Sistem Persamaan Linier (SPL)

Sistem Persamaan Linier (SPL) Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016

MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U

Agustus 2015

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

1 / 27

Acknowledgements

Slide ini disusun berdasarkan materi yang terdapat pada sumber-sumber berikut: 1

Aplikasi Matriks dan Ruang Vektor, Edisi 1 2014, oleh Adiwijaya.

2

Elementary Linear Algebra, 10th Edition, 2010, oleh H. Anton dan C. Rorres.

3

Slide kuliah Aljabar Linier di Telkom University oleh Jondri.

Beberapa gambar dapat diambil dari sumber-sumber di atas. Slide ini ditujukan untuk keperluan akademis di lingkungan FIF Telkom University. Jika Anda memiliki saran/ pendapat/ pertanyaan terkait materi dalam slide ini, silakan kirim email ke @telkomuniversity.ac.id.

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

2 / 27

Bahasan

1

Pendahuluan: Apa Itu Persamaan Linier (PL)?

2

Solusi dari Persamaan Linier (PL)

3

Sistem Persamaan Linier (SPL)

4

Solusi dari SPL

5

Jenis-jenis Solusi SPL

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

3 / 27


Bahasan

1


2


3


4

Solusi dari SPL

5


MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

4 / 27


Persamaan Linier di Sekolah Dasar Di sekolah dasar, mungkin Anda pernah melihat ekspresi matematika berikut 2(

MZI (FIF Tel-U)

)+5

=

11, atau mungkin

SPL

Agustus 2015

5 / 27



MZI (FIF Tel-U)

)+5

=

11, atau mungkin

2x + 5

=

11.

SPL

(1)

Agustus 2015

5 / 27



)+5

=

11, atau mungkin

2x + 5

=

11.

(1)

Ekspresi (1) merupakan contoh persamaan linier satu peubah (variabel). Peubah yang ditinjau dalam hal ini adalah x. Secara umum, persamaan linier satu peubah berbentuk

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

5 / 27


Persamaan Linier di Sekolah Dasar Di sekolah dasar, mungkin Anda pernah melihat ekspresi matematika berikut )+5

=

11, atau mungkin

2x + 5

=

11.

2(

(1)

Ekspresi (1) merupakan contoh persamaan linier satu peubah (variabel). Peubah yang ditinjau dalam hal ini adalah x. Secara umum, persamaan linier satu peubah berbentuk ax + b = c, dengan a; b; c 2 R dan a 6= 0.

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

5 / 27



)+5

=

11, atau mungkin

2x + 5

=

11.

(1)

Ekspresi (1) merupakan contoh persamaan linier satu peubah (variabel). Peubah yang ditinjau dalam hal ini adalah x. Secara umum, persamaan linier satu peubah berbentuk ax + b = c, dengan a; b; c 2 R dan a 6= 0. Simbol x menyatakan peubah pada persamaan linier (PL) tersebut. Suatu bilangan real t merupakan solusi dari PL ax + b = c apabila

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

5 / 27



)+5

=

11, atau mungkin

2x + 5

=

11.

(1)

Ekspresi (1) merupakan contoh persamaan linier satu peubah (variabel). Peubah yang ditinjau dalam hal ini adalah x. Secara umum, persamaan linier satu peubah berbentuk ax + b = c, dengan a; b; c 2 R dan a 6= 0. Simbol x menyatakan peubah pada persamaan linier (PL) tersebut. Suatu bilangan real t merupakan solusi dari PL ax + b = c apabila at + b = c. Sebagai contoh, 3 merupakan solusi dari PL (1) karena 2 (3) + 5 = 11.

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

5 / 27


Persamaan Linier di Sekolah Menengah Di sekolah menengah, Anda mulai diperkenalkan dengan bentuk ekspresi matematika berikut

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

6 / 27


Persamaan Linier di Sekolah Menengah Di sekolah menengah, Anda mulai diperkenalkan dengan bentuk ekspresi matematika berikut 2x + 3y = 11.

(2)

Ekspresi (2) merupakan contoh PL dua peubah, yaitu x dan y.

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

6 / 27



(2)

Ekspresi (2) merupakan contoh PL dua peubah, yaitu x dan y. Sebelum Anda berkuliah, tentulah Anda pernah melihat bentuk ekspresi matematika berikut

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

6 / 27



(2)

Ekspresi (2) merupakan contoh PL dua peubah, yaitu x dan y. Sebelum Anda berkuliah, tentulah Anda pernah melihat bentuk ekspresi matematika berikut (3)

2x + 3y + 4z = 31. Ekspresi (3) merupakan contoh PL tiga peubah, yaitu x, y, dan z.

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

6 / 27



(2)


2x + 3y + 4z = 31.

Ekspresi (3) merupakan contoh PL tiga peubah, yaitu x, y, dan z. Pada kuliah ini kita akan meninjau PL dengan n peubah untuk suatu n 2 N.

PL n Peubah

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

6 / 27



(2)


2x + 3y + 4z = 31.

Ekspresi (3) merupakan contoh PL tiga peubah, yaitu x, y, dan z. Pada kuliah ini kita akan meninjau PL dengan n peubah untuk suatu n 2 N.

PL n Peubah Persamaan linier n peubah x1 ; : : : ; xn adalah persamaan matematika berbentuk a1 x1 + a2 x2 +

+ an xn = c,

dengan a1 ; : : : ; an 2 R, c 2 R, dan tidak semua a1 ; : : : ; an bernilai nol. Syarat tidak semua a1 ; : : : ; an bernilai nol perlu ditulis, karena jika tidak, kita bisa mendapatkan ekspresi matematika 0 = c, ini tidak menarik untuk dikaji. MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

6 / 27


Bahasan

1


2


3


4

Solusi dari SPL

5


MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

7 / 27


Solusi dari PL (1) Solusi dari PL n Peubah Diberikan persamaan linier n peubah x1 ; : : : ; xn berikut a1 x1 + a2 x2 +

+ an xn = c,

suatu n-tupel (t1 ; t2 ; : : : ; tn ) dikatakan solusi untuk PL tersebut apabila

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

8 / 27



+ an xn = c,

suatu n-tupel (t1 ; t2 ; : : : ; tn ) dikatakan solusi untuk PL tersebut apabila a1 t1 + a2 t2 +

MZI (FIF Tel-U)

SPL

+ an tn = c.

Agustus 2015

8 / 27



+ an xn = c,


+ an tn = c.

Diberikan PL 2x + 3y = 11, kita melihat bahwa (1; 3) adalah

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

8 / 27



+ an xn = c,


+ an tn = c.

Diberikan PL 2x + 3y = 11, kita melihat bahwa (1; 3) adalah solusi dari PL ini karena

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

8 / 27



+ an xn = c,


+ an tn = c.

Diberikan PL 2x + 3y = 11, kita melihat bahwa (1; 3) adalah solusi dari PL ini karena 2 (1) + 3 (3) = 11. Selain itu, (4; 1)

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

8 / 27



+ an xn = c,


+ an tn = c.

Diberikan PL 2x + 3y = 11, kita melihat bahwa (1; 3) adalah solusi dari PL ini karena 2 (1) + 3 (3) = 11. Selain itu, (4; 1) juga solusi dari PL ini karena 2 (4) + 3 (1) = 11.

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

8 / 27



+ an xn = c,


+ an tn = c.

Diberikan PL 2x + 3y = 11, kita melihat bahwa (1; 3) adalah solusi dari PL ini karena 2 (1) + 3 (3) = 11. Selain itu, (4; 1) juga solusi dari PL ini karena 2 (4) + 3 (1) = 11. Diberikan PL 2x + 3y + 4z = 31, kita melihat bahwa (1; 3; 5) adalah

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

8 / 27



+ an xn = c,


+ an tn = c.

Diberikan PL 2x + 3y = 11, kita melihat bahwa (1; 3) adalah solusi dari PL ini karena 2 (1) + 3 (3) = 11. Selain itu, (4; 1) juga solusi dari PL ini karena 2 (4) + 3 (1) = 11. Diberikan PL 2x + 3y + 4z = 31, kita melihat bahwa (1; 3; 5) adalah solusi dari PL ini karena

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

8 / 27



+ an xn = c,


+ an tn = c.

Diberikan PL 2x + 3y = 11, kita melihat bahwa (1; 3) adalah solusi dari PL ini karena 2 (1) + 3 (3) = 11. Selain itu, (4; 1) juga solusi dari PL ini karena 2 (4) + 3 (1) = 11. Diberikan PL 2x + 3y + 4z = 31, kita melihat bahwa (1; 3; 5) adalah solusi dari PL ini karena 2 (1) + 3 (3) + 4 (5) = 31. Selain itu, (4; 1; 5)

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

8 / 27



+ an xn = c,


+ an tn = c.

Diberikan PL 2x + 3y = 11, kita melihat bahwa (1; 3) adalah solusi dari PL ini karena 2 (1) + 3 (3) = 11. Selain itu, (4; 1) juga solusi dari PL ini karena 2 (4) + 3 (1) = 11. Diberikan PL 2x + 3y + 4z = 31, kita melihat bahwa (1; 3; 5) adalah solusi dari PL ini karena 2 (1) + 3 (3) + 4 (5) = 31. Selain itu, (4; 1; 5) juga solusi dari PL ini karena 2 (4) + 3 (1) + 4 (5) = 31.

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

8 / 27


Solusi dari PL (2) Jika solusi dari suatu PL n peubah ditinjau pada R, maka PL tersebut bisa jadi memiliki tak hingga banyaknya solusi.

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

9 / 27


Solusi dari PL (2) Jika solusi dari suatu PL n peubah ditinjau pada R, maka PL tersebut bisa jadi memiliki tak hingga banyaknya solusi. Sebagai contoh, pada PL 2x + y = 5, semua pasangan bilangan real berbentuk

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

9 / 27


Solusi dari PL (2) Jika solusi dari suatu PL n peubah ditinjau pada R, maka PL tersebut bisa jadi memiliki tak hingga banyaknya solusi. Sebagai contoh, pada PL 2x + y = 5, semua pasangan bilangan real berbentuk (t; 5 2t)dengan t 2 R merupakan solusi dari PL tersebut karena

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

9 / 27


Solusi dari PL (2) Jika solusi dari suatu PL n peubah ditinjau pada R, maka PL tersebut bisa jadi memiliki tak hingga banyaknya solusi. Sebagai contoh, pada PL 2x + y = 5, semua pasangan bilangan real berbentuk (t; 5 2t)dengan t 2 R merupakan solusi dari PL tersebut karena kita memiliki 2 (t) + (5 2t) = 5.

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

9 / 27


Solusi dari PL (2) Jika solusi dari suatu PL n peubah ditinjau pada R, maka PL tersebut bisa jadi memiliki tak hingga banyaknya solusi. Sebagai contoh, pada PL 2x + y = 5, semua pasangan bilangan real berbentuk (t; 5 2t)dengan t 2 R merupakan solusi dari PL tersebut karena kita memiliki 2 (t) + (5 2t) = 5. Kita juga dapat mengatakan bahwa solusi PL tersebut adalah pasangan bilangan real berbentuk 5 t 5 t + t = 5. 2 ; t karena 2 2

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

9 / 27



Latihan Tentukan semua tupel bilangan real yang merupakan solusi dari PL 1

x + 2y = 8

2

x+y+z =8

Solusi:

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

9 / 27




x + 2y = 8

2

x+y+z =8

Solusi: 1 Solusi dari PL tersebut berbentuk (8

MZI (FIF Tel-U)

SPL

2t; t), dengan t 2 R,

Agustus 2015

9 / 27




x + 2y = 8

2

x+y+z =8

Solusi: 1 Solusi dari PL tersebut berbentuk (8 2t; t), dengan t 2 R, karena 8 2t + 2t = 8. Jawaban lain adalah tupel t; 8 2 t .

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

9 / 27




x + 2y = 8

2

x+y+z =8

Solusi: 1 Solusi dari PL tersebut berbentuk (8 2t; t), dengan t 2 R, karena 8 2t + 2t = 8. Jawaban lain adalah tupel t; 8 2 t . 2 Solusi dari PL tersebut berbentuk (8 s t; s; t), dengan s; t 2 R, MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

9 / 27




x + 2y = 8

2

x+y+z =8

Solusi: 1 Solusi dari PL tersebut berbentuk (8 2t; t), dengan t 2 R, karena 8 2t + 2t = 8. Jawaban lain adalah tupel t; 8 2 t . 2 Solusi dari PL tersebut berbentuk (8 s t; s; t), dengan s; t 2 R, karena (8 s t) + s + t = 8. Jawaban lain adalah tupel (s; 8 s t; t) atau (s; t; 8 s t). MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

9 / 27


Bahasan

1


2


3


4

Solusi dari SPL

5


MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

10 / 27


Sistem Persamaan Linier (SPL) Sistem persamaan linier (SPL) adalah koleksi berhingga banyak persamaan-persamaan linier. Contoh

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

11 / 27


Sistem Persamaan Linier (SPL) Sistem persamaan linier (SPL) adalah koleksi berhingga banyak persamaan-persamaan linier. Contoh x + y + z = 12 x + 2y + 3z = 24

a+b=3 2a + 3b = 4 a + 8b = 12

x1 x1

+x2 +x2

+x4 +x3 +x4

=3 =4 =5

Sistem Persamaan Linier

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

11 / 27


Sistem Persamaan Linier (SPL) Sistem persamaan linier (SPL) adalah koleksi berhingga banyak persamaan-persamaan linier. Contoh a+b=3 2a + 3b = 4 a + 8b = 12

x + y + z = 12 x + 2y + 3z = 24

x1

+x2 +x2

+x4 +x3

x1

+x4

=3 =4 =5

Sistem Persamaan Linier Sistem persamaan linier dengan m persamaan dan n peubah (variabel/ unknown) x1 ; : : : ; xn dapat ditulis sebagai a11 x1 a21 x1 .. .

+ +

a12 x2 a22 x2 .. .

+ +

a1n xn a2n xn .. .

= c1 = c2 .. .

am1 x1

+

am2 x2

+

amn xn

= cm

Dalam SPL di atas, aij merupakan koe…sien untuk xj pada persamaan ke-i. Nilai dari aij dan ci adalah bilangan real untuk setiap 1 i m dan 1 j n. (FIF Tel-U) juga disebut sebagai unknown SPL Agustus 2015 11 / 27 Catatan:MZIPeubah karena “tidak diketahui nilainya”.

Solusi dari SPL

Bahasan

1


2


3


4

Solusi dari SPL

5


MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

12 / 27

Solusi dari SPL

Solusi dari SPL (1)

Kita telah melihat pengertian solusi dari suatu PL. Solusi dari SPL analog dengan solusi dari PL.

Solusi SPL Diberikan SPL a11 x1 a21 x1 .. .

+ +

a12 x2 a22 x2 .. .

+ +

a1n xn a2n xn .. .

= c1 = c2 .. .

am1 x1

+

am2 x2

+

amn xn

= cm

(4)

Suatu n-tupel (t1 ; t2 ; : : : ; tn ) dikatakan solusi dari SPL (4) apabila (t1 ; t2 ; : : : ; tn ) merupakan solusi dari semua PL yang ada pada SPL tersebut.

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

13 / 27

Solusi dari SPL

Solusi dari SPL (2)

Dengan demikian, jika suatu n-tupel (t1 ; : : : ; tn ) adalah solusi dari SPL (4) maka kita memiliki bahwa semua ekspresi matematika berikut: a11 t1 a21 t1 .. .

+ +

a12 t2 a22 t2 .. .

+ +

a1n tn a2n tn .. .

= c1 = c2 .. .

am1 t1

+

am2 t2

+

amn tn

= cm

bernilai benar.

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

14 / 27

Solusi dari SPL

Solusi SPL: Contoh Pandang SPL berikut x+y+z

10

(5)

+z

=

5

(6)

2x + y + 3z

=

15

(7)

x

MZI (FIF Tel-U)

=

SPL

Agustus 2015

15 / 27

Solusi dari SPL


=

10

(5)

+z

=

5

(6)

2x + y + 3z

=

15

(7)

x

Apakah (5; 0; 0) merupakan solusi SPL di atas?

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

15 / 27

Solusi dari SPL


=

10

(5)

+z

=

5

(6)

2x + y + 3z

=

15

(7)

x

Apakah (5; 0; 0) merupakan solusi SPL di atas? Tidak, karena kita memperoleh ekspresi 5 + 0 + 0 = 10 pada PL (5) yang bernilai salah.

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

15 / 27

Solusi dari SPL


=

10

(5)

+z

=

5

(6)

2x + y + 3z

=

15

(7)

x

Apakah (5; 0; 0) merupakan solusi SPL di atas? Tidak, karena kita memperoleh ekspresi 5 + 0 + 0 = 10 pada PL (5) yang bernilai salah. Apakah (5; 5; 5) merupakan solusi SPL di atas?

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

15 / 27

Solusi dari SPL


=

10

(5)

+z

=

5

(6)

2x + y + 3z

=

15

(7)

x

Apakah (5; 0; 0) merupakan solusi SPL di atas? Tidak, karena kita memperoleh ekspresi 5 + 0 + 0 = 10 pada PL (5) yang bernilai salah. Apakah (5; 5; 5) merupakan solusi SPL di atas? Tidak, karena kita memperoleh ekspresi 5 + 5 = 5 pada PL (6) yang bernilai salah.

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

15 / 27

Solusi dari SPL


=

10

(5)

+z

=

5

(6)

2x + y + 3z

=

15

(7)

x

Apakah (5; 0; 0) merupakan solusi SPL di atas? Tidak, karena kita memperoleh ekspresi 5 + 0 + 0 = 10 pada PL (5) yang bernilai salah. Apakah (5; 5; 5) merupakan solusi SPL di atas? Tidak, karena kita memperoleh ekspresi 5 + 5 = 5 pada PL (6) yang bernilai salah. Apakah (5; 5; 0) merupakan solusi SPL di atas?

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

15 / 27

Solusi dari SPL


=

10

(5)

+z

=

5

(6)

2x + y + 3z

=

15

(7)

x

Apakah (5; 0; 0) merupakan solusi SPL di atas? Tidak, karena kita memperoleh ekspresi 5 + 0 + 0 = 10 pada PL (5) yang bernilai salah. Apakah (5; 5; 5) merupakan solusi SPL di atas? Tidak, karena kita memperoleh ekspresi 5 + 5 = 5 pada PL (6) yang bernilai salah. Apakah (5; 5; 0) merupakan solusi SPL di atas? Ya, tinjau bahwa Kita memiliki

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

15 / 27

Solusi dari SPL


=

10

(5)

+z

=

5

(6)

2x + y + 3z

=

15

(7)

x

Apakah (5; 0; 0) merupakan solusi SPL di atas? Tidak, karena kita memperoleh ekspresi 5 + 0 + 0 = 10 pada PL (5) yang bernilai salah. Apakah (5; 5; 5) merupakan solusi SPL di atas? Tidak, karena kita memperoleh ekspresi 5 + 5 = 5 pada PL (6) yang bernilai salah. Apakah (5; 5; 0) merupakan solusi SPL di atas? Ya, tinjau bahwa Kita memiliki 5 + 5 + 0 = 10 pada PL (5), ekspresi ini benar. Kita memiliki

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

15 / 27

Solusi dari SPL


=

10

(5)

+z

=

5

(6)

2x + y + 3z

=

15

(7)

x

Apakah (5; 0; 0) merupakan solusi SPL di atas? Tidak, karena kita memperoleh ekspresi 5 + 0 + 0 = 10 pada PL (5) yang bernilai salah. Apakah (5; 5; 5) merupakan solusi SPL di atas? Tidak, karena kita memperoleh ekspresi 5 + 5 = 5 pada PL (6) yang bernilai salah. Apakah (5; 5; 0) merupakan solusi SPL di atas? Ya, tinjau bahwa Kita memiliki 5 + 5 + 0 = 10 pada PL (5), ekspresi ini benar. Kita memiliki 5 + 0 = 5 pada PL (6), ekspresi ini benar. Kita memiliki

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

15 / 27

Solusi dari SPL


=

10

(5)

+z

=

5

(6)

2x + y + 3z

=

15

(7)

x

Apakah (5; 0; 0) merupakan solusi SPL di atas? Tidak, karena kita memperoleh ekspresi 5 + 0 + 0 = 10 pada PL (5) yang bernilai salah. Apakah (5; 5; 5) merupakan solusi SPL di atas? Tidak, karena kita memperoleh ekspresi 5 + 5 = 5 pada PL (6) yang bernilai salah. Apakah (5; 5; 0) merupakan solusi SPL di atas? Ya, tinjau bahwa Kita memiliki 5 + 5 + 0 = 10 pada PL (5), ekspresi ini benar. Kita memiliki 5 + 0 = 5 pada PL (6), ekspresi ini benar. Kita memiliki 2 (5) + 5 + 3 (0) = 15 pada PL (7), ekspresi ini benar.

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

15 / 27


Bahasan

1


2


3


4

Solusi dari SPL

5


MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

16 / 27



Jika diberikan suatu SPL dengan m persamaan dan n peubah, maka sangat wajar jika kita bertanya, “Apakah SPL tersebut memiliki solusi?

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

17 / 27



Jika diberikan suatu SPL dengan m persamaan dan n peubah, maka sangat wajar jika kita bertanya, “Apakah SPL tersebut memiliki solusi? Jika ya, apakah solusinya unik (tunggal)?

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

17 / 27



Jika diberikan suatu SPL dengan m persamaan dan n peubah, maka sangat wajar jika kita bertanya, “Apakah SPL tersebut memiliki solusi? Jika ya, apakah solusinya unik (tunggal)? Jika tidak tunggal, ada berapa banyak solusi yang berbeda?

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

17 / 27



Jika diberikan suatu SPL dengan m persamaan dan n peubah, maka sangat wajar jika kita bertanya, “Apakah SPL tersebut memiliki solusi? Jika ya, apakah solusinya unik (tunggal)? Jika tidak tunggal, ada berapa banyak solusi yang berbeda? Apakah mungkin suatu SPL tidak punya solusi?” Untuk menjawab pertanyaan di atas, kita akan mengeksplorasi kemungkinan solusi SPL dari beberapa contoh SPL dengan 2 persamaan dan 2 variabel. Anda diasumsikan sudah memahami metode penyelesaian SPL yang diajarkan di sekolah menengah seperti

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

17 / 27



Jika diberikan suatu SPL dengan m persamaan dan n peubah, maka sangat wajar jika kita bertanya, “Apakah SPL tersebut memiliki solusi? Jika ya, apakah solusinya unik (tunggal)? Jika tidak tunggal, ada berapa banyak solusi yang berbeda? Apakah mungkin suatu SPL tidak punya solusi?” Untuk menjawab pertanyaan di atas, kita akan mengeksplorasi kemungkinan solusi SPL dari beberapa contoh SPL dengan 2 persamaan dan 2 variabel. Anda diasumsikan sudah memahami metode penyelesaian SPL yang diajarkan di sekolah menengah seperti metode geometris (menggambar gra…k),

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

17 / 27



Jika diberikan suatu SPL dengan m persamaan dan n peubah, maka sangat wajar jika kita bertanya, “Apakah SPL tersebut memiliki solusi? Jika ya, apakah solusinya unik (tunggal)? Jika tidak tunggal, ada berapa banyak solusi yang berbeda? Apakah mungkin suatu SPL tidak punya solusi?” Untuk menjawab pertanyaan di atas, kita akan mengeksplorasi kemungkinan solusi SPL dari beberapa contoh SPL dengan 2 persamaan dan 2 variabel. Anda diasumsikan sudah memahami metode penyelesaian SPL yang diajarkan di sekolah menengah seperti metode geometris (menggambar gra…k), substitusi,

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

17 / 27



Jika diberikan suatu SPL dengan m persamaan dan n peubah, maka sangat wajar jika kita bertanya, “Apakah SPL tersebut memiliki solusi? Jika ya, apakah solusinya unik (tunggal)? Jika tidak tunggal, ada berapa banyak solusi yang berbeda? Apakah mungkin suatu SPL tidak punya solusi?” Untuk menjawab pertanyaan di atas, kita akan mengeksplorasi kemungkinan solusi SPL dari beberapa contoh SPL dengan 2 persamaan dan 2 variabel. Anda diasumsikan sudah memahami metode penyelesaian SPL yang diajarkan di sekolah menengah seperti metode geometris (menggambar gra…k), substitusi, eliminasi,

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

17 / 27



Jika diberikan suatu SPL dengan m persamaan dan n peubah, maka sangat wajar jika kita bertanya, “Apakah SPL tersebut memiliki solusi? Jika ya, apakah solusinya unik (tunggal)? Jika tidak tunggal, ada berapa banyak solusi yang berbeda? Apakah mungkin suatu SPL tidak punya solusi?” Untuk menjawab pertanyaan di atas, kita akan mengeksplorasi kemungkinan solusi SPL dari beberapa contoh SPL dengan 2 persamaan dan 2 variabel. Anda diasumsikan sudah memahami metode penyelesaian SPL yang diajarkan di sekolah menengah seperti metode geometris (menggambar gra…k), substitusi, eliminasi, eliminasi-substitusi, atau

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

17 / 27



Jika diberikan suatu SPL dengan m persamaan dan n peubah, maka sangat wajar jika kita bertanya, “Apakah SPL tersebut memiliki solusi? Jika ya, apakah solusinya unik (tunggal)? Jika tidak tunggal, ada berapa banyak solusi yang berbeda? Apakah mungkin suatu SPL tidak punya solusi?” Untuk menjawab pertanyaan di atas, kita akan mengeksplorasi kemungkinan solusi SPL dari beberapa contoh SPL dengan 2 persamaan dan 2 variabel. Anda diasumsikan sudah memahami metode penyelesaian SPL yang diajarkan di sekolah menengah seperti metode geometris (menggambar gra…k), substitusi, eliminasi, eliminasi-substitusi, atau metode lain (jika sudah pernah belajar).

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

17 / 27


Contoh SPL dengan Solusi Unik (Tunggal) Latihan Tentukan semua solusi (jika ada) dari SPL berikut y

=

6

(8)

2x + y

=

6

(9)

x

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

18 / 27



=

6

(8)

2x + y

=

6

(9)

x

Kita dapat mencari solusi SPL di atas dengan mengeliminasi peubah x (peubah y juga bisa).

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

18 / 27



=

6

(8)

2x + y

=

6

(9)

x

Kita dapat mencari solusi SPL di atas dengan mengeliminasi peubah x (peubah y juga bisa). Jika kita kalikan persamaan (8) dengan 2 dan tambahkan hasil tersebut ke persamaan (9), didapatkan SPL baru yang setara, yaitu

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

18 / 27



=

6

(8)

2x + y

=

6

(9)

x

Kita dapat mencari solusi SPL di atas dengan mengeliminasi peubah x (peubah y juga bisa). Jika kita kalikan persamaan (8) dengan 2 dan tambahkan hasil tersebut ke persamaan (9), didapatkan SPL baru yang setara, yaitu x

MZI (FIF Tel-U)

y

=

3y

=

SPL

(10)

6

(11)

6

Agustus 2015

18 / 27



=

6

(8)

2x + y

=

6

(9)

x

Kita dapat mencari solusi SPL di atas dengan mengeliminasi peubah x (peubah y juga bisa). Jika kita kalikan persamaan (8) dengan 2 dan tambahkan hasil tersebut ke persamaan (9), didapatkan SPL baru yang setara, yaitu x

y

=

3y

=

(10)

6

(11)

6

Dari persamaan (11), didapatkan y = 2. Kemudian dengan mensubstitusikan hasil ini ke persamaan (10) diperoleh x = 6 + y = 6 + ( 2) = 4. Jadi solusi dari SPL di atas adalah tupel (4; 2). Lebih jauh, tidak ada tupel lain yang merupakan solusi dari SPL di atas. MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

18 / 27


Representasinya secara Geometris. . . Solusi SPL x y = 6 dan 2x + y = 6 dapat direpresentasikan secara geometris. Solusi dari SPL tersebut merupakan semua titik pada bidang datar (R2 ) yang merupakan perpotongan garis `1 : x y = 6 dan `2 : 2x + y = 6, yaitu (4; 2).

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

19 / 27


Representasinya secara Geometris. . . Solusi SPL x y = 6 dan 2x + y = 6 dapat direpresentasikan secara geometris. Solusi dari SPL tersebut merupakan semua titik pada bidang datar (R2 ) yang merupakan perpotongan garis `1 : x y = 6 dan `2 : 2x + y = 6, yaitu (4; 2).

y

4

2

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

-2

-4

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

19 / 27


Contoh SPL Tanpa Solusi Latihan Tentukan semua solusi (jika ada) dari SPL berikut x+y

=

4

(12)

3x + 3y

=

6

(13)

Berikan argumen jika SPL di atas tidak punya solusi.

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

20 / 27



=

4

(12)

3x + 3y

=

6

(13)

Berikan argumen jika SPL di atas tidak punya solusi. Kita dapat mencari solusi SPL di atas dengan mengeliminasi peubah x (peubah y juga bisa).

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

20 / 27



=

4

(12)

3x + 3y

=

6

(13)

Berikan argumen jika SPL di atas tidak punya solusi. Kita dapat mencari solusi SPL di atas dengan mengeliminasi peubah x (peubah y juga bisa). Jika kita kalikan persamaan (12) dengan 3 dan tambahkan hasil tersebut ke persamaan (13), didapatkan SPL baru yang setara, yaitu

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

20 / 27



=

4

(12)

3x + 3y

=

6

(13)

Berikan argumen jika SPL di atas tidak punya solusi. Kita dapat mencari solusi SPL di atas dengan mengeliminasi peubah x (peubah y juga bisa). Jika kita kalikan persamaan (12) dengan 3 dan tambahkan hasil tersebut ke persamaan (13), didapatkan SPL baru yang setara, yaitu

MZI (FIF Tel-U)

x+y

=

0

=

SPL

(14)

4

(15)

6

Agustus 2015

20 / 27



=

4

(12)

3x + 3y

=

6

(13)

Berikan argumen jika SPL di atas tidak punya solusi. Kita dapat mencari solusi SPL di atas dengan mengeliminasi peubah x (peubah y juga bisa). Jika kita kalikan persamaan (12) dengan 3 dan tambahkan hasil tersebut ke persamaan (13), didapatkan SPL baru yang setara, yaitu x+y

=

0

=

(14)

4

(15)

6

Persamaan (15) merupakan sebuah kontradiksi. Jadi SPL di atas tidak punya solusi.

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

20 / 27



=

4

(12)

3x + 3y

=

6

(13)

Berikan argumen jika SPL di atas tidak punya solusi. Kita dapat mencari solusi SPL di atas dengan mengeliminasi peubah x (peubah y juga bisa). Jika kita kalikan persamaan (12) dengan 3 dan tambahkan hasil tersebut ke persamaan (13), didapatkan SPL baru yang setara, yaitu x+y

=

0

=

(14)

4

(15)

6

Persamaan (15) merupakan sebuah kontradiksi. Jadi SPL di atas tidak punya solusi. Kita juga dapat memeriksa hal ini dengan mengalikan persamaan (12) dengan 3, sehingga didapatkan 3x + 3y = 4. Akibatnya, dari persamaan (13), diperoleh ekspresi 4 = 3x + 3y = 6, atau 4 = 6, suatu kontradiksi. MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

20 / 27


Representasinya secara Geometris. . . Solusi SPL x + y = 4 dan 3x + 3y = 6 dapat direpresentasikan secara geometris. Solusi dari SPL tersebut merupakan semua titik pada bidang datar (R2 ) yang merupakan perpotongan garis `1 : x + y = 4 dan `2 : 3x + 3y = 6. Karena kedua garis tersebut tidak memiliki titik potong, maka SPL yang bersesuaian tidak punya solusi.

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

21 / 27


Representasinya secara Geometris. . . Solusi SPL x + y = 4 dan 3x + 3y = 6 dapat direpresentasikan secara geometris. Solusi dari SPL tersebut merupakan semua titik pada bidang datar (R2 ) yang merupakan perpotongan garis `1 : x + y = 4 dan `2 : 3x + 3y = 6. Karena kedua garis tersebut tidak memiliki titik potong, maka SPL yang bersesuaian tidak punya solusi.

y

4

2

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

-2

-4

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

21 / 27


Contoh SPL dengan Banyak (Tak Hingga) Solusi Latihan Tentukan semua solusi (jika ada) dari SPL berikut

MZI (FIF Tel-U)

4x

2y

=

1

(16)

16x

8y

=

4

(17)

SPL

Agustus 2015

22 / 27


Contoh SPL dengan Banyak (Tak Hingga) Solusi Latihan Tentukan semua solusi (jika ada) dari SPL berikut 4x

2y

=

1

(16)

16x

8y

=

4

(17)

Kita dapat mencari solusi SPL di atas dengan mengeliminasi peubah x (peubah y juga bisa).

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

22 / 27



2y

=

1

(16)

16x

8y

=

4

(17)

Kita dapat mencari solusi SPL di atas dengan mengeliminasi peubah x (peubah y juga bisa). Jika kita kalikan persamaan (16) dengan 4 dan tambahkan hasil tersebut ke persamaan (17), didapatkan SPL baru yang setara, yaitu

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

22 / 27



2y

=

1

(16)

16x

8y

=

4

(17)

Kita dapat mencari solusi SPL di atas dengan mengeliminasi peubah x (peubah y juga bisa). Jika kita kalikan persamaan (16) dengan 4 dan tambahkan hasil tersebut ke persamaan (17), didapatkan SPL baru yang setara, yaitu 4x

MZI (FIF Tel-U)

2y

=

1

(18)

0

=

0

(19)

SPL

Agustus 2015

22 / 27



2y

=

1

(16)

16x

8y

=

4

(17)


2y

=

1

(18)

0

=

0

(19)

Persamaan (19) tidak memberikan restriksi apapun pada x dan y.

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

22 / 27



2y

=

1

(16)

16x

8y

=

4

(17)


2y

=

1

(18)

0

=

0

(19)

Persamaan (19) tidak memberikan restriksi apapun pada x dan y. Akibatnya solusi SPL sama dengan solusi dari persamaan (18), yaitu solusi PL 4x 2y = 1.

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

22 / 27



2y

=

1

(16)

16x

8y

=

4

(17)


2y

=

1

(18)

0

=

0

(19)

Persamaan (19) tidak memberikan restriksi apapun pada x dan y. Akibatnya solusi SPL sama dengan solusi dari persamaan (18), yaitu solusi PL 4x 2y = 1. Dengan menyelesaikan persamaan ini dalam x, diperoleh x = 1+2y 4 .

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

22 / 27



2y

=

1

(16)

16x

8y

=

4

(17)


2y

=

1

(18)

0

=

0

(19)

Persamaan (19) tidak memberikan restriksi apapun pada x dan y. Akibatnya solusi SPL sama dengan solusi dari persamaan (18), yaitu solusi PL 4x 2y = 1. Dengan menyelesaikan persamaan ini dalam x, diperoleh x = 1+2y 4 . Jadi solusi SPL adalah semua pasang 1+2t ; t dengan t 2 R, atau dapat pula semua pasang 4 t; 4t2 1 , dengan t 2 R. MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

22 / 27



2y

=

1

(16)

16x

8y

=

4

(17)


2y

=

1

(18)

0

=

0

(19)

Persamaan (19) tidak memberikan restriksi apapun pada x dan y. Akibatnya solusi SPL sama dengan solusi dari persamaan (18), yaitu solusi PL 4x 2y = 1. Dengan menyelesaikan persamaan ini dalam x, diperoleh x = 1+2y 4 . Jadi solusi SPL adalah semua pasang 1+2t ; t dengan t 2 R, atau dapat pula semua pasang 4 t; 4t2 1 , dengan t 2 R. Persamaan berbentuk x = 1+2t dan y = t, dengan t 2 R 4 disebut persamaan parametrik dari garis 4x 2y = 1. MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

22 / 27


Representasinya secara Geometris. . . Solusi SPL 4x 2y = 1 dan 16x 8y = 4 dapat direpresentasikan secara geometris. Solusi dari SPL tersebut merupakan semua titik pada bidang datar (R2 ) yang merupakan perpotongan garis `1 : 4x 2y = 1 dan `2 : 16x 8y = 4. Karena `1 dan `2 berimpit, maka semua titik pada `1 (dan `2 ) merupakan solusi SPL yang bersesuaian.

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

23 / 27


Representasinya secara Geometris. . . Solusi SPL 4x 2y = 1 dan 16x 8y = 4 dapat direpresentasikan secara geometris. Solusi dari SPL tersebut merupakan semua titik pada bidang datar (R2 ) yang merupakan perpotongan garis `1 : 4x 2y = 1 dan `2 : 16x 8y = 4. Karena `1 dan `2 berimpit, maka semua titik pada `1 (dan `2 ) merupakan solusi SPL yang bersesuaian.

y

4

2

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

-2

-4

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

23 / 27


Solusi SPL 2 Persamaan dan 2 Variabel Diberikan SPL dengan 2 persamaan dan dua variabel a1 x + b1 y

= c1

a2 x + b2 y

= c2

Banyaknya jenis solusi SPL yang mungkin sama dengan banyaknya jenis perpotongan garis `1 : a1 x + b1 y = c1 dan `2 : a2 x + b1 y = c2 . Secara geometris, perpotongan antar dua garis tersebut hanya ada tiga macam, yaitu

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

24 / 27



= c1

a2 x + b2 y

= c2

Banyaknya jenis solusi SPL yang mungkin sama dengan banyaknya jenis perpotongan garis `1 : a1 x + b1 y = c1 dan `2 : a2 x + b1 y = c2 . Secara geometris, perpotongan antar dua garis tersebut hanya ada tiga macam, yaitu `1 dan `2 saling sejajar, sehingga tidak memiliki titik potong.

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

24 / 27



= c1

a2 x + b2 y

= c2

Banyaknya jenis solusi SPL yang mungkin sama dengan banyaknya jenis perpotongan garis `1 : a1 x + b1 y = c1 dan `2 : a2 x + b1 y = c2 . Secara geometris, perpotongan antar dua garis tersebut hanya ada tiga macam, yaitu `1 dan `2 saling sejajar, sehingga tidak memiliki titik potong. Ini berarti SPL di atas tidak punya solusi.

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

24 / 27



= c1

a2 x + b2 y

= c2

Banyaknya jenis solusi SPL yang mungkin sama dengan banyaknya jenis perpotongan garis `1 : a1 x + b1 y = c1 dan `2 : a2 x + b1 y = c2 . Secara geometris, perpotongan antar dua garis tersebut hanya ada tiga macam, yaitu `1 dan `2 saling sejajar, sehingga tidak memiliki titik potong. Ini berarti SPL di atas tidak punya solusi. `1 dan `2 berpotongan tepat di satu titik.

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

24 / 27



= c1

a2 x + b2 y

= c2

Banyaknya jenis solusi SPL yang mungkin sama dengan banyaknya jenis perpotongan garis `1 : a1 x + b1 y = c1 dan `2 : a2 x + b1 y = c2 . Secara geometris, perpotongan antar dua garis tersebut hanya ada tiga macam, yaitu `1 dan `2 saling sejajar, sehingga tidak memiliki titik potong. Ini berarti SPL di atas tidak punya solusi. `1 dan `2 berpotongan tepat di satu titik. Ini berarti SPL di atas punya solusi unik (tunggal).

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

24 / 27



= c1

a2 x + b2 y

= c2

Banyaknya jenis solusi SPL yang mungkin sama dengan banyaknya jenis perpotongan garis `1 : a1 x + b1 y = c1 dan `2 : a2 x + b1 y = c2 . Secara geometris, perpotongan antar dua garis tersebut hanya ada tiga macam, yaitu `1 dan `2 saling sejajar, sehingga tidak memiliki titik potong. Ini berarti SPL di atas tidak punya solusi. `1 dan `2 berpotongan tepat di satu titik. Ini berarti SPL di atas punya solusi unik (tunggal). `1 dan `2 berimpit, sehingga titik potongnya adalah semua titik pada `1 (dan `2 ).

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

24 / 27



= c1

a2 x + b2 y

= c2

Banyaknya jenis solusi SPL yang mungkin sama dengan banyaknya jenis perpotongan garis `1 : a1 x + b1 y = c1 dan `2 : a2 x + b1 y = c2 . Secara geometris, perpotongan antar dua garis tersebut hanya ada tiga macam, yaitu `1 dan `2 saling sejajar, sehingga tidak memiliki titik potong. Ini berarti SPL di atas tidak punya solusi. `1 dan `2 berpotongan tepat di satu titik. Ini berarti SPL di atas punya solusi unik (tunggal). `1 dan `2 berimpit, sehingga titik potongnya adalah semua titik pada `1 (dan `2 ). Ini berarti SPL di atas punya tak hingga banyaknya solusi.

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

24 / 27


Representasinya Secara Geometris. . .

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

25 / 27


Jenis-jenis Solusi SPL De…nisi (SPL konsisten dan tak konsisten) Suatu SPL dikatakan konsisten jika SPL tersebut memiliki solusi (boleh satu atau lebih). SPL yang tidak punya solusi dikatakan SPL tak konsisten atau SPL inkonsisten. Mengapa disebut SPL inkonsisten?

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

26 / 27


Jenis-jenis Solusi SPL De…nisi (SPL konsisten dan tak konsisten) Suatu SPL dikatakan konsisten jika SPL tersebut memiliki solusi (boleh satu atau lebih). SPL yang tidak punya solusi dikatakan SPL tak konsisten atau SPL inkonsisten. Mengapa disebut SPL inkonsisten? Karena kita dapat memperoleh suatu kontradiksi pada SPL tersebut.

Teorema Diberikan suatu SPL, maka hanya ada tiga kemungkinan solusi untuk SPL tersebut, yakni

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

26 / 27



Teorema Diberikan suatu SPL, maka hanya ada tiga kemungkinan solusi untuk SPL tersebut, yakni 1

SPL tersebut tidak punya solusi (tidak konsisten),

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

26 / 27





2

SPL tersebut konsiten dan solusinya tunggal (hanya satu tupel yang memenuhi SPL tersebut),

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

26 / 27





2

SPL tersebut konsiten dan solusinya tunggal (hanya satu tupel yang memenuhi SPL tersebut),

3

SPL tersebut konsisten dan solusinya tak hingga banyak. MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

26 / 27


SPL Berdasarkan Solusinya

MZI (FIF Tel-U)

SPL

Agustus 2015

27 / 27

Sistem Persamaan Linier (SPL)

Recommend Documents