PENERAPAN MODEL REGRESI LINEAR ROBUST DENGAN ESTIMASI M PADA DATA NILAI KALKULUS II MAHASISWA UNIVERSITAS WIDYA DHARMA KLATEN Yuliana* Abstrak:Model persamaan regresi linear dapat dinyatakan dalam bentuk matriks sebagai y X u , dengan dengan j 1 , 2 ,, p adalah parameter yang belum diketahui dari n pengamatan yi y1 , y2 ,, yn , dengan xij adalah koefisien yang diketahui dan u i adalah variabel random independen dan berdistribusi identik. Dalam pengamatan seringkali ditemukan observasi yang nilainya jauh berbeda dengan observasi lainnya. Observasi ini disebut sebagai outlier yang mengakibatkan asumsi kenormalan pada regresi linear dilanggar. Regresi linear robust dengan estimasi M tidak peka terhadap suatu data yang mengandung pengamatan outlier. Dengan estimasi ini, pengamatan outlier ini tidak perlu dibuang dari observasi karena seringkali justru pengamatan outlier sangat berarti dalam observasi. Penelitian ini bertujuan untuk menunjukkan bahwa regresi linear robust dengan estimasi M dapat mengatasi suatu data yang mengandung pengamatan outlier. Setelah itu, peneliti menerapkannya pada data nilai kalkulus II pada mahasiswa Universitas Widya Dharma Klaten. Dari data ini, peneliti mendapatkan persamaan model regresi linear robust: Y 0,177 X 1 0, 655 X 2 0,947 , dengan Y menunjukkan nilai kalkukulus II, X1 menunjukkan nilai kalkulus I, dan X2 menunjukkan nilai trigonometri. Kata kunci : Model regresi linear, Pengamatan outlier, Regresi linear robust estimasi M.
Model regresi linear merupakan suatu persamaan yang menyatakan adanya hubungan antara variabel tak bebas (dependen) dengan variabel bebas (independen) secara linear. Model persamaan regresi
yang lainnya. Asumsi ini menghasilkan model regresi linear normal sederhana. Dalam sejumlah data hubungan sebenarnya jarang dapat diketahui akan tetapi hubungan tersebut dapat diestimasi
linear dapat dinyatakan dalam bentuk matriks sebagai y X u .
berdasarkan data pengamatan. Metode yang populer digunakan adalah estimasi kuadrat terkecil. Hal ini didasarkan pada kenyataan bahwa ia meminimumkan
Variabel y adalah vektor respon, X ( xij ) adalah matriks desain berordo n p ( p n) full rank dan nilainya diketahui, merupakan parameter yang belum diketahui berordo p 1 dan u adalah suatu vektor random sesatan atau selisih nilai yang diharapkan dengan nilai observasi dengan ordo n1 . Distribusisesatan u adalah N (0, 2 ) , identik dan saling independen antara respon satu dengan respon
jumlah kuadrat perbedaan nilai yang diharapkan dengan nilai observasinya. Dalam pengamatan seringkali ditemukan observasi yang nilainya jauh berbeda dengan observasi lainnya. Observasi ini disebut sebagai outlier yang mengakibatkan asumsi kenormalan pada regresi linear dilanggar. Nilai observasi ini bisa
* dosen Universitas Widya Dharma Program Studi Pendidikan Matematika, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan
Magistra No. 90 Th. XXVI Desember 2014 ISSN 0215-9511
87
Penerapan Model Regresi Linear Robust dengan Estimasi M pada .....
terlalu besar bahkan bisa terlalu kecil dibandingkan dengan lainnya. Menurut Sembiring (1995: 72) kategori suatu observasi dikatakan outlier jika observasi tersebut tidak mengikuti pola umum model atau nilai sesatannya berjarak tiga kali standar deviasinya atau lebih dari rataratanya (yaitu nol). Observasi outlier dapat menyebabkan estimasi parameter regresi linear tidak tepat sehingga regresi yang memiliki observasi outlier harus diambil langkah tepat dalam mengatasinya. Penangganan yang mudah dilakukan adalah dengan membuang observasi outlier tersebut dari sekumpulan data, kemudian membandingkan estimasi data tersebut dengan data penuh. Tindakan ini belum tentu bijaksana dikarenakan observasi outlier seringkali justru memberikan informasi sangat berarti dalam estimasi. Oleh karena itu sangat disayangkan jika observasi outlier tersebut dibuang dari pengamatan. Dengan melihat data mahasiswa Universitas Widya Dharma Klaten semester I jurusan Pendidikan Matematika tahun 2012/2013, sebagian besar mereka berasal dari lulusan SMA IPS dan SMK. Hanya sebagian kecil, mereka yang berasal dari SMA IPA. Padahal mata kuliah kalkulus II yang didalamnya dipelajari materi integral harus sudah dipahami sejak di SMA IPA. Adapun sebagai prasyarat dalam mengambil mata kuliah kalkulus II, yaitu kalkulus I dan trigonometri yang dipelajari di semester I. Melihat kondisi semacam ini, sangat dimungkinkan data nilai kalkulus II yang dipelajari pada semester II akan memuat suatu data outlier sehingga untuk menemukan model regresi linear perlu penanganan khusus.
regresi linear masih tetap dipenuhi. Metode regresi robust menurut Huber (1981: 43) mempunyai tiga estimasi, yaitu estimasi L (kombinasi linear dari statistik order/terurut), estimasi M (estimasi dengan maksimum likelihood) dan estimasi R (estimasi yang berasal dari uji rank). Estimasi M lebih fleksibel dan dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah estimasi multiparameter. Dalam menentukkan estimasi parameter, pada aplikasinya estimasi M lebih mudah digunakan dibandingkan dengan estimasi R maupun estimasi L.
METODE Penelitian yang dilakukan oleh peneliti dilaksanakan di Universitas Widya Dharma Klaten yang beralamat di Jalan Ki Hajar Dewantoro, Klaten, kotak pos 57401. Dalam penelitian ini, yang dimaksudkan subjek penelitiannya, yaitu mahasiswa angkatan 2012/2013. Dari subjek penelitian, diambil data nilai kalkulus I dan nilai trigonometri sewaktu subjek kuliah berada pada semester 1, sedangkan nilai kalkulus II diambil saat subjek kuliah berada pada semester 2. Metode penelitian yang digunakan penulis dalam penelitian ini meliputi studi pustaka dan studi kasus. Data yang digunakan pada penelitian ini merupakan data nilai ujian akhir semester II mata kuliah kalkulus II sebagai variabel dependen dan nilai ujian akhir semester I mata kuliah kalkulus I dan trigonometri sebagai variabel independen. Semua data diperoleh dari pengamatan yang sudah dilakukan oleh
Metode estimasi regresi robust adalah salah satu alternatif dalam mengatasi permasalahan regresi
peneliti pada mahasiswa jurusan pendidikan matematika 2012/2013. Adapun langkahlangkah
linear, jika diyakini data mengandung suatu outlier. Estimasi regresi robust tidak sensitif terhadap observasi outlier sehingga asumsi kenormalan pada
yang dilakukan oleh, yaitu (1) menunjukkkan sifat sifat dari estimasi M, (2) mengumpulkan data hasil
88
pengamatan nilai ujian akhir semester mata kuliah
Magistra No. 90 Th. XXVI Desember 2014 ISSN 0215-9511
Penerapan Model Regresi Linear Robust dengan Estimasi M pada .....
kalkulus I, trigonometri, dan kalkulus II, (3) melakukan estimasi parameter model regresi linear
Pada umumnya, metode kuadrat terkecil (MKT) digunakan untuk estimasi parameter regressi
menggunakan metode kuadrat terkecil (MKT), (4) melakukan identifikasi bahwa dari data pengamatan yang telah terkumpul tersebut mengandung suatu pengamatan outlier, (5) melakukan estimasi parameter
linear. Akan tetapi, estimasi parameter menggunakan metode kuadrat terkecil menjadi kurang baik apabila distribusi residualnya tidak normal dan mengandung
model regresi linear dengan estimasi M secari iterasi, (6) memperoleh estimasi parameter pada masing masing iterasinya, peneliti menggunakan metode kuadrat terboboti, (7) langkah 5 dan 6 di atas diulang secara terus menerus hingga diperoleh estimasi parameter model yang konvergen. Untuk memudahkan dalam perhitungan, perhitungan estimasi dilakukan menggunakan program komputer, yaitu SPSS Statistics 17 dan perhitungan secara manual. Dalam penelitian ini menggunakan uji hipotesis t untuk menunjukkan bahwa secara individu variabel X1 dan X2 berpengaruh atau berarti terhadap variabel Y. Adapun langkahlangkah uji statistiknya seperti dalam Budiyono (2004 : 124). Selain menggunakan uji t, peneliti melakukan analisis menggunakan uji F. Dengan uji F ini, peneliti hendak menunjukkan bahwa variabel independen berpengaruh terhadap variabel dependennya seperti dalam Budiyono (2004 : 129).
HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN Sebelum memperoleh suatu model regresi linear dengan estimasi M, pada pembahasan ini akan dibahas dahulu mengenai estimasi M, kemudian mengidentifikasi outlier dari data yang telah dikumpulkan. Selanjutnya, dari studi kasus diperoleh suatu data yang digunakan untuk mendapatkan model regresi yang tepat. Studi kasus yang digunakan adalah hubungan nilai kalkulus I dan nilai trigonometri terhadap nilai kalkulus II pada mahasiswa Universitas Widya Dharma Klaten.
Magistra No. 90 Th. XXVI Desember 2014 ISSN 0215-9511
outlier. Salah satu solusi untuk mengatasi permasalahan ini, yaitu menggunakan regresi robust. Regresi robust ini tidak sensitif terhadap data yang menganding pengamatan outlier. Metode regresi robust yang paling sering digunakan adalah estimasi M, yang diperkenalkan oleh Huber pada tahun 1973 (Chen, 2002). Secara umum, persamaan model regresi llinear yaitu
Yi 0 1 X 1 2 X 2 ... p X p i X ,i untuk data kei dan n pengamatan. Taksiran model regresi linear berganda, yaitu
Yi b0 b1 X 1 b2 X 2 ... bp X p i X b i . Menurut Fox (2002), estimasi M meminimalisasi fungsi n objektif dengan persamaan (ei ) ( yi Xb). Kemudian, dari persamaan i 1 ini dicari turunan pertama parsial terhadap parameternya j dengan j = 0,1,2,…,k dan disamadengankan nol. Hal ini n menghasilkan p = k + (Yi Xb) X T 0 , 1 dengan persamaan (1) :
i 1
dengandengan ' dan merupakan fungsi influence yang digunakan untuk memproleh fungsi bobot. Lalu, residualnya distandarisasi sehingga persamaan (1) menjadi per samaan (2) n
:
(Yi Xb) T X 0 . Menurut Fox (2002),
i 1
nilainilai yang harus ditentukan dahulu untuk estimasi parameternya,yaitu MAR / 0, 6745 , dengan MAR merupakan Median Absolute Residual, yang dapat dicari menggunakan rumus
MAR
1 n Yi Y i . Kemudian menggunakan n i 1
89
Penerapan Model Regresi Linear Robust dengan Estimasi M pada .....
fungsi pembobot wi ( ei* ) / ei* , dengan ei* merupakan nilai residual yang telah distandardisasi, sehingga ei* ei / . Dengan memasukkan nilainilai ini, maka persamaan (2) dapat ditulis menjadi persamaan (3): n
(Y Xb) T wi i X 0 atau i 1 n
X i 1
n T
T
wY i i X wi Xb 0 . i 1
Persamaan (3) agar
lebih mudah dalam
penyelesainnya dapat ditulis dalam bentuk matriks menjadi persamaan (4) : X T WXb X T WY , dengan W merupakan matriks diagonal berukuran , dengan wi sebagai elemen diagonalnya. Persamaan (4) dikalikan dengan (X T WX) 1 pada kedua ruasnya, sehingga menjadi persamaan (5) :
Tabel 1. Data Pengamatan Nilai No.
Y
X1
X2
No.
Y
X1
X2
1.
45
80
64
25.
40
61
65
2.
45
95
65
26.
30
75
64
3.
45
95
70
27.
50
63
72
4.
70
68
64
28.
40
80
64
5.
40
65
65
29.
50
78
64
6.
40
50
64
30.
57
69
70
7.
100
100
76
31.
40
59
65
8.
50
65
72
32.
30
80
75
9.
95
100
76
33.
70
85
77
10.
40
90
64
34.
40
57
64
11.
45
63
65
35.
40
52
63
12.
46
90
66
36.
40
64
66
13.
40
90
65
37.
40
60
65
b (X WX) X WY . Bentuk ini merupakan penyelesaian estimasi parameter regresi linear kuadrat terkecil yang terboboti. Dengan persamaan ini, parameter regresi robust ini dapat diestimasi dengan tepat. Agar lebih efisien, peneliti menggunakan program SPSS Statistics 17 untuk mendapatkan hasil seperti pada persamaan (5) di atas.
14.
50
56
56
38.
45
60
64
15.
65
82
65
39.
40
50
64
16.
50
77
85
40.
40
63
64
17.
50
73
65
41.
51
65
65
18.
60
65
75
42.
65
73
65
19.
45
65
65
43.
50
60
64
Peneliti ingin mengetahui hubungan nilai
20.
45
54
64
44.
40
62
64
kalkulus I (X1) dan nilai trigonometri (X2), terhadap nilai kalkulus II (Y) dengan melihat model regresi linearnya. Dari penelitian yang telah dilakukan oleh
21.
40
61
64
45.
40
82
60
22.
40
77
64
46.
56
61
60
23.
40
76
64
47.
40
67
62
24.
50
81
78
48.
40
64
70
T
1
T
peneliti diperoleh data sebagai berikut.
90
Magistra No. 90 Th. XXVI Desember 2014 ISSN 0215-9511
Penerapan Model Regresi Linear Robust dengan Estimasi M pada .....
Dari data yang telah terkumpulkan seperti pada Tabel 1 di atas diestimasi menggunakan MKT untuk mendapatkan estimasi parameter model regresi linear berganda. Rumus yang digunakan adalah
(X T X)1 X T Y . Agar lebih efisien, peneliti menerapkan program SPSS Statistics 17. Hasil estimasi parameter yang diperoleh, yaitu b0 = 25,029, b1 = 0,304, dan b2 = 0,774 sehingga taksiran model regresi linear, yaitu Yi 0,304 X 1 0, 774 X 2 25, 029 . Dalam penelitian ini, outlier dari suatu pengamatan dapat diidentifikasi dengan metode grafis, dengan melihat boxplot, dan nilai DfFITS. Identifikasi outlier melalui metode grafis dapat menggunakan boxplot. Hasil yang diperoleh menggunakan SPSS Statistics 17 dapat dilihat melalui gambar sebagai berikut.
Gambar 1 Boxplot Identifikasi Outlier
Magistra No. 90 Th. XXVI Desember 2014 ISSN 0215-9511
91
Penerapan Model Regresi Linear Robust dengan Estimasi M pada .....
Berdasarkan data pada Tabel 2, diketahui bahwa tidak terdapat data yang nilainya kurang dari 1,5 kali IQR terhadap Q1, atau nilainya kurang dari
Suatu data dikatakan outlier apabila data tersebut bernilai kurang dari 1,5 IQR terhadap kuartil 1, atau bernilai lebih dari 1,5 IQR terhadap kuartil 3. Oleh karena itu, diperlukan perhitungan nilai kuartil 1, kuartil 3, dan IQR agar dapat mengidentifikasi outlier menggunakan
1,5 kali IQR terhadap Q1, namun terdapat data yang nilainya lebih dari 1,5 kali IQR terhadap Q3. Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa titik yang
boxplot. Adapun perhitungan IQR terlihat pada Tabel 2 berikut.
terdapat di luar kotak boxplot merupakan suatu pengamatan outlier. Selanjutnya data keberapa saja yang merupakan outlier dapat diketahui menggunakan metode DfFITS.
Tabel 2. Perhitungan IQR Variabel
Nilai Q1
Nilai Q3
Nilai IQR
Y
40
50
10
X1
61
80
19
X2
64
67
3
Selain menggunakan metode grafis, peneliti melakukan identifikasi outlier dengan metode DfFITS. Data yang merupakan pengamatan outlier, yaitu data yang nilai mutlak DfFITSnya lebih besar dari 2 p / n 2 2 / 48 0, 408 . Adapun, nilai DfFITS dari data pada Tabel 1 terlihat pada Tabel 3 berikut.
Tabel 3. Nilai DfFITS
92
Data
DfFITS
|DfFITS|
Data
DfFITS
|DfFITS|
Data
DfFITS
|DfFITS|
1
0.18091
0.18091
17
0.06309
0.06309
33
1.08841
1.08841
2
1.21537
1.21537
18
0.80986
0.80986
34
0.08686
0.08686
3
1.30987
1.30987
19
0.00153
0.00153
35
0.03089
0.03089
4
0.65757
0.65757
20
0.24119
0.24119
36
0.15364
0.15364
5 6 7
0.13275 0.02256 5.95372
0.13275 0.02256 5.95372
21 22 23
0.10755 0.29845 0.26806
0.10755 0.29845 0.26806
37 38 39
0.13058 0.08395 0.02256
0.13058 0.08395 0.02256
8
0.03060
0.03060
24
1.31000
1.31000
40
0.11420
0.11420
9
5.12176
5.12176
25
0.13117
0.13117
41
0.15593
0.15593
10
1.21276
1.21276
26
0.57121
0.57121
42
0.44034
0.44034
11
0.01626
0.01626
27
0.00946
0.00946
43
0.27162
0.27162
12
0.61533
0.61533
28
0.41609
0.41609
44
0.11095
0.11095
13
1.15562
1.15562
29
0.07123
0.07123
45
0.67754
0.67754
14
1.74256
1.74256
30
0.23603
0.23603
46
0.92605
0.92605
15
0.70308
0.70308
31
0.12937
0.12937
47
0.12620
0.12620
16
5.74808
5.74808
32
2.13862
2.13862
48
0.40180
0.40180
Magistra No. 90 Th. XXVI Desember 2014 ISSN 0215-9511
Penerapan Model Regresi Linear Robust dengan Estimasi M pada .....
Berdasarkan nilai DfFITS pada Tabel 3 di atas, terlihat bahwa terdapat data yang nilainya lebih besar dari 0,408 (data yang dicetak tebal). Data tersebut menunjukkan pengamatan outlier. Adapun yang termasuk ke dalam pengamatan outlier adalah pada data ke2, ke3, ke4, ke7, ke15, data ke9, data ke 10, data ke12, data ke13, data ke14, data ke15, data ke16, data ke18, data ke24, data ke26, data ke28, data ke32, data ke33, data ke42, data ke45, dan data ke46. Selanjutnya, untuk mengatasi pengamatan
Peneliti melakukan estimasi pa rameter model regresi menggunakan metode kuadrat terkecil, sehingga didapatkan yˆi ,0 , dan menghitung
i ,0 yi yˆi ,0 , yang diperlakukan sebagai nilai awal. Berdasarkan hasil estimasi regresi linear berganda dengan MKT, diperoleh b0 = 25,029, b1 = 0,304, dan b2 = 0,774. Untuk efisiensi perhitungan, peneliti menggunakan program SPSS Statitistics 17. Dari data ini dicari, kemudian dicari nilai estimasi model dan nilai residual, yang hasil selengkapnya dapat dilihat pada data Tabel 4 berikut.
outlier tersebut sehingga diperoleh regresi linear yang tepat digunakan suatu regresi robust estimasi M. Tabel 4. Nilai Estimasi Model dan Nilai Residual No.
X1
X2
Y
Yi ,0
i ,0
No.
X1
X2
Y
Yi ,0
i ,0
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24.
80 95 95 68 65 50 100 65 100 90 63 90 90 56 82 77 73 65 65 54 61 77 76 81
64 65 70 64 65 64 76 72 76 64 65 66 65 56 65 85 65 75 65 64 64 64 64 78
45 45 45 70 40 40 100 50 95 40 45 46 40 50 65 50 50 60 45 45 40 40 40 50
48.827 54.161 58.031 45.179 45.041 39.707 64.195 50.459 64.195 51.867 44.433 53.415 52.641 35.339 50.209 64.169 47.473 52.781 45.041 40.923 43.051 47.915 47.611 59.967
3.827 9.161 13.031 24.821 5.041 0.293 35.805 0.459 30.805 11.867 0.567 7.415 12.641 14.661 14.791 14.169 2.527 7.219 0.041 4.077 3.051 7.915 7.611 9.967
25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48.
61 75 63 80 78 69 59 80 85 57 52 64 60 60 50 63 65 73 60 62 82 61 67 64
65 64 72 64 64 70 65 75 77 64 63 66 65 64 64 64 65 65 64 64 60 60 62 70
40 30 50 40 50 57 40 30 70 40 40 40 40 45 40 40 51 65 50 40 40 56 40 40
43.825 47.307 49.851 48.827 48.219 50.127 43.217 57.341 60.409 41.835 39.541 45.511 43.521 42.747 39.707 43.659 45.041 47.473 42.747 43.355 46.339 39.955 43.327 48.607
3.825 17.307 0.149 8.827 1.781 6.873 3.217 27.341 9.591 1.835 0.459 5.511 3.521 2.253 0.293 3.659 5.959 17.527 7.253 3.355 6.339 16.045 3.327 8.607
Magistra No. 90 Th. XXVI Desember 2014 ISSN 0215-9511
93
Penerapan Model Regresi Linear Robust dengan Estimasi M pada .....
( i*,0 ) i ,0 * w Langkah berikutnya menentukan nilai ˆ 0 dan pembobot awal i ,0 dengan i ,0 . Nilai * i ,0 ˆ 0 dicari dengan . Metode yang digunakan untuk memperoleh fungsi pembobot, yaitu metode Huber, dengan nilai koefisien c = 1,345. Apabila menggunakan nilai seperti pada Tabel 4 diperoleh . Hasil perhitungan pembobot dapat dilihat pada Tabel 5 berikut. Tabel 5. Perhitungan Pembobot Awal
* i ,0
| * i ,0 |
( * i ,0 )
0.30472
0.304722
0.30472
0.72944
0.729437
1.03758
w i ,0
w i ,0
* i ,0
| * i ,0 |
( * i ,0 )
1
0.30456
0.304562
0.30456
1
0.72944
1
1.37806
1.378056
1.345
0.976013
1.037583
1.03758
1
0.011864
0.011864
0.011864
1
1.976352
1.976352
1.345
0.680547
0.70284
0.702843
0.70284
1
0.40139
0.401385
0.40139
1
0.141811
0.141811
0.141811
1
0.02333
0.02333
0.02333
1
0.547257
0.547257
0.547257
1
2.850944
2.850944
1.345
0.471774
0.25615
0.256151
0.25615
1
0.03655
0.036547
0.03655
1
2.177
2.177005
1.345
0.617821
2.452823
2.452823
1.345
0.548348
0.763675
0.763675
0.763675
1
0.9449
0.9449
0.9449
1
0.14611
0.14611
0.14611
1
0.045147
0.045147
0.045147
1
0.036547
0.036547
0.036547
1
0.59041
0.590413
0.59041
1
0.43881
0.438809
0.43881
1
1.00653
1.006529
1.00653
1
0.28036
0.280357
0.28036
1
1.16737
1.16737
1.16737
1
0.179393
0.179393
0.179393
1
1.177721
1.177721
1.177721
1
0.02333
0.02333
0.02333
1
1.12819
1.128195
1.12819
1
0.29134
0.291345
0.29134
1
0.20121
0.20121
0.20121
1
0.47448
0.47448
0.47448
1
0.574807
0.574807
0.574807
1
1.395573
1.395573
1.345
0.963762
0.00326
0.003265
0.00326
1
0.577514
0.577514
0.577514
1
0.324628
0.324628
0.324628
1
0.26714
0.267139
0.26714
1
0.24293
0.242933
0.24293
1
0.50474
0.504738
0.50474
1
0.63023
0.630225
0.63023
1
1.27757
1.27757
1.27757
1
0.60602
0.60602
0.60602
1
0.26491
0.26491
0.26491
1
0.79361
0.793614
0.79361
1
0.68533
0.685325
0.68533
1
94
Magistra No. 90 Th. XXVI Desember 2014 ISSN 0215-9511
Penerapan Model Regresi Linear Robust dengan Estimasi M pada .....
Dari data di atas disusun matriks pembobot berupa matriks diagonal dengan elemen diagonalnya
Agar persamaan regresi robust dengan estimasi M yang diperoleh dapat dipakai untuk melakukan
adalah wi ,0 . Kemudian, peneliti menghitung penaksir koefisien regresi menggunakan rumus tersebut sehingga diperoleh nilai estimasi parameter yaitu :
prediksi secara cermat, koefisien regresi pada model
12,943 brobust ke1 0,199 . Agar lebih efisien dalam 0,694
koefisien regresi linear pada model regresi robust
perhitungan, peneliti menggunakan program SPSS
regresi linear robust dengan estimasi M perlu diuji signifikansinya terlebih dahulu. Dalam penelitian ini, perlu dilakukan uji secara individu dan uji serentak. Pada uji individu ini, peneliti menguji variabel X1 dan X2 secara terpisah. Hipotesis yang digunakan, yaitu: H0 : Koefisien model regresi robust tidak
Statistics 17. Estimasi penaksir koefisien regresi dengan iterasi dilakukan secara terus menerus, hingga diperoleh penaksir yang konvergen. Hasilnya seperti
signifikan. Taraf signifikansi yang digunakan, yaitu
pada Tabel 6 berikut.
± = 0,05. Statistik uji yang digunakan, yaitu nilai t
signifikan dan H1 : Koefisien model regresi robust
untuk mengambil suatu kesimpulan yang dapat bi dicari menggunakan rumus t s . Nilai thitung yang bi diperoleh terlihat pada Tabel 7 berikut. hitung
Tabel 6. Hasil Iterasi Estimasi Parameter Iterasi
b0,robust
b1,robust
b2,robust
1
12,943
0,199
0,694
2
9,886
0,182
0,663
3
9,220
0,178
0,656
Variabel
Nilai thitung
4
9,052
0,177
0,655
X1
2,023
5
9,051
0,177
0,655
9,049
0,177
0,655
X2
2,142
6 7
9,047
0,177
0,655
8
9,047
0,177
0,655
Berdasarkan data pada Tabel 6, terlihat bahwa selisih estimasi parameter pada iterasi ke8 dan ke7 sudah sama dengan nol sehingga peneliti tidak perlu melakukan perhitungan pada iterasi berikutnya. Hal ini menunjukkan bahwa estimasi parameter telah konvergen, sehingga diperoleh model regresi robust dengan estimasi M, yaitu:
Tabel 7. Nilai t hitung Model Regresi Linear Robust
Dengan mengambil taraf signifikasnsi ± = 0,05 dan n = 48 maka diperoleh nilai ttabel = 2,0106. Dari data pada Tabel 7 di atas diketahui bahwa nilai thitung untuk variabel X1 = 2,023 sedangkan nilai thitung untuk variabel X2 = 2,142. Nilai thitung pada model regresi robust ini, keduanya masingmasing mempunyai yang nilai lebih besar dari nilai t tabel , sehingga keputusanya menolak H0 . Hal ini berarti bahwa koefisien model regresi linear robust X1 dan X 2 , keduanya signifikan.
Y 0,177 X 1 0, 655 X 2 0,947 .
Magistra No. 90 Th. XXVI Desember 2014 ISSN 0215-9511
95
Penerapan Model Regresi Linear Robust dengan Estimasi M pada .....
Pada uji serentak ini, peneliti menguji variabel X 1 dan X 2 secara bersamaan. Hipotesis yang digunakan pada uji serentak yaitu: H0 : Variabel bebas
SIMPULAN DAN SARAN Simpulan
pada model regresi linear robust tidak berpengaruh
Berdasarkan hasil penelitian dan pembahasan
terhadap variabel tak bebasnya, dan H1 : Variabel
yang telah diuraikan di atas dapat disimpulkan bahwa
bebas pada model regresi linear robust berpengaruh
: (1) melalui regresi linear robust dengan estimasi M
terhadap variabel tak bebas. Taraf signifikansi yang
diperoleh suatu estimasi parameter regresi yang
digunakan, yaitu ± = 0,05. Uji statistik yang digunakan
konvergen tanpa harus membuang pengamatan
merupakan Uji F, dengan mencari nilai Fobs sehingga
outliernya. Hal ini berarti regresi linear robust dengan
dapat digunakan untuk mengambil suatu kesimpulan.
Estimasi M dapat digunakan untuk mengatasi suatu
Setelah dihitung, nilai Fobs untuk model regresi linear
data yang mengandung pengamatan outlier. (2) Dari
robust diperoleh sebesar 4,757. Berdasarkan tabel
model regresi robust yang telah didapat tersebut
statistik dengan mengambil ± = 0,05, dk RKR = 2,
diperoleh suatu model regresi robust dengan
dan dk RKG = 45 diperoleh nilai Ftabel = 3,204. Karena
persamaan : . Dari model regresi linear robust ini dapat
nilai Fobs pada model regresi robust lebih besar
digunakan untuk memprediksikan suatu nilai kalkulus
daripada nilai F tabel maka peneliti menolak H 0 .
II secara tepat.
Keputusan ini menunjukkan bahwa variabel bebas pada model regresi linear robust berpengaruh terhadap
Saran
variabel tak bebasnya.
Pada
penelitian
ini
peneliti
hanya
Dari kedua uji hipotesis di atas menunjukkan
menggunakan estimasi M untuk mengatasi outlier,
bahwa koefisien parameter model regresi robust
sehingga untuk penelitian selanjutnya disarankan
signifikan dan variabel independennya berpengaruh
dapat menggunakan metode estimasi robust yang lain,
terhadap variabel dependennya. Hal ini berarti bahwa
seperti estimasi S, LTS, LMS, dan MM. Disamping
model regresi robust dengan estimasi M pada nilai
itu, peneliti hanya menggunakan data sekunder yang
kalkulus II sebagai variabel dependen dan nilai
sudah ada. Dari data itu, peneliti tidak melakukan
kalkulus I dan nilai trigonometri sudah tepat.
analisis butir soal dan tidak memeriksa validitas maupun realibilitas butir soal. Oleh karena itu, peneliti menyarankan kepada penelitian berikutnya untuk melakukan analisis validitas dan realibilitas yang menjamin bahwa soal yang diujikan benarbenar valid.
96
Magistra No. 90 Th. XXVI Desember 2014 ISSN 0215-9511
Penerapan Model Regresi Linear Robust dengan Estimasi M pada .....
DAFTAR PUSTAKA Bain, L.J. and M. Engelhardt. 1992. Introduction to
Dudewicz, E. J. and S. Mishra.1988. Modern
Prabability and Mathematical Statistics. Second
Mathematical Statistics. John Wiley and Sons
Edition. Duxbury Press, California.
Inc., New York.
Bartle, R. G. 1992. Introduction to Real Analysis. John Willey and sons Inc., Singapore. Budiyono. 2004. Statistik untuk Penelitian. Surakarta: UNS Press.
Huber, P. J. 1980. Robust Statistics. John Wiley and Sons Inc., New York. Sembiring, R. K. 1995. Analisis Regresi. ITB, Bandung.SPSS Statistics 17.
Chen, Colin.2002. Robust Regression and Outlier Detection with the RobustREG Procedure. SUGI Paper : 265267, SAS Institute, Cary, NC.
Magistra No. 90 Th. XXVI Desember 2014 ISSN 0215-9511
97
