Pertemuan 8 & 9 Distribusi Probab Multivariat Distr Multivar untuk Kombinasi Linier Uji Hipotesis Kesamaan Mean
Distribusi Normal Multivariat Ingat V.R .Univariat Variabel random univariat X berdistribusi normal dengan mean
dan varians
X mempunyai fungsi kepadatan peluang (probability density function) pdf sbb
Plot pdf ini berbentuk lonceng simetri
Kurtosis = keruncingan Skewness = kemiringan
Plot pdf univariat (berbentuk lonceng simetri)
VR. bivariat dengan pdf dimana
Karena
maka
Plot pdf distribusi normal bivariat
O
x1 X1
x2
X2
Plot contur (grafik dimensi tiga diproyeksikan kedalam dimensi dua)
Perhatikan bentuk kuantitas pada univariat
diperluas untuk kuantitas multivariat sebagai berikut Sehingga distribusi variabel random multivariat dituliskan dalam bentuk X berdistribusi normal p variat dengan vektor mean
dan matrik covarians
Kontur (Contour)
Untuk densitas normal p variat, path dari x dengan tinggi konstan adalah ellipsoida Atau densitas normal multivariat konstan pada luasan dimana jarak adalah konstan. Path ini disebut kontur Jadi , kontur densitas probabilitas konstan untuk distribusi normal p dimensi adalah ellipsoida yang didefinisikan melalui x sedemikian hingga Ellipsoida ini berpusat di dimana
dengan sumbu-sumbu
Hasil Jika
definit positif, maka terdapat invers
, sehingga
Distribusi multivariat untuk kombinasi linier pada variabel Misalkan Pandang kobinasi linier
Mean sampel dari Varians sampel dari
adalah adalah
maka distribusi kombinasi linier
adalah
Bukti
dimana nilai observasi pada trial ke-j adalah
Dan n observasi diberikan oleh
Sehingga n observasi ini memililiki
Karena maka diperoleh
Jika terdapat kombinasi linier lainnya
dengan maka covarians sampel antara
dan
adalah
Selanjutnya, misalkan terdapat q buah kombinasi linier
q buah kombinasi linier AX mempunyai vektor mean sampel dan matriks covarians sampel , Maka q kombinasi linier AX berdistribusi normal, yaitu
Contoh dan misalkan pula diberikan dua buah kombinasi linier dan Observasi pada kombinasi linier tersebut diperoleh dengan mengganti dan dengan nilai observasinya. Misalnya untuk observasi pada
adalah
Maka untuk kombinasi linier
memiliki berturut-turut
Dengan cara serupa untuk
Maka
Sedangkan
observasi pada kombinasi linier
Metoda lain (dengan menggunakan rumus langsung) Terlebih dahulu hitung vektor mean sampel dan matriks covarian sampel
Kombinasi linier
mean sampel varians sampel
Kombinasi linier
Teorema 1 Jika
, maka kombinasi linier
juga berdistribusi normal ,yaitu (Bukti serupa dengan bukti pada sampel)
Teorema 2 Jika
maka
berdistribusi
Teorema 3 Jika
maka q kombinasi linier
berdistribusi normal , yaitu
Teorema 4 dan jika dibuat partisi sebagai berikut
Jika
maka
Jika
TEOREMA Jika dan
.
maka distribusi bersyarat untuk adalah normal
bila diberikan
dengan dan
TEOREMA Jika
, maka
berdistribusi chi-square dengan derajat bebas dinotasikan
Distribusi Normal multivariat bersyarat dengan
&
(Cov ini tidak bergantung pd variabel bersyaratnya)
adalah fungsi distribusi marginal dari
Analog, diperoleh
UJI HIPOTESIS : Ratio Likelihood & LAMDA WIKS
Uji perbandingan Likelihood (Likelihood Rasio Test) vs Tolak
jika
dimana
disebut Wilks Lamda
Lemma 1
dimana
Lemma 2 versus
Untuk uji perbandingan likelihood
ditolak bila Hal ini ekivalen dengan berdistribusi Jadi
ditolak bila
kecil
atau
ditolak bila
kecil besar
sedangkan
Contoh Ujilah hipotesis
, dengan
versus
Solusi
atau maka tidak dotolak
Contoh 2 Keringat dari 20 laki-laki sehat dianalisis, diukur tiga komponen
Hasil pengukuran memberikan
Ujilah hipotesis
dengan
vs
Jawab
.
Jadi
ditolak
