22 a2 Jika log 4 = – 24, maka log b A. –8 B. –4 C. 2 D. 4 E. 8
100
3
b2 sama dengan … a
69. MA-81-17 a2 Jika log = 12 , maka log b2 A. –2 B. –1 C. 0 D. 1 E. 2
3
b sama dengan … a
70. MA-80-29 Bila 7 log 2 = a dan 2 log 3 = b, maka 6 log 98 sama dengan … a A. a+b a+2 B. b+1 a+2 C. a (b + 1 ) a+1 D. b+2 a+2 E. b(a + 1 ) 71. MA-03-03 Jika 2log x + 4log √y = 4log z2, maka z2 = … A. x√y B. x2√y C. xy
D. x 4 y E.
x2 4 y
72. MA-94-05 Hasil kali semua x yang memenuhi persamaan
(
73. MA-05-10 Diketahui 2 (4log x)2 – 2 4log √x = 1. Jika akar-akar persamaan di atas adalah x1 dan x2, maka x1 + x2 = … A. 5 1
75. MA-85-21 Jika x ≠ 1 dan x > 0, maka nilai x yang memenuhi persamaan x log (x + 12) – 3x log 4 + 1 = 0 adalah …
A.
1 2
B. C. D. E.
2 4 8 16
76. MA-93-08 x2 - 3 Jika t = ; maka log (1 – | t |) dapat ditentukan 3x - 7 untuk … A. 2 < x < 6 B. –2 < x < 5 C. –2 ≤ x ≤ 6 D. x ≤ –2 atau x > 6 E. x < –2 atau x > 3 77. MA-00-01 Nilai x yang memenuhi persamaan 2 log 2 log (2x + 1 + 3) = 1 + 2 log x adalah … A. log 2 3
B. 2 log 3 C. 3 log 2 D. –1 atau 3 E. 8 atau 1
)
2 24 log 64 2 x − 40 x = 0 adalah … A. 144 B. 100 C. 72 D. 50 E. 36
B. 4 2
74. MA-93-04 Jika x1 dan x2 memenuhi persamaan : x5 10 log 10 5 ; maka x1 + x2 = . . . − 10 log x = 10 10 log x log x A. 5 B. 6 C. 60 D. 110 E. 1100
2
78. MA-00-08 Jumlah semua akar-akar persamaan log x 2 − x − 12 10 x 2 − x − 12 = (x − 4 )2 (x + 3)2 adalah … A. –2 B. –1 C. 0 D. 1 E. 2
(
C. 4 1
D. 2 2 1
E. 2 4
101
) (
)
79. MA-01-05 2 log a Jika 3 = m dan log b m maka =… n 2 A. log 3 B. 3 log 2 C. 4 log 9 D. (3 log 2)2 E. (2 log 3)2
3 2
log a = n, a > 1 dan b > 1, log b
80. MA-06-07
Jika 81 log A. B. C. D. E.
1 y 1 x 1 = log = log , maka 2x – 3y = … y x 81
–162 –81 0 81 162
81. MA-97-10 Diketahui deret geometri : a1 + a2 + a3 + … Jika a6 = 162 dan log a2 + log a3 + log a4 + log a5 = 4 log 2 + 6 log 3 , maka a3 = … A. 2 B. 3 C. 6 D. 8 E. 9 82. MA-91-05 Perhatikan deret : 1 + log cos x + log2 cos x + log3 cos x + … Jumlah deret ini, yaitu S, dapat mengambil setiap nilai…
A. B.
1 2 1 2
<S<1 <S<2 1
C. S < 2 1
D. S > 2 E. S > 1 83. MA-89-10 Jumlah deret geometri tak hingga 2 log x + 4log x + 16log x + . . . adalah …
A.
1 2
log x
84. MA–99–10 Himpunan jawab pertidaksamaan 3 log x + 3log (2x – 3) < 3 adalah … 3
A. { x | x > 2 } B. {x | x >
1 2 log 2
}
C. {x | 0 < x < D. { x |
3 2
9 2
<x<
E. {x | –3 < x <
} 9 } 2 9 } 2
85. MA-96-04 Himpunan penyelesaian pertaksamaan 2 log x ≤ log (x + 3) + log 4 adalah … A. { x | –2 ≤ x ≤ 6 } B. { x | x ≥ 6 } C. { x | 0 < x ≤ 6 } D. { x | 0 < x ≤ 2 } E. { x | 0 < x ≤ 2 atau x ≥ 6 } 86. MA-02-11 Himpunan penyelesaian pertaksamaan 12 ⎞ ⎛ 2 log⎜ x + ⎟ ≥ 3 adalah … x⎠ ⎝ A. {x ∈ R | x ≤ 2 atau x ≥ 6} B. {x ∈ R | 0 < x ≤ 2 atau x ≥ 6} C. {x ∈ R | x < 0 atau 2 ≤ x ≤ 6} D. {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 2 atau x ≥ 6} E. {x ∈ R | 2 ≤ x ≤ 6} 87. MA-86-27 Jawab pertaksamaan logaritma : 2log (x2 – x) ≤ 1 ialah … A. –1 < 0 atau x > 1 B. –1 ≤ x ≤ 2, x ≠ 0 dan x ≠ 1 C. –1 ≤ x ≤ 0 atau 1 < x ≤ 2 D. –1 < x ≤ 0 atau 1 ≤ x ≤ 2 E. –1 ≤ x ≤ 0 atau 1 ≤ x ≤ 2 88. MA-83-20 Himpunan penyelesaian persamaan x log (5x3 – 4x) = x log x5 ialah … A. {2} B. {1 , 2} C. {–2 , –1 , 2} D. {–2 , –1 , 1 , 2} E. {–2 , –1 , 0 , 1 , 2}
B. 2 log x C.
9 2
x
2
D. log x E. 2 2log x
102
89. MA-04-01 Penyelesaian pertaksamaan 2 x+2
log 2− 2 log x + 1 ≤ 0
adalah … 3
1
A. x ≤ − 4 atau − 2 < x ≤ 1 3
1
B. –1 < x ≤ − 4 atau − 2 < x ≤ 1 3
1
3
1
C.
− 4 ≤ x ≤ − 2 atau x ≥ 1
D.
− 4 ≤ x < − 2 atau x ≥ 1 1
E. –1 < x < − 2 atau x ≥ 1 90. MA-95-04 Himpunan jawab pertaksamaan adalah … log ( x+3) + 2 log 2 > log x2 A. { x | –3 < x < 0} B. { x | –2 < x < 0} ∪{ x | 0 < x < 6} C. { x | –2 < x < 6} D. { x | –3 < x < –2}∪{ x | x > 6} E. { x | x < –2}∪{ x | x > 6} 91. MA-77-29 1
(
)
Nilai-nilai yang memenuhi 2 log x 2 − 3 > 0 adalah … A. –√3 < x < √3 B. –2 < x < –√3 atau √3 < x < 2 C. –2 < x < 2 D. x ≥ 2 atau x ≤ –2 E. x > 2 atau x < √3
103
Fungsi komposisi & Fungsi Invers
07. MD-89-26 Grafik berikut yang dapat merupakan grafik fungsi x = f (y) adalah : y (1)
01. MD-92-06
0
x2 - 5x terdefinisi dalam daerah … 1-x x ≤ 0 atau 1 < x ≤ 5 x < 0 atau 1 < x < 5 x ≤ 0 atau 1 ≤ x ≤ 5 0 ≤ x < 1 atau x ≥ 5 0 < x < 1 atau x > 5
x
Fungsi f (x) = A. B. C. D. E.
x
0
02. MD-93-07
Fungsi f dengan rumus f (x) =
y
(2)
y
(3)
x2 − x terdefinisikan x +1
0
pada himpunan … A. { x | x ≥ –1 } B. { x | x ≥ 0 } C. { x | x ≥ 1 } D. { x | –1 ≤ x ≤ 0 atau x ≥ 1 } E. { x | –1 < x ≤ 0 atau x ≥ 1 }
x (4)
.
y 0
x
03. MD-87-13 Bila Df menyatakan daerah asal dan Rf daerah hasil
fungsi y = x - 1 maka … A. Df ={x | x ∈ R} , Rf = {y | y ∈ R} B. Df ={x | x ∈ R , x > 0} , Rf ={y | y ∈ R , y > 0} C. Df ={x | x ∈ R , x > 1} , Rf ={y | y ∈ R} D. Df ={x | x ∈ R , x ≥ 1} , Rf ={y | y ∈ R , y ≥ 0} E. Df ={x | x ∈ R , x ≥ 0} , Rf ={y | y ∈ R , y ≥ 0}
08. MA-80-48 Di antara gambar-gambar berikut, yang kurvanya merupakan grafik dari fungsi yang punya invers ialah …
04. MA-81-14 Bila f : R → R ditentukan oleh f(x) = x2 dan f –1 invers f maka f –1 ({4, 25}) ialah himpunan … A. { x | 2 ≤ x ≤ 5} B. { x | –5 ≤ x ≤ 2} C. { x | 2 ≤ x ≤ 5 atau –5 ≤ x ≤ –2} D. { x | 2 < x ≤ 5} E. { x | 2 < x < 5} 05. MA-82-11 Jika A = { x : x < –1 }, B dan C adalah himpunan bilangan real, f : A → B dengan f(x) = –x + 1 : g: B → C dengan g(x) = x2 dan h = g o f : A → C, bilangan x di A dipetakan ke 64 di C, maka x sama dengan … A. 7 B. 8 C. –9 D. –8 E. –7 06. MA-83-26 Fungsi yang mempunyai invers adalah … (1) y=x+1 (2) y = x3 y = log x (3) (4) y = x2 – 1
(1)
(2)
(3)
(4)
09. MD-90-02 Bila f : R → R dan g : R → R ditentukan oleh 1 f(x) = 2x2 + 5x dan g(x) = , maka (f o g)(2) adalah x A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
E.
104
2 1 3
10 MD-81-41 Diketahui fungsi f : x → x + 3 dan g : x → x + 1 untuk setiap x ∈ R. Maka dapat disimpulkan bahwa ... (1) f o g : x → x + 4 (2) f + g : x → 2x + 4 (3) g o f : x → x + 4 (4) f – g : x → 2
16. MA-84-07
Jika f(x) = x + adalah … A. B.
11. MD-97-03 Jika (g o f) (x) = 4 x2 + 4x , g(x) = x2 – 1 , maka f (x – 2) adalah … A. 2x + 1 B. 2x – 1 C. 2x – 3 D. 2x + 3 E. 2x – 5 12. MA-80-09 Jika f(x) = x2 – 2 dan g(x) = 2x + 1 maka komposisi f{g(x)} = … A. 4x2 – 2 B. 1x2 – 3 C. x2 + 2x – 1 D. 4x2 + 4x + 1 E. 4x2 + 4x – 1
1 1 dan g (x) = x maka g {f(x)} x x
1 x2 x 2 +1 x − 2 x x +1
x2 −
x2 − 1 x − 2 x x −1 D. 2x
C.
E.
x 2 +1 x2 − 2 x x +1
17. MD-90-16 Jika f(x) = 3x dan g(x) = 3x , maka 3 log [g o f (x)] = … A. f (x) B. g (x) C. x D. 3 f (x) E. 3 log x 18. MA-84-12 Bila f : x → 5 2x, maka f –1 adalah … A. 5 log 2x B. 5 log √x C. 2x log 5 D. 5 log 2x E. 2 log 5x
13. MD-02-20 Jika f(x) = ax , maka untuk setiap x dan y berlaku A. f(x) f(y) = f(xy) B. f(x) f(y) = f(x + y) C. f(x) f(y) = f(x) + f(y) D. f(x) + f(y) = f(xy) E. f(x) + f(y) = f(x + y)
19. MA-85-07 Jika f (x) = 53x dan f f –1 (5√5) adalah …
14. MA-81-44 Jika f –1 dan g –1 berturut-turut adalah invers fungsi f 1 , x ≠ 0, dan fungsi g, dengan f(x) = x + 1 dan g(x) = x maka … (f o f) (x) = f (f(x)) = x + 2 (1) (f o f –1) (x) = f (f –1 ) (x) = x (2) (g –1 o g) (x) = g –1 (g(x)) = x (3) 1 (f o g) (x) = f (g(x)) = (4) x +1 15. MD-00-06
–1
(x) invers dari f (x), maka nilai
1
A. – 2 B. C.
1 6 1 2
D. 1 E.
3 2
20. MD-93-08
(
x −1 Diketahui f (x) = 2x + 5 dan g (x) = . x+4 Jika (f o g) (a) = 5, maka a = … A. –2 B. –1 C. 0 D. 1 E. 2
Invers dari f(x) = 1 − x 3 A.
(x − 2)
5 3 5
B. 1 – (x − 2 )3 5
C. 1 + (x − 2 )3 D. E.
105
{1 − (x − 2) } {1 + (x − 2) }
1 5 3 1 5 3
)
1 3
+ 2 adalah …
21. MD-91-03 Jika diketahui bahwa f (x) = 2x , g(x) = 3 – 5x , maka (g o f)–1 (x) = …
A. B. C. D. E.
3 11 6 11 1 10 1 10 6 11
(6 + x (3 + x)
26. MD-01-07 Jika (f o g) (x) = 4x2 + 8x – 3 dan g(x) = 2x + 4 , maka f–1 (x) = ... A. x + 9 B. 2 + √x C. x2 – 4x – 3
(3 – x) (6 – x) (6 – x)
x +1
E. 2 +
x+7
27. MA-84-26
Fungsi invers dari f (x) =
22. MD-92-10 Fungsi f : R → R dan g : R → ditentukan oleh F (x) = 2x + 5 dan g(x) = x + 2, maka (f o g)-1 (x) memetakan x ke … A. x - 9
A. B.
2
B.
D. 2 +
C.
x–9
C.
x+9 2
D.
x+9
E.
x-6 2
23. MD-95-03 Fungsi f : R → R dan g : R → R dirumuskan dengan : f(x) = 1 x – 1 dan g(x) = 2x + 4 , maka (g o f)–1(10) =
D. E.
28. MA-80-38
Jika F(x) =
2
… A. B. C. D. E.
A.
4 8 9 12 16
24. MD-98-02 Jika g(x) = (x + 1) dan (f o g)(x) = x2 + 3x + 1, maka f (x) = … A. x2 + 5x + 5 B. x2 + x – 1 C. x2 + 4x + 3 D. x2 + 6x + 1 E. x2 + 3x – 1 25. MD-89-03 Diketahui f (x) = x + 1 dan f o g (x) = 3x2 + 4. Rumus g (x) yang benar adalah ... A. g (x) = 3x + 4 B. g (x) = 3x + 3 C. g (x) = 3x2 + 4 D. g (x) = 3(x2 + 1) E. g (x) = 3(x2 + 3)
2x − 1 3x + 4 x+4 2x − 3 3x − 4 2x + 1 2x − 3 x+4 x+4 2x + 3
3x + 4 adalah … 2x − 1
B. C. D. E.
x ; maka fungsi inversnya F -1(x) adalah x -1
(x - 1 ) x x+1 x x x -1 x x +1 1 x
29. MD-94-03 Fungsi f : R → R dan g : R → R dirumuskan dengan x −1 f(x) = , x ≠ 0 dan g(x) = x + 3, maka {g(f(x))}–1 = x … 2 − 3x A. x −1 2 + 3x B. x +1 x−2 C. x 4x −1 D. x 1 E. 4− x
106
30. MD-96-03 1 Jika f (x) = dan g(x) = 2x – 1 , maka (f o g)–1(x) = … x 2x −1 A. x x B. 2x −1 x −1 C. 2x x +1 D. 2x 2x E. x −1
34. MD-00-27
x +1 , x ≠ 0 dan f–1 adalah x invers f. jika k adalah banyaknya faktor prima dari 210, maka f–1(k) = … A. 1
Diketahui fungsi f (x) =
B. C.
D. 3 E. 4 35. MD-99-02
Jika f (x ) = x 2 + 1 dan ( f ο g )(x ) =
31. MD-97-15 3x - 2 , maka turunan dari f –1(x) adalah … x + 4 8 x - 10 (x-3 )2 10 ( x − 3) 2 8x (3 − x) 2 14 − 8 x ( x − 3) 2 14 (3 − x) 2
Jika f (x) = A. B. C. D. E.
32. MA-86-15 1 1-x , g –1 (x) = dan h (x) = g [f(x)], x -1 x maka h –1 (x) = … -1 A. 1+x -1 B. 1-x 1 C. 1+x 1 D. 1-x E. x – 1
Jika f (x) =
36. MA-82-02 Diketahui fungsi f dan h, dengan f(x) = 10x dan h(x) = x2 + 2 untuk setiap bilangan x real. Untuk x ≠0 maka f –1 {h (x2) – 2} = … A. log x2 B. log x4 C. log ( x2 + 2 ) D. log ( x2 – 2 ) E. log ( x4 + 2 ) 37. MA-86-28 Jika f (x) = x2 – 8x + 16 dan g (x) = 5x untuk x > 0, maka f –1 { g (x)} = … 1
A. 5 2
x Jika f(x) = √x , x ≥ 0 dan g(x) = , x ≠ – 1, maka x +1 –1 (g o f) (2) = …
B.
1 x 2 − 4x + 5 x−2
maka g(x – 3) = … 1 A. x−5 1 B. x +1 1 C. x −1 1 D. x−3 1 E. x+3
33. MD-99-03
A.
5 1 4 1 3
B.
(5
C.
5
x
x
+4
+4
)
1 2
x
x D. 5 + 4 E. tidak ada
1 4 1 2
C. 1 D. 2 E. 4
107
38. MA-83-15 15 untuk x x > 0. Dengan demikian (f –1 o g–1) (x) = 1 untuk x sama dengan … A. 1 B. 3 C. 5 D. 8 E. 10
Misalkan f(x) = x + 2 untuk x > 0 dan g(x) =
39. ITB-75-40 Diketahui grafik-grafik dari fungsi-fungsi y = f(x) dan y = g(x) seperti pada gambar di bawah (a,0)
g(x) (b,0) (c,0)
f(x) f ( x) > 0 bila … g ( x) a < x < 0 atau b < x < c a ≤ x ≤ 0 atau b ≤ x ≤ c x
c a<x
maka y = A. B. C. D.
108
Hitung Keuangan
01. MD-82-07 Pada saat yang sama Sri mulai menabung Rp. 100.000,- dan Atik Rp. 80.000,-. Kemudian tiap bulan Sri menabung Rp. 1.000,- dan Atik menabung Rp. 1.500,-. Setelah berapa bulan tabungan Sri dan Atik tepat sama ? A. 80 bulan B. 60 bulan C. 50 bulan D. 40 bulan E. tidak pernah tepat sama 02. MD-85-23 Modal Rp. 20.000,00 dibungakan secara bunga tunggal dengan bunga 5 % setahun. Sesudah n tahun modal men-jadi Rp. 27.000,00 maka n adalah … A. 5 B. 6 C. 7 D. 14 E. 35 03. MD-84-19 Seorang pedagang meminjam modal x rupiah di Bank dengan bunga tunggal 2 % sebulan. Ternyata setelah satu tahun dia mengembalikan pinjaman dan bunga semuanya Rp. 310.000,00. Berapa modal yang dipinjam ? A. Rp. 200.000,00 B. Rp. 225.000,00 C. Rp. 250.000,00 D. Rp. 275.000,00 E. Rp. 300.000,00 04. MD-81-35 B meminjam uang sebanyak Rp. 500.000,00 dengan bunga tunggal. Setelah 15 bulan ia mengembalikan uang itu seluruhnya ditambah dengan bunga, sehingga jumlahnya menjadi Rp. 537.500,00, maka bunganya tiap tahun adalah ... A. 7,5 % B. 6 % C. 5 % D. 3 % E. 2 % 05. MD-81-34 Modal sebesar Rp. 50.000,00 dibungakan secara tunggal dengan dasar bunga p % per bulan. Setelah 10 tahun bunga yang diterima Rp. 120.000,00. Berapakah p ? A. 2,4 B. 2 C. 0,24 D. 0,2 E. 0,02
06. MD-81-33 Suatu modal sebesar M rupiah dibungakan dengan bunga p % per tahun. Jika dengan bunga majemuk maka sesudah n tahun modal tersebut menjadi ... ⎛ p ⎞ A. M + ⎜ ⎟ ⎝ 100 ⎠
n
B. (M + p %.M )n C. n M2 . p % D. M (1 – p %) n E. M (1 + p %) n
07. MD-86-24 Bi Neneng memiliki modal sebesar Rp. 1.000.000,- dibungakan 5 %. Modal sesudah 20 tahun adalah … A. Rp. 26.532.969,00 B. Rp. 2.653.296,90 C. Rp. 1.653.296,00 D. Rp. 1.100.000,00 E. Rp. 1.753.000,00 08. MD-89-15 Pada 1 Januari ′80 Budi menabung di bank Rp.20.000,dengan suku bunga 20 % pertahun. Demikian pula pada 1 Januari tahun-tahun berikutnya sampai 10 kali. Tabungan Budi pada tahun ′90 menjadi ... A. (1,210 – 1,2 ) (100.000) rupiah B. (1,211 – 1 ) (100.000) rupiah C. (1,210 – 1 ) (100.000) rupiah D. (1,210 – 1 ) (120.000) rupiah E. (1,211 – 1,2 ) (120.000) rupiah 09. MD-85-24 Ali menyerahkan modal pada bank sebesar Rp.1.000,00. Selama 3 tahun dengan dasar bunga majemuk sebesar 30 % setahun. Maka uang yang diterima Ali setelah 3 tahun adalah … A. Rp. 1.297,00 B. Rp. 1.397,00 C. Rp. 2.197,00 D. Rp. 3.197,00 E. (103 . 133 ) rupiah 10. MD-83-30 Pada tiap awal tahun, Jono menabung Rp.100,- di sebuah bank dengan bunga 4% per tahun. Setelah 20 tahun, tabungan Jono menjadi (dalam rupiah) : (1,04)20 - 1 (1) 104 x 0,04 (2) 100 (1 + 0,04)20 20
(3) 100
∑ (1,04) n n=1
20
(4) 100 + 100
∑ (1,04) n n=1
109
11. MD-84-15 Harga sebuah mesin semula Rp. 3.125.000,00. Jika harganya setiap tahun menyusut 20 % dari harga yang ditaksir pada akhir tahun sebelumnya, maka harga taksiran mesin tersebut pada akhir tahun ke lima adalah A. Rp. 209.600,00 B. Rp. 204.800,00 C. Rp. 200.000,00 D. Rp. 195.200,00 E. Rp. 190.400,00
14. MD-90-05 Harga suatu barang berbanding lurus dengan logaritma permintaan. Bila h = harga dan d = permintaan maka grafik hubungan h dan d dapat digambarkan sebagai berikut … A.
D B.
12. MD-86-25 Suatu perusahaan memiliki utang Rp. 5.000.000,- harus dibayar dengan 10 anuitet tiap tahun. Pembayaran perta ma dilakukan sesudah 1 tahun. Jika bunga 4 %, besar anuitet adalah … A. Rp. 61.645,47 B. Rp. 6.164,54 C. Rp. 616.454,78 D. Rp. 616,45 E. Rp. 616.400,00
D C.
13. MD-88-06 Untuk produk suatu merek sabun, hukum penawarannya berbunyi bahwa harga (p) berbanding langsung dengan kuadrat besar permintaan (n). Untuk n = 3 ternyata p = 3. Grafik fungsi penawaran di atas adalah … p A.
D D.
d 3 E. 0
n
3 p
B.
d –1 C
0
1
n
p
. 3 –3
0
3
n
p
D. 1 3
1 E.
n
p 1 0
1
n
110
Permutasi & Kombinasi
01. MD-99-26 Jika Crn menyatakan banyaknya kombinasi r elemen dari n elemen dan C3n = 2n , maka C72 n = … A. 160 B. 120 C. 116 D. 90 E. 80
02. MD-85-25 Pada suatu konferensi hadir 7 negara, yaitu A, B, C, D, E, F, dan G. Bendera masing-masing negara akan dikibarkan pada tiang yang diatur menjadi satu baris (7 tiang ). Ada berapa macam cara mengatur 7 bendera itu agar bendera negara A dan B terletak di ujung ? 5! A. 2 B. 5 ! 7! C. 2 D. 2 ( 5 ! ) E. 2 ( 6 ! ) 03. MD-81-36 Ada lima orang dalam ruangan yang belum saling mengenal. Apabila mereka ingin berkenalan dengan berjabat tangan sekali dengan setiap orang, maka jabatan tangan yang akan terjadi sebanyak ... A. 5 kali B. 10 kali C. 15 kali D. 20 kali E. 24 kali 04. MD-06-17 Dalam babak penyisihan suatu turnamen, 25 pecatur satu sama lain bertanding satu kali. Banyaknya pertandingan yang terjadi adalah … A. 150 B. 180 C. 200 D. 270 E. 300 05. MD-82-23 Ali, Bagong, Candra dan Dadang akan bekerja secara bergilir. Banyaknya urutan bekerja yang dapat disusun dengan Ali selalu pada giliran terakhir adalah … A. 3 B. 6 C. 12 D. 18 E. 24
06. MD-01-26 Dari 12 orang yang terdiri atas 8 pria dan 4 wanita akan dibentuk kelompok kerja beranggotakan 4 orang. Jika dalam kelompok kerja ini terdapat paling sedikit 2 pria, maka banyaknya cara membentuknya ada ... A. 442 B. 448 C. 456 D. 462 E. 468 07. MD-01-27 Dari angka-angka 2, 3, 5, 6, 7 dan 9 dibuat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berlainan. Banyaknya bilangan yang dapat dibuat yang lebih kecil dari 400 adalah ... A. 10 B. 20 C. 40 D. 80 E. 120 08. MD-00-29 Bilangan terdiri dari tiga angka disusun dari angkaangka 2, 3, 5, 6, 7 dan 9. Banyaknya bilangan dengan angka-angka yang berlainan dan yang lebih kecil dari 400 adalah … A. 20 B. 35 C. 40 D. 80 E. 120 09. MD-97-21 Dari angka 3, 5, 6, 7 dan 9 dibuat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda. Di antara bilangan-bilang an tersebut yang kurang dari 400, banyaknya adalah … A. 16 B. 12 C. 10 D. 8 E. 6 10. MD-98-27 Seorang murid diminta mengerjakan 9 dari 10 soal ulangan, tetapi soal nomor 1 sampai dengan nomor 5 harus dikerjakan. Banyaknya pilihan yang dapat diambil murid tersebut adalah … A. 4 B. 5 C. 6 D. 9 E. 10
111
11. MA-04-10 Seatu sekolah membentuk team delegasi yang terdiri dari 4 anak kelas I, 5 anak kelas II dan 6 anak kelas III. Kemudian akan ditentukan pimpinan yang terdiri dari Ketua, Wakil Ketua dan Skretaris. Jika kelas asal Ketua harus lebih tinggi dari kelas asal Wakil Ketua dan Sekretaris, maka banyaknya kemungkinan susunan pimpinan adalah … A. 156 B. 492 C. 546 D. 600 E. 720 12. MA-03-14 Tono beserta 9 temannya bermaksud membentuk tim bola volley terdiri 6 orang. Apabila Tono harus menjadi anggota tim tersebut maka tim yang mungkin dibentuk adalah … A. 126 B. 162 C. 210 D. 216 E. 252 13. MA-05-14 Suatu delegasi terdiri atas 3 pria dan 3 wanita yang dipilih dari himpunan 5 pria yang berbeda usia dan 5 wanita yang juga berbeda usia. Delegasi itu boleh mencakup paling panyak hanya satu anggota termuda dari kalangan wanita atau anggota termuda dari kalangan pria. Dengan persyaratan ini, banyak cara menyusun keanggotaan delegasi ini adalah … A. 52 B. 56 C. 60 D. 64 E. 68 14. MA-02-05 Dari 10 orang siswa yang terdiri 7 orang putra dan 3 orang putri akan dibentuk tim yang beranggotakan 5 orang. Jika disyaratkan anggota tim tersebut paling banyak 2 orang putri, maka banyaknya tim yang dibentuk adalah … A. 168 B. 189 C. 210 D. 231 E. 252
Peluang
01. MD-85-26 Jika tiga mata uang dilempar bersama-sama maka peluang untuk memperoleh dua sisi muka dan satu sisi belakang adalah … A. 1 B. C. D. E.
6 2 6 1 8 2 8 3 8
02. MD-81-37 Sebuah kotak berisi lima bola merah dan tiga bola putih. Kita ambil dua bola sekaligus dari kotak itu. Berapa peluang (probabilitas) bahwa bola yang terambil bola merah dan putih ? A. B. C. D. E.
1 15 1 4 10 28 1 2 1 3
03. MD-83-23 Sebuah kotak berisi 3 buah kelereng putih dan 2 buah kelereng hitam. Pada pengambilan dua kali berurutan, peluang untuk mendapatkan sebuah kelereng hitam pada pengambilan pertama dan sebuah kelereng hitam lagi pada pengambilan yang kedua adalah : A. 0,08 B. 0,10 C. 0,16 D. 0,20 E. 0,30
112
Statistika
01. MA-83-34 Dari sepotong pipa peralon yang panjangnya (30,0 + 0,5) dm diperlukan 4 potongan dengan panjang masing-masing (6,0 + 0,1) dm. Dengan demikian panjang pipa yang tersisa … (1) antara 5,1 dm dan 6,1 dm (2) mempunyai toleransi 1,8 dm (3) mempunyai toleransi 0,6 dm (4) antara 5,1 dm dan 6,9 dm 02. MA-86-13 Jika jangkauan batang masing-masing (6 + 0,5) m dan (4 + 0,5) m maka salah satu mutlak selisihnya adalah … A. 2 m B. 1 m C. 0,1 m D. 0,2 m E. 0,3 m 03. MA-84-09 Panjang satu blok bahan pakaian seragam adalah (40 + 1) m. Jika bahan tersebut dipotong menjadi potong-anpotongan yang berukuran 1,5 m dengan salah mutlak 0,05 m, maka banyaknya potongan bahan pa-kaian seragam yang diperoleh berada di antara … A. 25 dan 26 B. 25 dan 27 C. 25 dan 28 D. 26 dan 28 E. 26 dan 29 04. MA-85-24 Suatu keluarga mempunyai persediaan beras sebanyak 2000,0 gram. Jika setiap hari keluarga itu menggunakan 237,5 gram, maka dalam seminggu sisanya adalah anta-ra … A. 337,35 gram dan 337,65 gram B. 336,65 gram dan 338,35 gram C. 337,65 gram dan 338,35 gram D. 336,65 gram dan 337,65 gram E. 337,10 gram dan 337,90 gram 05. MD-92-01 Nilai rata-rata ujian dari 39 orang siswa adalah 45. Jika ada Upik, seorang siswa lainnya, digabungkan dengan kelompok tersebut maka nilai rata-rata ke-40 orang siswa menjadi 46. Ini berarti nilai ujian Upik adalah … A. 47 B. 51 C. 85 D. 90 E. 91
06. MD-93-18 Jika uang lelah 220 rupiah diberikan kepada 4 orang tukang kebun dan 2 orang pembersih ruangan, dan 140 rupiah diberikan kepada 3 orang tukang kebun dan seorang pembersih ruangan, maka masing-masing tukang kebun dan pembersih ruangan berturut-turut menerima uang lelah sebesar … A. Rp. 50,- dan Rp. 10,B. Rp. 50,- dan Rp. 30,C. Rp. 40,- dan Rp. 30,D. Rp. 30,- dan Rp. 50,E. Rp. 20,- dan Rp. 70,07. MD-83-02 Sejumlah murid di suatu sekolah mengumpulkan uang sebanyak Rp. 960,00. Setiap murid harus memberi iuran yang sama. Kemudian ternyata bahwa 4 orang tidak membayar iurannya. Untuk menutup kekurangannya, murid-murid lainnya harus menambah iurannya masing-masing Rp. 20,00. Jadi jumlah murid yang membayar ada … A. 8 orang B. 12 orang C. 16 orang D. 24 orang E. 32 orang 08. MA-80-10 Ali, Badu dan Carli memancing ikan. Ternyata bahwa jumlah ikan Ali dan ikan Badu lebih banyak dari pada dua kali ikan Carli, sedangkan ikan Badu lebih sedikit dari pada ikan Carli. Yang memiliki ikan terbanyak ialah … A. Carli B. Badu C. Ali D. Ali dan Badu E. Ali dan Carli 09. MA-86-21 Dalam suatu kelas terdapat siswa sebanyak 21 orang. Nilai rata-rata matematikanya adalah 6. Bila seorang siswa yang paling rendah nilainya tidak diikut sertakan, maka nilai rata-ratanya berubah menjadi 6,2. Dengan demikian, nilai siswa yang paling rendah itu … A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 E. 0 10. MA-85-01 Nilai rata-rata 11 buah bilangan sama dengan 13. Nilai rata-rata 13 bilangan yang lain sama dengan 11. Dengan demikian nilai rata-rata 24 bilangan tersebut sama dengan … A. 11 11
B. 11 12 C. 12 5
D. 12 12 E. 13 113
11. MA-84-03 Nilai rata-rata ujian sekelompok siswa yang berjumlah 40 orang adalah 51. Jika seorang siswa dari kelompok ini yang mendapat nilai 90 tidak dimasukkan dalam perhitungan rata-rata tersebut, maka nilai rata-rata ujian akan menjadi … A. 50 B. 49 C. 48 D. 47 E. 46 12. MA-79-30 Nilai rata-rata ujian matematika dari 39 orang siswa adalah 45. Jika nilai dari seorang siswa lainnya yang bernama Kasdi digabungkan dengan kelompok itu, maka nilai rata-rata ujian matematika dari 40 orang siswa sekarang menjadi 46. Ini berarti bahwa dalam ujian tersebut Kasdi mendapat nilai … A. 47 B. 51 C. 85 D. 90 E. 92 13. MA-86-08 Untuk dapat diterima di suatu pendidikan, harus lulus test matematika dengan nilai tidak kurang dari 7, dan test biologi dengan nilai tidak kurang dari 5, sedangkan jumlah nilai matematika dan biologi tidak boleh kurang dari 13. Seorang calon dengan jumlah dua kali nilai ma tematika dan 3 kali nilai biologinya sama dengan 30 … A. pasti ditolak B. pasti diterima C. diterima asal nilai matematika tidak lebih dari 9 D. diterima asal nilai biologi tidak kurang dari 5 E. diterima hanya bila nilai biologi 6 14. MD-06-25 Berat rata-rata 10 siswa adalah 60 kg. Salah seorang di antaranya diganti oleh Andi sehingga berat rata-ratanya menjadi 60,5 kg. Jika berat Andi 62 kg, maka berat siswa yang digantikan adalah … A. 57 B. 56 C. 55 D. 54 E. 53 15. MD-03-23 Nilai rata-rata dari 9 bilangan adalah 15 dan nilai ratarata 11 bilangan yang lain adalah 10. Nilai rata-rata dari 20 bilangan tersebut adalah … A. 11 1 B. 11
2 3 4
C. 12 D. 12 1 E. 12
4 1 2
16. MD-95-29 Tes matematika diberikan kepada tiga kelas siswa berjumlah 100 orang. Nilai rata-rata kelas pertama, kedua dan ketiga adalah 7, 8, 7 1 . Jika banyaknya siswa kelas 2
pertama 25 orang dan kelas ketiga 5 orang lebih banyak dari kelas kedua, maka nilai rata-rata seluruh siswa tersebut adalah … A. 7,60 B. 7,55 C. 7,50 D. 7,45 E. 7,40
17. MD-90-14 Nilai rata-rata pada tes matematika dari 10 siswa adalah 55 dan jika digabung lagi dengan 5 siswa, nilai rata-rata menjadi 53. Nilai rata-rata dari 5 siswa tersebut adalah … A. 49 B. 50 C. 51 D. 52 E. 54 18. MD-97-22 Jika 30 siswa kelas IIIA1 mempunyai nilai rata-rata 6,5; 25 siswa kelas IIIA2 mempunyai nilai rata-rata 7 dan 20 siswa kelas IIIA3 mempunyai nilai rata-rata 8, maka nilai rata-rata ke 75 siswa kelas III tersebut adalah … A. 7,16 B. 7,10 C. 7,07 D. 7,04 E. 7,01 19. MD-94-18 Kelas A terdiri atas 35 murid sedangkan kelas B terdiri atas 40 murid. Nilai statistika rata-rata kelas B adalah 5 lebih baik dari nilai-rata-rata kelas A. Apabila nilai 2
rata-rata gabungan kelas A dan kelas B adalah 57 3 maka nilai statistika rata-rata untuk kelas A adalah … A. 50 B. 55 C. 60 D. 65 E. 75
20. MD-93-14 Empat kelompok siswa yang masing-masing terdiri dari 5, 8, 10 dan 17 orang menyumbang korban bencana alam. Rata-rata sumbangan masing-masing kelompok adalah Rp. 4.000,-, Rp. 2.500,-, Rp. 2.000,-, Rp. 1.000,-Maka rata-rata sumbangan tiap siswa seluruh kelompok adalah … A. Rp. 1.050,B. Rp. 1.255,C. Rp. 1.925,D. Rp. 2.015,E. Rp. 2.275,-
114
21. MD-81-19 Empat kelompok siswa yang masing-masing terdiri dari 5, 10, 15 dan 10 orang rata-rata menyumbang uang ke yayasan penderita anak satu cacad sebesar Rp. 2.000,00, Rp. 5.000,00, Rp. 3.000,00, Rp. 15.000,00. Tiap siswa rata-rata menyumbang sebesar ... A. Rp. 287,50 B. Rp.1.150,00 C. Rp.2.500,00 D. Rp.2.875,00 E. Rp.3.000,00 22. MD-84-12 Empat kelompok siswa yang masing-masing terdiri atas 10, 20, 30 dan 20 orang rata-rata menyumbangkan uang ke suatu yayasan penderita anak cacad masingmasing sebesar Rp. 4.000,00; Rp. 10.000,00; Rp. 6.000,00 dan Rp. 3.000,00. Secara keseluruhan tiap siswa rata-rata menyumbang uang sebesar … A. Rp. 575,00 B. Rp. 2.300,00 C. Rp. 5.000,00 D. Rp. 5.750,00 E. Rp. 6.000,00 23. MD-05-22 Nilai rata-rata ulangan adalah 5,9. Empat anak dari kelas lain mempunyai nilai rata-rata 7. Jika nilai ratarata mereka setelah digabung menjadi 6, maka banyaknya anak sebelum digabung dengan empat anak tadi adalah … A. 36 B. 40 C. 44 D. 50 E. 52 24. MD-04-22 Nilai rata-rata tes matematika dari kelompok siswa dan kelompok siswi di suatu kelas berturut-turut adalah 5 dan 7. Jika nilai rata-rata di kelas tersebut adalah 6,2 , maka perbandingan banyaknya siswa dan siswi adalah ,,, A. 2 : 3 B. 3 : 4 C. 2 : 5 D. 3 : 5 E. 4 : 5 25. MD-00-30 Pendapatan rata-rata karyawan suatu perusahaan Rp. 300.000 per bulan. Jika pendapatan rata-rata karyawan pria Rp. 320.000 dan karyawan wanita Rp. 285.000 maka perbandingan jumlah karyawan pria dengan karyawan wanita adalah … A. 2 : 3 B. 4 : 5 C. 2 : 5 D. 3 : 4 E. 1 : 2
26. MD-05-23 Nilai rata-rata ulangan kelas A adalah xA dan kelas B adalah xB. Setelah kedua kelas digabung nilai rataratanya adalah x . Jika xA : xB = 10 : 9 dan x : xB = 85 : 81, maka perbandingan banyaknya siswa di kelas A dan B adalah … A. 8 : 9 B. 4 : 5 C. 3 : 4 D. 3 : 5 E. 9 : 10 27. MD-89-08 Umur rata-rata (rata-rata hitung) dari suatu kelompok yang terdiri dari dokter dan jaksa adalah 40. Jika umur rata-rata para dokter adalah 35 tahun dan umur ratarata para jaksa adalah 50 tahun, maka perbandingan banyak nya dokter dan banyaknya jaksa adalah ... A. 3 : 2 B. 3 : 1 C. 2 : 3 D. 2 : 1 E. 1 : 2 28. MD-99-27 Lima orang karyawan A, B, C, D dan E mempunyai pendapatan sebagai berikut : Pendapatan A sebesar
1 2
pendapatan E
Pendapatan B lebih Rp. 100.000 dari A Pendapatan C lebih Rp. 150.000 dari A Pendapatan D Kurang Rp. 180.000 dari pendapatan E. Bila rata-rata pendapatan kelima karyawan Rp. 525.000, maka pendapatan karyawan D = … A. Rp. 515.000 B. Rp. 520.000 C. Rp. 535.000 D. Rp. 550.000 E. Rp. 565.000
29. MD-86-29 Tinggi rata-rata seluruh mahasiswa ITB adalah 155 cm. Jika diambil seorang mahasiswa ITB yang sebarang, maka tinggi mahasiswa itu … 155 cm A. kurang dari B. lebih dari 155 cm C. mungkin 155 cm D. tepat 155 cm E. a, b, c dan d tak ada yang benar 30. MD-82-30 Dari data : 3, 4, 5, 5, 6, 6, 6, dapat ditentukan bahwa … (1) rata-rata = median (2) jangkauan = 3 (3) modus = 6 (4) simpangan kuartil = 2
115
31. MD-86-17 Hasil ulangan matematika sekelompok siswa adalah 4 , 8 , 7 , 6, 4 , 4 , 5 , 7 Data tersebut mempunyai median … A. 4,8 B. 5,5 C. 4,6 D. 6,2 E. 6,5 32. MD-03-22 Jika modus dari data 2, 3, 3, 4, 5, 4, x, 4, 2, 3 adalah 3, maka median data tersebut adalah … A. 2 B. 2 1 2
C. 3 D. 3 1
2
E. 4
33. MA-84-29 Nilai bahasa Indonesia dari 10 orang siswa yang diambil secara acak adalah 3, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9. Pernyataan berikut yang benar ialah … (1) rata-ratanya = 6 (2) mediannya = 6,5 (3) modusnya = 7 (4) jangkauannya = 6 34. MA-86-03 Diketahui data berikut : 6, 4, –3, 8, 0, –5, 10, 6 A. Median = 6 , modus = 6 B. Median = 5, rata-rata = 3 C. Median = 6 , jangkauan 16 D. Median = 5 , modus = 6 E. Jangkauan = 4 , rata-rata = 3 1 8
35. MA-82-08 Hasil dari suatu pengamatan adalah sebagai berikut : 12 , 11 , 9 , 8 , 9 , 10 , 9 , 12. Maka median dari pengamatan tersebut adalah … A. 10 B. 9,5 C. 9 D. 8,5 E. 8 36. MA-83-27 Untuk kelompok bilangan 2 , 3 , 7 , 7 , 8 , 8 , 8 , 9 , 11 (1) modus lebih besar dari rata-rata (2) median lebih kecil dari rata-rata modus = median (3) modus = rata-rata (4) 37. MA-80-49 Himpunan bilangan-bilangan 3, 5, 15, 12, 6, 16, 10 (1) mepunyai selisih antara bilangan terbesar dan bilangan terkecil sebesar 13 (2) tidak mempunyai modus (3) mempunyai median 10 (4) mempunyai rata-rata sebesar 9,7
38. MA-81-50 Hasil suatu pengamatan adalah sebagai berikut : 7, 13, 16, 10, 11, 13, 10, 8, 16 (1) jangkauan = 9 (2) kuartil bawah = 14,5 (3) median 11 (4) kuartil atas = 9 39. MD-02-03 Tinggi dari 12 orang siswa dalam cm adalah 160 148 156 147 146 158 150 148 160 146 158 162 Kuartil bawah data tersebut adalah … A. 147,5 B. 148 C. 148,5 D. 149 E. 149,5 40. MD-87-37 Jika nilai rapor A : 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7 nilai rapor B : 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 nilai rapor C : 4, 7, 7, 7, 7, 7, 10 maka … (1) rata-rata hitung nilai ketiga rapor sama (2) median ketiga rapor sama (3) simpangan kuartil nilai rapor A dan C sama (4) jangkauan nilai ketiga rapor sama 41. MD-81-18 Dari catatan suatu perusahan keramik dalam tahun 1980 berturut-turut setiap bulannya terjual habis : 1750 buah, 2250 buah, 1500 buah, 1750 buah, 2000 buah, 2250 buah, 2500 buah, 2250 buah, 2000 buah, 2000 buah, 2500 buah, 2750 buah. Modus dari data tersebut ialah ... A. 3 B. 1500 C. 2125 D. 2500 E. 2250 dan 2000 42. MD-91-30 Diketahui data x1 , x2 , x3 , … , x10 Jika tiap nilai data ditambah 10, maka … (1) rata-rata akan bertambah 10 (2) jangkauan bertambah 10 (3) median bertambah 10 (4) simpangan kuartil bertambah 10 43. MD-96-14 x0 adalah rata-rata dari data x1, x2, … , x10. Jika data x x x berubah mengikuti pola 1 + 2 , 2 + 4 , 3 + 6 dan 2 2 2 seterusnya, maka nilai rata-rata menjadi … A. x0 + 11 B. x0 + 12 C. D. E.
116
1 2 1 2 1 2
x0 + 11 x0 + 12 x0 + 20
44. MD-88-17 Pada suatu ujian yang diikuti 50 siswa diperoleh ratarata nilai ujian adalah 35 dengan median 40 dan simpangan baku 10. Karena rata-rata nilai terlalu rendah, maka semua nilai dikalikan 2, kemudian dikurangi 15. Akibatnya … A. rata-rata nilai menjadi 70 B. rata-rata nilai menjadi 65 C. simpangan baku menjadi 20 D. simpangan baku menjadi 5 E. median menjadi 80 45. MD-82-31 Andaikan upah 100 orang buruh suatu pabrik mempunyai rata-rata a rupiah, jangkauan b rupiah, sedang kuartil bawah dan kuartil atas masing-masing c dan d rupiah. Jika sekarang upah masing-masing buruh ditambah Rp.1000,-maka upah buruh sekarang mempunyai … (1) rata-rata = (a + 1000) rupiah (2) jangkauan = (b + 1000) rupiah (3) kuartil bawah = (c + 1000) rupiah (4) simpangan kuartil = ( 1 d – 1 c + 500) rupiah 2
2
46. MD-98-26 Diketahui x1 = 3,5 , x2 = 5,0 , x3 = 6,0 , x4 = 7,5 dan n n xi − x xi x5 = 8,0. Jika rumus dengan x = , n n i =1 i =1
∑
∑
maka deviasi rata-rata nilai di atas adalah … A. 0 B. 0,9 C. 1,0 D. 1,4 E. 6
47. MA-81-06 Diketahui tiga kelompok data : kelompok pertama terdiri dari n1 data dengan rata-rata x 1 dan kelompok kedua n2 dengan x 2 kelompok ketiga n3 dengan x 3. Harga rata-rata dari jumlah seluruh data dari ketiga kelompok itu ialah … A. B. C. D. E.
x1 + x 2 + x 3 3 n1 x 1 + n 2 x 2 + n 3 x 3 n1 + n 2 + n 3 ⎛ x1 x 2 x 3 ⎞ 3⎜ + + ⎟ ⎝ n1 n 2 n 3 ⎠ n1 x 1 + n 2 x 2 + n 3 x 3 n1 x n 2 x n 3 x1 + x 2 + x 3 n1 + n 2 + n 3
48. MD-04-23 Nilai ujian kemampuan bahasa dari peserta seleksi pegawai di suatu instansi diperlihatkan pada tabel berikut: Nilai Ujian 5 6 7 8 9 Frekuensi 11 21 49 23 16 Seorang peserta seleksi dinyatakan lulus jika nilai ujiannya lebih tinggi atau sama dengan nilai rata-rata ujian tersebut. Banyaknya peserta yang tidak lulus adalah … A. 11 B. 21 C. 32 D. 49 E. 81 49. MD-81-45 Diketahui data tinggi murid sebagai berikut: Tinggi 158 159 160 161 162 Banyak murid 2 3 12 7 4 Mana dari pernyataan di bawah ini yang benar ? (1) Rata-rata 160,0 (2) Median 12 (3) Modus 12 (4) Median = modus
163 2
50. MA-82-04 Nilai ujian matematika 4 5 6 8 10 Frekuensi 20 40 70 a 10 Dalam tabel di atas, nilai rata-rata ujian matematika itu adalah 6. Karena itu a adalah … A. 0 B. 5 C. 10 D. 20 E. 30 51. MA-85-23 Perhatikan tabel berikut : Nilai ujian 3 4 5 6 7 8 9 Frekwensi 3 5 12 17 14 6 3 Seorang siswa dinyatakan lulus jika nilai ujiannya lebih tinggi dari nilai rata-rata dikurangi 1. Dari tabel di atas, yang lulus adalah … A. 52 B. 40 C. 38 D. 23 E. 20
117
52. MD-83-14 Diketahui data tinggi murid di suatu kelas sbb. yi No. Urut Tinggi murid (cm) ff 1 140 - 144 2 -3 2 145 - 149 7 -2 3 150 - 154 8 -1 4 155 - 159 12 0 5 160 - 164 6 1 6 165 - 169 3 2 7 170 - 174 2 3 Jumlah 40 Tinggi rata-rata murid dikelas itu adalah … A. 157 cm B. 157,25 cm C. 157,50 cm D. 158 cm E. bukan salah satu jawaban di atas 53. MD-84-31 Data 1-5 6 - 10 11 - 15 16 - 20 21 - 25
55. MD-83-26 12 10 8 6 4 2
yi fi - 6 -14 - 8 0 6 6 6 -10
Frekuensi 4 15 7 3 1
0 2 3 4 5 6 7 8 9 NILAI Dengan memperhatikan data yang tertera di atas dapat ditarik kesimpulan bahwa … (1) siswa yang memperoleh nilai 6 sebanyak 12 orang (2) siswa yang memperoleh nilai 4 atau 7 sebanyak 13 orang (3) siswa yang memperoleh nilai kurang dari 5 sebanyak 15 orang (4) siswa yang memperoleh nilai 6 ke atas sebanyak 28 orang
25. MD-85-31 47 37
Dari daftar distribusi frekuensi didapat bahwa … (1) Median terletak pada kelas ke III (2) Banyaknya data seluruhnya 30 (3) Jangkauan 14 (4) Modus terletak pada kelas ke II
54. MD-85-14 Tabel dari suatu distribusi frekwensinya bergolong adalah sebagai berikut : interval f 2 - 6 2 7 - 1 3 12 - 16 3 17 - 12 6 22 - 26 6 Rata-rata distribusi itu adalah … A. 17,50 B. 17 C. 16,50 D. 16,75 E. 15,50
17 10
12
4 1
2
3
4
5
6
Diberikan poligon kumulatif untuk distribusi 6 kelas data Dari gambar disimpulkan bahwa : (1) kelas modus adalah kelas ke-5 (2) kelas modus adalah kelas ke-6 (3) kelas median adalah kelas ke-5 (4) kelas median adalah kelas ke-4
57. MA-83-35 Suatu kurva frekuensi kumulatif diberikan seperti gambar di bawah ini 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0
| 1,0
| 1,5
| 2,0
Gambar ini menunjukkan … (1) median = 2,0 (2) simpangan kwartil = 2 (3) kuartil atas = 2,5 (4) rata-rata (mean) = 30
118
| 2,5
| 3,0
| 3,5
| 4,0
Trigonometri
05. MA-81-39 2x − 7 maka harga x yang memenuhi x +1
Bila sin2 α = ialah … A. –1 ≤ x ≤ 8 B. 1 ≤ x ≤ 8
01. MA-84-01 Seorang mencoba menentukan tinggi nyala api di puncak tugu Monas di Jakarta dengan cara mengukur sudut lihat dari suatu tempat sejauh a dari kaki tugu itu α dan β seperti dalam gambar. Jika x tinggi nyala api itu, maka x sama dengan …
1
C. 3 2 ≤ x ≤ 8 D. 0 ≤ x ≤ 1 1
E. 1 ≤ x ≤ 3 2
06. MD-91-14 Jika diketahui x =
α A. a sin (α– β) B. a tan (α– β) C. a cot (α– β) sin (α − β ) D. a sin α sin β sin (α − β) E. a cos α cos β
A. sin x = cos x B. sin x + cos x = 0 C. sin x – cos x = 1
β
D. sin x + cos x =
B. sin
√2
07. MD-95-24 Jika tan x = –√3 maka cos x sama dengan … A. 1 B. – 1 2
C. –1 D. – 1
2 1 2
E. – √3
08. MD-94-13 cos 1500 + sin 450 +
1 2
1 2
A.
1 2
cot (–3300) = …
√3 1 2
03. MA-78-15 A. cos
1 2
E. sin x < 2 cos x
02. MD-81-20 Jika tan (2x + 10o) = cot (3x – 15o) maka nilai x yang memenuhi di antaranya adalah ... A. 13o B. 19o C. 21o D. 25o E. 26o
Jika A + B + C = 1800 maka sin
3π , maka … 4
B. – √3 (B + C) = ...
C. tan (B + C) D. cos 2A E. sin 2A
1 2
C.
1 A 2 1 B 2
√2 1
D. – 2 √2 E. √2
09. MD-84-25 2
0
2
0
2
0
2
0
tan 30 sin 60 + tan 60 cos 30 =… 0 0 sin 30 cos 60 A. 10 B. 5 C. 3 D. 2 E. 1
04. MA-80-23 Bila diketahui x + y = 2700 , maka … A. cos x + sin y = 0 B. cos x – sin y = 0 C. cos x + cos y = 0 D. sin x – sin y = 0 E. sin x + sin y = –1
119
10. MD-00-13 π π 3π 3π cos2 6 – sin2 4 + 8 sin 4 cos 4 = …
15. MD-96-22 Jika x dikuadran II dan tan x = a, maka sin x = … a A. 1 + a2
(
A. –4 1
4 3 4
B. –3
B. –
(1 + a ) 2
C. 4 1
4
D. 4
1
C.
(1 + a ) 2
3
E. 3 4
(1 + a ) (1 + a ) 2 2
E. –
a
16. MD-05-08
2
C. 1 D. 1 √2
Jika sudut θ di kuadran IV dan cos θ =
2
A. − a 2 − 1
12. MD-93-26 tan (–450) + sin 1200 + cos 2250 – cos 300 = … A. 1 + 1 √2 2 1 2
2 1 2
–
C. – 1 – D. –1 – E. 1 –
1 2
1 2
B. − 1 − a 2 −1 C. a2 −1
√2 1 2
2
√2
√2
√2
D.
− a2 −1 a
E.
a2 −1 a
17. MD-06-12 13. MD-93-25 Jika cos β = –
1 2
2
Jika tan x = − 3 , maka
√3 dan sudut β terletak pada kuadran
II, maka tan β = … A. √3 B. C.
1 9 1 2
1 , maka sin θ a
=…
E. 2
B.
1
D. –
11. MD-90-11 sin 270o cos 135o tan 135o =… sin 150o cos 225o A. –2 B. – 1
)
a
√3
B.
−3
C.
1 3 2 3
1
1
16
18. MD-88-16
14. MD-06-13 Jika sudut lancip α memenuhi
−1 6
E.
E. –√3
1
A.
D.
1
D. – 3 √3
5 sin x + 6 cos x =… 2 cos x − 3 sin x
sin α =
1 6
3 , maka
Diketahui tan x = 2,4 dengan x dalam selang (π ,
tan ( 1 π – α) + 3cos α = …
maka cos x = …
A. B. C. D. E.
A. – 13
2
12
3√2 – √3 3√2 + √3 √6 + √2 √6 – √2 √3 + √2
5
B. – 13 C. D. E.
120
3 13 5 13 12 13
3π ), 2
19. MD-91-12 Jika tan x =
1 2
, maka 1
2 sin x + sin (x + 2 π) + cos (π – x) = … A.
1 2
√5
B. 1 C.
2 5
√5
D. 0 1
E. – 5 √5
20. MD-98-12 Jika 12 π < x < π dan tan x = a
maka (sin x + cos x)2 sama dengan …
A.
a 2 + 2a + 1 a2 + 1
B.
a 2 − 2a + 1 a2 + 1
C.
a2 + a + 1 a2 + 1
23. MD-89-09 sin x cos x sama dengan ... tan x A. sin2 x B. sin x C. cos2 x D. cos x 1 E. sin x 24. MD-99-12 tan 2 x Jika = 1 , 00 < x < 900 maka sudut x adalah … 1 + sec x A. 00 B. 300 C. 450 D. 600 E. 750 25. MD-85-30 Jika segitiga ABC siku-siku di B dan ∠ A = 300, maka (1) sin C = 1 √ 2 3
(2) cos B = 0 √ 3 (3) tg A = (4) cos C = 1
2
D.
a − a −1 a2 + 1
E.
a 2 − 2a − 1 a2 − 1
2
26. MD-92-22 Jika p – q = cos A dan
21. MD-04-06 Jika ∆ ABC siku-siku di C dan memenuhi 2 tan A = sin B , maka sin A = … A. B.
1 2 1 2
2
2
p +q =… A. 0 B. 1 C. 1 ½
3
D.
2 1 4
C.
2 −1
E. –1
D.
3 −1
27. MD-97-12
E.
3− 2
22. MD-95-14 Diketahui sin α = a, α sudut tumpul, tan α = … −a A. a2 − 1 −a B. 1 − a2 −a C. 1 + a2 a D. 1 − a2 −a E. 1 − a2
Jika cos x = A. B. C. D. E.
2 pq = sin A , maka
2
5 5
maka cot (
π −x) =… 2
–2 –3 4 5 6
28. MA-80-05 1
Bila tan 2 x = 1 , maka sin x adalah … A. B. C. D. E.
121
t (1+t2) 2t (1+t2) 3t (1+t2) 4t (1+t2) 5t (1+t2)
29. MA-75-12 Jika tan 3o = p, maka tan 228o adalah … A. B.
34. MA-94-04 P adalah titik pusat lingkaran luar segitiga ABC. Jika sin ∠ C = a, maka sin ∠ APB =…
(1 − p )2
(1 − p )
A.
2
(1 − p )2
a (1 − a 2)
B. a (1 − a 2)
(p − 1) (p − 1) 2
C. 2a
2
C.
1 2
(1 − a 2)
D. 2a E. 2a2
(1 − p )2
(1 − p ) 2
D.
35. MD-02-23 A
(1 − p )2
30. MA-75-41 Jika sin α = 0,6 maka harga sin 3α adalah (perhitungan tanpa daftar) … A. 1,836 B. 0,696 C. 0,200 D. 0,936 31. MD-01-11 Jika dari segitiga ABC diketahui AC = o
2
10 3
32. MD-99-13 Sebuah tiang bendera tingginya 3 m mempunyai bayangan di tanah sepanjang 2 m. Pada saat yang sama pohon cemara mempunyai bayangan di tanah sepanjang 10 m. Maka tinggi pohon cemara tersebut adalah … A. 15 m B. 16 m C. 20 m D. 25 m E. 30 m 33. MD-02-22 Titik-titik sudut segitiga samakaki ABC terletak pada lingkaran berjari-jari 7 cm. Jika alas AB 2√7 cm, maka tan A = … A. 1 (√6 + √7) B. C. D.
(√6 + √7) (√6 + √7) (√6 + √7)
E. (√6 + √7)
3a
B.
√6 cm,
BC = 10 cm dan sudut A = 60 , maka sudut C adalah ... A. 105o B. 90o C. 75o D. 55o E. 45o
7 1 6 1 3 1 2
120o B C Jika panjang lintasan langsung dari A ke C adalah a√7 dan dari A ke B adalah a, maka panjang jalan dari A ke C melalui B adalah … A. 2 1 a 1
C. 3 4 a D. 2 1 a 2
E.
4a
36. MD-04-08 Pada ∆ ABC diketahui D adalah titik tengah AC. Jika BC = a, AC = b,AB = c,dan BD = d,maka d2 = …
A. B. C.
1 2 1 2 1 2
1
1
1
1
1
1
a2 + 4 b2 − 2 c2
a2 − 4 b2 + 2 c2 a2 − 4 b2 − 2 c2 1
1
1
D.
− 4 a2 + 4 b2 + 2 c2
E.
1 4
1
1
a2 − 4 b2 + 2 c2
37. MD-00-12 Diketahui segitiga ABC. Panjang sisi AC = b m, sisi BC = a cm dan a + b = 10 cm. Jika ∠ A = 30o dan ∠ B = 60o, maka panjang sisi AB = … A. 10 + 5√3 cm B. 10 – 5√3 cm C. 10√3 – 10 cm D. 5√3 + 5 cm E. 5√3 + 15 cm 38. MD-98-11 Diberikan segitiga ABC siku-siku di C. Jika cos (A+C) = k maka sin A + cos B = … A. – 12 k
B. –k C. –2k D. 12 k E. 2k
122
39. MD-98-13 Diketahui segitiga ABC dengan sudut B = 450 dan CT 5 garis tinggi dari titik C. Jika BC = a dan AT = a 2 , 2 maka AC = … A. a√3 B. a√5 C. a√7 D. a√11 E. a√13
42. MA-97-08 Sebuah talang air akan dibuat dari lembaran seng yang lebarnya 30 cm dengan melipat lebarnya atas tiga bagian yang sama seperti pada gambar
10 cm
B. C. D. E.
33 16 33 17 33 19 33 20 33
θ
yang tertampung paling banyak bila θ = … A. 75 0 B. 60 0 C. 45 0 D. 30 0 E. 22,5 0
A
41. . MA-05-08 Diketahui empat titik A, B, C dan D yang berada pada lingkaran dengan panjang AB = 4 cm, BC = 3 cm, CD = 3 cm dan AD = 6 cm. Kosinus sudut BAD adalah … A. 14
10 cm
Jika θ menyatakan besar sudut dinding talang tersebut π dengan bidang alasnya (0 < θ < 2 ), maka volume air
40. MD-03-08
x B C D Jika BC = CD, maka sin β = … 1 A. 1 + 4 tan 2 x tan x B. 4 + tan 2 x 1 C. tan 2 x + 4 1 D. 1 + 2 tan 2 x tan x E. 1 + 2 tan 2 x
10 cm θ
43. MA-83-08 Dalam segitiga ABC, BB′ dan CC′ garis tinggi, Jadi C′ pada AB dan B′ pada AC. Jika diketahui BB`: AB′ = 2 dan CC′: BC′ = 3, maka sudut ABC sama dengan … A. 300 B. 450 C. 600 D. 900 E. 1350 44. MA-79-25 Segitiga ABC siku-siku di A. Jika BC = p, AD tegak lurus BC, DE tegak lurus AC, sudut B = β, maka panjang DE ialah … C A. p sin β cos2 β p B. p sin2 β D E C. p sin2 β cos β D. p sin β tan β B β A E. p sin β cos β 45. MA-89-08 U , W, R terletak pada suatu garis lurus. Dalam ∆ SRW, RS = RW , dalam ∆ STW , ST = SW ; dalam ∆ TUW , WT = WU. Jika ∠ WRS = ∠ TSW = x 0 , maka … A. ∠ TWS = ∠ TWU U B. ∠ WTU = x 0 W C. ∠ TWU = x 0 D. ∠ TUW = x 0 x R T E. ∠ SWR = x 0 x0 S
123
46. MA-80-18 A dan B titik-titik ujung sebuah terowongan yang dilihat dari C dengan sudut lihat ACB = 450. B
p 450 C
2p√2
49. MA-75-19 Seorang pengintai pada suatu balon yang tingginya h dari permukaan medan yang datar melihat parit pertahanan P dengan sudut α dengan garis mendatar dan melihat senapan mesin S dengan sudut β dengan garis mendatar. Jarak senapan mesin S dengan parit pertahanan P adalah …
A
Jika jarak CB = p dan CA = 2p√2, panjang terowongan itu ... A. p B. p√17 C. 3p√2 D. 4p E. 5p 47. MD-04-09
A. h (tan α – tan β) B. h (cot β – cot α) h C. tan α − tan β h D. cot β − cot α
C E
D A B Jika ∆ ABC siku-siku sama kaki, AC = BC = 5, dan AD = CE, maka luas minimum dari segiempat ABED adalah … A. 7,500 B. 8,375 C. 9,750 D. 10,375 E. 12,500 48. . MA-78-44 Segi empat ABCD siku-siku di A dan di C, ∠ ABD = α ∠ DBC = β. Jika AD = p, maka BC = … D A. p cos α cos β B. p sin α cos β cos β C C. p sin α sin β p D. p β sin α α sin β E. p A B cos α
50. MA-85-16 Jika dalam segitiga ABC, α, β, dan γ menyatakan besar sudut-sudutnya, dan sin 2 α + sin 2 β = sin 2 γ, maka γ adalah … A. 450 B. 600 C. 900 D. 1200 E. 1350 51. MA-84-20 Dua orang mulai berjalan C masing-masing dari titik A dan titik B pada saat yang sama. Supaya keduanya A 300 450 B sampai di titik C pada saat yang sama, maka kecepatan berjalan orang yang dari titik A harus A. 2 kali kecepatan orang dari B B. 1 √2 kali kecepatan orang di B 2
C. √2 kali kecepatan orang di B D. 2√2 kali kecepatan orang di B E. √3 kali kecepatan orang di B
124
52. MA-97-05 Pada suatu segitiga ABC yang siku-siku di C, diketahui
bahwa sin A sin B =
2 5
dan sin (A – B) = 5a.
Nilai a adalah … 1
A.
−5
B.
− 25
C.
1 25 3 25 3 5
D. E.
3
57. ITB-76-24 Jika sudut-sudut segitiga ABC memenuhi persamaan 3 tan γ = tan α + tan β, maka … A. segitiga ABC lancip B. segitiga ABC siku-siku C. segitiga ABC tumpul D. tidak/belum dapat disimpulkan apa-apa 58. MD-87-31 Bila x + y =
B. C. D. E.
1 3 1 3 1 2 1 7 7 3
π , maka tan x sama dengan …
2 tan y 1 + tan y 1 − tan y B. 1 + tan y 1 + tan y C. 1 − tan y 1 + tan y D. 2 tan y 2 tan y E. 1 - tan y
A.
53. MA-04-12 Diketahui segi empat ABCD; ∠A = ∠C = 60o , AB = 3 , AD = 2 dan DC = 2BC , maka BC = …
A.
1 4
7
21 10 19
59. MD-03-09
3
Pada sebarang segitiga ABC berlaku
54. MA-90-01 A, B, C terletak pada busur sebuah lingkaran π ∠ABC = dan AB : BC = 1 : √3. Jika busur AB
sin A sin B sin ( A + B ) B. sin B A C. 1+ tan B 1+ sin A sin B D. sin A sin B cos( A + B ) E. cos B A. 1+
2
adalah π, maka keliling segitiga itu … A. 1 + √3 B. 3 + √3 C. 7 + √3 D. (3 + √3) √3 E. 3 (3 + √3) 55. MA-95-02 Dalam segitiga ABC, a, b dan c adalah sudut-sudutnya.
Jika tan a =
3 4
4
dan tan b = 3 maka sin c = …
A. –1 24
B. – 25 7
C. – 25 D.
24 25
E.
1
56. MA-03-01 Jika untuk segi tiga ABC diketahui : cos A cos B = sin A sin B sin A cos B = cos A sin B maka segi tiga ABC adalah segi tiga … A. tumpul B. sama sisi C. siku-siku tak sama kaki D. sama kaki tak siku-siku E. siku-siku dan sama kaki
dan
a+b =… b
60. MA-85-14 sin (a − b ) =… tan a − tan b A. cos a cos b B. sin a sin b C. – cos a cos b D. – sin a sin b E. cos (a – b) 61. MD-94-14 π π Jika – x < dan x memenuhi persamaan 2 2 6 sin2 x – sin x – 1 = 0 , maka cos x = …
A.
1 2
√3 dan
2 3
1
2 3 2 3
B. – 2 √3 dan C.
1 2
√2
√3 dan – √2 1 3
D. – √2 dan – E. 125
1 3
√2
√2 dan
2 3
2 3
√3
√3
62. MD-88-22 Bila x memenuhi 2(sin x)2 + 3 sin x – 2 = 0 dan π π – 2 < x < 2 , maka cos x adalah …
A.
1 2
B.
–1
⎛π ⎞ Jika 3cos2 x + 4 sin ⎜ 2 − 2 x ⎟ – 4 = 0, maka cos x = … ⎝ ⎠ A. 2 3
B. – 2 3
2
√3
C.
– 1 √3
D.
1 2
C. D.
67. MA-01-04
2
1 2
E.
E.
√2
63. MD-89-29 Persamaan 2 sin2 x + sin x – 1 = 0 dipenuhi oleh x = ... π (1) 6 7π (2) − 6 3π (3) 2 π (4) − 2
A. B. C. D.
B. –
E.
D. E.
2 1 2
√2 √3
65. MD-91-13 Jika 2 sin2 x + 3 cos x = 0 dan 00 ≤ x ≤ 1800 maka x =… A. 600 B. 300 C. 1200 D. 1500 E. 1700
A. B. C. D. E.
1 dan – 2 3 1 – 2 dan 2 2 2 π dan – 3 π 3 3 1 π dan – 2 π 2 1 1 π dan – 3 π 3
1
30 dan – 6 30 2
2 dan – 3 2
( ( (− ( (
3 10 3 10
1 10 1 10
2
10 , 5 5 2
)
) 5) 5) 5)
10 ,− 5 5 3 10
2
10 , 5 1
10 , 5 2
10 , 5
70. MD-83-27 Grafik fungsi y = 2 + sin x akan : (1) selalu di atas sumbu x (2) memotong sumbu x di (–2 , 0) (3) memotong sumbu y di (0 , 2) (4) memotong sumbu x secara periodik 71. MD-92-30 Fungsi y = 1 cos 2x + 1 merupakan fungsi … 2
(1) periodik dengan periode π (2) mempunyai nilai minimum –1 1
2
(3) mempunyai nilai maksimum 1 1
2
66. MA-78-25 Akar-akar dari persamaan 4 sin2 x + 4 cos x – 1 = 0 di dalam selang (interval) –π ≤ x ≤ π adalah … 3 2
3
69. MD-95-13 Jika 0 < x < π dan x memenuhi persamaan tan2 x – tan x – 6 = 0 maka himpunan nilai sin x adalah …
A. – 1 √3
1 2 1 2 1 2
6 dan – 1 6
68. MA-91-08 Nilai maksimum dari : f(x) = 2 cos 2x + 4 sin x untuk 0 < x < π, adalah … A. 2 B. 3 C. 4 D. –6 E. –12
64. MD-01-12 Jika x memenuhi 2 sin2 x – 7sin x + 3 = 0 dan π π − 2 < x < 2 , maka cos x = ...
C.
1 3 1 6 2 3
(4) memotong sumbu x di x =
π 4
72. MD-82-32 Ciri dari grafik y = tan x ialah … (1) memotong sumbu x di x = k π , k = 0, + 1, + 2, …. (2) mempunyai asimtot tegak di x = 1 π, + k π , k = 2
1,2,3,… (3) selalu berada di atas sumbu x dalam daerah 0<x< 1π 2
(4) terletak dalam daerah –1 ≤ y ≤ 1
126
73. MD-83-28 Jika 00 < x < y < 450, maka … (1) sin x < sin y (2) cos x > sin y (3) tan x < tan y (4) cot x > cot y 74. MA-81-23
Bila x terletak dalam interval
78. MD-90-10 Grafik di bawah menggambarkan fungsi 2
π 4
<x<
π 2
π 2
, maka
berlaku … A. cos x ≤ cos 2x B. cos x > cos 2x C. cos x ≥ cos 2x D. cos x < cos 2x E. cos x = cos 2x
A. B. C. D. E.
75. MD-82-33 Dengan skala dan kertas gambar yang sama, pada interval 00 – 900 akan terlihat bahwa … (1) maksimum sin x = maksimum cos x (2) maksimum tan x > maksimum cos x (3) maksimum 3 sin x > maksimum sin 3x (4) maksimum 3 sin x > maksimum 3 cos x
π
–2 y = cos x y = 2 cos x y = cos 2x y = 2 cos 2x y = cos 1 x 2
79. MD-96-12 Persamaan grafik di samping ini adalah 2 π 3
2π 3
π
–2 MD-81-46 Periode suatu fungsi trigonometri 360o, maka fungsi ini adalah … (1) sin x (2) cos x (3) sin (x + 180o) (4) tan x 76. MD-86-18 Untuk 0 < x < 360 , grafik y = sin x0 dan y = cos x0 berpotongan pada x = … A. 30 B. 60 C. 45 dan 225 D. 120 dan 240 E. 150 dan 330
A. y = 2 sin B. y = C. y = D. y = E. y =
A. B. C. D. E.
π/2
π
3π/2
x
3 –2 sin 2 x 3 –2 cos 2 x 3 2 cos 2 x 3 –2 cos 2 x
80. MD-92-23
2 –1π 2
77. MD-85-15 Gambar di bawah ini adalah grafik fungsi y 1
0
3 2
0
1 2
π
π
3 2
π
–2 Fungsi yang sesuai dengan grafik di atas adalah … A. y = 2 sin (x – 1 π)
π
2 1 π) 2 2 sin (x + 1 π) 2 sin (2x – 1 π) 2
B. y = sin (2x +
–1 y = sin x y = cos x y = 1 + sin x y = 1 – sin x y = – cos x
C. y = D. y =
E. y = 2 sin (2x + π)
127
2π
81. MD-87-32 2
Jika grafik dengan garis terputus-putus itu persamaannya y = cos x maka grafik garis penuh persa-
1 -π
–
π
π
0
2
π
2
84. MA-77-20 Grafik berikut dapat dinyatakan oleh persamaan
π
maannya adalah …
-1
A. B. C. D. E.
-2 A. y =
1 2
cos x
B. y = 2 cos x C. y = cos 2x D. y = 2 cos 2x E. y =
1 2
π
π
2
3π 2
y = sin (x + 1) y = sin x + 1 y = sin x – 1 y = sin (x – 1) y = sin (x + 1) – 1
85. ITB-76-19
y
cos 2x
y=1
82. MA-89-09 Persamaan untuk kurva di bawah ialah … 2 1
π –1 –2
π
A. y = 2 sin ( x + B. y = sin ( 2x +
π
D. y = 2 cos ( x + E. y = cos ( 2x +
6
6
π 6
6
A. B. C. D.
90
1800
sin x
D. y = sin x + 4 E. y = sin x – 4
2
1 2
π
π
y = sin 2 x y = sin2 2x y = sin |2x| y = |sin 2x|
) –π
)
π/2
–π/2
π
0
) A. B. C. D. 3600
-4 Gambar ini adalah garafik fungsi … A. y = sin 4x B. y = 4 sin x 1 4
0
86. ITB-75-17 Grafik di sebelah dinyatakan oleh persamaan …
83. MA-78-43 4 0
–1π
Grafik di atas ini adalah grafik fungsi …
2π
)
π
π
x –π
)
6
C. y = 2 sin ( x –
C. y =
0
2
y = cos 2x + 1 y = cos 2x – 1 y = cos (2x + 1) y = cos (2x – 1)
87. MA-78-26 Grafik fungsi y = 3 + sin x A. memotong sumbu x di banyak titik B. memotong sumbu x di tiga titik C. tidak memotong sumbu x D. memotong sumbu y dibanyak titik E. tidak memotong sumbu y 88. MA-83-12 Grafik fungsi y = sin2 2x – 2 berada di antara … A. sumbu x dan garis y = – 4 B. sumbu x dan garis y = – 2 C. garis y = – 2 dan garis y = 2 D. garis y = – 4 dan garis y = – 2 E. garis y = – 6 dan garis y = 2
128
X
89. MA-02-01 Untuk 0 < x < π f(x) = sin x + sin 3x A. merupakan fungsi naik B. merupakan fungsi turun C. mempunyai maksimum saja D. mempunyai minimum saja E. mempunyai maksimum dan minimum 90. MA-88-10
Dalam selang 0 < x < 2π, grafik fungsi y =
sin x + 4 sin x - 1
terletak di bawah sumbu x hanya untuk … A. B.
1 2 1 2
π<x<π π<x<
3 2
π
C. 0 < x < π D. semua x E. semua x ≠
1 2
π dan x ≠
3 2
π
91. MA-77-46
Jika 00 < x < (1) (2) (3) (4)
1 4
π, maka …
sin x < sin y cos x > cos y tan x < tan y ctg x > ctg y
92. MA-77-50 Bila sin A cos A < 0, maka A dikuadran … (1) pertama (2) kedua (3) ketiga (4) keempat 93. MA-77-44 Bila sin z = sin α, maka z = … (1) (1800 – α) + k . 360 (2) – α + k . 360 (3) α + k . 360 (4) α + k . 180
96. MD-96-20 Persamaan garis yang tegak lurus pada garis singgung kurva y = tan x (tan lambang dari tangens) di titik ⎛π ⎞ ⎜ 4 , 1⎟ adalah … ⎝ ⎠ −x π A. y = + +1 2 4 x π B. + –1 2 8 −x π C. + –1 2 8 −x π D. − +1 2 4 −x π E. + +1 2 8 97. MA-95-09 Untuk 00 ≤ x ≤ 360, himpunan penyelesaian 2 sin 2x ≥ 1 adalah … A. { x | 300 ≤ x ≤ 150 } B. { x | x = 450 } ∪ { x | x = 225 } C. { x | 150 ≤ x ≤ 750 } ∪ { x | 1950 ≤ x ≤ 2250 } D. { x | 750 ≤ x ≤ 1950 } E. { x | 150 ≤ x ≤ 750 } 98. MA-80-41 Bila sin x – cos x = p , maka harga dari sin 2x adalah … A. 2p2 B. p2 + 1 C. p2 – 1 D. 1 – p2 1- p2 E. 2 99. MA-84-05 sin 2θ sama dengan … pq A. p2 + q2
B.
94. MA-82-29 Nilai terkecil yang dapat dicapai oleh 3 – 2 sin x cos x ialah … A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 E. –2 95. MA-02-10 Diketahui F(x) = √2 cos 3x + 1. Jika nilai maksimum F(x) adalah a dan nilai minimum F(x) adalah b, maka a2 + b 2 = … A. 3 B. 6 C. 12 D. 18 E. 36
C. D. E.
θ
pq p2 + q2
q
2q p2 + q2 2 pq p2 + q2 2 pq p2 + q2
100. ITB-76-21 Diketahui bahwa sin φ =
1 3
dan α = 2φ. Maka
kesimpulannya adalah … A. α adalah dalam kuadran I atau II B. α adalah dalam kuadran I atau IV C. α adalah dalam kuadran II atau III D. α adalah dalam kuadran II atau IV 129
p
101. ITB-76-22
2t (θ sudut lancip), maka cos Jika tan θ = 1− t2 sama dengan … 1 A. 1+ t2 1 B. 1− t 2 1 C. 1+ t 2 1 D. 1− t
1 2
θ
106. ITB-76-20 Fungsi sin (xo + 60o) dapat juga dituliskan dalam bentuk : a sin xo + b cos xo atau a sin xo – b cos xo untuk setiap x. maka … A. a = 1 , b = – 1 √3 2
2
C. a = D. a =
A. a =
C. D. E.
C. D.
,b= √3 , b =
1 2 1 2 1 2
√3
dan b = √3 dan b =
1 2 1 2
√3
1
dan b = – 2 √3 1 1
E. a = – 2
1+ a 2
1
dan b =
1 2
√3
108. MA-86-25 Nilai maksimum dari fungsi :
1+ a 2 1− a 2 a
f(x) = 3 sin x + A.
a + a2
B. C. D. E.
1 4
9 4 7 4 5 4 3 4 1 4
1 2
√3 cos 2x , (0 ≤ x ≤
π 2
) adalah …
√2 √3 √3 √3 √3
109. MA-90-03 Nilai-nilai yang memenuhi persamaan
104. MA-87-05
B.
C. a =
2
Jika 2 cos (x +
2
1 2 1 2
D. a = – 2 √3 dan b = – 2
103. MA-79-12 sin 3p + sin p = … A. 4 sin p cos2 p B. 4 sin2 p cos p C. sin p cos2 p D. sin2 p cos p E. sin 4p
A.
B. a =
1+ a 2 2a 1− a
1 2 1 2
107. MA-79-13 Fungsi sin (x + 60) dapat juga ditulis dalam bentuk : a sin x + b cos x untuk setiap harga x, apabila …
102. MA-78-30 Jika tan x = a, maka sin 2x sama dengan … 2a A. 1+ a 2
B.
2
B. a = – 1 √3, b = – 1
cos x + sin x =
1
π) = cos (x – 4 π) maka tan 2x = …
1 2
√6
dapat dihitung dengan mengubahnya ke persamaan yang berbentuk cos (x – α) = a Diantara nilai-nilai x tersebut adalah … π A.
1 3 2 3 1 2 3 4
24
B.
E. 1
C.
105. MD-03-12 Nilai minimum dan maksimum dari fungsi y = sin x + cos x + 1 berturut-turut adalah … A. –3 dan 3 B. –2 dan 2 C. 1 – √2 dan 1 + √2 D. –1 – √2 dan 1 + √2 E. –1 + √2 dan 1 + √2
D. E.
130
π 15
π 12
π 8
π 6
110. MA–98–09 Bentuk √3 cos x – sin x, untuk 0 ≤ x ≤ 2π dapat dinyatakan sebagai … π A. 2 cos (x + ) 6 7π ) B. 2 cos (x + 6 11π ) C. 2 cos (x + 6 7π ) D. 2 cos (x – 6 π E. 2 cos (x – ) 6
115. MA-86-01
111. MA–98–09 Bentuk √3 cos x – sin x, untuk 0 ≤ x ≤ 2π dapat dinyatakan sebagai … π A. 2 cos (x + ) 6 7π B. 2 cos (x + ) 6 11π ) C. 2 cos (x + 6 7π ) D. 2 cos (x – 6 π E. 2 cos (x – ) 6
116. MA-96-06 y = 4 sin x sin (x – 600) mencapai nilai minimum pada … A. x = 600 + k . 3600 , k = 0, 1, 2, ……….. B. x = 600 + k . 1800 , k = 0, 1, 2, ……….. C. x = 300 + k . 3600 , k = 0, 1, 2, ……….. D. x = 300 + k . 1800 , k = 0, 1, 2, ……….. E. x = k . 3600 , k = 0, 1, 2, ………..
112. MA-92-08 Diketahui f (x)= 3 cos x + 4 sin x + c, c suatu konstanta. Jika nilai maksimum f (x) adalah 1, maka nilai minimumnya … A. 0 B. –1 C. –5 D. –9 E. –25
B. C. D. E.
π cos 2x – cos 2
1 2
π 4
3π 8
π 3
π 2
117. MA-00-07 Jika α dan β sudut lancip, cos (α– β ) =
cos α cos β =
1 2
, maka
cos(α + β) =… cos(α − β)
1 2
√3 dan
A. 2 – √3 B. 1 – 1 √3 3
C. 3 – 2√3 D. 1 – 1 √3 2
E.
2 3
√3 – 1
118. MA–99–02
Jika α + β =
π 6
cos (α – β) = …
114. MA-82-33 Identitas mana saja yang benar ? (1) cos 2x = cos4 x – sin4 x (2) cos 2x = (cos x + sin x) ( cos x – sin x ) 1 2
, maka nilai x yang memenuhi
2
persamaan : cos 4x – 3 sin 2x + 4 = 0 adalah … π A. 8
113. MA-82-23 Nilai x di antara 00 dan 3600 yang memenuhi persamaan √3 cos x + sin x = √2 adalah … A. 750 dan 2850 B. 750 dan 3450 C. 150 dan 2850 D. 150 dan 3450 E. 150 dan 750
(3) cos 2x = sin
π
Jika 0 ≤ x ≤
π sin 2x
(4) cos 2x = 2 cos x + 1
131
A.
1 9
+
1 2
√3
B.
3 2
+
1 2
√3
C.
3 4
–
1 2
√3
D.
3 2
–
1 2
√3
E.
1 2
√3
dan cos α cos β =
3 4
maka
119. MA-81-21
π
Bila 2 cos (x + A. tan x = B. sin x = C. cos x =
4
) = cos (x –
π 4
) maka …
1 3 1 √2 2 1 √3 2
123. MA-06-05 Jika 0 ≤ x ≤ π, maka himpunan penyelesaian pertaksamaan cos x – sin 2x < 0 adalah … ⎧ π π⎫ A. ⎨ x < x < ⎬ 6 2⎭ ⎩
D. tan x = 3 E. sin x =
1 2
120. MA-79-37 Pada suatu segitiga siku-siku ABC berlaku
cos A cos B =
1 2
, maka cos (A – B) sama dengan …
A. 1 B.
1 2
⎧ 5π ⎫ π⎫ < x < π⎬ ⎬ ∪ ⎨x 2⎭ 6 ⎩ ⎭ π⎫ ⎬ 3⎭
⎧ π D. ⎨ x < x < ⎩ 6 ⎧ π E. ⎨ x < x < ⎩ 6
⎧ 5π ⎫ π⎫ < x < π⎬ ⎬ ∪ ⎨x 3⎭ ⎩ 6 ⎭ ⎧ 5π ⎫ π⎫ < x < π⎬ ⎬ ∪ ⎨x 2⎭ 6 ⎩ ⎭
124. MA-86-04
C. 0 D. –
⎧ π B. ⎨ x < x < ⎩ 6 ⎧ π C. ⎨ x < x < ⎩ 4
dy 3 , maka =… x dx 3 – 3 sin x 3 3 – 2 sin x x 3 3 – sin x x 3 3 sin x2 x 3 3 sin x x
Jika y = cos
1 2
A.
E. –1 121. MA–99–02
Jika α + β =
π 6
B. dan cos α cos β =
3 4
maka
C.
cos (α – β) = … A.
1 9
+
1 2
√3
D.
B.
3 2
+
1 2
√3
E.
C.
3 4
–
1 2
√3
D.
3 2
–
1 2
√3
E.
1 2
√3
125. MA-92-04
Diketahui fungsi f (x) = grafiknya x =
122. MA-06-09
π Diketahui x dan y sudut lancip dan x − y = . 6 Jika tan x = 3 tan y , maka x + y = … π A. 3 π B. 2 π C. 6 2π D. 3 E. π
π 2
2 + cos x . Garis singgung sin x
memotong sumbu y di titik (0,b),
b adalah … A. 2 π B. 2
π
C. –2 + D. 2 – E. 2 +
2
π 2
π 2
126. MA-84-11 Dalam selang 0 ≤ x <
1 2
π , 2 sin 2 x + 3 sin x ≥ 2
berlaku untuk semua x yang memenuhi … 1 6 1 6
π≤x≤
5 6
π
π≤x<
1 2
π
C.
1 6
π≤x≤
1 2
π
D.
1 3
π≤x≤
1 2
π
E.
1 3
π≤x<
1 2
π
A. B.
132
DALIL SISA 01. MA-75-38 Dalil sisa mengatakan : Jika f(x) habis dibagi oleh (x – a), maka f(a) = 0 Ucapan tersebut berlaku hanya jika f(x) merupakan fungsi … A. logaritma B. rasional C. polinom D. sinus 02. MA-77-04 Jika f(x) dibagi (x – a), maka sisanya adalah … A. f(x + a) B. f(x – a) C. f(a) D. f(–a) E. 0 03. MA-80-34 2 x 2 + ax - 15 dapat disederhanakan, bila Pecahan x 2 - 5x + 6 pada a diberikan nilai … A. –2 B. –1 C. 0 D. 1 E. 2 04. MA-78-19 Sisa (2x3 – 7x2 + 11x – 4) : (2x – 1) adalah … A. – 4 B. 0 C. 1 D. 2 E. 3 05. MA-86-07
Jika f(x) = 4x4 – x3 – x2 + sisanya … A. –√2 B. –1 1
C. – 2 D. E.
1 2 1 2
√2
1 2
x dibagi dengan (2x + √2)
06. MA-82-21 Jika dari fungsi f(x) = ax2 + bx + c diketahui f(0) = –6, f(1) = 5, dan f(2) = 28, maka f(x) = 0 untuk x sama dengan … 1
A. – 3 atau 3 B. C.
1 3 1 2
atau –3 atau –2 2
3 2 3 –2
D. – 3 atau E.
3 2
atau
07. MA-06-12 Diketahui p(x) = ax2 + bx – 1 , dengan a dan b konstan. Jika p(x) dibagi dengan (x – 2006) bersisa 3, bila p(x) dibagi dengan (x + 2006) akan bersisa … A. –1 B. –2 C. –3 D. –4 E. –5 08. MA-81-08 Bila x3 – 4x2 + 5x + p dan x2 + 3x – 2 dibagi oleh (x + 1) memberikan sisa sama, maka p sama dengan … A. –6 B. –4 C. –2 D. 4 E. 6 09. MA-05-09 Jika P(x) = x4 + 5x3 + 9x2 + 13x + a dibagi dengan (x + 3) bersisa 2, maka P(x) dibagi (x + 1) akan bersisa … A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 E. 6 10. ITB-76-13 Pembagian suku banyak 2x4 + ax3 – 3x2 + 5x + b oleh x2 – 1 menghasilkan sisa 6x + 5, maka … A. a = – 1 , b = 6 B. a = – 1 , b = – 6 C. a = 1 , b = 6 D. a = 1 , b = – 6 11. MA-78-48 x3 – 12x + k habis dibagi dengan x – 2, juga habis dibagi dengan … A. x – 1 B. x + 1 C. x + 2 D. x – 3 E. x + 4
133
12. MA-84-06 Jika x3 – 12x + a habis di bagi x – 2, maka ia juga habis dibagi dengan … A. x – 1 B. x + 1 C. x + 2 D. x – 3 E. x + 4 13. MA-86-22 Untuk bilangan bulat a manakah suku banyak 4x4 – 12x3 + 13x2 – 8x + a dan 6x2 – 11x + 4 mempunyai satu faktor yang sama ? A. –2 B. –1 C. 0 D. 1 E. 2 14. MA-85-18 Jika f(x) dibagi dengan (x – 2) sisanya 24, sedangkan jika dibagi dengan (x + 5) sisanya 10. Jika f(x) dibagi dengan (x2 + 3x – 10) sisanya adalah … A. x + 34 B. x – 34 C. 2x + 20 D. 2x – 20 E. x + 14 15. MA-79-34 Bila f(x) dibagi oleh ( x + 2) mempunyai sisa 14, dan dibagi oleh (x – 4) mempunyai sisa – 4, maka bila f(x) dibagi (x2 – 2x – 8) mempunyai sisa … 3x – 8 A. B. – 3x + 8 8x + 3 C. 3x + 8 D. E. – 3x – 8 16. MA-81-33 Sebuah suku banyak bila dibagi (x – 2) sisanya 5, dan bila dibagi (x + 2) tidak bersisa. Bila dibagi (x2 – 4) maka sisanya adalah … A. 5x – 10 B. 5x + 10 C. –5x + 30 5
1
D. – 4 x + 7 2 E.
5 4
18. MA-78-50 Jika V(x) dibagi (x2 – x) dan (x2 + x) masing-masing bersisa (5x + 1) dan (3x + 1), maka V(x) bila dibagi (x2 – 1) sisanya … A. – 4x + 2 4x + 2 B. C. 2x + 4 D. 2x – 4 E. tak dapat ditentukan 19. MA-80-25 Fungsi f(x) dibagi (x – 1) sisanya 3, sedangkan jika dibagi (x – 2) sisanya 4. Kalau dibagi (x2 – 3x + 2) maka sisanya … A. 2x + 1 B. –x + 2 C. x + 2 D. 2x – 3 E. x + 1 20. MA-82-28 Bila x – y + 1 merupakan sebuah faktor dari bentuk : ax2 + bxy + cy2 + 5x – 2y + 3, maka harga a, b dan c ialah … A. 2 , –1 , 1 B. 2 , –1 , –1 C. –2 , 1 , 1 D. –2 , –1 , 1 E. 2 , 1 , –1 21. ITB-76-12 Jika suku banyak (polinom) f(x) dibagi oleh: (x – a)(x – b) dan a ≠ b maka sisa pembagian ini adalah … x−a x−a f (a ) + f (b) A. a −b b−a x−a x−b B. f (b) + f (a) a −b b−a x−a x−b f (b) C. f (a ) + b−a a−b x−b x−a f (b) + f (a) D. a−b b−a 22. MA-83-04 Suku banyak f(x) habis dibagi (x – 1). Sisa pembagian f(x) oleh (x – 1) (x + 1) adalah … 1
A. – 2 f (1) (1 – x)
1
x+22
1
B. – 2 f (1) (1 + x)
17. MA-75-04 Jika f(x) dibagi dengan (x + 1) dan (x – 1), maka sisanya berturut-turut adalah –3 dan 5. Berapakah sisanya jika f(x) dibagi dengan (x2 – 1) ? A. 4x – 1 B. 4x + 1 x+4 C. D. – x + 4
C. D.
1 2 1 2
f (–1) (1 – x) f (–1) (1 + x) 1
E. – 2 f (–1) (1 + x)
134
23. MA-82-07 Banyaknya akar real persamaan : x5 + x4 – 2x3 + x2 + x – 2 = 0 adalah … A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5
135
06. MA-91-03
Limit
Lim
x−2
=…
3 − x2 + 5
x→2
3
01. ITB-75-33
Diketahui f (x) = x2 + 2hx + h2 , maka
A. – 2 f ( x + h) − f ( x ) h
adalah … x 2 + 4hx + 4h 2 h B. 2x C. 2x + h D. 2x + 3h
B.
0
C.
2 3 3 2
D.
A.
3
E.
07. MA–98–04 3
Lim
x →1
02. MA-79-23
B. C. D. E.
∞
(x − 1)2
x +1
=…
1 3 1 5 1 7 1 9
C.
4 3 12 5 5 4
3
0
A. B.
t3 - 8 Lim =… 2 t→2 t +t-6 A. 0
x2 − 2
D. E.
08. MA-93-03
Jika lim
03. MA-81-24 xn lim =… x → 1 x -1 A. n2 – 1 B. n2 – n C. tak terhingga D. 1 E. n
x→4
ax + b − x 3 = , maka a + b sama x-4 4
dengan … 3 A. B. 2 1 C. –1 D. E. –2 09. MA-97-07
04. MA-80-15 x-8 =… lim 3 x-2 x→8 A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 E. 24 05. MA-96-01 2 ⎛ x 2 − 2 x ⎞⎟ ⎜ 2x − 8 Lim + ⎟ =… ⎜ x→2 ⎜ x−2 2 x − 4 ⎟⎠ ⎝
A. B. C. D. E.
1 + x -1
Lim
x→0
A.
0
B.
1 3 2 3 3 2
C. D. E.
3
1 + x -1
sama dengan …
2
10. MA-77-12
ax m + b Lim =… t → ∞ cx n + d a A. bila m = n c b bila m = n B. d a untuk m dan n mana saja C. c b untuk m dan n mana saja D. d E. 0 untuk m = 1 dan n = 0
5 6 8 9 ∞
136
11. MD-84-23 x 2 + 3 x - 18 lim adalah … x 2 - 3x x→3 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 6
17. MD-06-11 lim
x (x − 7 )
x→7
x− 7
=…
14 7 2√7 √7 1 √7
A. B. C. D. E.
2
12. MD-00-15
Jika f (x) =
x2 − 2x maka lim f (x) = … x→2 x2 − 4
A. 0 B. ∞ C. –2 D. 1
18. MD-98-15 x−x =… lim x →0 x+x A. 0 B. 12
C. 1 D. 2 E. ∞
2
E. 2 13. MD-02-11 lim x→a A. a B. a + 1 C. a +2 D. a + 3 E. a + 4
x 2 + (3 − a) x − 3a = … x−a
19. MD-00-16 x→3
1
A. – 7 7 1
B. – 14 7 C. 0 E.
1
A. – 2
D. E.
A. B. C. D. E.
t −2 =… t-4
x→3
A. –4√3 B. –2√3 C. 0 D. 2√3 E. 4√3
16. MD-85-18 4- x 2+7
= ...
0 5 6,5 8 ∞
lim
9-x 2
4 − x2 + 7
21. MD-05-11
1 4 1 3 1 2 3 4
lim x→3 A. 8 B. 4 C. 9
9 − x2
x→3
1 4
15. MD-97-14
C.
7
lim
D. 1 E. 4
B.
7
20. MD-01-14
B. 0
lim t→ 4 A. 1
1 7 1 14
D.
14. MD-99-15 1− x lim =… x → 1 1 − x2
C.
x + 4 − 2x + 1 adalah … x−3
lim
adalah …
4
D. 1 E. 0 137
9 − x2 2 x2 + 3 − 4 3
=…
22. MA–98–04 3
lim x →1
A. B.
2
x −2
3
(x − 1)
x +1
2
=…
27. MD-03-11 ⎛ x + 2x − x ⎞ = … lim ⎜ ⎟ ⎠ x→∞ ⎝
A. 2 2 B. 2 C. √2 D. 1 √2
0 1 3 1 5 1 7 1 9
C. D. E.
2
E. 0 28. MD-04-11
Lim x→∞ A. 1
B. C. – D. E. –
(3x - 2)3 sama dengan … (4 x + 3)3
27 64 27 64 8 27 8 27
24. MA-94-03 Lim ( (x + a)(x + b) − x) = … x→∞ (a − b ) A. 2
B. ~ C. 0 (a + b ) D. 2
29. MD-00-14 sin ax adalah … lim sin bx x→0 A. 0 B. 1 C. a
D.
A.
B. – 2
2
x + x + 5 − x − 2x + 3 = …
3 2
C. D. E.
√2 2 ∞
E.
–3
C.
–1
D.
–3
E.
–3
2 sin 2
lim
x→0
A. 0 B. 1
9 x2 − 2 x + 5 = …
2
C. 1 D. 2 E. 4
1
B.
1 4
31. MD-01-13
26. MA-92-03
lim (3x – 2) – x→∞ A. 0
1 2
C. 0 D. 12
0
B.
b b a
E. ∞
25. MA-89-04 x→∞
x− 2
30. MD-98-14 sin( x − 2) lim =… x2 − 4 x→2 A. – 14
E. a + b
Lim
x x −2 x −2 2 + x 2
lim x→2 A. 0 B. 2 C. 4 D. 8 E. 10
23. MA-78-27
4
5
138
x 2
x sin x
= ...
=…
32. MA-88-06 sin (πx − π) sin x Jika lim = 1 , maka lim =… x -1 x →1 x→0 x A. 0 B. 1 C. π 1
D.
π 1 2
E.
π
33. MA-78-06 sin 5 x Lim =… x→0 sin 3 x 1 A. 0 B. C. –1
37. MD-02-13 sin x + sin 3x lim = … x→0 x cos x A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4 38. MD-06-10 tan (1 − x ) lim =… x →1 x3 − 1
E.
tan 3t adalah … 2t
Lim t→0 A. 0 B. 1 C. 3
E.
2 3 3 2
35. MA-90-06 Lim
x→0
A. B. C. D. E. –
x sin 3x =… 1 − cos 4 x
3 8 3 4 3 2 1 4 3 8
−3
1
39. MD-05-10 − x + tan x =… lim x→0 x A. –2 B. –1 C. 0 D. 1 E. 2 40. MA-02-13 x 2 + sin x tan x lim =… x→0 1 − cos 2 x A. 0 B. 1 2
C. 1 D. 2 E. 4
36. MD-04-10 lim x→0 A. 2 B. 1 C. 0 D. –1 E. –2
B.
2
34. MA-77-10
D.
1 3
C. 1 D. –1 E. 1
3 5 5 3
D.
A.
sin x 1− x −1
=…
41. MA-89-03 ⎛ 2 sin x sin 2 x ⎞⎟ Jika lim = 1 , maka lim ⎜⎜⎜ 2 − 2 ⎟ =… x x→0 ⎝x x tan x ⎟⎠ x→0 A. –2 B. –1 C. 0 D. 1 E. 2 42. MA-03-09 1 − cos 2 x − cos x sin 2 x lim =… x→0 x4 A. 0 B. 1
C.
4 1 2
D. 1 E. –1
139
43. MD-03-10 lim x→0 A. 4 B. 2 C. 1 1 D.
E. –
x tan x =… 1 − cos x
48. MA-05-06 x 2 + x − 1 sin (x − 1) =… lim x →1 x 2 − 2x +1 A. 4 B. 3 C. 0
(
1
D. – 4
2 1 2
1
E. – 2
44. MD-97-13
49. MA-04-04
tan x =… x2 + 2 x
lim x→0 A. 2 B. 1 C. 0 D. 1
lim x→0 A. B.
2 1 4
E.
50. MA–99–04 y →∞
1
0 < x < 2 π, deret 1 + alog sin x + alog2 sin x +
1 3 1 2
a
log3 sin x + … konvergen hanya pada selang … 1 6 1 6 1 4
π<x<
D.
1 4
π<x<
E.
1 3
π<x<
A.
E. 1
B. 46. MA-06-04 lim
x→0
C.
x2 4 − x2 =… cos x − cos 3x
3 2 1 2
C. 0 D. E.
1 2 3 2
47. MA-95-07
Lim t→2 A. B. C.
(t
2
)
− 5t + 6 sin (t − 2) =… t2 − t − 2
1 3 1 9
0 1
D. – 9 E.
(2 y + 1) − 4 y 2 − 4 y + 3 maka untuk
Jika a = lim
A. –1 B. 0
B. −
1 2
E. –2
x−k =… sin (x − k ) + 2k − 2 x
x→k
A. −
2
2
lim
D.
x 1 − x tan 2 x =… ⎛π ⎞ cos 2 ⎜ 2 − x ⎟ ⎝ ⎠
C. 0 D. – 1
45. MD-99-14
C.
)
1
–3
140
π<x< π<x<
1 2 1 4 1 3 1 2
π
1 2
π
π π π
Diferensial
01. MD-81-25 Jika y = f(x) maka rumusan turunan pertama dari y terhadap x didefinisikan sebagai ... f ( x + h) − f ( x ) A. lim h h→0 f ( x) + h B. lim h h→0 f ( x + h) − f ( h) C. lim x h→0 f ( x) − h D. lim x h→0 f ( x + h) − f ( x ) E. lim f ( h) h→0 02. MD-94-21 f (a − x) − f (a ) =… lim x →0 x A. f ′(a) B. –f ′(a) C. f ′(x) D. –f ′(x) E. f(a) 03. MD-87-08
Jika f(x) = x2 – 1, maka lim p→0 dengan … A. 0 B. 1 C. 2 D. 2x E. x3
f (x+p) - f (x) sama p
06. MA-77-39 Turunan pertama dari y = (x + 1)2 (x + 2) adalah … A. 2x2 + 8x + 2 B. 3x2 + 8x + 2 C. 3x2 + 8x + 7 D. 2x2 + 6x + 7 E. 3x2 + 3x + 2 07. MD-06-09
Jika f (x) = sin3 x, maka lim
p→0
… A. B. C. D. E.
A. B. C. D. E.
–2
2 cos 3x 2 sin 3x 6 sin2 x 6 sin 3x cos 3x 6 cos2 x
08. MD-97-24 Diketahui f (x) = 3x2 – 5x + 2 dan g (x) = x2 + 3x – 3 Jika h (x) = f (x) – 2g (x), maka h′(x) adalah … A. 4x – 8 B. 4x – 2 C. 10x – 11 D. 2x – 11 E. 2x + 1 09. MD-83-17 Jika f(x) = 3x2 – 2ax + 7 dan f ′ (1) = 0, maka f ′ (2) = A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 E. 8 10. MD-01-15 4x + 1 , maka f ′(2) = ... x
Jika f (x) = A. – 5
6 5 12 –5 16 5 6 5 12
B. –
04. MA-79-02
Apabila f(x) = x2 –
f ( x + 2 p) − f ( x) = 2p
1 + 1 maka f'(x) adalah … x
x–x x + x–2 2x – x–2 + 1 2x – x–2 – 1 2x + x–2
05. MA-78-10 y = (x2 + 1) (x3 – 1) maka y ' = … A. 5x3 B. 5x3 + 3x C. 2x4 – 2x D. x4 + x2 – x E. 5x4 + 3x2 – 2x
C. D. E.
11. MD-03-13 Jika f (2 – 1 x) = 4 – 2x + x2, maka f ′(1) = … 2
A. –8 B. –4 C. –2 D. 0 E. 1
141
12. MD-84-27
Jika f(x) : 4 + A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 E. 5
4
x3
+ 3
3
x2
, maka nilai f ′ (1) = …
13. MD-82-16 f ( x) = 4 x
A. B. C. D. E.
3 2
, maka f '
( )= …
Jika nilai maksimum fungsi y = x +
3x2 - 5 maka f (0) + 6 f ′(0) = … x + 6
20. MD-99-17
Nilai minimum relatif fungsi f(x) =
2 1 0 –1 –2
15. MD-89-07 Ordinat salah satu titik pada grafik x3 x 2 y= − − x +1 3 2 yang mempunyai gradien 1 adalah ...
A. 2 B. 2 C. 2 D. 1
p − 2 x adalah 4,
maka p = … A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 E. 8
2 4 6 12 18
Jika f ( x ) =
E.
19. MD-00-19
1 2
14. MD-92-25
A. B. C. D. E.
18. MD-94-20 Fungsi y = 4x3 – 18x2 + 15x – 20 mencapai nilai maksimum untuk nilai x = … A. 0,5 B. 1,5 C. 2 D. 2,5 E. 3
1 3
x3 – x2 – 3x + 4
adalah … A. –5 2
B. –2 3 1
C. – 3 D.
1 3
E. 4 21. MD-93-24
Jika 9 x −1 =
2 3 1 3 1 6 1 6
()
1 4 x −1 3
maka F(y) = y2 + 2xy + 4x2
mempunyai nilai minimum … A. B. C.
5 6
D.
1 2 2 3 3 4 4 9
E. 1 16. MD-04-13 Turunan pertama dari fungsi f(x) = (x – 1)2 (x + 1) adalah f ′(x) = … A. x2 – 2x + 1 B. x2 + 2x + 1 C. 3x2 – 2x + 1 D. 3x2 – 2x + 1 E. 3x2 + 2x + 1 17. MD-04-15 Nilai maksimum dari fungsi f(x) = 2x(x2 – 12) adalah … A. 8 B. 12 C. 16 D. 24 E. 32
22. MD-95-19 Ditentukan f(x) = 2x3 + 9x2 – 24x + 5. Jika f ′(x) < 0, maka nilai x haruslah … A. –1 < x < 4 B. 1 < x < 4 C. –4 < x < 1 D. –4 < x atau x > 1 E. –1 < x atau x > 4 23. MD-97-16 Titik belok dari fungsi y = x3 + 6x2 + 9x + 7 adalah … A. (–2, 3) B. (–2 , 7) C. (–2 , 5) D. (2 , 10) E. (2 , 5)
142
24. MD-02-12 Dari sehelai karton akan dibuat sebuah kotak tanpa tutup dengan alas bujur sangkar. Jika jumlah luas bidang alas dan semua bidang sisi kotak ditentukan sebesar 432 cm2, maka volume kotak terbesar yang mungkin adalah … A. 432 cm2 B. 649 cm2 C. 726 cm2 D. 864 cm2 E. 972 cm2
29. MA-91-07 Sebuah benda ditembakkan tegak lurus ke atas. Ketinggian yang dicapai pada waktu t detik, dinyatakan dalam meter, diberikan sebagai h (t) = 30t – t2. Lama benda itu berada pada ketinggian yang tidak kurang dari 221 meter adalah … A. lebih dari 17 detik B. lebih dari 13 dan kurang dari 17 detik C. lebih dari 10 dan kurang dari 13 detik D. 7 detik E. 4 detik
25. MD-02-21 Keliling sebuah empat persgipanjang adalah 20 meter dan luasnya kurang dari 24 m2. Jika panjang salah satu sisinya adalah a meter, maka … A. 0 < a < 2 atau a > 12 B. 0 < a < 2√2 atau a > 6√2 C. 0 < a < 3 atau a > 8 D. 0 < a < 2√3 atau a > 4√3 E. 0 < a < 4 atau a > 6
30. MA-77-39 Sebuah titik materi bergerak dengan persamaan :
26. MD-82-17 Jika y ialah jarak yang ditempuh dalam waktu t dan dinyata-kan dengan y = t3 + 2t2 + t + 1 , maka kecepatan menjadi 21 pada waktu t = … A. 3,0 B. 2,5 C. 2,0 D. 1,5 E. 1,0 27. MD-91-15 Sebuah roda berputar membentuk sudut θ radian dalam waktu t detik sedemikian sehingga θ = 120t – 6t2. Maka kecepatan sudut pada akhir detik ke-2 … A. 56 rad/det B. 35 rad/det C. 48 rad/det D. 76 rad/det E. 96 rad/det 28. ITB-76-07 Titik O, P dan Q terletak pada satu garis lurus, letak O di antara P dan Q. Dengan titik O tetap pada tempatnya, titik P dan Q bergerak sepanjang garis lurus tersebut se-hingga pada tiap saat t jarak dari P ke Q adalah t2 – 6t + 10 dan jarak P ke Q adalah 3t2 – 14t + 19. Tentukan jarak terdekat dari Q sampai O. A. 29 B. 9 C. 1 D. 0,4
1
S = – 3 t3 + 3t2 – 5t ( t = waktu, S = jarak tempuh ). Titik materi ini mempunyai kecepatan tertinggi pada saat t = … A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5 31.D-91-23 Reaksi terhadap obat serangga t jam setelah disemprotkan pada tanaman dapat dinyatakan sebagai bilangan tak negatif yang sama dengan 15t2 – t2 . Reaksi maksimum dicapai … A. 12 jam sebelum reaksi habis B. 10 jam sebelum reaksi habis C. 8 jam sebelum reaksi habis D. 6 jam sebelum reaksi habis E. 5 jam sebelum reaksi habis 32. MA-96-09 Seekor semut merayap pada bidang XOY. Pada saat t ia berada di titik ( x(t) , y(t)) dengan x (t) = t2 dan y (t) = t2 – 4t + 5. Semut itu akan berjarak minimum ke sumbu x pada saat jarak semut itu dari sumbu y sama dengan … A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 E. 6 33. D-88-21 Jika suatu proyek akan diselesaikan dalam x hari, maka 1200 biaya proyek perhari menjadi 3x + – 60 ribu rupiah x Biaya proyek minimum adalah … A. 1.200 ribu rupiah B. 900 ribu rupiah C. 800 ribu rupiah D. 750 ribu rupiah E. 720 ribu rupiah
143
34. MA-04-13 Biaya untuk x2 + 35 x + 25 . 4 x harga 50 − , 2 yang optimal, adalah … A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 E. 16
memproduksi
x
barang
adalah
Jika setiap unit barang dijual dengan maka untuk memperoleh keuntungan banyaknya barang yang diproduksi
35. MD-89-18 Suatu perusahaan memiliki x karyawan yang masingmasing memperoleh gaji (150x – 2x2) rupiah. Total gaji seluruh karyawan akan mencapai maksimum jika cacah karyawan itu ... A. 50 B. 60 C. 70 D. 80 E. 90 36. MD-92-28 Untuk memproduksi x unit barang per hari diperlukan biaya (x3 – 2000x2 + 3.000.000x) rupiah. Jika barang itu harus diproduksikan maka biaya produksi per unit yang paling rendah tercapai bila per hari diproduksi … A. 1000 unit B. 1500 unit C. 2000 unit D. 3000 unit E. 4000 unit 37. MD-93-23 Dua kandang berdampingan masing-masing dengan ukuran x m, y m dan luasnya 12 m2. Agar panjang pagar yang diperlukan sesedikit mungkin maka panjang x dan y berturut-turut … A. 2 m dan 6 m B. 6 m dan 2m C. 4 m dan 3 m D. 3 m dan 4 m E. 2√3 m dan 2√3 m 38. MA-79-05 Bagi suatu empat persegi panjang, dengan panjang x dan lebar y yang hubungan x + y = 2a, luasnya akan paling besar apabila …
A. x = B. y = C. y =
1 2 1 2 2 3
39. MD-01-29 Rusuk suatu kubus bertambah panjang dengan laju 7 cm/detik. Laju bertambahnya volume pada saat rusuk panjangnya 15 cm adalah ... A. 675 cm3/detik B. 1.575 cm3/detik C. 3.375 cm3/detik D. 4.725 cm3/detik E. 23.625 cm3/detik 40. MA-00-09 Luas sebuah lingkaran adalah fungsi dari kelilingnya. Jika keliling sebuah lingkaran adalah x, maka laju perubahan luas lingkaran terhadap kelilingnya adalah … A. πx B. 2πx x C. 2π x D. π 2x E. π 41. MA-75-13 Luas pelat seng yang diperlukan untuk membuat kaleng berbentuk silinder (termasuk alas dan atasnya) isi satu liter dengan tinggi x dm adalah … π + 2 πx dm2 A. x π + 2πx 2 dm2 B. x 2 C. + 2 πx dm2 x 2 + 2πx dm2 D. x 42. MA-83-17 Tinggi sebuah tabung 1 m dan jejari lingkaran alasnya r m. Alas dan kulit tabung hendak dilapisi dengan bahan yang berbeda. Biaya melapisi tiap m2 alas tabung sama dengan setengah biaya melapisi tiap m2 kulit tabung. Dengan demikian biaya melapisi seluruh alas tabung akan lebih mahal daripada biaya melapisi seluruh kulit tabung apabila A. 0 < r < 1 B. 0 < r < 4 C. r > 0 D. r > 1 E. r > 4
a a a
D. x = y = a E. x =
1 2
y=a
144
43. MA-81-43 Sebuah tabung tanpa tutup, yang terbuat dari seng tipis dapat memuat zat cair sebanyak 64 cm3. Seluruh luas tabung itu akan minimum, jika jari-jari tabung sama dengan … 8
A.
π √π
B.
π √2π
C.
π √π
D.
π
E.
4 4
4 3
2π
4 3
π
π
44. MA-02-03 Sebuah bak air tanpa tutup dibuat dengan alas yang berbentuk bujur sangkar. Jumlah luas keempat dinding dan alasnya 27 m2. Volume terbesar diperoleh apabila luas alasnya … A. 1,00 m2 B. 4,00 m2 C. 9,00 m2 D. 16,00 m2 E. 25,00 m2 45. MA-86-19 Sebuah empat persegi panjang (= siku empat) pada mulanya berukuran 20 × 5. Karena sesuatu hal panjangnya senantiasa berkurang dengan laju konstan V > 0, sedangkan lebarnya bertambah dengan laju konstan V yang sama. Dalam proses ini luas empat persegi panjang tersebut … A. senantiasa berkurang sampai akhinya habis B. berkurang sampai suatu waktu tertentu, kemudian membesar C. bertambah sampai suatu waktu tertentu, kemudian mengecil sampai akhirnya habis D. senantiasa bertambah E. senantiasa konstan, untuk suatu nilai V > 0
47. MD-97-23 Sebuah pintu berbentuk seperti gambar. Keliling pintu sama dengan p. Agar luas pintu maksimum, maka x sama dengan … p A. π π B. p x | x 4 p C. 4 + π p +π D. 4 p E. 4π 2x 48. MD-88-30 Tentukan letak titik P pada penggal garis OB sehingga 1 5
panjang AP +
A. (
15
B. (
20
C. (
25
D. (
30
E. (
35
A. B. C.
ab − a 2 + b 2 4 ab − a 2 − b 2 4 ab + a 2 − b 2 2 4 2
D.
2ab − a − b 4
panjang PB menjadi minimum …
, 0)
39
, 0)
39
A(0,4)
, 0)
39 39
, 0)
0
P(x,0)
B(10,0 )
, 0)
39
49. MA-84-13 Sebuah balok berbentuk prisma tegak, alasnya berbentuk segitiga siku-siku sama kaki dan isinya 4 (2 – √2) m3. Jika balok itu dibuat sehingga luas seluruh permukaannya sekecil mungkin, maka luas alasnya menjadi : 3 ( 2 - 2)
A. 46. ITB-76-08 Dari sehelai karton berbentuk empat persegi panjang, panjang a dan lebar b, dapat dibuat sebuah kotak (tanpa tutup), dengan memotong dan membuang dari keempat sudutnya bujur sangkar dengan sisi x. Luas alas minimum dari kotak adalah …
1 8
B. C. D. E.
4 8 4 2
3
4
50. MA-85-25 A E
D
2
A. B. C. D. E. 145
1 4 1 2 2 3 3 4 3 8
a2 a2 a2 a2 a2
B
Pada bujur sangkar ABCD diketahui AB = a, E pada AB F antara A dan B, F pada BC antara B dan C, dan EB = FC Luas segitiga DEF yang dapat dibuat dengan persyaratan ini, C paling kecil sama dengan …
51. MD-02-08 Grafik fungsi y = x4 – 8x2 – 9 turun untuk nilai x A. x < –3 B. x > 3 C. x < –2 atau 0 < x < 2 D. x > 3 atau –2 < x < 0 E. –2 < x < 2
58. MA-85-26
Di sebelah ini ialah sketsa grafik fungsi y = x3 – 5 x2 P Gradien garis singgung kurva tersebut di titik P adalah …
52. MD-06-08 Grafik y = 2x3 – 3x2 – 12x + 7 turun untuk x yang memenuhi … A. x > 2 B. –1 < x < 2 C. –3 < x < –1 D. x < –1 atau x > 2 E. x < –3 atau x > 1 53. MD-99-16 Diberikan kurva dengan persamaan y = x3 – 6x2 + 9x + 1 Kurva turun pada … A. x ≤ 1 atau x ≥ 3 B. –2 ≤ x ≤ 1 atau 3 ≤ x ≤ 6 C. 1 ≤ x < 3 D. 1 ≤ x ≤ 3 E. –1 ≤ x ≤ 1 54. MD-89-16 Fungsi f (x) = x3 – 6x2 + 9x + 2 turun untuk ... A. –1 < x < 2 B. 0 < x < 2 C. 1 < x < 3 D. 1 < x < 4 E. 2 < x < 6 55. MD-04-12 Fungsi f (x) = x3 – 3x2 – 15 turun untuk semua x yang memenuhi … x>0 A. B. x < –2 C. –2 < x < 0 D. 0 < x < 2 E. x < 0 atau x > 2 56. MD-96-16 Fungsi y = x3 – 3x2 turun untuk nilai-nilai x dengan … A. x > 0 B. x > 2 C. 0 < x < 3 D. 0 < x < 2 E. x > 3
A. 1 B.
1 4
π
C. 25 D. 125 E.
2500 27
59. MA-77-36 Grafik dari fungsi f(x) = x3 + 3x2 + 5 menurun untuk nilai-nilai … A. x < –2 atau x > 0 B. 0 < x < 2 C. –2 < x < 0 D. x < 0 E. tidak ada x yang memenuhi 60. MA-81-29 Interval-interval di mana fungsi f(x) = 2x3 – 9x2 + 12 naik adalah … A. x < –2 atau x > –1 B. –2 < x < –1 C. –1 < x < 2 D. 1 < x < 2 E. x < 1 atau x > 2 61. MA-83-28 Jika turunan suatu fungsi y = f(x) dinyatakan oleh grafik di bawah ini, maka fungsi f(x) itu … y y = f′′ (x)
-1 (1) (2) (3) (4)
0
2
x
minimum pada x = 2 turun pada 0 < x < 2 maksimum pada x = –1 naik pada x > 2
62. MD-03-15
Grafik fungsi f(x) = x x − 2 naik untuk nilai x yang memenuhi … A. 2 < x < 3 B. 3 < x < 4 C. 2 < x < 4 x>4 D. x>2 E.
57. MA-84-30 Grafik fungsi f (x) = x3 – 3x2 + 3x + 10 untuk setiap x yang real … (1) turun pada suatu selang (2) mempunyai maksimum pada x = 1 (3) f (x) mempunyai minimum pada x = 1 (4) f (x) mempunyai nilai stasioner pada x = 1
146
63. MD-96-18 Kurva f (x) = x3 + 3x2 – 9x + 7 naik untuk x dengan … A. x > 0 B. –3 < x < 1 C. –1 < x < 3 D. x < –3 atau x > 1 E. x < –1 atau x > 3 64. MD-91-21 Grafik fungsi f (x) = x (6 – x)2 akan naik dalam interval … A. x < 0 atau x > 6 B. 0 < x < 6 C. x > 6 D. 2 < x < 6 E. x < 2 atau x > 6 65. MD-85-33 Jika y = 2x3 – 2x2 – 2x – 3, maka titik … (1) maksimumnya ( 1 , –5 ) (2) minimumnya ( 1 , –5) (3) potongnya dengan sumbu x pada (–3 , 0 ) (4) potongnya dengan sumbu y pada ( 0 , –3 ) 66. MD-81-26 Persamaan garis singgung fungsi f(x) = x3 di titik (2,8) adalah ... A. y + 12x + 16 = 0 B. y – 12x – 16 = 0 C. y – 12x + 16 = 0 D. y – 12x + 94 = 0 E. y + 12x – 16 = 0 67. MD-82-18 Jika garis L menyinggung y = x3 – 5x2 + 7 di titik (1,3), maka persamaan garis L ialah … A. y = –7x + 10 B. y = –10x + 7 C. y = –7x + 2 D. y = –5x + 7 E. y = x – 5 68. MD-83-18
Persamaan garis singgung kurva y = 2x2 –
1 di titik x
dengan absis 1 adalah … A. y = 4x – 3 B. y = –5x + 6 C. y = –5x – 4 D. y = –3x + 4 E. y = 3x – 2
70. MD-94-19 Garis singgung kurva y = 2√x di titik yang berabsis 4 akan memotong sumbu x di titik … A. (4,0) B. (2,0) C. (0,8) D. (–4,0) E. (–2,0) 71. MD-95-18 Persamaan garis singgung di titik (1, –1) pada kurva
y = x2 – A. B. C. D. E.
2
adalah … x 4x – y – 4 = 0 4x – y – 5 = 0 4x + y – 4 = 0 4x + y – 5 = 0 4x – y – 3 = 0
72. MD-05-13
Garis singgung pada kurva y =
2x + 1 di titik (1, –3) 2 − 3x
adalah … F. y + 7x – 10 = 0 G. y – 7x = 10 = 0 H. 7y + x + 20 = 0 I. 7 y – x – 20 = 0 J. 7 y – x + 20 = 0 73. MD-93-05 Jika garis singgung pada y – 3x2 – 2x = 0 sejajar dengan garis singgung pada y – 2x2 – 6x = 0, maka koefisien arah garis singgung tersebut adalah … A. 2 B. 12 C. 14 D. 16 E. 20 74. MD-92-24 Garis singgung pada kurva y = x2 + 5 yang sejajar dengan garis 12x – y = 17 menyinggung kurva di titik … A. (6 , 41) B. (5 , 30) C. (7 , 40) D. (3 , 45) E. (2 , 26) 75. MD-01-17 1 di titik berabsis 2x memotong sumbu x di titik ... A. (2,0) B. (1,0) C. (0,0) D. (–1,0) E. (–2,0)
Garis singgung kurva y =
69. MD-84-2 Persamaan garis singgung kurva y = (x2 + 1)2 di titik dengan absis x = 1 adalah … A. y = 8x – 4 B. y = 8x – 31 C. y = 4x – 15 D. y = 4x E. y = 9x
147
1 2
akan
76. MD-02-05 Garis singgung pada kurva y = x3 – 3x2 di titik potongnya dengan sumbu x yang absisnya positif mempunyai gradien … A. 3 B. 9 C. 18 D. 27 E. 32
82. MA-00-06 Gradien garis singgung suatu kurva di titik (x, y) adalah 3√x. Jika kurva ini melalui titik (4, 9) maka persamaan garis singgung kurva ini di titik berabsis 1 adalah … A. 3x – y – 1 = 0 B. 3x – y + 4 = 0 C. 3x – y – 4 = 0 D. 3x – y + 8 = 0 E. 3x – y – 8 = 0
77. MD-87-01 Garis singgung pada kurva y = 2x2 – x3 di titik potong nya dengan sumbu x yang absisnya positif mempunyai gradien … A. 4 B. 2 C. 0 D. –2 E. –4
83. MA-83-14 Jika garis singgung kurva y = ax + bx-2 pada (–1, –1) sejajar dengan garis 4x – y + 65 = 0 maka nilai a dan b berturut-turut adalah … A. 2 dan –1 B. 2 dan 1 C. –2 dan 3 D. 2 dan 3 E. 2 dan –3
78. MA-86-14 Untuk x < 2, gradien garis singgung kurva y = x3 – 6x2 + 12x + 1 A. dapat positif atau negatif B. dapat sama dengan nol C. selalu positif D. selalu negatif E. sama dengan nol
84. MA-06-01 Jika α dan β berturut-turut merupakan sudut lancip yang dibentuk oleh sumbu-x dengan garis singgung kurva y = x2 – 4x – 5 di titik dengan absis –1 dan 3. maka tan (β – α) = …
79. MA-01-10 Kurva y = (x2 + 2)2 memotong sumbu x di titik A. Persamaan garis singgung pada kurva tersebut di A adalah … A. y = 8x + 4 B. y = –8x + 4 C. y = 4 D. y = –12x + 4 E. y = 12x + 4 80. MA-00-03 Garis singgung pada kurva x2 – y + 2x – 3 = 0 yang tegak lurus pada garis x – 2y + 3 = 0 mempunyai persamaan … A. y + 2x + 7 = 0 B. y + 2x + 3 = 0 C. y + 2x + 4 = 0 D. y + 2x – 7 = 0 E. y + 2x – 3 = 0
4
A. − 13 B. C. D. E.
4 13 5 11 8 11 4 11
85. MD-05-25 Garis g melalui titik (4, 3), memotong sumbu x positif di A dan sumbu y positif di B. Agar luas ∆ AOB minimum, panjang ruas garis AB adalah … A. 8 B. 10 C. 8√2 D. 12 E. 10√2 86. MD-02-07 Turunan pertama dari y = cos4 x adalah … A. 1 cos3 x 4
B. – 1 cos3 x
81. MA-86-20 Persamaan garis singgung pada kurva x2 – 4x – 2y – 1 = 0 di titik (1, –2) adalah … A. 3x + y – 1 = 0 B. 2x – y = 0 C. –x + 2y + 5 = 0 D. x + y + 1 = 0 E. x – y – 3 = 0
4
C. –4 cos3 x D. –4 cos3 x sin x E. 4 cos3 x sin x
148
87. MA-85-28 Bila x = sin t , maka f(x) = x2 – 4x + 3 akan mencapai nilai terkecil pada x sama dengan … 1
A. – 2 π B. –1 C. 1 D. 2 E.
1 2
π
88. MA-77-07
f(x) = 2 sin x + cos x (x dalam radial), maka f ′ ( 2 π) = 1
… A. B. C. D. E.
–1 2 1 –2 0
89. MA-78-24
Turunan fungsi y = tan x, untuk x ≠
2n + 1 π, n bulat 2
ialah … A. cot x B. cos2 x C. sec2 x + 1 D. cot2 x + 1 E. tan2 x + 1 90. MA-86-04 dy 3 , maka =… dx x 3 – 3 sin x 3 3 – 2 sin x x 3 3 – sin x x 3 3 sin x2 x 3 3 sin x x
Jika y = cos A. B. C. D. E.
92. MD-87-09 Turunan pertama fungsi y = cos (2x3 – x2) ialah … A. y′ = sin (2x3 – x2) B. y′ = – sin (2x3 – x2) C. y′ = (6x2 – 2x) cos (2x3 – x2) D. y′ = – (6x2 – 2x) sin (2x3 – x2) E. y′ = (6x2 – 2x) sin (2x3 – x2) 93. MD-93-20 Jika f(x) = – (cos2 x – sin2 x) maka f ′(x) adalah … A. 2 (sin x + cos x) B. 2 (cos x – sin x) C. sin x cos x D. 2 sin x cos x E. 4 sin x cos x 94. MD-85-20 1+ cos x dy Bila y = maka =… - sin x dx 1- sin x A. - cos x - sin x = tg x B. - cos x sin 2 x + cos 2 x + cos x C. - sin 2 x 2 sin x + cos 2 x + cos x D. sin 2 x sin 2 x - cos 2 x - cos x E. sin 2 x 95. MD-98-17 ⎛π⎞ ⎛π⎞ Jika f (x) = a tan x + bx dan f ' ⎜ ⎟ = 3, f ' ⎜ ⎟ = 9 ⎝3⎠ ⎝4⎠
maka a + b = … A. 0 B. 1 C. 12 π D. 2 E. π 96. MD-99-18
sin x + cos x , sin x ≠ 0 dan f ′ adalah sin x ⎛π⎞ turunan f , maka f ' ⎜ ⎟ = … ⎝2⎠ A. –2 B. –1 C. 0 D. 1 E. 2
Jika f ( x) =
91. MD-05-14 Jika fungsi f(x) = sin ax + cos bx memenuhi f ′ (0) = b π dan f ′( 2 a ) = –1, maka a + b = …
A. –1 B. 0 C. 1 D. 2 E. 3
149
97. MD-01-16 ⎛ 3x + 1 ⎞ Jika diketahui f (x) = cos ⎜ ⎟,x≠ ⎝ 2x − 1 ⎠ f ′ (x) = ... ⎛ 3x + 1 ⎞ A. sin ⎜ ⎟ ⎝ 2x − 1 ⎠ ⎛ 3x + 1 ⎞ B. sin ⎜ ⎟ ⎝ 2x − 1 ⎠ −5 ⎛ 3x + 1 ⎞ C. sin ⎜ ⎟ 2 (2 x − 1) ⎝ 2x − 1 ⎠ 5 ⎛ 3x + 1 ⎞ sin ⎜ D. ⎟ 2 ( 2 x − 1) ⎝ 2x − 1 ⎠
E.
1 2
, maka
12 x − 5 ⎛ 3x + 1 ⎞ sin ⎜ ⎟ ( 2 x − 1) 2 ⎝ 2x − 1 ⎠
98. MA–99–05 Bila jarak sesuatu titik dari suatu posisi P pada setiap waktu t diberikan sebagai S(t)= A sin 2t, A > 0 maka kecepatan terbesar diperoleh pada waktu t = …
A. B. C.
k 2 k 2 k 2
π, k = 0 , 1, 2 ,3, 4, … π, k = 1,3, 5, … π, k = 0, 2 , 4, 6, …
D. k π, k = E. k π, k =
1 2 3 2
, ,
5 2 7 2
, ,
9 ,… 2 11 ,… 2
150
Integral
01. MA-80-04 ∫ xn dx = 1
n +1
∫
xn + 1 + c dengan c bilangan tetap,
berlaku … A. untuk setiap harga n B. untuk n ≠ –1 C. untuk n ≠ 0 D. hanya untuk n < 0 E. hanya untuk n > 0 02. MA-80-47 Di antara fungsi-fungsi di bawah ini yang mempunyai 1 turunan f ′(x) = – 2 adalah … x 1 (1 ) x x+1 (2) x 1-x (3) x x 2+ 1 (4) x 03. MD-81-48 Diantara fungsi-fungsi di bawah ini yang mempunyai 1 turunan f ′(x) = 2 adalah ... x 1 (1) f (x) = x x +1 (2) f (x) = x 1− x (3) f (x) = x
(4) f (x) =
06. MD-96-17 F ′(x) = (x + 1) (x + 2) . Jika F(0) = –3, maka F(x) = …
A. B. C. D.
x2
Jika dalam selang a ≤ x ≤ b diketahui b
∫ f(x) g(x) dx
sama dengan …
a
A. f(b) – f(a) B. g(b) – g(a) f(b) g(b) - f(a) g(a) C. 2 {f(b)}2 - {f(a)}2 D. 2 2 {g(b)} - {g(a)}2 E. 2
df(x) = g(x) dx
1 3 1 3 1 3 1 3
3 2 3 2 3 2 3 2
x2 + 2
x + 2
x + x2 +
E. (x + 1)2
x + 2x x – 2x x + 2x – 3 x + 2x + 3
(x + 2 ) 4
07. MD-94-25 Jika f(x) = ∫ (x2 + 2x – 1) dx dan f(1) = 0 , maka f(x) = …
A. B. C. D. E.
x 2 +1
04. MA-83-21
maka
05. MD-85-21 1 dx = … 2x x 1 +c A. – x 2 B. – +c x 1 C. +c x 2 D. +c x 1 +c E. – 2 x
1 3 1 3 1 3 1 3 1 3
1 3
x3 – x2 + x – x3 – x3 –
1 2 1 2
x2 + x2 –
1 2 1 2
x3 + x2 + x –
x– x–
1 3 1 3
1 3
x3 + 2 x2 – 2 x –
1 3
08. MD-91-25 Jika F ′(x) = 8x – 2 dan F(5) = 36 maka F(x) = … A. 8x2 – 2x – 159 B. 8x2 – 2x – 154 C. 4x2 – 2x – 74 D. 4x2 – 2x – 54 E. 4x2 – 2x – 59 09. MD-84-26 Jika F ‘ (x) = 1 – 2x dan F(3) = 4, maka F(x) adalah … A. 2x2 – x – 11 B. –2x2 + x + 19 C. x2 – 2x – 10 D. x2 + 2x + 11 E. –x2 + x + 10
151
10. MA–99–08 dF Diketahui = ax + b dx F(0) – F(–1) = 3 F(1) – F(0) = 5 a+b=… A. 8 B. 6 C. 2 D. –2 E. –4 11. MA-94-02
Diketahui A. B. C. D. E.
df ( x) 3 = x . Jika f(4) = 19, maka f(1) = … dx
2 3 4 5 6
12. MA-80-12 Jika F(x) = 3 ∫ √x dx = f(x) + C dengan f ′(x) = 3√x, maka agar F(4) = 19, harga tetapan C adalah … A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4 13. MA-03-07 Diketahui ∫ f(x) dx = ax2 + bx + c, dan a ≠ 0. Jika a, f(a), 2b membentuk deret aritmatika, dan f(b) = 6, 1
maka A. B. C. D. E.
∫ f ( x)dx = …
0 17 4 21 4 25 4 13 4 11 4
15. MA-00-06 Gradien garis singgung suatu kurva di titik (x, y) adalah 3√x. Jika kurva ini melalui titik (4, 9) maka persamaan garis singgung kurva ini di titik berabsis 1 adalah … A. 3x – y – 1 = 0 B. 3x – y + 4 = 0 C. 3x – y – 4 = 0 D. 3x – y + 8 = 0 E. 3x – y – 8 = 0 16. MA-95-10 Gradien garis singgung suatu kurva di titik (x, y) sama dengan 2x – 5. Jika kurva ini melalui titik (4, 7), maka kurva tersebut memotong sumbu y di … A. (0 , 11) B. (0 , 10) C. (0 , 9) D. (0 , 8) E. (0 , 7) 17. MA-93-02 Gradien garis singgung grafik fungsi y = f(x) di setiap titik P(x,y) sama dengan dua kali absis titik P tersebut. Jika grafik fungsi melalui titik (0,1), maka f(x) = …. A. –x2 + x – 1 B. x2 + x – 1 C. –x2 D. x2 E. x2 + 1 18. MA-80-14 Jika f ′(x) = x2 + 2x , persamaan garis singgung di titik (1 , 2) pada kurva y = f(x) adalah … A. 3x – y – 1 = 0 B. 3x + y – 1 = 0 C. x – 3y + 5 = 0 D. x + 3y + 5 = 0 E. x + 2y – 1 = 0 19. MD-87-24 2
B.
y–
D.
y–
E.
y+
3
= …
1
A.
14. MD-88-20 Jika y′ = x2 –1 adalah turunan pertama dari kurva y = f(x) yang melalui (0,0), maka persamaan garis singgung pada kurva di titik dengan absis 2 adalah … A. y = 3(x – 2) B. y + 1 = 3(x – 2) C.
dx
∫x
3 1 3 2 3 2 3
C.
3 8 5 8 63 64 1
D. –1 64 E.
= 3(x – 2) = 3(x – 2) = 3(x – 2)
152
7 8
20. MD-82-19
∫ (x + 4 −
1 2
25. MA-93-06 df ( x) 11 Jika = x3 + x-3 dan f(1) = – dx 20
)
4
x 2 dx = …
-2
2
∫
A. 2 B. 18 C. 20 1
1
D. 22 E. 24 1
A. B.
2 1
C.
1 2 1 4
3
3
2
∫ 1
x -1 3 dx sama dengan … x
A. –1 B. C.
26. MA-79-03 2
1 6
∫ (3x A. B. C. D. E.
2
22. MD-95-27 Jika p banyaknya faktor prima dari 42 dan q akar positif persamaan 3x2 – 5x – 2 = 0, maka …
3
∫ 2
A. –3 1
2
B. –2 1
2
1 2 1 3 1 2
28. MD-84-16 Jika p banyaknya himpunan bagian dari (1,2) dan q akar positip persamaan x2 + 2x – 3 = 0, maka p
∫ (8 - 2x)dx = … q
23. MD-93-22 a
A. B. C. D. E.
b
13 2
2
x dx =
3 10
,
∫ (2 x − 3)dx = 4 dan a, b > 0, 0
0
maka nilai a2 + 2ab + b2 adalah … A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 E. 30
y
Jika
∫ ( 1 + x) dx = 6 , maka nilai y dapat diambil … 1
A. B. C. D. E.
b
Jika b > 0 dan
9 5 3 2 –6
29. MD-84-29
24. MD-87-19
∫ ( 2 x − 3 ) dx = 12 , maka nilai b = … 1
A. B. C. D. E.
18 20 22 24 26
A. B. C. D. E.
q
∫
16 10 6 13 22
15 x x − 2 dx = …
∫ (5 − 3x)dx = …
Jika
-3x + 7 ) dx = …
27. MA-06-08
p
E. 5
2
0
D. 1 E. 1 1
D. 3
1
–4
E.
1 8 7 8
C. 2
f ( x) dx = …
D.
21. MD-83-19
maka
3 4 5 6 7
153
6 5 4 3 2
30. MD-89-17 Jika y =
1 3 3 (x + ) , maka 3 x
13 6
A.
2
dy
2 ∫ 4+( dx ) dx = ... 1
14 6 15 6 16 6
B. C. D.
17 6
E.
31. MD-94-22 Luas daerah yang dibatasi parabol y = x2 dan garis 2x – y + 3 = 0 adalah … A. B. C. D. E.
24 5 32 5 32 3 31 3 29 3
32. MD-95-30 Luas daerah yang dibatasi kurva y = x2 – 3x – 4, sumbu x, garis x = 2 dan x = 6 adalah … A. 5 1 satuan luas 3
35. MD-90-18 Luas daerah yang dibatasi kurva y = x2 – 3x dan garis y = x adalah … 28 satuan luas A. 3 B. 10 satuan luas 32 satuan luas C. 3 34 satuan luas D. 3 E. 12 satuan luas 36. MD-91-24 Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = –x2 + 6x – 5 dan sumbu x adalah … 30 A. 3 31 B. 3 32 C. 3 33 D. 3 34 E. 3 37. MA-80-20 Luas bidang yang dibatasi kurva y = x2 – 5x + 6 dan sumbu x … 1
A. – 6
B. 7 1 satuan luas 3
1
C. 12 3 satuan luas
B. – 3
D. 20 satuan luas
C.
2
5
E. 20 6 satuan luas
33. MD-88-15 Luas daerah yang tertutup yang dibatasi oleh busur para bola y = 4x2 dan y2 = 2x adalah … A. 1 6 1 4 1 3 1 2
B. C. D.
E.
D. E.
38. MA-85-27 Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 6x dan sumbu X di antara x = – 1 dan x = 6 ialah … A. −1
B.
1
−1
34. MD-81-29 Luas bidang yang dibatasi oleh y = x2 dan y = –x ialah A.
C. – D. E.
C. −1
1 6
B. –
1 2 1 3 1 6
1 6 5 6
D. −1
E.
5 6 2 6
−1
154
∫ ∫ ∫
∫ ∫
6
(x2 – 6x) dx 6
(6x – x2) dx 0
(x2 – 6x) dx – 0
0
(6x – x2) dx + 0 0
(x2 – 6x) dx + 0
∫
∫ ∫
6
(6x – x2) dx 6
(x2 – 6x) dx 6
(6x – x2) dx
39. MA-78-29 Luas bidang yang dibatasi grafik y = x2 – 6x dan sumbu x ialah … A. 36 B. 34 C. 32 D. 30 E. 28
43. MA-79-35 Luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = 3x2 + 4x + 1, sumbu x dan garis x = 2 sama dengan … A. 18 B. 9
40. MA-03-13 Luas daerah antara kurva y = (x + 1)3, garis y = 1, garis x = –1 dan x = 2 dapat dinyatakan sebagai … A.
B.
2
2
−1 2
−1 2
C.
∫
∫
−1 0
D.
0 2
E.
−1 2
2
−1 0
0 2
3 3 ∫ (x + 1) dx + ∫ (x + 1) dx 3
∫
0 0
dx −
−1
−1
0
1
1
26 5
C. 24 6 E. 15
1 2 2 3
42. MA-86-17 Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 3x – x2 dan garis x + y = 3 sama dengan … A. 1 B. C. D. E.
5 3 7 6 5 4 4 3
1
2
E. √6
2
A. 11 3
D. 13
4
D. 2 1
0
41. MA-84-14 Luas daerah di kuadran I yang dibatasi oleh kurva y = 6 + 5x – x2, garis y = 4x dan sumbu y adalah … B.
18 27
1
3
3 3 ∫ (x + 1) dx + ∫ (x + 1) dx
−1
E.
4
C. 2 4
∫ dx − ∫ dx + ∫ (x + 1) dx − ∫ (x + 1) dx
−1 2
9 27
, garis x x = 1, garis x = 4 dan sumbu-x. Jika garis x = c memotong daerah D sehingga menjadi daerah D1 dan D2 yang luasnya sama, maka c = … A. 2 B. √5
3
dx − dx −
D.
Daerah D dibatasi oleh grafik fungsi y =
∫ (x + 1) dx + ∫ dx 2
18 27
44. MA-02-15
3 ∫ (x + 1) dx − ∫ dx
−1 2
2
C.
45. MA-77-08 Luas daerah yang dibatasi oleh garis y = 4x, sumbu x dan ordinat x = 5 besarnya … A. 50 B. 52 C. 60 D. 65 E. 68 46. MA-81-30 Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 3x2 + 4x + 1, garis x = 2 dan kedua salib sumbu, sama dengan … A. 20 B. 18 C. 16 D. 14 4
E. 18 27
47. MA–98–07 Titik-titik A (–3,9), B (–2,4), C (2,4) dan D (3,9) terletak pada parabola y = x2, garis AC dan BD berpotongan di titik P. Jumlah luas daerah PAB dan daerah PCD adalah … A. 12 B. 37 3
C. 15 D. 18 E. 32 3
155
48. MD-92-27 Luas daerah yang dibatasi oleh parabola dan sumbu x seperti pada gambar adalah 32 Ordinat puncak parabola 0 A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 E. 18
52. MD-85-22 Luas bagian bidang terarsir yang dibatasi oleh parabola y = x2 + 1 dan garis y = – x + 3 adalah … A. 11 1 2
(4,0)
B. 6 C. 5 1
2
D. 5 E. 4 1
2
49. MD-84-21
y = x2
0
2
q
x=
B. C. D. E.
4
(1)
(2)
D.
∫
4
8
∫
x dx + ( x - x + 4 ) dx 4
∫ (y -
1 2
y 2 + 4 ) dy
0 4
(4)
∫(
1 2
y 2 + y - 4 ) dy
-2
54. . MA-00-10
y=x y = x3
Daerah yang diarsir dapat dinyatakan sebagai himpunan titik … A. {(x, y): x ≤ |y| ≤ x3} B. {(x, y): x3 ≤ y ≤ x} C. {(x, y): |x|3 ≤ |y| ≤ |x|} D. {(x, y): x ≤ y ≤ x3} E. {(x, y): |x|3 ≤ y ≤ |x|}
q
C.
∫
0 4
Luas daerah yang diarsir antara p : y = –x2 + 1 dan q : y = –x + 1 sama dengan ...
B. –
∫
8
2 x dx + ( 2 x - x + 4 ) dx
0 4
Perhatikan gambar p : y = x2 dan q : y = x Luas daerah yang dibatasi kedua grafik = …
51. MD-81-30 p
A. –
y2
x=y+4
(3) A.
1 2
Luas daerah yang diarsir di samping ini dapat di nyatakan dengan …
3 4 3
5 6 1 6 1 2 1 3 5 3
x
53. MD-92-29
Luas daerah D (daerah yang diarsir) pada gambar di samping adalah … A. 8 B. 6 C. 4 D. 8 E.
50. MD-82-20 p
(0,1) 0
1 3 1 6
1 6 1 3
E. 1
156
55. MD-90-17 Jika luas bidang yang dibatasi oleh garis y =
3 2
x,
y = 500 – x dan sumbu x antara x = a dan x = b menyata kan banyaknya karyawan suatu pabrik yang berpenghasilan antara a ribu dan b ribu rupiah, maka karyawan yang berpenghasilan di atas 400.000 rupiah adalah … A. B. C. D. E.
58. MD-92-21 Bila F(x) = ∫ (4 - x) dx maka grafik y = F(x) yang melalui (8 , 0) paling mirip dengan … A. 0
2 bagian 5 1 bagian 3 1 bagian 5 2 bagian 15 1 bagian 15
8
B. 0
-8
C. –8
56. MA-88-07 Seorang anak dan seorang dewasa berangkat dari suatu tempat yang sama pada waktu t = 0 . Kecepatan si anak pada setiap waktu dinyatakan seperti parabola dalam gambar. Kecepatan orang dewasa itu diberikan seperti garis lurus dalam gambar, dengan sin α=
1 5
0
8
D.
√5. Jika
-8
0
-8
kecepatan pada waktu t adalah v(t), jarak yang dijalani antara t = a dan t = b adalah d = a
1
0 A. B. C. D. E.
v(t)
α 1
2
1:1 1:2 2:3 2:1 3:2
∫
b
v(t )dt
Sampai waktu mereka mem punyai kecepatan yang sama, jarak yang dijalani si anak dan jarak yang di jalani orang dewasa itu berbanding seperti …
E.
0
B.
1 4 1 4
4 3 2 1 -1 0 1
3 4
df ( x) maka dx dapat disimpulkan bahwa fungsi f(x) adalah … A. mencapai nilai maksimum di x = 1 B. mencapai nilai minimum di x = 1 C. naik pada interval { x | x < 1 } D. selalu memotong sumbu y di (0, 3) E. merupakan fungsi kuadrat
cos4 x + C 1
1 3
2
Jika gambar di atas adalah grafik y =
sin4 x + C
C. – 4 cos2 x + C D.
8
59. MA-03-02 y
57. MD-91-26 ∫ sin3 x cos x dx = … A.
8
sin2 x + C 1
E. – 3 sin4 x + C
60. MD-81-28
∫ sin 2 x dx = ... A.
1 2
cos 2x + C 1 2
B. – cos 2x + C C. 2 cos 2x + C D. –2 cos 2x + C E. –cos 2x + C
157
61. MD-83-20
65. MA-95-06 π π Untuk : – < x <
π 2
∫ cos x dx = …
8
∫
0
A. B. C. D. E.
2 0 π 1
A. B.
62. MD-93-21 Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 2sin 2x , π π dan garis x = adalah… sumbu x, garis x = − 6 3 B. C.
(√3 – 1)
D. 1 E.
1 2
(1 + √3)
b
⎛x
E.
1 2
⎞
1
y = cos x dan sumbu x untuk 0≤ x ≤ π 2
x dx = … 2c
2
a
A. 0
B.
2
0
C. b – a – c D. 1 (b – a + c) C.
0
64. MA-05-12 Jika f(x) = ∫ cos2 x dx dan g(x) = x f ′(x) π maka g′(x – 2 ) = … A. sin x – (x – 2
∫ (cos x - sin x ) dx π 4
(b – a – c)
2
∫ (sin x - cos x ) dx π 2
A. –c B. – 1 c
E.
sin 2x + k
– 2 sin 2x + k
a
2 1 2
cos 2x + k
66. MA-82-13 Luas daerah yang terletak di antara grafik fungsi y = sin x dan y = cos x , maka 0 ≤ x ≤ π ialah … A. 1 B. 2 C. π D. √2 E. 2√2
∫ cos⎜⎝ c − π ⎟⎠dx = –c , c ≠ 0 , maka
b
∫ sin
tan 2x + k
67. MA-91-10 Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = sin x,
63. MA-04-03 Jika
1 2 1 2
C. – cos 2x + k
1 2
1 4 1 2 1 2
1 − tan 2 x + tan 4 2 x − tan 6 2 x + .... dx = …
1 2
D.
A.
8
2
π 2
π 2
∫ sin x dx - ∫ cos x dx π 4
π 4
D. 0
) sin 2x
∫ cos x dx
π 2
−
π 4 π 2
π 4
B. sin x – x sin 2x π C. sin2 x + (x – 2 ) sin x
E. 0
D. sin2 x + x sin 2x π E. sin2 x + (x – 2 ) sin 2x
158
∫ sin x dx
∫ sin x dx
+
∫ cos x dx π 4
1 2
π adalah …
68. MA–98–05 Grafik fungsi y = cos x disinggung oleh garis g di titik ⎛ π ⎞ ⎛π ⎞ ⎜ − ,0 ⎟ dan oleh garis h di titik ⎜ ,0 ⎟ . Kurva grafik ⎝ 2 ⎠ ⎝2 ⎠ fungsi kosinus tersebut, garis g dan garis h membatasi daerah D. Luas daerah D adalah … A. B. C. D. E.
π2 –1 8 π2 –1 4 π2 –2 4 π2 –4 2 π2 – 8
69. MA-01-01 Daerah D dibatasi oleh kurva y = sin x, 0 ≤ x ≤ π, dan sumbu x. Jika daerah D diputar terhadap sumbu x, maka volume benda putar yang terjadi adalah … A. π B. π2 C. 1 π2 2
D. 2π E. 2π2
70. MA-96-03 Daerah D terletak di kuadran pertama yang dibatasi oleh parabol y = x2 , parabol y = 4x2 , dan garis y = 4. Volume benda putar yang terjadi bila D diputar terhadap sumbu y adalah … 3π A. B. 4π C. 6π 8π D. E. 20 π 71. MA-82-18 Jika daerah yang dibatasi oleh garis x = k, sumbu x dan bagian kurva y = x2 dari titik (0 , 0) ke titik ( k , k2) diputar mengelilingi sumbu x menghasilkan benda putaran dengan isi 625 π, maka k sama dengan … A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 E. 5√15 72. MA-81-27 ∫ cos2 x sin x dx = … A. cos3 x + C B. – cos3 x + C C.
1 3
cos3 x + C 1
D. – 3 cos3 x + C E.
1 3
cos3 x sin x+ C
159
