Minggu VIII dan IX PERBANDINGAN MEAN DUA POPULASI NORMAL MULTIVARIAT

Minggu VIII dan IX PERBANDINGAN MEAN DUA POPULASI NORMAL MULTIVARIAT Herni Utami Universitas Gadjah Mada



 X1j1   Misalkan X1j =  ...  adalah observasi ke-j dari sampel 1 X  1jp  X2j1  ..  X2j =  .  adalah observasi ke-j dari sampel 2, X2jp untuk j = 1, 2, ..., n. Dj merupakan vektor selisih antara X1j dan X2j , yaitu Dj

Herni Utami (Universitas Gadjah Mada)

= X1j − X2j     X1j1 − X2j1 Dj1    ..  .. =  = .  . X1jp − X2jp Djp

Minggu VIII dan IXPERBANDINGAN MEAN DUA POPULASI NORMAL MULTIVARIAT 2 / 15

Ekspektasi dariDj adalah  δ1 P   E (Dj ) = δ =  ...  dan cov (Dj ) = d . δp P Jika Dj , j = 1, 2, ..., n independen Np (δ, d ), maka ¯ − δ 0 Sd D ¯ − δ ∼ (n − 1)p Fp,n−p T2 = n D n−p ¯ = dengan D

1 n

n P

Dj dan Sd =

j=1

Jika n dan p besar, maka


d T2 − →

1 n

n P

¯ Dj − D ¯ 0. Dj − D

j=1

χ2p .


Diberikan masing-masing berdistribusi Pdua populasi dependen, P Np (µ1 , 1 ) dan Np (µ2 , 2 ).



 x1j1   Sampel berpasangan (xj1 , xj2 ) untuk j = 1, 2, ..., n dengan x1j =  ...  x1jp   x2j1  ..  dan x2j =  .  . x2jp Selisih antara x1j dan x2j dinyatakan dengan dj yaitu     x1j1 − x2j1 dj1   ..   .. dj = x1j − x2j =   =  .  , j = 1, 2, ..., n. . x1jp − x2jp djp Herni Utami (Universitas Gadjah Mada)


UJI HIPOTESIS

Jika d0j = dj1 P... djp untuk j = 1, 2, ..., n adalah sampel dari populasi p-variat Np (δ, d ) maka uji hipotesis untuk δ sebagai berikut: • H0 : δ = 0 vs H1 : δ 6= 0 • tingkat signifikansi=α • Statistik penguji

¯ 0 Sd d ¯ T 2 = nd • H0 ditolak jika T 2 > (n−1)p n−p Fp,n−p (α)



DAERAH KONFIDENSI

Sedangkan daerah konfidensi 100(1 − α)% untuk δ: ¯ − δ 0 S−1 d ¯ − δ 6 (n − 1)p Fp,n−p (α). d d n−p Gambar daerah Konfidensi???



CONTOH Setiap pabrik diwajibkan oleh pemerintah untuk memantau secara teratur pembuangan limbah ke sungai. Untuk meyakinkan hasil dilakukan penelitian pada 2 lembaga penelitian, di mana setiap sampel limbah dibagi dua dan dikirim ke lembaga 1 dan lembaga 2. Pengukuran tingkat pencemaran dilihat dari kandungan BOD (biochemical oxygen demand) dan SS (Suspended sold) dan diperoleh data sebagai berikut:



Apakah hasil pengukuran kedua lembaga sama? Jawab: Hipotesis H0 : δ = 0 vs H1 : δ 6= 0

d¯1 d¯2

−9, 36 199, 26 88, 38 Sd = 13, 27 88, 38 418, 61 0, 0055 −0, 0012 −9, 36 2 T = 11 −9, 36 13, 27 = 13, 6 −0, 0012 0, 0026 13, 27 ¯= d

=

Untuk tingkat signifikansi α = 0, 05, H0 ditolak jika 2 T 2 = 2.10 9 F2,9 (0, 05) = 9, 47. Karena T = 13, 6 > 9, 47 maka H0 ditolak. jadi terdapat perbedaan hasil pengukuran yang dilakukan oleh lembaga 1 dan lembaga 2. Herni Utami (Universitas Gadjah Mada)


Perbedaan vektor mean 2 populasi independen

asumsi: • x11 , x12 , ..., x1n adalah sampel random berukuran n1 dari populasi 1 dan matriks kovariansi p-variat dengan vektor mean µ ∼

P

1,

• x21 , x22 , ..., x2n adalah sampel random berukuran n2 dari populasi 2 dan matriks kovariansi p-variat dengan vektor mean µ ∼

P

2,

• kedua sampel indepeden.

BAGAIMANA INFERENSI TENTANG µ1 − µ2 ? Untuk n1 dan n2 P kecil perlu tambahan asumsi bahwa sampel P 1 dari populasi Np (µ1 , 1 ) dan sampel 2 dari populasi Np (µ2 , 2 ).



Jika Σ1 = Σ2 : • H0 : µ1 − µ2 = δ0 vs H0 : µ1 − µ2 6= δ0 , • tingkat signifikansi=α, • statistik penguji:

T 2 = (¯ x1 − ¯ x2 − δ0 )0

1 1 + n1 n2

−1

Spooled

(¯ x1 − ¯ x2 − δ0 )

dengan n1 P

Spooled

= =

j=1

(x1j − ¯ x1 ) (x1j − ¯ x1 )0 +

n2 P

(x2j − ¯ x2 ) (x2j − ¯ x2 )0

j=1

n1 + n2 − 2 n1 − 1 n1 − 1 S1 + S2 . n1 + n2 − 2 n1 + n2 − 2



• H0 ditolak jika

T2 >

(n1 + n2 − 2) Fp,n1 +n2 −p−1 (α) (n1 + n2 − p − 1)

Daerah konfidensi untuk µ1 − µ2 :

0

(¯ x1 − ¯ x2 − (µ1 − µ2 )) dengan c 2 =

1 1 + n1 n2

−1

Spooled

(¯ x1 − ¯ x2 − (µ1 − µ2 )) 6 c 2

(n1 +n2 −2)p (n1 +n2 −p−1) Fp,n1 +n2 −p−1 (α).



CONTOH Masing-masing 50 batang sabun yang diproduksi dengan cara 1 dam cara 2 digunakan sebagai sampel. Dua karakter sabun yaitu busa dan kelemmbutan diukur pada tiap sabun untuk membandingkan kualitas sabun yang diproduksi cara 1 dan cara 2. Diketahui Σ1 = Σ2 . Ringkasan data sebagai berikut: 8, 3 2 1 ¯ x1 = , S1 = , 4, 1 1 6 10, 2 2 1 ¯ x2 = , S2 = . 3, 9 1 4 Tentukan daerah konfidensi untuk µ1 − µ2 !



49 49 2 1 S1 + S2 = 1 5 98 98 −1, 9 x1 − x2 = 0, 2

Spooled =

Eigen value dan eigen vektor dari Spooled : λ1 = 5, 303 e01 = 0, 290 0, 957 λ2 = 1, 697 e02 = 0, 957 −0, 290 1 1 1 1 (98)2 2 + c = + F2,97 (0, 05) = 0, 25 n1 n2 50 50 97



Sumbu ellips: p λi

s

1 1 + n1 n2

c2 =

p p λi 0, 25

√ √ √λ1 √0, 25 = 1, 15 ke arah e1 λ2 0, 25 = 0, 65 ke arah e2 . Gambar daerah konfidensi tersebut!!!!!



Σ1 6= Σ2 , n1 − p dan n2 − p besar Hipotesis: H0 : µ1 − µ2 = δ0 vs H0 : µ1 − µ2 6= δ0 Statistik penguji: 0

2

T = (¯ x1 − ¯ x2 − δ0 )

1 1 S1 + S2 n1 n2

−1 (¯ x1 − ¯ x2 − δ0 )

Ho ditolak jika T 2 > χ2p (α). Daerah konfidensi 100(1 − α)%: (¯ x1 − ¯ x2 − (µ1 − µ2 ))0

1 1 S1 + S2 n1 n2

−1 (¯ x1 − ¯ x2 − (µ1 − µ2 ))

6 χ2p (α) . Herni Utami (Universitas Gadjah Mada)


Minggu VIII dan IX PERBANDINGAN MEAN DUA POPULASI NORMAL MULTIVARIAT

Recommend Documents