B. VÝPOČTOVÁ ČÁST B.1. FYZIKÁLNÍ ZÁKLADY ŠÍŘENÍ TEPLA B.1.1. Veličiny, symboly, jednotky Teplota, teplotní rozdíl ϑ .................................. teplota Θ .................................. termodynamická teplota ∆ϑ = ϑ2 - ϑ1 ................. teplotní rozdíl ∆Θ = Θ2 - Θ1 ................ teplotní rozdíl
°C ............... stupeň Celsia K ................... kelvin °C, K °C, K
Teplota i teplotní rozdíl jsou skalární veličiny. Teplotní pole je pole skalární. Vztahy mezi teplotami : °C + 273.15 = K Teplo Q .................................. teplo
J ............................... joule
Teplo je forma energie. Vztahy mezi jednotkami :
jednotka J Wh cal kpm erg
J 1 3600 4.186 9.807 10-7
Wh 2.778⋅10-4 1 1.163⋅10-3 2.724⋅10-3 2.778⋅10-11
cal 0.239 860 1 2.343 2.389⋅10-8
Tepelná kapacita ( akumulované teplo ) Q = m⋅c⋅∆ϑ
( J ; kg , J⋅kg-1 ⋅K-1 , K )
m .................................. hmotnost tělesa c .................................. měrná tepelná kapacita (měrné teplo) ∆ϑ ................................ teplotní rozdíl
Měrná tepelná kapacita c .................................. měrná tepelná kapacita ( J⋅kg-1 ⋅K-1 )
kpm 0.102 367.1 0.427 1 1.020⋅10-8
erg 107 3.6⋅1010 4.186⋅107 9.807⋅107 1
Vztahy mezi jednotkami :
jednotka J⋅kg-1 ⋅K-1 kJ⋅kg-1 ⋅K-1 cal⋅kg-1 ⋅K-1 kcal⋅kg-1 ⋅K-1
J⋅kg-1 ⋅K-1 1 103 4.186 4186
kJ⋅kg-1 ⋅K-1 10-3 1 4.186⋅10-3 4.186
cal⋅kg-1 ⋅K-1 0.2389 238.9 1 103
kcal⋅kg-1 ⋅K-1 0.2389⋅10-3 0.2389 10-3 1
Tepelný výkon Tepelný výkon je teplo za jednotku času. Je to skalár. P .................................. tepelný výkon
W .............................. watt
Hustota tepelného toku Hustota tepelného toku je tepelný výkon na jednotkovou plochu. Je to vektor - má směr daný normálou na uvažovaný plošný element dA. q .................................. hustota tepelného toku ( W⋅m-2 ) q = dP / dA Příklad 1 : Kolik kcal / hod je 10 W ? Řešení : 10 (W) = 10 (J/s) = 10⋅3600 / 4186 (kcal/hod) = 8.6 (kcal/hod) Příklad 2 : Kolik cal odpovídá hodnota 5 Wh ? Řešení : 5 (Wh) = 5/3600 (W/s) = 5/3600⋅cal/4.186 = 4300 (cal) Příklad 3 : Jaký bude měrný odpor hliníku v Ω⋅m, je-li v Ω⋅mm2/m roven hodnotě 0.03 ? ( 3⋅10-8 Ω⋅m) Příklad 4 : Jaká bude proudová hustota v A/m2 , je-li v A/mm2 rovna hodnotě 5 ? ( 5⋅106 A/m2 ) Příklad 5 : Kolika kpm odpovídá hodnota 3 cal ? ( 1.278 kpm)
B.1.2. Vztah mezi tepelnou a mechanickou energií Pro praxi je dobré si uvědomit, jak poměrně značná mechanická práce přísluší tepelné energii o velikosti jedné kilokalorie. Dokumentovat to budou následující příklady : Příklad 1 : Kolik cementu by bylo možné naložit na 2m vysoké nákladní auto pomocí energie potřebné pro ohřev 1 litru vody o 20 °C ? Účinnost nakládání je η = a, 100 % b, 50 % Řešení : Potřebná tepelná energie : Q = m⋅c⋅∆ϑ = 1⋅ 4.186⋅103 ⋅ 20 = 8.372 ⋅ 104 J Energie potřebná pro nakládání : W = m⋅g⋅h / η g ......... tíhové zrychlení h ......... výška nakládání η ......... účinnost nakládání Z rovnosti Q = W určíme hmotnost nákladu : a, m = Q⋅η / ( g⋅h ) = 8.372⋅104⋅1 / ( 2⋅9.806 ) = 4.267⋅103 kg b, m = 8.372⋅104⋅0.5 / ( 2⋅9.806 ) = 2.134⋅103 kg Z výsledků je patrné, že energie potřebná k uvaření několika šálků čaje by stačila pro naložení několika desítek centů cementu na auto nebo vagón. Příklad 2 : Kolikrát je energeticky náročnější litr teplé vody z vodovodu než litr vody studené ? Obě vody se čerpají ze stejného zdroje o teplotě ϑ1 = 10 °C do výše h = 100 m. Voda studená se odebírá v místě spotřeby přímo, voda teplá se ohřívá v místě spotřeby na ϑ2 = 70 °C. Řešení : Účinnost čerpání čerpadlem s elektromotorem uvažujeme ve vztahu na prvotní energii ηč = 0.15 ( η elektrárny = 0.3 ; η motoru s čerpadlem = 0.5 ). Ohřev uvažujeme uhlím s účinností ηo = 0.5. Energie potřebná pro studenou vodu ( vztaženo na 1 litr ): Ws = m⋅g⋅h / ηč = 1⋅ 9.806 ⋅ 100 / 0.15 = 6538 J Energie potřebná pro teplou vodu ( vztaženo na 1 litr ): Wt = m⋅g⋅h / ηč + m⋅c⋅( ϑ2 - ϑ1 ) / ηo Wt = 1⋅ 9.806 ⋅ 100 / 0.15 + 1⋅4.186⋅103⋅(70 - 10) / 0.5 = 6 538 + 502 320 = 508 858 J n = Wt / Ws = 508 858 / 6 538 = 77.8 Voda teplá je téměř 78x energeticky náročnější než voda studená.
Příklad 3 : Jaký příkon by musel mít přímotopný elektrický průtokový ohřívač, aby z vodovodního kohoutku o průměru 10 mm vytékala voda teplá ϑ2 = 60 °C rychlostí v = 2 m/s ? Voda se ohřívá z teploty ϑ1 = 10 °C. Účinnost ohřevu je 97 %. Kolik zářivek o příkonu 40 W by mohlo tímto příkonem svítit ? ( 33.5 kW , 838 zářivek ) Příklad 4 : Kolikrát více energie potřebujeme na ohřátí 10 litrů vody o 10 °C, než na zdvižení těchto 10 litrů vody do výše 10m ? Účinnost ohřevu i účinnost zdvíhání uvažujte 100 % . ( 427 krát více ) Příklad 5 : O kolik °C se ohřeje voda ve vodopádu vysokém 200 metrů, jestliže se celá její energie polohy změní v teplo ? Z jaké výšky by musela padat voda 0 °C teplá, aby se uvařila ? ( 0.47 °C, 42 692 m ) Příklad 6 : Do vany si napustíme 100 litrů vody teplé 37 °C, která se ohřívala z 10 °C. Jak vysoko bychom museli tuto vodu vynést, aby energie polohy vody se rovnala energii potřebné pro její ohřev ? Účinnost ohřevu ηo se rovná účinnosti zdvíhání ηz. ( 11 527 m ) Příklad 7 : O kolik °C ohřeje energie 1kWh 20 litrů vody při účinnosti ohřevu 90 % ? Kolik lidí 80 kg těžkých se energií 1 kWh dopraví výtahem z přízemí do pátého patra (23 m) při účinnosti výtahu 60 % ? ( 38.7 °C , 120 lidí ) B.1.3. Oteplovací a ochlazovací děj Závislost teploty na čase ohřevu vyjadřuje oteplovací křivka :
∆ϑ = ∆ϑ
t ⋅ (1 − e τ ) −
max
τ ∆ϑ [°C]
∆ϑmax 63,2 % ∆ϑmax
t[s]
Závislost teploty na čase ochlazování vyjadřuje ochlazovací křivka :
∆ϑ = ∆ϑ
t ⋅e τ −
max
∆ϑ [°C]
∆ϑmax
τ
t[s]
Příklad 1 : Za jak dlouho se ohřeje voda z 20 °C na 100 °C, ochladí-li se při ochlazování ze 40 °C na 30 °C za 10 minut ? Ochlazovací děj probíhá mezi teplotami 100 °C a 20 °C, časová konstanta oteplování je rovna časové konstantě ochlazování. Ukončený děj uvažujte za dobu tří časových konstant. Řešení : Oteplovací křivka :
Ochlazovací křivka :
τ
∆ϑ [°C]
∆ϑ [°C]
∆ ϑmax
1
∆ ϑ1
∆ ϑmax
2
∆ ϑ2 t1 τ
t [s]
t2
Na ochlazovací křivce známe dva body, které musí vyhovovat její rovnici: ∆ϑ
= ∆ϑ
bod 1 :
bod 2 :
t ⋅e τ −
max
∆ϑ1 = ∆ϑ
t1 ⋅e τ
(1)
t2 ⋅e τ
(2)
−
max
∆ϑ 2 = ∆ϑ
−
max
Podělením rovnice ( 1 ) rovnicí ( 2 ) dostaneme rovnici o jedné neznámé :
t
1 ⋅e τ
∆ϑ ∆ϑ max 1 = t ∆ϑ 2 2 ∆ϑ ⋅e τ max
t −t 2 1 =e τ
Tuto rovnici zlogaritmujeme a vypočteme z ní neznámou :
t [s]
∆ϑ t −t 1 ln = 2 1 ∆ϑ τ 2 kde
∆ϑ1 = ϑ1 - ϑ0 = 40 - 20 = 20 °C ∆ϑ2 = ϑ2 - ϑ0 = 30 - 20 = 10 °C t2 - t1 = 10 min = 600 sec
t −t τ = 2 1 = 865.6 ∆ϑ 1 ln ∆ϑ 2
sec
3 ⋅ τ = 3 ⋅ 865.6 = 2596.9 sec B.1.4. Přenos tepla vedením Teplo se šíří třemi způsoby buď samostatnými nebo, čistěji, jejich různými kombinacemi : 1. vedením ( kondukcí ) 2. prouděním ( konvekcí ) 3. zářením (radiací ) Pro přenos tepla vedením si definujeme součinitel tepelné vodivosti λ jako materiálovou konstantu charakterizující schopnost dané látky předávat teplo vedením ( tato schopnost je přímo úměrná velikosti tohoto součinitele).Jednotkou součinitele tepelné vodivosti je W⋅m-1⋅K-1 a jeho hodnoty pro různé materiály jsou uvedeny v tabulce : Pro vedení tepla platí vztah :
P = ∫ q ⋅ dS = ∫ −λ ⋅ gradΘ⋅dS S S který pro homogenní teplotní vztah přejde do tvaru :
S P = λ ⋅ ⋅ ∆ϑ l Řešení některých konkrétních případů vedení tepla si ukážeme v následujících příkladech.
Příklad 1 - Rovinná stěna : Určete tepelný výkon procházející stěnou o tloušťce l = 50 mm a ploše S = 1 m2. Teplota na vnějším povrchu stěny je ϑ1 = 100 °C , na vnitřním povrchu ϑ2 = 90 °C. Stěna je : a, ocelová , λ = 40 W . m-1 . K-1 b, betonová , λ = 1,1 W . m-1 . K-1 c, diatomitová , λ = 0,11 W . m-1 . K-1 Řešení :
S P = λ ⋅ ⋅ ∆ϑ l
( W ; W.m-1.K-1, m2, m , K )
1 . ( 100 - 90 ) = 8 000 W 0,05 1 . ( 100 - 90 ) = 220 W b, P = 1,1 . 0,05 1 . ( 100 - 90 ) = 22 W c, P = 0,11. 0,05 a, P = 40 .
Příklad 2 - Složená rovinná stěna : Určete tepelný tok přes stěnu kotle. Stěna je pokryta vrstvou sazí tloušťky l1=1 mm, λ1=0,08 W.m-1.K-1 a ze strany vody je kotelní kámen tloušťky l3=2 mm, λ3=0,8 W.m-1.K-1. Stěna kotle má tloušťku l2=12 mm, λ2=50 W.m-1.K-1. Teplota stěny na straně vody je ϑ4=206°C , na straně ohřevu ϑ1=685°C. Určete hustotu tepelného toku q , teploty na rozhraní vrstev , střední teploty vrstev. Stěna kotle má plochu S=10 m2. Řešení : Hustota tepelného toku :
ϑ −ϑ 685 − 206 1 4 q= = l 0,001 0,012 0,002 l l 1 + 2 + 3 + + 0,08 50 0,8 λ λ λ 1 2 3
= 31 430 W. m-2
Teploty na rozhraní : saze - kotel ϑ2 = ϑ1 - q .
l1 λ1
= 685 - 31 430 .
0,001 = 292,12 0,08
°C
vodní kámen - kotel ϑ3 = ϑ4 + q .
l3 λ3
= 206 + 31 430 .
0,002 0,8
= 284,58 °C
Střední teploty vrstev : saze
ϑS =
ϑ1 + ϑ 2 685 + 292,12 = 488,56 = 2 2
stěna kotle
°C
ϑSK =
ϑ 2 + ϑ 3 292,12 + 284,58 = 288,35 = 2 2
ϑ KK =
ϑ 3 + ϑ 4 284,58 + 206 = 245,29 = 2 2
kotelní kámen
°C
°C
Tepelný tok : P = q . S = 31 430 . 10 = 3,143 . 105 W Příklad 3 - Složená rovinná stěna , λ závislé na teplotě : Určete ztráty tepla dvouvrstvou stěnou ohřívací pece. Základní šamotová vrstva o tloušťce lS = 230 mm , λS0 = 0,971 W.m-1.K-1, ξS = 0,00058 je izolována pórovitým šamotem o tloušťce liz = 115 mm , λizo = 0,23 W.m-1.K-1, ξiz = 0,0002 . Na vnitřní straně zdiva je teplota ϑ1 = 930 °C , na vnější straně izolace je teplota ϑ3 = 70 °C. Platí λ = λo + ξ⋅ϑstř , kde ϑstř je střední teplota vrstvy. Řešení : 1, Odhadneme teplotu na rozhraní vrstev - např. ϑ20 = 500 °C 2, Vypočteme střední teplotu vrstev :
šamot : izolace :
ϑ1 + ϑ 20 930 + 500 = = 715 sI 2 2 ϑ + ϑ3 500 + 70 = 285 ϑ = 20 = izI 2 2 ϑ
=
°C °C
3, Vypočteme tepelnou vodivost při dané střední teplotě vrstvy : šamot :
λsI = λS0 + ξS ⋅ ϑsI = 0,971 + 0,00058 ⋅ 715 = 1,386 W.m-1.K-1
izolace :
λizI = λiz0 + ξiz ⋅ ϑizI = 0,23 + 0,0002 ⋅ 285 = 0,287 W.m-1.K-1
4, Vypočteme hustotu tepelného toku :
q=
∆ϑ 930 − 70 = = 1517,7 2 0,23 0,115 li ∑ λ 1,386 + 0,287 i =1 i
W⋅m-2
5, Vypočteme teplotu na rozhraní : ϑ2I = ϑ1 - q .
lS λS
0,23 1,386
= 930 - 1517,7 .
= 678 °C
Jelikož se vypočtená teplota na rozhraní ϑ2I = 678 °C liší podstatně od teploty odhadnuté ϑ20 = 500 °C, zopakujeme postup 1, ÷ 5, se vstupní teplotou na rozhraní vrstev ϑ2I=678 °C. Jednotlivé hodnoty zapíšeme do tabulky.
Veličina Krok I II III
ϑ2 °C 500 678 673
ϑS °C 715 804 801,5
ϑiz °C 285 374 371,5
λS W.m-1.K-1 1,386 1,437 1,436
λiz W.m-1.K-1 0,287 0,305 0,304
q W.m-2 1517,7 1601,2 1597,2
ϑ2 °C 678 673 674
Příklad 4 - Válcová stěna Určete hustotu tepelného toku q ( W⋅m-1 ) stěnou žáruvzdorné ocelové trubky o rozměrech d1 = 32 mm , d2 = 42 mm. Součinitel tepelné vodivosti materiálu, z něhož je trubka vyrobena λ = 14 W.m-1.K-1. Teplota vnější stěny trubky ϑ1 = 580 °C, teplota vnitřní stěny trubky ϑ2 = 450 °C. Řešení : Pro složenou válcovou stěnu platí pro přestup tepla vedením vztah :
q=
2 ⋅ π ⋅ ∆ϑ n d i +1 1 ⋅ ln ∑λ d i =1 i i
Pro jednovrstvou stěnu a hodnoty našeho zadání :
( W.m-1 ; K , W.m-1.K-1, m )
q=
2 ⋅ π ⋅ (580 − 450) = 42052 W.m-1 1 42 ⋅ ln 14 32
B.1.5. Přenos tepla prouděním Zavedeme si součinitel přestupu tepla α s jednotkou W⋅m-2⋅K-1, který určuje, jak velký tepelný tok ( výkon ) protéká jednotkovou plochou při teplotním rozdílu 1 °C. Přestup tepla tímto způsobem se uplatňuje při přestupu z nějaké pevné plochy do okolního prostředí nebo naopak ( obvykle v kombinaci se sáláním ). Šíření tepla prouděním patří k nejobtížnějším výpočtovým problémům v tepelné technice. Zabývá se jím mnoho odborné literatury. V důležitých případech je nejlépe, určímeli si součinitel přestupu tepla α sami měřením na modelu co nejvíce odpovídajícím našemu případu při použití uvedených vztahů v nichž se α vyskytuje. Při přestupu tepla prouděním platí Newtonův zákon :
P = α ⋅ S ⋅ ∆ϑ
( W ; W⋅m-2⋅K-1, m2 , K )
Příklad 1 - Šíření tepla čistým prouděním : Určete tepelné ztráty svislou stěnou o ploše S = 1 m2. Teplota stěny ϑ1 = 60 °C, teplota okolí ϑ2 = 10 °C. a, přirozenou konvekcí b, ofukováním
α = 4 ⋅ ( ∆ϑ ) 0,13 , v0 = 0 m⋅s-1 α = 5,8 + 3,95 ⋅ v0 , v0 = 5 m⋅s-1
v0 je rychlost proudění média u stěny Řešení : a,
P = α ⋅ S ⋅ ∆ϑ = 4 ⋅ ( ∆ϑ ) 0,13 ⋅ S ⋅ ∆ϑ = = 4 ⋅ ( 60 - 10 ) 0,13 ⋅ 1 ⋅ ( 60 - 10 ) = 332,6 W
b,
P = α ⋅ S ⋅ ∆ϑ = (5,8 + 3,95 ⋅ v0 ) ⋅ S ⋅ ∆ϑ = = ( 5,8 + 3,95 ⋅ 5 ) ⋅ 1 ⋅ ( 60 - 10 ) = 1277,5 W
Příklad 2 : Určete graficky průběh teploty ve stěně místnosti. Vnitřní teplota je ϑ1 = 20 °C, venkovní teplota ϑ5 = -20 °C. Vnitřní zeď je cihlová tloušťky s1 = 0,36 m, součinitel tepelné vodivosti λ1 = 0,464 W⋅m-1⋅K-1, dále je vrstva betonu tloušťky s2 = 0,13 m, součinitel tepelné vodivosti λ2 = 1,102 W⋅m-1⋅K-1. Součinitel přestupu tepla na vnitřním povrchu je α2 = 17,4 W⋅m-2⋅K-1, součinitel přestupu tepla venkovního povrchu je α1 = 5,8 W⋅m-2⋅K-1. Řešení : 1, Nakreslíme si v měřítku řez složenou stěnou, kterou prostupuje tepelný tok. 2, Na svislé ose si vyznačíme vnitřní a venkovní teplotu. 3, Na úrovni vnitřní teploty si vpravo od stěny zvolíme pól P. 4, Vypočítáme si jednotkové tepelné odpory příslušné danému způsobu šíření tepla a daným parametrům. 5, Na svislou polopřímku v libovolném bodě mezi pólem P a složenou stěnou budeme od úrovně vnitřní teploty směrem k úrovni venkovní teploty postupně v měřítku nanášet jednotkové tepelné odpory : - proudění na vnitřní straně složené stěny - vedení vrstvou cihel - vedení vrstvou betonu - proudění na venkovní straně složené stěny 6, Spojíme pól P s konci takto vynesených tepelných odporů. 7, V místě, kde nám spojnice pólu s koncovým bodem posledního tepelného odporu protne úroveň venkovní teploty, zkonstruujeme polopřímku svislým směrem. 8, Průsečíky spojnic pólu s koncovými body jednotkových tepelných odporů s takto zkonstruovanou polopřímkou nám udávají teploty na rozhraní jednotlivých vrstev : - na vnitřní straně složené stěny - na rozhraní dvou vrstev složené stěny - na vnější straně složené stěny 9, Vyneseme tyto teploty do patřičných míst složené stěny. 10, Spojením těchto teplot dostaneme požadované grafické znázornění průběhu teplot. Výpočet jednotkových tepelných odporů : - proudění u vnitřního povrchu složené stěny
R
q1
=
1 1 = = 0,0575 α 17,4 2
W-1 ⋅ K
- vedení tepla cihlovou vrstvou
R
s 0,36 = 1 = = 0,776 q2 λ 0,464 1
W-1 ⋅ K
- vedení tepla betonovou stěnou
R
s 0,13 = 2 = = 0,118 W-1 ⋅ K q3 λ 1,102 2
- proudění u vnějšího povrchu složené stěny
R
q4
=
1 1 = = 0,172 W-1 ⋅ K α 5,8 1
Grafická konstrukce :
α1
25 20 15
ϑ1
λ1
λ2
α2 P Rq1
ϑ2
10 5
Rq2
0 -5 -10 -15 -20
ϑ3 ϑ4 Rq3
ϑ5
-25
Rq4 s1
s2
B.1.6. Přenos tepla sáláním Každé těleso, jehož teplota je vyšší než 0 K, vyzařuje svým povrchem tepelnou energii. Je to elektromagnetické vlnění, které se řídí zákony geometrické optiky. Zákony, jimiž se řídí šíření tepla sáláním :
a, Zákon Stefan-Boltzmannův : Pč = σč ⋅ Θ4
( W ⋅ m-2 ; W ⋅ m-2 (K/100)-4 , K )
Stefan-Boltzmannova konstanta σč = 5,6697 W ⋅ m-2 (K/100)-4 b, Zákon Planckův : Mλč = f ( Θ , λ ) =
c1 = 3,73 ⋅ 10-16 W ⋅ m2 c2 = 1,438 ⋅ 10-2 m ⋅K
c 1 c2 λ5 ⋅ e λ ⋅ Θ − 1
( W ⋅ m-4 ; m , K )
c, Zákon Wienův : λm =
2892 Θ
( µm ; K )
d, Tepelný výkon předávaný si dvěma rovnoběžnými, stejně velkými plochami. Každá s plochou A, z nichž jedna má teplotu Θ1 a emisivitu ε1 a druhá teplotu Θ2 a emisivitu ε2 :
Θ 4 Θ 4 Ź ⋅ 1 − 2 P= 100 100 1 1 + − 1 ε ε 1 2 A ⋅σ
(W)
e, Dvě plochy, z nichž A2 zcela prostorově obklopuje menší A1 :
Θ 4 Θ 4 A ⋅σ 1 Ź P= ⋅ 1 − 2 100 100 1 A1 1 + ⋅ ( − 1) ε A ε 1 2 2
(W)
Příklad 1 : Určete Pč , λm , Mλmč absolutně černého tělesa o ploše S=300 cm2 a teplotě ϑ=1200 °C Řešení : Tepelný tok ( výkon ) :
Pč = σč ⋅ Θ
4
1200 + 273.15 ⋅ S = 5.6697 ⋅ 100
4 ⋅ 300.10
−4
= 8000
W
Vlnová délka, na níž je maximum spektrální hustoty intenzity vyzařování : λm = 2892 / Θ = 2892 / ( 1200 + 273.15 ) = 1.96 µm Spektrální hustota intenzity vyzařování na vlnové délce 1.96 µm : Mλmč =
-3 3.73 ⋅ 10 −16 = = 8.9 ⋅ 1010 W⋅m 1.438 ⋅ 0.01 5 λm ⋅Θ 1.96 ⋅ 10 −6 ⋅ e 1.96 ⋅ 10 −6 ⋅ 1473.15 − 1 5 −1 λm ⋅ e
c1 c2
Příklad 2 : Určete tepelný výkon sálající z tělesa o ploše A1= 1 cm2 , teplotě ϑ1= 1000 °C, emisivitě ε1= 0.9 na těleso o ploše A2= 10 cm2 , teplotě ϑ2= 0 °C, emisivitě ε2= 0.9. Druhé těleso zcela prostorově obklopuje první. Řešení :
Θ 4 Θ 4 A ⋅σ 1 Ź P= ⋅ 1 − 2 100 100 1 A1 1 + ⋅ ( − 1) ε ε A 1 2 2 1273 4 273 4 1 ⋅ 10 − 4 ⋅ 5.67 P= ⋅ − = 13.25 1 1 1 100 100 + ⋅ − 1 0.9 10 0.9
W
B.2. ODPOROVÁ ELEKTROTEPELNÁ ZAŘÍZENÍ B.2.1. Návrh topného elementu Pro návrh topných článků kruhového či obdélníkového průřezu odporového vodiče používáme následujících vztahů :
a, kruhový průřez odporového vodiče :
4 ⋅ ρ ⋅ P2 d=3 10 ⋅ π 2 ⋅ p ⋅ U 2 kde
( mm ; Ω⋅mm2⋅m-1 ,W,W⋅cm-2,V )
ρ ....................... měrný odpor materiálu vodiče P ....................... výkon jedné fáze odporové pece p ....................... napětí na topném článku
b, obdélníkový průřez :
b=3
P2 ⋅ ρ 20 ⋅ β ⋅ (β + 1) ⋅ U 2 ⋅ p
( mm ; W, Ω⋅mm2⋅m-1 ,V,W⋅cm-2, )
a=b⋅β kde
β ....................... poměr stran obdélníka
Délku topného vodiče navrhujeme buď ze vztahu :
U2 ⋅ S l= P⋅ρ kde
( m ; V, mm2 , W , Ω ⋅ mm2 ⋅ m-1 )
S ....................... průřez topného vodiče
nebo ze vztahu
l= kde
P O⋅p
( cm ; W , cm , W ⋅ cm-2 )
O ....................... obvod topného vodiče v cm
Příklad 1 :
Určete rozměry ( a , b , l ) topeného pásu pro vytápění odporové pece, je-li příkon pece P = 75 kW. Zapojení topných elementů je do trojúhelníka, pec pracuje v napěťové soustavě 3x380/220 V. Měrné zatížení povrchu odporového vodiče je p = 1.2 W ⋅ cm-2 , měrný odpor materiálu odporového vodiče je ρ = 1.2 Ω ⋅ mm2 ⋅ m-1 . Poměr stran obdélníkového průřezu β= 5 . Řešení :
b=3
b=
3
P2 ⋅ ρ 20 ⋅ β ⋅ (β + 1) ⋅ U 2 ⋅ p 75000 1.2 ⋅ 3
2
20 ⋅ 5 ⋅ (5 + 1) ⋅ 380 2 ⋅ 1.2
= 1.93
mm
a = β ⋅ b = 5 ⋅ 1.93 = 9.66 mm
U 2 ⋅ S a ⋅ b ⋅ U 2 1.93 ⋅ 9.66 ⋅ 380 2 l= = = = 89.9 P⋅ρ P⋅ρ 25000 ⋅ 1.2
m
Příklad 2 : Výkon žíhací pece je P = 60 kW, žíhací teplota je 850 °C. Svorkové napětí je 3x380/220 V, topné elementy jsou spojeny do trojúhelníka. Měrné zatížení povrchu topného vodiče je p = 1.2 W ⋅ cm-2 , měrný odpor materiálu odporového vodiče je při teplotě 850 °C ρ= 1.2 Ω ⋅ mm2 ⋅ m-1. Určete délku a průměr topného drátu kruhového průřezu pro jednu fázi pece. Řešení :
4 ⋅ ρ ⋅ P2 d=3 10 ⋅ π 2 ⋅ p ⋅ U 2
2 60000 4 ⋅ 1.2 ⋅ 3 3 d= = 4.82 2 2 10 ⋅ 3.14 ⋅ 1.2 ⋅ 380
mm
U 2 ⋅ S π ⋅ d 2 ⋅ U 2 3.14 ⋅ 4.82 2 ⋅ 380 2 = = l= = 111 2 4⋅ ρ ⋅P P⋅ρ 60000 4 ⋅ 1.2 ⋅ 3
m
B.2.2. Výpočet doby ohřevu Dobu ohřevu předmětu v odporové peci lze vypočítat podle vztahu :
t=
kde
Q P +P s p
(s;J,W,W)
Q .......................... tepelná kapacita ( teplo, které je nutno do předmětu během ohřevu neakumulovat ) ohřívaného předmětu Ps .......................... tepelný výkon přenášený do předmětu sáláním Pp .......................... tepelný výkon přenášený do předmětu prouděním
Oteplovací křivka ohřívaného předmětu : τ ∆ϑ [K]
∆ϑ
ϑ= f(t)
∆ϑ2
∆ϑo t2
t1 doba ohřevu Platí
t[s]
Ps = f ( ∆ϑ ) a Pp = f ( ∆ϑ ) , kde ∆ϑ = f ( t ) je rozdíl teploty v peci a teploty ohřívaného předmětu.
Pro zjednodušený výpočet nahrazuji exponenciálu parabolou :
∆ϑp
t2
t
∆ϑ
b
∆ϑ2 ∆ϑ = f ( t )
a t2
∆ϑstř ∆ϑ2
t
∆ϑ
Hledáme střední rozdíl teplot ( v peci a ohřívaného předmětu ) za dobu ohřevu z rovnosti ploch obdélníka ∆ϑstř ⋅ t2 a plochy označené na obrázku jako b :
∆ϑ 2
2 b = t ⋅ ∆ϑ − a = t ⋅ ∆ϑ − ∫ p⋅∆ϑ ⋅d∆ϑ= 2 2 2 2 0 ∆ϑ 3 ∆ϑ 3 t 2 2 2 = t ⋅ ∆ϑ − ⋅ p = t ⋅ ∆ϑ − ⋅ 2 = ⋅ ∆ϑ ⋅ t 2 2 2 2 2 2 3 3 ∆ϑ 2 3 2 b = ∆ϑstř ⋅ t2
=>
∆ϑstř =
2 ⋅ ∆ϑ2 3
Při zjednodušeném výpočtu zahrnuji tepelný výkon přenášený sáláním do součinitele přestupu tepla αs+p ( αs+p > αp ). Dobu ohřevu pak lze vypočítat zjednodušeně dle vztahu :
t=
kde
Q α
⋅ ϑ − ϑ ⋅ S s + p p stů
( s ; J , W⋅ m-2 ⋅ K-1 , K , m2 )
αs+p ....................... součinitel přestupu tepla zahrnující sálání i proudění ϑp ......................... teplota v peci ϑstř ........................ střední teplota ohřívaného předmětu za dobu ohřevu ( ϑstř = ϑo + 2 / 3 ⋅ ( ϑ2 - ϑo ) ) ϑo ......................... teplota okolí ( předmětu před počátkem ohřevu ) S .......................... plocha, kterou se přenáší teplo do ohřívaného předmětu Q ......................... teplo akumulované v předmětu během ohřevu
Při přesném výpočtu doby ohřevu předmětu v odporové peci uvažujeme exponenciální nárůst teploty ohřívaného předmětu. Teplotní interval ohřevu si rozdělíme na úseky, v rámci kterých nárůst teploty linearizujeme. Dělení volíme tak, aby nám intervaly času vycházely zhruba stejně dlouhé.
ϑp
ϑ3´
∆ϑ ϑ2´ [°C]
ϑ = f( t )
ϑ1´
ϑ0´
t1 t0
t3
t2 t1´
t2´
t3´
t[s]
Dobu trvání každého intervalu potom počítáme ze vztahu:
(
Q
i = t = i P +P p s i i
kde
σ
Ź 1 1 + ε ε 1 2
)
m⋅c⋅ ϑ − ϑ i i −1 4 4 Θ Θ p stů i ϑ − ϑ ⋅ − ⋅ S + α ⋅ s p p stů 100 100 i − 1 /
/
m ........................ hmotnost ohřívaného předmětu c ......................... měrné teplo ohřívaného předmětu ϑi´ , ϑi-1´ ......................... hraniční teploty počítaného intervalu ε1 , ε2 ......................... emisivity povrchu ohřívaného předmětu a vnitřního povrchu pece ϑp , Θp .......................... teplota a termodynamická teplota v peci ( Θp = ϑp + 273.15 ) Ss ........................ plocha, kterou se teplo přenáší do ohřívaného předmětu sáláním Sp ........................ plocha, kterou se teplo přenáší do ohřívaného předmětu prouděním αp ........................ koeficient přestupu tepla pro proudění
⋅ S p
Θstř i , ϑstř i ....................... střední teplota a střední termodynamická teplota ohřívaného předmětu v rámci počítaného intervalu ( ϑstř i = ( ϑi´ + ϑi-1´ ) / 2 ) ( Θstř i = ϑstř i + 273.15 ) Celkovou dobu ohřevu předmětu v odporové peci potom určíme jako součet dílčích intervalů vypočítaných výše uvedených způsobem. Příklad 1 : Vypočtěte dobu ohřevu tří hranolů o rozměrech 100 x 100 x 1000 mm v komorové peci. V peci jsou současně tři hranoly, které se ohřívají z teploty okolí ϑo= 10 °C na teplotu ϑH= 800 °C. Teplota v peci po dobu ohřevu je ϑp= 850 °C. Hranoly jsou ocelové : γH= 7.8 kg ⋅ dm-3, c = 0.667 kJ ⋅ kg-1 ⋅ K-1. Emisivita povrchu hranolů je ε1= 0.8 ,emisivita vnitřního povrchu pece je ε2= 0.8 . Součinitel přenosu tepla pro proudění a sálání je αs+p = 177.8 W ⋅ m-2 ⋅ K-1, součinitel přenosu tepla pro proudění je αp = 14 W ⋅ m-2 ⋅ K-1. Proveďte přibližný výpočet doby ohřevu za těchto podmínek : a, teplo se přenáší je shora a zespod sáláním a prouděním b, sálání je zahrnuti do součinitele přestupu tepla αs+p Dále proveďte přesný výpočet doby ohřevu hranolů za předpokladů, že a, teplo se přenáší sáláním shora a zespod b, teplo se přenáší prouděním po celém povrchu soustavy. Rozdělení intervalu ohřevu pro přesný výpočet :
ϑ [°C] ϑH
ϑ=f(t)
300 500 650 750 800
ϑO tI
t II
t III
t IV
tV
0 t [s]
Řešení : Přibližný výpočet :
Q = t= P +P s p α
( H − ϑO ) 2 ⋅ ϑ − ϑ + ⋅ (ϑ − ϑ ) ⋅ S O s+p p O 3 H m⋅c⋅ ϑ
3 ⋅ 10 ⋅ 7.8 ⋅ 0.667 ⋅ 10 3 ⋅ (800 − 10) t= = 3648 2 177.8 ⋅ 850 − 10 + ⋅ (800 − 10 ) ⋅ 0.2 ⋅ 3 3 Přesný výpočet:
(
m⋅c⋅ ϑ − ϑ 2 1
t = I σ
Θ
p Ź ⋅ 1 1 100 + −1 ε ε 1 2
4 −
Θ
stů 100
)
4
s
⋅ S + α ⋅ ϑ − ϑ ⋅ S s p p stů p
3 ⋅ 10 ⋅ 7.8 ⋅ 0.667 ⋅ 103 ⋅ (300 − 10) tI = = 1036 4 4 5.67 300 + 10 1123.15 428.15 ⋅ − ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 0.1 + 14 ⋅ 850 − ⋅ 0.86 1 1 100 100 2 + −1 0.8 0.8 Obdobným způsobem vypočítáme i délku zbývajících intervalů : - druhý interval - třetí interval - čtvrtý interval - pátý interval
tII = 839 tIII = 842 tIV = 928 tV = 831
s s s s ⇒
5 t = ∑ t = 4449 i i =1
Celkovou dobu ohřevu hranolů získáme jako součet dílčích časových intervalů.
s
s
Návrh elektrické odporové pece Následující zadání má umožnit formou samostatně vypracovaného programu procvičit dosud probranou tématiku a uvědomění si vzájemných vztahů a praktického použití výpočtových postupů.
Zadání : Navrhněte kelímkovou odporovou pec na tavení hliníku a určete : 1. Rozměry pece 2. Potřebné množství tepla na roztavení hliníku 3. Teplotu spirál 4. Tepelné ztráty včetně grafického zobrazení průběhu teplot složené válcové stěně 5. Příkon a spotřebu elektrické energie 6. Akumulované teplo 7. Dobu potřebnou na vytavení první vsázky 8. Rozměry topných elementů, elektrické schéma zapojení včetně regulace, dimenzování přívodů a jištění. Výchozí hodnoty : Výchozí teplota vsázky ............... ϑ1 = 20 °C Tavící teplota hliníku ............... ϑtav = 658 °C Licí teplota kliníku ............... ϑ2 = 750 °C Hmotnost vsázky ............... m = 80 kg Hustota vsázky .............. γAl = 2.7 ⋅ 103 kg ⋅ m-3 Doba ohřevu ............... t = 65 min Součinitel přestupu tepla . . . . . . . . . . . .α = 11.6 W ⋅ m-2 ⋅ K-1 Měrné teplo hliníku . . . . . . . . . . . . . . c1 = 0.894 kJ ⋅ kg-1 ⋅ K-1 Měrné skupenské teplo hliníku ......... c2 = 397.1 kJ ⋅ kg-1 Měrný odpor materiálu spirál. . . . . . . . ρ = 1.1 Ω ⋅ mm2 ⋅ m-1 Hustota odporového materiálu. . . . . . . γ = 8.27 ⋅ 103 kg ⋅ m-3 Dovolené povrchové zatížení . . . . . . . . . p = 10 700 W ⋅ m-2 Emisivita povrchu spirál ............... ε1 = 0.85 Emisivita povrchu kelímku . . . . . . . . . . . . . . . ε2 = 0.85 Měrná tepelná vodivost terkalit . . . . . . . . . . . . . . λt = 0.278 W ⋅ m-1 ⋅ K-1 silocel . . . . . . . . . . . . . . . λs = 0.232 W ⋅ m-1 ⋅ K-1 ocel ............... λo = 46.4 W ⋅ m-1 ⋅ K-1
ve
Řešení : 1. Rozměry pece Objem hliníku po roztavení :
V/ =
m 80 = = 29.6 ⋅ 10 −3 3 γ Al 2.7 ⋅ 10
m −3
Tento objem zvětším o 50 % :
V = 1.5 ⋅ V / = 1.5 ⋅ 29.6 ⋅ 10 −3 = 44.4 ⋅ 10 −3
m −3
Z praktických zkušeností volíme průměr kelímku :
d = 0.36
m
Výška kelímku :
4 ⋅ V 4 ⋅ 44.4 ⋅ 10 −3 v = = = 0.436 π ⋅ d2 π ⋅ 0.36 2 /
m
Výšku kelímku zaokrouhlíme na :
v = 450
mm
Rozměry kelímku mi dávají i ostatní rozměry pece - viz nákres.
2. Potřebné množství tepla na roztavení hliníku Teplo potřebné pro ohřev z teploty 20 °C na teplotu 750 °C :
Q1 = m ⋅ c1 ⋅ ∆ϑ = 80 ⋅ 0.894 ⋅ (750 − 20 ) = 52209.6 Teplo potřebné na změnu skupenství :
Q 2 = m ⋅ c 2 = 80 ⋅ 397.1 = 31768
kJ
Celkové množství tepla na roztavení hliníku :
Q Al = Q1 + Q 2 = 52209.6 + 31768 = 83977.6
kJ
kJ
Schématické znázornění řezu navrhovanou odporovou kelímkovou pecí :
3. Teplota odporových spirál Plocha povrchu ozařovaného spirálou a předávající teplo hliníku :
S1 = π ⋅ (d + 2 ⋅ t k ) ⋅ v = π ⋅ (0.36 + 2 ⋅ 0.02) ⋅ 0.45 = 0.5655
m2
Potřebný tepelný tok :
P=
Q Al 83977.6 = = 21.533 t 65 ⋅ 60
kJ ⋅ s −1 = 21.533
kW
Teplota vnější stěny kelímku :
d2 0.4 21.533 ⋅ 10 3 P ⋅ ln = 767.3 ϑk = ϑ2 + ⋅ ln = 750 + 0.36 2 ⋅ π ⋅ 46.4 ⋅ 0.45 2 ⋅ π ⋅ λo ⋅ v d1 Potřebná termodynamická teplota odporových spirál :
Θ2 =
Θ2 =
4
4
1 S 1 P ⋅ + 1 − 1 4 Θ1 ε 1 S2 ε 2 + ⋅ 100 100 σ Ź ⋅ S1
0.4 1 1 21533 ⋅ + ⋅ − 1 4 0.85 0.5 0.85 + 767.3 + 273.15 ⋅ 100 5.67 ⋅ π ⋅ 0.4 ⋅ 0.5 100 Θ 2 = 1197
K
Potřebná teplota odporových spirál :
ϑ S = Θ 2 − 273.15 = 1197 − 273.15 = 923.85 = 924
o
C
Podle této teploty bychom volili vhodný odporový materiál pro výrobu topných spirál. Tuto teplotu bude udržovat regulace pece.
4. Tepelné ztráty Výpočet tepelných ztrát provedeme za zjednodušujícího předpokladu, že teplota na vnitřní straně žáruvzdorné vyzdívky ( terkalitu ) je na stěně pece, víku i dnu rovna teplotě vnějšího povrchu kelímku. Pro výpočet ztrátového tepelného toku stěnou pece uvažuji složenou válcovou stěnu o výšce l = 0.85 m :
o
C
Ps =
Ps =
(ϑ4 − ϑo ) ⋅ π ⋅ l d d d 1 1 1 1 ⋅ ln 4 + ⋅ ln 3 + ⋅ ln 2 + d1 α ⋅ d1 d 3 2 ⋅ λS d 2 2 ⋅ λo 2 ⋅ λt
(767.3 − 20) ⋅ π ⋅ 0.85 1 840 1 1040 1 1080 1 ⋅ ln + ⋅ ln + ⋅ ln + 2 ⋅ 0.278 600 2 ⋅ 0.232 840 2 ⋅ 46.4 1040 11.6 ⋅ 1.08 Ps = 1742
W
Pro výpočet ztrátového tepelného toku víkem pece uvažujeme střední plochu víka uprostřed jeho tloušťky S = 0.554 m2 :
Pv =
S ⋅ (ϑ 4 − ϑ o ) 0.554 ⋅ (767.3 − 20 ) = = 564 s t s o 1 0.180 0.02 1 + + + + λ t λ o α 0.278 46.4 11.6
W
Pro výpočet ztrátového tepelného toku dnem pece uvažujeme stejnou plochu jako u víka a střední tloušťku terkalitu st = 0.150 m :
Pd =
S ⋅ (ϑ 4 − ϑ o ) 0.554 ⋅ (767.3 − 20) = = 661 s t s o 1 0.150 0.02 1 + + + + λ t λ o α 0.278 46.4 11.6
W
Celkový ztrátový tepelný tok pece :
Pz = Ps + Pv + Pd = 1742 + 564 + 661 = 2967
W
Teploty na rozhraní vrstev u složené válcové stěny pece :
terkalit - silocel
d3 840 1742 ⋅ ln d4 600 = 372.5 ϑ3 = ϑ4 − = 767.3 − 2 ⋅ π ⋅ λt ⋅ l 2 ⋅ π ⋅ 0.278 ⋅ 0.85 Ps ⋅ ln
o
C
silocel - ocelový plášť
d2 1040 1742 ⋅ ln d3 840 = 72.2 ϑ 2 = ϑ3 − = 372.5 − 2 ⋅ π ⋅ 0.232 ⋅ 0.85 2 ⋅ π ⋅ λo ⋅ l Ps ⋅ ln
o
C
povrch ocelového pláště pece
ϑ1 = ϑ 0 +
Ps 1742 = 20 + = 72.0 11.6 ⋅ π ⋅ 1.08 ⋅ 0.85 α ⋅ π ⋅ d1 ⋅ l
o
C
Grafické znázornění průběhu teplot stěnou pece :
ϑ [°C] ϑ4
ϑ3
ϑ2 , ϑ1 ϑ0 d [mm] 5. Příkon a spotřeba elektrické energie Příkon pece vypočítáme jako součet potřebného tepelného výkonu jdoucího do vsázky a ztrátového tepelného výkonu pece. Tento součet zvětšíme o 15 % z důvodů rezervy výkonu :
Pp = 1.15 ⋅ (Pz + P ) = 1.15 ⋅ (2.967 + 21.533) = 28.2
kW
Spotřeba elektrické energie na jednu vsázku :
A = Pp ⋅ t = 28.2 ⋅
65 = 30.6 60
kWh
6. Akumulované teplo Teplo akumulované do jednotlivých konstrukčních celků pece spočítáme ze známého vztahu :
Q = m ⋅ c ⋅ ∆ϑ kde ∆ϑ je střední oteplení, tj. rozdíl střední teploty materiálu za provozu pece a teploty okolí
Výpočet uspořádáme do tabulky : Název
Kelímek Vyzdívka Izolace Víko Dno Plášť
Hmotnost m [ kg ] 138 110 80 30 20 836
Specifické teplo c [ kJ ⋅ kg-1 ⋅ K-1 ] 0.5 0.836 0.670 0.836 0.836 0.5
Celkové akumulované teplo :
Střední oteplení [K] 738.6 550.0 202.4 400.0 405.0 52.0
Akumulované teplo Qa [ MJ ] 50.966 50.578 10.848 10.032 6.771 21.736 150.931 MJ
7. Doba potřebná pro vytavení první vsázky Tato doba se skládá z doby potřebné pro vyhřátí pece z teploty okolí na teplotu provozní - v této době stoupají tepelné ztráty z nulové hodnoty na hodnotu vypočteného ztrátového tepelného toku PZ - a doby potřebné k vytavení vsázky - v této době má ztrátový tepelný tok hodnotu vypočtenou jako PZ . V době vyhřívání pece na provozní teplotu bereme tepelné ztráty jako polovinu plného ztrátového tepelného toku PZ .
Doba potřebná na vyhřátí pece :
150.931 ⋅ 10 6 a t = = 5981 = 1 P 28200 − 0.5 ⋅ 2967 P − z p 2 Q
s
Doba tavení vsázky :
83977.6 ⋅ 10 3 Al t = = 3328 = 2 P −P 28200 − 2967 p z Q
s = 56
min
Ztrátové teplo během vyhřívání pece :
Q z1 =
Pz 2967 ⋅ t1 = ⋅ 5981 = 8872.8 2 2
kJ
Ztrátové teplo během tavení vsázky :
Q z2 = Pz ⋅ t 2 = 2967 ⋅ 3328 = 9874.2
kJ
Doba potřebná k vytavení první vsázky :
tI =
Q Al + Q a + Q z1 + Q z2 83977.6 + 150931 + 8872.8 + 9874.2 = = 8994 Pp 28.2
Díky výkonové rezervě pece a zjednodušenému způsobu výpočtu nám vyšla doba potřebná k vytavení vsázky kratší, než je doba zadaná.
8. Topné elementy, přívod, jištění, regulace Použijeme odporového materiálu ve tvaru topného drátu kruhového průřezu. Průměr vodiče článku : 2
28200 4 ⋅ 1.1 ⋅ 2 3 4⋅ ρ ⋅P 3 d=3 = = 2.94 10 ⋅ p ⋅ π 2 ⋅ U 2 10 ⋅ 1.07 ⋅ π 2 ⋅ 380 2
mm
s =1
Volíme odporový drát o průměru 3 mm, základní zapojení topných článků bude do trojúhelníka. Odpor článku jedné fáze :
U2 380 2 = = 15.36 R= 28200 P 3
Ω
Délka odporového drátu pro jednu fázi :
R ⋅ S 15.36 ⋅ π ⋅ 0.003 2 l= = 98.7 = ρ 4 ⋅ 1.1 ⋅ 10 −6
m
Hmotnost odporového materiálu potřebného pro celou pec :
π ⋅ 0.003 2 m = 3 ⋅ l ⋅ S ⋅ γ = 3 ⋅ 98.7 ⋅ ⋅ 8.27 ⋅ 10 3 = 17.3 4
kg
Proud topným článkem :
If =
Pp 3⋅ U
=
28200 = 24.73 3 ⋅ 380
A
Proud v přívodních vodičích :
I s = 3 ⋅ I f = 3 ⋅ 24.73 = 42.83
A
Návrh přívodního kabelu provedeme podle normy ČSN 34 1020 - Předpisy pro dimenzování a jištění vodičů a kabelů. Přívodní kabel navrhneme typu AYKY podle ČSN 34 7656. Předpokládáme teplotu prostředí max. 40 °C, uložení kabelu na stěně - šestice kabelů na společné NIEDAX liště. Tomuto prostředí a uložení kabelu odpovídá korekční koeficient daný tabulkou 7 a 19 normy ČSN 34 1020 s hodnotami 0.84 a 0.67. Jmenovitá zatížitelnost navrhovaného kabelu musí být minimálně :
In =
Is 42.83 = = 76 k r 0.84 ⋅ 0.67
A
Podle tabulky 59 normy ČSN 34 1020 navrhneme kabel AYKY 3 x 35 + 25 mm2. Tento kabel má jmenovitou zatížitelnost 93 A. Pro jištění pece zvolíme pojistky s jmenovitým proudem Inp = 50 A. Musíme zkontrolovat, zda pojistka vyhoví podmínce podle článku 173 normy ČSN 34 1020 :
I≥ kde
I Np kp
I . . . . dovolený proud příslušného vodiče uloženého v prostředí o teplotě ϑ
kp . . . součinitel přiřezení pojistky k vodiči, který je uložen v prostředí o teplotě ϑ - z obrázku 11 v normě odečteme pro Inp = 50 A a teplotu prostředí 40 °C hodnotu kp = 1.05
93 ⋅ 0.67 ⋅ 0.84 = 5234
〉
47.6 =
50 1.05
Podmínka je splněna, pojistka 50 A tedy chrání kabel proti všem nadproudům, přetížením i zkratům. Regulace teploty v peci bude realizována pomocí přístroje ZEPAFOT, který přepíná podle dvou nastavených teplot topné elementy z trojúhelníka do hvězdy při překročení první nastavené teploty ( tím se sníží příkon pece na třetinu ) nebo pec vypíná při překročení druhé nastavené teploty. Teplota je snímána termočlánkem přímo z topné spirály a tento signál je přiveden na svorky 1 a 2 přístroje ZEPAFOT. Tlačítkem A1 se pec zapíná přes stykač S1. Při zapojení topných elementů do trojúhelníka jsou sepnuty stykače S1, S2, při zapojení do hvězdy jsou sepnuty stykače S1 a S3. Stykače S2 a S3 jsou vůči sobě blokovány, způsob zapojení je signalizován žárovkami H1 a H2.
Schéma zapojení ovládání a regulace teploty v odporové peci :
B.3. OBLOUKOVÁ ELEKTROTEPELNÁ ZAŘÍZENÍ B.3.1. Kružnicový diagram elektrické obloukové pece Kružnicový diagram ocelářské elektrické obloukové pece se konstruuje ze dvou základních hodnot proudu :
1. teoretického proudu nakrátko
2. proudu nakrátko
kde
U
f kt ∑ X U I = f k ∑Z I
=
Uf . . . . . . . . . . fázové sekundární napětí pecního transformátoru ∑X . . . . . . . . . reaktance jedné fáze krátké cesty ∑Z . . . . . . . . . impedance jedné fáze krátké cesty
a dále je nutno znát účiník cosϕk , tedy fázový posuv mezi napětím a proudem při zkratu elektrod se vsázkou. Zatímco Ikt je hodnota teoretická a lze ji jen vypočítat, proud Ik lze vypočítat při znalosti konstrukce krátké cesty. Tato hodnota je ovšem obtížně vypočitatelná vzhledem ke geometrické složitosti krátké cesty, a proto ji obvykle určujeme pomocí speciálního měření při t.zv. zkratové máčecí zkoušce. Při ní se při vhodně zvoleném napěťovém stupni ponoří elektrody do roztavené lázně a měří se zkratový proud Ik a účiník cosφk. Místo účiníku je možné měřit činný výkon napájecího obvodu a fázové napětí (blíže viz kap.5 ).
Kružnicový diagram elektrické obloukové pece.
Z kružnicového diagramu lze pro danou velikost proudu odečíst tyto údaje : - účiník cosϕ - výkon napájecího obvodu P - výkon na oblouku P0 - ztráty výkonu na krátké cestě PZ - účinnost η
Stupnice pro odečítání účiníku a účinnosti lze zkonstruovat dle obrázku. Pro odečítání výkonových hodnot je nutno znát měřítko výkonů : mp = mI ⋅ Uf kde
( kW⋅m-1 ; kA ⋅ m-1 , V )
mI . . . . . . . . . . měřítko proudu - obvykle se volí podle žádaného průměru kružnicového diagramu d : mI = Ikt / d Uf . . . . . . . . . . fázové sekundární napětí pecního transformátoru
Obvykle se nedosahuje dobré shody odečtených hodnot s hodnotami skutečnými díky zjednodušením, na jejichž základě byl kružnicový diagram sestrojen.
Příklad 1 : Pecní transformátor má poměr sdružených napětí 6000 / 240 V. Při elektrodách dosedajících na vsázku byl naměřen na primární straně proud I1k = 1520 A. Účiník na sekundární straně byl při tomto měření roven cosφ1k = cosφ2k = 0.25. Zkonstruujte kružnicový diagram a určete z něj proud pro maximální výkon na oblouku. Zapojení pecního transformátoru je D/d. Řešení : Sekundární proud nakrátko : I2k = I1k ⋅ p = 1520 ⋅ 6000 / 240 = 38 000 A Impedance nakrátko :
Z2K =
U2 240 = = 3,646.10 −3 Ω 3.I 2 K 3.38000
Činný odpor krátké cesty : R2k = Z2k ⋅ cosφ2k = 3.646 ⋅ 10-3 ⋅ 0.25 = 9.116 ⋅ 10-4 Ω Reaktance krátké cesty : X2k=
Z 22k − R 22k = 0.003646 2 − 0.0009116 2 = 3.531 ⋅ 10 −3 Teoretický proud nakrátko :
I2kT =
U 2f 240 = = 39246 -3 X 2k 3 ⋅ 3.351 ⋅ 10
Měřítko proudu : mI = I2kT / d = 39246 / 20 = 1962 A ⋅ cm-1
A
Ω
Měřítko výkonu : mP = U2f ⋅ mI = 240 ⋅ 1962 / √3 = 271.862 ⋅ 103 W ⋅ cm-1 Hodnoty odečtené z diagramu : Proud, jemuž odpovídá maximální výkon na oblouku : IPmax = 24.7 kA Maximální výkon na oblouku : Pomax = 2.175 MW Účiník odpovídající maximálnímu výkonu na oblouku : cosφPmax = 0.78 B.3.2. Regulace pecního transformátoru, tlumivka Příkon dodávaný do pracovního prostoru elektrické obloukové pece se obvykle reguluje dvojím způsobem : 1. stupňovitě přepínáním odboček na primární straně pecního transformátoru - tímto způsobem se skokovitě mění napětí na oblouku 2. plynule změnou délky oblouku - toto realizuje automatická regulace pohybu elektrod. Zvětšováním délky oblouku klesá proud pecním obvodem a naopak. Příklad 1 : Navrhněte čtyřstupňovou regulaci napětí pecního transformátoru pro elektrickou obloukovou pec přepínáním dvou sekcí na primární straně vinutí pecního transformátoru. Sekundární vinutí je spojeno do trojúhelníka. Poměr počtu závitů sekcí primárního vinutí je N1´=0.262⋅N1´´. Primární napětí na pecním transformátoru je 6000 V, sekundární napětí při spojení sekcí N1´´ do trojúhelníka je 240 V. Vypočítejte sekundární napětí pro další tři stupně regulace. Řešení :
I. stupeň regulace
Sekundární napětí I. regulačního stupně : U2I = 240 V
II. stupeň regulace
Sekundární napětí II. regulačního stupně : U2II =
U 2I 240 = = 190 1.262 1.262
V
III. stupeň regulace
Sekundární napětí III. regulačního stupně : U2III =
U 2I 3
=
240 3
= 138
V
IV. stupeň regulace
Sekundární napětí IV. regulačního stupně : U2IV =
U 2II 3
=
190 3
= 109.4
V
Příklad 2 : Určete úbytek napětí na sekundární straně pecního transformátoru napájejícího elektrickou obloukovou pec způsobený reaktorem ∆Un = 550 V, In = 400 A zařazeným do primárního okruhu, je-li sdružené primární napětí na pecním transformátoru rovno U1=6200V. a, je-li U2 = 220 V, I1 = In b, je-li U2 = 160 V, I1 = In / 2 Řešení :
Sdružený úbytek napětí na sekundární straně pecního transformátoru lze vypočítat ze vztahu : ∆uII = ∆uI ⋅ p ⋅ √3 kde
p . . . . . . . . . převod pecního transformátoru ∆uI . . . . . . . . úbytek napětí na primární straně pecního transformátoru
a, ∆uII = ∆Un ⋅ UII / UI ⋅ √3 = 550 ⋅ 220 / 6200 ⋅ √3 = 33.8 V b, ∆uII = 550 / 2 ⋅ 160 / 6200 ⋅ √3 = 12.3 V
Příklad 3 : Elektrická oblouková pec je napájena z pecního transformátoru o jmenovitém zdánlivém výkonu Sn = 6 MVA. Převod je při zapojení do Dd0 6000 / 240 V. Napětí nakrátko pecního transformátoru je uk = 5 %. Přívody k peci mají reaktanci 5 % ( činný odpor zanedbáme ). Vypočtěte, jakou reaktanci musí mít tlumivka, má-li být zkratový proud roven maximálně trojnásobku proudu jmenovitého. Řešení : Průchodu jmenovitého proudu pecním obvodem odpovídá jmenovitá reaktance, která činí v procentním vyjádřením 100 %. Trojnásobku jmenovitého proudu odpovídá stav, kdy reaktance obvodu klesne na 1/3, tj. na 33.3 %. V této reaktanci jsou zahrnuty reaktance přívodů ( 5 % ) a napětí nakrátko, tj. reaktance pecního transformátoru ( 5 % ). Na tlumivku tedy zbývá reaktance : xtl = 33.3 - ( 5 + 5 ) = 23.3 %
Xtl = 0.233 ⋅ Xn = 0.233 ⋅ Uf / In = 0.233 ⋅ Us2 / Sn = 0.233 ⋅ 60002 / 6⋅106 = 1.39 Ω Krátká cesta elektrické obloukové pece Krátká cesta elektrické obloukové pece začíná na svorkách sekundárního vinutí pecního transformátoru a končí elektrickým obloukem hořícím mezi elektrodou a vsázkou. Parametry krátké cesty ( její činný odpor a reaktance ) jsou důležité, protože nám umožňují z hodnot naměřených na počátku krátké cesty ( tj. u pecního transformátoru ) odvodit parametry el. oblouku v pracovním prostoru pece, v němž by realizace měření těchto parametrů byla technicky značně obtížná. Diagnostická měření na elektrických obloukových pecích se provádějí obvykle na počátku krátké cesty a korekcí na parametry této krátké cesty se na základě hodnot elektrických veličin na obloucích provádí seřizování regulace pece. Vztah mezi elektrickými veličinami na počátku a konci krátké cesty nám ukazuje následující fázorový diagram :
X⋅I U
R⋅I
Uob
ϕ I
V diagramu značí U . . . . . . měřené napětí na počátku krátké cesty R⋅I . . . . . úbytek napětí na činném odporu krátké cesty X⋅I . . . . . úbytek napětí na reaktanci krátké cesty I . . . . . . . proud pecním obvodem Uob . . . . . napětí na elektrickém oblouku pece
Příklad 1 : Pecní transformátor napájející 15 tunovou ocelářskoou obloukovou pec má jmenovitý zdánlivý výkon Sn = 5 MVA a je připojen na síť U1 = 6000 V. Napětí na sekundární straně naprázdno je 220 V, celkový úbytek napětí na krátké cestě při průchodu jmenovitého proudu je ∆Un = 100 V. Určete následující hodnoty ( při zanedbání činného odporu krátké cesty ) : - jmenovitý primární proud pecního transformátoru I1n - jmenovitý sekundární proud pecního transformátoru I2n - sekundární proud nakrátko I2k - napětí na oblouku Uob - činný výkon na obloucích Pob - účiník na počátku krátké cesty cosφn Řešení : Jmenovitý primární proud pecního transformátoru :
I1n
Sn 5 ⋅ 10 6 = = = 481 3 ⋅ U1n 3 ⋅ 6 ⋅ 103
A
Jmenovitý sekundární proud pecního transformátoru :
I 2n =
Sn 3 ⋅ U 20
5 ⋅ 10 6 = = 13121 3 ⋅ 220
A
Napětí na oblouku :
U ob =
1 1 ⋅ U 220 − DU 2n = ⋅ 220 2 − 100 2 = 113 3 3
Činný výkon na obloucích :
Pob = 3 ⋅ U ob ⋅ I 2n = 3 ⋅ 113 ⋅ 13121 = 4.448
Účiník na počátku krátké cesty :
Pob 4.448 ⋅ 10 6 cosφ n = = = 0.89 6 Sn 5 ⋅ 10
MW
V
Výpočet parametrů krátké cesty elektrické obloukové pece
Zadání : Vypočtěte činný odpory a reaktance krátké cesty elektrické obloukové pece, určete teoretický zkratový a zkratový proud, na jejich základě zkonstruujte kružnicový diagram dané pece a určete z něj : - proud odpovídající maximálnímu činnému výkonu na elektrickém oblouku - hodnotu maximálního činného výkonu na oblouku - účiník příslušný maximálnímu činnému výkonu na oblouku - účinnost pece při maximálním činném výkonu na oblouku
Zadané hodnoty : napětí na primární straně pecního transformátoru 3 x 380 / 220 V napětí na sekundární straně pecního transformátoru U2 = 55 V měrná rezistivita materiálu elektrod ρE = 10 Ω ⋅ mm2 ⋅ m-1 měrná rezistivita materiálu ostatních částí ρCu = 1/45 Ω ⋅ mm2 ⋅ m-1 součet stykových odporů krátké cesty ΣRss = 2 ⋅ 10-5 Ω úbytek napětí na stykovém odporu čelistí Usč = 0.5 V poměrná reaktance tlumivky x = 20 % zdánlivý výkon pecního transformátoru Sn = 150 kVA ztráty nakrátko pecního transformátoru P2k = 1.5 kW napětí nakrátko pecního transformátoru ek = 6 % Skinefekt a efekt blízkosti zanedbáme, uspořádání a rozměry jednotlivých částí krátké cesty jsou zřejmé z obrázku. Řešení : Tlumivka / X T1 =
I1f
U 1f 220 ⋅x = ⋅ 0.2 = 0.193 I1f 227.9
150 ⋅ 10 3 = = = 227.9 3 ⋅ U1 3 ⋅ 380 Sn
Ω
A
Reaktance tlumivky přepočítaná na sekundární stranu pecního transformátoru :
2
X T1 = X
I 2S
/ T1
I 227.9 −3 ⋅ 1f = 0.193 ⋅ = 4.043 ⋅ 10 1574.6 I 2S 2
150 ⋅ 10 3 = 1574.6 = = 3 ⋅ U2 3 ⋅ 55 Sn
Činný odpor tlumivky zanedbáme :
Ω
A
R T1 = 0
Pecní transformátor : Činný odpor určíme ze ztrát nakrátko :
R Tr =
P2k 3 ⋅ I 22S
1.5 ⋅ 10 3 = = 2.017 ⋅ 10 −4 2 3 ⋅ 1574.6
Ω
Reaktance :
P2k 1.5 ⋅ 10 3 er = ⋅ 100 = ⋅ 100 = 1 Sn 150 ⋅ 10 3 e x = e 2k − e 2r = 6 2 − 12 = 5.916 2
X Tr
% %
e I 5.916 227.9 −3 ⋅ = Z n ⋅ x ⋅ 1f = 0.965 ⋅ = 1.196 ⋅ 10 100 I 2S 100 1574.6 Zn =
U 1f 220 = = 0.965 I1f 227.9
Bifilární vedení :
2
Ω
Ω
Indukčnost vodiče 1 :
1 1 1 1 L1 = L11 − M 21 − ⋅ M 31 + ⋅ M 41 − ⋅ M 51 + ⋅ M 61 = L11 − M 21 2 2 2 2 2⋅l L11 = 2 ⋅ l ⋅ 2.3 ⋅ log − 1 ⋅ 10 −9 re 2⋅l M 21 = 2 ⋅ l ⋅ 2.3 ⋅ log − 1 ⋅ 10 −9 De
[H; cm] [H; cm]
re = m ⋅ (h + b ) = 0.2235 ⋅ (55 + 2 ) = 12.73 re = 0.2235 ⋅ (h + b ) re = 0.778 ⋅ r D e se odečítá z grafu a je funkcí
platí pro obdélníkový průřez platí pro kruhový průřez
b h
b 2 = = 0.036 h 55 D e = 1.35 ⋅ D = 1.35 ⋅ 20 = 27
pro
mm
D h
a
a
pro
( viz příloha )
D 20 = = 0.364 h 55
platí
mm
Po dosazení za l = 2530 mm, b = 2 mm, h = 55 mm, D = 20 mm vyjde :
L11 = 2.519 ⋅ 10 −6
H
M 21 = 2.139 ⋅ 10 −6
H
L1 = 0.380 ⋅ 10 −6
Reaktance a činný odpor :
X B1 = 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ L1 = 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 0.380 ⋅ 10 −6 = 0.119 ⋅ 10 −3 R B1 = ρ Cu ⋅
l 1 2.53 = ⋅ = 0.511 ⋅ 10 −3 S 45 2 ⋅ 55
Ω
Ω
Po přepočtení z trojúhelníka na hvězdu :
XB =
2 2 ⋅ X B1 = ⋅ 0.119 ⋅ 10 −3 = 0.080 ⋅ 10 −3 3 3
Ω
RB =
2 2 ⋅ R B1 = ⋅ 0.511 ⋅ 10 −3 = 0.365 ⋅ 10 −3 3 3
Ω
Pásovina :
Indukčnost jedné fáze :
1 1 L1 = L11 − ⋅ M 21 − ⋅ M 31 2 2 Pro výpočet vlastní indukčnosti L11 i vzájemných indukčností M21 , M31 platí stejné výpočetní vztahy jako pro bigilární vedení. Za re dosadíme re = m ⋅ Za D e dosadíme
(h + b ) = 0.2235 ⋅ (50 + 10) = 13.41
D e = D = 300 D e = 2 ⋅ D = 2 ⋅ 300 = 600 mm
mm
v
mm .
případě
v případě výpočtu M31 .
Po dosazení za l = 1150 mm, b = 10 mm, h = 50 mm, D = 300 mm vyjde :
M21
,
a
L11 = 0.951⋅10−6
L1 = 0.636 ⋅ 10 −6
M21 = 0.237⋅10−6
H
M31 = 0.078⋅10−6
H
H
Reaktance a činný odpor jedné fáze :
X p1 = 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ L1 = 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 0.636 ⋅ 10 −6 = 0.200 ⋅ 10 −3 R p1 = ρ Cu ⋅
l 1 1.15 = ⋅ = 0.05 ⋅ 10 −3 S 45 10 ⋅ 50
Ω
Ohebné kabely :
re = 4 r ⋅ a 12 ⋅ a 13 ⋅ a 14 D e = 3 d12 ⋅ d13 ⋅ d 23
D L k = 2 ⋅ l ⋅ 2.3 ⋅ log e + 0.05 ⋅ 10 −9 re
[H; cm]
Po dosazení za l = 1300 mm, a = 200 mm, d = 19.55 mm, D = 300 mm vyjde :
( )
a 12 = a 14 = a ⋅ sin 45 o = 200 ⋅ 0.707 = 141.4 r=
d 19.55 = = 9.775 2 2
mm
mm
Ω
H
re = 4 9.775 ⋅ 141.4 ⋅ 200 ⋅ 141.1 = 79.07 D e = 3 300 ⋅ 600 ⋅ 300 = 377.98
L k = 0.419 ⋅ 10 −6
mm
mm
H
Reaktance a činný odpor jedné fáze :
X ok = 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ L k = 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 0.419 ⋅ 10 −3 = 0.131 ⋅ 10 −3 R ok = ρ Cu ⋅
l 1 1.3 1 = ⋅ ⋅ = 0.05 ⋅ 10 −3 2 S 45 π ⋅ 19.55 4 4
Ω
Ω
Dvojitá pásovina :
Indukčnost vodiče 1 :
L1 = L11 + M 21 Pro výpočet vlastní indukčnosti L11 i vzájemné indukčnosti M21 platí vztahy jako u bifilárního vedení.
Za re dosadíme re
= m ⋅ (h + b ) = 0.2235 ⋅ (53 + 2 ) = 12.29
mm
b 2 b D = = 0.0377 D e = f , pro h 53 h h De D 71 = = 1.3396 platí = 1.06 , D h 53 D e = 1.06 ⋅ D = 1.06 ⋅ 71 = 75.26 mm
Rozměr
D e odečteme z grafu
a pro
tedy
Po dosazení za l = 710 mm, b = 2 mm, h = 53 mm, D = 71 mm vyjde :
L11 = 0.531⋅10−6
M21 = 0.274⋅10−6
H
H
L1 = 0.805⋅10−6
Reaktance a činný odpor jedné fáze :
X p2
L1 0.805 ⋅ 10 −6 = 2 ⋅π ⋅ f ⋅ = 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ = 0.126 ⋅ 10 −3 2 2
R p2 = ρ Cu ⋅
l 1 0.71 = ⋅ = 0.074 ⋅ 10 −3 S 45 2 ⋅ 53 ⋅ 2
Elektrody :
re = r = 37.5 D e = D = 167
mm mm
Ω
Ω
H
D L E = 2 ⋅ l ⋅ 2.3 ⋅ log e + 0.05 ⋅ 10 −9 re
[ H; cm]
Po dosazení za l = 1800 mm, r = 37.5 mm, D = 167 mm vyjde :
L E = 0.246 ⋅ 10 −6
H
Reaktance a činný odpor jedné fáze :
X E = 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ L E = 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 0.246 ⋅ 10 −6 = 0.077 ⋅ 10 −3 R E = ρE ⋅
l 0.8 ⋅ 4 = 10 ⋅ = 1.811 ⋅ 10 −3 2 S π ⋅ 75
Ω
Stykové odpory krátké cesty :
R ss = 0.02 ⋅ 10 −3
Ω
Stykový odpor čelistí :
R sŹ =
∆U 0.5 = = 0.318 ⋅ 10 −3 I 2S 1574.6
Ω
Reaktance, činný odpor a impedance krátké cesty :
R = ΣR = 2.864 ⋅ 10 −3
Ω
X = ΣX = 5.853 ⋅ 10 −3
Ω
Z = R 2 + X 2 = 6.516 ⋅ 10 −3
Ω
Zkratový proud :
Ik =
U 2f 55 = = 4.873 ⋅ 10 3 −3 Z 3 ⋅ 6.516 ⋅ 10
A
Ω
Teoretický zkratový proud :
I kT =
U 2f 55 = = 5.425 ⋅ 10 3 −3 X 3 ⋅ 5.853 ⋅ 10
A
Měřítka pro sestrojení kružnicového diagramu : Zvolíme průměr kružnicového diagramu d = 200 mm Měřítko proudu :
mI =
I kT 5425 = = 27.125 d 200
A/mm
Měřítko činných výkonů :
m P = U 2f ⋅ m I = 55 ⋅
27.125 = 861.3 3
W/mm
Kružnicový diagram elektrické obloukové pece
IPM = 2.9 kA
cos φM = 0.82
PM = 53.4 kW
INDUKČNÍ A DIELEKTRICKÁ ELEKTROTEPELNÁ ZAŘÍZENÍ B.4.1. Indukční pece kanálkové Kanálkové indukční pece se staví přímo na síťovou frekvenci. Roztavená vsázka v kruhovém kanálku tvoří jediný sekundární závit nakrátko. Mají lepší účiník, neboť magnetický tok prochází železným jádrem z elektrotechnických plechů. Nevýhodou je, že se do nich musí nalít roztavený kov již při první tavbě. Příklad 1 : Navrhněte indukční kanálkovou pec o výkonu P = 100 kW, na napětí U1 = 220 V, magnetická indukce v jádře B = 1.2 T, frekvence f = 50 Hz. Další výchozí údaje : cosφ = 0.5, koeficient c = 0.34, ψ = 9.1, proudová hustota v primárním vinutí σ = 3 A ⋅ mm-2, N2 = 1. Určete : - průřez železného jádra SFe , platí-li
S Fe
S ⋅ψ ⋅ 10 5 = c⋅ B ⋅σ ⋅ f
( cm2)
- proud primárního vinutí I1 - průřez vodiče primárního vinutí Scu - počet primárních závitů N1 - napětí na sekundární straně U2 - proud na sekundární straně I2 Řešení : Průřez železného jádra :
S Fe
S ⋅ψ ⋅ 10 5 200 ⋅ 9.1 ⋅ 10 5 = c⋅ = 0.34 ⋅ = 342 B ⋅σ ⋅ f 1.2 ⋅ 3 ⋅ 50
Proud primárním vinutím :
S P 100 ⋅ 10 3 I1 = = = = 909 U 1 cosφ ⋅ U1 0.5 ⋅ 220 Průřez vodiče primárního vinutí :
S Cu =
I1 909 = = 303 σ 3
mm 2
A
cm 2
Počet primárních závitů :
N1 =
U1 220 = = 24.1 = 25 4.44 ⋅ B ⋅ S Fe ⋅ f 4.44 ⋅ 1.2 ⋅ 0.0342 ⋅ 50
závitů
Napětí na sekundární straně :
U2 =
U 1 220 = = 9.17 N1 25
V
Proud na sekundární straně :
I 2 = N 1 ⋅ I1 = 25 ⋅ 909 = 21816
A
Indukční pece kelímkové Středofrekvenční kelímková indukční pec je tvořena kelímkem z nevodivého materiálu kolem kterého je cívka napájená ze zvláštního zdroje kmitočtu 500 - 10 000 Hz ( zubový generátor, výkonový elektronický oscilátor ). Cívka je zpravidla tvořena měděnou trubkou, kterou protéká chladící voda. Účiník pece je velmi nízký ( 0.05 - 0.3 ) a bývá kompenzován paralelně připojenou kondenzátorovou baterií, která se během tavby dolaďuje do rezonance s indukčností pece. Příklad 1 : Náhradní schéma indukční kelímkové pece má tyto parametry : indukčnost pece LI = 1.3 ⋅ 10-4 H činný odpor pece RI = 4 ⋅ 10-2 Ω kapacita kondenzátorové baterie C = 2.2 ⋅ 10-4 F frekvence zdroje f = 1000 Hz napětí zdroje UG = 2500 V Určete : - proud odebíraný z generátoru IG - proud pece IP - proud kondenzátorovou baterií IC - činitel jakosti rezonančního obvodu Q Nakreslete vektorový diagram. Řešení : Náhradní odpor :
LI 1.3 ⋅ 10 4 = 14.75 RZ = = C ⋅ R I 2.2 ⋅ 10 − 4 ⋅ 4 ⋅ 10 − 2
Ω
Proud odebíraný z generátoru :
IG =
U G 2500 = = 169.4 R Z 14.75
A
Činitel jakosti rezonančního obvodu :
ω ⋅ L I 2 ⋅ π ⋅ 103 ⋅ 1.3 ⋅ 10 −4 Q= = 20.4 = RI 4 ⋅ 10 −2 Proud kondenzátorovou baterií :
I C = U G ⋅ ω ⋅ C = 2500 ⋅ 2 ⋅ π ⋅ 10 3 ⋅ 2.2 ⋅ 10 −4 = 3460 Proud pecí : I ⋅ 1 + Q 2 3460 ⋅ 1 + 20.4 2 IP = C = = 3465 Q 20.4
A
Vektorový diagram : UG
IG IC
IP
A
Příklad 2 : Určete ztráty v cívce indukční kelímkové pece, je-li náhradní průměr cívky dC = 1200 mm , počet závitů cívky N1 = 16, měrný odpor vodiče cívky ρ = 0.0175 Ω ⋅ mm2 ⋅ m-1, hloubka vniku a = 0.284 cm, napětí na cívce UG = 3000 V, činný odpor cívky RI = 5.2 ⋅ 10-2 Ω, indukčnost cívky LI = 1.3 ⋅ 10-4 H, frekvence generátoru f = 600 Hz, délka cívky l1 = 1.2 m, intenzita elektrického pole v cívce E = 150 V ⋅ cm-1. Řešení : Činný odpor cívky určíme ze vztahu :
R1 = ρ ⋅ kde
π ⋅ d C ⋅ N1 l =ρ⋅ S a⋅x
x . . . . . . . výška vodiče
Výšku vodiče odvodíme ze vztahu pro intenzitu elektrického pole :
E= y=
x=
x y
l1
a
UG (N1 − 1) ⋅ y
UG 3000 = = 13.33 ( N 1 − 1) ⋅ E (16 − 1) ⋅ 150 l 1 − ( N 1 − 1) ⋅ y N1
=
mm
1200 − (16 − 1) ⋅ 13.33 16
= 62.5
mm
Činný odpor cívky :
R1 = ρ ⋅
π ⋅ d C ⋅ N1 π ⋅ 1.22 ⋅ 16 = 0.0175 ⋅ = 6 ⋅ 10 −3 a⋅x 2.84 ⋅ 62.5
Ω
Proud tekoucí cívkou :
UG
Ip =
R + (ω ⋅ L I ) 2 I
2
=
3000
(5.2 ⋅ 10 ) + (2 ⋅ π ⋅ 600 ⋅ 1.3 ⋅ 10 ) −2 2
−4 2
= 6087
Ztráty v cívce indukční pece :
Pz = R 1 ⋅ I 2p = 6 ⋅ 10 −3 ⋅ 6087 2 = 222.3 ⋅ 10 3
W
Dielektrický ohřev Dielektrický ohřev nastává u elektricky nevodivých materiálů, vložených do elektrického pole kondenzátoru, připojeného na zdroj vysokého kmitočtu. Pro dielektrický ohřev se používají kmitočty řádově 106 - 109 Hz. Nejrychlejší je ohřev pro kmitočet s periodou blízkou relaxačnímu času materiálu.
Příklad 1 : Určete výkon a napětí generátoru pro dielektrický ohřev materiálu z teploty ϑ1 = 20 °C na teplotu ϑ2 = 180 °C. Měrná tepelná kapacita materiálu c = 0.35 kcal / kg ⋅ K, poměrná permitivita εr = 5, ztrátový činitel tgδ = 0.035, měrná hmotnost γ = 900 kg / m3. Hmotnost vsázky je m = 10 kg , frekvence zdroje f = 25 Mhz, tloušťka ohřívaného materiálu d = 50 mm , doba ohřevu t = 20 min. Řešení : Vyjdeme ze vztahu : P = U ⋅ I ⋅ cosφ = U2 ⋅ ω ⋅ C ⋅ tgδ Napětí generátoru :
A
P U= = ω ⋅ C ⋅ tgδ
U=
P = 2 ⋅π ⋅ f ⋅ε o ⋅ε r ⋅S ⋅ tgδ d
2
c ⋅ ∆ϑ ⋅ γ ⋅ d = 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ ε o ⋅ ε r ⋅ t ⋅ tgδ
m ⋅ c ⋅ ∆ϑ t 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ ε o ⋅ ε r ⋅ tgδ ⋅
(
0.35 ⋅ 4.186 ⋅ 10 3 ⋅ (180 − 20) ⋅ 900 ⋅ 5 ⋅ 10 −2
)
m γ ⋅ d2
2
2 ⋅ π ⋅ 8.854 ⋅ 10 −12 ⋅ 5 ⋅ 25 ⋅ 10 6 ⋅ 20 ⋅ 60 ⋅ 0.035
= 1338
V
Výkon generátoru :
m ⋅ c ⋅ ∆ϑ 10 ⋅ 0.35 ⋅ 4.186 ⋅ 10 3 ⋅ (180 − 20 ) PG = = = 1956 t 20 ⋅ 60
W
Příklad 2 : Určete gradienty (spády napětí ) a objemové tepelné výkony na vzorcích vložených do dielektrické pece, je-li dáno : generátor : první vzorek : druhý vzorek :
UG = 1200 V , f = 5 Mhz ε1 = 6 , tgδ1 = 0.04 , d1 = 30 mm ε2 = 30 , tgδ2 = 0.08 , d2 = 50 mm
Řešení : Uspořádání vzorků :
ε1 , d1 , tgδ1 ε2 , d2 , tgδ2
Spád napětí v prvním vzorku :
UG
E1 =
U1 = d1
U 1200 = 38700 = d1 d 2 0.03 0.05 + ε 1 ⋅ + 6 ⋅ 6 30 ε ε 1 2
V ⋅ m −1
Spád napětí v druhém vzorku :
E2 =
U2 = d2
U 1200 = 7740 = d1 d 2 0.03 0.05 + ε 2 ⋅ + 30 ⋅ 6 30 ε ε 1 2
V ⋅ m −1
Objemový tepelný výkon v prvním vzorku : P1 = E12 ⋅ 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ εo ⋅ εr1 ⋅ tgδ1 P1 = 387002 ⋅ 2 ⋅ π ⋅ 5 ⋅ 106 ⋅ 8.854 ⋅ 10-12 ⋅ 6 ⋅ 0.04 = 99.98 kW ⋅ m-3
Objemový tepelný výkon ve druhém vzorku : P2 = E22 ⋅ 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ εo ⋅ εr2 ⋅ tgδ2 P2 = 77402 ⋅ 2 ⋅ π ⋅ 5 ⋅ 106 ⋅ 8.854 ⋅ 10-12 ⋅ 30 ⋅ 0.08 = 40 kW ⋅ m-3
Symetrizace Indukční pece způsobují svou jednofázovou zátěží nesymetrii v trojfázové síti. Abychom tuto nesymetrii odstranili, vkládá se do ostatních fází indukčnost a kapacita, a to buď v zapojení do hvězdy nebo do trojúhelníka.
Příklad 1 : Navrhněte symetrizační zapojení pro indukční kelímkovou pec připojenou na síť 3x380/220 V, 50 Hz zapojené do hvězdy. Příkon generátoru Pg = 200 kW. Určete velikosti kapacity, indukčnosti a proudy a napětí ve všech větvích. Řešení : Náhradní zatěžovací odpor :
2 U 2R (3 ⋅ U f ) ( 3 ⋅ 220) = 2.17 = = Rz = 3 Pg Pg 200 ⋅ 10 2
Ω
Potřebná indukčnost :
L=
Rz 3 ⋅ω
=
2.17 = 3.98 ⋅ 10 −3 3 ⋅ 2 ⋅ π ⋅ 50
H
Potřebná kapacita :
C=
3 3 = = 2.54 ⋅ 10 −3 ω ⋅ R z 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 2.17
F
Proudy jednotlivými větvemi :
IR = IL = IC =
U R 3 ⋅ U f 3 ⋅ 220 = = = 304 Rz Rz 2.17
Napětí na peci : UR = 3 ⋅ Uf = 3 ⋅ 220 = 660
V
Napětí na indukčnosti : UL = √3 ⋅ Uf = √3 ⋅ 220 = 380
V
Napětí na kapacitě : UC = √3 ⋅ Uf = √3 ⋅ 220 = 380
V
A
Symetrizační zařízení zapojené do hvězdy
Vektorový diagram UR -UC UL ≡ UUV
UC IR -UL UUW
IC
IL
UVW
Příklad 2 : Navrhněte symetrizační zapojení pro indukční kelímkovou pec o obsahu 1000 kg oceli připojenou přímo na síť 3x380 V, 50 Hz zapojené do trojúhelníka. Určete potřebnou kapacitu a indukčnost a všechny proudy. Příkon Pg = 250 kW. Řešení : Náhradní zatěžovací odpor :
U 2R 380 2 Rz = = = 0.575 Pg 250 ⋅ 10 3
Ω
Hledaná symetrizační kapacita :
C=
1 1 = = 3.2 ⋅ 10 −3 3 ⋅ω ⋅ R z 3 ⋅ 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 0.575
Hledaná symetrizační indukčnost :
L=
3 ⋅Rz 3 ⋅ 0.575 = 3.18 ⋅ 10 −3 = ω 2 ⋅ π ⋅ 50
H
Proudy v přívodech :
IU = IV = IW =
Uf 220 = = 382 R z 0.575
Proud pecí :
IR =
UR 380 = = 660 R z 0.575
Proud kapacitou : IC = IR / √3 = 660 / √3 = 382
A
Proud indukčností : IL = IR / √3 = 660 / √3 = 382
A
A
A
F
Symetrizační zařízení zapojené do trojúhelníka
UUV ≡ UC
IV IC IR UUW ≡ UR IL ≡ IU
IW
UVW ≡ UL
Vektorový diagram
