Semua Ring R pada Boo ini diasumsikan adaIah komutatif dan mempunyai suatu elemen Unitas 1, kecuaIijika disebutkan yang lain.
DERNISI FIELD Definisi 6.1 (Field) Suatu Ring KomutatifF Bemnitas I disebutsuatu Field, atau Medan,jika untuk setiap nonzero a e F, terdapat a-I e F, sedemikian sehingga aa-I Masing-masing elemen Field disebut skalar.
= a-Ia = 1.
Atau, F adaIah suatu Field jika nonzero elemennya membentuk suatu Gmp di bawah perkaIian.
CONTOH FIELD Contoh 6.1 Mana dari yang berikut ini adaIah Field terhadap operasi penjumlahan dan perkalian biasa:
Integer Z Himpunan bilangan rasionaI Q Himpunan bilangan RiiI R Himpunan bilangan kompleks C Z adaIah contoh klasik dari suatu Daerah Integral yang bukan suatu Field (hanya 1 dan -1 adaIah Unit). Sementara itu Q, R, dan C adaIah Field.
Contoh 6.2 Misalkan S adaIah himpunanbilangan Riil yang berbentuk a+b_3, di sini a dan b adalah bilangan rasionaI. Akan kita tunjukkan bahwa S adaIah suatu Field. Suatu himpunan S dari bilangan Riil atau bilangan kompleks adaIah suatu Field, jika S berisi 0 dan 1, dan S adaIah Tertutup di bawah penjumlahan, pengurangan, perkaIian, dan pembagian (kecuaIi oleh nol). Karena 82
0-= 0 + 0-.13,dan 1 = 1 + 0-.13
maka 0 dan 1 keduanya tennasuk S. juga,.
(a+b"3) + (c+d"3) =(a+c)+(b+d)"3
- (c+d"3) =(a-c)+(b-d)"3 (a+b"3) (c+d"3) = (ac+3bd)+(ad+bc)"3
(a+b"3)
Karenanya S .adalah Tertutup di bawah penjumlahan,pengurangan,dan perkalian. Kita tunjukkan bahwa S adalah Tertutup di bawah pembagian (buatlah setiap elemen nonzero suatu Unit) sebagai berikut: (a + b"3)
=
(c + d"3)
(a + b"3)(c
- d"3)
(c + ~3)(c
- d"3)
=
ac c2
- 3bd
- 3d2
Karena itu S adalah suatu Field
Contoh 6.3 Misalkan .J ~{ingdari matriks Riil 2x2 berbentuk a b
-b a
Akan kita tunjukkan bahwa D adalah isomorfis dengan bilangan kompleks C, di sini D adalah suatu Field. Misalkan f: C ~ D didefinisikan sebagai f(a + bi)
= a -b b
a
Jelas bahwa f adalah satu-satu onto.
83
Pandang Zl
= a+bi, dan = a+di, maka dan
zl +
= (a+c)+(b+d)i
zl
= (ac-bd)+(ad+bc)i
Karenanya a f(zl)+f(()
=
f(zl)f()
=
-b
c
-d
a+c
-(b+d)
b+d
a+c
ac-bd
-(ad+bc)
ad+bc
ac-bd
=
+ b
a
d
c
a
-b
c
-d
b
a
d
c
=
= f(zl+)
.
= f(zl)
Terakhir, f(1) = f(1+Oi) = I, matriks identitas. Karena itu f adalah 'suatu isomorfisma.
SIFAT FIELD Sifat 6. 1 Suatu Field F adalah suatu Daerah Integral; yakni F tidak mempunyai Pembagi Nol.
Bukti Jika ab b
= 0 dan a * 0, maka = 1. b = a-lab = a-I. 0 = 0
84
Teorema 6.19.8 Suatu Daerah Integral yang hingga D adalah suatu -Field.
Buldi Pandang D mempunyai n elemen, katakanlah D
= {ai, ~,
..., ~}
Misalkan a sembarang elemen nonzero dari D, dan pandang n elemen aa1,~,...,~ Karena a
'#
0, kita mempunyai
berakibat aj
= aj (lihat
sifat 5.1)
Karena itu n elemen di atas semua berbeda, dan karenanya mereka semua adalah elemen D (mungkin dalam susunan yang berbeda). Satu dari mereka, katakanlah aak, harus sarna dengan elemen identitas I dari D, atau
Karena itu ~ adalah invers dari a. Dan karena a adalah sembarang elemen non zero dari D, maka D adalah suatu Field.
Sifat 6.2 Ideal J pada suatu Field F hanyalah {O}atau F sendiri.
Buldi Jika J '# {O},maka J berisi suatu elemeQnonzero a. karena F adalah suatu Field, a adalah suatu Unit. Menurut sifat 4.6,J= F. 85
Sitat 6.3 Pandang f: K ~ K' suatu Homomorfisma dari suatu Field K ke suatu Field K'. Pemetaan f adalah suatu pembentarigan,yakni bahwa f adalah satu-satu.
Bukti Misalkan J (bab 1). Jika J
= Ker f, yang
=K, maka
f(l)
merupakan suatu Ideal pada K, Menurut contoh 1.6 0'.
=
Tetapi, karena f adalah suatu Homomorfisma, kita butuhkan
f(l)
=l'
KarerianyaJ * K dan juga J
= {O} menurut
Sifat 6.2.
Pandang
f(a)
=f(b)
Karena itu f(a-b)
= f(a) - f(b) :
0
Karenanya a-b termasuk dalam J, yang berartia a-b hal itu, fadalah satu-satu.
=0, atau a =b. Berdasarkan
FIELD KUOSIEN Definisi 6.2 (Field Kuosien) Misalkan D adalah suatu Daerah Integral. Misalkan S berisi semua pasangan
terurut [kuosien] aIb. Di sini a, beD
dan b
* O.
Didefmisikan
jika ad
= be
maka aIb
= dd
(Relao;i ini adalah suatu relasi ekivalen.)
Misalkan F(D) adalah himpunan dari kelas ekivalen [aIb], dengan operasi penjumlahan dan perkalian didefmisikan sebagai [a/b] + [dd] [a/b] [dd]
·
= [(ad + be)/(bd)]
dan
=[(ac)/(bd)]
F(D) adalah Field, dan didefmisikan sebagai Field Kuosien dari D.
CONTOH FIELD KUOSIEN Contoh 6.4 Field Kuosiendari DaerahIntegralZ dari integeradalah F(Z)
=Q
yakni Field himpunan bilangan rasional Q.
87
Contoh 6.5 MisalkanK =D[x], Daerah Integral dari Polinomial dalam x dengan koefisien Riil. Di sini Field Kuosien dari K adalah F(K), yakni Field dari fungsi rasional berbentuk f(x)/g(x) di sini f(x), dan g(x) * 0 adalah Polinomial.
Contoh 6.6 MisaUcanD adalah suatu Daerah Integral. Akan ditunjukkan bagaimana D dibentangkan pada Field Kuosien F(D). Misalkan f : D ~ F(D), didefmisikan sebagai f(a)
= [all]
Karenanya f adalah suatu pembentangan, yakni f adalah suatu Homomorflsma, dan f adalah satu-satu. Sebagai contoh, kita identifikasikan suatu integer n pada Z dengan pecahan nI
I pada Q.
IDEAL MAKSIMAL Definisi 6.3 (Ideal Maksimal) Pandang suatu Ring R. K adalah suatu Ideal Maksimal pada R jika K * R, dan jika tidak ada Ideal J yang terletak di antara K dan R; yakni, jika K C J C R, maka K
88
= J atau J = R.
SIFAT IDEAL MAKSIMAL Sifat 6.3 Pandang K adalah suatu Ideal Maksimal pada suatu Ring komutatif R dengan elemen identitas 1. Ring Kuosien R/K adalah suatu Field.
Bukti Karena K * R, kita mempunyai 1 e: K (Sifat 4.6). Lebih Ianjut, menurut Sifat 4.8, Koset 1 + K adalah elemen Unitas untuk RI K, dan menurut Sifat 4.7, R/K adalah komutatif. Yang tinggal adalah sembarang Koset selain dari K mempunyai suatu invers multiplikatif pada R/K. Pandang a + K
* K. Karenanya a e: K. Misalkan J = {ra + sk: r,s E R, k E K}
Karenanya J adalah suatu Ideal berisi a dan K. karena a e: K, kita mempunyai = R. Karena itu 1 E J.
K * J. Karena K adalah maximal, J
Karenanya ada ro' So E R dan ko E K sedemikian sehingga 1 Karenanya 1+ K
= roa +
sfl
= roa +
K
= (ro +
= roa +
sfl
K)(a + K)
Karenanya ro + K adalah kebalikan multiplikatif dari a + K. Karena itu R/K adalah suatu Field.
ARITMETIKA MODULAR DAN FIELD GALOIS Pandang suatu sistem bilangan yang memiliki hanya tiga bilngan, yakni 0, 1, dan 2. Dan misalkanaturan untuk penjumlahan dan perkalian dalam sistem ini adalah sarna seperti penjumlahandan perkalian lazim, dengan pengecualiansebagai berikut:
89
Jika suatu bilngan q (dihasilkandari operasi penjumlahan atau perkalian) sarna atau lebih besar dari 3, q kita bagi dengan 3, tanpa memandang hasil baginya, sisa pembagian kita jadikan hasil, menggantikan q. Tabel penjumlahan dan perkalian untuk sistem bilangan seperti itu terlihat dalarn Garnbar 6-1. Ia disebut penjumlahan modulo 3 dan perkalian modulo 3. Kedua mereka, berSarna-samadisebut aritmetika modulo 3. Sebagai contoh, dalam aritmetika modulo 3, 1+1=2 2+1=0 2 + 2 = l(mod 3), dan sebagainya. Secara yang sarna,kita dapat mendetinisikansebarangaritmetikasistem modulo m yang mengandung m elemen 0, 1, 2,..., m-l dan hubungan untuk sebarang q > m-l: q
=m
·
p+r
= r (mod m), dan r < m.
+
0
1
2
.
0
1
2
0
0
1
2
0
0
0
0
1
1
2
0
1
0
1
2
2
2
0
1
2
0
2
1
(a)
(b)
Gambar 6-1 Tabel penjumlahan don perkalian untuk aritmetika modulo 3.
90
Silakan Pembaca membuat tabel aribnetika untuk m
=4, 5, 6, dan 7.
Fmite Fields: Dari tabel dalam Gambar 6-1, dapat diselidiki bahwa himpunan {O,1.2} dengan penjumlahan dan perlcalianmodulo 3 adalah suatu field. Terdapat elemen identitas° terhadappenjumlahan,modulo 3, dan elemen identitas 1 terhadap perkalian modulo 3. Setiap elemen memiliki invers aditif yang unik, dan setiap elemen bukan ° memiliki invel'Smultiplikatif. Juga dari tabel aritmetikayang bersangkutan,dapat dengan mudah ditunjukkan_ bahwa sistem modulo 3, sistem modulo 2, 5, dan 7 ada1ahjuga field. Pada lain pihak, himpunan {0,1,2,3}dengan penjumlahan modulo 4 dan perkalian modulo 4 bukan suatu field, karena tidak terdapat invel'S dari 2 terhadap perkalian modulo 4. Pada kenyataannya, setiap himpunan hingga
~ = {0,1,2, m-1} dengan operasi penjumlahan dan perkalian modulo m, adalah suatu field jika dan hanya jika m adalah bilangan prima.
Sifat ,6.4
~ adalah suatu Field, jika p adalah suatu b~gan
prima.
Bukti
~ adalah
suatu ~Daerah Integral (lihat contoh 5.2) dan hingga; karenanya
adalah suatu Field oleh Teorema 6.1.
~
91
Definisi 6.4 Field dari Zm = {0,1,2,u., m-l}, dengan operasi penjumlahan dan perkalian modulo m, disebut suatu field Galois modulo m. atau FG(m). FG(2), field Galois modulo 2, sangat OOrperandalam penyajian graf. Ia .
mengandung 2 elemen {O,I} dan operasipenjumlahanmodulo2, dan perkalian modulo 2. Kedua taOOIaritmetikater;ihat pada Gambar 6-2. Dalam ilmu komputer, logika ini adalah logika EXCLUSIVE OR untuk +, dan AND untuk *, yang dikenal sebagai logika Boolean.
-
+
0
1
.
0
I
0
0
I
0
0
0
I
I
0
1
0
I
(a)
(b)
Gambar 6-2 Tabel penjumlahan dan perkalian FG(2}
92
