Teorie her a ekonomické rozhodování 11. Aukce
11. Aukce • Příklady tržních mechanismů – prodej s pevnou cenou – cenové vyjednávání – aukce
• Využití aukcí – – – –
prodej uměleckých předmětů, nemovitostí, prodej květin, elektřiny, povolenek znečištění, alokace radiového spektra, mobilních operátorů… státní nákupy, státní zakázky, prodeje Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
2
11. Aukce • Aukce – – – –
Nástroj, který vyrovnává nabídku a poptávku Pružnější než prodej s pevnou cenou Rychlejší (časově) než cenové vyjednávání Pravidla vytváření konečné ceny jsou všem dobře známá – Tato pravidla jsou všemi chápána
Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
3
11.1 Typy aukcí • Aukce lze klasifikovat podle: – způsobu podávání nabídek (otevřené, uzavřené) – mechanismu změny ceny (s rostoucí cenou, s klesající cenou) – počtu dražených objektů (jeden typ objektů, víceobjektové – sekvenční či kombinatorické) – typu hodnoty objektu (soukromá, všeobecná, sdružená) – počtu prodávajících a kupujících (jeden, více) – kritéria aukce (maximalizace příjmu, efektivnost aukce) Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
4
11.1 Typy aukcí • Způsob podávání nabídek: – otevřené aukce • všechny nabídky jsou viditelné • každý účastník vidí či slyší nabídky ostatních účastníků
– uzavřené aukce • nabídky nejsou vidět • obálková metoda (zalepené obálky)
Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
5
11.1 Typy aukcí • Mechanismus změny ceny: – aukce s rostoucí cenou • na začátku je nasazena relativně nízká cena • cena je postupně zvyšována až do okamžiku, kdy zůstane jediná nabídka
– aukce s klesající cenou • na začátku je nastavena vysoká cena • cena je postupně snižována až do okamžiku, kdy přijde první nabídka Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
6
11.1 Typy aukcí • Motivační příklad – každý účastník aukce (student) má fiktivních 100 Kč, které může v průběhu hodiny libovolně utratit – draží se vždy jeden bod, který bude jeho majiteli přičten ke zkouškové písemce – pokud vítěz aukce není schopen nabídku uhradit, ztrácí 5 bodů ze zkouškové písemky – fiktivní Kč nemají po ukončení hodiny cenu Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
7
11.1 Typy aukcí • Motivační příklad – v případě, že nikdo nepřijme počáteční nabídku, aukce končí a bod není prodán – v případě rovnosti dvou (a více) nabídek aukce končí a bod není prodán – každý účastník sleduje vlastní zájmy – pořadatel aukce (přednášející) má právo kdykoliv aukci bez udání důvodu ukončit – počet aukcí není předem známý Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
8
11.1 Typy aukcí • Motivační příklad – Aukce s rostoucí cenou – na začátku je nasazena relativně nízká cena – cena je postupně zvyšována až do okamžiku, kdy zůstane jediná nabídka – možné způsoby realizace • prodávající zvedá postupně nabídku • kupující tzv. přihazují
DRAŽÍME 1. bod Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
9
11.1 Typy aukcí • Motivační příklad – Aukce s klesající cenou – na začátku je nastavena vysoká cena – cena je postupně snižována až do okamžiku, kdy přijde první nabídka – cenu snižuje prodávající
DRAŽÍME 2. bod Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
10
11.1 Typy aukcí • Počet dražených objektů: – aukce s jedním typem objektů • např. dražba nemovitosti
– aukce víceobjektové • např. aukce uměleckých předmětů • sekvenční aukce – objekty jsou draženy postupně • kombinatorické aukce – draží se kombinace objektů (balíčky)
Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
11
11.1 Typy aukcí • Typ hodnoty objektu: – Soukromá hodnota objektu • kupující zná svou vlastní cenu objektu • tato cena není ovlivněna hodnotami ostatních kupujících • např. objekty krátkodobé spotřeby bez dalšího prodeje
Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
12
11.1 Typy aukcí • Typ hodnoty objektu: – Soukromá hodnota objektu – Všeobecná hodnota objektu • hodnota objektu je stejná pro každého kupujícího • ale v době aukce není známá • kupující mohou mít různé informace o skutečné (neznámé) hodnotě objektu • např. ropné vrty, některé nemovitosti (pozemky)
Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
13
11.1 Typy aukcí • Typ hodnoty objektu: – Soukromá hodnota objektu – Všeobecná hodnota objektu – Sdružená hodnota objektu • obecný model (předchozí jsou speciálními případy) • zahrnuje složku soukromého hodnocení i složku hodnocení dalšími subjekty • např. prodej domu (znám svou cenu i cenu, za kterou mohu prodat jinému kupujícímu) Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
14
11.1 Typy aukcí • Počet prodávajících a kupujících: – Standardní aukce • orientovány na prodej • jeden prodávající, větší počet kupujících
– Reverzní aukce • orientovány na nákup • jeden kupující, větší počet prodávajících
– Dvojité aukce (kombinace předchozích) • nákup a prodej mezi větším počtem kupujících a prodávajících Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
15
11.1 Typy aukcí • Kritérium aukce: – maximalizace příjmu • prodávající chce z aukce co nejvíce získat
– efektivnost aukce • objekt získá ten, pro koho má největší hodnotu
– další pravidla a kritéria
Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
16
11.1 Typy aukcí • Předpokládejme dále aukce s jedním typem objektů • 1) Anglická aukce: – otevřená aukce s rostoucí cenou – končí, když žádný z kupujících není ochoten zvýšit nabídku DRAŽÍME 3. bod – vítěz zaplatí tuto nejvyšší nabídku – např. aukce uměleckých předmětů Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
17
11.1 Typy aukcí • Předpokládejme dále aukce s jedním typem objektů • 2) Holandská aukce: – otevřená aukce s klesající cenou – končí, když první kupující je ochoten zaplatit vyvolanou cenu DRAŽÍME 4. bod – vítěz zaplatí tuto nejvyšší nabídku – např. aukce květin v Nizozemí (cenu udávají hodiny), ryby v Izraeli, tabák v Kanadě Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
18
11.1 Typy aukcí • Předpokládejme dále aukce s jedním typem objektů • 3) Aukce první ceny: – uzavřená (obálková) aukce – účastník zašle svou nabídku bez znalosti nabídek ostatních DRAŽÍME 5. bod – vítězem je nejvyšší nabídka a účastník zaplatí tuto nejvyšší nabídku – např. státní zakázky, elektronické obchodování Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
19
11.1 Typy aukcí • Předpokládejme dále aukce s jedním typem objektů • 4) Aukce druhé ceny (Vickreyova aukce): – uzavřená (obálková) aukce – účastník zašle svou nabídku bez znalosti nabídek ostatních DRAŽÍME 6. bod – vítězem je nejvyšší nabídka a účastník zaplatí druhou nejvyšší nabídku – např. při obchodování B2B Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
20
11.2 Bayesovská hra • Na aukci lze pohlížet jako na Bayesovskou hru (vzpomeňte na příklad naštvané a nenaštvané manželky, která má jít na koncert s manželem) • Předpokládejme standardní aukci • Prodej jednoho předmětu • Jeden prodávající • Více kupujících – N Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
21
11.2 Bayesovská hra Hra je dána: • Množinou kupujících: 1, 2, … , 𝑁 – hráči
• Množinou nabídek: 𝐵1 , 𝐵2 , … , 𝐵𝑁 – prostory strategií jednotlivých hráčů – konkrétní nabídky = strategie 𝑏1 , 𝑏2 , … , 𝑏𝑁
Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
22
11.2 Bayesovská hra Hra je dána: • Množinou prostorů typů kupujících: 𝑉1 , 𝑉2 , … , 𝑉𝑁 – Pro každého kupujícího (hráče) i = 1, 2, …, N je 𝑉𝑖 = 0, 𝑣 – Hodnota 𝑣𝑖 ∈ 𝑉𝑖 odpovídá vybranému typu hráče i – Hráč i zná svůj typ, ale nezná typy ostatních hráčů Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
23
11.2 Bayesovská hra Hra je dána: • Množinou názorů kupujících: 𝐹1 , 𝐹2 , … , 𝐹𝑁 – Distribuční funkce 𝐹𝑖 = 𝐹(𝑥) je stejná pro všechny kupující (hráče) i = 1, 2, …, N – Pozn.: 𝐹 𝑥 = 𝑃(𝑣 ≤ 𝑥), kde v je náhodná proměnná – 𝐹(𝑥) reprezentuje názor i-tého hráče – 𝑓(𝑥) je hustota odpovídající distr. funkci 𝐹(𝑥) Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
24
11.2 Bayesovská hra Hra je dána: • Množinou výplatních funkcí: {𝑢1 𝑏1 , 𝑏2 , … , 𝑏𝑁 , 𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑁 , … , 𝑢𝑁 𝑏1 , 𝑏2 , … , 𝑏𝑁 , 𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑁 } – Výplatní funkce jsou definovány na kartézském součinu prostorů strategií a prostoru typů hráčů
Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
25
11.2 Bayesovská hra • Časté problémy (otázky): – Jaká je optimální nabídka kupujícího v aukci? • Kolik mám jako kupující nabídnout (zejména v uzavřené obálkové aukci)?
– Který typ aukce maximalizuje příjem prodávajícího? • Pokud jsem prodávající, jaký typ aukce mám uspořádat, aby byl můj příjem maximální?
• Začneme řešením prvního problému Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
26
11.2 Bayesovská hra • Popis problému: – – – –
aukce se soukromými hodnotami objektů kupující zná vlastní hodnocení objektu 𝑣𝑖 dává nabídku 𝑏𝑖 = 𝑏(𝑣𝑖 ) hodnocení ostatních kupujících je popsáno distribuční funkcí 𝐹(𝑥) na intervalu 0, 𝑣 – pro jednoduchost předpokládáme, že prodávající nepřijímá záporné nabídky (hodnota objektu je pro něj nulová) Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
27
11.2 Bayesovská hra • Provádíme analýzu z pohledu 1. kupujícího (hráče 1) • Tento hráč hodnotí objekt cenou 𝑣 = 𝑣1 a dává nabídku 𝑏1 • Hráč získá objekt, pokud je jeho nabídka větší než všechny ostatní nabídky (tedy i nejvyšší z ostatních nabídek) 𝑢1 = 𝑣 − 𝑏1 , jestliže 𝑏1 > max 𝑏2 , … , 𝑏𝑁 Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
28
11.2 Bayesovská hra • Hráč nezíská objekt, pokud je jeho nabídka nižší než nejvyšší z ostatních nabídek • V případě rovnosti nabídek předpokládejme, že ji hráč také nezíská 𝑢1 = 0, jestliže 𝑏1 ≤ max 𝑏2 , … , 𝑏𝑁 • Výplatní funkce 1. hráče má tedy tvar 𝑣 − 𝑏1 , jestliže 𝑏1 > max 𝑏2 , … , 𝑏𝑁 𝑢1 = 0, jestliže 𝑏1 ≤ max 𝑏2 , … , 𝑏𝑁 Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
29
11.2 Bayesovská hra • Očekávaný zisk 1. hráče při nabídce 𝑏1 lze vyjádřit jako součin – možné výhry a – pravděpodobnosti, se kterou tuto výhru získá (tedy pravděpodobností, že nabídka 𝑏1 bude nabídkou nejvyšší) 𝑧1 = (𝑣 − 𝑏1 ) ∙ 𝑝(𝑏1 > 𝑏2 , 𝑏1 > 𝑏3 , … , 𝑏1 > 𝑏𝑁 )
• Neboť 𝑏𝑖 = 𝑏 𝑣𝑖
𝑧1 = (𝑣 − 𝑏1 ) ∙ 𝑝(𝑏1 > 𝑏(𝑣2 ), … , 𝑏1 > 𝑏(𝑣𝑁 )) Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
30
11.2 Bayesovská hra • 𝑧1 = (𝑣 − 𝑏1 ) ∙ 𝑝(𝑏1 > 𝑏(𝑣2 ), … , 𝑏1 > 𝑏(𝑣𝑁 ))
• Hráč 1 tedy vybírá takové 𝑥 ∈ 0, 𝑣 , které maximalizuje očekávaný zisk: 𝑧 𝑥 = 𝑣−𝑏 𝑥
∙ 𝑝 𝑏 𝑥 > 𝑏(𝑣2 , … , 𝑏(𝑥) > 𝑏(𝑣𝑁 ))
Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
31
11.2 Bayesovská hra • Za předpokladů, že – b(x) je ryze rostoucí (tzn. s rostoucí soukromou hodnotou roste nabídka) – všichni kupující mají stejnou strategii v rovnováze
• lze očekávaný zisk z(x) přepsat 𝑧 𝑥 = 𝑣−𝑏 𝑥
∙ 𝑝 𝑏 𝑥 > 𝑏(𝑣2 , … , 𝑏(𝑥) > 𝑏(𝑣𝑁 ))
= 𝑣 − 𝑏(𝑥) ∙ 𝑝 𝑥 > 𝑣2 , … , 𝑥 > 𝑣𝑁 = (𝑣 − 𝑏(𝑥)) ∙ (1 − 𝐹 𝑥 )𝑁−1 Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
32
11.2 Bayesovská hra 𝑧 𝑥 = (𝑣 − 𝑏(𝑥)) ∙ (1 − 𝐹 𝑥 )𝑁−1
• maximální zisk zajistí podmínky prvního řádu a řešení diferenciální rovnice • po úpravě je velikost optimální nabídky 𝑏∗ 𝑣 =
𝑣−
0,
𝑣 0
𝐹 𝑥 𝐹 𝑣
𝑁−1 𝑁−1
ⅆ𝑥
, jestliže 0 < 𝑣 ≤ 𝑣
jestliže 𝑣 = 0
• pro konkrétní distribuční funkce lze uvedený výraz zjednodušit (viz cvičení) Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
33
11.2 Bayesovská hra • Zodpověděli jsme tedy první otázku: – Jaká je optimální nabídka kupujícího v aukci? • Kolik mám jako kupující nabídnout (zejména v uzavřené obálkové aukci)?
• Podívejme se nyní na otázku druhou: – Který typ aukce maximalizuje příjem prodávajícího? • Pokud jsem prodávající, jaký typ aukce (anglická, holandská, první ceny či druhé ceny) mám uspořádat, aby byl můj příjem maximální? Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
34
11.2 Bayesovská hra • Analyzujeme problém z pohledu prodávajícího • Ten předpokládá, že kupující (hráči) se drží svých optimálních nabídek (rovnovážných strategií) – vztah pro velikost optimální nabídky jsme odvodili v předchozí části – označme je 𝑏 ∗ 𝑣1 , 𝑏 ∗ 𝑣2 , … , 𝑏 ∗ 𝑣𝑁 Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
35
11.2 Bayesovská hra • Pro aukci první ceny – hodnota očekávaného příjmu je rovna očekávané hodnotě nejvyšší nabídky
𝑅 = 𝐸 max 𝑏 ∗ 𝑣1 , 𝑏 ∗ 𝑣2 , … , 𝑏 ∗ 𝑣𝑁 • Tuto hodnotu lze vyjádřit také 𝑣
𝑁 𝑏∗ 𝑣 𝐹 𝑣
𝑅=
𝑁−1 𝑓
𝑣 ⅆ𝑣
0
• V důsledku tedy očekávaný příjem roste s N Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
36
11.2 Bayesovská hra • Za jistých předpokladů, zejména: – hodnoty objektu kupujících jsou nezávislé – kupující jsou rizikově neutrální – kupující nemají rozpočtové omezení (jsou schopni zaplatit až do výše své hodnoty objektu) – hodnoty všech kupujících jsou rozděleny podle stejné distribuční funkce
• platí věta o ekvivalentnosti příjmů Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
37
11.2 Bayesovská hra • Věta o ekvivalentnosti příjmů Základní čtyři typy aukcí (anglická aukce, holandská aukce, aukce první ceny a aukce druhé ceny) se soukromými hodnotami poskytují stejný očekávaný příjem. • Při porušení předpokladů věta neplatí • Např. jsou-li kupující averzní vůči riziku, aukce první ceny poskytuje vyšší očekávaný příjem než aukce druhé ceny Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
38
KONEC Mgr. Jana Sekničková, Ph.D.
39
