Reëelwaardige functies van één of meer reële veranderlijken

Reëelwaardige functies van één of meer reële veranderlijken Functie en scalaire functie Relatie van A naar B ⊂ A x B = {(x,y) | x ∈ A & y ∈ B} Een relatie van A naar B is functie als 2 verschillende beelden => geen zelfde origineel hebben. Stel

A = ℝ B = ℝ

(of A = ℝn)

(i) A = ℝ & B = ℝ: reële functie met één onafhankelijke variabele y = f(x) -> rekenvoorschrift of: f: ℝ  ℝ, x  y = f(x) -> afhankelijke variabele (ii) A = ℝn & B = ℝ: reële functie met n onafhankelijke variabele y = f(x1,x2,...,xn) of: f: ℝn  ℝ, (x1,x2,...,xn)  y = f(x1,x2,...,xn)

Definitieverzameling: domein Def(f) = D = {x ∈ ℝ | f(x) is gedefinieerd} vb.

f(x) =

 x²−5 x6 x²−5 x6=x−2x−3 +

Algemeen:

2

-

3

+

ax² + bx + c 1) D = b² – 4ac > 0 => 2 reële wortels => x1, x2 => ax² + bx + c = a(x-x1)(x-x2) 0

0 +a

2)

x1

-a

x2

+a

D = b² – 4ac = 0 => 1 dubbele reële wortel: x1 => ax² + bx + c = a(x-x1)² 0 +a

Wiskunde – Analyse – Hoofdstuk 1

x1

+a

(1/16)

3)

D = b² – 4ac < 0 => geen wortel +a

Def(f) = ]-∞,2] ∪ [3,+∞[ = ℝ \ ]2,3[

y=

vb.

x1 x²−4

Def(f) = ℝ \ {2,-2}

Waardenverzameling: beeld w(f) = W = {f(x) | x ∈ Def(f)} vb.

f(x) = sin x Def(f) = ℝ w(f) = [-1,1]

f x=

1 x

Def(f) = ℝ0 w(f) = ℝ0

Begrensde functie functie is begrensd als de waardenverzameling naar boven & naar onder begrensd is. vb. sin is begrensde functie, omkeerfunctie niet

Even & oneven functie Evenfunctie <=> f(x) = f(-x), ∨ x ∈ D -> symmetrisch t.o.v. y-as Onevenfunctie <=> f(-x) = -f(x), ∨ x ∈ D -> symmetrisch t.o.v. 0 vb.

Evenfunctie: y = cos x, vermits cos(-x) = cos x y

x

Wiskunde – Analyse – Hoofdstuk 1

(2/16)

Evenfunctie: y = x², vermits (-x)² = x² y

x

Periodieke functie <=> f(x) = f(x + T)

-> ≠ 0: periode -> kleinste periode in absolute waarde: hoofdperiode

De som van 2 periodieke functies is ook een periodieke functie

Stijgende functie y

x

∨ x1<x2 => f(x1) ≤ f(x2) strikt stijgend <

Dalende functie y

∨ x1<x2 => f(x1) ≥ f(x2) strikt dalend > x

Monotone functie Een functie die strikt stijgend is of strikt dalen over het hele interval.

Inverse functie vb.

y=

2x x−3

-> inverse ->

x=

2y => y−3

x  y−3=2 y xy−2 y=3 x x−2 y=3 x

Wiskunde – Analyse – Hoofdstuk 1

(3/16)

y= vb.

y=x²−2

x=y²−2 =>

-> inverse ->

3x x−2

y²=x2

-> geen functie, 2 y waarden met 1 x Grafisch: inverse is de spiegeling om de eerste bissectrice y = x Def(f-1) = w(f) een functie die strikt monotoom is over een interval is inverteerbaar.

Limieten Definitie:

(>0) -omgeving van x0 = ] x0- , x0+ [

x0 is adherent <=> ] x0- , x0+ [ \ {x0} ⊂ D = Def(f) x0 - 

x0

x0 + 

-> zonder x0 ±  is de -omgeving Limiet Definitie:

li m f x=L x  x0

∀ ℇ > 0, ∃ : ∀ x ∈ ] x0- , x0+ [ of |x-x0| <  => f(x) ∈ ]L – ℇ,L + ℇ[ of |f(x)-L| <

ℇ

li m f x=L

x ∞

li m f x=L

x −∞

OPM: y = L, horizontale asymptoot als x -> +∞ of x -> -∞

li m f x=±∞

x ∞

li m f x=±∞

x −∞

y

x

Wiskunde – Analyse – Hoofdstuk 1

(4/16)

vb.

f(x) = ln x

y

li m f x=∞

x ∞

li m f x=±∞ x  x0

x

li m f x=±∞ x

¿ x  0

li m f x=±∞ x

¿ x  0

OPM:

x = x0 is verticale asymptoot als > x0 als < x0

is linkerlimiet ≠ rechterlimiet, bestaat de limiet in het punt niet.

Continuïteit en afleidbaarheid Continuïteit Een functie heet continu in x0 ∈ Def(f)

li m f x=f x 0 

<=>

OPM:

Is

x  x0

li m f x≠li m f x x

¿ x  0

x

¿ x  0

y

x

Stelling van de tussen liggende waarden y

∀ f(x) ∈ [f(x0),f(x1)] => x ∈ [x0,x1]

x

Wiskunde – Analyse – Hoofdstuk 1

(5/16)

Stelling van Weierstrass y

Een functie die continu is over haar hele definitiegebied doorloopt 1 maal haar minimum en maximum ∀ x ∈ [x0,x1] => f(x) ∈ {Min,Max} x

Afleidbaarheid

li m

f is afleidbaar in x0 <=>

x  x0

  df dx

notaties: f'(x0), Df(x0),

nog geschreven als:

f x−f x 0  = bestaat, eindig x−x 0

x=x 0

Df x 0 =li m x 0

f x 0 x−f x 0  x

Bewerkingen met reële functies

ℝ

ℝ Def(f)

wrd(f)

ℝ g

wrd(g)

Def(g)

vb.

f(x) = x² f(x) = sin x

=> g ° f(x) = sin²x => f ° g(x) = sin (x²)

g°f

-> eigenschappen bekijken, niet altijd overgedragen

-> continuïteit & afleidbaarheid -> eigenschappen worden overgedragen f(x) x g(x) = x².sin x f(x) + g(x) = x² + sin x

Wiskunde – Analyse – Hoofdstuk 1

(6/16)

Elementaire reële functies (1) Machtsfuncties met exponent ∈ ℕ & veeltermfuncties -> f: ℝ  ℝ, x  y = xn, Def(f) = ℝ

n ∈ ℕ

Veeltermfuncties -> f: ℝ  ℝ, x  y = anxn + an-1xn-1 + ... + a0, Def(f) = ℝ

n ∈ ℕ

(2)Machtsfuncties met exponent ∈ ℤ & rationale functies -> f: ℝ  ℝ, x  y = x-n = 1/xn, Def(f) = ℝ0

-n ∈ ℤ

0 is de pool van de functies OPM: y = 1/x (meest eenvoudige, omkeer functie) Rationale functies

-> f: ℝ  ℝ, x  y =

an x n a n−1 x n−1...a0 bm x m bm−1 x m−1...b0 Def(f) = ℝ \ {nulpunten van de noemer}

- nulpunten die geen nulpunten zijn van de teller = 'polen van de functie' - nulpunten die ook nulpunten zijn van de teller = 'ophefbare discontinuïteiten' OPM:

Verticale Asymptoot (V.A.) in de polen Horizontale Asymptoot (H.A.) afhankelijk van de coëfficiënten

graad teller > graad noemer: n > m: graad teller = graad noemer: n = m:

li m y=±∞

x ±∞

li m y=

x ±∞

a0 =L b0

y=L is H.A. graad teller < graad noemer: n < m:

li m y=0 x ±∞

y=0 is H.A. Meest eenvoudige:

Wiskunde – Analyse – Hoofdstuk 1

(7/16)

y=

mxn pxq

-> homografische funtie

(3) Machtsfuncties met exponent ∈ ℚ & irrationale functies OPM:

y = xn met n ∈ ℕ (n = oneven) -> strikt stijgend => inverse bestaat.

Inverse:

x = yn =>

-> f: ℝ  ℝ, x 

1

n

y=x n =  x 1

n

y=x n =  x

(n ∈ ℕ & n oneven

,

=> 1/n ∈ ℚ)

Def(f) = ℝ OPM:

y = xn met n ∈ ℕ (n = even) -> NIET strikt stijgend => inverse bestaat niet vb. y = x² y = xn (n ∈ ℕ & n even) -> is strikt stijgend in ℝ+ = [0,+∞[ -> restrictie is inverteerbaar 1

-> f: ℝ+  ℝ, x 

n

y=x n =  x

,

(n ∈ ℕ & n even)

Irrationale functies

vb.

y=



3

an x n an−1 x n−1...a0 bm x m bm−1 x m−1...b0

(5) Exponentiële functies -> f: ℝ  ℝ, x  y = ax Def(f) = ℝ

met a ∈

ℝ+0 \ {1}

Nu is: a0 = 1, a1 = 0 am+n = am . an am-n = am / an (am)n = am.n Grafisch:

Stel a > 1

y

H.A. y = 0

x

Wiskunde – Analyse – Hoofdstuk 1

(8/16)

Stel 0 < a < 1

H.A. y = 0

y

x

Bijzonder geval: Stel a = e = =

1 n li m 1  n x ∞

2,71...

y = ex = exp(x) -> unieke functie, heeft als afgeleide zichzelf OPM:

Dex = ex

(7) Logaritmische functies Vermits y = ax

is strikt stijgend (a>1) is strikt dalend (0
=> inverse functie bestaat x = ay <=> y = alog x -> f: ℝ+  ℝ, x  y = alog x Nu is:

log 1 = 0; alog a = 1 log(x1.x2) = alog(x1) + alog(x2)

a a

x1 ) = alog(x1) – alog(x2) x2 b log x a log x= b log a

log(

a

log(xn) = n . alog x

a

log(x) =

a

Bijzonder geval:

ln x ln a

a = e

y = alog x = ln x -> neperiaanse of natuurlijke logaritme Wiskunde – Analyse – Hoofdstuk 1

(9/16)

y = log x -> a = 10, briggse logaritme OPM:

als a>0, ∀ x ∈ ℝ

-> ax = e(ln a . x)

Goniometrische functies Goniometrische functies bevatten een periodiciteit. 1) Sinusfunctie -> f: ℝ  ℝ, x  y = sin x

Def(f) = ℝ wrd(f) = [-1,1] Periode = 2 y = a sin(bx + c) + d

Algemene sinusfunctie: Met: a = amplitude b = cirkelfrequentie c = beginfase d = verschuiving y -> onevenfunctie 2) Cosinusfunctie -> f: ℝ  ℝ, x  y = cos x Algemene cosinusfunctie: Met: a = amplitude b = cirkelfrequentie c = beginfase d = verschuiving y

Def(f) = wrd(f) = Periode y = a cos(bx +

ℝ [-1,1] = 2 c) + d

-> evenfunctie 3) Tangensfunctie -> f: ℝ  ℝ, x  y = tg x =

sin x cos x

Def(f) = ℝ \ {/2 + k} wrd(f) = ℝ Periode = 

-> onevenfunctie 4) Cotangensfunctie -> f: ℝ  ℝ, x  y = cotg x =

cos x Def(f) = ℝ \ {k} sin x wrd(f) = ℝ

Wiskunde – Analyse – Hoofdstuk 1

(10/16)

Periode =  -> onevenfunctie Secansfunctie & cosecansfunctie -> onevenfuncties

1 1 en cosec x= cos x sin x sin² xcos² x=1 sin x±y=sin x .cos y±cos x .sin y sin 2 x=2.sin x .cos x cosx±y=cos x .cos y∓sin x .sin y cos2 x=cos² x−sin² x=1−2 sin² x=2 cos² x−1 tg² x1=sec² x en 1cotg² x=csc² x sec x=

Eigenschappen:

functies 1) Boogsinus functie f(x) = y = Arcsin x <=> x = sin y y

met

−  y 2 2

wrd(f) = [-1,1]

-> enkel strikt stijgend deel

x

2) Boogcosinus functie f(x) = y = Arccos x <=> x = cos y y

met 0y wrd(f) = [-1,1] -> enkel strikt stijgend deel

x

3) Boogtangens functie Wiskunde – Analyse – Hoofdstuk 1

(11/16)

y

x

f(x) = y = Arctg x <=> x = tg y

met

−  y 2 2

wrd(f) = ℝ

4) Boogcotangens functie f(x) = y = Arccot x <=> x = cotg y

met 0y wrd(f) = ℝ

y

x

5) Boogsecans functie f(x) = y = Arcsec x <=> x = sec y

met 0y en wrd(f) = ℝ \ [-1,1]

y

6) Boogcosecans functie

x

f(x) = y = Arccsc x <=> x = csc y y

met

−  y 2 2

en y≠0

wrd(f) = ℝ\ [-1,1] x

Onderling verband tussen de functies

 - Arcsin x 2  Arccot x = - Arctg x 2  Arccsc x = - Arcsec x 2 Arccos x =

Bewijs:

y = Arccos x

Wiskunde – Analyse – Hoofdstuk 1

(12/16)

<=> <=> <=> <=>

x = cos y en 0  y   x = sin (-/2 - y) en -/2  /2 - y  /2 /2 – y = Arcsin x y = /2 – Arcsin x

Hyperbolische functies Er geldt:

∀ f(x): f(x) =

f xf −x f x−f −x  2 2

f xf −x 2 f x−f −x onevenfunctie: f0(x) = 2 evenfunctie: fe(x) =

Stel: f(x) = ex ex = f(x) =

e x e−x ex −e−x  2 2

Stel: evendeel – cosinus hyperbolicus: - cosh x =

ex e−x 2

onevendeel – sinus hyperbolicus:

- sinh x =

ex −e−x 2

Formules:

cosh² x−sinh² x=1 sinh x ex −e−x ex e2 x −1 tgh x= = . = cosh x ex e−x ex e2 x 1 cosh x ex e−x ex e2 x 1 1 coth x= = x −x . x = 2 x = sinh x e −e e e −1 tgh x Inverse-hyperbolische functies Def:

y = argsinh x <=> x = sinh y y = Argcosh x <=> x = cosh y & y ≥ 0 -> hoofdletter vanwege ristrictie y = Argcosh x

<=> <=>

Wiskunde – Analyse – Hoofdstuk 1

x = cosh y y

x =

& y ≥ 0

−y

e e 2

(13/16)

<=>

( . ey ) e y e−y 2 x.e y =e2 y 1 e2 y −2 x.e y 1=0 Stel e y =u

2x =

<=> <=> <=>

u² – 2xu + 1

2 x± 4 x²−4 2 u=x± x²−1 & y ≥ 0 e y =x± x²−1 & y ≥ 0 u=

<=> <=> <=>

-> als – gebruikt wordt nooit ≥ 1 <=>

e y =x x²−1

<=>

y=lnx  x²−1=Argcosh x

De absolute waarde functie Def:

abs(x) = |x| =

x als x ≥ 0 -x als x < 0 =  x² ≥ 0

OPM:

f(|x|) ≠ |f(x)| f ° abs(x) ≠ abs ° f(x)

De signum functie Def:

sgn(x) =

1 als x > 0 0 als x = 0 -1 als x < 0

OPM:

abs(x) = sgn(x).x

Basisbegrippen m.b.t. ℝn-ℝ functies Def:

f: ℝn  ℝ, (x1,x2,...,xn)  y = f(x1,x2,...,xn)

OPM:

f: ℝn  ℝ, (x,y)  z = f(x,y) Def(f) = {(x,y)|f(x,y) is gedefinieerd} ⊂ ℝ x ℝ = ℝ²

vb.

(1) z = x+y (2) z =  xy  (3) z = ln(x-y)

=> => =>

Def(f) = ℝ² Def(f) = ℝ-² ∪ ℝ+² x>y

Niveaukromme

Wiskunde – Analyse – Hoofdstuk 1

(14/16)

z

niveaukromme: k = f(x,y) impliciete vergelijking: f(x,y) = k y

x

Limiet begrip li m x , yx 0 , y 0 

f x , y=L

∀ ℇ > 0, ∃  > 0:

|f(x,y)-L| < ℇ zodat

|x-x0| <  |y-y0| < 

 x−x 0 ² y−y 0 ² y

< 

y

z

x

x

y

x

OPM:

li m f x=L x  x0

Wiskunde – Analyse – Hoofdstuk 1

(15/16)

Partiële afgeleide z = f(x,y) z

y

x

Stel

y = y0

=> z = f(x,y0) ->

f x 0 x , y 0 −f x 0 , y 0  x  x 0 li m

= afgeleide van f(x,y0) naar x in punt x0 voor x = x0 =

Stel

  ∂f ∂x

0

x = x0

=> z = f(x0,y) ->

f x 0 , y 0 y−f x 0 , y 0  y  y 0 li m

= afgeleide van f(x0,y) naar y in punt y0 voor y = y0 =

OPM:

  ∂f ∂y

0

zijn de partiële afgeleide gedefinieerd voor elk punt van Def(f) => =>

∂f = partiële afgeleide van x ∂x ∂f = partiële afgeleide van y ∂y

Wiskunde – Analyse – Hoofdstuk 1

(16/16)