SYNOPSIS STROMINGSLEER Voorjaar 2011 RU Nijmegen Willem van de Water
2
Inhoudsopgave 1
2
3
4
5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.1
Fenomenologische natuurkunde . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2
Dit drijft de stroming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.3
Het vectorveld u(x, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.4
Stroomlijnen en stroomfunctie . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.5
Vorticiteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.6
Quiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.1
Behoud van massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.2
Verandering van impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.3
De spanningstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.4
Verandering van impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.5
De vervorming van het stromingsveld . . . . . . . . . . . .
17
2.6
Vervorming geeft spanning . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.7
Navier-Stokes vergelijking . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.8
Quiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
3.1
Behoud van energie: Bernoulli’s vergelijking . . . . . . . . .
23
3.2
Behoud van impulsmoment: Kelvin’s theorema . . . . . . .
24
3.3
Quiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
4.1
Dimensieloze kentallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
4.2
Orden van grootte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
4.3
Dynamische gelijkvormigheid . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
4.4
Hoeveel dimensieloze parameters ? . . . . . . . . . . . . . .
31
4.5
Quiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
5.1
Laminaire stromingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
5.2
Wandwrijving . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
5.3
Cilinderco¨ordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
5.4
Randvoorwaarden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
5.5
Tijdsafhankelijke stromingen . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
5.6
De wet van Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
5.7 6
7
Quiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
6.1
De grenslaag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
6.2
Loslating . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
6.3
Integrale grootheden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
6.4
Von K´arm´an vergelijking: gemakkelijk . . . . . . . . . . . .
48
6.5
Von K´arm´an vergelijking: algemeen . . . . . . . . . . . . .
49
6.6
De grenslaag aan een vlakke wand . . . . . . . . . . . . . .
50
6.7
Benaderde oplossing von K´arm´an vergelijking . . . . . . . .
50
6.8
Quiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
7.1
Potentiaalstromingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
7.2
Bouwstenen voor de potentiaalstroming . . . . . . . . . . .
54
7.3
Spiegeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
7.4
De kracht in een potentiaalstroming . . . . . . . . . . . . .
57
7.5
Lift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
7.6
Complexe functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
7.7
De Kutta voorwaarde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
7.8
Meer complexe functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
7.9
Quiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
Antwoorden Quiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
Historie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
Formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
Kundu: Fluid Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
5
VOORWOORD
Dit is een samenvatting van het college stromingsleer zoals dat gegeven werd in 2006. Achtergronden en verdieping kunnen worden gevonden in het boek Fluid Mechanics door Kundu en Cohen, Ac. Press, 1990/2000/2001. Een overzicht van de hoofdstukken van dit boek die belangrijk zijn voor dit college is gegeven op blz. 77. Deze samenvatting kan niet wedijveren met dat boek. Bij het college hoort het Oefenboek Stromingsleer, een verzameling opgaven en uitwerkingen die oefening en verdieping biedt.
6
7
COLLEGE 1 1.1
Fenomenologische natuurkunde
Stromingsleer is fenomenologische natuurkunde, waarin we eenvoudige relaties tussen oorzaak en gevolg geven, en we ons niet bekommeren over de moleculaire basis daarvan. In de stromingsleer is dat de relatie tussen spanning τ (kracht per eenheid van oppervlakte) en vervorming van het snelheidsveld. F y u(y) x
Die relatie luidt voor ´e´en component van het snelheidsveld die slechts in ´e´en richting varieert τ=
F du =µ A dy
(1.1)
De berekening van de evenredigheidsconstante µ (de viscositeit) vereist dat we afdalen naar de moleculaire wereld, en dat doen we niet hier maar in de statistische natuurkunde. In dit college nemen we Vgl. 1.1 voor lief, maar leren haar w´el te formuleren voor een vectorveld.
1.2
Dit drijft de stroming
Het snelheidsveld u(x, t) wordt voortgedreven door de randen en door de druk p(x, t). Voor de randen geldt altijd de “no-slip randvoorwaarde”: de snelheid van de stroming aan de rand is dezelfde als die van de rand. Alleen in het extreme geval dat de afmeting van de stroming van de orde van de gemiddelde vrije weglengte voor botsingen tussen de moleculen wordt, komt deze randvoorwaarde ter discussie. De druk is een scalar grootheid: hij hangt niet van de richting af. Om precies te zijn: als we de kracht per eenheid van oppervlakte die gericht is langs de normaal “druk” p noemen, dan is p een scalar. p1 ds
y
ds p3 dy dy
q dx p2 dx
x
8
Er is evenwicht van de verticale krachten op de driehoek −p1 ds cos(θ) + p2 dx − 21 ρg dx dy = 0, of − p1 dx + p2 dx − 12 ρg dx dy = 0. Als de afmeting van het driehoekje naar nul gaat (dy → 0) volgt p1 = p2 , en net zo voor de horizontale component p1 = p2 = p3 ; hetgeen bewijst dat de druk niet afhangt van de richting van het vlak waarop hij werkt. Er werken natuurlijk ook krachten op een oppervlak die niet langs de normaal gericht zijn, die bespreken we in paragraaf 2.3, op blz. 15. In de stromingsleer is (meestal) de werking van de zwaartekracht te verrekenen met de statische druk ∂p = −ρg. ∂y
(1.2)
We zullen zien dat de druk meestal de rol van potenti¨ele energie vervult. In het statische geval zegt Vgl. 1.2 dan ook p + ρgy = C.
1.3
Het vectorveld u(x, t)
Om de veranderingen van het vectorveld te beschrijven maken we een afspraak over het gebruik van herhaalde indices. Zo schrijven we bijvoorbeeld de divergentie als 3
∇·u=
∂ui ∂u1 ∂u2 ∂u3 X ∂ui + + = ≡ , ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂x ∂x i i i=1
(1.3)
Waar x1 , x2 , x3 hetzelfde als x, y, z zijn, u1 de x−component van de snelheid is (soms u genoemd), u2 de y− component (v) en u3 de z− component (w). Dus: herhaalde indices is sommeren. x(t)
De baan van een deeltje in het stromingsveld dat volledig meegesleept wordt door het snelheidsveld (bijv een stukje van de stromende vloeistof of gas) wordt bepaald door dxi dx = u(x, t), of components-gewijs = ui (x, t). dt dt
(1.4)
Het fundamentele probleem van de stromingsleer is dat de stroming zijn eigen veranderingen meevoert. Neem de verandering van een scalar grootheid F (bijvoorbeeld de temperatuur van de stroming). De verandering van F wordt voortgebracht door de verandering van de tijd, maar ook door de verandering van de plaats (die immers met
9
(a)
(b) u'(x,t)
u'(x,t) u(x-Ut,t)
U
Figuur 1.1: Stroomlijnen van een varend schip volgens (a) de kapitein: de deeltjesbanen zijn stroomlijnen, en (b) de stuurman op de wal: omdat de stroming nu tijdsafhankelijk is, vallen stroomlijnen en deeltjesbanen niet meer samen. Een deeltjesbaan is gestippeld getekend. Voor de twee snelheidsvelden bij (a) en (b) geldt de relatie u′ (x, t) + U = u(x − U t).
de stroming meereist). ∂F ∂F dt + dxi , dus ∂t ∂xi ∂F ∂F dxi ∂F ∂F = + = + ui ∂t ∂xi dt ∂t ∂xi ∂F + (u · ∇) F. = ∂t
dF = dF dt
(1.5)
Omdat dF/dt de verandering in een met de vloeistof meebewegend coordinatensysteem is, wordt ze de materi¨ele afgeleide genoemd (voortaan geschreven als DF/Dt).
1.4
Stroomlijnen en stroomfunctie
Stroomlijnen zijn lijnen waaraan elke raakvector de locale snelheid weergeeft, dus de vergelijking van de stroomlijnen is dy dz dx = = u v w y
u(x,t)
x
Alleen in een tijdsonafhankelijke stroming vallen de stroomlijnen samen met de deeltjesbanen. Dit is niet zo (in het algemeen) voor een tijdsafhankelijke stroming, zoals ge¨ıllustreerd wordt in figuur 1.1b. Samenvattend kunnen we schrijven dat voor een twee-dimensionaal stromingsveld
10
u(x, y, t), v(x, y, t) de vergelijking van de stroomlijnen is v(x, y, t) dy = , dx u(x, y, t) terwijl de deeltjesbanen gegeven worden door dx dy = u(x, y, t), = v(x, y, t). dt dt In twee dimensies kunnen we een stroomfunctie Ψ(x, y) definieren volgens u=
∂Ψ ∂Ψ ,v = − ∂y ∂x
(1.6)
De stroomfunctie heeft de stroomlijnen als hoogtelijnen, zie maar dΨ =
∂Ψ ∂Ψ dx + dy = −vdx + udy = 0, ∂x ∂y
omdat langs een stroomlijn geldt u dy = v dx. Als we een stroomfunctie kunnen vinden, is het snelheidsveld automatisch divergentievrij ∇ · u = 0. (We zullen zo zien dat onsamendrukbare stromingen altijd divergentievrij zijn). Het verschil van de waarde van de stroomfunctie op twee stroomlijnen is gelijk aan de volumestroom QV tussen die twee stroomlijnen. B
dQV u dy
L A
-v dx
Figuur 1.2: Om de volumestroom door de lijn L uit te rekenen, splitsen we de lijn op in kleine segmentjes waarin we behoud van massa gebruiken.
QV =
Z
B
A
u dy − v dx =
Z
B
A
∂Ψ ∂Ψ dy + dx = ∂y ∂x
Z
B
A
dΨ = ΨB − ΨA .
Hieraan zien we dat de snelheid toeneemt als de stroomlijnen naar elkaar toe buigen, en vice-versa. De absolute waarde van de stroomfunctie op een stroomlijn is niet relevant, alleen de verschillen doen er toe. Het snelheidsveld blijft onveranderd als we bij de stroomfunctie een constante optellen. Tenslotte, in het snijpunt van twee stroomlijnen is de richting van de raakvector ambigu, en moet de snelheid dus nul zijn. 1.5
Vorticiteit
De vorticiteit van het stromingsveld is gedefinieerd als ω = ∇ × u. Voor een tweedimensionaal vectorveld in Carthesische co¨ordinaten is er alleen een z− component
11
van de vorticiteit ωz = ∂v/∂x − ∂u/∂y. 1 . In twee dimensies in poolco¨ordinaten (snelheidscomponenten ur , uθ ) is 1 ∂ 1 ∂ur (ruθ ) − (1.7) r ∂r r ∂θ Terwijl de divergentie figureert in de stelling van Gauss, speelt de vorticiteit een rol in de stelling van Stokes I Z u · ds = ω · n dA (1.8) ωz =
C
A
waarbij de gesloten kromme C de rand is van oppervlak A. De grootheid wordt de circulatie Γ genoemd. (a)
W
H
C
u · ds
(b)
Figuur 1.3: Roterende stromingen. (a) Een draaiende emmer water, waarvoor ω = 2 Ω. (b) De badkamer vortex waarvoor ω = 0.
Voor vloeistof in een uniforme rotatie, uθ = Ωr, ur = 0 geeft Vgl. 1.7 ω = 2Ω. Voor de badkamer vortex uθ = Γ/(2πr) is ω = 0, behalve in r = 0. En dat laatste moet wel zo zijn omdat de circulatie volgens Vgl. 1.8 Γ is. De badkamervortex lijkt paradoxaal: hij bezit geen vorticiteit, behalve in het singuliere punt midden in het afvoerputje. U kunt gemakkelijk nagaan dat in deze vortex vloeistofpakketjes niet roteren. Tweedimensionale vectorvelden waarvoor ∇ × u = 0 kunnen beschreven worden door een snelheidspotentiaal Φ, u = ∇Φ. De functies Ψ en Φ beschrijven tezamen onsamendrukbare rotatievrije stromingen in twee dimensies. We zullen ze later tegenkomen als imaginair en re¨eel deel van een complexe functie. Het zal daar blijken dat er een ´e´en op ´e´en relatie is tussen (analytische) complexe functies en stromingen in twee dimensies. 1
Vorticiteit kunnen we op een handige manier schrijven met behulp van de Levi-Civita tensor ǫijk , die gedefinieerd is als 1 voor ijk = 123, 312, 231 (even permutaties van 123) −1 voor ijk = 213, 132, 321 (oneven permutaties van 123) ǫijk = 0 als twee indices hetzelfde zijn Dan is
ωi = ǫijk
∂uk ∂uj ∂u2 ∂u1 ∂u2 ∂u1 , bijvoorbeeld ω3 = ǫ3ij = ǫ312 − ǫ321 = − ∂xj ∂xi ∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂x2
Voor het ǫijk symbool geldt nog de volgende regel ǫijk ǫklm = δil δjm − δim δjl . Daarmee kunnen alle vectoridentiteiten van het formuleblad (blz. 76) afgeleid worden.
12
1.6
Quiz
1. Is het onderstaande plaatje met stroomlijnen realistisch ? Wat kunt U zeggen over de grootte van de snelheid in punt A ? A
2. Getekend zijn de stroomlijnen in een tijdsonafhankelijke wrijvingsloze stroming. Is het waar dat de snelheid in punt A groter is dan die in punt B ? A B
3. Wordt de hieronder getekende stroming beschreven door de stroomfunctie Ψ(x, y) = xy ? Is de getekende stroming incompressibel ? y
x
4. Is de snelheidspotentiaal van de boven getekende stroming φ(x, y) = (x2 −y 2 )/2 ? Is die stroming rotatievrij ? 5. Volgen in het snelheidsveld u(x, y, t) = (x cos t, −y sin t) de vloeistofdeeltjes de stroomlijnen ? 6. Gegeven is het snelheidsveld u(x, t) u(x, y) = −ax + by 2 , v(x, y) = ay. Wat is de divergentie, wat is de rotatie, en wat is de circulatie over het vierkant x ∈ [0, H], y ∈ [0, H]. Controleer Uw antwoord met de stelling van Stokes. 7. Wat is de versnelling die een deeltje ondervindt in de stroming met snelheidsveld u = (u, v) = (αx + βy), met α en β constanten.
13
COLLEGE 2 2.1
Behoud van massa
Beschouw een vast (maar willekeurig) volume V met daarin een vloeistof of gas met soortelijke massa ρ. De totale massa in het volume verandert doordat er een stroming (met u(x, t)) door de rand A naar binnen of naar buiten is. u(x,t) A
n V
∂ ∂t
ZZZ
ρ dV +
V
ZZ
A
ρ u · n dA = 0,
(2.1)
het volume V is vast, en voor de integratie over het oppervlak gebruiken we de stelling van Gauss, ZZ ZZZ ρ u · n dA = ∇ · (ρ u) dV, A
V
zodat ZZZ ½ V
∂ρ + ∇ · (ρu) ∂t
¾
dV = 0, of
∂ρ + ∇ · (ρu) = 0, ∂t
omdat het volume V willekeurig was. Als we gebruik maken van de materi¨ele afgeleide Vgl. 1.5 op blz. 9 kunnen we dit schrijven in termen van de totale verandering van de dichtheid ρ, Dρ +∇·u=0 Dt
(2.2)
Als ρ constant is, wordt vergelijking 2.2: ∇ · u = 0. Voor bijna alle stromingen mogen we ρ constant veronderstellen. Dit gaat pas fout als de snelheid u die van het geluid nadert, immers, een ongelijkheid in dichtheden in verschillende punten van het stromingsveld wordt gladgesmeerd met de geluidssnelheid.
2.2
Verandering van impuls
De verandering van impuls in een vast testvolume is gelijk aan de kracht op de vloeistof in dat testvolume. Die kracht kan uitgeoefend worden op alle moleculen in het volume, maar kan ook uitgeoefend worden op de rand A van het testvolume. Een voorbeeld van een volumekracht is de zwaartekracht, een voorbeeld van een oppervlaktekracht is de druk of de schuifspanning.
14
Voor de i−de component ρui van de impuls volgt op dezelfde manier als bij Vgl. 2.1 ZZZ ZZ ∂ ρui dV + ρui u · n dA = Fi , (2.3) ∂t V A waar F de kracht is die op de vloeistof in het volume V wordt uitgeoefend. Vergelijking 2.3 is niets anders dan Newton’s wet voor de verandering van de impuls p˙ imp , p˙ imp = F ; de conceptuele moeilijkheid is echter de verandering van impuls RR ρui u · n dA doordat het medium door de randen van het testvolume stroomt. A Deze term is kwadratisch in het snelheidsveld. Als voorbeeld berekenen we de kracht die een stationair (∂/∂t = 0) stromende rivier op de brugpijler uitoefent uit de vervorming van het snelheidsveld. Daartoe beschouwen we het in figuur 2.1 getekende controle volume. y=+b
n
u(y)
3
U
2
1
y
n x
3 y=-b
Figuur 2.1: De kracht op een pijler in de rivier kan berekend worden uit de vervorming van het vectorveld. Daarbij veronderstellen we dat de stroomlijnen alle (nagenoeg) horizontaal zijn, en dat de impuls die door de vlakken (3) uit het controlevolume stroomt, ρ U ex is.
V´o´or de pijler is het snelheidsveld uniform met snelheid U . Door de vervorming van het snelheidsveld verdwijnt er een massaflux Qm door de zijvlakken bij (3). Die massaflux volgt uit massabehoud Z +b Z +b Z +b − ρ U dy + Qm + ρ u(y) dy = 0, dus Qm = ρ (U − u(y)) dy (2.4) −b
−b
−b
De kracht die de pijler op de stroming in het controlevolume uitoefent volgt uit de x-component van de impulsbalans Z +b Z +b 2 ρ u2 (y) dy + Qm U = F, ρ U dy + − −b
−b
waar we hebben verondersteld dat de snelheid door de zijvlakken horizontaal gericht is en gelijk is aan U , en dus dat de impuls die door de massastroom Qm wordt meegenomen Qm U is. Gebruikmakend van Vgl. 2.4 volgt Z +b u(y)[U − u(y)] dy, F = −ρ −b
aangezien u(y) ≤ U , is F < 0, zoals het hoort.
15
t22 t21 t12 t11
t11 t12 t21 t22
Figuur 2.2: De werking van de spanningstensor op een oneindig klein kubusje.
2.3
De spanningstensor
Stromingsleer gaat over een vectorveld, waarvan de veranderingen m´e´er dan een vector zijn: tensoren. Voor ons is het voldoende om een tensor te zien als een grootheid met 2 indices (die in elk daarvan onder rotaties transformeert als een vector). Zo is τij de kracht per eenheid van oppervlakte werkend in de j−richting op het vlak waarvan de normaal in de i−richting staat. Uit de spanningstensor kunnen we de kracht op een willekeurig georienteerd oppervlak uitrekenen. We bekijken daartoe het krachtenevenwicht op de driehoek in figuur 2.3. Op de rechte zijden werken de componenten van de spanningstensor volgens de definitie. Op de schuine zijde met normaal n werkt de kracht F . n
q1 t11
dx2
t12
F ds dx1
t21 t22 Figuur 2.3: De spanningstensor werkend op het vlak met normaal n geeft een kracht F .
De x−component F1 van F moet hetzelfde zijn als de resulterende kracht van de spaningstensor F1 = τ11 dx2 + τ21 dx1 . Per eenheid van oppervlakte is f1 ≡ F1 /ds dx1 dx2 + τ21 ds ds = τ11 cos(θ1 ) + τ21 sin(θ1 ) = τ11 n1 + τ21 n2 = τi1 ni
f1 = τ11
(2.5)
16
t21(x, y+dy/2) (x,y)
t12(x+dx/2, y)
t12(x-dx/2, y) t21(x, y-dy/2) Figuur 2.4: De werking van de spanningstensor op een eindig groot vierkant met het punt (x, y) als centrum levert een resulterend draaimoment op tenzij τ12 = τ21 .
Dat geldt evenzo voor de andere componenten, fj = τij ni , of f = τ · n.
(2.6)
Let wel dat τij ni niet het inproduct van Vgl. 2.6 is, maar τji ni ; we zullen echter z´o laten zien dat τ symmetrisch is in zijn indices, zodat Vgl. 2.6 toch correct is. Als de spanning slechts bestaat uit de druk, heeft τ alleen diagonale componenten. τij = −δij p,
(2.7)
in termen van de Kronecker δ, δij = 1 als i = j en anders 0. De spanningstensor is symmetrisch in zijn indices τij = τji . Dit bewijzen we in twee dimensies. Bekijk daartoe de werking van de schuifkrachten (de niet-diagonale componenten van τ ) op een vierkant met afmetingen dx = dy. De resultante van de τ12 en τ21 is een draaimoment T dat leidt tot een hoekversnelling dω/dt = T /I, met I de massatraagheid van het vierkantje, I ∼ dx3 . Het draaimoment berekenen we als T = [τ12 (x + dx/2, y) + τ12 (x − dx/2, y)] dy dx/2 − [τ21 (x, y + dy/2) + τ21 (x, y − dy/2)] dx dy/2 = [τ21 (x, y) − τ12 (x, y)] dx dy + O(dx3 dy) + O(dx dy 3 ),
(2.8)
waar de laatste twee termen afkomstig zijn van de Taylorontwikkeling van τ12 en τ21 . Voor het vierkantje (dx = dy), is de hoekversnelling dus dω T 1 = = (τ12 − τ21 ) + O(dx, dy) dt I dx Dit gaat mis als dx → 0, tenzij τ12 = τ21 . Het bewijs in drie dimensies gaat net zo. Dus τij = τji , en we hoeven ons dus geen zorgen meer te maken over de volgorde van τ ’s indices. 2.4
Verandering van impuls
Een gedeelte van de kracht Fi in Vgl. 2.3 is de spanning die werkt op het oppervlak A van het testvolume, met Vgl. 2.6 volgt dan ZZ Fi = (τ · n)i dA + . . . A
17
Een ander stuk van de kracht (de . . .) is bijvoorbeeld de zwaartekracht ρ gi die alle moleculen in het testvolume naar beneden trekt, dus ZZ ZZZ Fi = (τ · n)i dA + ρgi dV. (2.9) A
V
Stel dat de spanning τ alleen de druk bevat, dan wordt de integrale vergelijking voor impuls ZZZ ZZ ZZ ZZZ d ρ ui dV + ρ ui (u · n) dA = − p ni dA + ρ gi dV. (2.10) dt V A A V
De integrale formulering van de stromingsleer, Vgl. 2.1, en Vgl. 2.10 (maar nog zonder wrijving) is een mooi instrument om globale eigenschappen van een stroming uit te rekenen. We zijn immers blind voor de details van het stromingsveld waarover we integreren. Voor de precieze vorm van het snelheidsveld hebben we de vergelijkingen in differentiaalvorm nodig. 2.5
De vervorming van het stromingsveld
Om de volgende stap te maken, relateren we nu de spanning τ aan de vervorming van het snelheidsveld. Voor het gemak bekijken we de vervorming weer in twee dimensies. In Fig. 2.5 zijn de drie elementaire vervormingen van een vierkantje geschetst. U kunt z´elf gemakkelijk de uitbreiding naar drie dimensies doen. (a) afschuiving
dilatatie
rotatie
(b) u1
u1+
dx1
¶u1 dx ¶x1 1
dx1+dx1 ¶u1 dt ¶x1
Figuur 2.5: (a) Van de drie denkbare vervormingen van het vectorveld brengen alleen de dilatatie en de afschuiving spanningen met zich mee. (b) De verandering van de snelheid met de plaats veroorzaakt een relatieve lengteverandering (∂u1 /∂x1 ) dt van lijnstukjes. Dit is de bron van alle vervormingen. In een uniform snelheidsveld is er slechts een translatie van vloeistofelementen.
Dilatatie. De relatieve verandering van het oppervlak is 1 d d 1 1 d 1 d (δV ) = (δx1 δx2 ) = (δx1 ) + (δx2 ) δV dt δx1 δx2 dt δx1 dt δx2 dt ∂u1 ∂u2 = + =∇·u ∂x1 ∂x2
18
Afschuiving. Deze vervorming beschrijven we met de verandering van de hoeken van het vierkantje ¶u1 dx dt ¶x2 2
dx2
da1 d a2
¶u2 dx dt ¶x1 1
d x1
dα1 dα2 + = dt dt
µ
∂u1 ∂u2 + ∂x2 ∂x1
¶
We veronderstellen vervolgens dat alleen de dilatatie en de afschuiving spanningen veroorzaken. De rotatie doet dat niet, immers een vloeistof in een uniforme rotatie heeft geen spanningen. Beide oorzaken van spanningen kunnen we samenvatten in de vervormingstensor e met elementen µ ¶ ∂ui ∂uj 1 , met de dilatatie het spoor eii = ∇ · u (2.11) eij = 2 + ∂xj ∂xi Met de tensor e hebben we de voor ons relevante vervorming van het vectorveld u vastgelegd. 2.6
Vervorming geeft spanning
Het diagonale stuk van de spanningstensor is de alzijdig werkende hydrostatische druk. Die wordt niet bepaald door de vervorming van het snelheidsveld. Daarom splitsen we de druk af door te schrijven τij = −p δij + σij .
(2.12)
Het stuk σ van de spanning is het gevolg van de vervorming. We maken de plausibele veronderstelling van de fenomenologische fysica dat het gevolg (de spanning σ) lineair evenredig is met de oorzaak (de vervorming e). σij = Kijmn emn
(2.13)
De evenredigheidsfactor K is een tensor met 81 elementen, echter in een isotroop medium kunnen we K schrijven als Kijmn = λδij δmn + µδim δjn + γδin δjm , die nog maar van drie parameters afhangt. Dit is een algemene eigenschap van tensoren die bewezen wordt in elke inleiding in de tensorrekening. 2 2
We geven een eenvoudig argument voor deze omstandigheid. In de eerste plaats is K een evenredigheidsfactor die niet van de vectoren x of u afhangt. Vervolgens beseffen we dat we K gebruiken
19
Omdat τij symmetrisch is in i, j, is K dat ook, waaruit volgt dat µ = γ. Dus σij = 2µeij + λemm δij
(2.14)
Uit Vgl. 2.12, 2.14 volgt dat τ best ongelijke diagonale componenten mag hebben tengevolge van de vervorming van de vloeistof, echter, we eisen dat het gemiddelde van de diagonale componenten gelijk is aan de druk. τii = −3p + (3λ + 2µ)ejj , waar τii , en ejj de som van de diagonaalelementen is (δii = 3). Dus 3λ + 2µ = 0, waarmee er nog maar ´e´en parameter over is in de lineaire relatie tussen oorzaak en gevolg: de viscositeit µ. Resumerend ¡ ¢ τij = − p + 23 µ∇ · u δij + 2µeij (2.15) De veronderstelling Vgl. 2.13 is correct voor gassen en veel vloeistoffen; die vloeistoffen heten “Newtonse” vloeistoffen. Karakteristiek is dat het medium geen geheugen heeft voor de vervorming (en dus niet elastisch is). Sommige vloeistoffen (oplossingen van polymeren bijvoorbeeld) voldoen hier niet aan.
Tenslotte, onze keuze λ = −2µ/3, werd ingegeven door de wens om maar ´e´en druk te hebben, die dan via de toestandsvergelijking van het gas of de vloeistof gekoppeld is aan de temperatuur. Dus, onze keuze impliceert dat er maar ´e´en temperatuur is: alle vrijheidsgraden van het gas zijn in perfect thermodynamisch evenwicht. Dat is niet altijd het geval, met name als de moleculen van het gas roteren of vibreren, en als het heel veel botsingen kost om die interne energie in evenwicht te brengen met de translatie energie. In dat geval kunnen we λ niet meer uitdrukken in µ, en verschijnt er een tweede viscositeit: de bulkviscositeit. We herinneren ons nu de impulsbalans Vgl. 2.10, ZZZ ZZ ZZ ZZZ ∂ ρ ui dV + ρ ui u · n dA = (τ · n)i dA + ρ gi dV ∂t V A A V Beide oppervlakteintegralen schrijven we met de stelling van Gauss, en aangezien het volume V vast is, volgt ∂ ∂ ∂ ∂ (ρui )+∇·(ρui u) = ∇·(τ )i +ρgi , of (ρui )+ (ρui uj ) = τij +ρgi (2.16) ∂t ∂t ∂xj ∂xj Voor de divergentie van de spanningstensor in het rechterlid volgt met Vgl. 2.15 gemakkelijk ∇ · τ = −∇p + µ∇2 u + 13 µ∇(∇ · u),
(2.17)
om practische scalar-grootheden uit te rekenen, zoals de component van de kracht f in de richting q die werkt op een vlak met normaal n: µ ¶ ∂um ∂un f · q = qi nj σij = qi nj Kijmn 12 + ∂xn ∂xm In een isotroop medium is dit resultaat invariant onder rotaties en spiegelingen. Maar dat kan alleen als de rechterkant slechts inproducten van de vectoren q, n, u en x bevat. Daar wordt precies voor gezorgd door de Kronecker delta’s.
20
terwijl we het linkerlid kunnen herschrijven tot ρ
∂u + ρ(u · ∇)u, ∂t
waarbij we gebruik gemaakt hebben van massabalans Vgl. 2.2 op blz. 13 ∂ρ + (u · ∇)ρ = 0. ∂t 2.7
Navier-Stokes vergelijking
Het resultaat is de Navier-Stokes vergelijking (voor een Newtons medium). ρ
∂u + ρ(u · ∇)u = −∇p + µ∇2 u + 13 µ∇(∇ · u) + ρ g ∂t
(2.18)
Voor een onsamendrukbare stroming wordt de vergelijking voor massabalans ∇·u = 0, terwijl de op ´e´en na laatste term van het rechterlid van Vgl. 2.18 verdwijnt. Voor andere media, met een andere relatie tussen spanning en vervorming, wordt Vgl. 2.18 natuurlijk een andere vergelijking. Het linkerlid van Vgl. 2.18 kunnen we met behulp van de materi¨ele afgeleide schrijven als ρ Du/Dt. Deze traagheidskracht bestaat uit twee delen, een deel dat de instationaire versnelling ∂u/∂t bevat en een deel dat de convectieve versnelling (u · ∇)u bevat.
2.8
Quiz
1. Is in een twee–dimensionaal kanaal dat zich vernauwt, z´o dat de doorsnede d(x) = A/x, de versnelling van de stroming evenredig met x ? 2. Lucht stroomt stationair door een ronde buis waarvan de diameter verloopt als d(x) = d0 + Ax. Is de vertraging van de stroming dan evenredig met (d(x))−5 ? 3. Laat zien dat voor een tijdsonafhankelijke horizontale (v = 0) onsamendrukbare stroming in het x, y vlak, waarvan de snelheid niet van x afhangt, u(x, y) → u(y), de Navier-Stokes vergelijking wordt −
1 dp d2 u +ν 2 =0 ρ dx dy
4. Een bizarre vloeistof heeft de volgende relatie tussen spanning en vervorming µ ¶3 du . τxy = µ ˜ dy Wat wordt, onder dezelfde voorwaarden als bij vraag 3, nu de Navier-Stokes vergelijking ?
21
5. Een stationaire stroming gaat door een contractie. Bereken de snelheid en de versnelling van de stroming aan het einde van de contractie. U1 = 12 m/s
U2 = 36 m/s
5 cm
5 cm
22
23
COLLEGE 3 3.1
Behoud van energie: Bernoulli’s vergelijking
Als de viscositeit µ = 0, is er geen viskeuze wrijving en wordt de Navier-Stokes vergelijking de Euler vergelijking. ∂ui ∂ 1 ∂p ∂ + uj ui = − − (g z), ∂t ∂xj ρ ∂xi ∂xi
(3.1)
waar we de zwaartekracht die werkt op alle moleculen van de stroming (het is een volumekracht) geschreven hebben als gradi¨ent van een potentiaal. Als een stationair (∂/∂t = 0) snelheidsveld slechts ´e´en component i heeft die alleen maar in de i-richting verandert, dan kunnen we het linkerlid van Vgl. 3.1 schrijven als 12 dxd i (u2i ), en komt de Euler vergelijking helemaal in gradi¨ent vorm µ ¶ p d 1 2 u + + gz = 0, (3.2) dxi 2 i ρ de vergelijking van Bernoulli. In het algemene geval maken we gebruik van de vectoridentiteit 3 (u·∇)u = ∇( 21 u2 )−u×(∇×u), of uj
∂ ∂ 1 ui = ( uj uj )−(u×(∇×u))i . (3.3) ∂xj ∂xi 2
Voor rotatievrije snelheidsvelden ∇ × u = 0 vinden we de opnieuw de vergelijking van Bernoulli p 1 u u + + gz = C (3.4) 2 j j ρ Als het snelheidsveld niet rotatievrij is, nemen we van de vectorvergelijking ¶ µ d p 1 uj uj + + gz + (u × (∇ × u))i dxi 2 ρ het inproduct met u, (vermenigvuldigen met ui en sommeren over i), dan is u·(u×(∇×u)) = 0, terwijl ui d/dxi precies de gradi¨ent in de richting van de stroomlijn is. Dus Bernoulli geldt overal in een wrijvingsloze, rotatievrije stroming. Maar als ∇×u 6= 0 geldt ze slechts langs een stroomlijn. Tot nu toe namen we aan dat het snelheidsveld onsamendrukbaar is. De vergelijking van Bernoulli geld echter ook als de dichtheid ρ uitsluitend een functie van de druk is, ρ = ρ(p). Dat is het geval bij een ideaal gas bij constante temperatuur of constante entropie. Dan kunnen we 1 ∂p ρ ∂xi 3
Deze en nog veel meer vectorformules zijn te vinden in de formuleverzameling op blz. 73. Deze verzameling is ook beschikbaar op het tentamen.
24
p1
u1 = 0
p2
p1 p2 u2
Figuur 3.1: De Pitot buis is een handig instrument om de snelheid te meten. In de buurt van de punten 1 en 2 is de stroming rotatievrij. Voor de punten 1 en 2 geldt de vergelijking van Bernoulli: 12 u21 + p1 /ρ = 21 u21 + p1 /ρ. Aangezien de stroming stagneert bij punt 1 is u1 = 0, en volgt u2 uit het gemeten drukverschil u22 = 2(p1 − p2 )/ρ.
schrijven als de gradi¨ent Z x ∂ 1 ∂ ∂F ∂p 1 ∂p dp = [F (p(x)) − F (p(x0 ))] = = , ∂xi x0 ρ ∂xi ∂p ∂xi ρ ∂xi
(3.5)
waar F (p) de primitieve is van de functie 1/ρ(p). In dit geval neemt de vergelijking van Bernoulli dus de gedaante aan Z x 1 1 dp + gz = C. uu + 2 j j x0 ρ 3.2
Behoud van impulsmoment: Kelvin’s theorema
Een vortexlijn is een stroomlijn, maar nu voor de vorticiteit: in elk punt wijst de raaklijn in de richting van de vorticiteit ω. De badkuipvortex heeft ´e´en vortexlijn. Een vortexbuis is een verzameling vortexlijnen die door een gesloten kromme gaan. De stelling van Kelvin zegt dat in een wrijvingsloze stroming vortexlijnen hun identiteit behouden. Laat Γ de circulatie zijn van een door het snelheidsveld meegenomen vortexbuis (Fig. 3.2), I Γ= u · ds, C
waar s(ξ, t) de parametrische voorstelling is van de rand van het oppervlak waarover we de circulatie berekenen. In de stroming verandert zowel het snelheidsveld als de rand. De materi¨ele afgeleide van de circulatie is daarom I I I DΓ D d Ds Du ds = · dξ + u· dξ u · ds = Dt Dt C dξ dξ Dt C C Dt ¸ I I · 1 u · du = − ∇p + g · ds + ρ C C ¸ I · 1 = − ∇p + g · ds ρ C
25
(a)
(b)
G
C
t
w
B Figuur 3.2: (a) Een vortexbuis is een bundel van vortexlijnen die gaan door een gesloten kromme (B). De raakvector aan een vortexlijn is de vorticiteit ω. De stelling van Kelvin drukt uit dat een vortexbuis zijn topologische identiteit behoudt. Het gevolg is dat een situatie zoals geschetst bij (b) in een wrijvingsloze stroming niet kan gebeuren.
Als ρ constant is, kunnen we Du/Dt schrijven als de gradi¨ent van (−p/ρ + g z). Zoals we zagen in Vgl. 3.5 kan dat ook nog als ρH all´e´en een functie is van p. Aangezien de kringintegraal over een gradi¨ent verdwijnt, C ∇F ds = 0, volgt onmiddelijk de stelling van Kelvin DΓ = 0. Dt
(3.6)
Het grijze oppervlak van Fig. 3.2 is op de wand van een vortexbuis geplakt. Aangezien alle vortexlijnen raken aan dat oppervlak is Γ = 0. De stelling van Kelvin zegt dat dit zo blijft, en impliceert dus dat een vortexbuis zijn topologische identiteit behoudt. Let wel, we kunnen de circulatie alleen identificeren met het impulsmoment als de rand C een cirkel is. Behoud van ciculatie is hetzelfde als behoud van impulsmoment als de cirkelvormige rand niet vervormd wordt.
3.3
Quiz
1. De hieronder getekende vaten stromen leeg door de eraan bevestigde slangetjes. Het slangetje van vat A is het langst, LA > LB . Is het juist dat vat A dan ook het langzaamst leegstroomt ? A
B LB
LA
2. Getekend zijn de stroomlijnen in een tijdsonafhankelijke wrijvingsloze stroming. Is het waar dat de druk in punt A groter is dan die in punt B ? A B
3. Kunnen we in de wrijvingsloze stroming met u = cy, v = −cx de druk overal berekenen met de vergelijking van Bernoulli ?
26
4. Getekend is de wrijvingsloze, stationaire, onsamendrukbare stroming in een bocht. Is het waar dat de snelheid bij punt A groter is dan die bij punt B ?
A
B
5. Geschetst is een practisch apparaat om de volumestroom φ van een stationaire, wrijvingsloze, onsamendrukbare stroming met dichtheid ρ te meten. De diameters van het breedste en nauwste deel verschillen een factor 4. De zwaartekracht is niet van belang. Hoe groot is de fout die we maken als we voor de volumestroom schrijven D2 φ=π 4
µ
2(p1 − p2 ) ρ
¶1/2
? D
4D
p2 p1
6. Een vat stroomt wrijvingsloos leeg. Als de beginhoogte h tweemaal zo groot wordt, duurt het dan ook twee maal zo lang voordat het vat leeg is ? h
7. Een schipper probeert het gat (afstand onder water h) waardoor het water wrijvingsloos binnengutst dicht te stoppen met een plaat P . Is het waar dat in de getekende situatie de kracht waarmee de plaat moet worden tegengehouden tweemaal zo groot is als wanneer de plaat op het gat zit en het gat dicht is ? (De oppervlakte van de doorsnede van de straal die de plaat raakt is gelijk aan de oppervlakte van het gat).
h
P
8. Een metalen plaat met massa M balanceert op een waterstraal die op hoogte z = 0 een snelheid v heeft. Wordt de bereikte hoogte z = h van de plaat gegeven
27
1 1 door de uitdrukking h = 2g (v 2 − vt2 ), of door h = 2g (v 2 − vt2 (vt2 /v 2 )), met g de versnelling van de zwaartekracht en vt de snelheid op z = 0 waarbij de plaat net gaat zweven ?
M
v
h
28
29
COLLEGE 4 4.1
Dimensieloze kentallen L U u(x, t)
f
Figuur 4.1: De karakteristieke grootheden van een varend schip
Het snelheidsveld rond het varend schip wordt beschreven door de Navier-Stokes vergelijking ∂u 1 + u · ∇u = − ∇p + g + ν∇2 u, ∂t ρ
(4.1)
met ν de kinematische viscositeit ν = µ/ρ. We maken deze vergelijking dimensieloos door alle snelheden te betrekken op U , alle afstanden op L, en alle tijden op de omwentelingsfrequentie van de schroef f . u′ =
u x , x′ = , of ∇′ = L ∇, en t′ = t f. U L
Daarmee wordt Vgl. 4.1 ¸ · 2¸ · 1 ′ ∂u′ U νU ′ ′ ′ u ·∇u = − ∇p+g+ ∇′2 u′ [f U ] ′ + 2 ∂t L Lρ L · ¸ h · ¸ ′ ν i ′2 ′ gL f L ∂u ′ ′ ′ ′ ′ + + u · ∇ u = −∇ p + ∇ u, U ∂t′ U2 LU
(4.2)
waar we, denkend aan de vergelijking van Bernoulli, de druk dimensieloos hebben gemaakt als p′ = p/(ρU 2 ). Vergelijking 4.2 is dimensieloos en bevat de volgende dimensieloze verhoudingen: het getal van Strouhal Sr = f L/U , het getal van Froude F r = U 2 /(gL), en het getal van Reynolds Re = LU/ν, die alle naar beroemde 19e eeuwse stromingsgeleerden genoemd zijn. Het resultaat is [Sr ]
4.2
£ −1 ¤ £ −1 ¤ ′2 ′ ∂u′ ′ ′ ′ ′ ′ + u · ∇ u = −∇ p + Fr + Re ∇ u ∂t′
(4.3)
Orden van grootte
De kentallen wegen het belang van de termen in de Navier-Stokes vergelijking. Het Reynoldsgetal is de verhouding van traagheidskrachten en viskeuze krachten Re = h 2 i U /L . Bacteri¨en hebben een typische afmeting L = 10−6 m, en zwemmen met een νU/L2
typische snelheid U = 10−6 m s−1 in water (ν = 10−6 m2 s−1 ). Hun Reynoldsgetal is
30
dus Re ≈ 10−6 , de stroming wordt volstrekt gedomineerd door viskeuze krachten en traagheidskrachten zijn onbelangrijk. Aangezien we in Vgl. 4.2 de druk dimensieloos gemaakt hebben met de traagheidskracht, moeten we nu de druk dimensieloos maken met de viskeuze spanning, p′ = p , zodat Vgl. 4.3 wordt µU/L [Sr ]
£ ¤ £ ¤ £ ¤ ∂u′ + u′ · ∇′ u′ = − Re −1 ∇′ p′ + Fr −1 + Re −1 ∇′2 u′ . ′ ∂t
Nu is Re ≪ 1, en in de wereld van de bacterie is de zwaartekracht alleen belangrijk als ze onder invloed van hun eigen gewicht naar beneden zakken. We zullen, voor de bacterie, de zwaartekracht daarom verder buiten beschouwing laten, zodat de NavierStokes vergelijking voor hen wordt 1 0 = − ∇p + ν∇2 u(x, t), of µ∇2 u(x, t) = ∇p, ρ
(4.4)
en ∇ · u = 0. De tijd speelt geen rol, en de stroming volgt instantaan de beweging van de rand. Als de randvoorwaarde niet via de druk wordt uitgeoefend, kunnen we p uit Vgl. 4.4 elimineren door de rotatie te nemen. De resulterende vergelijking is ∇2 (∇ × u) = 0 met een oplossing van de vorm ³x´ u =F , U L terwijl de dimensieloze druk uit Vgl. 4.4 volgt ³x´ p − p0 =G . µ U/L L
Als de randvoorwaarden w´el de druk impliceren kunnen we de druk oplossen door van Vgl. 4.4 links en rechts de divergentie te nemen. De oplossing van de resulterende Poisson vergelijking ∇2 p = 0 kunnen we schrijven als ³x´ ³x´ u p − p0 =H = I en , µ U/L L U L
waar F , G, H, I dimensieloze vector- en scalar functies zijn.
Als aan de rand u omkeerbaar bewogen wordt, is u overal omkeerbaar. Een bacterie kan niet zwemmen door omkeerbaar te bewegen en moet een zwem-strategie met een niet-reciproke beweging uitvoeren. Het getal van Froude is de verhouding van traagheidskrachten en de zwaartekracht. Zwaartekrachtsgolven aan het oppervlak van een vloeistof hebben een Froude getal dat de fase-snelheid U aan de golfvector k relateert Fr =
U 2 2π U2 U2 k = 1, of =1→ = 0.16 . . . , g gL gL
met L de golflengte. Bij een afmeting L van een dier hoort een golf met dezelfde golflengte. Als het dier sneller zwemt dan U = (0.16 gL)1/2 , moet het over zijn eigen
31
L1 U1 u1(x, t)
f1
L2
U2
u2(x, t)
f2
Figuur 4.2: Twee geometrisch gelijkvormige situaties zijn ook dynamisch gelijkvormig als alle dimensieloze kentallen voor situatie 1 en 2 dezelfde zijn. In dat geval zijn ook de dimensieloze snelheidsvelden hetzelfde, en alle daaruit afgeleide grootheden (zoals de wrijvingskracht).
boeggolf klimmen. In de natuur is Fr = 0.16 dan ook een bovengrens van de snelheid waarmee dieren aan het oppervlak kunnen zwemmen. Om harder te zwemmen moeten ze onderduiken. Deze en andere opmerkelijke schaalwetten in de natuur komen aan de orde in het vervolgcollege Biologische Stromingsleer. Tenslotte, als Re ≫ 1, en dus de traagheidskrachten belangrijk zijn, maken we de druk dimensieloos als in Vgl. 4.3, en houden we de Euler vergelijking over ∂u 1 + u · ∇u = − ∇p + g. ∂t ρ Inderdaad, het was precies deze vergelijking die ons de vergelijking van Bernoulli gaf (waar p/ρ vergeleken wordt met 12 U 2 ). 4.3
Dynamische gelijkvormigheid
Voor geometrisch gelijkvormige situaties, vormen de dimensieloze kentallen de enige informatie die wijst naar het oorspronkelijke probleem. Het dimensieloze snelheidsveld is alleen nog een functie van die kentallen (en x/L, tf ). Dat geldt ook voor de grootheden die afgeleid worden uit het snelheidsveld, zoals de dimensieloze verdeling van de kracht K(x) K(x/L) = F (Re, Fr , Sr , x/L) ρU 2 L2 De dimensieloze totale kracht definieert de weerstandsco¨effici¨ent CD , CD =
4.4
K = F (Re, Fr , Sr ). ρU 2 L2
(4.5)
Hoeveel dimensieloze parameters ?
Ook voor hen die geen weet hebben van stromingsleer is het mogelijk om de dimensieloze parameters te weten te komen. Dit doen we door te onderzoeken wat de relevante
32
100 10 1
CD
0.1 0.01 0.1
1
10
100 103 104 Re = UD/n
10
5
6
10
10
7
Figuur 4.3: De (dimensieloze) weerstandsco¨effici¨ent van een bol in een stationaire stroming is alleen een functie van het Reynolds getal. Deze grafiek is gebaseerd op experimenten. Voor kleine waarden van Re, dus als de stroming gedomineerd wordt door viscositeit, is CD ∝ Re −1 . Voor grote waarden van Re is CD ongever constant. Bij Re ≈ 3 × 105 wordt de grenslaag rond de bol turbulent; de dip in CD .
grootheden van het probleem zijn. In dit geval weten we dat de kracht een functie is van U, L, f, ρ en µ, K = F (U, L, f, ρ, µ). Om een uitdrukking als Vgl. 4.5 te vinden moeten we dimensieloze combinaties P maken. Dat kan alleen in de vorm P = K a 1 U a 2 L a 3 f a 4 ρa 5 µ a 6 Er zijn drie basisgrootheden, massa M , lengte L en tijd T , terwijl de parameters van het probleem de dimensies [K] = M LT −2 , [U ] = LT −1 , [L] = L, [f ] = T −1 , [ρ] = M L−3 , [µ] = M L−1 T −1 , hebben. Dimensieloze parameters volgen uit de eis dat P M: L: T :
=
K a1
U a2
La 3
f a4
ρa 5
µa6
a1 +0 +0 +0 +a5 +a6 = 0 a1 +a2 +a3 +0 −3a5 −a6 = 0 −2a1 −a2 +0 −a4 +0 −a6 = 0
(4.6)
Dit zijn 3 vergelijkingen met 6 onbekenden a1 . . . a6 , waarvan we er drie mogen kiezen. Er zijn dus drie dimensieloze parameters te maken: het aantal grootheden (hier 6) minus het aantal basisgrootheden (hier 3). W´elke die dimensieloze parameters zijn kunnen we in principe uit Vgl. 4.6 halen, maar beter is het om te kijken naar de vergelijkingen. Als het probleem stationair is, en f geen rol speelt, hebben we maar 5 grootheden, en dus 5 − 3 = 2 dimensieloze parameters. Die zijn CD en Re (door te kiezen a1 = 1, a6 = 0, respectievelijk a1 = 0, a5 = 1. Dus CD = F (Re), inderdaad, de keuze van 2 van de exponenten a1 . . . a6 wordt hier ge¨ınspireerd door onze kennis van de stromingsleer. Elke andere keuze voldoet eveneens, alleen krijgen we dan combinaties van CD en Re als dimensieloze parameters. In figuur 4.3 is de dimensieloze weerstandskracht CD van een bol uitgezet als functie van het Reynoldsgetal Re. Het enorme bereik van Re : 10−1 . . . 107 kon experimenteel
33
bestreken worden door bollen met allerlei verschillende afmetingen en vloeistoffen met allerlei verschillende viscositeiten te nemen. Deze grafiek kunnen we nu begrijpen. Als Re klein is (zoals bij de bacterie) spelen traagheidskrachten geen rol, doet de massadichtheid ρ niet meer mee en kunnen we maar ´e´en parameter kiezen. De kracht moeten we dan dimensieloos maken met de viskeuze kracht, immers de traagheidskracht ρ U 2 L2 doet nu niet mee. K = constant. µU L Omdat in figuur 4.3 de kracht wordt uitgedrukt in CD , K = ρL2 U 2 CD , is CD ρL2 U 2 = constant, of CD Re = constant, of CD ∝ Re −1 . µLU Deze asymptoot is getekend in figuur 4.3. In het volgende hoofdstuk zullen we uitrekenen dat de constante 24 is. Als Re heel groot is, speelt de viscositeit geen rol, en is er opnieuw maar ´e´en parameter. De kracht moeten we nu dimensieloos maken met de traagheidskracht ρU 2 L2 . CD =
K = constant. ρU 2 L2
Dit is de asymptoot voor grote waarden van het Reynoldsgetal in figuur 4.3. De weerstand heeft een dip rond Re = 5 × 105 waar we in hoofdstuk 6 op terug komen. 4.5
Quiz
1. Zijn om (schaal) experimenten aan zwemmers te doen drie dimensieloze getallen belangrijk ? Welke ? 2. Is de (fase)snelheid van zwaartekrachtsgolven op het vrije oppervlak van een vloeistof evenredig met (λg)1/2 , waar λ de golflengte is ? 3. Als harde wind het want (diameter touw 1 cm) doet fluiten met 200 Hz, doet hij dan een vliegertouw (diameter 1 mm) fluiten met 1000 Hz ? 4. Een bol met straal R en massadichtheid ρb wordt onder water gedompeld en voorzichtig losgelaten. De dichtheid van het water is ρ, de kinematische viscositeit is ν en de versnelling van de zwaartekracht is g. De bolsnelheid v(t) is een functie van de tijd. Geeft het volgende dimensieloze verband een volledige beschrijving ? µr ¶ v(t) g gR3 ρb √ =F t , , R ν2 ρ gR 5. Een bol met constante CD valt vanuit rust onder invloed van de zwaartekracht met een snelheid u(t) naar beneden. De straal van de bol is r, zijn dichtheid is
34
ρd , de dichtheid van de lucht is ρl , en de versnelling van de zwaartekracht is g. Is het waar dat zijn snelheid v(t) naar beneden is õ µ ¶1/2 ! ¶1/2 ρd g r ρl 3gCD v(t) = t ? tanh ρl 3CD ρd r 6. Lees de grafiek in figuur 4.3 als die van de dimensieloze weerstand die een schaatser ondervindt. Is het juist dat op een laaglandbaan (hogere atmosferische druk) de werstandskracht van de schaatser groter is dan die op een hooglandbaan bij dezelfde snelheid U ? Waarom ? Neem voor de afmeting van de schaatser L = 1, U = 10 ms−1 , ν = 1.5 × 10−5 m2 s−2 . 7. Een propellor (diameter D = 6 cm) draait in 0,3 s rond in een uniforme luchtstroom (snelheid U = 5 cm/s), kinematische viscositeit ν = 1, 5 × 10−5 m2 s−1 . In een andere situatie draait een propellor (diameter D = 2 cm) in 0,5 s rond in een uniforme waterstroom (snelheid U = 1 cm/s), kinematische viscositeit ν = 10−6 m2 s−1 . Zijn deze stromingen dynamisch gelijkvormig ?
35
COLLEGE 5 5.1
Laminaire stromingen
Voor ontwikkelde stromingen die niet van x afhangen is het mogelijk om een oplossing van de Navier-Stokes vergelijking te bereiken. (a)
(b) U
y=b n p1
p2
y=0 L y x Figuur 5.1: (a) Ontwikkelde stroming tussen twee wanden. De stroming wordt gedreven door het drukverschil p1 − p2 ´en doordat de bovenste plaat beweegt met snelheid U . De stroming oefent een viskeuze kracht uit op de wanden van het kanaal, de wandwrijving. (b) “Ontwikkeld” betekent dat de stroming niet meer van x afhangt. En dat is pas het geval als we ver genoeg van het begin verwijderd zijn en de instroomverschijnselen uitgestorven zijn.
We veronderstellen een onsamendrukbare tijdsonafhankelijke stroming tussen twee vlakke platen. De stroming wordt in stand gehouden door de verplaatsing (met snelheid U ) van de bovenste plaat, en door een drukverschil over de buis. De vergelijking voor massabehoud is dan ∂u ∂v + =0 ∂x ∂y omdat ∂u/∂x = 0 volgt dat v niet van y afhangt. Maar v(y = 0) = 0 zodat overal v = 0. Uit de Navier-Stokes vergelijking (de balans van impuls) volgt ¶ µ 2 ∂u ∂u 1 ∂p ∂ u ∂ 2u ∂u +u +v = − +ν + ∂t ∂x ∂y ρ ∂x ∂x2 ∂y 2 ¶ µ 2 ∂v ∂v ∂v 1 ∂p ∂ v ∂2v (5.1) +u +v = − +ν + ∂t ∂x ∂y ρ ∂y ∂x2 ∂y 2 Met v = 0, ∂/∂t = 0 en ∂/∂x = 0 resteert van Vgl. 5.1 1 ∂p ∂ 2u = µ ∂x ∂y 2 ∂p = 0. ∂y
(5.2) (5.3)
Het linkerlid van Vgl. 5.2 hangt niet van y af, terwijl het rechterlid onafhankelijk is van x, er zit niets anders op dan dat beide constant zijn, zodat we Vg. 5.2 kunnen
36
integreren u(y) =
y 2 dp + A y + B, 2µ dx
waarbij de constanten A, B uit de randvoorwaarden volgen. Uit u(y = 0) = 0 volgt B = 0, terwijl uit u(y = b) = U volgt A = U/b − (b/2µ)(dp/dx), zodat u(y) =
U 1 dp y(y − b) + y, 2µ dx b
(5.4)
Als dp/dx = 0 blijft alleen de tweede term van Vgl. 5.4 en heet de stroming een Couette stroming. Als U = 0, (en dp/dx 6= 0) wordt de stroming genoemd naar Poiseuille. 5.2
Wandwrijving
Voor gewone Newtonse vloeistoffen is de relatie tussen schuifspanning en vervorming gegeven door Vgl. 2.15, 2.11, met i 6= j, µ ¶ ∂ui ∂uj 1 τij = 2 µ eij , eij = 2 . + ∂xj ∂xi De tensor τ bepaalt de kracht per eenheid van oppervlakte ´op de vloeistof via Vgl. 2.6 op blz. 16, f f = τ · nf , waar nf de normaal is op de rand A die de stroming omhult. Die rand laten we samenvallen met de wand, die dus een tegengesteld gerichte normaal n = −nf heeft. Op zijn beurt oefent de stroming een tegengesteld gerichte kracht uit op de wand, per eenheid van oppervlakte f = −f f = −τ · nf = τ · n. Dit is de wandwrijving. y=b b-y p y
p +L dp/dx
t
y=0 L Figuur 5.2: In een ontwikkelde stroming (geen afhankelijkheid van x), is de schuifspanning een lineaire functie van y. Het geeft niet dat de stroming turbulent is, of dat de vloeistof geen lineaire relatie tussen spanning en vervorming kent.
Voor de Poiseuille stroming rekenen we de viskeuze krachten op de wanden van de buis uit. Per eenheid van oppervlakte ¯ du ¯¯ b dp f (y = 0) = n2 τ12 |y=0 = µ en =− ¯ dy y=0 2 dx ¯ du ¯¯ b dp . f (y = b) = n2 τ12 |y=b = − µ =− ¯ dy y=b 2 dx
37
op een stuk buis met lengte L en breedte B, is dus de totale kracht F =−BbL
dp , dx
dp is precies het drukverschil p1 − p2 over L zodat de kracht F gelijk is aan maar −L dx het drukverschil maal de oppervlakte van de doorsnede. Dat klopt, er werken immers geen andere krachten.
Uit Vgl. 5.4 volgt dat tussen de platen de schuifspanning τ12 een lineaire functie is van y, τ12 (y) = µ
du dp U = (y − b/2) + µ . dy dx b
Deze afhankelijkheid volgt ook uit de impulsbalans van het controlevolume dat getekend is in figuur 5.2. Voor het gemak plaatsen we het controlevolume symmetrisch in de buis, dus van y tot b − y, en kiezen U = 0. −(b − 2y)
dp dp L + L τ12 (b − y) − L τ12 (y) = −(b − 2y) L − 2L τ12 (y) = 0, dx dx
waar we gebruik hebben gemaakt van de symmetrie. Het resultaat is τ12 (y) =
dp (y − b/2), dx
(5.5)
Voor deze lineaire afhankelijkheid hebben we geen informatie over het snelheidsveld gebruikt. Ze is dan ook algemeen geldig, voor ´elke ontwikkelde stroming, laminair of turbulent, Newtons of niet-Newtons. Kortom, in een buisstroming die door een drukverschil wordt gedreven is τ altijd een lineaire functie van de afstand tot de as, onafhankelijk van het snelheidsveld. Dat snelheidsveld hoeft natuurlijk niet meer parabolisch te zijn als er geen lineaire relatie meer is tussen spanning en vervorming, dus als het medium niet-Newtons is.
5.3
Cilinderco¨ ordinaten R
r
z
q
Figuur 5.3: Ontwikkelde stroming in een ronde buis met coordinaten r, θ, z.
In een ronde buis werken we met cilindercoordinaten r, θ, z. De straal van de buis is R. Stationariteit is ∂/∂t = 0. De stroming is ontwikkeld zodat het snelheidsveld niet van z afhangt. Dankzij cilindersymmetrie is verder ∂/∂θ = 0. De vergelijking voor massabehoud wordt dan ∇ · u = 0, of
1 ∂ (rur ) = 0, r ∂r
38
waaruit volgt dat r ur constant is, maar omdat ur (r = R) = 0 op de buiswand, volgt dat overal ur = 0. De vergelijkingen voor impulstransport in cilindercoordinaten vereenvoudigen zich dan tot ½ µ ¶ ¾ 1 ∂ ∂uθ uθ 0 = ν r − 2 (5.6) r ∂r ∂r r µ ¶¾ ½ 1 ∂p ∂uz 1 ∂ 0 = − r (5.7) +ν ρ ∂z r ∂r ∂r 1 ∂p u2 . (5.8) − θ = − r ρ ∂r Vergelijking 5.6 kunnen we nog schrijven als ∂ ∂r
µ
¶ 1 ∂ (ruθ ) = 0, r ∂r
waaruit volgt dat uθ = A r +
B . r
Aangezien uθ (r = R) = 0, en uθ (r = 0) eindig is, volgt dat A = B = 0 en uθ ≡ 0. Dit kunnen we overigens ook zien door uθ (r) = ark in Vgl. 5.6 te proberen. We vinden dan twee mogelijkheden, k = 1, k = −1, en dus de algemene oplossing van deze lineaire differentiaalvergelijking uθ (r) = A r + B r−1 , met twee constanten A en B, en dat moet ook omdat Vgl. 5.6 een gewone tweede orde differentiaalvergelijking is. In vergelijking 5.7 hangt p niet van r af, terwijl uz niet van z afhangt, we kunnen dus als volgt integreren 1 ∂ r ∂r
µ
∂uz r ∂r
¶
=
1 ∂p 2 1 ∂p dus uz (r) = r + A ln(r) + B µ ∂z 4µ ∂z
omdat de snelheid eindig moet zijn voor r = 0, moet A = 0, terwijl B volgt uit uz (R) = 0. 1 dp 2 uz (r) = (r − R2 ), met volumestroom QV = 4µ dz
Z
0
R
2πruz (r) dr = −
πR4 dp . 8µ dz
De kracht die de stroming op de wand van de buis met lengte L uitoefent is ¯ duz ¯¯ dp F = 2π R L τ · n = −2π R L µ = −π R2 L , ¯ dr r=R dz
(5.9)
waar we niet mogen vergeten dat in cilindercoordinaten de normaal n op de binnenwand van de buis naar binnen (negative r−richting) wijst. Het resultaat voor de kracht is opnieuw de oppervlakte van de doorsnede maal het drukverschil.
39
y y y y
lu c h t (m = 0 ) 3
2
m
m
1
2
n
3 u
n
2
1
1
u
2
2
1
1
v a s te w a n d Figuur 5.4: Mogelijke randvoorwaarden ge¨ıllustreerd in een stroming van 2 vloeistoflagen met viscositeiten µ1 en µ2 . De bovenste vloeistoflaag grenst aan lucht waarvan we de viscositeit du2 1 verwaarlozen. Op de grensvlakken 1, 2, en 3 geldt dan: (1) u1 = 0, (2) u1 = u2 , µ1 du dy = µ2 dy , du2 (3) dy = 0.
5.4
Randvoorwaarden
Tot nu toe hebben we de “no-slip” (plak) randvoorwaarde gebruikt: aan een vaste wand beweegt de stroming met de wand mee. Aan het grensvlak van twee vloeistoffen geldt die voorwaarde ook, maar er komt nog iets bij, namelijk de continuiteit van het snelheidsveld (zie figuur 5.4). Dus op het grensvlak is de tangenti¨ele snelheid van de twee vloeistoffen gelijk, u1 (y = y2 ) = u1 (y = y2 ).
(5.10)
Een nieuwe randvoorwaarde volgt uit de omstandigheid dat de kracht f1→2 die vloeistof 1 op vloeistof 2 uitoefent tegengesteld gelijk is aan de kracht f2→1 die vloeistof 2 op vloeistof 1 uitoefent ¯ ¯ du1 ¯¯ du2 ¯¯ f1→2 = n1 · τ = −µ1 = −f2→1 = −n2 · τ = −µ2 . dy ¯y=y2 dy ¯y=y2 De extra randvoorwaarde betreft dan de afgeleide van het snelheidsveld ¯ ¯ du2 ¯¯ du1 ¯¯ = µ2 . µ1 dy ¯y=y2 dy ¯y=y2
(5.11)
De afgeleide van het snelheidsveld vertoont dus een knik als de twee viscositeiten verschillend zijn. Aan het grensvlak met de lucht kan geen kracht worden uitgeoefend, de viscositeit van lucht is immers veel kleiner dan die van de vloeistof, dus ¯ du2 ¯¯ = 0. (5.12) dy ¯y=y3
Overigens, de randvoorwaarden aan een vrij oppervlak worden echt ingewikkeld als het oppervlak kan vervormen, en als ook nog de oppervlaktespanning een rol gaat spelen. Kortom, als we oppervlaktegolven willen beschrijven.
40
5.5
Tijdsafhankelijke stromingen
Beschouw een oneindig uitgestrekte vloeistoflaag in het x − y vlak, die van onderen begrensd wordt door een plaat. De vloeistof is in rust voor t < 0, en op t = 0 gaat de plaat bewegen met een snelheid U . Het duurt even voordat alle vloeistof met de snelheid U beweegt.
9 t=1 4
16
U Figuur 5.5: De onderwand van een oneindig uitgestrekte vloeistoflaag gaat op t = 0 met een snelheid U bewegen. Op t = 0 is de snelheid overal 0 behalve op y = 0, daarna breidt de snelheid zich uit met de wortel uit de tijd (vandaar de gekozen tijden).
Behoud van massa voor een onsamendrukbare vloeistof is ∇·u = 0, of ∂u/∂x+∂v/∂y = 0. Maar omdat het oneindig uitgestrekte snelheidsveld niet van x afhangt, wordt ∂v/∂y = 0. De wand y = 0 is ondoordringbaar, v(y = 0) = 0, zodat overal v = 0. De Navier Stokes vergelijkingen worden nu 1 ∂p ∂ 2u ∂u = − +ν 2 ∂t ρ ∂x ∂y 1 ∂p 0 = − . ρ ∂y De druk hangt dus alleen van x af, en omdat de stroming in rust was voor t < 0 nemen we (zonder verlies van algemeenheid) dp/dx = 0. ∂ 2u ∂u = ν 2, ∂t ∂y
(5.13)
samen met de rand- en beginvoorwaarden u(y, t = 0) = 0 u(y = 0, t) = U u(y = ∞, t) = 0.
(5.14)
Omdat U , de snelheid waarmee de plaat gaat bewegen, niet meer is dan een schaalfactor, is de oplossing van het soort u u′ = = F (y, t, ν). U We zoeken nu naar de andere dimensieloze parameters. Er zijn 3 grootheden (y, t, ν), waarvan ν de dimensie m2 s−1 heeft, en twee basisgrootheden: lengte L en tijd T . Er
41
kan dus maar ´e´en nieuwe dimensieloze parameter gemaakt worden. Dat is verrassend, omdat dan de parti¨ele differentiaalvergelijking Vgl. 5.13 verkeert in een gewone. De algemene vorm van die parameter is ξ = y a1 ta2 ν a3 , en = y a1 ta2 ν a3
ξ L: T :
a1 0
0 a2
2a3 = 0 −a3 = 0.
We kiezen a1 = 1 en dan is a2 = −1/2, en a3 = −1/2, dus ξ = y/(νt)1/2 . Dat dit inderdaad resulteert in een gewone differentiaalvergelijking, volgt uit ∂ξ ∂ ξ ∂ ∂ ⇒ =− en ∂t ∂t ∂ξ 2t ∂ξ ∂ ∂ ∂ξ ∂ 1 ⇒ = zodat 1/2 ∂y ∂y ∂ξ (νt) ∂ξ ∂2 1 ∂2 ⇒ . ∂y 2 νt ∂ξ 2 Dit gebruiken we in Vgl. 5.13: −
ν d 2 u′ du′ d 2 u′ ξ du′ = , of ξ = −2 2t dξ νt dξ 2 dξ dξ 2
(5.15)
Voor de nieuwe variabele ξ vallen twee van de voorwaarden in Vgl. 5.14 samen u′ (ξ = 0) = 1 u′ (ξ = ∞) = 0
(5.16)
Door de substitutie w(ξ) = du′ /dξ krijgen we de makkelijk te integreren differentiaalvergelijking ξw = −2
dw dw 2 , ⇒ ξ dξ = −2 ⇒ 12 ξ 2 = −2 ln w + C ⇒ w(ξ) = C ′ e−ξ /4 . dξ w
De algemene oplossing is Z ξ 2 ′ u (ξ) = C e−x /4 dx + B 0
(waarbij we C ′ maar weer C genoemd hebben). De constanten B en C volgen uit de rand (en begin-)voorwaarden Vgl. 5.16: met u′ (ξ = 0) = 1 volgt B = 1 en met u′ (ξ = ∞) = 0 volgt Z ∞ 2 C e−x /4 dx + 1 = 0 of Cπ 1/2 + 1 = 0, dus C = −1/π 1/2 , 0
zodat tenslotte u(y, t) = U
Ã
1−
1 π 1/2
Z
0
y/(νt)1/2
e
−x2 /4
!
dx ,
42
waarin we de errorfunctie herkennen. De oplossing is voor een paar tijdsstippen getekend in figuur 5.5. We zien dat de snelheid zich in de stilstaande vloeistof uitbreidt met de wortel uit de tijd: y−waarden met gelijke snelheid voldoen aan y = ν 1/2 t1/2 .
(5.17)
De oplossing in termen van een dimensieloze combinatie van y (ν) en t wordt een gelijkvormigheidsoplossing genoemd.
5.6
De wet van Stokes srq a U
srr q f
Figuur 5.6: De wet van Stokes is de weerstand van een bol in een uniform snelheidsveld. Ze volgt uit een analyse van de stroming via een stroomfunctie. In bolco¨ordinaten is de stroming invarant onder rotaties rond de z−as. Op elk punt van de bol heeft de vorticiteit alleen een φ−component.
De weerstandskracht D die een bol met straal a in een uniforme viskeuze stroming met snelheid U ondervindt is D = 6π µ a U . Dat die kracht evenredig is met µ a U volgt uit de dimensieanalyse van Hoofdstuk 4. Hier schetsen we op welke manier de factor 6π volgt. De stroming is axisymmetrisch, en de vorticiteit heeft alleen een azimuthale component, dit kunt U zich gemakkelijk voorstellen aan de hand van figuur 5.6. Volgens het formuleblad is dan ½ ¾ 1 ∂(ruθ ) ∂ur ωφ = , terwijl ωr = 0 en ωθ = 0. − r ∂r ∂θ Het wonder is dat er een stroomfunctie Ψ(r, θ) bestaat; daaruit volgen ur en uθ : ur =
r2
1 1 ∂Ψ ∂Ψ , uθ = − , sin θ ∂θ r sin θ ∂r
(5.18)
hetgeen we makkelijk kunnen nagaan door te verifieren dat ∇ · u = 0. Met de gegeven Ψ wordt ½ µ ¶¾ 1 ∂ 2Ψ 1 ∂ 1 ∂Ψ 1 + . ωφ = − r sin θ ∂r2 r ∂θ sin θ ∂θ De oplossing van de vergelijking voor de enige vectorcomponent van de vorticiteit, ∇2 ωφ = 0, moet voldoen aan de volgende randvoorwaarden: (a) het oppervlak van de bol moet een stroomlijn zijn, Ψ(a, θ) = 0, (b) de plakvoorwaarde op het oppervlak van
43
¯ ¯ de bol, uθ (r = a, θ) = 0, of ∂Ψ = 0 en tenslotte (c) de stroming op grote afstand ∂r r=a moet weer de uniforme U worden. Uit Vgl. 5.18 kunnen we gemakkelijk nagaan dat voorwaarde (c) impliceert dat Ψ(r = ∞, θ) =
1 2
U r2 sin2 θ.
Deze laatste uitdrukking gebruiken we als inspiratie voor een oplossing voor Ψ in de vorm Ψ(r, θ) = f (r) sin2 θ, waaruit volgt ¶ µ a3 3a (5.19) + ur = U cos θ 1 − 2r 4r3 µ ¶ 3a a3 uθ = −U sin θ 1 − . (5.20) − 4r 8r3 De weerstandskracht op de bol wordt bepaald door een bijdrage van de druk, en een bijdrage van de viskeuze schuifspanning, D = [−p cos θ + σrr cos θ − σrθ sin θ]r=a . Omdat het snelheidsveld nu bekend is, kunnen we alle bijdragen uitrekenen, bijvoorbeeld uit ∇p = µ∇2 u volgt p = −3aµU cos θ/2r2 . Het resultaat is D = 6π µ a U.
(5.21)
De weerstandskracht wordt voor 1/3 bepaald door het drukverschil, en door 2/3 door de viskeuze wrijving. Zoals we zien aan het snelheidsveld in Vgl. 5.19, 5.20 doet de invloed van de bol zich v´er gelden. Ze valt slechts af als r−1 . In een praktische situatie is de nabijheid van wanden of van andere bollen dus al gauw belangrijk. Omdat de stroming perfect symmetrisch is in de richting van de hoofdstroming, en de stroming achter de bol weer perfect aansluit, verbaast ons misschien de bijdrage van de druk. Inderdaad, in een niet-viskeuze stroming verdwijnt die bijdrage volgens de wet van Bernoulli, maar het punt is juist dat die wet hier niet geldt. Tenslotte, de weerstandsco¨effici¨ent is CD =
D 1 ρU 2 2
πa2
=
24 , Re
met het Reynoldsgetal betrokken op de diameter van de bol, Re = 2a U/ν. Nogmaals, dat CD ∝ 1/Re wisten we al uit de dimensieanalyse in par. 4.4 op blz. 33, maar we kenden de evenredigheidsfactor niet. Nu weten we dat die precies 24 is.
5.7
Quiz
1. Mogen we voor de stromingen in dit Hoofdstuk de vergelijking van Bernoulli toepassen ?
44
2. In een oneindig uitgestrekte vloeistof met kinematische viscositeit ν start op t = 0 een lijnvortex, uθ (r, t = 0) = Γ/2πr. Laat zien dat voor t > 0 het snelheidsveld is uθ (r, t) =
Γ −r2 /4νt e . 2πr
3. In een oneindig uitgestrekte vloeistof met kinematische viscositeit ν begint op t = 0 een cilinder met straal R te roteren, uθ (r = R, t = 0) = Γ/2πR. Wat is nu de gelijkvormigheidsoplossing voor uθ (r, t) ? 4. Een turbulente stroming tussen twee vlakke platen, y ∈ [−b, b] heeft een schuifspanning τ (y). Wat is τ (y = 0) ? 5. Een regendruppel met straal van 1 mm, dichtheid van water ρd = 103 kg m−3 valt naar beneden in lucht, kinematische viscositeit ν = 1, 5 × 10−5 m2 s−1 , dichtheid ρl = 1, 2 kgm−3 . Wat is zijn eindsnelheid ? 6. De onderwand van een oneindig uitgestrekte vloeistoflaag met viscositeit ν (a) gaat op t = 0 met een snelheid U bewegen. De vergelijking voor het snelheidsveld u(y, t), in principe een parti¨ele differentiaalvergelijking, reduceert zich tot een gewone doordat er slechts ´e´en dimensieloze coordinaat is, ξ = y/(νt)1/2 (en een dimensieloze snelheid). Is dat ook zo voor situatie (b) waar op t = 0 een cilinder met straal R in een oneindig uitgestrekte vloeistof gaat roteren met hoeksnelheid Ω ? Wat zijn daar de overeenkomstige dimensieloze parameters ? y
u(y)
(a)
(b) W R
U
r
45
COLLEGE 6 6.1
De grenslaag
We hebben gezien dat wrijving onbelangrijk is voor grote waarden van het Reynoldsgetal. Dat kan natuurlijk niet overal in het stromingsveld zo zijn, immers de “no-slip” randvoorwaarde dicteert dat er wel degelijk wrijving is aan vaste wanden. We zullen zien dat voor Re ≫ 1 de viskeuze krachten geconcentreerd zijn in een dunne grenslaag. Voor grote Reynoldsgetallen domineren de traagheidskrachten ( ∂∂tu + u · ∇u) in de Navier-Stokes vergelijking, maar in de grenslaag zijn ze even belangrijk als de viskeuze krachten. U(x)
d
U(x)
y
u(x,y) x
L Figuur 6.1: De viskeuze wrijving in een stroming met Re ≫ 1 is geconcentreerd in een dunne grenslaag waarin het snelheidsprofiel u(x, y) verloopt van u = 0 bij y = 0 tot u = U bij y = δ.
In de vergelijking voor het behoud van massa, ∇ · u = 0, schatten we de grootte orde van de termen af ∂u ∂v =0 + ∂x ∂y |{z} |{z} U V L δ De typische grootte van de verticale snelheid is dan gelijk aan V = Lδ U . De (langzame) variatie van u in de x−richting moet dus gecompenseerd worden met een verticale snelheid. Dan wordt de afschatting van termen in de x−impulsvergelijking ∂u ∂ 2u 1 ∂p ∂ 2u ∂u + v =− + ν 2 + ν 2 u ∂x ∂y ρ ∂x ∂y {z } |{z} | ∂x |{z} | {z } | {z } νU U2 νU U2 U2 2 L L δ2 L L
(6.1)
waar we de druk afgeschat hebben met de horizontale snelheid U . Stel dat δ/L ≪ 1 dan wordt de viskeuze kracht gedomineerd door de term met ∂ 2 u/∂y 2 . Verder zijn traagheidskrachten van dezelfde orde als viskeuze krachten indien de grootte orden als volgt gerelateerd zijn U2 νU Lν δ −1/2 = 2 , of δ 2 = , dus = ReL , L δ U L
(6.2)
hetgeen onze veronderstelling dat δ/L ≪ 1 rechtvaardigt. Op dezelfde manier schatten
46
y
y ¶2u ¶y2 < 0
y ¶u ¶y = 0
u
u
¶2u ¶y2 > 0 u
Figuur 6.2: Instabiliteit van de grenslaag in een vertragende stroming. Als dU/dx = 0 krijgt u(x, y) een inflectiepunt, waarna u < 0 wordt en terugstroming optreedt. De lijn waar u = 0 is gestippeld getekend. De terugstroming wordt ge¨ıllustreerd met enkele stroomlijnen.
we de termen in de vergelijking voor de y−impuls 1 ∂p ∂v ∂2v ∂ 2v ∂v =− u + ν 2 + ν 2 + v ∂x ∂y ρ ∂y ∂y {z } |{z} | ∂x |{z} |{z} | {z } δ U δ U δ U2 2 δ U2 2 ν 2 ν U 2 L L L L δ2 L δ Gebruik makend van δ/L = Re−1/2 kunnen we dit schrijven als ∂v ∂2v ∂v 1 ∂p ∂ 2v + v u =− + ν 2 + ν 2 ∂x ∂y ρ ∂y ∂y {z } |{z} | ∂x |{z} |{z} | {z } −1 −2 1 Re Re Re−1 Re−1
(6.3)
Uit Vgl. 6.1 volgt dat we ∂ 2 u/∂x2 mogen verwaarlozen ten gunste van ∂ 2 u/∂y 2 , terwijl uit Vgl. 6.3 volgt dat ∂p/∂y = 0, zodat de vergelijkingen voor de grenslaag zijn ∂u ∂v + =0 ∂x ∂y ∂p =0 ∂y ∂u ∂u 1 ∂p ∂ 2u u +v =− +ν 2 ∂x ∂y ρ ∂x ∂y
6.2
(6.4) (6.5) (6.6)
Loslating
Uit vergelijking 6.5 volgt dat de druk in de grenslaag gelijk is aan de druk daarbuiten. Aangezien daarbuiten de stroming niet-viskeus is (Re = ∞) volgt de druk uit de
47
B A
d*
y
U h x x=0
x
Figuur 6.3: Door de aanwezigheid van de grenslaag verplaatsen de stroomlijnen in de hoofdstroming zich. De verplaatsing definieert een integrale grootheid: de verplaatsingsdikte δ ∗ . Door het lijnstuk x, y ∈ [0, h + δ ∗ ] gaat minder impuls: de impuls verliesdikte Θ.
vergelijking van Bernoulli langs een stroomlijn 1 2
p 1 ∂p dU = constant, of − =U ρ ρ ∂x dx
U2 +
Door in Vgl. 6.6 y = 0 in te vullen (waar u = v = 0) volgt ¯ dU ∂ 2 u ¯¯ = −U ν 2¯ ∂y y=0 dx
(6.7)
De kromming van het snelheidsprofiel u(x, y) wordt dus bepaald door de gradi¨ent van de hoofdstroming buiten de grenslaag. In een vertragende stroming (positieve drukgradi¨ent) wordt de grenslaag instabiel op het moment dat dU/dx = 0. De grenslaag laat los in het punt van terugstroming, daar waar de wandschuifspanning verdwijnt; dat punt volgt uit ∂u/∂y = 0. 6.3
Integrale grootheden
Omdat we eigenlijk alleen maar de wandwrijving ¯ ∂u ¯¯ τ0 (x) = µ ¯ ∂y y=0
willen weten, zijn we niet echt belangstellend naar het precieze verloop van het snelheidsprofiel. We zullen daarom de vergelijkingen 6.4. . . 6.6 integreren over de dikte van de grenslaag. Daartoe introduceren we een tweetal integrale grootheden, waarvan de definitie er eigenlijk niet zoveel toe doet. Voor die grootheden leiden we vervolgens een vergelijking af. De essentie van de die grootheden is dat de stroomlijnen van het wrijvingsloze buitengebied verplaatst worden door de grenslaag. We kunnen de definities aanschouwelijk maken door in figuur 6.3 het massatransport door de punten A en B onder de over δ ∗ verplaatste stroomlijn te bekijken. Uit behoud van massa volgt dan Z h Z h+δ∗ u(x, y) dy = u(x, y) dy + U δ ∗ (x), zodat de definitie volgt Uh = 0
δ ∗ (x) =
0
Z
0
hµ
1−
u(x, y) U
¶
dy
(6.8)
48
Door de doorsneden bij A en B in figuur 6.3 gaat weliswaar dezelfde hoeveelheid massa, maar niet dezelfde hoeveelheid impuls (er is immers wrijving); het verschil tussen de impulsstromen is ρU 2 Θ. Dit definieert de tweede integrale grootheid Θ Z h+δ∗ 2 u2 (x, y) dy + ρU 2 Θ(x) of ρU h = ρ 0 Z h ρU 2 h − ρ u2 (x, y) dy − ρδ ∗ (x) U 2 = ρU 2 Θ(x), 0
waar Θ de dikte van de laag is die nodig is om, met snelheid U , de impuls kloppend te krijgen; het is een maat voor het impulsverlies ten gevolge van de wrijving in de grenslaag. Gebruik makend van Vgl. 6.8 volgt Z Z h 1 1 h 2 Θ(x) = h − 2 (U − u(x, y)) dy u (x, y) dy − U 0 U 0 Z Z h 1 1 h u(x, y) dy − 2 u2 (x, y) dy, = U 0 U 0 µ ¶ Z h u(x, y) u(x, y) Θ(x) = 1− dy (6.9) U U 0
De twee x−afhankelijke grootheden δ ∗ (x) en Θ(x), die op een indirecte manier informatie over het snelheidsveld bevatten, karakteriseren de grenslaag. Van die twee is Θ(x) de meest dynamische omdat hij informatie bevat over het verlies van impuls, de wrijving dus. Het is precies die wrijving waarnaar we het meest belangstellend zijn. Door de integratie over de dikte van de grenslaag is de informatie over de precieze details van het snelheidsveld u(x, y) behoorlijk gereduceerd. Het zal blijken dat deze aanpak leidt tot een verrassend nauwkeurige schatting van de wrijving. Eerst zullen we op een gemakkelijke manier een vergelijking voor Θ(x) afleiden die alleen geldig is als de hoofdstroming U (x) niet van x afhangt. Daarna leiden we de algemene vergelijking voor δ ∗ (x) en Θ(x) af. 6.4
Von K´ arm´ an vergelijking: gemakkelijk
Als de hoofdsnelheid U constant is, de stroming langs een vlakke plaat, kunnen we gemakkelijk een vergelijking afleiden voor Θ(x). We passen behoud van massa en impuls toe op het controlevolume van figuur 6.4. Behoud van massa geeft voor de massaflux Qm door het bovenvlak Z δ(x) u(x, y) dy. (6.10) Qm = ρ U δ(x) − ρ 0
Bij de balans van impuls doet de wandwrijving τ0 (x) mee, maar de druk niet: omdat de snelheid van de hoofdstroming U (x) niet van x afhangt, is de druk overal dezelfde. Tevens nemen we aan dat aan het bovenvlak de impuls in de x−richting met snelheid U verdwijnt. De balans van x−impuls wordt dan Z x Z δ(x) 2 2 τ0 (x′ ) dx′ . (6.11) u (x, y) dy = − −ρ U δ(x) + U Qm + ρ 0
0
49
Qm d(x) y
U t0(x)
x
x=0 Figuur 6.4: De eenvoudige afleiding van de Von K´arm´an vergelijking maakt gebruik van de integrale balans van massa en impuls in het met stippellijnen aangegeven controlevolume.
Samen geven Vgl. 6.10 en 6.11 −ρU
2
Z
0
δ(x)
u(x, y) U
µ
u(x, y) 1− U
¶
dy = −
Z
x
τ0 (x′ )dx′ , of
0
¢ τ0 (x) d ¡ 2 . U Θ(x) = dx ρ (6.12)
In deze vergelijking hangen Θ(x), en τ0 (x) van x af, die moeten we dus oplossen. We veronderstellen nu dat het snelheidsprofiel (en dus Θ en τ0 ) all´e´en via δ(x) van x afhangen. We zoeken dus naar een gelijkvormigheidsoplossing. Nu kunnen we Θ(x) en τ0 (x) in δ(x) uitdrukken, en wordt Vgl 6.12 een gewone differentiaalvergelijking voor δ(x). Deze gelijkvormigheidsoplossing is u(y/δ(x)) . U
(6.13)
Zo’n gelijkvormig snelheidsprofiel stelt ons in staat om een heel nauwkeurige benadering te vinden voor de wrijving van een vlakke plaat, zoals we zullen zien in paragraaf 6.7.
6.5
Von K´ arm´ an vergelijking: algemeen
In het algemene geval, dus als er via U (x) een effect is van de druk, beginnen we met de grenslaagvergelijking u
∂u dU ∂ 2u ∂u +v =U +ν 2 ∂x ∂y dx ∂y
We herkennen bijna de definitie van onze integrale grootheden als we deze vergelijking zoveel mogelijk in termen van u − U schrijven: u
∂(u − U ) dU ∂(u − U ) ∂ 2 (u − U ) + (u − U ) +v =ν , ∂x dx ∂y ∂y 2
(6.14)
waar we hebben gebruikt dat U niet van y afhangt. We integreren nu Vgl. 6.14 term voor term over de dikte van de grenslaag. Daarbij bedenken we dat ¯h Z h Z h Z h ¯ ∂u ∂(u − U ) ∂v (u − U ) (u − U ) dy + (u − U )v ¯¯ = v dy = − dy, (6.15) ∂y ∂y ∂x 0 0 0 0
50
waar we behoud van massa gebruikten en dat u(y = h) = U en v(y = 0) = 0. Verder is ¯ ¯ Z h 2 ∂ (u − U ) ∂u ¯¯ ∂u ¯¯ τ0 ν dy = ν −ν =− , ¯ ¯ 2 ∂y ∂y y=h ∂y y=0 ρ 0
waar ¯ we gebruikten dat het snelheidsprofiel u(y) glad aansluit aan de buitenrand, ∂u ¯ = 0. Nu nemen we de eerste term aan de linkerkant van Vgl. 6.14 samen met ∂y ¯ y=h
het resultaat van Vgl. 6.15 tot ¯ Z h Z d dU h ∂u ¯¯ u(u − U ) dy + (u − U ) dy = −ν . dx 0 dx 0 ∂y ¯y=0
Dit resultaat heet de Von K´arm´an grenslaag vergelijking. dU τ0 d (U 2 Θ) + δ ∗ U = dx dx ρ
(6.16)
Ten opzichte van de gemakkelijke afleiding Vgl. 6.12 is de term δ ∗ U dU nieuw. Bij de dx oplossing van Vgl. 6.12 volgen we precies dezelfde strategie als bij Vgl. 6.13, maar nu moeten we ook nog δ ∗ (x) oplossen, en dat alles in een van buiten opgelegde x−afhankelijkheid van U (x). 6.6
De grenslaag aan een vlakke wand
Eenerzijds is de grenslaag het gebied waar de viskeuze wrijving gelokaliseerd is, anderzijds zorgt de grenslaag voor een vervorming van de hoofdstroming. Beide gezichtspunten zijn equivalent als het gaat om de wrijvingskracht die een object ondervindt. Veronderstel dat de grenslaag lengte L en dikte δ heeft. Dan is de wrijvingskracht L τ0 van de grenslaag gelijk aan de weerstandskracht van een object met dikte δ in een wrijvingsloze stroming. Van de laatste weten we volgens de dimensieanalyse van blz. 33 dat hij onafhankelijk is van het Reynoldsgetal, althans, als we die kracht dimensieloos maken: 1 2
τ0 L = CD , of ρU 2 δ
1 2
τ0 δ = CD = CD Re −1/2 . 2 L ρU
De vraag is nu naar de numerieke waarde van de constante C, waarvan we verwachten dat hij van de orde 1 is. In de volgende paragraaf wordt gedemonstreerd dat we een verrassend goede waarde voor C kunnen vinden door gebruik te maken van de ge¨ıntegreerde grenslaagvergelijkingen. 6.7
Benaderde oplossing von K´ arm´ an vergelijking
Voor de vlakke plaat is de hoofdstroming onafhankelijk van x, en gebruiken we Vgl. 6.12 Z ∞ τ0 u´ τ0 u ³ 2 d 2 d (Θ) = , of U (6.17) 1− dy = , U dx ρ dx 0 U U ρ
51
waarbij we de bovengrens van de integratie mogen vervangen door y = δ. We proberen een gelijkvormig snelheidsprofiel in de vorm van een polynoom u(x, y) y y2 y3 y = a + b + c 2 + d 3 = a + b η + c η 2 + d η 3 , met η = . U (x) δ δ δ δ(x)
(6.18)
De keuze van de constanten wordt bepaald door de randvoorwaarden. (a) Aan de wand heerst de no-slip voorwaarde, u(x, y = 0) = 0, zodat a = 0. (b) In de vlakke stroming is er geen drukgradi¨ent: ∂ 2 u/∂y 2 |y=0 = 0, zodat c = 0. (c) Aansluiting aan de hoofdstroming vereist u(x, y = δ) = U zodat b + d = 1. (d) Tenslotte eisen we (we hebben immers genoeg constanten) dat de aansluiting glad is ∂u/∂y|y=δ = 0, zodat b + 3d = 0. Uit de twee voorwaarden b + d = 1 en b + 3d = 0 volgt b = 3/2 en d = −1/2. Uit het zo verkregen snelheidsprofiel u/U = 32 η − 21 η 3 volgt voor de impulsverliesdikte Θ=
Z
δ
0
Z 1 ¢¡ ¢ ¡ u ³ u´ 1 − 32 η + 12 η 3 23 η − 21 η 3 dη = 1− dy = δ U U 0
39 280
δ
en voor de schuifspanning aan de wand ¯ Uν ∂u ¯¯ τ0 = 32 =ν . ¯ ρ ∂y y=0 δ
Zowel de impulsverliesdikte Θ(x) als de wandschuifspanning τ0 (x) worden bepaald door de grenslaagdikte; we hebben immers beide uitgedrukt in δ(x). Daarme wordt Vgl. 6.17 een gewone differentiaalvergelijking voor δ(x): 39 280
U2
dδ(x) = dx
3 2
Uν . δ(x)
De oplossing die voldoet aan de randvoorwaarde δ(x = 0) = 0 is δ(x) = de dimensieloze schuifspanning τ0 1 ρU 2 2
= Re−1/2
¡
¢ 840 −1/2 9×39
= 0.646 Re−1/2 .
q
840 νx , 39 U
zodat
(6.19)
De numerieke oplossing van de grenslaagvergelijking geeft τ0 1 ρU 2 2
= 0.664 Re−1/2 ,
en dat is heel erg dicht bij ons benaderde resultaat Vgl. 6.19. Met behulp van de integrale grenslaagvergelijking kan zo een goede schatting van de wrijving gevonden worden. Winst is dat de parti¨ele differentiaalvergelijkingen voor de grenslaag vervangen zijn door een gewone.
52
Uiteraard wisten we, met Hoofdstuk 4.1 in gedachten, dat de dimensieloze wrijving een functie is van het Reynoldsgetal. Die wrijving neemt af met toenemend Reynoldsgetal doordat de grenslaag dikker wordt (als x1/2 ), waardoor de gradi¨ent van de snelheid evenredig kleiner wordt. Hoewel de grenslaagvergelijkingen een stuk gemakkelijker zijn dan de oorspronkelijke Navier-Stokes vergelijking, is het toch vaak moeilijk om een oplossing te bereiken. Dat geldt met name voor het interessante geval waarin de grenslaag instabiel wordt.
6.8
Quiz
1. In een laminaire grenslaag is het snelheidsveld u(x, y) u(x, y) = U (y/δ)2 , voor 0 ≤ y < δ, en u(x, y) = U, voor y > δ. Is het waar dat de stroomlijnen buitende grenslaag verplaatst worden over een afstand δ ? 2. Heeft een divergerend kanaal stabiele grenslagen ? 3. Bij een heel grote waarde van het Reynoldsgetal kan de stroming rond objecten (op enige afstand daarvan) als wrijvingsloos beschouwd worden. Moeten we bij modelproeven dan nog wel rekening houden met het Reynoldsgetal ? 4. De stroming rond een cilinder bereikt bij punt A zijn grootste snelheid. Is A tevens het punt waar de grenslaag loslaat ? A U
5. Kunnen we de grenslagen om de vleugels van een vliegende albatros (vleugelbreedte 20 cm, snelheid 10 m/s, slagfrequentie 1 Hz) bestuderen in een model (vleugelbreedte 2 cm) met dezelfde slagfrequentie ? 6. Is in de grenslaag aan een vlakke, horizontale plaat de verticale component van de snelheid gelijk aan 0 ? 7. Het snelheidsprofiel in een grenslaag is u(x, y) = U sin(πy/2δ(x)). Verplaatsen de stroomlijnen buiten de grenslaag zich dan over een afstand δ(x) ? 8. Beschouw de grenslaag langs een vlakke plaat, maar nu varieert de snelheid U (x) buiten de grenslaag z´o dat loslating optreedt. Wat kunt U zeggen over het teken van dU/dx ? Als we het snelheidsprofiel in de grenslaag voorstellen door u(x, y)/U (x) = aη + bη 2 + cη 3 , met η = y/δ(x), is het dan waar dat op het punt van loslating de grenslaagdikte δ(x) gegeven wordt door δ = [−6ν/(dU/dx)]1/2 , met ν de kinematische viscositeit van lucht.
53
COLLEGE 7 7.1
Potentiaalstromingen
De stelling van Kelvin Vgl. 3.6 zegt dat als de stroming binnen een contour rotatievrij is, dat zo blijft als die contour door een wrijvingsloze stroming wordt meegenomen. Dit wordt nog eens bevestigd door de Navier-Stokes vergelijking in termen van de vorticiteit te schrijven ¸ · 1 ∂u 2 + u · ∇u = − ∇p + ν∇ u (7.1) ∇× ∂t ρ met de vectorgelijkheid u · ∇u = (∇ × u) × u + 12 ∇(u · u), en gebruik makend van ∇ × ∇p = 0 en ∇ × (∇2 u) = ∇2 (∇ × u) volgt de vergelijking voor de vorticiteit ω = ∇ × u ∂ω + ∇ × (ω × u) = ν∇2 ω. ∂t Tenslotte gebruiken we nog eens een vectorgelijkheid ∇ × (ω × u) = (u · ∇)ω − (ω · ∇)u, en volgt het resultaat met de afgeleide in een meebewegend coordinatensysteem D/Dt = (∂/∂t + u · ∇) Dω = (ω · ∇)u + ν∇2 ω. Dt
(7.2)
In twee dimensies staat de rotatie van u altijd loodrecht op (de gradi¨ent van) u, zodat in een inviskeuze stroming de vorticiteit behouden blijft in een met de stroming meebewegend stelsel, Dω/Dt = 0. U kunt dit elke dag in de satellietfoto’s van het weerbericht verifi¨eren. Omdat buiten de grenslagen geen vorticiteit wordt gegenereerd heeft het zin om voor grote Re rotatievrije stromingen te beschouwen. In twee dimensies kan een rotatievrije stroming beschreven worden door een potentiaalfunctie Φ(x, y). Omgekeerd, als er zo’n Φ bestaat, is de stroming automatisch rotatievrij. Verder, als er een stroomfunctie Ψ(x, y) is, is de stroming automatisch divergentievrij, ∇ · u = 0. De functies Φ en Ψ zijn z´o dat ∂Ψ , ∂y ∂Φ u= , ∂x
u=
∂Ψ ∂x ∂Φ v= ∂y v=−
(7.3)
54
In cilinderco¨ordinaten r, θ worden deze uitdrukkingen 1 ∂Ψ , r ∂θ ∂Φ , ur = ∂r ur =
∂Ψ ∂r 1 ∂Φ uθ = r ∂θ uθ = −
(7.4)
Uit Vgl. 7.3 volgt dat ∇Φ · ∇Ψ =
∂Φ ∂Ψ ∂Φ ∂Ψ · + · = u · −v + v · u = 0, ∂x ∂x ∂y ∂y
zodat de equipotentiaallijnen en de stroomlijnen loodrecht op elkaar staan. Verder volgt dat zowel Ψ als Φ voldoen aan de potentiaal (Laplace) vergelijking, ∇2 Φ = 0, ∇2 Ψ = 0, vandaar de naam “potentiaalstromingen”. De theorie van complexe functies maakt een krachtige en elegante beschrijving mogelijk van rotatie- en divergentievrije stromingen in twee dimensies. Omdat dit college geen kennis van complexe functies veronderstelt, leggen we ons een handicap op door dit formalisme niet te gebruiken. Om de lezer te doen watertanden, geven we wel steeds aan hoe de formulering in complexe functies er uit ziet. In termen van complexe functies vormen Φ en Ψ het re¨ele en imaginaire deel van een analytische functie w(x+iy) = Φ+iΨ; ze voldoen aan de Cauchy-Riemann voorwaarde. De snelheid is u − iv = dw/dx = dw/dz, omdat voor analytische functies de afgeleide in een willekeurige richting kan worden genomen. Omdat de Laplace vergelijking lineair is, is een lineaire superpositie van oplossingen ook een oplossing. Als die oplossingen voldoen aan de randvoorwaarden, dus als een hoogtelijn van Ψ(x, y) (een stroomlijn) samenvalt met de rand van het omstroomde object, is het snelheidsveld dat correspondeert met Ψ(x, y) een oplossing van de NavierStokes vergelijking die voldoet aan de randvoorwaarden. Let wel, er is g´e´en viscositeit, en dus g´e´en plak-randvoorwaarde. De rand van het object is een stroomlijn, zodat de loodrechte component van de snelheid daar nul is; de langscomponent hoeft niet nul te zijn. We bespreken nu een aantal elementaire stromingen die we als bouwstenen van potentiaalstromingen gaan gebruiken (Fig. 7.1). 7.2
Bouwstenen voor de potentiaalstroming
Evenwijdige stroming De evenwijdige stroming u = U cos α, v = U sin α is een oplossing van de Laplace vergelijking. De stroomfunctie en snelheidspotentiaal zijn immers Ψ(x, y) = U (−x sin α + y cos α) Als complexe functie: w(z) = U z e−iα .
Φ(x, y) = U (x cos α + y sin α).
(7.5)
55
(a)
(c)
(b)
(d)
p
0
a Figuur 7.1: Enkele elementaire bouwstenen van potentiaalstromingen. (a) Eevenwijdige Q stroming onder een hoek α, Ψ(x, y) = U (−x sin α + y cos α). (b) Bronstroming Ψ(r, θ) = 2π Γ als de stralen de stroomlijnen zijn, rotatievrije wervel Ψ(r, θ) = − 2π ln(r) als de cirkels de stroomlijnen zijn. (c) Dipoolstroming Ψ(x, y) = − x2ay +y 2 . (d) Cilinderstroming Ψ(x, y) = ´ ³ 2 U y 1 − ar2 .
Bron- en put stroming Deze stroming heeft een radi¨ele snelheid ur = Q/(2πr), en geen azimuthale snelheid uθ = 0, z´o dat Q de volumestroom is. Ook dit is een oplossing van de Laplace vergelijking, immers uit Vgl. 7.4 volgt dat we stroomfunctie en snelheidspotentiaal als volgt kunnen construeren Ψ(r, θ) =
Q θ 2π
Φ(r, θ) =
Q ln(r). 2π
(7.6)
De stroomlijnen zijn getekend in Fig. 7.1b. Als complexe functie: w(z) =
Q ln z. 2π
Rotatievrije wervel Deze stroming hebben we al eerder gezien bij Vgl. 1.8. Ze heeft een azimuthale snelheid uθ = Γ/(2πr), en geen radi¨ele snelheid ur = 0, z´o dat Γ de circulatie is. Deze stroming is een bouwsteen omdat overal ω = ∇ × u = 0, behalve in een singulariteit in de oorsprong. Dat ook dit een oplossing van de Laplace vergelijking is, volgt uit Vgl. 7.4 met de volgende stroomfunctie en snelheidspotentiaal Ψ(r, θ) = −
Γ ln r 2π
Φ(r, θ) =
Γ θ. 2π
(7.7)
De cirkelvormige stroomlijnen zijn getekend in Fig. 7.1b. Als complexe functie: w(z) = −
iΓ ln z. 2π
Dipoolstroming Nu keren we de rollen om, we beginnen met een complexe functie en laten zien dat haar imaginaire deel de stroomfunctie is van een dipool-stroming. De eenvoudige complexe functie w(z) =
a z
56
is (buiten de oorsprong) analytisch, haar re¨ele en imaginaire delen, Φ en Ψ voldoen dus aan de Laplace vergelijking. We berekenen ze uit w(z) =
a a x − iy x − iy = =a 2 x + iy x + iy x − iy x + y2
en dus Ψ(x, y) = −
ay ay = − x2 + y 2 r2
Φ(x, y) =
ax ax = x2 + y 2 r2
Het is eenvoudig na te gaan dat ∂Φ/∂x = ∂Ψ/∂y en ∂Φ/∂y = −∂Ψ/∂x, en dat moet natuurlijk omdat Φ en Ψ van dezelfde complexe functie afstammen en waarmee we de introductie van de complexe functie w(z) = a/z achteraf gerechtvaardigd hebben. De stroomlijnen Ψ = C zijn C(x2 + y 2 ) + ay = 0, of x2 + y 2 + Cy = 0, of x2 + (y + C/2)2 = C 2 /4. Dit zijn cirkels die door de oorspong gaan; ze zijn getekend in Fig. 7.1c. Cilinder We combineren nu twee elementaire stromingen uit onze bouwdoos. ¶ µ a2 y a2 Ψ = Uy − 2 = U y 1 − 2 r r
(7.8)
Dit is een interessante functie, omdat voor r → ∞ de Ψ correspondeert met een stroming evenwijdig aan de x−as, terwijl de lijn r = a een stroomlijn is. De keuze (Vgl. 7.8) staat dus voor de stroming rond een cilinder. Het snelheidsveld is ur uθ
¶ µ a2 1 ∂Ψ = U cos θ 1 − 2 = r ∂θ r ¶ µ ∂Ψ a2 = − = −U sin θ 1 + 2 ∂r r
(7.9) (7.10)
Op de cilinder r = a verdwijnt de radi¨ele snelheid, terwijl uit uθ = −2U sin θ volgt dat er stuwpunten (met ur = 0, uθ = 0) zijn bij θ = 0, π. Dit snelheidsveld is getekend in fig. 7.1d.
7.3
Spiegeling Y(x,y)
-Y(x,-y)
57
In de buurt van een wand kan een stroomfunctie gemaakt woorden door de stroomfunctie z´onder wand te complementeren met zijn in de wand gespiegelde. Op de wand y = 0 is dan immers ¯ ¯ ¯ ∂ ∂Ψ ¯¯ = 0, = − [Ψ(x, y) − Ψ(x, −y)]¯¯ v(x, y = 0) = − ¯ ∂x y=0 ∂x y=0
zodat voldaan is aan de eis dat de wand ondoordringbaar is. Het gevolg is dat de horizontale component van de snelheid u het dubbele wordt van die zonder de wand.
7.4
De kracht in een potentiaalstroming
Aangezien de viskeuze wrijving afwezig is, is de drukkracht de enige kracht die werkt in een potentiaalstroming. n dA
q a
We berekenen de kracht op de cilinder, de enige bijdrage aan de spanningstensor is τij = −p δij Z Z F = τ · n dA = − p n dA, met componenten A A Z 2π Z 2π p cos θ a dθ (7.11) p nx a dθ = − Fx = − 0 0 Z 2π Z 2π p sin θ a dθ (7.12) p ny a dθ = − Fy = − 0
0
waarbij p(r, θ) de drukverdeling is over de clinder. Aangezien de stroming wrijvingsloos is, volgt de druk uit de vergelijking van Bernoulli en de stromingssnelheid uθ = −2U sin θ langs de cilinder. p∞ + 21 ρU 2 = p(a, θ) + 12 ρ(2U sin θ)2 , zodat p(a, θ) = p∞ + 12 ρU 2 (1 − 4 sin2 θ). R 2π R 2π Omdat 0 sin2 θ cos θ dθ = 0 en 0 sin3 θ dθ = 0, volgt uit Vgl. 7.11 en 7.12 dat zowel Fx = Fy = 0. Dit is teleurstellend, maar niet onverwacht. De elementaire bouwdoosstromingen die we gebruikten zijn immers links-rechts symmetrisch. Die symmetrie wordt gebroken als we aan de cilinderstroming Vgl. 7.8 een potentiaalwervel toevoegen ¶ µ Γ a2 ln r, Ψ = U r sin θ 1 − 2 + r 2π die correspondeert met een stroming die met de wijzers van de klok meedraait, dus circulatie −Γ. Uit die stroomfunctie vinden we de azimuthale en radiale snelheids-
58
(a)
G=2paU
G=0
(d)
(c)
(b)
G=4paU
G=5paU
Figuur 7.2: Stromingsveld rond een roterende cilinder met toenemende circulatie Γ. De ongestoorde stroming staat onder een hoek α = 10◦ . Bij Γ > 4πU a beweegt het stuwpunt zich van de cilinder af. Dan onstaat er een nieuwe stroming rond de resulterende druppelvorm. De stroomlijnen Ψ = C zijn steeds voor dezelfde, met gelijke stappen oplopende, waarden van C getekend, zodat het verloop van de snelheid uit de verdichting van de stroomlijnen te lezen is.
componenten uθ ur
¶ µ Γ 1 a2 ∂Ψ = −U sin θ 1 + 2 − = − ∂r r 2π r ¶ µ 2 1 ∂Ψ a = = U cos θ 1 − 2 , r ∂θ r
Dat betekent dat de cilinder draait met hoeksnelheid −Γ/2πa2 . Op de cilinderwand is ur = 0, terwijl uθ = −2U sin θ − Γ/(2πa).
(7.13)
De stuwpunten verschuiven dus op de cylinder naar hoeken θ die oplossing zijn van sin θ = −
Γ 4πU a
Bij snelle rotatie Γ > 4πU a liggen ze niet langer op de cylinder en verschuiven ze naar θ = −3π/2, zodat ur = 0, terwijl de eis dat uθ = 0 de vergelijking geeft r 2 + a2 −
Γ r = 0, 2πU
met als positieve r > 0 oplossing r=
¡ ¢1/2 i Γ h . 1 + 1 − (4πaU/Γ)2 4πU
Deze situatie is getekend in Figuur 7.2(d). De stroomlijn die door het stuwpunt gaat scheidt het binnengebied van het buitengebied. De buitenstroming is nu de stroming rond een druppelvormig object geworden.
59
7.5
Lift
We berekenen de krachten op de cilinder als de stuwpunten nog op de cilinder liggen. De drukverdeling op de cilinderwand uit de vergelijking van Bernoulli en Vgl. 7.13 Ã ¶2 ! µ Γ p(a, θ) = p∞ + 12 ρU 2 1 − 2 sin θ + (7.14) 2πU a De constante termen en de termen met sin2 θ geven, zoals eerder, geen bijdrage aan de kracht. Wat overblijft is Z 2π 2 2Γ 1 a sin2 θ dθ = ρ U Γ, (7.15) Fy = 2 ρU πU a 0 terwijl Fx ∝
Z
2π
sin θ cos θ dθ = 0.
(7.16)
0
Vergelijking 7.15 voor de liftkracht Fy = ρ U Γ
(7.17)
is een resultaat dat niet alleen geldig is voor een cilinder, maar algemeen, voor een willekeurige potentiaalstroming. Het elegante bewijs maakt gebruik van de residustelling van complexe functies. De intu¨ıtieve betekenis van Vgl. 7.17 is dat (bij negatieve circulatie) boven de cilinder de snelheid hoger is dan eronder, zodat boven de cilinder de druk lager is dan eronder, en een netto kracht naar boven resulteert. 7.6
Complexe functies Im (y) C
-p dy p dx
Re (x)
In het complexe vlak beschouwen we de inifinitesimale bijdragen tot de complexe kracht Fc = Fx + i Fy , dFc = dFx + i dFy = −p dy + i p dx = i p dz, en dus I I I ¯ ¯2 ¯ dw ¯ £ ¤ 2 2 1 1 Fc = i p dz = i p∞ − 2 ρ (u + v ) = − 2 ρ i ¯¯ ¯¯ dz. C C C dz
Q iΓ ln z, − 2π ln z, enzovoorts. Dus de bijdragen tot De bouwstenen van w(z) zijn U z, 2π Q iΓ dw/dz zijn U, 2π z , − 2π z , enzovoorts. H De residustelling van de complexe functietheorie zegt dat C z −α dz = 2π i als α = 1, en 0 in alle andere gevallen. Voor een gesloten object moeten we evenveel bron- (Q)
60
(b)
(a) S
G S
-G
Figuur 7.3: De Kutta voorwaarde. (a) De ligging van het stuwpunt S is niet stabiel omdat de grenslaag niet stabiel is door de sterk vertraagde stroming aan de achterrand. (b) De afgeschilde grenslaag neemt n´et zoveel circulatie mee totdat het stuwpunt S naar de scherpe achterrand is verschoven: nu is de grenslaag wel stabiel. De resulterende circulatie Γ zorgt voor lift. Door de stelling van Kelvin blijft een evengrote maar tegengestelde circulatie −Γ achter op het vliegveld.
H ¯ ¯2 ¯ dz. De enige als putsterkte (−Q) nemen, dus die termen dragen niet bij aan C ¯ dw dz iΓU is tweemaal de mengterm − 2π z , zodat Fc = −i ρ U Γ, met Γ de circulatie. Let wel, voor positieve lift is Γ < 0, z´o dat in het algemeen de snelheid boven het object groter is dan die eronder. En daarmee is het bewijs van Vgl. 7.17 geleverd, waarmee tevens haar algemene geldigheid duidelijk wordt. Terwijl de (horizontale) weerstandskracht altijd verdwijnt, Fx = Re(Fc ) = 0, is de liftkracht Fy = ℑ(Fc ) = ρ U Γ.
7.7
De Kutta voorwaarde
Vleugels, die de liftkracht voor een vliegtuig verzorgen, hebben altijd een scherpe achterrand. De circulatie van een vleugel stelt zich bij vertrek van het vliegtuig z´o in dat de achterrand een stuwpunt wordt. Dit is bekend als de “Kutta voorwaarde”. Aangezien DΓ/Dt = 0, laat een vertrekkend vliegtuig circulatie achter op het vliegveld. Aangezien de lengte van een vleugel eindig is, laat een vliegtuig continu Hcirculatie achter, en niet alleen bij de start. Dit is het gevolg van de stelling van Stokes, C u·ds = RR ω · n, toegepast op het mutsje A H A met rand C dat over het einde van de vleugel gestulpt is (Fig. 7.4). Omdat Γ = C u·ds, moet er vorticiteit door de muts verdwijnen. Dit zijn de twee tipwervels van vliegtuigen die op een heldere dag de hemel vullen met kunstmatige wolken.
7.8
Meer complexe functies
Dit hoofdstuk laat zien dat we met succes de stroming rond eenvoudige objecten kunnen beschrijven. In de complexe functietheorie kunnen we van die eenvoudige objecten andere objecten maken door een (conforme) transformatie ξ(z) in het complexe vlak. Zo’n transformatie behoudt de analyticiteit van w(z), zodat de getransformeerde stroomlijnen opnieuw oplossing zijn van de Navier-Stokes vergelijking. Dit maakt het mogelijk om praktische stromingsleer te doen met complexe functies.
61
G
C
G
A w Figuur 7.4: Contrails. De wite strepen achter een verkeersvliegtuig dat langs een blauwe hemel vliegt worden veroorzaakt door condensatie van waterdamp met kleine roetdeeltjes als condensatiekernen. De gecondenseerde druppels markeren de twee vleugelpuntwervels, met circulatie Γ die voor de lift Fy = ρ U Γ hebben gezorgd.
7.9
Quiz
1. Is het waar dat in een wrijvingsloze stroming met Re ≫ 1 de kracht op de draaiende cilinder naar boven is gericht ? U
q=p
q=0
R
2. De potentiaal van de stroming uit de vorige vraag is φ(r, θ) = Ar cos θ + B
cos θ . r
Is het waar dat A = U en B = RU ? Draait de cilinder nu ? 3. De stroming rond deze cilinder heeft een Reynoldsgetal U D/ν ≈ 102 dat zo groot is dat we de directe viskeuze wrijving mogen verwaarlozen, en een stroomfunctie Ψ uit potentiaaltheorie, ∇2 Ψ = 0 mogen oplossen. Is de getekende stroomlijn realistisch ? U
D
4. Beschouw de twee-dimensionale wrijvingsloze bronstroming uit een hoek, het volumedebiet van de bron is Qm2 /s. Is de snelheidspotentiaal dan Φ(r, θ) = (Q/2π) ln r ? vr Q a
62
63
Antwoorden Quiz
I
1. Ja, maar snijdende stroomlijnen kunnen alleen als de snelheid daar 0 is. 2. Ja, tussen de stroomlijnen bij A en die bij B gaat dezelfde volumestroom, dus moet de snelheid bij A groter zijn dan die bij B. 3. Ja, want u = ∂Ψ/∂y = x, en v = −∂Ψ/∂x = −y. Er is een Ψ, dus de stroming is incompressibel. 4. Ja, want u = ∂φ/∂x = x, en v = ∂φ/∂y = −y. Er is een φ, dus de stroming is rotatievrij. 5. Nee, want de snelheid is tijdsafhankelijk. RR ∂v 6. ∇·u = 0, ωz = ∂x − ∂u = −2by. Γ = A ωz dA = −bH 3 , terwijl, rondgaand ∂y over de zijden van het vierkant I u · ds = − 21 aH 2 + 21 aH 2 + 12 aH 2 − bH 3 + − 21 aH 2 = −bH 3 {z } | {z } | {z } | {z } | y=0
x=H
y=H
x=0
7. De versnelling is µ ¶ du du dv dv u · ∇u = u = (αx2 , βy 2 ) + v ,u +v dx dy dx dy II
1. u(x)d(x) = C, dus u(x) = Cx. Convectieve versnelling udu/dx = C 2 x. 2. d(x) = d0 + Ax, u(x) = u0 /(d0 + Ax)2 , udu/dx = −u20 /(d0 + Ax)5 ∼ d(x)−5 .
3. triviaal
4. De term ν(d2 u/dy 2 ) komt van ∇ · τ , en dus wordt de vergelijking 1 dp − + 3˜ µ ρ dy
µ
du dy
¶2
d2 u = 0. dy 2
5. Kennelijk is d(x) = D(1 − 23 x/L), met L = 0.1 m. Dus u(x) = U1 D/d(x) = U1 (1 − 32 x/L)−1 . De convectieve versnelling is dus u(x) du(x) = U12 (1 − dx 2 −3 −2 x/L) (2/3L) = 6480 ms . 3 III
1. Nee, volgens Bernoulli is de uitstroomsnelheid bij A hoger. 2. Nee, want bij A is de snelheid hoger, dus de druk lager. 3. Nee, ω = ∂v/∂x − ∂u/∂y = −2c. Dus alleen langs de stroomlijnen.
4. Nee, om de centripetale kracht te leveren is de druk bij B hoger, dus de snelheid lager. 5. Ja, de uitdrukking is juist als de snelheid bij 1 nul is. Maar u1 = u2 /16, daardoor komt er in het drukverschil een correctie (1 − 1/162 ), en in φ een correctie (1 − 1/256)1/2 ≈ 1 + 2 × 10−3 , het is zelfs beter dan 4%.
64
6. Er volgt uit de wet van Bernoulli dat v0 = (2gh)1/2 , waarbij we de snelheid van het oppervlak dh/dt verwaarlozen. Als A de oppervlakte van de doorsnede van het vat is, en A0 de oppervlakte van de doorsnede van de uitstroomopening, volgt dat µ ¶2 dh A0 ³ g ´1/2 1/2 1/2 A = −A0 (2gh) , of h(t) = h0 − t , dt A 2 De leeglooptijd is T = (A/A0 )(2h/g)1/2 , dus evenredig met de wortel uit de hoogte. 7. Stel dat de oppervlakte van het gat A is. In de eerste situatie volgt uit de wet van Bernoulli voor de uitstroomsnelheid u dat 21 u2 = gh, en voor de kracht op de plaat F = ρu2 A, of F = 2ρghA. In de tweede situatie wordt de kracht gegeven door de hydrostatische druk, F = ρghA. 8. Snel (en goed) antwoord: Op de plaat geeft behoud van impuls M g = vh2 A, met A het oppervlak waar de straal de plaat treft met snelheid vh . Maar volgens Bernoulli neemt de snelheid vh af met de hoogte als 21 vh2 = 12 v 2 − gh. Dus is de hoogte evenredig met v 2 (eerste formule). Echter, dit houdt geen rekening met de toename van A met toenemende hoogte (door behoud van massa), dus de correcte formule is de tweede. Met een berekening: behoud van massa geeft vh A = vA0 , met A0 de oppervlakte van de straal op h = 0. Dus M g = ρ v vh A0 . Dan geeft de vergelijking van Bernoulli h=
1 2 1 1 (v − vh2 ) = (v 2 − (M g/ρvA0 )2 ) = (v 2 − vt4 /v 2 ), 2g 2g 2g
met vt2 = M g/ρA0 , de snelheid waarbij de plaat net zweeft. IV
1. Ja, want viskeuze wrijving: Re, instationariteit: Sr, en oppervlaktevervorming: Fr. 2. Ja, dit is precies het getal van Froude, c = (λ g)1/2 ,
c2 λg
3. Nee, fluiten gebeurt bij een gegeven waarde van Sr: Sr = 1000 10−3 . U
= F r = 1/2π. fL , U
maar
200 10−2 U
6=
4. Ja, we tellen 7 grootheden, R, ρb , ρ, ν, g, v, t en met 3 basiseenheden M, L, T zijn er dus 4 dimensieloze parameters. De formule bevat precies 4 (onafhankelijke) parameters, die alle dimensieloos zijn. 5. De versnelling is de zwaartekracht minus de wrijvingskracht, en de wet van Newton geeft de differentiaalvergelijking ρd 43 πr3
dv dv 3 ρl = −4πr2 ρl v 2 CD + ρd 34 πr3 g, of =− CD v 2 + g. dt dt r ρd
De vergelijking heeft de vorm dv/dt = A v 2 + g, en de vreselijke constanten kunnen we kwijtraken door de dimensieloze v ′ = (A/g)1/2 v, en t′ = (g/A1/2 )t. De resulterende elementaire differentiaalvergelijiking dv ′ /dt = v ′2 + 1 heeft als oplossing v ′ (t′ ) = tanh t′ .
65
6. De weerstandskracht F vinden we uit CD door F = 12 ρU 2 CD . De weerstandskracht is dus kleiner als de druk lager (ρ kleiner) is. Er is nog een (subtiel) effect: bij een lagere druk is de kinematische viscositeit ν groter. Het Reynoldsgetal bij standaard druk 105 Pascal is Re = U L/ν = 6 × 105 . Het Reynoldsgetal wordt dus kleiner bij een lagere druk zodat we in de dip van de grafiek nog iets naar links schuiven. Overigens heeft de dip in de grafiek te maken met het turbulent worden van de grenslaag. 7. Van belang is de viskeuze wrijving, bijvoorbeeld voor de grenslagen rond de propellors, en de omwentelingsfrequentie. Dat is het getal van Reynolds: U L/ν = 5 × 10−2 · 6 × 10−2 /1.5 × 10−5 = 200 en 10−2 · 2 × 10−2 /10−6 = 200, en het getal van Strouhal: f U/L = 6 × 10−2 /(0.3 · 5 × 10−2 ) = 4 en 2 × 10−2 /(0.5 · 2 × 10−2 ) = 4. Beide zijn in beide situaties aan elkaar gelijk, dus als de propellors geometrisch gelijkvormig zijn, zijn de stromingen dat ook. Als we twee situaties vergelijken mogen we het getal van Strouhal met f in plaats van ω gebruiken. V
1. Nee, want wrijving is van belang. 2. Met ur = 0 is de Navier-Stokes vergelijking µ ¶ µ ¾ ½ ¶ ∂uθ ∂uθ uθ ∂ 1 ∂ 1 ∂ r − 2 =ν =ν (ruθ ) . ∂t r ∂r ∂r r ∂r r ∂r
(8.1)
Dit is een diffusievergelijking voor de (z-component van de) vorticiteit Γ −r2 /4νt 1 ∂(ruθ ) , met ω(r, t = 0) = − e , r ∂r 4νt µ ¶ ∂ω ∂ω 1 ∂ 2 r . = ν∇ ω = ν ∂t r ∂r ∂r
ω=
Door in te vullen zien we dat het klopt. U kunt natuurlijk ook direct uθ invullen in Vgl. 8.1 (maar dat is minder aardig). 3. Nee, door de extra lengteschaal R bestaat zo’n oplossing hier niet meer. 4. Ook voor een turbulente stroming is de schuifspanning lineair in y, dus τ = 0 als y = 0. 5. Er is evenwicht tussen de zwaartekracht en de wrijvingskracht, 6π µ U a = 34 πa3 ρd , of U = 12, 34 ms−1 . 6. Bij (a) zijn er, behalve de dimensieloze snelheid u/U , drie grootheden die het probleem bepalen: y, t, ν, met dimensies [m], [s], [m2 s−1 ], dus twee basisgrootheden. Daar kan dus maar ´e´en dimensieloze parameter (ξ bijvoorbeeld) van gevormd worden. Bij (b) zijn er, behalve de snelheid, vier grootheden: r, t, ν, R en dus kan de reductie hier tot ´e´en parameter niet gedaan worden. De dimensieloze parameters kunnen dan zijn: ξ1 = r/(νt)1/2 , ξ2 = r/R, (en natuurlijk ξ3 = u/(ΩR)).
66
VI
1. Nee, de verplaatsingsdikte is δ ∗ = 2. Nee, dp/dx > 0.
Rδ
(1 − u(y)/U ) dy = δ 0
R1 0
(1 − x2 ) dx = 32 δ
3. Ja, immers voor de grenslaag is het Reynoldsgetal relevant. 4. Nee, dit is de hoofdstroming, waarvoor dU/dx = 0 (x langs de cilinder gemeten), dan is ∂ 2 u/∂y 2 = 0, maar nog niet ∂u/∂y = 0. 5. Nee, uit Sra = Srm , of f L/U = fm Lm /Um volgt Um = 1m/s, maar voor de grenslagen is Re belangrijk, en Rea = 0.2 10/ν 6= 2 × 10−2 1/ν (tenzij we voor het model een ander medium dan lucht gebruiken). 6. Nee, maar hij is wel heel klein (V /U = δ/L). 7. Als y = δ(x) bereiken we de rand van de grenslaag (met het gegeven profiel sluit de grenslaag tevens glad aan bij de hoofdstroming). Dan verplaatsen de stroomlijnen zich over δ=
Z
0
δ(x)
(1 − u/U ) dy =
Z
0
δ(x)
(1 − sin(πy/2δ(x)) dy = (1 − 2/π)δ(x).
Dit is minder dan δ(x) omdat de verplaatsing van de stroomlijnen wordt bepaald door behoud van massa. 8. Loslating gebeurt in een vertragende hoofdstroming, dus dU/dx < 0. Loslating gebeurt als de snelheid in de grenslaag aan de wand omkeert, dus du/dy = 0 als y = 0, dus a = 0. Verder moet het gegeven profiel voldoen aan u = U als y = δ, dus a + b + c = b + c = 1, en glad aansluiten, dus du/dy = 0 als y = δ, of a + 2b + 3c = 2b + 3c = 0, waaruit volgt b = 3. Op de wand volgt tevens uit de grenslaagvergelijking, ¯ ∂ 2 u ¯¯ dU 2b dU 1 ∂p ν = −U , of ν = − , = ∂y 2 ¯y=0 ρ ∂x dx δ2 dx waaruit het antwoord volgt.
VII
1. Ja, boven is de snelheid hoger, dus de druk lager. θ volgt (r = ∞, θ = π) dat A = −U , maar 2. Nee, want uit vr = A cos θ − B cos r2 uit vr (r = R) = 0 zou dan volgen B = R2 U .
3. Nee, bij dit Reynoldsgetal zal de grenslaag rond de cilinder zeker loslaten, zodat de stroomlijn (stroming buiten de grenslaag) nooit zo kan rond gaan. 4. Nee, want vr = ∂Φ/∂r moet zijn vr = Q/αr, zodat Φ(r, θ) = (Q/α) ln r.
67
Historie Het is 212 voor Christus. De stad Syracuse is zojuist gevallen na een belegering van een jaar door Claudius Marcellus. Met steeds weer nieuwe ingenieuze werktuigen van Archimedes (287–212 v Chr) heeft de stad een jaar lang de belegeraars op afstand gehouden. Archimedes overpeinst een probleem waarvan hij een schets in het zand op de vloer van zijn huis tekent. Op dat moment komt er een soldaat binnen die de opdracht heeft om Archimedes mee te nemen. Archimedes wil eerst zijn probleem oplossen, waarop de soldaat op zijn tekening gaat staan. Boos vraagt Archimedes om van zijn tekening af te gaan, waarop de soldaat de oude man aan zijn zwaard rijgt. Het voorval schets de moeizame relatie tussen de machthebber en de wetenschapper door de geschiedenis heen. Archimedes dacht na over de krachten die voorwerpen in een vloeistof ondervinden. Zo bewees Archimedes dat een voorwerp dat van het zelfde materiaal als de vloeistof gemaakt is, geheel ondergedompeld blijft. Daarbij maakt Archimedes gebruik van het principe van de continuiteit van de druk in rust, en van Aristoteles’ idee dat het oppervlak van een vloeistof een bol is, met het centrum van de aarde als middelpunt. Deze voorstelling is overigens niet gebaseerd op de zwaartekracht, maar op Aristoteles’ idee dat de wereld omgeven is door een schil vloeistof, daarbuiten een schil lucht, en tenslotte een schil vuur. A B
1
2
Figuur 9.1: In het bewijs van Archimedes beschouwen we twee objecten die dezelfde dichtheid hebben als water. Als object A boven het oppervlak uitsteekt, en object B, dat gelijk is aan het onder water gedeelte van A, gelijk ligt met het oppervlak, is de druk in sector 1 groter dan in sector 2, en kan er geen evenwicht zijn.
Nu zouden we zeggen dat de druk gelijk is aan p = ρw gz, waarbij z de diepte is, en dus is de verticale opwaartse kracht op een ondergedompeld object gelijk aan ZZ ZZZ ZZZ ez · pn dA = ez · ∇p dV = ez · ρw g dV, A
V
V
het gewicht van de door het object verplaatste vloeistof. Het bewijs schetst de lange weg die we nog te gaan hebben naar een passende wiskundige beschrijving. Een weg die trouwens pas in 1850 voltooid was. Stromingsleer is een vak van bejaarden, bij alles wat je doet bekruipt je het beklemmende gevoel dat ´e´en van de groten van eeuwen geleden hoofdschuddend over je schouder meekijkt. Na de donkere middeleeuwen waarin de Romeinse cultuur verjaagd werd door de Gothen, Franken en Vandalen breekt de Renaissance aan. Leonardo da Vinci (1452–1519) was goed in alles: in wetenschap, de kunsten en de poezie. Volgens hem kon niemand wetenschapper, architect, of zelfs dichter of schilder zijn zonder kennis van de wiskunde. Van Leonardo is de waarneming dat de snelheid U van een vloeistof afhangt van
68
de doorsnede A van het kanaal volgens U A = constant In hedendaagse taal, ∇ · u = 0. Leonardo begreep iets van de kinematica van de stroming, maar van de dynamica die voortgebracht wordt door krachten had hij een wazig idee: “De kracht is het spiritueel vermogen, een onzichtbare energie, uitgeoefend door geweld van buiten op alle lichamen die uit hun natuurlijk evenwicht geraakt zijn; een onzichtbare energie die geschapen wordt en overgedragen wordt door geweld van buiten door bezielde lichamen op zielloze lichamen, zodat het net is of de laatste gaan leven, en dit leven werkt wonderbaarlijk; geweld dat sterft door vrijheid; dat wat in zijn woede wegdrijft wat op zijn weg komt; dat wat van vorm verandert en alle lichamen dwingt van vorm en plaats te veranderen.”
Leonardo nam waar dat de vorm van een schip zijn weerstand bepaalde. Bij een schip met een vierkante boeg zag Leonardo dat de stroming verstoord en geweldadig wordt, veel meer dan bij een gestroomlijnd schip. Grenslaagloslating zouden we nu zeggen. Talloos zijn Leonardo’s vliegmachines en observaties van stromingen. Dynamica begint met druk. Nadat Galileo (1565–1642) het principe van de hevel had beschreven, en Torricelli (1608–1647) en Von Guericke (1602–1686) met het “horror vacui” experimenteerden, ontmoeten we Pascal. Overigens vond Torricelli voor het eerst een verband tussen de snelheid van een uit een gat stromende vloeistof en de waterhoogte in het vat, u = (2gh)1/2 . Pascal (1623–1662) was een groot wetenschapper, filosoof en theoloog. Van hem is het bewijs in paragraaf 1 op blz. 7. Euler (1707–1783) en Lagrange introduceerden de dynamica, nadat Newton (1642– 1727) de vloeistofwrijving beschreef. Hij noemde de wrijving “defectus lubricatus”, en vond dat de wrijvingskracht per eenheid van oppervlakte evenredig is met de gradient van de snelheid. F du τ= =µ A dy Newton dacht dat de vloeistof bestond uit deeltjes en dat de weerstandkracht Fw die een object van de stroming ondervindt het gevolg is van het tot stilstand komen van de deeltjes tegen het object. Daarom zou Fw ∼ u2 . Hoewel dit voor grote snelheden het correcte verband is, zat Newton er helemaal naast. Het zou nog tot in de 20e eeuw duren voordat dit helemaal begrepen werd. Euler’s vergelijking is de toepassing van Newton’s dynamica, maar heeft nog steeds betrekking op een wrijvingsloze stroming. 1 ∂u + (u · ∇)u = − ∇p ∂t ρ Euler introduceerde allerlei begrippen om de kinematica van het vectorveld aanschouwelijk te maken, zoals het vloeistofelementje, en de stroomlijn. Lagrange formuleerde deze vergelijking in de vorm van een behoudswet, waarop we straks terugkomen µ ¶ Z dp ∂φ 1 2 d 2u + =0 (9.1) + ρ ∂t
69
Terwijl het vectorveld u(x, t) in Euler’s wereld afhangt van plaats en tijd, bedacht Lagrange een vectorveld x(x0 , t) dat afhangt van de beginpositie x0 van elk vloeistofdeeltje. In Lagrange’s wereld is de snelheid dus u = ∂x/∂t. Behalve voor de studie van menging in een stroming, is deze benadering niet zo handig. Menging gebeurt heel effici¨ent in turbulente stromingen, vandaar dat er in de laatste jaren weer veel aandacht is voor Lagrange-turbulentie. Vergelijking 9.1 wordt traditioneel de vergelijking van Bernoulli genoemd, naar de Groninger Daniel Bernoulli. Als hoogleraar in St. Petersburg schreef hij in 1738 het eerste leerboek over de stromingsleer (“Hydrodynamica”). Echter, de vergelijking is nergens in zijn boek te vinden. We laten het maar zo: Bernoulli is de enige Nederlander in de rij van grondleggers van de stromingsleer. Toen de verwevenheid van de druk en de dynamica bekend was, realiseerde d’Alembert (1717–1783) zich dat lichamen g´e´en wrijvings krachten ondervonden. Hoewel het hem onaangenaam was, voerde hij het begrip “stuwpunten” in, een punt aan het oppervlak waar de vloeistof tot stilstand komt. Uiteindelijk waren het Claude–Louis Navier (1785–1836) en George Stokes die de stromingsleer afmaakten door de toevoeging van de viscositeit nadat Poiseuille (1799–1869) uitvoerig experimenten had gedaan met dunne buizen. Eind negentiende eeuw is de stromingsleer dus klaar met de vergelijking die naar Navier en Stokes genoemd is: ∂u 1 + (u · ∇)u = − ∇p + ν∇2 u. ∂t ρ
(9.2)
Verder wiskundige analyse werd gedaan door Gauchy (1789–1857) die de stroming van 2-dimensionale vorticiteitsvrije stromingen reduceerde tot de Laplace vergelijking (waarvoor een schat aan oplossingen bekend is), Helmholtz (1821–1894) die de kinematica van vortexlijnen bestudeerde en zo verklaarde waarom wervelstructuren en tornado’s zo vaak in de weerkunde te zien zijn. En dan is de stromingsleer zo’n beetje klaar, althans. . . de vergelijkingen zijn bekend. Er zijn nog wat probleempjes, maar daar komen we zo over te spreken. De 20e eeuw is de eeuw van de ontwikkeling van de luchtvaart die een stormachtige ontwikkeling doormaakt. In het algemeen is Vgl. 9.2 t´e ingewikkeld om zo maar op te lossen. Het is een niet–lineaire parti¨ele differentiaalvergelijking, met een druk die er voor zorgt dat een locale verandering van het snelheidsveld onmiddelijk (met de geluidssnelheid) meegedeeld wordt aan het hele snelheidsveld. Nadat d’Alembert bewees dat lichamen in een wrijvingsloze stroming geen weerstandskrachten ondervinden, werd dit tegen–intu¨ıtieve resultaat een groot probleem. Ludwig Prandtl (1875–1953) had een geniale oplossing voor dit probleem die ik U niet zal onthouden. Hij bestudeerde “bijna” wrijvingsloze stromingen op een unieke manier. Wij zouden zeggen: neem de vergelijkingen en los ze op, en laat vervolgens de viscositeit naar nul gaan. Prandtl’s idee was: splits de stroming rond een ding in twee delen. In een dunne laag rond het object is er wrijving, daarbuiten niet. In die twee delen gelden verschillende benaderingen van de vergelijkingen, elk daarvan met veel eenvoudiger oplossingen dan die van de hele stroming. Vervolgens worden de twee oplossingen op de rand aan elkaar geplakt.
70
Een illustratie daarvan wordt gegeven door het volgende eenvoudige probleem, waarin ǫ een klein getal is, ǫy ′′ + y ′ + y = 0, y(0) = α, y(1) = β.
(9.3)
Voor ǫ → 0, wanneer we de term met de tweede afgeleide verwaarlozen is het probleem erg eenvoudig geworden, de oplossing is dan y(x) = α exp(−x). Dit kan echter nooit de oplossing zijn, want daarmee kunnen we niet aan de eis y(1) = β voldoen. Het punt is dat de verwaarlozing van de tweede afgeleide fout gaat als x → 0. Daarom splitsen we het probleem in twee delen. In het buitengebied nemen we y ′ + y = 0, en voldoen aan de randvoorwaarde y(1) = β, zodat de oplossing is ybuiten (x) = β exp(1 − x). Het binnengebied vergroten we uit door de coordinaat ζ = x/ǫ in te voeren, zodat d2 y/dζ 2 + dy/dζ + ǫy = 0,
(9.4)
met voor ǫ = 0 de oplossing y(ζ) = A + B exp(−ζ), waarmee aan de randvoorwaarde y(0) = α voldoen: y(ζ) = (α − B) + B exp(−ζ). Met de constante B stellen we de oplossing gelijk aan die van het buitengebied, ybinnen (x = ǫ) = ybuiten (x = ǫ). De twee aan elkaar geplakte oplossingen van de eenvoudige vergelijkingen worden in figuur 9.2 vergeleken met de exacte oplossing van Vgl. 9.3 die overal geldig is. 1.5
f(x)
1.0
0.5
0
0
1 x
2
Figuur 9.2: In een eenvoudig probleem Vgl. 9.3 illustreren we hoe we moeten omgaan met de verwaarlozing van kleine dingen. Daartoe delen we de x−as in twee gebieden, een binengebied met een eenvoudige differentiaalvergelijking, en een buitengebied met een andere eenvoudige differentiaalvergelijking. De twee oplossingen plakken we aan elkaar (bij x = ǫ). Dit was ook het idee van Prandtl om de invloed van de wrijving aan een object in de stroming te beschrijven.
Joukovsky (1847–1921) en Kutta (1867–1944) bedachten de theorie van het vliegen, Prandtl (1875–1953) en Lanchester (1878–1946) breidden die uit naar 2 dimensies, en er kon gevlogen worden. Sneller en sneller: voor snelheden in de buurt van het geluid hoefde de Navier–Stokes vergelijkingen alleen maar aangevuld te worden met de Thermodynamica. De Oostenrijkse fysicus en filosoof Ernst Mach (1838–1916) realiseerde zich dat slechts de verhouding tussen stromingssnelheid u en geluidssnelheid c, u/c telt, een verhouding die later het Mach getal genoemd wordt. De ongelofelijke snelle ontwikkeling culmineert in supersone vlucht en de wonderbaarlijke precieze terugkeer van de Apollo ruimtevaart capsules in de atmosfeer. Dit alles werd goed genoeg begrepen voor een duizelingwekkend snelle ontwikkeling van de luchtvaart-technologie. Ondertussen is het mogelijk om Vgl. 9.2 te simuleren in steeds krachtiger supercomputers
71
waarmee de stromingsleer in de laatste jaren het experiment verlaat. Stromingsleer is technologie geworden, niet langer meer natuurkunde. Voor viskeuze stromingen is de weerstand van een object evenredig met de snelheid, voor niet–viskeuze stroming is ze evenredig met u2 , het kwadraat van de snelheid. Dit probleem intrigeerde Osborne Reynolds (1842–1912); hij vroeg zich af of de viscositeit misschien zou afhangen van de stroming. Door de stroming in een buis te volgen met kleurstof ontdekte hij dat bij een kritische snelheid de stroming ”wriemelend” werd, en dat vanaf dat moment de weerstand van karakter veranderde. In feite wordt het kritische punt gegeven door de volgende combinatie u D/ν, met D de diameter van de buis, een combinatie die later het Reynoldsgetal werd genoemd. Hoewel de wriemelende beweging al bekend was aan Leonardo, bepaalde Reynolds voor het eerst nauwkeurig het begin daarvan en relateerde het aan het gedrag van de weerstand die een object van de stroming ondervindt. In moderne taal heet Reynolds’ wriemelende stroming ”turbulentie”. Het zou het overgebleven probleem van de nagenoeg voltooide stromingsleer worden. Reynolds kwam op het idee om een vergelijking voor het gemiddelde snelheidsveld te schrijven, waarin nieuwe viskeuze bijdragen kwamen ten gevolge van de fluctuerende componenten. Echter, die turbulente viscositeit (wervel–viscositeit) gedraagt zich niet zoals de gewone moleculaire viscositeit die het gevolg is van de moleculaire chaos. Overigens, een sluitende vertaling van moleculaire chaos naar viscositeit kon pas in de vijftiger jaren van de vorige eeuw gegeven worden, maar goed. De stromingsleerders, ingenieurs geworden door het enorme technologische succes in de helft van de vorige eeuw, moesten gered worden door een wiskundige A.N. Kolmogorov (1903–1987) die in 1940 een nieuwe theorie voor turbulentie voorstelde, wier voorspellingen verbluffend goed klopten met de experimenten. Ook andere fysici, zoals Landau (1908–1968) en Heisenberg (1901–1976) werden ge¨ıntrigeerd door wat het laatste overgebleven probleem van de klassieke fysica genoemd zou gaan worden. Ze dachten turbulentie wel even op te lossen (een gedachte die ook onder sommige tijdgenoten is aan te treffen). Dit alles zonder succes, en in de 60er jaren van de vorige eeuw zakte de stromingsleer weer weg als, zeer succesvolle ingenieurswetenschap, met nog e´en ´ overgebleven probleem. Waarom wordt een stroming boven het kritische Reynoldsgetal eigenlijk wanordelijk ? Het fenomeen Instabiliteit was natuurlijk al lang bekend, maar hoe kan dit tot wanorde leiden ? Landau dacht dat dit te maken had met het verschijnen van steeds meer frequenties die in een niet–rationale verhouding stonden tot de eerste frequenties die instabiel wordt. Zo wordt turbulentie quasi–periodiek. Opnieuw kwam er, 30 jaar na Kolmogorov een impuls uit de wiskunde. Dit was de chaos–theorie die voor het eerst beschreef hoe uit niet–lineariteit (en de Navier–Stokes vergelijking is niet lineair) voortdurende wanorde kan ontstaan. In de 70er jaren van de vorige eeuw dacht Feigenbaum dat met deze nieuwe theorie het turbulentieprobleem nu wel snel opgelost zou zijn. Feigenbaum’s onderwerp betrof iteraties van niet–lineaire functies als dynamisch systeem waarmee opmerkelijke resultaten bereikt werden. Daarmee was het mogelijk om Landau’s suggestie van de hand te wijzen; wat
72
hij dacht gebeurt meestal niet in niet–lineaire systemen. De eenvoudige systemen van de chaos–theorie, hoe verbijsterend complex hun gedrag ook is, zijn nog geen turbulentie. Toch is het deze aanpak die de stromingsleer weer een salonf¨ahig onderwerp voor fysici maakte.
73
Formules
Behoudswetten in integraalvorm voor een vast volume V dat begrensd wordt door het oppervlak A ZZZ ZZ d massa : ρ dV + ρ(v · n) dA = 0 dt V A ZZZ ZZ ZZ ZZZ d impuls : ρ v dV + ρ v (v · n) dA = − p n dA + ρ g dV + dt V A A V ZZ n · σ dA + F A
Stellingen van Gauss ZZ Z Z Z en Stokes I ZZ v · n dA = ∇ · v dV, v · ds = ω · n dA A
V
S
A
Constitutieve vergelijking voor een Newton’s medium σij = 2µ eij − 23 µ (∇ · u)δij met totale spanning τij = −p δij + σij Deformatietensor e in Carthesisch stelsel · ¸ ∂vr ∂u 1 ∂vθ ur ∂u i j eij = 12 In cilindrisch (r, θ, z)- stelsel err = , eθθ = + , + ∂xj ∂xi ∂r r ∂θ r · · ¸ · ¸ ¸ ³ ´ 1 ∂vr ∂vr ∂vz ∂vθ 1 ∂vz ∂ vθ , eθz = 21 erθ = 21 +r , erz = 21 + + r ∂θ ∂r r ∂z ∂r ∂z r ∂θ Behoudswetten in differentiaalvorm voor onsamendrukbaar medium massa : ∇ · v = 0 1 ∂v + (v · ∇)v = − ∇p + ν∇2 v + g (de Navier-Stokes vergelijking) impuls : ∂t ρ De differentiaalvergelijkingen voor massa- en impulstransport In Cartesische co¨ordinaten (x, y, z), v = (u, v, w) voor u, en analoog voor v en w ∂u ∂v ∂w + + =0 ∂x ∂y ∂z ¸ · 2 ∂u ∂u ∂u 1 ∂p ∂u ∂ u ∂ 2u ∂ 2u + gx +u +v +w =− +ν + + ∂t ∂x ∂y ∂z ρ ∂x ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 In cilinderco¨ordinaten (r, θ, z) met v = (vr , vθ , vz ) 1 ∂ 1 ∂vθ ∂vz (rvr ) + + =0 r ∂r r ∂θ ∂z
74
(de versnelling van de zwaartekracht g is weggelaten) ∂vr ∂vr vθ ∂vr ∂vr vθ2 + vr + + vz − = ∂t ∂r r ∂θ ∂z r · ¸ ¾ ½ 1 ∂p ∂vr 1 ∂ 2 vr ∂ 2 vr 2 ∂vθ vr 1 ∂ =− r + 2 2 + +ν − 2 − 2 ρ ∂r r ∂r ∂r r ∂θ ∂z 2 r ∂θ r ∂vθ ∂vθ vθ ∂vθ ∂vθ vr vθ + vr + + vz + = ∂t ∂r r½ ∂θ · ∂z¸ r ¾ 1 ∂p 2 ∂vr vθ ∂vθ 1 ∂ 2 vθ ∂ 2 vθ 1 ∂ =− +ν + 2 − 2 r + 2 2 + ρr ∂θ r ∂r ∂r r ∂θ ∂z 2 r ∂θ r ∂vz ∂vz vθ ∂vz ∂vz + vr + + vz = ∂t ∂r ∂z ¾ ½r ∂θ · ¸ ∂vz 1 ∂ 2 vz ∂ 2 vz 1 ∂ 1 ∂p +ν r + 2 2 + =− ρ ∂z r ∂r ∂r r ∂θ ∂z 2 Dimensieloze kentallen Reynolds: Re = VνL Strouhal: Sr =
ωL V
Froude: F r =
V2 gL
Mach: M a =
Bernoulli vergelijking p 1 2 = C (onsamendrukbaar), of 2 V + gh + ρ cp γ p c2 1 2 1 2 = = C (ideaal gas, met γ = ) V + V + 2 2 γ −1ρ γ−1 cv Deeltjesbanen en stroomlijnen dx dy dx = = = dt u(x, t) v(x, t) w(x, t) dx dy dz stroomlijn: integreer voor vaste tijd t0 = = u(t0 ) v(t0 ) w(t0 ) I ZZ Circulatie Γ = v · dℓ = (∇ × v) · n dA, Kelvin DΓ/Dt = 0. deeltjesbaan: integreer naar t
C
A
Grenslagen ∂u 1 ∂p ∂ 2 u ∂p ∂u +v =− + ν 2, = 0, en ∇ · u = 0 ∂x ∂y ρ ∂x ∂y ∂y Z 1 ∞ ∗ (V − u) dy verplaatsingsdikte : δ = V 0 Z ∞ 1 impulsverliesdikte : θ = 2 (V − u)u dy V 0 dV τ0 d (θV 2 ) + δ ∗ V = Von K´arm´an : dx dx ρ
grenslaagvergelijking : u
Potentiaalstromingen v = ∇φ, v = ∇ × Ψ, w(z) = φ + iΨ,
dw = u − iv. dz
V c
75
u= u=
∂φ , ∂x ∂ψ , ∂y
v= v=
∂φ ∂y − ∂ψ ∂x
in (x, y)
vr = vr =
∂φ , ∂r 1 ∂ψ , r ∂θ
vθ = vθ =
1 ∂φ r ∂θ − ∂ψ ∂r
in (r, θ) − stelsel
Q Q θ, complex w(z) = ln z, 2π 2π iΓ Γ ln r, complex w(z) = − ln z, wervel Ψ(r, θ) = − 2π 2π parallelstroming Ψ(x, y) = U (−x sin α, y cos α), complex w(z) = U z e−i α . bron Ψ(r, θ) =
Divergentie, gradi¨ ent, rotatie, Laplaciaan Cartesische co¨ ordinaten vector a = (ax , ay , az ) = ex ax + ey ay + ez az scalaire functie φ = φ(x, y, z) ∂ax ∂ay ∂az + + div a = ∇ · a = ∂x ∂y ∂z ∂φ ∂φ ∂φ grad φ = ∇φ = ex + ey + ez ∂x ∂y ∂z ¸ · ¸ · ¸ · ∂ax ∂az ∂ay ∂ax ∂az ∂ay − − − ex + ey + ez rot a = ∇ × a = ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y ∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ ∇2 φ = + + 2 ∂x2 ∂y 2 ∂z Cilindercoo rdinaten r, θ, z met v = (vr , vθ , vz ) µ¨ ¶ µ ¶ ∂φ 1 ∂φ ∂φ 1 ∂ ∂φ 1 ∂2φ ∂2φ 2 ∇φ = ∇ φ= r + 2 2 + 2. , , ∂r r ∂θ ∂z r ∂r ∂r r ∂θ ∂z 1 ∂(rvr ) 1 ∂vθ ∂vz ∇·v = + + . r ∂r r ∂θ ∂z 1 ∂vz ∂vθ ∂vr ∂vz 1 ∂(rvθ ) 1 ∂vr (∇ × v)r = − , (∇ × v)θ = − , (∇ × v)z = − r ∂θ ∂z ∂z ∂r r ∂r r ∂θ 2 ∂vr vθ ∂vr ∂vr vθ {(v · ∇)v}r = vr + + vz − ∂r r ∂θ ∂z r ∂vθ vr vθ ∂vθ vθ ∂vθ + + vz + {(v · ∇)v}θ = vr ∂r r ∂θ ∂z r ∂vz ∂vz vθ ∂vz + + vz . {(v · ∇)v}z = vr ∂r r ∂θ ∂z 2 ∂vθ vr 2 ∂vr vθ (∇2 v)r = ∇2 vr − 2 − 2 , (∇2 v)θ = ∇2 vθ + 2 − 2 , (∇2 v)z = ∇2 vz r ∂θ r r ∂θ r
76
Bolco¨ ordinaten r, θ, ϕ met v = (vr , vθ , vϕ ) 1 ∂ 1 ∂ 1 ∂vϕ ∇ · v = 2 (r2 vr ) + (sin θvθ ) + =0 r ∂r r sin θ ∂θ r sin θ ∂ϕ ¶ µ 1 ∂φ ∂φ 1 ∂φ , , ∇φ = ∂r r ∂θ r sin θ ∂ϕ 1 ∂vθ 1 ∂ (vϕ sin θ) − [∇ × v]r = r sin θ ∂θ r sin θ ∂ϕ 1 ∂vr 1 ∂ [∇ × v]θ = − (rvϕ ) r sin θ ∂ϕ r ∂r 1 ∂ 1 ∂vr [∇ × v]ϕ = (rvθ ) − r ∂rµ ¶ r ∂θ µ ¶ ∂ ∂ ∂φ 1 ∂φ 1 1 ∂ 2φ 2 2 r + 2 sin θ + 2 2 (∇ φ) = 2 r ∂r ∂r r sin θ ∂θ ∂θ r sin θ ∂ϕ2 ∂vr vθ ∂vr vϕ ∂vr vθ2 + vϕ2 [v · ∇v]r = vr + + − ∂r r ∂θ r sin θ ∂ϕ r ∂vθ vθ ∂vθ vϕ ∂vθ vr vθ vϕ2 cot θ [v · ∇v]θ = vr + + + − ∂r r ∂θ r sin θ ∂ϕ r r ∂vϕ vθ ∂vϕ vϕ ∂vϕ vϕ vr vθ vϕ cot θ [v · ∇v]φ = vr + + + + ∂r r ∂θ r sin θ ∂ϕ r r ∂v 2 2v cot θ 2 ∂v 2v θ θ ϕ r − − 2 [∇2 v]r = ∇2 vr − 2 − 2 r r ∂θ r2 r sin θ ∂ϕ 2 ∂vr 2 cos θ ∂vϕ vθ [∇2 v]θ = ∇2 vθ + 2 − 2 2 − 2 2 r ∂θ r sin θ r sin θ ∂ϕ vϕ 2 ∂vr 2 cos θ ∂vθ [∇2 v]ϕ = ∇2 vϕ − 2 2 + 2 + 2 2 r sin θ r sin θ ∂ϕ r sin θ ∂ϕ Vectoridentiteiten ∇ × ∇φ = 0; ∇ · (∇ × v) = 0; ∇ × (∇ × v) = ∇(∇ · v) − ∇2 v; ∇(φψ) = φ∇ψ + ψ∇φ; ∇ · (φv) = φ∇ · v + v · ∇φ; ∇ × (φv) = φ∇ × v + (∇φ) × v; u × (∇ × v) + v × (∇ × u) = ∇(u · v) − (u · ∇)v − (v · ∇)u; v × (∇ × v) = ∇( 21 V 2 ) − (v · ∇)v met V 2 = v · v; ∇ · (u × v) = v · (∇ × u) − u · (∇ × v); ∇ × (u × v) = u(∇ · v) + (v · ∇)u − v(∇ · u) − (u · ∇)v.
6 april 2009
77
Kundu: Fluid Mechanics De beknopte weergave van de stof in deze samenvatting kan niet wedijveren met een leerboek. Bij dit college hoort het boek P. K. Kundu and Ira M. Cohen, Fluid Mechanics, Ac. Press, 2008, ISBN: 978-0-12-373735-9. De stof van het college is te vinden in de lijst van hoofdstukken hieronder. Daarnaast bevat het boek een schat aan informatie die van pas komt in vervolgcolleges, zoals het college Biologische Stromingsleer. hoofdstuk
omschrijving
1.1 t/m 1.7
De microscopische basis van de stromingsleer, fenomenologische relaties tussen spanning en vervorming (viscositeit) en tussen warmtestroom en gradi¨ent van de temperatuur. Hydrostatica en oppervlaktespanning. Doorlezen
2.1 t/m 2.10
Vectoren. Een tensor is een object dat transformeert als een vector. De spanningstensor τ bepaalt de kracht op een oppervlak als f = τ · n (blz.34). Kunnen werken met uitproduct, gradi¨ent, divergentie en rotatie. R R (∇ · Q)dV = A Q · dA en Stokes V RDe stellingen van Gauss H (∇ × u) · dA = C u · ds. A
2.13 en 2.14 3.1 t/m 3.10
Kinematica van stromingen. Het standpunt van Lagrange en Euler, materi¨ele afgeleide DF/Dt = ∂F + u · ∇F . Stroomlijnen en ∂t deeltjesbanen. HVervormingssnelheid, vorticiteit ω = ∇ × u en ∂ui in symmetrisch circulatie Γ = C u · ds, splitsing van de gradi¨ent ∂x j 1 1 (eij ) en antisymmetrisch ( 2 rij = − 2 ǫijk ωk ) stuk.
3.13
De stroomfunctie Ψ voor de snelheid u = ∇ × Ψ en de betekenis van stroomlijnen.
4.1 t/m 4.7
Afleiding van behoudswetten voor massa (de continuiteitsvergelijking) en impuls (de Navier- Stokes vergelijking) in integraalvorm.
4.10
Constitutieve relatie: het lineaire verband tussen spanning en vervorming τij = −(p + 23 µ∇ · u)δij + 2µeij .
4.11
De Navier– Stokes vergelijking ρ DDtu = −∇p + ρg + ∇ · (2µe − 23 µ(∇ · u)I). R De vergelijking van Bernoulli: 21 V 2 + dp + gz = constant met ρ 2 V = v · v langs een stroomlijn, of globaal in ω = 0 stroming.
4.16 4.17
Voorbeelden van toepassing van Bernoulli.
5.1 t/m 5.4
De vortices uθ = 21 ωr (starre rotatie) en uθ = theorema.
Γ . 2πr
Kelvin’s
78
hoofdstuk
omschrijving
8.1 t/m 8.6
Dynamische en kinematische gelijkvormigheid. De keuze van dimensieloze parameters. Het Π− theorema voor een blinde keuze van die parameters.
9.1 t/m 9.7, 9.12 Laminaire tijdsafhankelijke stromingen die exact opgelost kunnen worden: Poiseuille en Couette stroming. Plotseling bewegende plaat, kruipstroming rond een bol (de wet van Stokes). 10.1 t/m 10.3, 10.6 t/m 10.8
De afleiding van de grenslaagvergelijking. Het effect van de drukgradi¨ent, loslating.
10.9
Het transitiescenario voor stroming langs de cylinder.
6.1 t/m 6.6
Potentiaal stromingen. Stromingen als complexe functie w(z), afleiding stroomfunctie Ψ(z) en snelheidspotentiaal φ(z), snelheid dw/dz = u − iv. Stroming in een hoek w(z) = Az n , bronstroming m iΓ w(z) = 2π ln z, rotatievrije vortex w(z) = − 2π ln z.
6.9 t/m 6.11
Complexe stroming langs een cylinder, met en zonder circulatie. Berekening van drukverdeling, drukkracht en liftkracht L. Theorema van Kutta-Joukowski, L = ρU Γ
