FOTON, Jurnal Fisika dan Pembelajarannya
Volume 11, Nomor 2, Agustus 2007
Reproduksi Kurva Magnetisasi bagi Superkonduktor Mesoskopik Tipe II Berdasarkan Simulasi Numerik Persamaan TDGL Hari Wisodo Jurusan Fisika UM, Jl. Surabaya 6, Malang 65145 Tlp. (0341) 552125 E-mail: wisodo
[email protected]
Telah disimulasikan secara numerik kurva magnetisasi untuk superkonduktor tipe II mesoskopik dengan menggunakan persamaan TDGL. Diskretisasi persamaan TDGL menggunakan skema beda hingga standar. Simulasi dilakukan untuk bahan berukuran 20ξ × 20ξ pada T = 0, 5Tc dan parameter Ginzburg-Landau κ = 2. Hasil simulasi menunjukkan bahwa kurva magnetisasi yang dihasilkan Hernandez dan Dominguez [3] telah berhasil direproduksi dengan kesesuaian yang meyakinkan. Hal yang sama juga diperoleh untuk perhitungan jumlah vortex Nv sebagai fungsi medan magnet eksternal H.
Intisari :
Kata kunci : simulasi, reproduksi, kurva magnetisasi, persamaan TDGL
1
PENDAHULUAN
samaan untuk memproduksi kurva magnetisasi, penurunan bentuk diskretnya, dan hasil simulasi. Sub bab 4 menyajikan penurunan persamaan untuk menghitung jumlah vortex, penurunan bentuk diskretnya, dan hasil simulasi. Sub bab 5 menyajikan kesimpulan dari simulasi numerik yang telah diperoleh.
Melalui kurva magnetisasi dapat dipelajari sifat-sifat superkonduktor. Kurva magnetisasi dapat digunakan untuk mempelajari keadaan intermediat superkonduktor tipe I [1], pengaruh fluktuasi termal [2], pengaruh surface barrier terhadap dinamika vortex [3]. Mengingat begitu sentralnya peran kurva magnetisasi, pada tahap awal penting untuk mereproduksi kurva magnetisasi yang telah dihasilkan para ahli untuk selanjutnya dijadian acuan pengembangan mengeksplorasi sifat-sifat lain dari superkonduktor. Kurva magnetisasi acuan untuk direproduksi adalah kurva magnetisasi yang dihasilkan Hernandez dan Dominguez [3], yaitu untuk bahan berukuran 20ξ × 20ξ pada T = 0, 5Tc dengan tetapan Ginzburg-Landau κ = 2.
2 2.1
Persamaan TDGL
Simulasi numerik ini didasarkan pada persamaan Time Dependent Ginzburg-Landau (TDGL). Dalam tera potensial listrik nol persamaan TDGL berbentuk [4] 1 ∂Ψ = (∇ − iA)2 Ψ ∂t η + (1 − T ) 1 − |Ψ|2 Ψ , (1) ∂A = (1 − T ) (∇S − A) |Ψ|2 ∂t − κ2 ∇ × ∇ × A, (2)
Penyajian dalam artikel ini disusun sebagai berikut. Sub bab 2 menyajikan persamaan TDGL beserta bentuk diskritnya menggunakan skema beda hingga dan syarat batas yang digunakan. Sub bab 3 menyajikan perISSN 1410-3273
MODEL DAN DINAMIK
dengan Ψ dan A adalah parameter benahan dan potensial vektor listrik, T temperatur, 83
c 2007 Jurusan Fisika UM
Reproduksi Kurva Magnetisasi bagi Superkonduktor . . . dan κ parameter Ginzburg-Landau. Persamaan (1) dan (2) adalah persamaan TDGL dalam bentuk tak berdimensi. Panjang telah diskala dalam satuan ξ(0), waktu dalam satuan t0 = ξ 2 /(ηD), A dalam satuan µ0 Hc2 ξ, dan temperatur dalam satuan Tc . η sebanding dengan rasio waktu karakteristik untuk Ψ dan A, yaitu η = tΨ /t0 dengan tΨ = ξ 2 /D, dimana σ adalah konduktivitas kuasipartikel, dan D adalah konstanta difusi elektron. Untuk superkonduktor dengan impuritas magnet, konstanta difusi elektron D = c2 /(48πκ2 σ) dan dalam masalah ini η = 12. Persamaan (1) dan (2) diselesaikan secara numerik dengan menggunakan skema diskretisasi beda hingga standar. Parameter benahan dan vektor potensial listrik didefinisikan di titik-titik grid komputasi persegi [r = (i, j)] dan variabel penghubung Uµ;i,j = exp(−iκhµ Aµ;i,j ) (µ = x, y) diperkenalkan dalam upaya untuk menjaga invariansi tera di bawah diskretisasi (lihat Gambar 1). Dalam simulasi ini diasumsikan bahwa bahan memiliki bentuk persegi dalam arah x dan y dengan dimensi Lx × Ly dan memiliki panjang tak berhingga dalam arah z. Medan magnet diberikan dalam arah z. Keadaan ini mengimplikasikan bahwa titik-titik grid komputasi Ai,j = (Ax;i,j , Ay;i,j , 0) dan Bi,j = (0, 0, Bz;i,j ), dengan Bz;i,j ) = (∇ × A)z = (∂x Ay;i,j − ∂y Ax;i,j ). Dalam geometri ini diskretisasi persamaan (1) dan (2) ditunjukkan dalam persamaan (3), (4), (5). 2.2
Syarat Batas
Persamaan TDGL harus dilengkapi dengan syarat batas yang sesuai untuk parameter benahan dan potensial vektor listrik. Syarat batas untuk A pada permukaan bahan dalam bentuk tak berdimensi adalah B=∇×A=H
(6)
dengan H adalah medan magnet yang diberikan. Syarat batas bagi parameter order bergantung pada jenis bahan yang melingkungi bahan superkonduktor tersebut. Secara umum
84
Gambar 1: (a) Grid komputasi sistem yang ditinjau. (b) Titik-titik evaluasi untuk Ψ( ), Ux dan Ax (@), Uy dan Ay (#), dan Bz;i,j (4) dalam sel grid satuan dengan luas S = hx hy dan keliling l = l1 + l2 + l3 + l4 .
syarat batas bagi Ψ dalam bentuk takberdimensi diberikan oleh (∇ − iA)|n Ψ =
Ψ . b
(7)
dengan b adalah panjang ekstrapolasi permukaan. Nilai b mulai dari nol untuk bahan magnet sampai tak berhingga untuk isolator dan vakum. Syarat batas pada persamaan (7) mengimplikasikan bahwa superkonduktor yang berbatasan dengan logam normal maka Ψ akan menembus ke dalam bahan normal tersebut. Peristiwa ini disebut dengan proximity effect (efek proksimitas). Untuk superkonduktor yang berbatasan dengan bahan isolator atau vakum (syarat batas SI), syarat batas bagi Ψ diperoleh dari persamaan (7) dengan mengambil b → ∞, yaitu (∇ − iA)|n Ψ = 0.
(8)
Syarat batas ini mengimplikasikan bahwa komponen tegak lurus dari arus superkon-
FOTON/Vol. 11 No. 2/Agustus 2007
85
Hari Wisodo, Jurusan Fisika UM
∂Ψi,j ∂t
= +
∂Ax;i,j ∂t
= − −
∂Ay;i,j ∂t
= − −
∗ Ψi−1,j − 2Ψi,j + Ux;i,j Ψx;i+1,j 1 Ux;i−1,j η h2x ∗ Ψi,j−1 − 2Ψi,j + Uy;i,j Ψy;i,j+1 Uy;i,j−1 2 + (1 − T ) 1 − |Ψi,j | Ψi,j h2y Im Ux;i,j Ψ∗i,j Ψi+1,j (1 − T ) hx Ay;i+1,j − Ay;i,j − Ay;i+1,j−1 + Ay;i,j−1 κ2 hx hy Ax;i,j+1 − 2Ax;i,j + Ax;i,j−1 , h2y Im Uy;i,j Ψ∗i,j Ψi,j+1 (1 − T ) hy Ax;i,j+1 − Ax;i,j − Ax;i−1,j+1 + Ax;i−1,j κ2 hx hy Ay;i+1,j − 2Ay;i,j + Ay;i−1,j h2x
duktif adalah sama dengan nol di permukaan (Js |n = 0).
yang dapat diungkapkan dalam bentuk
3
dengan
KURVA MAGNETISASI
Magnetisasi dalam bentuk tak berdimensi dapat diungkapkan sebagai
−Mz (t) = Hz − hBz (t)i
hBz (t)i =
Ny Nx X X Bz;i,j (t) i=1 j=1
−M = H − B
(9)
Nx N y
Ay;i+1,j − Ay;i,j hx Ax;i,j+1 − Ax;i,j − . hy
(3)
(4)
(5)
(12)
(13)
Bz;i,j = Untuk masalah yang ditinjau dimana H konstan, Bz = f (x, y, t), Mz = f (x, y, t), komponen magnetisasi arah z untuk bahan yang memiliki luas Lx Ly (Gambar 1) adalah Z Lx Z Ly (Hz − Bz (t))dxdy 0 0 −Mz (t) = Z Lx Z Ly dxdy 0 0 Z Lx Z Ly 1 = Hz − Bz (t)dxdy Lx L y 0 0 (10)
(14)
Untuk setiap medan magnetik Hz , magnetisasi Mz dihitung dengan mengambil rerata waktu dari magnetisasi gayut waktu M (t), yaitu Z tf 1 Mz (t)dt Mz = tf − ti ti tf dt X = Mz (t) tf − ti t=t
(15)
i
Bentuk diskret persamaan magnetisasi, persamaan (10), adalah −Mz (t) = Hz − hx hy
Ny Nx X X Bz;i,j (t) i=1 j=1
Lx L y (11)
dimana rerata ini diambil mulai ti setelah keadaan tunak (steady state) tercapai. Kurva magnetisasi diperoleh dengan cara sebagai berikut. Pertama, memasukkan nilai variabel yang mewakili keadaan Meissner, yaitu Ψ(i, j, t = 0) = 1 dan A(i, j, t = 0) = 0
FOTON/Vol. 11 No. 2/Agustus 2007
Reproduksi Kurva Magnetisasi bagi Superkonduktor . . . pada medan magnet H = 0. Kedua menghitung nilai Ψ(i, j) dan A(i, j) pada medan magnet H = 0 sampai diperoleh nilai kedua variabel ini pada keadaan tunak. Selanjutnya nilai Ψ(i, j) dan A(i, j) yang diperoleh digunakan sebagai nilai awal untuk menghitung nilai Ψ(i, j) dan A(i, j) pada medan magnet yang ditingkatkan menjadi H + ∆H dengan ∆H = 0, 01Hc2 . Langkah ini dilakukan sampai pada nilai medan magnet H = Hc2 . Cara ini mengikuti prosedur yang dilakukan dalam eksperimen untuk mengukur magnetisasi bahan. Dalam simulasi ini dipilih nilainilai T = 0, 5, η = 12, κ = 2, hx = hy = 0, 5 dan ∆t = 0, 015. Kurva magnetisasi yang dihasilkan ditunjukkan pada Gambar 2. Kurva ini sesuai dengan kurva magnetisasi yang diperoleh Hernandez [3] seperti ditunjukkan pada Gambar 3.
86
Kedua ruas persamaan (17) di berikan operasi H (...) • dl menghasilkan C
I
Φ0 (A + ΛJs ) • dl = 2π C
I ∇S • dl
(18)
C
dengan Λ = ms /es |Ψ|2 , Φ0 = h/2e. Menurut kalkulus vektor integral gradien dari fungsi skalar sepanjang lintasan yang diR tunjukkan oleh titik ri dan rf adalah C ∇S • dl = S(rf ) − S(ri ). Ketika rf → ri sedemikan sehingga membentuk lintasan tertutup, maka integral tersebut bernilai nol. Untuk masalah yang ditinjau hal ini tidak benar karena nilai spesifik dari fase dari Ψ, yaitu S, tidak well defined. Bahkan terdapat tak berhingga nilai yang mungkin dari fase S. Sebagai bukti berdasarkan persamaan (16) dapat diperoleh
Ψ=
√
nx expi(Sp +2πNv )
(19)
yang memberikan nilai yang sama untuk sebarang nilai integer Nv yang diberikan. Jadi walaupun Ψ well defined, fase S dari Ψ tidak well defined, yaitu Gambar 3: Kurva magnetisasi untuk superkonduktor mesoscopic 10λ × 10λ menggunakan syarat batas SI untuk κ = 2. Jumlah vortex Nv ditunjukkan pada sumbu y sebelah kanan. Diambil dari Hernandez dan Dominguez [3].
4
KUANTISASI FLUKS MAGNET
Persamaan untuk menghitung jumlah vortex Nv diperoleh dengan cara sebagai berikut. Diketahui persamaan untuk parameter benahan dan arus super berturut-turut adalah
Js
√
ns eiS(r,t) (16) h ¯ es es ∇S − A |Ψ|2 (17) = ms h ¯
Ψ(r, t) =
S = Sp + 2πNv .
(20)
Fase ini hanya dapat ditetapkan dalam modulo 2π dari nilai utamanya Sp . Karena Sp adalah fungsi bernilai H tunggal, maka kita peroleh bahwa C ∇S • dl = lim (S(rf ) − S(ri ))= 2πNv atau rf →ri
1 Nv = 2π
I ∇S • dl
(21)
C
Bentuk diskret persamaan (21) dapat diperoleh dengan cara sebagai berikut. Ditinjau Gambar 1.a. Persamaan (21) dapat di-
FOTON/Vol. 11 No. 2/Agustus 2007
87
Hari Wisodo, Jurusan Fisika UM
Gambar 2: Kurva magnetisasi untuk superkonduktor mesoscopic 20ξ × 20ξ menggunakan syarat batas SI untuk κ = 2. Jumlah vortex Nv ditunjukkan pada sumbu y sebelah kanan.
ungkapkan menjadi
tuk Ψ sebagai Nv
Z 2πNv =
Z dS +
r1
=
i=2
=
N x −1 X
dSi,2 +
dS +
dS
r3 r4 Ny −1 Z y j+1 X
xi
N x −1 Z xi X
Z
dS + r2
N x −1 Z xi+1 X i=2
+
Z
dSNx ,j
j=2
dSi,Ny +
xi+1
yj
Ny −1 Z y j X j=2
dS2,j
yj+1
(Si+1,2 − Si,2 )
X
(SNx ,j+1 − SNx ,j )
j=2
−
N x −1 X
Si+1,Ny − Si,Ny
i=2 Ny −1
−
X
(S2,j+1 − S2,j )
−1
(23)
i=2 Ny −1
+
N x −1 X
Im(Ψ∗i,2 Ψi+1,2 ) Tan Re(Ψ∗i,2 Ψi+1,2 ) i=2 Ny −1 X Im(Ψ∗2,j Ψ2,j+1 ) −1 + Tan Re(Ψ∗2,j Ψ2,j+1 ) j=2 ! N ∗ x −1 X Im(Ψ Ψ ) i+1,N y i,Ny − Tan−1 ∗ Re(Ψ Ψ i,Ny i+1,Ny ) i=2 !! Ny −1 ∗ X Im(Ψ Ψ ) N ,j+1 x N ,j x − Tan−1 ∗ Re(Ψ Nx ,j ΨNx ,j+1 ) j=2 1 = 2π
(22)
Jumlah vortex Nv pada persamaan (23) dihitung pada setiap nilai H dengan menggunakan nilai-nilai Ψ pada keadaan tunak. Hasil simulasi numerik jumlah vortex ditunjukkan pada Gambar 2. Kurva ini sesuai dengan kurva magnetisasi yang diperoleh Hernandez [3] seperti ditunjukkan pada Gambar 3.
j=2
5 Menggunakan persamaan (16), persamaan (22) dapat diungkapkan kembali dalam ben-
KESIMPULAN DAN SARAN
Hasil simulasi menunjukkan bahwa kurva magnetisasi yang dihasilkan Hernandez dan
FOTON/Vol. 11 No. 2/Agustus 2007
Reproduksi Kurva Magnetisasi bagi Superkonduktor . . . Dominguez [3] telah berhasil direproduksi dengan kesesuaian yang meyakinkan. Hal yang sama juga diperoleh untuk perhitungan jumlah vortex Nv sebagai fungsi medan magnet eksternal H. PUSTAKA [1] Hernandez A. D. dan Dominguez D., 2005, Magnetic Properties of the Intermediate State in Small Type-I Superconductors, Phys. Rev. B 72, 020505 (2005) [2] Hernandez A. D., Baelus B. J., Dominguez D., Peeters F. M., 2005, Effects of thermal fluctuations on the magnetic behavior of mesoscopic superconductors, Phys. Rev. B 71, 214524 (2005) [3] Hernandez A. D. dan Dominguez D., 2002, The Surface Barrier in Mesoscopic Type I and Type II Superconductors, Phys. Rev. B 65, 144529 (2002) [4] Kato R., Enomoto Y., Maekawa S., 1993, Effect of the Surface Boundary on the Magnetization Process in Type II Superconductors, Phys. Rev. B 47, 13 (1993)
FOTON/Vol. 11 No. 2/Agustus 2007
88
