Tabel Distribusi Frekuensi Tabel distribusi frekuensi adalah susunan data menurut kelas-kelas interval tertentu atau menurut kategori tertentu dalam sebuah daftar. Dari distribusi frekuensi, dapat diperoleh keterangan atau gambaran sederhana dan sistematis dari data yang diperoleh.
Komponen Tabel Distribusi Frekuensi 1. 2. 3. 4.
Kelas-kelas (class) Interval Kelas Batas kelas (class limits) Tepi kelas (class boundary/ real limits/ true class limits) 9-21 Titik tengah kelas atau tanda kelas (class mid point, class 22-34 marks) 35-47 5. Interval kelas (class interval) 48-60 6. Panjang interval kelas atau luas kelas (interval size) 61-73 7. Frekuensi kelas (class frecuency) 74-86 87-99
Frekuensi 3 4 4 8 12 23 6
Penyusunan Distribusi Frekuensi 1. Mengurutkan data dari yang terkecil ke yang terbesar. 2. Menentukan jangkauan (range) dari data. 3. Menentukan banyak kelas (k). 4. Menentukan panjang interval kelas. 5. Menentukan batas bawah kelas pertama 6. Menuliskan frekuensi kelas sesuai banyaknya data.
Sebagai catatan: tidak ada aturan baku menyusun tabel distribusi frekuensi
CARA MEMBUAT TABEL DISTRIBUSI FREKUENSI 1. Urutkan data 2. Tentukan Range atau jangkauan data (r) r = Nilai max – Nilai min 3. Tentukan banyak kelas (k) Rumus Sturgess (Metode Sturges): k = 1 + 3,3 log n 4. Tentukan panjang interval kelas (c) c = r/k 5. Tentukan limit bawah kelas pertama dan kemudian batas bawah kelasnya 6. Tambah batas bawah kelas pertama dengan lebar kelas untuk memperoleh batas atas kelas pertama dan tentukan limit atasnya 7. Tentukan limit bawah dan limit atas kelas-kelas selanjutnya 8. Tentukan nilai tengah masing-masing kelas 9. Tentukan frekuensi masing-masing kelas
CONTOH Data hasil ujian akhir Mata Kuliah Statistika dari 60 orang mahasiswa 23
60
79
32
57
74
52
70
82
36
80
77
81
95
41
65
92
85
55
76
52
10
64
75
78
25
80
98
81
67
41
71
83
54
64
72
88
62
74
43
60
78
89
76
84
48
84
90
15
79
34
67
17
82
69
74
63
80
85
61
Susunlah data di atas dalam bentuk tabel distribusi frekuensi
Solusi 1. Urutkan data 10 15 17 23 25 32 34 36 41 41
43 48 52 52 54 55 57 60 60 61
62 63 64 64 65 67 67 69 70 71
72
74 74 74 75
79 79
84 84
80 80 80
76 76
81 81
85 85 88 89 90
77 78 78
82 82 83
92 95 98
2. Hitung jangkauan Data terkecil = 10 dan data terbesar = 98 r = 98 – 10 = 88 Jadi jangkauannya adalah sebesar 88 3. Hitung banyaknya kelas Banyak kelas (k) = 1 + 3,3 log 60 = 6,8 Jadi banyak kelas adalah sebanyak 7 kelas
4. Hitung panjang interval Panjang interval (c) = 88 / 7 = 12,5 mendekati 13 5. Limit bawah kelas pertama adalah 10, dibuat beberapa alternatif limit bawah kelas yaitu 10, 9, dan 8. Maka batas bawah kelas-nya adalah 9,5 ; 8,5 ; dan 7,5 6. Batas atas kelas pertama adalah batas bawah kelas ditambah lebar kelas, yaitu sebesar - 9,5 + 13 = 22,5 - 8,5 + 13 = 21,5 - 7,5 + 13 = 20,5 sehingga limit atas kelas pertama adalah sebesar: - 22,5 - 0,5 = 22 - 21,5 - 0,5 = 21 - 20,5 – 0,5 = 20
7. Limit atas dan bawah kelas selanjutnya Alternatif 1
Alternatif 2
Alternatif 3
8-20 21-33 34-46 47-59 60-72 73-85 86-98
9-21 22-34 35-47 48-60 61-73 74-86 87-99
10-22 23-35 36-48 49-61 62-74 75-87 88-100
Misal dipilih Alternatif 2
8,5 21,5 15= 2
batas bawah kelas batas atas kelas 2
8. Nilai tengah kelas adalah 9. Frekuensi kelas pertama adalah 3
Distribusi Frekuensi Nilai Ujian Akhir Mata Kuliah Statistika Interval Kelas
Batas Kelas
Nilai Tengah
Frekuensi
9-21 22-34 35-47 48-60 61-73 74-86 87-99
8,5-21,5 21,5-34,5 34,5-47,5 47,5-60,5 60,5-73,5 73,5-86,5 86,5-99,5
15 28 41 54 67 80 93
3 4 4 8 12 23 6
Jumlah
60
STATISTIKA 1. Statistika deskriptif Merupakan cabang ilmu statistik yang berkaitan dengan penerapan metode‐metode statistik untuk mengumpulkan, mengolah, menyajikan, dan menganalisis data secara deskriptif sehingga memberikan informasi yang berguna. 2. Statistika inferensi Merupakan cabang ilmu statistik yang berkaitan dengan penerapan metode‐metode statistik untuk menaksir dan/atau menguji karakteristik populasi yang dihipotesiskan berdasarkan data sampel.
Sebuah ilustrasi…
Berikut adalah nilai ujian Mata Kuliah Statistika 30 mahasiswa di suatu kelas: Bagaimana penyebaran kemampuan mahasiswa?
Berapa orang yang perlu mengikuti STATISTIK DESKRIPTIF perbaikan?
Berapa rata-rata nilai ujian?
80
55
75
90
45
65
90
45
50
85
100
80
55
85
40
50
75
75
65
100
60
40
75
80
85
50
35
70
95
45
Apakah nilai kelas ini lebih baik jika dibandingkan tahun lalu?
STATISTIK
Apakah terdapat kenaikan ratarata nilai INFERENSI dibandingkan ujian sebelumnya?
Statistika deskriptif
A. UKURAN PEMUSATAN Nilai tunggal yang mewakili semua data atau kumpulan pengamatan dimana nilai tersebut menunjukkan pusat data. Yang termasuk ukuran pemusatan : 1. Mean 2. Median 3. Modus 4. Rata-rata ukur 5. Rata-rata harmonis
1. MEAN (rata-rata hitung) Rumus umum : Rata -rata hitung =
Jumlah semua nilai data Banyaknya nilai data
1. Untuk data tidak berkelompok n
X 1 X 2 ... X n X n
X i 1
i
n
2. Untuk data berkelompok (Tabel Distribusi) n
f1X1 f 2 X 2 ... f n X n X f1 f 2 ... f n
fX i 1 n
i
f i 1
i
i
1. MEAN (rata-rata hitung) 1. Data tidak berkelompok Contoh : Data nilai ujian statistika 30 mahasiswa 80 55 75 90 45 65 90 45 50 85 100
80
55
85
40
50
75
75
65
100
60
40
75
80
85
50
35
70
95
45
n
X 1 X 2 ... X n X n
X i 1
i
n
80 55 ... 45 ... X 30 ...
?
X
2040 68 30
1. MEAN (rata-rata hitung) 2. Data dalam Tabel Distribusi Frekuensi Interval Frekuensi Nilai Kelas
Tengah (X)
9-21 22-34 35-47 48-60 61-73 74-86 87-99
3 4 4 8 12 23 6 Σfi = 60
n
X
fX i 1 n
i
f i 1
fiXi
i
i
3955 65,92 60
15 28 41 54 67 80 93
45 112 164 432 804 1840 558 ΣfiXi = 3955
1. MEAN (rata-rata hitung) c = panjang interval Xo = rata-rata sementara (nilai tengah kode 0)
3. Dengan Metode Kode (U) Interval Kelas
Frekuensi
Nilai Tengah (X)
Ui
fiUi
9-21 22-34 35-47 48-60 61-73 74-86 87-99
3 4 4 8 12 23 6
15 28 41 54 67 80 93
-3 -2 -1 0 1 2 3
-9 -8 -4 0 12 46 18
Σfi = 60
n fi Ui X X 0 c i 1n fi i 1
ΣfiUi = 55
?
55 X 54 13 65,92 60
2. MEDIAN (nilai tengah) 1. Untuk data tidak berkelompok – –
Urutkan data dari yang terkecil hingga terbesar n 1 data keCari nilai tengah dataMedian : 2
Contoh:
80
55
75
90
45
65
90
45
50
85
100
80
55
85
40
50
75
75
65
100
60
40
75
80
85
50
35
70
95
45
40 60 80
40 65 85
45 65 85
45 70 85
45 75 90
50 75 90
50 75 95
50 75 100
55 80 100
n 1 30 1 15.5 2 2 35 55 70 75 Med 72.5 80 2
Data ke-
2. MEDIAN (nilai tengah) 2. Untuk data dalam Tabel Distribusi n F 2 Med L0 c f Keterangan notasi: Lo = Batas bawah kelas median F = Jumlah frekuensi semua kelas sebelum kelas yang mengandung median f = Frekuensi kelas median c = Panjang interval n = Jumlah data
2. MEDIAN (nilai tengah) Contoh : Interval Kelas
Frekuensi
9-21 22-34 35-47 48-60 61-73 74-86 87-99
3 4 4 8 12 23 6 Σf = 60
Letak median ada pada data ke 30, yaitu pada interval 61-73, sehingga : L0 = 60,5 c = 13 F = 19 f = 12 n = 60
n F 2 Med L0 c f 60 - 19
M ed 60,5 13 2 12
72,42
3. MODUS (nilai terbanyak) 1. Untuk data tidak berkelompok – Cari nilai dengan frekuensi terbanyak Contoh: 80
55
75
90
45
65
90
45
50
85
100
80
55
85
40
50
75
75
65
100
60
40
75
80
85
50
35
70
95
45
55 2
60 1
Nilai 35 Frek 1
40 2
Modus = 75
45 3
50 3
65 2
70 1
75 4
80 3
85 3
90 2
95 100 1 2
3. MODUS (nilai terbanyak) 2. Untuk data dalam Tabel Distribusi b1 Mod L0 c b b 1 2 L0 batas bawah kelas modus c
= panjang interval
b1 selisih antara frekuensi kelas modus dengan frekuensi tepat satu kelas sebelum kelas modus b 2 selisih antara frekuensi kelas modus dengan frekuensi tepat satu kelas sesudah kelas modus
3. MODUS (nilai terbanyak) Contoh : Interval Kelas
Frekuensi
9-21 22-34 35-47 48-60 61-73 74-86 87-99
3 4 4 8 12 23 6 Σf = 60
Data yang paling sering muncul adalah pada interval 74-86, sehingga : L0 = 73,5 b1 b1 = 23-12 = 11 Mod L0 c b b b2 = 23-6 =17 1 2 11 Mod 73,5 13 c = 13 78,61 11 17
HUBUNGAN EMPIRIS ANTARA NILAI RATA-RATA HITUNG, MEDIAN, DAN MODUS Ada 3 kemungkinan kesimetrian kurva distribusi data :
1) 2) 3)
Jika nilai ketiganya hampir sama maka kurva mendekati simetri. Jika modus < median < mean, maka kurva miring ke kanan. Jika mean < median < modus, maka kurva miring ke kiri. Curve A : Skewed Right
Curve B : Skewed Left
4. UKURAN LETAK (FRAKTIL) a. Kuartil b. Desil c. Persentil
a. KUARTIL Kuartil Kelompok data yang sudah diurutkan (membesar atau mengecil) dibagi empat bagian yang sama besar.
Ada 3 jenis yaitu: – kuartil pertama (Q1) atau kuartil bawah (25% data) – kuartil kedua (Q2) atau kuartil tengah (50% data) – kuartil ketiga (Q3) atau kuartil atas (75% data)
a. KUARTIL in 1 Qi nilai ke , i 1,2,3 berkelompok 4
• Untuk data tidak Contoh: 80 55 75
90
45
65
90
45
50
85
100
80
55
85
40
50
75
75
65
100
60
40
75
80
85
50
35
70
95
45
35
40
40
45
45
45
50
50
50
55
55
60
65
65
70
75
75
75
75
80
80
80
85
85
85
90
90
95
100
100
1 31 (30 1) 7.75 8 4 4 2 62 Q 2 nilai ke- (30 1) 15.5 4 4 3 93 Q3 nilai ke- (30 1) 23.25 23 4 4 Q1 nilai ke-
Q1 50 70 75 72.5 2 Q3 85 Q2
a. KUARTIL • Untuk data dalam Tabel Distribusi in F 4 Qi L 0 c , i 1,2,3 f L0 = batas bawah kelas kuartil F = jumlah frekuensi semua kelas sebelum kelas kuartil Qi f = frekuensi kelas kuartil Qi
a. KUARTIL Interval Kelas
Nilai Tengah (X)
Frekuensi
9-21 22-34 35-47 48-60 61-73 74-86 87-99
15 28 41 54 67 80 93
3 4 4 8 12 23 6 Σf = 60
in 4 - F Qi L 0 c , i 1,2,3 f
Q1 terletak pada data ke-15.5 (interval 48-60) Q2 terletak pada data ke-30.5 (interval 61-73) 1.60 - 11 Q ke-45.5 (74-86) 4 data 54 Q3 terletak 47,5 13pada 1
8 2.60 - 19 72,42 Q 2 60,5 13 4 12 3.60 - 31 81,41 Q3 73,5 13 4 23
b. DESIL Kelompok data yang sudah diurutkan (membesar atau mengecil) dibagi sepuluh bagian yang sama besar. • Untuk data intidak 1 berkelompok Di nilai ke -
10
, i 1,2,3,...,9
• Untuk data berkelompok in 10 - F Di L 0 c , i 1,2,3,...,9 f
Di
L0 = batas bawah kelas desil
F = jumlah frekuensi semua kelas sebelum kelas desil Di f = frekuensi kelas desil Di
b. DESIL Contoh : Interval Kelas
Nilai Tengah (X)
Frekuensi
D3 membagi data 30% D7 membagi data 70%
9-21 22-34 35-47 48-60 61-73 74-86 87-99
15 28 41 54 67 80 93
3 4 4 8 12 23 6
Sehingga : D3 berada pada 48-60 D7 berada pada 74-86
Σf = 60
3.60 11 10 58,875 D3 47,5 13 8
7.60 - 31 79,72 D 7 73,5 13 10 23
c. PERSENTIL Kelompok data yang sudah diurutkan (membesar atau mengecil) dibagi seratus bagian yang sama besar. • Untuk data tidak berkelompok in 1 Pi nilai ke , i 1,2,3,...,99 100
• Untuk data berkelompok in F 100 Pi L0 c , i 1,2,3,...,99 f
L0 = batas bawah kelas persentil Pi F = jumlah frekuensi semua kelas sebelum kelas persentil Pi f = frekuensi kelas persentil Pi
B. UKURAN PENYEBARAN Perhatikan daftar angka berikut ini: I. 50,50,50,50,50 II. 30,40,50,60,70 III.20,30,50,70,80 Ketiga kelompok data mempunyai rata-rata hitung yang sama, yaitu :
X 50
Bagaimana pendapatmu?
B. UKURAN PENYEBARAN Ukuran penyebaran suatu kelompok data terhadap pusat data. Jenisnya : 1. Jangkauan (Range) 2. Variansi (Variance) 3. Standar Deviasi (Standart Deviation)
1. JANGKAUAN • Menyatakan selisih antara nilai maksimum dan nilai minimum dalam data R = nilai
maksimum
– nilai
minimum
2. VARIANSI Rata-rata kuadrat selisih dari semua nilai data terhadap nilai rata-rata hitung.
X n
Data tidak berkelompok S: 2
i 1
-X
i
n-1
f X n
Data berkelompok :
S2
2
i 1
i
i
-X
n fi 1 i 1
Semakin besar variansi, maka sebaran data semakin luas
2
3. STANDAR DEVIASI • •
Akar pangkat dua dari Variansi. Disebut juga Simpangan Baku.
X n
Data tidak berkelompok : S
i 1
i
-X
2
n-1
f X n
Data berkelompok :
S=
i 1
i
i
-X
n fi 1 i 1
2
Menghitung variansi dan st.deviasi 80
55
75
90
45
65
90
45
50
85
100
80
55
85
40
50
75
75
65
100
60
40
75
80
85
50
35
70
95
45
X n
S2
i 1
i
-X
X 68
2
n-1 2 2 2 (80 68) (55 68) ... (45 68) S2 30 1 2 S S 10880 2 S 375,175 29 S 375,175 S 19.37
Menghitung variansi dan st.deviasi Interval Kelas
f
9-21 22-34 35-47 48-60 61-73 74-86 87-99
3 4 4 8 12 23 6 Σf = 60
f X n
S 2
i 1
i
i
-X
n fi 1 i 1
X
( X X )2
f ( X X )2
15 28 41 54 67 80 93
2592,85 1437,93 621 142,09 1,17 198,25 733,33
7778,55 5751,72 2484 1136,72 14,04 4559,75 4399,98
X 65.92
26124,76
2
26124,76 S 442,79 60 - 1 S 442,79 21,04 2
C. KEMIRINGAN/SKEWNESS Derajat atau ukuran dari ketidaksimetrian suatu distribusi data. Ada 3 rumus yang dapat digunakan untuk mengukur kemiringan distribusi data yaitu formula: 1. Pearson 2. Momen 3. Bowley
DISTRIBUSI SIMETRIS
Distribusi simetris, yang berarti luas kurva disebelah kiri nilai rata-rata sama dengan luas kurva disebelah kanan nilai rata-rata.
KEMENCENGAN/SKEWNESS
Curve A : Skewed Right
Curve B : Skewed Left
Distribusi menceng ke kanan (Curve A): Nilai-nilai observasi berfrekuensi rendah kebanyakan berada disebelah kanan dari nilai rata-rata (ekornya menjulur ke kanan). Distribusi menceng ke kiri (Curve B): Nilai-nilai observasi berfrekuensi rendah kebih banyak berada disebelah kiri dari nilai rata-rata (ekornya menjulur ke kiri)
1. RUMUS PEARSON
3 X - Median X - Modus atau S S derajat kemiringan Pearson
Bila : 1. 0, maka distribusi datanya simetri 2. 0, maka distribusi datanya miring ke kiri 3. 0, maka distribusi datanya miring ke kanan
2. RUMUS MOMEN
n
Data data tidak berkelompok 3
f X
n
Data berkelompok 3
i 1
i
n i 1
i
-X
i 1
Xi - X nS3
3
f S3
Jika 3 0, maka distribusi datanya simetri Jika 3 0, maka distribusi datanya miring kiri Jika 3 0, maka distribusi datanya miring kanan
3
3. RUMUS BOWLEY
Q3 Q1 - Q 2 Q3 - Q1 Jika 3 0, maka distribusi datanya simetri Jika 3 0, maka distribusi datanya miring kiri Jika 3 0, maka distribusi datanya miring kanan
D. KELANCIPAN/KURTOSIS Derajat atau ukuran tinggi rendahnya puncak suatu distribusi data terhadap distribusi normalnya data. Ada 3 jenis : 1. Leptokurtis, puncak relatif tinggi 2. Mesokurtis, puncaknya normal 3. Platikurtis, puncak rendah
D. KELANCIPAN/KURTOSIS X n
Data data tidak berkelompok 4
f X
i 1
n
Data berkelompok 4
4 3, Mesokurtis 4 3, Leptokurtis 4 3, Platikurtis
i 1
i
i
nS4
-X
i
-X
nS4
4
4
