Statistika Rentang Keyakinan
15-‐Oct-‐15 h2p://is7arto.staff.ugm.ac.id
Universitas Gadjah Mada Fakultas Teknik Jurusan Teknik Sipil dan Lingkungan Prodi S2 Teknik Sipil
1
• Distribusi probabilitas memiliki sejumlah parameter. • Parameter-‐parameter tsb umumnya tak diketahui. • Nilai parameter tersebut diperkirakan (di-‐es7masi-‐kan) berdasarkan nilai yang diperoleh dari pengolahan data. • Es7masi • Es7masi tunggal (point es)mates) • Rentang keyakinan (confidence intervals)
15-‐Oct-‐15
• Es7masi Parameter
h2p://is7arto.staff.ugm.ac.id
Rentang Keyakinan
2
• Es7masi tunggal
15-‐Oct-‐15
Rentang Keyakinan • Nilai rata-‐rata sampel sbg es7masi nilai rata-‐rata populasi.
X →µ • Nilai simpangan baku sampel sbg es7masi nilai simpangan baku populasi.
sX → σ X
h2p://is7arto.staff.ugm.ac.id
• Contoh
3
• Es7masi parameter θ θ!ˆ → θ! parameter
Dicari suatu interval [L,U] yang memiliki probabilitas (1 – α) bahwa interval tsb mengandung θ. prob(L < θ < U) = (1 – α) à Pers (1) L = batas bawah rentang keyakinan. U = batas atas rentang keyakinan. (1 – α) = 7ngkat keyakinan (confidence level, confidence coefficient). L dan U = variabel random
h2p://is7arto.staff.ugm.ac.id
estimasi
15-‐Oct-‐15
Rentang Keyakinan
4
• Data debit Sungai A selama tahun 1981 s.d. 2000 menunjukkan bahwa debit rata-‐rata adalah 77 m3/s. • Kita dapat memperkirakan debit rata-‐rata Sungai A adalah 77 m3/s. • Kita menyadari bahwa perkiraan tsb dapat salah; bahkan dari sisi penger7an probabilitas, kita tahu bahwa debit rata-‐rata sama dengan 77 m3/s adalah hampir 7dak mungkin terjadi:
(
)
prob Q = 77 m3 s = 0
15-‐Oct-‐15
• Contoh
h2p://is7arto.staff.ugm.ac.id
Rentang Keyakinan
5
• Dicari variabel random V yang merupakan fungsi parameter θ (θ = unknown), tetapi distribusi V ini 7dak bergantung pada parameter yang 7dak diketahui. • Ditentukan v1 dan v2 sedemikian hingga:
prob (v1 < V < v 2 ) = 1− α à Pers. (2)
15-‐Oct-‐15
• Metode Ostle: method of pivotal quan))es
h2p://is7arto.staff.ugm.ac.id
Batas Bawah dan Batas Atas
6
• Metode Ostle: method of pivotal quan))es
15-‐Oct-‐15
Batas Bawah dan Batas Atas
• Persamaan di atas diubah kedalam bentuk prob(L < θ < U) = 1− α • L dan U adalah variabel random dan fungsi V, tetapi bukan fungsi θ.
h2p://is7arto.staff.ugm.ac.id
prob (v1 < V < v 2 ) = 1− α
7
V=
X −µ sX
• V berdistribusi t dengan (n – 1) degrees of freedom • n adalah jumlah sampel yang dipakai untuk menghitung nilai rata-‐ rata sampel, X
15-‐Oct-‐15
• Mencari interval [L,U] yang mengandung µ, prob(L < µ < U) = 1 – α • Misalkan variabel random V:
h2p://is7arto.staff.ugm.ac.id
Interval Keyakinan: μ suatu distribusi normal, σ tidak diketahui
8
15-‐Oct-‐15
à berdistribusi t?
• Buk7 Distribusi t: X = Y
ν U
, ν = degree of freedom
X − µ X − µ (X − µ ) σ (X − µ ) 1 V= = = = ⋅ sX s 2X n s 2X σ n σ n sX2 σ 2 X − µ) ( = ⋅ n
σ
→Y =
n −1
∑ (X − X ) i
X −µ ν
2
n
,
=Y ⋅ σ2
X − X) ( ∑ U= i
σ2
ν U
h2p://is7arto.staff.ugm.ac.id
X −µ V= sX
2
, ν = n −1
9
$ ' X −µ prob (v1 < V < v 2 ) = 1− α ⇒ prob &v1 < < v 2 ) = 1− α sX % (
15-‐Oct-‐15
• Pers (2):
prob(t < v1) = αa
dengan (n – 1) degrees of freedom
prob(t > v2) = αb
luas = (1 – α) luas = αa
luas = αb
tα a
t1−αb
h2p://is7arto.staff.ugm.ac.id
αa + αb = α
10
)
prob X + tαa ,n−1 ⋅ sX < µ < X + tαb ,n−1 ⋅ sX = 1− α
u
ℓ
Jadi, batas bawah dan batas atas rentang keyakinan:
ℓ = X + tαa ,n−1 ⋅ sX
sX = sX
u = X + tαb ,n−1 ⋅ sX
tαa ,n−1 → tabel distribusi t
n
h2p://is7arto.staff.ugm.ac.id
(
15-‐Oct-‐15
" % X −µ prob $v1 < < v 2 ' = 1− α sX # & " % X −µ prob $tαa ,n−1 < < tαb ,n−1' = 1− α sX # &
11
luas = (1 – α)/2
luas = (1 – α)/2
luas = α/2
luas = α/2
tα 2 = −t1−α 2
t1−α 2
15-‐Oct-‐15 h2p://is7arto.staff.ugm.ac.id
• Jika dikehendaki probabilitas rentang keyakinan simetris, maka v1 dan v2 dipilih sedemikian hingga prob(t < v1) = prob(t > v2). • Karena simetri, maka αa = αb = α/2 • Yang dicari adalah rentang keyakinan (1 – α) = 100(1 – α)% à maka: prob(t < v1) = α/2 = prob(t > v2)
12
luas = α/2
luas = α/2
luas = 1 – α/2
luas = 1 – α/2
t1−α 2
luas = α/2
tα 2 − t1−α 2
luas = 1 – α
luas = α/2
h2p://is7arto.staff.ugm.ac.id
tα 2
15-‐Oct-‐15
Distribusi t
t1−α 2 13
15-‐Oct-‐15
• Dengan demikian, batas bawah dan batas atas rentang keyakinan jika probabilitas rentang keyakinan simetris adalah:
u = X + t1−α 2,n−1 ⋅ sX
h2p://is7arto.staff.ugm.ac.id
ℓ = X − t1−α 2,n−1 ⋅ sX
14
q q
batas bawah batas atas
à à
prob(t < v1) = α prob(t > v2) = α
$X −µ ' prob (V > v1) = 1− α ⇒ prob & > v1) = 1− α % sX ( $X −µ ' prob (V < v 2 ) = 1− α ⇒ prob & < v 2 ) = 1− α % sX (
luas = α
tα
luas = 1 – α
luas = 1 – α
luas = α
t1−α
15-‐Oct-‐15
Kadang dikehendaki probabilitas rentang keyakinan satu sisi
h2p://is7arto.staff.ugm.ac.id
n
15
• tγ,n = nilai t sedemikian hingga probabilitas variabel random t dengan n degrees of freedom adalah lebih kecil daripada γ. • misalkan: t0.95,50 = nilai t sedemikian hingga prob(t < t0.95,50) = 0.95 untuk t yang memiliki 50 degrees of freedom.
15-‐Oct-‐15
• Notasi
h2p://is7arto.staff.ugm.ac.id
Distribusi t
16
• Dapat dibaca di tabel distribusi t
15-‐Oct-‐15
Distribusi t • Dapat dihitung dengan perintah/fungsi MSExcel • T.DIST(t,ν,true) • • • • •
menghitung nilai prob(T < t) untuk menghitung nilai prob(T > t) à 1 – T.DIST(t,ν,true) t = nilai yang diinginkan untuk dicari distribusinya ν = degree of freedom one-‐tailed distribu)on
• T.INV(p,ν) • mencari nilai t jika nilai p = prob(T < t) diketahui • one-‐tailed distribu)on
h2p://is7arto.staff.ugm.ac.id
• Tabel Distribusi t
17
15-‐Oct-‐15
Distribusi t untuk 50 degrees of freedom
t = 1.6
t
prob(T < 1.6) = T.DIST(1.6,50,TRUE) = 0.942
prob(T < t ) = 0.95
prob(T < 1.6) = 1 – T.DIST.RT(1.6,50) = 0.942
t = T.INV(0.95,50) = 1.68
0.95 t = –1.6
t = 1.6
prob(–1.6 < T < 1.6) = 1 – T.DIST.2T(1.6,50) = 0.884
–t
h2p://is7arto.staff.ugm.ac.id
0.95
t
prob(-‐t < T < t ) = 0.95 t = T.INV.2T(1-‐0.95,50) = 2
18
V=
X −µ , σX
σX = σX
n
à V berdistribusi normal
15-‐Oct-‐15
• Apabila variansi populasi diketahui, maka variabel random V didefinisikan sbb.:
h2p://is7arto.staff.ugm.ac.id
Rentang Keyakinan: µ suatu distribusi normal, σ diketahui
19
15-‐Oct-‐15
Rentang Keyakinan: µ suatu distribusi normal, σ diketahui • Rentang keyakinan
u = X + zb ⋅
n σX
zb
za
n
αb
1− α
αa
• Jika probabiitas rentang keyakinan diinginkan simetris ℓ = X − z1−α 2 ⋅
σX
u = X + z1−α 2 ⋅
σX
α 2
n n
zα 2 = −z1−α 2
1− α
α 2 z1−α 2
h2p://is7arto.staff.ugm.ac.id
ℓ = X + za ⋅
σX
20
n −1) s ( V=
2 X
σX2
• à V berdistribusi chi-‐kuadrat dengan (n – 1) degrees of freedom.
15-‐Oct-‐15
• Mencari interval [L,U] yang mengandung σ2 dengan peluang prob(L < σ2 < U) = 1 – α. • Didefinisikan variabel random V:
h2p://is7arto.staff.ugm.ac.id
Rentang Keyakinan: σ2 suatu distribusi normal
21
Pilih:
v1 = χ2α 2,n−1 2 v 2 = χ1−α 2,n−1
sehingga:
atau:
2 % ( n −1 s ( ) X 2 2 prob '' χα 2,n−1 < < χ1−α 2,n−1** = 1− α 2 σX & )
2( % ( n −1) s 2 n −1 s ( ) X prob '' 2 < σ X 2 < 2 X ** = 1− α χα 2,n−1 ) & χ1−α 2,n−1
15-‐Oct-‐15
$ ' n −1) sX 2 ( prob &&v1 < < v 2 )) = 1− α 2 σX % (
h2p://is7arto.staff.ugm.ac.id
prob (v1 < V < v 2 ) = 1− α
22
2 n −1 s ( )X
• batas bawah:
ℓ=
• batas atas:
n −1) s ( u=
Catatan:
2 χ1−α 2,n−1 2 X
χ2α 2,n−1
X berdistribusi normal χ2 berdistribusi chi-‐kuadrat
15-‐Oct-‐15 h2p://is7arto.staff.ugm.ac.id
§ Jadi batas bawah dan batas atas rentang yang mengandung σX2 dengan 7ngkat keyakinan (1 – α) adalah:
23
n » → (n – 1) » → distribusi mendeka7 distribusi simetris, sX2 berada kira-‐kira di tengah-‐tengah rentang [L,U].
α 2
α 2
1− α χ2α 2
2 χ1−α 2
h2p://is7arto.staff.ugm.ac.id
sX 2 − ℓ ≠ u − sX 2
15-‐Oct-‐15
§ Distribusi chi-‐kuadrat 7dak simetris:
24
• Hanya diinginkan satu sisi rentang keyakinan saja
15-‐Oct-‐15
Rentang Keyakinan Satu Sisi
prob (L < θ) = 1− α ⇒ ℓ = X − t1−α,n−1 • hanya batas atas saja rentang keyakinan µ
prob (θ < U ) = 1− α ⇒ u = X + t1−α,n−1
h2p://is7arto.staff.ugm.ac.id
• hanya batas bawah rentang keyakinan µ
25
26
h2p://is7arto.staff.ugm.ac.id
15-‐Oct-‐15