PROSIDING SEMINAR NASIONAL PENDIDIKAN MATEMATIKA 2016 PRODI PENDIDIKAN MATEMATIKA – FKIP – UNIVERSITAS MADURA Pamekasan, 28 Mei 2016
ii
Tim Penilai Makalah (Reviewer): 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Prof. Dr. Mega Teguh Budiarto, M.Pd.(Universitas Negeri Surabaya) Dr. H. Hobri, M.Pd. (Universitas Jember) Dr. Edy Bambang Irawan, M.Pd. (Universitas Negeri Malang) Evawati Alisah, M.Pd (UIN MALIKI Malang) Ukhti Raudhatul Jannah, M.Pd.(Universitas Madura) Sri Indriati Hasanah, M.Pd. (Universitas Madura)
EDITOR: Hasan Basri Moh. Zayyadi Sri Irawati Hairus Saleh Chairul Fajar Tafrilyanto Agus Subaidi Harfin Lanya Ema Surahmi Septi Dariyatul Aini Fetty Nurita Sari Rohmah Indahwati PENATA LETAK : Akbar Iman DESAIN COVER: Fauzi Rahman TEBAL BUKU:
PENERBIT: PRODI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MADURA BEKERJA SAMA DENGAN
Ganding Pustaka, Jogjakarta c Hak Cipta dilindungi Undang-Undang Cetakan Pertama, Mei 2016 ISBN No. 978-602-74238-7-9
iii
KATA PENGANTAR Assalamu’alaikum Wr. Wb. Alhamdulillahi rabbil’alamin. Segala puji dan syukur kami panjatkan ke hadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya sehingga prosiding ini dapat terselesaikan dengan baik. Prosiding ini berisi kumpulan makalah dari berbagai daerah di Indonesia yang telah dipresentasikan dan didiskusikan dalam Seminar Nasional Pendidikan yang diadakan oleh Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Madura Pamekasan pada Hari Sabtu, 28 Mei 2016. Seminar ini mengangkat tema “Peran Matematika dan Pembelajarannya Dalam Mengembangkan Kearifan Budaya Lokal Untuk Mendukung Pendidikan Karakter Bangsa”. Prosiding ini disusun untuk mendokumentasikan gagasan dan hasil penelitian terkait pembelajaran matematika, terapan matematika dan teknologi pembelajaran. Selain itu, diharapkan prosiding ini dapat memberikan wawasan tentang perkembangan dalam pembelajaran dan upaya-upaya yang terus dilakukan demi terwujudnya pendidikan berkemajuan. Artikel yang diterbitkan dalam prosiding ini telah melalui beberapa tahapan proses seleksi, dimulai dari seleksi awal terhadap abstrak-abstrak yang dikirimkan untuk dipresentasikan pada seminar nasional; dilanjutkan dengan proses presentasi oral, sekaligus review melalui tanya jawab oleh sesama peserta seminar. Dalam penyelesaian prosiding ini, kami menyadari bahwa dalam proses penyelesaiaannya tidak terlepas dari bantuan berbagai pihak. Untuk itu pada kesempatan ini panitia menyampaikan ucapan terima kasih dan memberikan penghargaan setinggi-tingginya, kepada : 1. Rektor Universitas Madura Pamekasan, Drs.Abdul Roziq, MH, yang telah memberikan dukungan dan memfasilitasi kegiatan ini. 2. Dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Madura Pamekasan, Dra. Sri Harini, MM, atas segala support dan motivasi dalam kegiatan ini. 3. Pembicara tamu, Prof. Dr. Mega Teguh Budiarto, M.Pd dan Dr. H. Hobri, M.Pd 4. Bapak/Ibu/Mahasiswa seluruh panitia yang telah meluangkan waktu, tenaga, serta pemikiran demi kesuksesan acara ini. 5. Bapak/Ibu seluruh dosen, guru dan pejabat instansi penyumbang artikel hasil penelitian dan pemikiran ilmiahnya dalam kegiatan seminar nasional ini. Akhir kata, jika ada yang kurang berkenan selama penyelenggaraan kegiatan seminar maupun dalam penerbitan buku prosiding ini mohon dimaafkan. Semoga apa yang telah kita lakukan ini bermanfaat bagi kemajuan kita di masa depan. Amin. Wassalamualaikum Wr. Wb.
Pamekasan, Mei 2016 Ketua Panitia
Hasan Basri, M.Pd
iv
DAFTAR ISI Halaman Judul Penilai Makalah Tim Editor Kata Pengantar Daftar Isi 1.
2.
3.
4.
5. 6. 7.
8.
9.
10.
11.
i iii iii iv v
Peran Matematika dan Pembelajarannya dalam Mengembangkan Kearifan Budaya Lokal untuk Mendukung Pendidikan Karakter Bangsa Mega Teguh Budiarto ...........................................................................................
1
Lesson Study for Learning Community: Review Hasil Short Term on Lesson Study V di Jepang Hobri .....................................................................................................................
12
Membangun Kemampuan Berfikir Kritis Siswa Melalui Scientific Approach dalam Pembelajaran Matematika A Mujib MT ...........................................................................................................
22
Pengaruh Outdoor Learning Pelajaran Matematika Bab Geometri Terhadap Hasil Belajar Siswa Achmad Rofiudin & Anisa Fatwa Sari....................................................................
28
Pembelajaran Matematika Berbasis Discovery Learning Afif Alfa Robi ........................................................................................................
33
Peran Keterampilan Berpikir Kreatif Dalam Pemecahan Masalah Matematika Afifah Nur Aini .....................................................................................................
38
Profil Berpikir Kritis Siswa SMA dalam Memecahkan Masalah Trigonometri Ditinjau dari Kemampuan Matematika Tinggi Agus Subaidi .........................................................................................................
44
Pengaruh ICE BREAKING Terhadap Daya Serap Siswa Pada Pembelajaran Matematika Di SMA Taruna Surabaya Ahmad Irfan Alfaruqi & Agustin Ernawati........................................................
50
Pengembangan Lembar Kerja Siswa (LKS) Berbasis Pendekatan Saintifik Untuk Menumbuhkan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi Akhmad Hasan Sani & Hobri ............................................................................
56
Mengembangkan Kemampuan Berfikir Kritis Siswa Melalui Pendekatan Constructive Controversy Alfia Nur Filah .....................................................................................................
62
Analisis Buku Matematika Kelas IX Kurikulum 2013 Berdasarkan Kesesuaiannya Dengan Materi Matematika Menurut Kriteria Bell Dan Pendekatan Saintifik Alfin Fajriatin .......................................................................................................
67
v
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19. 20.
21.
22. 23.
Kajian Pendekatan Saintifik Untuk Meningkatkan Self-Confidence Siswa Pada Pembelajaran Matematika Andi Kriswanto .....................................................................................................
74
Pengembangan Perangkat Pembelajaran Matematika Pendekatan Saintifik Model Problem Based Learning dan High Order Thinking Materi Barisan dan Deret SMK Kelas X Anggraeny Endah Cahyanti, Hobri, & Nanik ....................................................
79
Analisis Kesalahan Siswa Dalam Menyelesaikan Soal Fungsi Kuadrat Pada Siswa Kelas XI SMKN I Sumenep Arini Rabbi Izzati, Gatot Muhstyo, & I Made Sulandra ...................................
85
Fungsi Kognitif Siswa SMP Dalam Menyelesaikan Soal Geometri Ditinjau Dari Gender Athar Zaif Zairozie ...............................................................................................
92
Penentuan Cara Hafalan Terbaik dalam Kitab Alfiyah Ibnu Malik dengan Menggunakan Metode Weighted Product Buhari, Tony Yulianto, & Kuzairi .....................................................................
100
Profil Berpikir Relasional Siswa SMA Dalam Pemecahan Masalah Matematika Ditinjau Dari Gaya Kognitif Field Independent Chairul Fajar Tafrilyanto ....................................................................................
105
Pengembangan Perangkat Pembelajaran Matematika Pendekatan Saintifik Berbasis Potensi Keunggulan Lokal Kabupaten Banyuwangi Chrise Putrining Galih, Sunardi, & Muhtadi Irfan ..........................................
115
Koneksi Matematika dalam Pembelajaran Matematika di Sekolah Donny Youngki Rangkuti .....................................................................................
120
Meningkatkatkan Kemampuan Spasial Melalui Model Pembelajaran Project Based Learning (PJBL) Elly Anjarsari ........................................................................................................
126
Permainan Tradisional dalam Pembelajaran Matematika SD Sebagai Bentuk Interaksi Sosial Siswa Ema Surahmi ........................................................................................................
132
Peran Scaffolding dalam Pembelajaran Pemecahan Masalah Matematika Endah Indriyana ...................................................................................................
140
Pengaruh Pembelajaran Matematika dengan Pendekatan Saintifik Terhadap Peningkatan Pemahaman dan Berpikir Kreatif Serta Disposisi Matematika Siswa SMP Endang Poetri Astutik ..........................................................................................
147
vi
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34. 35.
Potensi Model Pembelajaran Open-Ended Kolaboratif dalam Meningkatkan Kemampuan Berpikir Kreatif pada Siswa Akademik Atas dan Bawah Eni Titikusumawati ..............................................................................................
153
Berpikir Kritis Siswa SMA dalam Menyelesaikan Pemecahan Masalah Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel Ditinjau dari Gaya Kognitif Field Dependent dan Field Independent Fais Satur Rohmah, Sunardi, & I Made Tirta ..................................................
160
Proses Berpikir Siswa dalam Aktivitas Koneksi Matematika Melalui Problem Solving Fatimatuzzuhro, Susanto, & Hobri ...................................................................
166
Scaffolding untuk Membantu Komunikasi Matematis Siswa Impulsif dalam Menyelesaikan Masalah Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Feriyanto ...............................................................................................................
173
Proses Berpikir Mahasiswa Dalam Mengkonstruksi Bukti Pada Pembelajaran Geometri Ditinjau Dari Teori Van Hielle Fetty Nuritasari .....................................................................................................
180
Pengaruh Strategi Pembelajaran Matematika Lah Bako Terhadap Hasil Belajar Siswa Sebagai Bentuk Kearifan Budaya Lokal Kota Jember Fury Styo Siskawati ..............................................................................................
190
Profil Pemahaman Siswa Smp Kelas VII Terhadap Konsep Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel Ditinjau dari Kemampuan Matematika Galuh Tyasing Swastika .......................................................................................
197
Pengembangan Perangkat Pembelajaran Model kooperatif Tipe Jigsaw dengan Pendekatan Contextual Teaching and Learning (CTL) untuk Mengembangkan Kreatifitas Siswa SMP/MTs Kelas VII pada pokok Bahasan Persamaan Linier Satu Variabel dan Aritmetika Sosial Hanifatul Atiqah ...................................................................................................
201
Profil Pemahaman Siswa SMP Berkemampuan Matematika Tinggi Terhadap Konsep Perbandingan Harfin Lanya ........................................................................................................
208
Potensi Pemanfaatan Facebook sebagai Madia Pembelajaran untuk Mahasiswa Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Madura Hasan Basri & Ukhti Raudhatul Jannah ............................................................
212
Soal PISA Berbasis Android Mobile Learning Sebagai Media Melatih Kemampuan Literasi Matematika Hassan Asy Syaibani ............................................................................................ Efektifitas Matematika dalam Menafsirkan Al-Qur`an dalam Upaya Peningkatan Kompetensi Siswa antara Pemahaman Konsep Matematika dengan Nilai Akhlaqul Karimah Sebagai Generasi Bangsa Berkarakter Heryanto Cahyohadi ............................................................................................. vii
217
225
36.
Problem Based Learning Ditinjau dari Teori Belajar Kontekstual Yang Relevan Hessy Susanti ........................................................................................................
231
37.
Profil Calon Guru Berdasarkan Indikator SEARS MT Ichwan Handi Pramana ......................................................................................
238
Pemanfaatan Program Aplikasi Statistical Package For The Social Sciences (SPSS) Sebagai Upaya Meningkatkan Prestasi Belajar Statistika Matematika II Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika IKIP PGRI Madiun Ika Krisdiana ........................................................................................................
243
Pengaruh Mind Map terhadap Hasil Belajar Siswa Pada Pembelajaran Matematika Imam Muhtadi Azhil & Moch. Lutfianto ...........................................................
247
Pengembangan Paket Soal Model PISA Konten Change And Relationship Untuk Mengukur Kemampuan Penalaran dan Komunikasi Matematis Siswa Inge Wiliandani Setya Putri & Hobri .................................................................
252
Profil Kemampuan Berpikir Kritis Siswa Pada Materi Geometri Melalui Proses Pemecahan Masalah Joni Susanto ..........................................................................................................
259
Hasil Analisis Kesulitan Siswa Dalam Pemecahan Masalah Matematika Dengan Pendekatan Saintific Pada Materi Peluang (The Result Analysis Of Student Difficulities In Math Problem Solving In The Matter Opportunities) Komarudin A., Susanto, & Nanik Yulianti .........................................................
262
Berpikir Lateral Pada Matematika Labibah Nilna Faizah ...........................................................................................
269
Pengembangan Paket Soal Berdasarkan TIMSS 2015 Mathematics Framework Untuk Mengukur Kemampuan Berpikir Kritis Siswa SMP Kelas VIII Lukman Jakfar Shodiq, Dafik, & I Made Tirta .................................................
273
Analisis Kesesuaian Karakteristik Indikator 5m (Mengamati, Menanya, Menggali Informasi, Menalar, dan Menyajikan) Pada Buku Matematika K13 Kelas VII M Qoyum Zuhriawan, Sunardi, & I Made Tirta ...............................................
279
Implementasi Model Pencapaian Konsep Pada Pembelajaran Matematika M. Imamuddin ......................................................................................................
284
38.
39.
40.
41.
42.
43. 44.
45.
46. 47.
Pengembangan Perangkat Pembelajaran Matematika Model Problem Based Learning untuk Meningkatkan Berfikir Tingkat Tinggi Moh. Abdul Qohar ................................................................................................
viii
292
48.
Profil Berpikir Siswa Sekolah Menengah Kejuruan dalam Memecahkan Masalah Matematika Ditinjau dari Gender Moh. Zayyadi & Wildan Heri Maulana ..............................................................
297
49.
Proses Berpikir Koneksi Matematis Materi Persamaan Garis Lurus Siswa Kelas VIII Mohamad Irfan Fauzy .........................................................................................
301
50.
Kendali Optimal Pemanenan Pada Model Prey Predator dengan Adanya Makanan Alternatif dan Fungsi Holling TIPE III Mohammad Rifa’i .................................................................................................
309
51.
Pengaruh Pemberian Teka-Teki Matematika Terhadap Minat Belajar dan Hasil Belajar Siswa Mohammad Yusuf Efendi & Kurnia Noviartati .................................................
313
52.
Keterkaitan Frekuensi Waktu Olahraga dengan Kemampuan Berhitung Siswa Muhammad Adi Priyanto & Moch. Lutfianto .....................................................
320
53.
Profil Berpikir Statistis Siswa SMP Ditinjau dari Gaya Kognitif Muhammad Jamaluddin ......................................................................................
327
54.
Analisis Koneksi Matematis Siswa SMA dalam Memahami Masalah Matematika (Kasus Siswa Berkemampuan Tinggi) Muhammad Romli ................................................................................................
334
55.
Kemampuan Berfikir Kritis Siswa dalam Pembelajaran Matematika Ditinjau dari Gaya Belajar Nafisatur Rohmah ................................................................................................
341
56.
Pembelajaran Menggunakan Model LC 5E-STAD dalam Upaya Meningkatkan Hasil Belajar Fungsi Kuadrat dan Grafiknya Nahrowi .................................................................................................................
347
57.
Mengenal Matematika dan Pembelajarannya dalam Perspektif Filsafat Ilmu Nila Herawati ........................................................................................................
352
58.
Analisis Buku Matematika Kurikulum 2013 Berdasarkan Pendekatan Saintifik dan Domain Kognitif Trends in International Mathematics and Science Study (TIMSS) Novem Khoirul Ambarwati, Hobri, & Muhtadi Irvan ......................................
358
59.
Proses Berpikir Lateral Siswa dalam Memecahkan Masalah Matematika Berdasarkan Gaya Kognitif dan Gender Novita Eka Muliawati ...........................................................................................
366
60.
Lesson Study dalam Pembelajaran Matematika pada Pokok Bahasan Prisma dan Limas Tegak Di SMP Negeri 3 Pamekasan Nur Fitriyah Indraswari .......................................................................................
374
ix
61.
Kajian Logika Matematika dalam Al-Qur’an Nurul Imamah Ah ................................................................................................
380
62.
Profil Kemampuan Berpikir Kreatif Mahasiswa dalam Mengkonstruksi Teorema pada Matematika Nuris Hisan Nazula ..............................................................................................
387
63.
Penerapan Tahap Ikonik (Teori Bruner) Pada Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Bilangat Bulat Nurul Laily ............................................................................................................
390
64.
Mengembangkan Kreativitas Siswa dalam Pembelajaran Matematika Melalui Aktivitas Pengajuan Masalah Oktaviyanto Catur Fajar Mulyono ......................................................................
395
Pengaruh Model Pembelajaran Kooperatif Tipe STAD Terhadap Hasil Belajar Siswa Orthio Rizki Pratama & Anisa Fatwa Sari .........................................................
399
Pembelajaran Matematika dalam Kelas Inklusi (Studi Pada SDN 1 Medana Kab. Lombok Utara) Parhaini Andriani .................................................................................................
403
Penggunaan Berbagai Jenis Media Pembelajaran Untuk Meningkatkan Motivasi Belajar Mahasiswa Pada Mata Kuliah Media Pembelajaran Matematika R. A. Rica Wijayanti .............................................................................................
410
Pengembangan Soal Matematika Model TIMSS Tipe Short Answer Menggunakan Aplikasi Interaktif Berbasis Android Untuk Siswa Kelas VIII Rachma Windasari ...............................................................................................
415
Pengembangan Model Problem Creating Setting Peer Learning Untuk Meningkatkan Kemampuan Berpikir Kreatif Ratih Puspasari & Subanji ...................................................................................
421
Study Komparatif Antara Metode Cooperative Think Pair And Share Melalui Pendekatan Metakognitif dan Metode Improve Untuk Meningkatkan Kemampuan Berpikir Kritis Siswa Pada Pokok Bahasan Lingkaran Di SMPN 1 Pasrujambe Tahun Ajaran 2014-2015 Restin Suliani & Deka Anjariyah ........................................................................
431
Berpikir Logis dan Sikap Positif dalam Matematika Melalui Realistic Mathematics Education (RME) Risa Aries Diana MR ............................................................................................
438
Profil Pemahaman Siswa SMP dalam Menyelesaikan Masalah Bangun Ruang Sisi Datar Ditinjau Berdasarkan Gaya Kognitif Field Dependent Risang Narendra ...................................................................................................
443
65.
66.
67.
68.
69.
70.
71.
72.
x
73.
74.
75.
76.
77.
78.
79.
80.
81.
82.
83.
84.
Level Berpikir Kritis Mahasiswa Calon Guru Matematika dalam Memecahkan Masalah Geometri Analitik Rohmah Indahwati ...............................................................................................
447
Berpikir Kritis Siswa SMP Dalam Menyelesaikan Soal Cerita Berdasarkan Gender Roisatun Nisa’ ......................................................................................................
451
Profil Berpikir Visual Siswa SMP Laki-laki dalam Memecahkan Masalah Geometri Septi Dariyatul Aini ..............................................................................................
455
Pemahaman Siswa SMP dalam Memecahkan Masalah Aljabar Ditinjau dari Kecerdasan Spasial Setia Widia Rahayu ..............................................................................................
461
IbM Guru Sekolah Dasar di Kabupaten Bulungan “Workshop Media Pembelajaran “Recycle Handmade” beserta Cara Membelajarkannya” Shinta Wulandari, Suciati , & Jero Budi Darmayasa .......................................
469
Integrasi Problem Based Learning (PBL) dalam Lesson Study For Learning Community Siska Ari Andini & Hobri...................................................................................
473
Representasi Siswa SMP dalam Memahami Masalah Volume Bangun Ruang Ditinjau dari Gaya Belajar Siswa Sri Hartatik ...........................................................................................................
477
Pengembangan Perangkat Pembelajaran Program Linier Menggunakan Aplikasi Geogebra Sri Irawati & Sri Indriati Hasanah.......................................................................
485
Proses Berpikir Siswa Sma Perempuan dengan Gaya Kognitif Field Independent dalam Memecahkan Masalah Matematika Suesthi Rahayuningsih .........................................................................................
492
Pengembangan Soal Matematika Model PISA Konten SPACE AND SHAPE Untuk Mengukur Kemampuan Berpikir Tingkat Tinggi Berdasarkan Analisis Model RASCH Suryo Purnomo, Dafik & Kusno ..........................................................................
499
Notice Guru Dalam Pembelajaran Terkait Upaya Meningkatkan Kemampuan Komunikasi Matematis Siswa Syaifuddin .............................................................................................................
507
Pengaruh K-3D Terhadap Pemahaman Konsep Jarak Topik Geometri Kelas X Syaiful Bakhri & Mohammad Zahri ...................................................................
513
xi
85.
86.
87.
88.
89.
90.
91.
92.
93.
Analisis Proses Berpikir Siswa Pada Materi Geometri Berdasarkan Teori Van Hiele Berbasis Scientific Approach Tirta Primasyah HPS, Susanto & Nanik Yulianti .................................................
520
Profil Kemampuan Literasi Matematika Siswa Melalui Soal Matematika Tipe PISA Titiek Indahwati ....................................................................................................
526
Pengembangan Perangkat Pembelajaran Berbasis CONSTRUCTIVE CONTROVERSYAPPROACHES DAN CONFLICT RESOLUTION untuk Meningkatkan Kemampuan Berpikir Kritis Peserta Didik Titis Rini Chandrasari, Dafik & Muhtadi Irfan ....................................................
531.
Perbandingan Pemilihan Jenis Laptop Menggunakan Metode SAW Dan TOPSIS Tony Yulianto, Luthfi & Kuzairi ..........................................................................
537
Pengembangan Paket Tes Penalaran Proporsional Siswa SMP (Development of Mathematical Reasoning Test Package For Junior High School) Tri novita irawati Susanto & Muhtadi Irvan ........................................................
543
Menumbuhkan Kemampuan Berpikir Kreatif Siswa Kelas VIII SMP Melalui Lembar Kegiatan Siswa Dengan Pendekatan Saintifik Pokok Bahasan Teorema Pythagoras Uji Rosanti ............................................................................................................
550
Pengembangan Perangkat Pembelajaran Berbasis Scientific Approach Dengan discovery Learning Terintegrasi Hots Materi Pola Bilangan Kelas VII SMP Weindy Pramita Ariandari, Hobri & Dafik .........................................................
558
Pengembangan Perangkat Pembelajaran Dengan Model Pendekatan Berbasis Masalah Untuk Meningkatkan Kemampuan Berpikir Kritis Siswa Y. Danni Prihartanto ............................................................................................
564
Meningkatkan Kemampuan Berpikir Kritis Matematis Siswa Melalui Pembelajaran Berbasis Masalah Yudy Tri Utami .....................................................................................................
570
xii
Prosiding Semnasdik 2016 Prodi Pend. Matematika FKIP Universitas Madura
PROSES BERPIKIR MAHASISWA DALAM MENGKONSTRUKSI BUKTI PADA PEMBELAJARAN GEOMETRI DITINJAU DARI TEORI VAN HIELLE Fetty Nuritasari Program Studi Pendidikan Matematika, FKIP, Universitas Madura Alamat: Jalan Raya Panglegur 3,5 KM Pamekasan Email:
[email protected] Abstrak: Penelitian ini bertujuan untuk mendeskripsikan proses berpikir mahasiswa dalam mengkonstruksi bukti pada pembelajaran geometri ditinjau dari teori Van Hielle. Mengungkapkan proses berpikir itu dilakukan ketika mahasiswa mulai mengerjakan pembuktian dari teorema geometri yang tidak pernah terbukti sehingga berpikir tentang mengkonstruk bukti berdasarkan tahapan pada teori Van Hielle. Penelitian ini menggunakan pendekatan kualitatif . hasil penelitian ini mengungkapkan bahwa tahap proses berpikir mahasiswa dalam membangun geometri dengan proses mengkonstruksi bukti dilakukan oleh beberapa tahap, diantaranya yaitu: a. Tingkat 0 (visualisasi). Pada tingkat ini mengenal bentuk-bentuk geometri hanya sekedar karakteristik visual dan penampakannya, b. Tingkat 1 (analisis). Pada tingkat ini sudah mulai mengenal sifat-sifat yang dimiliki bangun geometri yang diamati, c.Tingkat 2 (abstraksi). Pada tingkat ini sudah mengenal dan memahami sifat-sifat suatu bangun geometri yang satu sama lainnya saling berhubungan, d. Tingkat 3 (deduksi). Pada tahap ini telah mampu menarik kesimpulan yang bersifat umum dan menuju ke hal-hal yang bersifat khusus, e. Tingkat 4 (rigor). Pada tingkat ini, sudah mulai menyadari pentingnya ketepatan prinsip-prinsip dasar yang melandasi suatu pembuktian. Kata Kunci: Proses Berpikir, Mengkonstruksi Bukti, Pembelajaran Geometri, Teori Van Hielle
peserta didik (de walle, 1990; soedjadi, 2000; van hiele dalam fuys, dkk., 1988), tetapi kegiatan mengkonstruksi bukti akan mengoptimalkan hasil belajar dan mengembangkan kemampuan mereka mengkonstruksi bukti matematika lebih lanjut (de Villiers, 1999; Hemmi, dkk., 2010; Moore, 1994). Karena itu memahami proses berpikir mahasiswa dalam mengkonstruksi bukti dalam kegiatan belajar geometri sangat penting, sebagai bahan pertimbangan penyelenggaraan pembelajaran untuk memperoleh hasil optimal sesuai kemampuan berpikir mahasiswa. Pembelajaran matematika di Universitas tidak dapat dipisahkan sama sekali dengan definisi matematika itu sendiri. Elea Tingsih sebagaimana dikutip oleh Erman Suherman, dkk (2003: 16) menyatakan bahwa secara etimologis perkataan matematika berarti “ilmu pengetahuan yang diperoleh dengan bernalar”. Sedangkan James dan James sebagaimana dikutip Erman Suherman, dkk (2003: 16) menyebutkan bahwa matematika adalah ilmu tentang logika mengenai bentuk, susunan, besaran, dan konsep-konsep yang berhubungan satu dengan yang lainnya dengan jumlah yang banyak yang terbagi ke dalam tiga bidang, yaitu aljabar, analisis dan geometri.
Pendahuluan Matematika merupakan ilmu dasar yang memiliki peranan penting dalam proses kehidupan manusia. Dapat dikatakan bahwa perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi dewasa ini dilandasi oleh matematika. Hal ini sesuai dengan pernyataan Erman Suherman, dkk (2003: 25) bahwa matematika tumbuh dan berkembang sebagai penyedia jasa layanan untuk pengembangan ilmu-ilmu yang lain sehingga pemahaman konsep suatu materi dalam matematika haruslah ditempatkan pada prioritas yang utama. Mata pelajaran matematika diberikan untuk membekali kemampuan berpikir logis, kritis, kreatif, dan inovatif. Selain itu, mata pelajaran matematika juga membekali kemampuan bekerjasama. Kompetensi tersebut diperlukan agar memiliki kemampuan memperoleh, mengelola dan memanfaatkan informasi untuk bertahan hidup pada keadaan yang berubah, tidak pasti dan kompetitif (Depdikdas, 2006). Pembuktian pada pembelajaran geometri tidak hanya dapat meningkatkan pemahaman konsep-konsep matematika, juga dapat melatih berpikir untuk meningkatkan kemampuan bernalar dan membangun karakter 180
Berdasarkan kurikulum, perlu kiranya dibedakan antara matematika sekolah dan matematika universitas agar pembelajaran matematika dapat memenuhi tuntutan inovasi pendidikan pada umumnya. Ebbut da Straker dalam Depdiknas (2003: 3), mendefinisikan matematika sekolah yang selanjutnya disebut sebagai matematika, sebagai berikut: 1) Matematika sebagai kegiatan penelusuran pola dan hubungan. 2) Matematika sebagai kreatifitas yang memerlukan imajinasi, intuisi, dan penemuan. 3) Matematika sebagai kegiatan pemecahan masalah. 4) Matematika sebagai alat berkomunikasi. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa matematika universitas adalah matematika yang telah dipilah-pilah dan disesuaikan dengan tahap perkembangan intelektual mahasiswa, serta digunakan sebagai salah satu sarana untuk mengembangkan kemampuan berpikir bagi siswa. Pembelajaran matematika merupakan suatu proses untuk menciptakan lingkungan belajar mahasiswa dengan menggunakan suatu rancangan pembelajaran yang mengoptimalkan proses dan hasil belajar mahasiswa. Belajar matematika sendiri bersandar pada empat pilar pendidikan dari UNESCO, yaitu learning to know, learning to do, learning to live together, dan learning to be. Implementasi dalam pembelajaran matematika terlihat dalam pembelajaran dan penilaian yang besifat learning to know (facts, skills, concept, and principle), learning to do (doing mathematics), learning to live together (cooperative learning in mathematics), dan learning to be (enjoy mathematics) (depdiknas, 2007: 4). Menarik untuk membicarakan pandangan berbagai ahli matematika dalam pembelajaran. Pengertian tentang keruangan merupakan hal penting untuk menginterpretasi, memahami dan dihargai sebagai sifat-sifat dalam dunia geometri. Geometri telah mengambil semua ruang dimana anak-anak tinggal, bernafas dan bergerak. Ruang dimana mahasiswa harus belajar untuk mengetahui, mengeksplor, agar dapat hidup, bergerak dan bernafas dengan lebih baik (NCTM, 1989). Matematika sekolah memberikan dasar pemahaman tentang keruangan melalui dasar-dasar teori geometri. Pembelajaran geometri yang membangun aktivitas praktis dan pemahaman konseptual dalam pembelajaran matematika
sangat diperlukan. Oleh karena itu, bukan hanya pengalaman sebelumnyalah yang menyebabkan sulitnya mengkonstruksi bukti bagi mahasiswa namun sangat dibutuhkan pula pengetahuan-pengetahuan sebelumnya dimana pengetahuan tersebut tersimpan secara permanen dalam memorinya. Pembuktian dirasakan sulit bagi mahasiswa karena dalam mengkonstruksinya dibutuhkan kecakapan dalam memilih strategi dan membutuhkan penggalian pengetahuan di memori yang sudah diperoleh jauh sebelumnya. Sehingga mahasiswa diberikan suatu masalah yang terbiasa dkerjakan melalui pembuktian yang dilakukan, sesuai dalam buku NCTM (2000: 344) bahwa “Menghubungkan suatu bukti seringkali merupakan cara alami dalam berfikir dari suatu masalah” Salah satu teori yang sangat mendasar untuk digunakan dalam pembelajaran geometri adalah penggunaan teori van hielle. Teori ini menunjukkan bahwa tingkat berpikir geometri mahasiswa dapat dipakai sebagai prediktor kemampuan mahasiswa dalam menulis bukti geometri. Disamping itu tingkat perkembangan geometri dapat digunakan untuk pertimbangan penyusunan bahan geometri. Teori Van Hielle menyatakan tingkat berpikir geometri mahasiswa secara berurutan melalui 5 tahap/level. Menurut Crowley (1987: 1), Van Hielle menyatakan bahwa terdapat 5 tingkat berpikir dalam bidang geometri, yaitu: a. Tingkat 0 (visualisasi). Pada tingkat ini mengenal bentu-bentuk geometri hanya sekedar karakteristik visual dan penampakannya. b. Tingkat 1 (analisis). Pada tingkat ini sudah mulai mengenal sifat-sifat yang dimiliki bangun geometri yang diamati. c. Tingkat 2 (abstraksi). Pada tingkat ini sudah mengenal dan memahami sifat-sifat suatu bangun geometri yang satu sama lainnya saling berhubungan. d. Tingkat 3 (deduksi). Pada tahap ini telah mampu menarik kesimpulan yang bersifat umum dan menuju ke hal-hal yang bersifat khusus. e. Tingkat 4 (rigor). Pada tingkat ini, sudah mulai menyadari pentingnya ketepatan prinsip-prinsip dasar yang melandasi suatu pembuktian. Peneliti memilih teori Van Hielle sebagai dasar pengklasifikasian dalam menyusun soal-soal geometri karena alasan sebagai berikut: 181
1. Berfokus pada materi geometri. 2. Mengkaji tingkatan-tingkatan pemahaman dalam belajar geometri. 3. Menjelaskan deskripsi yang lebih operasional. 4. Memiliki keakuratan untuk mendeskripsikan tingkatan berpikir mahasiswa dalam geometri. Dalam pembelajaran mengkonstruksi bukti geometri dilengkapi keterangan jelas. Oleh sebab itu, penelitian ini bermaksud mendeskripsikan proses berpikir mahasiswa dalam mengkonstruksi bukti pada pembelajaran geometri ditinjau dari teori Van Hielle.
3. Menggunakan pengetahuan selama menyelesaikan tugas 1 dan tugas 2 untuk menyelesaikan masalah. Untuk itu diberikan dua tugas berikut: B
A C D a. Membuktikan bahwa ∠BCD sama dengan jumlah ∠BAC dan ∠ABC, jika titik C terletak di antara A dan D. b. Membuktikan bahwa jumlah besar sudut-sudut jajargenjang adalah 360 derajat. Tugas 1 diberikan untuk menciptakan kondisi agar terjadi proses berpikir; tugas 2 untuk tahap proses pengerjaan; tugas 3 untuk tahap mengkonstruksi bukti. Teknik analisis data yang digunakan dalam penelitian ini adalah analisis data kualitatif meliputi: reduksi data merupakan proses pengumpulan data penelitian; penyajian data berupa informasi dalam bentuk teks naratif yang disusun, diringkas, dan di atur agar mudah dipahami dan merencanakan kerja penelitian selanjutnya; penarikan kesimpulan didasarkan data-data yang diperoleh dari berbagai sumber data di Universitas Madura. Simpulan yang diperoleh melalui analisis data tersebut dijadikan pedoman untuk menyususn rekomendasi dan implikasi.
Metode Jenis penelitian ini menggunakan pendekatan kualitatif atau dinamakan penelitian kualitatif. Affifuddin dan Beni Ahmad Saebani (2009: 57-58) menyatakan bahwa metode penelitian kualitatif adalah metode penelitian yang digunakan untuk meneliti kondisi objek yang alamiah, dimana peneliti merupakan instrument kunci, teknik pengumpulan data dilakukan secara triagulasi (gabungan), analisis data berupa induktif, dan hasil penelitian lebih menekankan makna daripada generalisasi. Dalam penelitian ini didefinisikan sebagai prosedur penelitian yang menghasilkan data deskriptif berupa kata-kata tertulis atau lisan dari perilaku yg di amati.tujuannya untuk mengetahui secara langsung kemampuan proses berpikir pada materi geometri menurut tingkat perkembangan berpikir geometri Van Hielle. Subjek penelitian ini adalah mahasiswa Universitas Madura semester 4 offering A berjumlah 29 mahasiswa. cara pengambilan subjek penelitian yaitu cara pusposive sampling (sampel tujuan) dipilih berdasarkan tujuan yang hendak dicapai yaitu mengetahui kemampuan berpikir mahasiswa ditinjau dari teori Van Hielle. Data yang diperoleh langsung dari subjek dari hasil tes mahasiswa dan wawancara. Instrumen penelitian berupa tes dan wawancara. Wawancara yang dilakukan adalah berbasis tugas untuk mengingkap proses berpikir mahasiswa selama mengkonstruksi bukti hingga memahaminya. Analisi data dilakukan terhadap setiap subjek. Instrumen yang dilakukan yaitu: 1. Membuktikan “jumlah besar sudut-sudut suatu segitiga adalah 180 derajat” 2. Menyusun bukti lain dari “jumlah besar sudu-sudut suatu segitiga adalah 180 derajat”
Hasil dan Pembahasan Hasil Penelitian Subjek penelitian yaitu mahasiswa semester IV offering A FKIP matematika Universitas Madura terdiri dari S1 adalah lakilaki dan S2 adalah perempuan, menyelesaikan tugas 1 (T1), tugas 2 (T2) dan tugas 3 (T3) dalam bentuk gambar geometri. Kedua subjek belum pernah membuktikan teorema “jumlah besar sudut-sudut suatu segitiga adalah 180 derajat”, memaknai pernyataan tersebut secara aritmatik bahwa jumlah hasil pengukuran sudut-sudut berjumlah 180 derajat, pernah mempelajari hubungan sudut-sudut yang terbentuk oleh garis-garis berpotongan, dan mengkonstruksi bukti geometri. Penyelesaian tugas sebagian besar direpresentasikan dalam bentuk gambar. Jika memperbaiki gambar i, subyek merepresentasikannya dalam gambar ii, demikian seterusnya hingga menghasilkan gambar sebagai representasi penyelesaian tugas yang benar menurut subyek. Untuk memudahkan memahami proses berpikir yang dilakukan subyek selama mengonstruksi 182
penyelesaian tugas, peneliti memberi indeks gambar menurut urutan pengonstruksiannya, dimulai dari i, ii, iii, dan seterusnya. (Perhatikan gambar di bawah ini!) Keterangan: Gambar atas: (i), (ii), dan (iii) Gambar bawah: (iv), dan (v)
disesuaikan dengan teori Van Hielle menyatakan mengkonstruksi bukti. Wawancara terhadap S1 berdasarkan T1 menunjukkan bahwa proses berpikir yang terjadi dimulai dengan tahap identifikasi: (1) Visualisasi yaitu mengidentifikasi hal-hal prinsipil dalam lembar tugas, (2) Analisis yaitu melukis gambar mental (segitiga) untuk memperjelas masalah, (3) Abstraksi yaitu mengingat dan memilih pengetahuan atau pengalaman sebelumnya yang relevan dengan masalah, terutama hubungan sudut-sudut yang terbentuk oleh garis-garis berpotongan, (4) Deduksi yaitu menerapkannya dalam kondisi masalah (gambar 1(i)-(iv)), kemudian (5) Rigor yaitu mengorganisasikan semua data yang diperoleh untuk mengkonstruksi bukti tentang masalah geometri (gambar 1(iv)). Tahap keempat adalah membuat rencana: (1) merumuskan masalah berdasarkan konsep masalah pada gambar 1(iv)), (2) merumuskan langkah-langkah penyelesaian. Tahap kelima adalah aplikasi rencana (gambar 1.(v)): (1) melengkapi gambar sesuai rencana penyelesaian, (2) memeriksa langkah langkah pembuktian, dan (3) memperbaiki yang salah. Pada tahap ini, S1 dapat menyebutkan prosedur pembuktian yang dilakukannya, tetapi belum mampu memaknai seluruh rangkaian bukti yang telah dia susun. Berdasarkan lembar tugas T2 dan wawancara yang dilakukan, terungkap bahwa S1 mengonstruksi bukti dengan mengikuti kelima tahap proses berpikir ketika menyelesaikan T1. Perbedaan keduanya terutama pada pembentukan konsep tentang masalah gambar. Pembentukan konsep tentang masalah T1 berlangsung dari proses menerapkan pengetahuan relevan (hubungan sudut yang terbentuk oleh garis-garis berpotongan) hingga merumuskan bahwa masalahnya adalah menemukan tiga sudut yang bersisian dan membentuk sudut lurus yang besarnya sesuai dengan ukuran masingmasing sudut segitiga. Sedangkan saat mulai mengerjakan T2, S1 telah memahami masalah seperti T1 tetapi dalam kondisi kerangka gambar penyelesaian yang berbeda dengan kerangka gambar penyelesaian T1. Penyelesaian T2 membantu S1 mengalami tahap proses berpikir lebih lanjut, yaitu tahap kelima: pembentukan makna: (1) merumuskan secara sederhana prosedur pengembangan bukti-bukti, dan (2) merumuskan makna rangkaian bukti, kemudian melakukan evaluasi bukti: (1) menyusun bukti lain, (2) memilih bukti yang lebih sederhana, dan (3) memeriksa kelengkapan semua bukti.w4
Gambar 1. S1 T1 S1 (Laki-laki) menyelesaikan tugas T1 dapat dilihat pada Gambar 1. Berdasarkan lembar kerja penyelesaian T1, peneliti melakukan wawancara kepada S1. Petikan wawancara berbasis Gambar 1(iv) sebagai berikut: P: “Setelah menulis semua ini (menunjuk gambar iv sekitar sudut-sudut), apa yang kamu pikirkan?” S1: “Tadi mau…anu yang ini (sambil menunjuk sudut A2, sudut C dan sudut B2 membentuk sudut lurus), tapi takut…(sambil menunjuk sudut C)” P: “Maksudnya kamu mulai menduga bahwa sudut-sudut ini (menunjuk sudut A2, sudut C dan sudut B2 membentuk sudut lurus) adalah bukti yang diminta?” S1: “Iya” P: “Tapi kamu menjawabnya kok takut,kenapa?” S1: “(menunjuk A2 dan B2) ada dua, (menunjuk C) gak ada” P: “Bagus, trus apa yang kamu peroleh?” S1: “Cara mengerjakannya untuk mencari pelurusnya.” Berdasarkan pemahamannya ini, S1 membuat rencana penyelesaian tugas, kemudian mengonstruksi gambar 1(v), memeriksa dan memperbaiki yang salah, hingga ia yakin bahwa gambar tersebut merupakan penyelesaian tugasnya. S1 juga dapat menjelaskan makna gambar penyelesaian (gambar 1(v)). Ketika peneliti menanyakan makna “jumlah besar sudut-sudut suatu segitiga adalah 180 derajat” baginya, S1 menjelaskan usaha “mencari pelurus sudutsudut segitiga”. Hal ini menunjukkan bahwa S1 memandang teorema sebagai symbol yang 183
Tujuan pemberian tugas T3 yang utama bukan untuk mengetahui kemampuan S1 menyelesaikan tugas, tetapi menyiapkan kondisi agar dapat mengungkap apakah S1 telah memikirkan bukti “jumlah besar sudut sudut suatu segitiga adalah 180 derajat” sesuai teori Van Hielle. Penyelesaian tugas 3).b) dilakukan dengan membagi jajargenjang menjadi dua segitiga. Bagi S1, jumlah besar sudut-sudut segitiga adalah 180 derajat, maka jumlah besar sudut-sudut jajargenjang sama dengan dua kali jumlah besar sudut-sudut segitiga atau 360 derajat. Berdasarkan analisis data, disimpulkan bahwa: 1) Proses bukti tugas T1 dan T2 bagi subyek adalah mencari sudut-sudut bersisian yang masing-masing sama dengan ukuran sudut-sudut segitiga dan membentuk sudut lurus. Menurut rumusan ini, subyek telah mengabstraksi prosedur yang kompleks. Subyek tidak terikat lagi dengan langkah melukis segitiga lebih dulu, kemudian melukis dua ruas garis yang dipotong oleh ruas garis lain, dan seterusnya. Subyek fokus pada proses menemukan tiga sudut saling berpelurus. Karena dalam bentuk abstraksi yang sederhana, bahkan subyek dapat menggunakan proses bukti tersebut menyelesaikan tugas lain (T3). 2) Konsep bukti yang dipahami subyek terbagi dua, yaitu makna secara geometri dan aritmatika. Secara geometri bermakna gabungan tiga sudut-sudut suatu segitiga membentuk sudut lurus, dan secara aritmatika bermakna jumlah ukuran sudut-sudut segitiga sama dengan 180 derajat. 3) Ketika subyek mengatakan “jumlah besar sudut-sudut segitiga adalah 180 derajat”, secara fleksibel subyek bermaksud menyatakan atau merujuk silih berganti proses dalam mengkonstruksi bukti. teorema tersebut. Pada saat ini, teorema telah menjadi simbol yang menyatakan proses bukti, dan subyek memikirkan proses dalam mengkonstruksi bukti sesuai teori Van Hielle. Berdasarkan hasil kerja dan wawancara terhadap S1 tersebut, disimpulkan bahwa subyek mengalami tahap berpikir lebih lanjut, yaitu merumuskan proses bukti, merumuskan konsep bukti, dan memikirkan proses dan konsep bukti tersebut sesuai dengan teori Van Hielle. Data proses berpikir S2 tidak berbeda secara prinsipil dengan S1. Penyelesaian T1
oleh S2 terdiri dari 3 gambar, dimulai dengan mengidentifikasi data, mobilisasi dan organisasi data, merumuskan rencana dan mengaplikasikannya. Perbedaan terjadi pada tahap mobilisasi dan organisasi data. Setelah tahap identifikasi, S1 mengingat dan menerapkan pengetahuan relevan dengan masalah, dengan mengonstruksi 4 gambar (gambar 1.(i)-(iv), barulah S1 memahami konsepsi masalah, kemudian merumuskan rencana pembuktian. Sedangkan S2 sudah memahami konsepsi masalah sebelum mulai mengonstruksi gambar pertama. Tetapi tahap mobilisasi dan organisasi data proses berpikir S2 memenuhi karakteristik tahap berpikir S1. S2 mengingat pengetahuan hubungan sudutsudut yang terbentuk oleh garis-garis berpotongan, mengingat bahwa sudut 180 derajat adalah sudut lurus, mengadaptasikannya pada kondisi masalah, kemudian merumuskan konsepsi masalah bahwa masalah yang dihadapinya adalah mencari tiga sudut yang merupakan pelurus satu sama lain yang masing-masing besarnya sama dengan ukuran masing-masing sudut segitiga. Dengan demikian, perbedaan tersebut tidak prinsipil. S1 melakukan tahap mobilisasi dan organisasi data dengan tindakan langsung mengonstruksi gambar untuk memperjelas konsepsi masalah, sedangkan S2 melakukan tahap yang sama dengan proses berpikir dalam mental saja. Ada data lain yang menarik. Sama seperti S1, S2 belum memahami makna bukti setelah mengerjakan T1, tetapi telah memahami prosedur bukti yaitu “pertamatama gambar segitiga dulu (menunjuk gambar segitiga), menarik garis-garis (menunjuk perpanjangan sisi-sisi segitiga dalam gambar), lalu menentukan hubungan antar sudut-sudut, sampai ketemu sudut berpelurus”. Tugas kedua (T2) diselesaikan oleh S2 dalam 3 cara. Cara pertama berhasil pada gambar ketiga, penyelesaian kedua dalam satu gambar yang selesai dalam 43 detik, dan cara ketiga adalah penyelesaian yang paling sederhana. Berdasarkan data penelitian, subyek mengalami tahap proses berpikir lebih lanjut, yaitu tahap pembentukan makna dan evaluasi, dengan karakteristik yang sama dengan proses berpikir S1. Tetapi berbeda dengan S1, S2 mencapai tahap mengkonstruksi bukti setelah menyelesaikan T3. Setelah menyelesaikan tugas, terungkap dalam wawancara hal-hal berikut. (Dengan memperhatikan gambar di samping!) P: “Perhatikan sekali lagi gambarmu (menunjuk Gambar 3). Pasti benarkah 184
pernyataan pada soal?” S2: Berpikir agak lama, kemudian menjawab “Ya”. P : “Bagaimana bisa?” S2: “Segitiga sudut-sudutnya 180 derajat. Ini sudut C (menunjuk sudut ACB). Sisanya ini kan membentuk sudut lurus (menunjuk sudut BCD), sama dengan sudut segitiganya”. P: “Apa maksudnya?” S2: “Jumlahnya 180 derajat”.
Pembahasan Untuk memperjelas fungsi temuan penelitian, perlu dibahas dukungan dan perbedaannya dengan teori yang relevan. Ada beberapa teori tentang proses berpikir memecahkan masalah yang berkaitan dengan masalah membuktikan. Walaupun ada perbedaan, tahap-tahap berpikir pada teoriteori tersebut dapat disejajarkan satu sama lain. Penelitian ini mengacu pada kemampuan berpikir mahasiswa pada setiap level tingkat berpikir Van Hielle yang diteliti, meliputi Level 0 (Visualisasi), Level 1 (Analisis), Level 2 (Deduksi Informal), Level 3 (Deduksi) dan Level 4 (Rigor). Selanjutnya dengan level yang dimaksud tadi, menyelesaikan masalah matematika yang diberikan berdasarkan langkah-langkah pada polya. Fuys(1988) dalam Husnaeni (2001) menyatakan bahwa untuk membantu mahasiswa melewati tahap berpikir dari suatu tahap ketahap berikutnya dalam belajar geometri diperlukan pengalaman belajar yang sesuai dengan tahapan berpikir Mahasiswa. Proses untuk penguasaan ide atau konsepkonsep matematka memerlukan waktu dan tahapan yang relevan. Salah satu hipotesis deduktif tentang perkembangan mahasiswa yang berkaitan dengan belajar matematika khususnya dalam geometri adalah teori perkembangan berpikir van Hielle. Van Hielle dalam teorinya menyatakan bahwa seseorang dalam belajar geometri akan mengikuti 5 tahap perkembangan berpikir yaitu tahap visualisasi, analisis, deduksi informal, deduksi, dan rigor. (Burger & Culpeper, 1993: 141-243) Dalam hal ini setiap tahap menunjukkan karakteristik proses berpikir seseorang dalam memahami geometri. Ke-5 tahap tersebut dapat dijelaskan sebagai berikut: 1. Tahap visualisasi Menurut Clement dan Batista (1992: 427), tahap visualisasi adalah tahap pengenalan konsep-konsep geometri dalam matematika yang di dasarkan pada karakteristik visual atau penampakan bentuknya. Dalam hal ini penalaran mahasiswa masih didominasi oleh persepsinya. Pemahaman mahasiswa terhadap bangun-bangun geometri masih berdasarkan pada kesamaan bentuk dari apa yang dilihatnya. Bangun geometri dikenal secara keseluruhan bukan secara bagian-bagian. Pada tahap ini mahasiswa dapat membedakan suatu bangun dengan lainnya tanpa harus menyebutkan sifatsifat masing-masing bangun tersebut.
Gambar 2. T3 bagian a. S2 Berdasarkan data penelitian, S2 memahami proses mengkonstruksi bukti, dan memikirkannya secara tahapan teori Van Hielle. Artinya ketika subyek menyatakan redaksi teorema “jumlah besar sudut-sudut suatu segitiga 180 derajat”, subyek sedang merujuk silih berganti mengkonstruksi bukti, baik makna secara geometri maupun aritmatik. Perbedaannya dengan S1, S2 mencapai tahap pengerjaan berdasarkan teori Van Hielle setelah menyelesaikan T3, sedangkan S1 telah mencapai tahap tersebut sebelum menyelesaikan T3, yang terungkap ketika peneliti melakukan wawancara tentang rencana penyelesaian T3 menurut subyek. Temuan lain adalah tingkat kemajuan berpikir. S1 melakukan beberapa kali mobilisasi dan organisasi data sebelum merumuskan rencana pembuktian, selama subyek mengkonstruksi gambar 1(i)-(iv). Artinya setelah melakukan mobilisasi dan organisasi data berdasarkan gambar 1.(i), subyek tidak langsung ke tahap merumuskan rencana pembuktian. Mudah dilihat juga bahwa kedua subyek mencapai tahap berpikir evaluasi setelah mengonstruksi beberapa bukti berbeda, dan setiap kali mengonstruksi bukti, subyek melakukan kegiatan berpikir tahap pertama sampai kelima. Berdasarkan faktafakta ini, disimpulkan bahwa proses berpikir mengonstruksi bukti sebagai proses tidak selalu maju terus secara linier dari tahap visualisasi, ke tahap analisis, tahap absraksi, tahap deduksi dan organisasi data pada tahap rigor, sampai ke tahap tetapi kembali beberapa kali ke tahap-tahap sebelumnya. 185
2.
3.
4.
5.
Kemampuan berpikir mahasiswa masih berdasarkan pada kesamaan bentuk secara visual. Tahap Analisis Clemen & Batista (1992) dalam Husnaeni (2001: 28) menyatakan bahwa siswa pada tahap ini mengakui dan dapat mencirikan bentuk-bentuk bangun geometri berdasarkan sifat-sifatnya, dan sudah tampak adanya analisis terhadap konsepkonsep geometri. Tahap Deduksi Informal Tahap ini dikenal dengan tahap abstraksi/relasional ( Clemen & Batista, 1992: 427). Pada tahap ini menurut Kahfi (2000), mahasiswa dapat melihat hubungan sifat-sifat dalam suatu bangun (misal dalam jajar genjang, sisi yang berhadapan sejajar berakibat sudut-sudut yang berhadapan juga sama besar. Mahasiswa dapat menyusun definisi abstrak (definisi menjadi bermakna), siswa juga dapat menemukan sifat-sifat dari kumpulan bangun pada tahap berpikir deduksi informal. Ketika mahasiswa menemukan sifat-sifat dari berbagai bangun, mereka merasa perlu mengorgansir sifat-sifat tersebut. Satu sifat bisa menjadi menjadi perantara sifatsifat lain, sehingga definisi tidak sekedar sebagai bentuk deskripsi, akan tetapi sebagai cara pengorganisasian yang logis. Tahap Deduksi Tahap ini juga dikenal dengan deduksi formal (Clements & Batista, 1992) Mahasiswa yang telah mencapai kemampuan berpikir tahap ini telah dapat menyusun teorema-teorema dalam sistem aksiomatis, dapat mengkonstruksi buktibukti orisinil. Menurut Husnaeni (2001), mahasiswa dapat membuat serangkaian pernyataan pernyataan logis yang memenuhi untuk menarik kesimpulan yang merangkum pernyataan tersebut. Mahasiswa telah dapat memahami hubungan timbal balik antara syarat perlu dan cukup. Mahasiswa juga berpeluang untuk mengembangkan lebih dari satu cara pembuktian, dan menyadari perlunya pembuktian melalui serangkaian penalaran deduktif. Tahap Rigor Pada tahap ini mahasiswa bernalar secara formal dalam sistem matematika, dan dapat mengkaji geometri tanpa referensi model-model. Sasaran penalaran adalah hubungan-hubungan antara konstrukkonstruk formal. Produk penalarannya
adalah mengelaborasi dan membandingkan sistem-sistem aksiomatis pada geometri. Menurut pandangan van Hiele, pembelajaran geometri hanya akan efektif apabila sesuai dengan struktur kemampuan mahasiswa (Husnaeni, 2001). Dengan demikian pengorganisasian pembelajaran baik isi dan materi maupun strategi pembelajaran merupakan peran strategis dalam mendorong kecepatan mahasiswa untuk melalui tahap-tahap belajar geometri. Van Hiele dalam Kahfi (2000) berkeyakinan bahwa tingkat yang lebih tinggi tidak diperoleh lewat ceramah, tetapi melalui pemilihan latihan yang tepat. Oleh karena itu van Hiele menawarkan lima tahap pembelajaran yang berurutan dan sekaligus merupakan peran guru dalam mengelola proses pembelajaran, yaitu (1) Inquiri, (2) Orientasi Terarah, (3) Uraian , (4) Orientasi bebas, dan (5) Integrasi. ( D’Augustine dan Smith, 1992; Clement dan Batista, 1992). Hasil penelitian yang telah dijelaskan menunjukkan bahwa pengonstruksian bukti sebagai proses dalam pembelajaran terdiri dari lima tahap. Tahap pertama sampai kelima hampir paralel dengan kemajuan berpikir untuk membuktikan menurut teori Van Hielle di atas, menurut data penelitian, terutama terhadap S1, pembentukan konsep tentang masalah merupakan akumulasi visualisasi dan pembuktian organisasi data/deduksi (gambar i-iv). Setelah visualisasi dan deduksi/organisasi data sejak gambar i, barulah pada gambar iv S1 menyadari bahwa masalah yang dihadapinya (T1) adalah mencari tiga sudut yang membentuk sudut lurus dan berukuran sama dengan masingmasing sudut segitiga. Berdasarkan konsep inilah S1 merumuskan rencana atau langkahlangkah pembuktian, dan mengaplikasikannya pada gambar v. Walaupun S1 mampu mengonstruksi bukti berdasarkan tugas T1 dan menjelaskan maksudnya, tetapi dalam wawancara berdasarkan penyelesaian T1, S1 hanya mampu merumuskan prosedur penyusunan bukti, tetapi belum menyadari maknanya. Setelah peneliti mewawancarai S1 tentang langkah-langkah penyelesaian tugas T2 dan memintanya merumuskan makna dari bukti yang disusunnya, barulah subjek mampu merumuskan makna rangkaian bukti dan menyederhanakan prosedur-prosedur dari 186
seluruh penyelesaian yang berhasil dia susun. Hal ini menunjukkan bahwa seseorang memerlukan waktu untuk memahami makna bukti yang ada. Rumusan hasil penelitian ini menjawab dengan tegas fenomena “mengapa ada yang mampu mengonstruksi bukti tetapi kurang atau tidak memahami makna bukti yang disusunnya”. Hasil penelitian ini memberi penjelasan dengan gamblang, “tahap memberi makna terabaikan”. Hasil penelitian ini juga mengamanatkan hal yang penting, bahwa pembentukan makna merupakan kegiatan yang perlu diberi waktu yang cukup, suatu tahap penting dalam pengonstruksian bukti dalam pembelajaran, agar mahasiswa memahami bukti yang dikonstruksinya. Langkah-langkah pengonstruksian bukti yang kompleks diabstraksi hingga menjadi sederhana. Misalnya prosedur penyelesaian T1 oleh S1 “pertama-tama gambar segitiga dulu (menunjuk gambar segitiga), menarik garis-garis (menunjuk perpanjangan sisi-sisi segitiga dalam gambar), lalu menentukan hubungan antar sudut-sudut, sampai ketemu sudut berpelurus” dienkapsulasi menjadi proses, dengan mengabstraksi prosedur tersebut menjadi “menggambar sudut-sudut bersisian yang berukuran sama dengan bangun sesuai data”. Dengan proses ini, prosedur menjadi sederhana, dan dapat diterapkan bukan hanya pada segitiga lain, juga pada jajargenjang, misalnya tugas T3. Hasil penelitian ini menjelaskan bahwa pemahaman tentang teorema sebaiknya dibangun melalui pemahaman buktinya. Makna konseptual teorema lebih tepat dibangun melalui pemahaman proses bukti teorema, dan konsep maupun proses bukti masing-masing mengembangkan pengetahuan dan kompetensi dalam belajar. Walaupun peneliti telah berupaya secara sistematis, .
objektif dan sungguh-sungguh melakukan dan merumuskan hasil penelitian ini, tetapi masih memiliki keterbatasan. Penelitian ini hanya didasarkan pada eksplorasi proses berpikir mahasiswa ketika mengonstruksi bukti suatu teorema yang belum pernah diselesaikannya, hingga mampu memikirkan bukti tersebut sesuai teori Van Hielle, tanpa mempertimbangkan faktor-faktor lain yang mungkin mempengaruhi hasil belajar. Bidang kajian penelitian ini masih terbatas, baik dari segi kajian teoritis, representasi bukti, pemilihan subjek dan materi penelitian. Untuk memperoleh hasil yang menjangkau faktor lebih luas, perlu ditindaklanjuti dengan penelitian lanjutan. Penutup Kesimpulan Bukti pembelajaran geometri yang dikonstruksi oleh mahasiswa Universitas Madura dapat dipandang sebagai mengkonstruksi bukti melalui teori Van Hielle. Proses berpikir mahasiswa Universitas Madura mengonstruksi bukti pada pembelajaran geometri tersebut sebagai proses dilakukan dalam lima tahap, yaitu: Visualisasi, Analisis, Deduksi Informal/Abstraksi, Deduksi dan Regor. Kemajuan berpikir mengonstruksi bukti sebagai proses tidak selalu maju terus secara linier dari tahap visualisasi, ke tahap abstraksi, sampai ke tahap regor/pembuktian, tetapi kembali beberapa kali ke tahap-tahap sebelumnya.
Daftar Rujukan
Clement, D.H, dan Batista, M.T. 1992. Geometry and Spatial Reasoning. Dalam D.A. Grouws (Ed). Hand book of Research on Mathematics and Learning. N ew York: Macmillan Publishing Company. Crowley, M. L. 1987. The Van Hielle Model of the Geometric Thought. Dalam Linguist, M. M. (eds) Learning and Teaching Geometry, K-12. Virginia: The NCTM, Inc. De Villiers, M. (1999). “The Role and Function of Proof with Sketchpad”.
Saran Untuk memaksimalkan hasil belajar, pembelajaran tentang teorema geometri bagi mahasiswa Universitas Madura sebaiknya mempertimbangkan cara pandang dan hasil penelitian ini
Affifuddin, Beni Ahmad Saebani. 2009. Metodologi Penelitian Kualitatif. Bandung: Pustaka Setia. Burger,W. F & Culpepper, B. 1993. Restructuring Geometry. Dalam P.S.Wilson.(Ed). Research Ideas for the Classroom (High school Mathematics). New York: Macmillan Publishing Company.
187
Mzone.mweb.co.za/residents/profmd/ proof.pdf, diakses 17 Juni 2016. De Walle, J. A. (1990). Elementary School Mathematics. Teaching Developmently. New York: Longman. Depdiknas, 2003. Peraturan Pemerintah Nomor 19 /2005 tentang Standar Nasional Pendidikan . Jakarta. Depdiknas. (2006). Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Republik Indonesia tentang Standar Isi untuk Satuan Pendidikan Dasar dan Menengah. Jakarta: Depdiknas. Depdiknas. (2007). Kajian Kebijakan Kurikulum Mata Pelajaran Matematika. Jakarta: Pusat Kurikulum Balitbang Depdiknas. Depdiknas. (2007). Panduan Pembelajaran SMA-SBI. Jakarta: Depdiknas. ------------. 2006.Lampiran Peraturan Pemerintah Nomor 22 /2006 tentang Standar Kompetensi dan Kompetensi Dasar Matematika Sekolah Dasar . Jakarta. -------------. 2007. Peraturan Menteri Nomor 41/ 2007, Tentang Standar Proses Fuys, D., Geddes, D., & Tischler, R. (1988). The van Hiele model of Thinking in Geometry Among Adolescents. JRME Monograph Number 3. Erman Suherman, dkk. (2003). Strategi Pembelajaran Matematika Komtemporer. Bandung: JICAUniversitas Pendidikan Indonesia. Fuys, D., Geddes, D., and Tischer, R. (1988). The van Hiele Model of Thingking in Geometry Among Adolescens. Journal for Research in Mathematics Education. Monograph no. 3. Reston : NCTM. Hemmi, K., Lepik, M., Viholaenin, A. (2010). “Upper Secondary School Teachers’ Views of Proof and Proving- an Explorative Croos-Cultural Study”. Proceeding of the 16th Conference on Mathematical Views. Tallinn, Estonia. Husnaeni (2001). Membangun Konsep Segitiga Melalui Penerapan Teori Van Hiele Pada Siswa Kelas IV Sekolah Dasar. Tesis tidak diterbitkan.Malang: PPS Universitas Negeri Malang. Kahfi, M.S. 2000. Merancang Pembelajaran Geometri di Sekolah Berdasarkan Tahap- Tahap Belajar Van Hiele. Makalah disampaikan pada Seminar Nasional Pengajaran Matematika
Sekolah Menengah, Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UM, 25 Maret l. Mestika, Z. 2008. Metode Penelitian Kepustakaan. Yayasan Obor Indonesia . Jakarta. Moore, Robert C. (1994). “Making the Transition to Formal Proof”. Educational Studies in Mathematics. Vol. 27. Hal 249-266. NCTM (1989). Principle and Standards for School Mathematics. NCTM (2000). Principle and Standards for School Mathematics, Reston, Virginia. Patricia. C. Alcaro, dkk. 2000. NCTM: Reston VA. Hal 344. Soedjadi, R. (2000). Kiat-kiat Pendidikan Matematika di Indonesia. Jakarta: Dirjen Dikti Departemen Pendidikan Nasional.
189
