PENERAPAN TEORI BARIS DAN DERET DALAM EKONOMI • Perkembangan Perkembangan Usaha Usaha Perkembangan usaha yang dimaksud adalah sejauh usaha usaha yang pertubuhannya sejauh usaha‐usaha yang pertubuhannya konstan dari waktu ke waktu mengikuti perubahan baris hitung perubahan baris hitung
Contoh Soal Contoh Soal • Perusahaan keramik menghasilkan 5.000 buah keramik pada bulan pertama produksinya. produksinya Dengan adanya penambahan tenaga kerja, maka jjumlah p produk yyangg dihasilkan jjuga g ditingkatkan. g Akibatnya, perusahaan tersebut mampu menambah produksinya sebanyak 300 buah setiap bulannya. Jika perkembangan produksinya konstan setiap bulan, berapa jumlah keramik yang dihasilkannya pada bulan ke 12 ? Berapa buah jumlah keramik yang dihasilkannya selama tahun pertama produksinya ?
Jawab : Jumlah keramik yang dihasilkannya pada bulan ke Jumlah keramik yang dihasilkannya pada bulan ke 12. S12 = a + (n S12 a + (n – 1) b 1) b = 5.000 + (12 – 1) 300 = 5 000 + (11) 300 = 5.000 + (11) 300 = 5.000 + 3.300 = 8.300 Jadi pada bulan ke 2 perusahaan tersebut dapat menghasilkan 8.300 buah keramik. Jumlah k Mik keraMik yang dihasilkan dalam satu tahun dih ilk d l t t h pertama. D12 /2 ( D12 = n/2 (a + s12) = 12/2 (5.000 + 8.300) = 6 12) 12/2 (5 000 8 300) 6 (13.300) = 79.800
Bunga Sederhana dan Potongan Sederhana Bunga merupakan suatu balas jasa yang Bunga merupakan suatu balas jasa yang dibayarkan bilamana kita menggunakan uang. Jika kita meminjam uang dari bank maka kita Jika kita meminjam uang dari bank maka kita membayar bunga kepada pihak bank tersebut Jik ki Jika kita menginvestasikan uang berupa i ik b tabungan atau deposito di bank maka bank membayar bunga kepada kita. b b k d ki Jumlah uang yang dipinjamkan atau diinvestasikan di bank disebut modal awal atau pinjaman pokok(principal)
Bunga dilihat dari satu pihak merupakan Bunga dilihat dari satu pihak merupakan pendapatan tetapi di lain pihak merupakan biaya. biaya Di pihak yang meminjamkan merupakan pendapatan sedang di pihak yang meminjam pendapatan, sedang di pihak yang meminjam merupakan biaya
Misalkan kita berinvestasi p rupiah dengan p rupiah dengan suku bunga tahunan i, maka pendapatan bunga pada akhir tahun p pertama adalah Pi Sehingga nilai akumulasi tahun pertama adalah P + Pi P Pi Pada akhir tahun kedua adalah P+P(2i) Pada akhir tahun ketiga adalah P + P(3i) P + P(3i) Demikian seterusnya sampai pada akhir tahun ke n nilai akumulasinya y adalah P+P(ni) ( ) Jadi pendapatan hanya didapatkan dari modal awal saja setiap akhir tahun
Nilai dari pendapatan bunga ini tetap setiap tahunnya. Pendapatan bunga menurut metode ini dinamakan bunga sederhana dan dapat dinyatakan dengan rumus berikut: I = Pin Dengan : Dengan : I = Jumlah pendapatan bunga P = Pinjaman pokok atau jumlah investasi i = tingkat bunga tahunan n = jumlah tahun
Nilai dari modal awal pada akhir periode ke n Nilai dari modal awal pada akhir periode ke n (Fn )adalah jumlah dari modal awal P ditambah pendapatan bunga selama periode waktu ke –n pendapatan bunga selama periode waktu ke n Fn = P + Pin P Pi
Contoh Hitunglah pendapatan bunga sederhana dan berapa Hitunglah pendapatan bunga sederhana dan berapa nilai yang terakumulasi di masa datang dari jumlah uang sebesar Rp. 12.000.000 yang diinvestasikan di Bank selama 4 tahun dengan bunga 15% per tahun Jawab Diketahui : P = Rp. 12.000.000; n = 4; I = 0.15 I = Pin I = Rp. 12.000.000 (4)(0.15) = Rp. 7.200.000 y g gp Nilai yang terakumulasi di masa datang pada tahun ke‐ 4 adalah 7.200.000
Jadi Nilai dari modal awal pada akhir periode ke 4 (F4 ) adalah 4 (F ) d l h Fn = P + Pin = Rp. 12.000.000 + 7.200.000 = Rp. 19.200.000 Rp 19 200 000
Potongan Sederhana ( (Simple discount) )
P= Nilai Sekarang Fn = Nilai masa datang tahun ke – n I = Tingkat bunga N = jumlah tahun
Contoh
Bunga Majemuk ` Misalkan suatu investasi dari P rupiah pada d tingkat ti k t bunga b I per tahun, t h maka k pendapatan bunga pada tahun pertama adalah d l h Pi, Pi ` Selanjutnya nila investasi ini pada akhir tahun pertama akan menjadi P + Pi = P ((1 + i))
` Hasil dari P(1+i) dianggap sebagai modal awall pada d permulaan l t h kedua tahun k d dan d pendapatan bunga yang diperoleh adalah P(1+i)I ` Sehingga gg hasil nilai investasi p pada akhir tahun kedua adalah P(1+i) ( ) + P(1+i)I ( ) = P+Pi+Pi+Pii = P(1+2+i2) = P(1+i)2
` Selanjutnya hasil dari P(1+i)2 dianggap sebagai modal awal d l l pada d permulaan l tahun h ketiga k i dan d pendapatan bunga yang diperoleh P(1+i)2i, ` Sehingga gg total investasi tahun ketiga g adalah P(1+i)2 + P(1+i)2i = P(1+i)2(1+i) =P(1+i)3
` Demikian seterusnya sampai n sehingga rumusnya adalah d l h Fn = P(1+i)n dimana Fn = Nilai masa datang P = Nilai P Nilai sekarang i = bunga per tahun n = jumlah j l h tahun h
Contoh Jika Bapak James mendepositokan uangnya di Bank sebesar Rp. 5.000.000 dengan tingkat bunga yang belaku 12 presen per tahun dimajemukkan, berapa nilai total deposito Bapak James pada akhir tahun ketiga? Berapa banyak pula pendapatan bunganya Penyelesaian : Diketahui P = Rp. 5.000.000; i=0.12 per tahun p ; p n=3 Fn = P(1+i) ( )n F3 = Rp. 5.000.000 (1+0.12)3 = Rp 5.000.000(1,12)3 =Rp. 7.024.640
Contoh
Nilai Sekarang dengan Bunga Majemuk
Contoh
Contoh
Model Pertumbuhan Penduduk • Penerapan deret ukur yang paling konvensional di bidang ekonomi adalah dalam hal perhitungan pertumbuhan penduduk, sebagaimana pernah dinyatakan oleh Malthus, penduduk dunia tumbuh mengikuti pola deret ukur. Yang dirumuskan Pt = P1 R t-1 Dimana : R = 1 + r P1 = jumlah pada tahun pertama (basis) Pt = jumlah pada tahun ke‐t r = persentase pertumbuhan per‐tahun b h h t = indeks waktu (tahun)
Contoh:: Contoh • Penduduk suatu kota berjumlah 1 juta jiwa pada tahun 1991, tingkat pertumbuhannya 4 persen per tahun. Hitunglah jumlah penduduk kota tersebut pada tahun 2006,pertumbuhannya menurun menjadi j di 2,5 2 5 %, % berapa b j l h jumlahnya 11 tahun t h kemudian? Jawab: Dik t Diket : P1 = 1.000.000 r = 4 % = 0,04 maka: R = 1 + r = 1 + 0,04
= 1,04
• P tahun 2006 ≡ P16 Pt = P1 Rt‐1 P16 = 1.000.000 (1,04)16‐1 = 1.000.000 (1,04) 1.000.000 (1,04)15 = 1.000.000 1,800943 = 1 800 943 jiwa = 1.800.943 jiwa • Utk 11 tahun kemudian Utk 11 t h k di P1 = 1.800.943 r = 2,5 % = 0,025 R = 1 + r = 1 + 0,025 = 1,025
• P 11 tahun kemudian ≡ P11 Pt = P1 Rt‐1 P11 = 1.800.943 (1 + 0,025) = 1 800 943 (1 + 0 025)11‐1 = 1.800.943 (1,025)10 = 1.800.943 . 1,280084 = 2.305.359 Jadi jumlah penduduk 11 tahun kemudian 2 305 359 jiwa 2.305.359 jiwa.
Contoh--contoh soal Contoh Seorang nasabah merencanakan mendepositokan uangnya di Bank sebanyak Rp. p g y y p 10 juta dalam jangka waktu 5 tahun. Pembungaan depositonya dengan tingkat bunga yangdiasumsikan depositonya dengan tingkat bunga yangdiasumsikan konstan sebesar 11% pertahun *B *Berapa jumlah uang yang diterimanya pada akhir j l h dit i d khi tahun kelima jika didepositokan dengan pembungaan tiap 6 bulan sekali ? pembungaan tiap 6 bulan sekali ? • Berapa jumlah uang yang diterimanya jika didepositokan dengan pembungaan tiap tiga bulan
• Jawab jumlah uang dengan pembungaan tiap 6 bulan sekali • Pn = P0 (1 + r/m)n.m = 10.000.000 (1 + 0,11/2)5.2 = 10.000.000 (1 + 0,055)10 = 10.000.000 (1,708144) ( , ) = 17.081.444,58 Jadi dalam waktu lima tahun uang nasabah Jadi dalam waktu lima tahun uang nasabah tersebut yang dibungakan setiap enam bulan sekali menjadi Rp. 17.081.444,58.
• Jawab jumlah uang dengan pembungaan tiap 3 b l bulan sekali k li • Pn = P0 (1 + r/m)n.m = 10.000.000 (1 + 0,11/4)5.4 = 10.000.000 (1 + 0,0275)20 = 10.000.000 (1,720428431) = 17.204.284,31 Jadi dalam waktu lima tahun uang nasabah tersebut yang dibungakan setiap enam bulan sekali menjadi Rp. 17.204.284,31
Contoh Soal • Penduduk suatu kota metropolitan tercatat 3 25 j 3,25 juta jiwa pada tahun 2008, diperkirakan ji d h 2008 di ki k menjadi 4,5 jiwa pada tahun 2013. Jika tahun 2008 di 2008 dianggap tahun dasar, berapa persen h d b pertumbuhannya ? Berapa Jumlah penduduknya pada tahun 2015 ? d d k d h 2015 ?
• JJawab persentase pertumbuhan penduduk : Pn b t t b h d d k P = P0 (1 + i)n 4,5 = 3,25 (1 + i)2013‐2008 4,5 = 3,25 (1 + i)5 4,5/3,25 = (1 + i)5 1 3846 = (1 + i)5 5 1,3846 = (1 + i) 1,38461/5 = 1 + i i = 1,38461/5 – 1 i = 0,0673 i = 6,73 %
Latihan Soal 1 Pabrik Coklat “Silverquen” menghasilkan Sejuta bungkus coklat pada tahun pertama berdirinya, y , dan 1,6 , jjuta bungkus g pada tahun p ketujuh. a Andaikata perkembangan produksinya a.Andaikata konstan, berapa tambahan produksinya per tahun ?
b.Berapa produksinya pada tahun kesebelas c.Pada tahun ke berapa p p produksinya y 2,5 , jjuta bungkus coklat ? Berapa bungkus coklat yyang g telah ia hasilkan sampai dengan tahun ke – 16 ?
Latihan Soal 2 Pabrik kecap “Nambewan” memproduksi 24.000 botol kecap pada tahun ke-6 operasinya. p y Karena p persaingan g keras dari kecap-kecap merek lain, produksinya terus menurus secara konstan sehingga pada tahun ke-10 hanya memproduksi 18.000 botol.
a) Berapa botol penurunan produksinya per t h tahun b) Pada tahun ke berapa pabrik kecap tersebut tidak berproduksi (tutup) c) Berapa botol kecap yang ia hasilkan selama operasinya ?.
Latihan Soal 3 Hitunglah bunga dari Rp 1.000.000 selama 2 tahun dengan tingkat bunga 10% apabila bunga g dihitungg semesteran?
Latiahn Soal 4 Jika Anda menabung Rp 2.500.000 dengan b bunga majemuk j k 8% selama l tiga i tahun, h kemudian memindahkan tabungan tersebut ke tabungan b d dengan b bunga majemuk j k tahunan h 10%. Berapakah jumlah yang akan Anda terima setelah l h tahun h ke k 6.? 6?
Latihan Soal 5 • Pada ulang tahun ke‐20, Trinita memperoleh h di h hadiah uang sebesar Rp10.000.000,‐ b R 10 000 000 sebagai b i hasil dari tabungan ayahnya semenjak Trinita dil hi k B dilahirkan. Berapa besarnya uang yang b ditabungkan ayahnya pada saat dia dilahirkan, jik i k b jika tingkat bunga tabungan tidak berubah b id k b b h yaitu 6% per tahun (dihitung bulanan)?
Latihan Soal 6 • Seorang bapak menabung dalam bentuk d deposito sebagai persiapan untuk warisan bagi i b i i k i b i anaknya sebesar Rp 20.000.000,‐ dan setelah 25 h 25 tahun uang itu diambil dengan bunga tetap i di bil d b 6% per tahun yang dihitung bulanan. Berapa j l h jumlah uang bapak tersebut? b k b ?
Daftar Pustaka • Dumairy.1999.Matematika Terapan Untuk Bi i d Ek Bisnis dan Ekonomi, i Yogyakarta, BPFE UGM Y k BPFE UGM • Joseph Kalangi, Matematika Ekonomi dan Bisnis, Penerbit Salemba Empat, 2002
