PENERAPAN DAN STUDI SIMULASI GRAFIK PENGENDALI T

PENERAPAN DAN STUDI SIMULASI GRAFIK PENGENDALI T2 HOTELLING UNTUK PENGAMATAN INDIVIDUAL MENGGUNAKAN ESTIMATOR ROBUST RMCD (REWEIGHTED MINIMUM COVARIANCE DETERMINANT) APPLICATION AND SIMULATION STUDY OF HOTELLING’S T2 CONTROL CHART FOR INDIVIDUAL OBSERVATION WITH ROBUST ESTIMATOR RMCD (REWEIGHTED MINIMUM COVARIANCE DETERMINANT)

Oleh: Angelita Titis Pertiwi 662011002

TUGAS AKHIR Diajukan kepada Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Matematika guna memenuhi sebagian dari persyaratan untuk mencapai Gelar Sarjana Sains

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN MATEMATIKA UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA 2015

ii

iii

iv

MOTTO “Takut akan Tuhan adalah permulaan pengetahuan.” ― (Amsal 1:7a) “Tata Titi Tatas Titis” ―Pepatah Jawa “A dream is just a dream, A goal is a dream with a plan and a deadline.” ― Harvey MacKay

PERSEMBAHAN

Karya ini ku persembahkan untuk: Keluarga Tercinta

v

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ........................................................................................................................i PERNYATAAN KEASLIAN KARYA TULIS TUGAS AKHIR ................................................ ii PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI TUGAS AKHIR UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS .................................................................................. Error! Bookmark not defined. HALAMAN PENGESAHAN ........................................................................................................iv MOTTO DAN PERSEMBAHAN .................................................................................................. v DAFTAR ISI ..................................................................................................................................vi DAFTAR LAMPIRAN ................................................................................................................ vii ABSTRAK ...................................................................................................................................... 1 ABSTRACT .................................................................................................................................... 2 PENDAHULUAN ........................................................................................................................... 3 MAKALAH PERTAMA ................................................................................................................. 4 MAKALAH KEDUA .................................................................................................................... 17 PEMBAHASAN............................................................................................................................ 30 SIMPULAN ................................................................................................................................... 32 SARAN.......................................................................................................................................... 32 UCAPAN TERIMA KASIH ......................................................................................................... 32 DAFTAR PUSTAKA .................................................................................................................... 33

vi

DAFTAR LAMPIRAN Lampiran 1: Data Karakteristik Kualitas Parfum Remaja Periode April-Desember 2010........... L.1 Lampiran 2: Uji Normalitas Data ................................................................................................ L.6 Lampiran 3: Program R Uji Normalitas Data .............................................................................. L.7 Lampiran 4: Diagram Alir Grafik Pengendali T2 Hotelling ........................................................ L.8 Lampiran 5 : Program R grafik Pengendali T2 Hotelling Biasa .................................................. L.9 Lampiran 6: Nilai Estimasi Least-Square dari Parameter Regresi ............................................L.12 Lampiran 7: Program R grafik Pengendali T2 Hotelling RMCD................................................L.13 Lampiran 8: Gambar-gambar Hasil Studi Simulasi pada Tiga Karakteristik Kualitas ............. L.17 Lampiran 9: Gambar-gambar Hasil Studi Simulasi pada Dua Karakteristik Kualitas .............. L.3 4 Lampiran 10: Program R Studi Simulasi................................................................................... L.6 8 Lampiran 11: Sertifikat Pemakalah ............................................................................................L.72

vii

ABSTRAK Dalam usaha mengendalikan kualitas proses secara multivariat (Multivariate Statistical Process Control) digunakan grafik pengendali T2 Hotelling (Hotelling’s T2 Control Chart). Supaya grafik pengendali T2 Hotelling lebih tegar (robust) terhadap data pencilan (outlier) digunakan estimator vektor rata-rata dan matriks kovariansi robust RMCD sebagai pengganti vektor rata-rata dan matriks kovariansi sampel. Dalam tugas akhir ini diuraikan studi kasus tentang penerapan estimator robust RMCD pada grafik pengendali T2 Hotelling untuk pengamatan individual bivariat (dua variabel) dan trivariat (tiga variabel) beserta studi simulasi yang bertujuan untuk mengetahui kinerja grafik pengendali T2 Hotelling untuk 2 ) dibanding grafik pengamatan individual menggunakan estimator robust RMCD ( TRMCD pengendali T2 Hotelling biasa. Studi kasus dilakukan pada data karakteristik kualitas parfum remaja dari perusahaan “X” yang mempunyai tiga variabel. Studi simulasi dilakukan menggunakan data simulasi. Data simulasi phase I diperoleh dengan membangkitkan data berdasarkan distribusi data asli pada studi kasus, kemudian dikotori dengan outlier. Kinerja 2 grafik pengendali T2 dan TRMCD dapat diketahui dengan membandingkan sensitivitasnya, yaitu menghitung probabilitas signal di luar kendali pada data phase II. Dari studi kasus diketahui 2 bahwa baik grafik pengendali TRMCD bivariat maupun trivariat hanya memerlukan dua kali iterasi untuk mencapai kondisi in control di phase I. Studi simulasi menunjukkan bahwa baik data phase I yang tidak memiliki outlier maupun data phase I yang memiliki outlier dengan pergeseran rata-rata dan konstanta pengali kecil, grafik pengendali T2 memiliki kinerja lebih 2 baik dari grafik pengendali TRMCD walaupun selisihnya tidak banyak. Namun pada data phase I yang memiliki outlier dengan pergeseran rata-rata dan konstanta pengali yang besar, grafik 2 pengendali TRMCD memiliki kinerja yang jauh lebih baik dari grafik pengendali T2. Kata kunci: Hotelling’s T2 Control Chart, Robust Estimator, RMCD, Multivariate Statistical Process Control

1

ABSTRACT Hotelling’s T2 control chart is used to monitor the quality of multivariate process. Estimator of location and scattered matrix RMCD as the replacement of sample mean vector and covariance matrix is used in order to make Hotelling’s T2 control chart more robust toward the outlier. This study will elaborate a case study about the application of robust estimator RMCD in Hotelling’s T2 control chart for bivariate and trivariate individual observation. It will also explain the simulation study which aim for recoqnizing Hotelling’s T2 control chart performance as the individual obseravation using robust estimator RMCD ( 2 ) compare to standard Hotelling T2 control chart. The case study is applied in the data of TRMCD teenager parfume quality characteristics from “X” company which have three variable. The simulation study is done by using simulation data. Phase I simulation data are obtained by generating the data based on the original data distribution in the case study that is interfered 2 by the outlier. Performance of T2 and TRMCD control chart can be recoqnized by comparing their sensitifities (determine the probability of out of control signal in the data phase II). The 2 control chart only need twice case study shows that both the bivariat and trivariat TRMCD iteration to achieve in control condition in phase I. The findings of the simulation study are both free outlier data phase I or data phase I which have outlier with less shifted mean and 2 multiple constant, T2 control chart have better performance than TRMCD eventhough they have less margin. However, in the data phase I which have outlier with more shifted mean and 2 control chart has better performance than T2 control chart. multiple constant, TRMCD Key words: Hotelling’s T2 Control Chart, Robust Estimator, RMCD, Multivariate Statistical Process Control

2

PENDAHULUAN Salah satu alat yang banyak digunakan dalam usaha mengendalikan kualitas proses produksi adalah grafik pengendali kualitas atau control chart karena dalam control chart dapat diketahui kapan proses di luar kendali (out of control). Faktanya pengendalian kualitas tidak cukup dilakukan secara univariat tetapi juga multivariat. Grafik pengendali T2 Hotelling paling banyak digunakan dalam pengendalian proses secara multivariat untuk memonitor vektor rata-rata proses karena dalam grafik pengendali T2 Hotelling menggunakan rata-rata vektor dan matriks kovariansi dari sampel (Montgomery,2009). Karena Vektor rata-rata dan matriks kovariansi sampel sangat sensitif terhadap data pencilan (outlier), dibutuhkan estimator vektor rata-rata dan matriks kovariansi yang tegar untuk membuat grafik pengendali T2 Hotelling. Ada dua grafik pengendali T2 Hotelling, yaitu: untuk data subgrup dan untuk pengamatan individual. Tugas akhir ini merupakan penelitian lanjutan dari Puspitoningrum (2012) yang membahas tentang grafik pengendali T2 Hotelling pada tiga karakteristik kulitas (pH, RI, dan massa jenis) parfum remaja dari perusahaan “X”. Dalam tugas akhir ini digunakan estimator vektor rata-rata dan matriks kovariansi yang robust, estimator Reweighted Minimum Covariance Determinant (RMCD) yang diusulkan oleh Chenouri et al. (2009) supaya grafik pengendali T2 Hotelling untuk pengamatan individual lebih tegar terhadap outlier. Rumusan masalah dari tugas akhir ini adalah bagaimana menerapkan estimator robust RMCD pada grafik pengendali T2 Hotelling untuk pengamatan individual bivariat dan trivariat serta bagaimana kinerja grafik pengendali T2 Hotelling untuk pengamatan individual menggunakan estimator robust RMCD dibanding grafik pengendali T2 Hotelling untuk pengamatan individual klasik. Untuk menjawab rumusan masalah tersebut dilakukan penelitian yang terbagi menjadi dua bagian penelitian. Penelitian pertama dijelaskan pada makalah pertama (Pertiwi et al., 2014a) yang bertujuan untuk menerapkan estimator robust RMCD pada grafik pengendali T2 Hotelling untuk pengamatan individual bivariat dan trivariat, yaitu pada tiga karakteristik kulitas parfum remaja dari perusahaan “X”. Penelitian kedua dilakukan untuk mengetahui kinerja grafik pengendali T2 Hotelling untuk pengamatan individual menggunakan estimator robust RMCD dibanding grafik pengendali T2 Hotelling untuk pengamatan individual klasik. Hasil penelitian kedua disajikan pada makalah kedua (Pertiwi et al., 2014b). Makalah Pertama Judul Dipublikasikan pada Makalah Kedua Judul Dipublikasikan pada

: Penerapan Estimator Robust RMCD pada Grafik Pengendali T2 Hotelling untuk Pengamatan Individual Bivariat dan Trivariat : Seminar Nasional Matematika VIII. Universitas Negeri Semarang. Tanggal 8 November 2014. : Studi Simulasi Grafik Pengendali T2 Hotelling untuk Pengamatan Individual Menggunakan Estimator Robust RMCD : Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2014). Universitas Ahmad Dahlan. Tanggal 27 Desember 2014. 3

Penerapan Estimator Robust RMCD pada Grafik Pengendali T2 Hotelling untuk Pengamatan Individual Bivariat dan Trivariat Angelita Titis Pertiwi1), Adi Setiawan2), Bambang Susanto3) 1) Mahasiswa Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Kristen Satya Wacana Jalan Diponegoro No. 52-60, Salatiga 1) [email protected] 2)3) Dosen Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Kristen Satya Wacana Jalan Diponegoro No. 52-60, Salatiga 2) [email protected] 3) [email protected]

Abstrak Untuk memonitor proses atau kualitas produk secara multivariat, biasa digunakan grafik pengendali T2 Hotelling. Grafik pengendali T2 Hotelling sensitif terhadap titik-titik ekstrim (outliers) karena grafik pengendali T2 Hotelling menggunakan vektor rata-rata dan matriks kovariansi dari sampel. Untuk itu digunakan estimator robust (tegar) RMCD (Reweighted Minimum Covariance Determinant) pada grafik pengendali T2 Hotelling untuk pengamatan individual supaya grafik pengendali T2 Hotelling yang didapat lebih tegar terhadap outliers di phase I. Dalam tulisan ini akan diuraikan tentang penerapan estimator robust RMCD pada grafik pengendali T2 Hotelling untuk pengamatan individual bivariat (dua variabel) dan trivariat (tiga variabel), karena studi kasus dilakukan pada data karakteristik kualitas parfum remaja dari perusahaan “X” yang mempunyai tiga variabel. Variabel yang digunakan adalah karakteristik kualitas yang diukur dalam memonitor kualitas produk parfum remaja, yaitu pH parfum remaja, refractive index (RI) atau index bias parfum remaja setelah dikemas, dan masa jenis parfum remaja. Dari penerapan didapat grafik pengendali T2 Hotelling untuk pengamatan individual menggunakan estimator robust RMCD bivariat dan trivariat yang hanya memerlukan dua kali iterasi untuk mencapai kondisi in control di phase I. Kata Kunci – Hotelling’s T2 Control Chart; Robust Estimator; RMCD; Multivariate Statistical Process Control

A. Pendahuluan Grafik pengendali kualitas atau yang disebut control chart merupakan salah satu alat yang digunakan dalam usaha mengendalikan kualitas proses karena dalam grafik pengendali dapat diketahui kapan proses di luar kendali (out of control). Sering kali dalam pengendalian kualitas tidak cukup dengan pengamatan univariat namun harus secara multivariat. Menurut Montgomery (2009), grafik pengendali T2 Hotelling paling banyak digunakan dalam pengendalian proses secara multivariat untuk memonitor vektor rata-rata proses karena dalam grafik pengendali T2 Hotelling menggunakan vektor rata-rata dan matriks kovariansi dari sampel. Padahal vektor rata-rata dan matriks kovariansi sampel sangat sensitif terhadap titik ekstrim (outliers). Karena itu dibutuhkan estimator vektor rata-rata dan matriks kovariansi populasi yang tegar untuk membuat grafik pengendali T2 Hotelling. Chenouri dkk (2009) mengusulkan untuk menggunakan estimator vektor rata-rata dan matriks kovariansi yang 4

robust (tegar), estimator Reweighted Minimum Covariance Determinant (RMCD), dalam penerapan grafik pengendali T2 Hotelling untuk pengamatan individual. Grafik pengendali T2 Hotelling untuk pengamatan individual menggunakan estimator RMCD ini selanjutnya 2 disebut dengan grafik pengendali 𝑇RMCD . 2 Permasalahannya adalah bagaimanakah menerapkan grafik pengendali 𝑇RMCD bivariat 2 dan trivariat? Studi kasus pun dilakukan untuk menerapkan grafik pengendali 𝑇RMCD bivariat dan trivariat. Studi kasus dilakukan menggunakan Data Karakteristik Kualitas Parfum Remaja Periode April-Desember 2011 yang diperoleh dari Lampiran I Puspitoningrum (2012). Penelitian ini diharapkan dapat memberikan manfaat bagi pembaca tentang penerapan estimator robust khususnya RMCD pada grafik pengendali T2 Hotelling untuk pengamatan individual dalam pengendalian kualitas produk atau proses. B. Tinjauan Pustaka Puspitoningrum (2012) menggunakan grafik pengendali T2 Hotelling untuk memonitor vektor rata-rata proses secara multivariat karena dalam grafik pengendali T2 Hotelling menggunakan rata-rata vektor dan matriks kovariansi dari sampel. Pengestimasian parameter pengendali pada phase I, dalam hal ini vektor rata-rata  dan matriks kovariansi Ʃ dari distribusi normal multivariat N(,Ʃ) adalah hal yang paling penting. Asumsi in control pada data historis phase I tidak selalu benar, maka dari itu dibutuhkan estimator vektor rata-rata dan matriks kovariansi yang lebih tegar terhadap outliers dibanding vektor rata-rata dan matriks kovariansi sampel. Chenouri dkk (2009) mengusulkan untuk menggunakan estimator RMCD untuk diterapkan dalam grafik pengendali T2 Hotelling untuk pengamatan individual. Chenouri dkk (2009) mengusulkan RMCD sebagai estimator rata-rata vektor dan matriks kovariansi yang tegar karena RMCD merupakan estimator yang affine equivariant dengan titik breakdown yang tinggi, laju konvergensi n-1/2, efisiensi tinggi, dan memiliki algoritma aproksimasi yang baik untuk tujuan komputasional. Penjelasan tentang affine equivariant, titik breakdown, laju konvergensi, efisiensi secara statistik dan efisiensi secara komputasi dapat dilihat pada Zhang (2011) dan Vanpaemel (2013). Algoritma aproksimasi untuk estimator RMCD yang baik untuk tujuan komputasional adalah FAST-MCD yang diberikan oleh Rousseeuw dan van Driessen (1999). FAST-MCD sudah diterjemahkan ke dalam software R dalam paket rrcov, robust dan robustbase, dapat dilihat dalam Hubert dkk (2008). 2 Sudah dibuktikan oleh Chenouri dkk (2009) bahwa grafik pengendali 𝑇RMCD lebih tegar dibanding grafik pengendali T2 Hotelling untuk pengamatan individual biasa ketika terdapat outliers pada proses selama phase I. Penelitian juga dilakukan oleh Prastyowati (2009) yang membandingkan ketegaran grafik pengendali T2 Hotelling berbasis overlapping 2 groups menggunakan estimator RMCD dengan grafik pengendali 𝑇RMCD . Penelitian lain dilakukan Variyath dan Vattathoor (2013) yang mengemukakan bahwa pada phase I, grafik pengendali T2 Hotelling menggunakan estimator RMCD baik untuk data dengan jumlah pengamatan dan dimensi (variabel) yang lebih besar dari pada grafik pengendali T2 Hotelling menggunakan estimator RMVE (Reweighted Minimum Volume Ellipsoid). Penelitian tentang 2 grafik pengendali 𝑇RMCD dilakukan pula oleh Mohammadi dkk (2010) dan penelitian tentang 2 ketegaran grafik pengendali 𝑇RMCD phase II dilakukan oleh Mohammadi dkk (2011).

5

C. Metode Penelitian Estimator Reweighted Minimum Covariance Determinant (RMCD) Estimator RMCD merupakan pengembangan dari estimator Minimum Covariance Determinant (MCD), yaitu dengan pembobotan, karena itu perlu mengestimasi estimator MCD terlebih dahulu kemudian barulah mengestimasi estimator RMCD. Algoritma yang terkenal dalam menaksir estimator MCD adalah FAST-MCD yang diusulkan oleh Rousseuw dan van Driessen (1999). Penelitian ini menggunakan Algoritma FAST-MCD yang sudah diterjemahkan ke dalam fungsi CovMcd() pada paket rrcov yang ditulis oleh Todorov (2007) dalam software R. Estimator RMCD untuk vektor rata-rata  dan matriks kovariansi 𝚺 adalah vektor rata-rata yang diberi bobot 𝑛

𝑛

𝒙RMCD =

𝜔𝑖 𝒙𝑖 𝑖=1

𝜔𝑖

(1)

𝑖=1

dan matriks kovariansi 𝑺RMCD = 𝑐𝜂 ,𝑝 𝑑𝜂𝑚,𝑝

𝑛 𝑖=1 𝜔𝑖

𝒙𝑖 − 𝒙RMCD 𝒙𝑖 − 𝒙RMCD ′ 𝑛 𝑖=1 𝜔𝑖

(2)

pembobotan berdasar pada jarak 𝐷 𝒙𝑖 =

𝒙𝑖 − 𝒙MCD ′𝑺−1 MCD 𝒙𝑖 − 𝒙MCD

(3)

sehingga bobot ditentukan dengan persamaan (4) 𝜔𝑖 =

1 0

jika 𝐷 𝒙𝑖 ≤ 𝑞𝜂 , yang lain

(4)

dan 𝑞𝜂 merupakan quantil ke- 𝜂 dari distribusi chi kuadrat. Chenouri dkk (2009) mengusulkan untuk menggunakan 𝜂=0,975 yang dianjurkan dan digunakan oleh Rousseeuw dan van 2 Driessen (1999). Dengan menggunakan 𝑐𝜂 ,𝑝 = (𝜂/𝑃(𝜒(𝑝+2) ≤ 𝑞𝜂 )) membuat 𝑺RMCD konsisten 𝑚 dibawah distribusi normal multivariat. Faktor 𝑑𝜂 ,𝑝 adalah koreksi sampel terbatas (finite sample correction) yang diberikan oleh Pison dkk (2002) pada (5) 𝑑𝜂𝑚,𝑝 =

1 𝑚(det⁡ (𝑺MCD ))

dengan 𝑚 det 𝑺MCD

=

1 𝑚

𝑚

det⁡ (𝑺MCD (𝑗 ) )

(5)

1/𝑝

𝑗 =1

Menurut Pison dkk (2002) 𝑚(det⁡(𝑺MCD )) bernilai sangat kecil ketika ukuran sampel m kecil, dan untuk p tertentu 𝑚(det⁡(𝑺MCD )) naik secara monoton ke 1 ketika m mendekati tak hingga. Dalam penelitian ini faktor koreksi sampel terbatas 𝑑𝜂𝑚,𝑝 belum digunakan dalam penghitungan 𝑺RMCD , sehingga dianggap 𝑑𝜂𝑚,𝑝 = 1.

6

Grafik Pengendali T2 Hotelling untuk Pengamatan Individual Menggunakan Estimator RMCD Pengamatan dikatakan individual apabila ukuran masing-masing sampel n=1. Diberikan m pengamatan individual dengan p karakteristik kualitas yang disusun ke dalam matriks berukuran 𝑚 × 𝑝 pada persamaan (6)

𝑿(𝑚 ×𝑝) =

𝑥11 𝑥21 𝑥𝑚 1

⋮

𝑥12 𝑥22 𝑥𝑚 2

𝑥1𝑝 𝒙1 ′ 𝑥2𝑝 𝒙 2′ ⋱ ⋮ = ⋮ ⋯ 𝑥𝑚𝑝 𝒙𝑚 ′ ⋯

(6)

dengan 𝒙𝑖 ′ = 𝑥𝑖1 𝑥𝑖2 ⋯ 𝑥𝑖𝑝 , i=1,2,...,m menunjukkan pengamatan ke-i dari p-variat dan diasumsikan vektor pengamatan in control, 𝒙𝑖 adalah vektor random identik, independen, dan berdistribusi normal multivariat dinotasikan sebagai 𝑁(𝝁, 𝚺). Bagian yang terpenting dari phase I penerapan grafik pengendali T2 Hotelling adalah mengestimasi parameter vektor rata-rata populasi 𝝁 dan matriks kovariansi populasi 𝚺. Estimator dari 𝝁 dan 𝚺 adalah vektor rata-rata sampel 𝒙 dan matriks kovariansi sampel S, sehingga diperoleh statistik T2 Hotelling pada persamaan (7) (7) 𝑇𝑖 2 = (𝒙𝑖 − 𝒙)′𝑺−1 (𝒙𝑖 − 𝒙). Karena asumsi vektor pengamatan in control tidak selalu benar, serta 𝒙 dan S sangat sensitif terhadap outliers, jadi estimator klasik (𝒙 dan S) digantikan oleh estimator RMCD yang tegar. Didapat statistik T2 Hotelling baru yang diberikan oleh persamaan (8) 2 ′ −1 𝑇RMCD ,𝑖 = 𝒙𝑖 − 𝒙RMCD 𝑺𝑅𝑀𝐶𝐷 𝒙𝑖 − 𝒙RMCD .

(8)

Chenouri dkk (2009) mengusulkan estimasi batas pengendali atas (BPA) untuk grafik 2 pengendali 𝑇RMCD yang diberikan pada persamaan (9) 2 𝑓𝑝,1−𝛼,𝜆 𝑚 = 𝜒𝑝,1−𝛼 +

𝑎1, 𝑝,1−𝛼,𝜆 𝑚

𝑎 2, 𝑝 ,1−𝛼 ,𝜆

(9)

dengan nilai estimasi Least-Square parameter regresi 𝑎1, 𝑝,1−𝛼,𝛾 dan 𝑎2, 𝑝,1−𝛼,𝛾 diberikan oleh Chenouri dkk (2009) pada Tabel 1 halaman 264. Sedangkan BPB (Batas Pengendali Bawah) sama dengan grafik pengendali T2 Hotelling untuk pengamatan individual biasa, BPB = 0. Langkah-langkah Penerapan Grafik Pengendali T2 Hotelling untuk Pengamatan Individual Menggunakan Estimator RMCD Phase I 1. Menggunakan data phase I untuk menaksir vektor rata-rata dan matriks kovariansi menggunakan estimator MCD kemudian dilanjutkan dengan menaksir estimator robust RMCD sehingga didapat 𝒙𝑅𝑀𝐶𝐷 dan 𝑺𝑅𝑀𝐶𝐷 . 2 2. Menghitung 𝑇RMCD dengan menggunakan persamaan (8). 3. Menentukan titik breakdown 1 − 𝜆 = 0,5 atau 0,25 dan 𝛼=0,01 atau 0,001 untuk memilih estimasi least square 𝑎1, 𝑝,1−𝛼,𝜆 dan 𝑎2, 𝑝,1−𝛼,𝜆 dari Chenouri dkk. (2009) pada Tabel 1 halaman 264, kemudian menghitung BPA dari persamaan (9). 7

4. 5. 6. 7.

2 pada langkah Mengkonstruksi grafik pengendali dengan memetakan nilai-nilai 𝑇RMCD 2 dengan batas pengendali atas pada langkah 3. 2 Membuang pengamatan yang 𝑇RMCD > BPA dengan asumsi penyebab diketahui. Melakukan iterasi dari langkah 1 sampai langkah 5 hingga tercapai kondisi in control.

Phase II 2 8. Menghitung 𝑇RMCD menggunakan pengamatan baru dari 𝒙𝑅𝑀𝐶𝐷 dan 𝑺𝑅𝑀𝐶𝐷 yang sudah didapat dari phase I. 2 9. Memetakan 𝑇RMCD ke dalam grafik pengendali dengan batas pengendali yang sudah diperoleh pada Phase I (langkah 4). 10. Mendeteksi pengamatan-pengamatan atau titik-titik di luar kendali (out of control 2 points), yaitu jika 𝑇RMCD > 𝐵𝑃𝐴 , atau polanya. Mendiagnosa proses jika diperlukan. Data yang digunakan dalam penelitian adalah data sekunder yang diperoleh dari Lampiram I Data Karakteristik Kualitas Parfum Remaja Periode April-Desember 2010, Puspitoningrum (2012) yang berdistribusi normal secara multivariat dengan menggunakan uji chi-square (Johnson & Wichern, 2002). Data yang digunakan memiliki tiga variabel (p=3) yang telah ditetapkan sebagai pengendali kualitas, yaitu pH (batas spesifikasi perusahaan 4 sampai 8), refractive index (RI) atau index bias parfum remaja setelah dikemas (batas spesifikasi perusahaan 1,349 sampai 1,369), dan masa jenis parfum remaja (batas spesifikasi perusahaan 0,884 sampai 0,930). Data memiliki sebanyak m=320 pengamatan, 160 pengamatan pertama dianggap sebagai data historis untuk phase I dan 160 pengamatan berikutnya dianggap sebagai pengamatan baru untuk phase II. Pengolahan data dan komputasi menggunakan software R 3.0.1 dan Matlab R2009a. Penelitian dilakukan dengan menerapkan estimator RMCD pada grafik pengendali T2 Hotelling untuk pengamatan individual bivariat 2 (p=2, yaitu kombinasi dua dari tiga variabel) dan trivariat (p=3). Grafik pengendali 𝑇RMCD yang sudah didapat kemudian diamati dan diidentifikasi titik-titik di luar kendali.

D. Hasil dan Pembahasan Sebut variabel 𝑥1 adalah karakteristik kualitas pH, 𝑥2 adalah karakteristik kualitas refractive index (RI) atau indeks bias parfum remaja setelah dikemas, dan 𝑥3 adalah karakteristik kualitas masa jenis. Uji chi-square menunjukkan bahwa data karakteristik kualitas parfum remaja periode April-Desember 2010 berdistribusi normal multivariat. Penerapan Estimator RMCD pada Grafik Pengendali T2 Hotelling untuk Pengamatan Individual Bivariat 2 Hasil penerapan phase I dari grafik pengendali 𝑇RMCD bivariat dengan memilih 𝛼 =0,01; 𝜆 =0,5 diberikan oleh Tabel 1. Menurut Davies dalam Chenouri dkk (2009) kemungkinan titik breakdown tertinggi dari suatu estimator yang affine equivariant adalah (𝑚 − 𝑝 + 1) 2 𝑚. Dipilih 𝜆=0,5 karena pada kasus ini kemungkinan titik breakdown tertinggi yang diperoleh adalah (160 − 2 + 1) 2 160 = 0,49 ≈ 0,5.

8

2 Tabel 1. Hasil Penerapan Prosedur Phase I Grafik Pengendali 𝑇RMCD Bivariat Kombinasi Pembeda 𝑥1 dan 𝑥2 𝑥2 dan 𝑥3 𝑥1 dan 𝑥3 Iterasi Jumlah titik di 1 2 1 I luar kendali Indeks titik di 155 23 & 39 155 luar kendali 2 Nilai 𝑇RMCD titik di luar kendali 𝒙𝑅𝑀𝐶𝐷 ′ 𝑺𝑅𝑀𝐶𝐷

BPA Iterasi Jumlah titik di II luar kendali Indeks titik di luar kendali 2 Nilai 𝑇RMCD titik di luar kendali 𝒙𝑅𝑀𝐶𝐷 ′ 𝑺𝑅𝑀𝐶𝐷

BPA

14,61 & 13,55

13,41 6,83 1,36 −1

1,47 × 10 5,55 × 10−5

11,95

1,36 0,91 −5

5,55 × 10 2,54 × 10−6

−6

2,53 × 10 −1,44 × 10−5

6,82 0,91 −5

−1,44 × 10 1,41 × 10−4

1,47 × 10−1 −7,93 × 10−4

−7,93 × 10−4 1,37 × 10−4

9,6958 0 ( in control)

9,6958 0 ( in control)

9,6958 0 ( in control)

-

-

-

-

-

-

6,84 1,36 −1

1,33 × 10 7,18 × 10−5

1,36 0,91 −5

7,18 × 10 2,54 × 10−6

9,7006

−6

2,46 × 10 −1,50 × 10−5

6,83 0,91 −5

−1,50 × 10 1,38 × 10−4

1,33 × 10−6 −7,05 × 10−4

9,7055

−7,05 × 10−4 1,37 × 10−4

9,7006

Dari Tabel 1 diketahui bahwa dibutuhkan dua kali iterasi untuk mencapai kondisi in 2 control pada prosedur phase I grafik pengendali 𝑇RMCD bivariat di semua kombinasi variabel, yaitu 𝑥1 dan 𝑥2 , 𝑥2 dan 𝑥3 , serta 𝑥1 dan 𝑥3 . Sesuai pada prosedur phase I dilakukan iterasi I untuk langkah 1 sampai 5. Pada langkah 1 didapat estimator MCD dari paket rrcov software R yang diberikan oleh Todorov (2007). Dari estimator MCD dapat dihitung estimator RMCD (𝒙𝑅𝑀𝐶𝐷 dan 𝑺𝑅𝑀𝐶𝐷 ). 𝒙𝑅𝑀𝐶𝐷 iterasi I untuk semua kombinasi secara berurutan adalah 6,83 1,36 ′, 1,36 0,91 ′ dan 6,82 0,91 ′ . 𝑺𝑅𝑀𝐶𝐷 iterasi I untuk semua kombinasi secara berurutan adalah 1,47 × 10−1 5,55 × 10−5

5,55 × 10−5 2,53 × 10−6 , 2,54 × 10−6 −1,44 × 10−5

−1,44 × 10−5 1,47 × 10−1 dan −7,93 × 10−4 1,41 × 10−4

−7,93 × 10−4 1,37 × 10−4

.

2 𝒙𝑅𝑀𝐶𝐷 dan 𝑺𝑅𝑀𝐶𝐷 digunakan untuk menentukan nilai 𝑇RMCD sesuai langkah 2 menurut persamaan (8). Kemudian BPA dihitung berdasarkan langkah 3, yaitu memilih 𝛼 =0,01; 𝜆 =0,5. Karena sudah diketahui p=2, sehingga digunakan nilai estimasi 𝑎1, 𝑝,1−𝛼,𝜆 =1387,415 dan 𝑎2, 𝑝,1−𝛼,𝜆 =1,6321. Dengan menggunakan persamaan (9) didapatkan BPA untuk setiap kombinasi sama, yaitu 9,6958 karena pada iterasi I jumlah pengamatan masih sama (160 pengamatan) untuk setiap kombinasi. Untuk mendapatkan grafik pengendali

9

2 2 dan BPA, grafik pengendali 𝑇RMCD bivariat iterasi I pada phase I dilakukan pemetaan 𝑇RMCD ini ditunjukkan oleh Gambar 1, Gambar 2, dan Gambar 3.

2 Gambar 1. Grafik pengendali 𝑇RMCD iterasi I phase I untuk variabel 𝑥1 dan 𝑥2

2 Gambar 2. Grafik pengendali 𝑇RMCD iterasi I phase I untuk variabel 𝑥2 dan 𝑥3

2 Gambar 3. Grafik pengendali 𝑇RMCD iterasi I phase I untuk variabel 𝑥1 dan 𝑥3

Dari grafik pengendali iterasi I pada Gambar 1, Gambar 2, dan Gambar 3 dapat 2 diketahui ada titik-titik di luar kendali (𝑇RMCD > BPA). Pada kombinasi pertama (𝑥1 dan 𝑥2 ) 2 terdapat satu titik di luar kendali di indeks ke-155 dengan nilai 𝑇RMCD ,155 = 13,41. Pada kombinasi kedua (𝑥2 dan 𝑥3 ) terdapat dua titik di luar kendali di indeks 23 dan 39 dengan nilai 2 2 𝑇RMCD ,23 = 14,61 dan 𝑇RMCD ,39 = 13,55. Pada kombinasi ketiga (𝑥1 dan 𝑥3 ) terdapat titik di 2 luar kendali di indeks 155 dengan nilai 𝑇RMCD ,155 = 11,95. Titik-titik di luar kendali ini kemudian dihapus dengan asumsi penyebab diketahui. Setelah menghapus titik-titik di luar kendali dilakukan iterasi II, yaitu dengan mengulang langkah 1 sampai 5. Pada iterasi II estimator RMCD vektor rata-rata, 𝒙𝑅𝑀𝐶𝐷 yang baru untuk semua kombinasi, secara berurutan yaitu 6,84 1,36 ′, 1,36 0,91 ′ dan 6,83 0,91 ′. Sedangkan SRMCD yang baru untuk semua kombinasi secara berurutan yaitu: 1,33 × 10−1 7,18 × 10−5

7,18 × 10−5 2,46 × 10−6 , 2,54 × 10−6 −1,50 × 10−5

−1,50 × 10−5 1,33 × 10−6 dan −7,05 × 10−4 1,38 × 10−4

−7,05 × 10−4 1,37 × 10−4

.

Dengan menggunakan 𝒙𝑅𝑀𝐶𝐷 dan 𝑺𝑅𝑀𝐶𝐷 yang baru dihitung kembali nilai-nilai . BPA dihitung kembali menggunakan parameter-parameter yang sama pada iterasi I, yang berubah adalah jumlah pengamatan karena sudah dilakukan penghapusan pada iterasi I. Didapat BPA yang baru untuk kombinasi pertama hingga ketiga, secara berurutan yaitu 9,7006; 9,7055; dan 9,7006. BPA untuk kombinasi pertama dan ketiga sama karena jumlah 2 titik di luar kendali yang dihapus sama. Kemudian dilakukan pemetaan 𝑇RMCD dan BPA. 2 𝑇RMCD

10

Ternyata pada iterasi II sudah dicapai kondisi in control, yaitu kondisi dimana tidak ada nilai 2 𝑇RMCD > BPA atau dengan kata lain tidak ada titik di luar kendali. Iterasi dihentikan karena sudah dicapai kondisi in control, artinya phase I selesai dilakukan dan dapat dilanjutkan 2 dengan phase II, langkah 7 sampai langkah 9. Grafik pengendali 𝑇RMCD bivariat dalam kondisi in control iterasi II phase I pada semua kombinasi ditunjukkan secara berurutan oleh Gambar 4, Gambar 5, dan Gambar 6.

2 Gambar 4. Grafik pengendali 𝑇RMCD bivariat iterasi II phase I untuk variabel 𝑥1 dan 𝑥2

2 Gambar 5. Grafik pengendali 𝑇RMCD bivariat iterasi II phase I untuk variabel 𝑥2 dan 𝑥3

2 Gambar 6. Grafik pengendali 𝑇RMCD bivariat iterasi II phase I untuk variabel 𝑥1 dan 𝑥3 2 Pada langkah 7 dihitung 𝑇RMCD dari pengamatan baru (data ke-161 sampai ke-320) mengunakan 𝒙𝑅𝑀𝐶𝐷 dan 𝑺𝑅𝑀𝐶𝐷 yang sudah didapat pada kondisi in control phase I. 2 Kemudian 𝑇RMCD dan BPA (dari kondisi in control phase I) dipetakan sehingga didapat grafik 2 pengendali 𝑇RMCD bivariat baru. Titik-titik di luar kendali pengamatan baru dapat dideteksi 2 2 dengan grafik pengendali 𝑇RMCD bivariat pada phase II ini. Grafik pengendali 𝑇RMCD bivariat phase II untuk semua kombinasi secara berurutan diberikan oleh Gambar 7, Gambar 8, dan 2 Gambar 9. Hasil penerapan estimator RMCD pada grafik pengendali 𝑇RMCD bivariat phase II diberikan oleh Tabel 3.

2 Gambar 7. Grafik pengendali 𝑇RMCD bivariat phase II untuk variabel 𝑥1 dan 𝑥2

2 Gambar 8. Grafik pengendali 𝑇RMCD bivariat phase II untuk variabel 𝑥2 dan 𝑥3

11

2 Gambar 9. Grafik pengendali 𝑇RMCD bivariat phase II untuk variabel 𝑥1 dan 𝑥3

2 Tabel 3. Hasil Penerapan Prosedur Phase II Grafik Pengendali 𝑇RMCD Bivariat 2 Kombinasi Jumlah Titik di Indeks Titik di Luar Nilai 𝑇RMCD Titik di Luar Luar Kendali Kendali Kendali 𝑥1 dan 𝑥2 3 32 ;94;123 22,25; 10,64; 23,41 𝑥2 dan 𝑥3 6 61;73;78;93;103;104 11,09; 17,49; 20,92; 18,39; 28,55; 26,59 𝑥1 dan 𝑥3 2 32;123 24,11; 23,22 2 Dari Tabel 3 diketahui bahwa pada grafik pengendali 𝑇RMCD bivariat phase II untuk variabel 𝑥1 dan 𝑥2 yang diberikan oleh Gambar 7, ada tiga titik di luar kendali, yaitu pada 2 indeks 32, 94, dan 123, dengan nilai 𝑇RMCD secara berurutan adalah 22,25; 10,64; dan 23,41. 2 Diketahui pula pada grafik pengendali 𝑇RMCD bivariat phase II untuk variabel 𝑥2 dan 𝑥3 yang diberikan oleh Gambar 8, ada enam titik di luar kendali, yaitu pada indeks 61,73,78,93,103, 2 secara berurutan adalah 11,09; 17,49; 20,92; 18,39; 28,55; dan dan 104, dengan nilai 𝑇RMCD 2 26,59. Pada grafik pengendali 𝑇RMCD bivariat phase II untuk variabel 𝑥1 dan 𝑥3 yang diberikan 2 oleh Gambar 9, ada dua titik di luar kendali, yaitu pada indeks 32 dan 123, dengan nilai 𝑇RMCD secara berurutan adalah 24,11 dan 23,22.

Penerapan Estimator RMCD pada Grafik Pengendali T2 Hotelling untuk Pengamatan Individual Trivariat Masih dipilih 𝜆=0,5 karena pada kasus ini kemungkinan titik breakdown tertinggi yang diperoleh adalah (160 − 3 + 1) 2 160 = 0,49 ≈ 0,5. Hasil penerapan prosedur phase I 2 dari grafik pengendali 𝑇RMCD trivariat dengan memilih 𝛼 =0,01 ; 𝜆 =0,5 diberikan oleh Tabel 4. 2 Tabel 4. Hasil Penerapan Prosedur Phase I Grafik Pengendali 𝑇RMCD Trivariat Iterasi Pembeda I II Jumlah Titik di 3 0(in control) Luar Kendali Indeks Titik di 23;39;155 Luar Kendali

12

2 Nilai 𝑇RMCD Titik di Luar Kendali 𝒙𝑅𝑀𝐶𝐷 ′

𝑺𝑅𝑀𝐶𝐷 BPA

16,46; 15,58; 17,51 6,83 1,36 0,91 1,30 × 10−1 4,93 × 10−5 −7,73 × 10−4

4,93 × 10−5 2,25 × 10−5 −1,28 × 10−5

−7,73 × 10−4 −1,28 × 10−5 1,25 × 10−4

14,5162

6,84 1,36 0,91 1,18 × 10−1 7,51 × 10−5 −6,50 × 10−4

7,51 × 10−5 2,18 × 10−5 −1,36 × 10−5

−6,50 × 10−4 −1,36 × 10−5 1,25 × 10−4

14,6166

Dari Tabel 4 diketahui bahwa dibutuhkan dua kali iterasi untuk mencapai kondisi in 2 control pada prosedur phase I grafik pengendali 𝑇RMCD trivariat (𝑥1 ,𝑥2 , dan 𝑥3 ). Sesuai pada prosedur phase I dilakukan iterasi I untuk langkah 1 sampai 5. Pada langkah 1 didapat estimator MCD dari paket rrcov sofware R. Dari estimator MCD dapat dihitung estimator RMCD, 𝒙𝑅𝑀𝐶𝐷 dan 𝑺𝑅𝑀𝐶𝐷 secara berurutan yaitu:

𝒙𝑅𝑀𝐶𝐷

1,30 × 10−1 6,83 = 1,36 ; 𝑺𝑅𝑀𝐶𝐷 = 4,93 × 10−5 0,9 −7,73 × 10−4

4,93 × 10−5 2,25 × 10−5 −1,28 × 10−5

−7,73 × 10−4 −1,28 × 10−5 . 1,25 × 10−4

2 𝒙𝑅𝑀𝐶𝐷 dan 𝑺𝑅𝑀𝐶𝐷 digunakan untuk menentukan nilai 𝑇RMCD sesuai langkah 2 menurut persamaan (8). Kemudian BPA dihitung berdasarkan langkah 3, yaitu memilih 𝛼 =0,01 ; 𝜆 =0,5. Karena sudah diketahui p=3, sehingga digunakan nilai estimasi 𝑎1, 𝑝,1−𝛼,𝜆 =13533,973 dan 𝑎2, 𝑝,1−𝛼,𝜆 = 2,018. Sesuai langkah 3 digunakan persamaan (9) untuk mendapatkan

2 BPA=14,5162. Berikutnya dilakukan pemetaan 𝑇RMCD dan BPA untuk mendapatkan grafik 2 2 pengendali 𝑇RMCD trivariat. Grafik pengendali 𝑇RMCD trivariat iterasi I pada phase I ini ditunjukkan oleh Gambar 10.

2 Gambar 10. Grafik pengendali 𝑇RMCD trivariat iterasi I phase I 2 Dari grafik pengendali 𝑇RMCD trivariat iterasi I phase I pada Gambar 10 dapat diketahui 2 ada tiga titik di luar kendali pada indeks 23, 39, dan 155 dengan nilai 𝑇RMCD secara berturutan adalah 16,46; 15,58; dan 17,51. Sesuai langkah 5, titik-titik di luar kendali ini dihapus dengan asumsi penyebab diketahui. Setelah menghapus titik-titik di luar kendali dilakukan iterasi II, yaitu dengan mengulang langkah 1 sampai 5. Pada iterasi II diperoleh estimator RMCD yang baru secara berurutan adalah 1,18 × 10−1 7,51 × 10−5 −6,50 × 10−4 6,83 −5 𝒙𝑅𝑀𝐶𝐷 = 1,36 dan 𝑺𝑅𝑀𝐶𝐷 = 7,51 × 10 2,18 × 10−5 −1,36 × 10−5 . 0,9 −6,50 × 10−4 −1,36 × 10−5 1,25 × 10−4

13

2 Dengan menggunakan 𝒙𝑅𝑀𝐶𝐷 dan 𝑺𝑅𝑀𝐶𝐷 yang baru dihitung kembali nilai-nilai 𝑇RMCD sesuai langkah 2. BPA dihitung kembali menggunakan parameter-parameter yang sama pada iterasi I, yang berubah adalah jumlah pengamatan karena sudah dilakukan penghapusan pada iterasi I. Dari langkah 3 didapat BPA yang baru, yaitu 14,6166. Kemudian dilakukan 2 pemetaan 𝑇RMCD dan BPA sesuai langkah 4. Ternyata pada iterasi II sudah dicapai kondisi in 2 control, yaitu kondisi dimana tidak ada nilai-nilai 𝑇RMCD > BPA. Iterasi dihentikan karena sudah dicapai kondisi in control, artinya phase I selesai dilakukan dan dilanjutkan dengan 2 prosedur phase II, langkah 7 sampai langkah 9. Grafik pengendali 𝑇RMCD trivariat dalam kondisi in control iterasi II phase I ditunjukkan oleh Gambar 11.

2 Gambar 11. Grafik pengendali 𝑇RMCD trivariat iterasi II phase I 2 Pada langkah 7 dihitung 𝑇RMCD dari pengamatan baru (data ke-161 sampai ke-320) mengunakan 𝒙𝑅𝑀𝐶𝐷 dan 𝑺𝑅𝑀𝐶𝐷 yang sudah didapat pada kondisi in control phase I. 2 Kemudian 𝑇RMCD dan BPA (dari kondisi in control phase I) dipetakan sehingga didapat grafik pengendali baru. Titik-titik di luar kendali pengamatan baru dapat dideteksi dengan grafik 2 2 pengendali 𝑇RMCD trivariat pada phase II ini. Grafik pengendali 𝑇RMCD trivariat hasil penerapan phase II diberikan oleh Gambar 12.

2 Gambar 12. Grafik pengendali 𝑇RMCD trivariat phase II

Pada Gambar 12 diketahui ada sebanyak delapan titik di luar kendali, yaitu pada indeks 32 , 2 46 , 73, 78, 93, 103, 104, dan 123 dengan nilai 𝑇RMCD , secara berurutan yaitu 27,19415; 15,37344; 20,58837; 24,71327; 24,29873; 34,98609; 31,98614; dan 26,98379. E. Simpulan dan Saran Sudah diterapkan estimator robust RMCD pada grafik pengendali T2 Hotelling untuk pengamatan individual bivariat dan trivariat pada data karakteristik kualitas Parfum Remaja periode April-Desember 2010. Ternyata hanya diperlukan dua kali iterasi untuk 2 mencapai kondisi in control di phase I baik pada grafik pengendali 𝑇RMCD bivariat 14

2 trivariat. Puspitoningrum (2012) menyebutkan bahwa maupun grafik pengendali 𝑇RMCD seluruh data memenuhi batas spesifikasi perusahaan, berarti semakin sedikit titik di luar kendali semakin tegar grafik pengendali T2 Hotelling. Dapat dilihat bahwa titik di luar 2 kendali pada grafik pengendali 𝑇RMCD lebih sedikit dibandingkan dengan hasil penelitian Puspitoningrum (2012) yang menggunakan grafik pengendali T2 Hotelling biasa. Perlu penelitian lebih lanjut dengan menggunakan faktor koreksi sampel terbatas (𝑑𝜂𝑚,𝑝 ) pada 2 𝑺𝑅𝑀𝐶𝐷 dan perlu juga penelitian lanjutan mengenai ketegaran grafik pengendali 𝑇RMCD pada banyaknya outliers.

F. Daftar Pustaka [1] Chenouri, S., Steiner, S. H., Variyath, A. M. 2009. A Multivariate Robust Control Chart for Individual Observations. Journal of Quality Technology, Vol 41, No. 3, 259-271. [2] Hubert, Mia, Rousseeuw, Peter J. dan van Aelst, Stefan. 2008. High-Breakdown Robust Multivariate Methods. Statistical Science 2008, Vol. 23, No. 1, 92–119. DOI: 10.1214/088342307000000087. [3] Johnson, R.A. and Wichern, D.W. 2002. Applied Multivariate Statistical Analysis. Third Edition. New Jersey: Prentice Hall. [4] Mohammadi, M., Midi, H., Arasan, J. dan Al-Talib, B. 2011. High Breakdown Estimators to Robustify Phase II Multivariate Control Charts. Journal of Applied Science 11 (3): 503-511. [5] Mohammadi, Mandana, Midi, Habshah dan Arasan, Jayanthi. 2010. Re-weighted Robust Control Charts for Individual Observations. Proceedings of the 6th IMT-GT Conference on Mathematics, Statistics and its Applications (ICMSA2010) Universiti Tunku Abdul Rahman. Kuala Lumpur. [6] Montgomery D.C. 2009. Introduction to Statistical Quality Control. Sixth Edition.United States of America: John Wiley and Sons. [7] Pison, G.,van Alest, S., Willems, G. 2002. Small Sample Corrections for LTS and MCD. Metrika 55, 111-123. [8] Prastyowati, Retno. 2009. Diagram Kontrol T2 Hottelling Berbasis Overlapping Groups Covariance Matrix dengan Penaksir Robust RMCD. Tesis. Program Magister Bidang Keahlian Perencanaan dan Evaluasi Pendidikan Jurusan Statistika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Surabaya: Institut Teknologi Sepuluh Nopember. [9] Puspitoningrum, Fitria. 2012. Penerapan Grafik Hotelling T2 pada Karakteristik Kualitas Parfum Remaja dari Perusahaan “X”. Skripsi. Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Matematika. Salatiga: Univ. Kristen Satya Wacana. [10] Rosseeauw, P. J. and van Driessen, Katrien. 1999. A Fast Algorithm for the Minimum Covariance Determinant Estimator. Technometrics, Vol 41, No. 3, 212223. [11] Vanpaemel, Dina. 2013. Improved Outlier Detection Combining Extreme Value, Nonparametric and Robust Statistics. Dissertation. Doctor in Science. Arenberg Doctoraatsschool, Groep Wetenschap & Technologie. Heverlee: Katholieke Universiteit Leuven.

15

[12] Variyath, Asokan M. dan Vattathoor, Jayasankar. 2013. Robust Control Charts for Monitoring Process Mean of Phase-I Multivariate Individual Observations. Journal of Quality and Reliability Engineering, Volume 2013, Article ID 542305. Hindawi Publishing Corporation. (http://dx.doi.org/10.1155/2013/54230, diakses 8 Oktober 2014). [13] Zhang, Jianfeng. 2011. Applications of A Robust Dispersion Estimator. Research Dissertation. Doctor of Philosophy in Mathematics Department of Mathematics. Carbondale: Southern Illionis University.

16

Studi Simulasi Grafik Pengendali T Hotelling untuk Pengamatan Individual Menggunakan Estimator Robust RMCD 2

Angelita Titis Pertiwia, Adi Setiawanb, Bambang Susantoc Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana Jl. Diponegoro No. 52-60 Salatiga a [email protected] b [email protected] c [email protected]

ABSTRAK

Dalam tulisan ini akan dipresentasikan tentang kinerja grafik pengendali T2 Hotelling 2 untuk pengamatan individual menggunakan estimator RMCD ( TRMCD ) dengan studi simulasi. Data simulasi phase I diperoleh dengan membangkitkan data berdasarkan distribusi data asli (Data Karakteristik Kualitas Parfum Remaja dari Perusahaan “X” ) yang memiliki tiga karakteristik kualitas, kemudian dikotori dengan outlier, yaitu menggeser rata-rata karakteristik kualitas (shift outlier), mengalikan matriks kovariansi dengan konstanta pengali k (scale outlier), dan gabungan shift outlier dengan scale outlier (radial outlier). Proporsi pengotoran outlier yaitu 10%, 20%, dan 30% dari data sebanyak 50 dan 150 pengamatan yang dibangkitkan. Data simulasi phase II diperoleh dengan membangkitkan sebanyak data phase I berdasarkan distribusi data asli namun salah satu rata-rata karakteristik kualitas digeser dari 0 hingga 6σ, dengan σ adalah simpangan bakunya. Penelitian dilakukan dengan 2 membandingkan probabilitas signal di luar kendali hasil penerapan grafik pengendali TRMCD dan T2 biasa dengan 1000 kali pengulangan tanpa penghapusan pada phase I. Studi simulasi menunjukkan bahwa baik data phase I yang tidak memiliki outlier maupun data phase I yang memiliki outlier dengan pergeseran rata-rata dan konstanta pengali kecil, grafik pengendali T2 2 memiliki kinerja lebih baik dari grafik pengendali TRMCD walaupun selisihnya tidak banyak. Namun pada data phase I yang memiliki outlier dengan pergeseran rata-rata dan konstanta 2 memiliki kinerja yang jauh lebih baik dari grafik pengali yang besar, grafik pengendali TRMCD pengendali T2. Kata Kunci : Hotelling’s T2 Control Chart, Robust Estimator, RMCD, Multivariate Statistical Process Control, Studi Simulasi

17

grafik

Pendahuluan Pengestimasian

parameter

pengendali pada phase I dalam penerapan grafik pengendali T2, yaitu vektor rata-rata

 dan matriks kovariansi Ʃ dari distribusi normal multivariat N(,Ʃ) adalah hal yang paling penting. Asumsi in control pada data historis phase I tidak selalu benar, maka dari itu dibutuhkan estimator vektor rata-rata dan matriks kovariansi yang lebih tegar terhadap outliers dibanding vektor rata-rata dan matriks kovariansi sampel yang digunakan dalam grafik pengendali T2 biasa. Chenouri et al. (2009) mengusulkan untuk menggunakan estimator RMCD (Reweighted

Minimum

pengendali

T2.

Studi

simulasi

2 tentang grafik pengendali TRMCD dilakukan

pula oleh Mohammadi et al. (2010) dan Chenouri et al.(2009). Prastyowati (2009) juga menggunakan studi simulasi untuk membandingkan kinerja grafik pengendali Hotelling T2 berbasis overlapping groups menggunakan estimator RMCD dengan grafik

pengendali

T2

Hotelling

2 menggunakan estimator RMCD ( TRMCD )

klasik. Studi simulasi lainnya dilakukan oleh Variyath dan Vattathoor (2013) untuk mengetahui

kinerja

grafik

pengendali

2 2 dan grafik pengendali TRMVE . TRMCD

Puspitoningrum

Covariance

(2012) 2

dalam

menggunakan grafik pengendali T biasa

grafik pengendali T2 Hotelling untuk

untuk data karakteristik kualitas parfum

pengamatan individual karena RMCD

remaja dari perusahaan “X”. Kemudian

merupakan

affine

sebagai penelitian lanjutan Pertiwi et al.

equivariant dengan titik breakdown yang

(2014) menerapkan grafik pengendali yang

tinggi, laju konvergensi n-1/2, efisiensi

lebih tegar terhadap outlier, yaitu grafik

tinggi, dan memiliki algoritma aproksimasi

2 pada data karakteristik pengendali TRMCD

yang baik untuk tujuan komputasional.

kualitas parfum remaja dari perusahaan

Penjelasan tentang affine equivariant, titik

“X”.

breakdown, laju konvergensi, efisiensi

2 pengendali T2 biasa dan TRMCD pada data

Determinant)

secara

untuk

diterapkan

estimator

statistik

dan

yang

efisiensi

secara

Bagaimanakah

grafik

karakteristik kualitas parfum remaja dari

komputasi dapat dilihat pada Vanpaemel

perusahaan

(2013).

kinerja grafik pengendali Studi simulasi adalah cara yang

kinerja

“X”?

Untuk

mengetahui T2 biasa dan

2 pada Data karakteristik kualitas TRMCD

biasa digunakan untuk mengetahui kinerja 18

parfum

remaja

dilakukan

dari

studi

perusahaan simulasi

“X”

1.

rata ( x ) dan matriks kovariansi

dengan

membandingkan grafik pengendali

T

2

2 biasa dan TRMCD pada data simulasi yang

sampel (S) dari data historis phase I. 2.

Menghitung T2 dengan menggunakan persamaan Ti 2  x i  x ' S -1 x i  x  .

dibangkitkan berdasarkan distribusi data karakteristik kualitas parfum remaja dari

Menghitung estimator vektor rata-

3.

Menghitung BPA (Batas Pengendali

perusahaan “X” dengan prosedur yang

Atas) dari Prastyowati (2009) dan

diuraikan pada metode penelitian.

Montgomery (2009). Phase II 4.

Metode Penelitian

p

karakteristik

kualitas

yang

disusun ke dalam matriks berukuran m  p

X ( m p )

 x11 x 21      xm1

dengan i=1,2,...,m

x12 x22  xm 2

 x1 p   c'   x2 p   x 2 '              xmp  x m '

x i '  xi1

pengamatan

ke-i

dari

5.

Memetakan T2 dan batas pengendali II

yang

diberikan

oleh

Montgomery (2009).

(1) 6.



vektor

p-variat

didapat dari phase I.

phase

xi 2  xip ,

menunjukkan

T2 pengamatan baru

menggunakan x dan S yang sudah

Diberikan m pengamatan individual dengan

Menghitung

Mendeteksi titik di luar kendali (out of control), yaitu jika T2 > BPA.

Estimator Tegar RMCD

dan

Perlu menghitung estimator MCD

diasumsikan x i adalah vektor random

(Minimum

identik,

berdistribusi

terlebih dahulu sebelum mengestimasi

normal multivariat dinotasikan sebagai

estimator RMCD (Pertiwi et al., 2014).

Np(,Ʃ).

Algoritma yang terkenal dalam menaksir

independen,

dan

Covariance

Determinant)

estimator MCD adalah FAST-MCD yang Prosedur

implementasi

grafik

diusulkan Rousseuw dan Van Driessen

pengendali T2 biasa

(1999).

Phase I

diimplementasikan ke dalam software R

FAST-MCD

sudah

dalam paket rrcov, robust dan robustbase (Hubert et al.,2008). Dalam penelitian ini 19

digunakan fungsi CovMcd() pada paket rrcov untuk menghitung estimator MCD. Estimator RMCD untuk vektor ratarata 

dan matriks kovariansi Ʃ adalah

digunakan

dalam

sehingga dianggap dm, p  1 .

(2)

implementasi

2 dapat TRMCD

pengendali

 n   n     wi x i  /  wi   i 1   i 1 

S RMCD ,

perhitungan

Prosedur

vektor rata-rata yang diberi bobot

x RMCD

faktor koreksi sampel terbatas dm, p belum

grafik

dilihat

pada

Pertiwi et al. (2014).

dan matriks kovariansi n

S RMCD  c , p dm, p

 w x i 1

i

Prosedur Simulasi

i  x RMCD x i  x RMCD '

Data yang digunakan adalah data

n

w i 1

simulasi yang dibangkitkan berdasarkan

i

.

(3)

digunakan

Pembobotan berdasar pada jarak robust D(x i ) 

1 x i  x MCD 'S MCD x i  x MCD 

(4)

data

asli.

adalah

Data Data

asli

yang

Karakteristik

Kualitas Parfum Remaja dari Perusahaan “X” periode April-Desember 2010 yang memiliki tiga karakteristik kualitas, yaitu

sehingga bobot ditentukan dengan

pH, RI (Refractive Index), dan massa jenis

1 jika D(x i )  q wi   yang lain 0

dan q

distribusi

Sudah diuji oleh Pertiwi et al. (2014) (5)

merupakan quantil ke-

bahwa Data Karakteristik Kualitas Parfum Remaja dari Perusahaan “X” periode April-

dari

Desember

2010

berdistribusi

normal

distribusi chi-kuadrat. Dipilih  =0.975,

multivariat. Data bersih yang digunakan

yang dianjurkan dan digunakan oleh

adalah data yang dibangkitkan berdasarkan

Rousseeuw dan Van Driessen (1999).

distribusi

Dengan menggunakan c , p  ( P( X (2p2)  q ))

Parfum Remaja dari Perusahaan “X”

membuat

S RMCD

konsisten

dibawah

distribusi normal multivariat. Faktor dm, p adalah koreksi sampel terbatas (finite sample correction) yang diberikan oleh Pison et al. (2002). Dalam penelitian ini

Data

Karakteristik

Kualitas

periode April-Desember 2010 yang sudah dihapus outlier-nya menggunakan grafik 2 pengendali TRMCD . Data yang dibangkitkan

sebanyak m pengamatan dengan m=50 dan m=150, p karakteristik kualitas dengan p=2 20

(kombinasi 2 dari 3) dan p=3 baik untuk

30%. Prosedur pengotoran outlier data

data phase I maupun phase II.

phase I sebagai berikut:

Data phase I dikotori oleh 3 jenis

Kasus 2. Shift outlier pergeseran kecil (σ).

outlier menurut Permana (2009), yaitu: 1.

Kasus 1. Tidak memiliki outlier.

Shift outlier

Kasus 3. Scale outlier pengali kecil (k=5).

Pengotoran menggunakan shift outlier

Kasus 4. Radial outlier pergeseran dan

dilakukan dengan menggeser vektor rata-rata sehingga merubah pusat data

Kasus 5. Shift outlier pergeseran besar (6σ).

(pusat

Kasus 6. Scale outlier pengali besar (k=30).

elipsoid).

Pengotoran

shift

outlier diberikan oleh persamaan (6) f (.)  (1   ) N p ( , )  N p ( * , ) .

2.

pengali kecil.

Kasus 7. Radial outlier pergeseran dan pengali besar.

(6)

Kasus 8. Radial outlier pergeseran kecil

Scale outlier

dan pengali besar.

Pengotoran menggunakan scale outlier dilakukan dengan mengalikan matriks

Kasus 9. Radial outlier pergeseran besar dan pengali kecil.

kovariansi dengan konstanta pengali k sehingga merubah bentuk elipsoid.

Menurut Prastyowati (2009) kinerja

Pengotoran scale outlier diberikan

grafik pengendali dikatakan baik apabila

oleh persamaan (7)

cepat membangkitkan tanda ketika terjadi

f (.)  (1   ) N p ( , )  N p ( , k) .

3.

(7)

lain grafik pengendali sensitif terhadap

Radial outlier Pengotoran

menggunakan

radial

outlier dilakukan dengan menggeser vektor

perubahan dalam proses atau dengan kata

rata-rata

dan

mengalikan

matriks kovariansi dengan konstanta

perubahan proses/pergeseran nilai tengah target (vektor rata-rata). Karena itu untuk mengukur kesensitifan grafik pengendali T2

dan

2 terhadap TRMCD

proses

dilihat

pengali k sehingga merubah pusat dan

probabilitas signal/titik di luar kendali pada

bentuk elipsoid. Pengotoran scale

data

outlier diberikan oleh persamaan (9)

berdasarkan distribusi data asli dengan

f (.)  (1   ) N p ( , )  N p ( * , k) .

(9)

Proporsi outlier untuk data phase I adalah 0% (bebas outlier), 10%, 20%, dan

phase

II

yang

dibangkitkan

menggeser salah satu rata-rata karakteristik kualitas sebanyak 0 hingga 6σ, dengan σ adalah simpangan bakunya. Dilakukan 21

1000

kali

pengulangan

pada

setiap

m=150 ditunjukkan secara berurutan oleh

pengukuran, tanpa adanya penghapusan

Gambar 1 dan Gambar 2. Probabilitas

pada prosedur phase I.

signal di luar kendali terhadap pergeseran

Pada studi simulasi ini digunakan

rata-rata RI dan massa jenis analog.

batas pengendali dengan tingkat konfidensi 1-α=0.99.

Probabilitas

signal

di

luar

kendali dari grafik pengendali T2 dan 2 TRMCD

disajikan dalam bentuk grafik.

Probabilitas signal di luar kendali grafik 2 pengendali T2, grafik pengendali TRMCD

menggunakan

λ=0,5

dan

λ=0,75

dinotasikan secara berurutan oleh Biasa, RMCD50 dan RMCD75.

Gambar 1. Probabilitas signal di luar kendali terhadap pergeseran rata-rata pH data Phase II (m=50)

Hasil dan Pembahasan Studi Simulasi pada Data dengan Tiga Karakteristik Kualitas (p=3) Dalam studi simulasi pada data dengan tiga karakteristik kualitas data bersih

yang

dibangkitkan

beristribusi

N3(,Ʃ), dengan  dan Ʃ masing-masing

Gambar 2. Probabilitas signal di luar kendali

sebagai berikut:

terhadap pergeseran rata-rata pH data Phase II 6,85   1,36  0,91

 1,0110     7,9 10 5  5,85 10 4  1

(m=150)

,

Untuk m=50 dan m=150 dengan pergeseran salah satu rata-rata karakteristik

5

7,9 10 1,73 10 6  9,82 10 6

 5,85 10    9,82 10 6  . 9,46 10 5  4

Untuk Kasus 1, probabilitas signal

kualitas pH, RI, atau massa jenis data phase II, kinerja grafik pengendali T2 lebih 2 baik dibanding TRMCD karena T2 lebih

di luar kendali terhadap pergeseran rata-

sensitif terhadap perubahan proses. Pada

rata pH data Phase II dengan m=50 dan

2 m=50 grafik pengendali TRMCD dengan

22

λ=0,5 memiliki kinerja lebih baik dari pada λ=0,75. Pada

2 grafik pengendali TRMCD

m=150 nilai RMCD50 dan RMCD75 selalu

berhimpitan,

artinya

2 dengan pengendali TRMCD

grafik

λ=0,5 dan

λ=0,75 memiliki kinerja yang sama-sama baik. Untuk Kasus 2, Kasus 3, dan Kasus Gambar 4. Probabilitas signal di luar kendali terhadap 2

2 RMCD

4 grafik pengendali T dan T

memiliki

pergeseran rata-rata pH data phase II, 20% Kasus 4, m=50

kinerja yang hampir sama dengan Kasus 1 rata-rata

Untuk Kasus 5, Kasus 6, dan Kasus 7

karakteristik kualitas data phase II. Kinerja

dengan proporsi 10%, 20%, dan 30 %

2 hampir grafik pengendali T2 dan TRMCD

2 outlier grafik pengendali TRMCD memiliki

sama, tidak ada penurunan kinerja yang

kinerja yang jauh lebih bagus dibandingkan

berarti pada proporsi 10%, 20%, maupun

grafik pengendali T2 di pergeseran rata-rata

30% outlier kecuali pada pergeseran rata-

semua karakteristik kualitas data phase II.

rata pH phase II. Untuk Kasus 3 dan Kasus

Namun pada pergeseran rata-rata pH data

4 penurunan kinerja secara berurutan

phase II baik grafik pengendali T2 maupun

dimulai pada proporsi 30% dan 20%

2 grafik pengendali TRMCD memiliki kinerja

outlier, ditunjukkan Gambar 3 dan Gambar

paling

4.

pergeseran rata-rata RI dan massa jenis.

pada

semua

pergeseran

buruk

dibandingkan

pada

Hal ini terjadi karena simpangan baku pH parfum

paling

tinggi,

yaitu

0,3562

dibanding karakteristik kualitas lainnya (simpangan baku RI=0,0014, simpangan baku

massa

jenis=0,0098).

Penurunan

kinerja pada pergeseran rata-rata pH data 2 phase II grafik pengendali T2 dan TRMCD

Gambar 3. Probabilitas signal di luar kendali terhadap

untuk Kasus 5 dimulai pada 10% outlier,

pergeseran rata-rata pH data phase II, 30% Kasus 3,m=50

23

Kasus 6 dan Kasus 7 dimulai pada 20% outlier,

ditunjukkan

oleh

Gambar

5,

Gambar 6, dan Gambar 7.

2 grafik pengendali TRMCD memiliki kinerja

yang lebih baik dari pada data dengan 2 m=50. Pada m=50 grafik pengendali TRMCD

dengan λ=0,5 memiliki kinerja lebih baik 2 λ=0,75 daripada grafik pengendali TRMCD

dan keduanya memiliki kinerja yang sama baik pada m=150. Hal ini ditunjukkan dengan membandingkan Gambar 8 dan Gambar 9. Gambar 5. Probabilitas signal di luar kendali terhadap pergeseran rata-rata pH data phase II, 10% Kasus 5, m=50

Gambar 8. Probabilitas signal di luar kendali terhadap pergeseran rata-rata RI data phase II, 10% Kasus 5, m=50 Gambar 6. Probabilitas signal di luar kendali terhadap pergeseran rata-rata pH data phase II, 20% Kasus 6, m=50

Gambar 9. Probabilitas signal di luar kendali terhadap pergeseran rata-rata RI data phase II,10% Kasus 5,m=150 Gambar 7. Probabilitas signal di luar kendali terhadap pergeseran rata-rata pH data phase II, 20% Kasus 7, m=50

Jika

dibandingkan

berdasarkan

Untuk Kasus 8 dan Kasus 9 secara keseluruhan

grafik

pengendali

2 TRMCD

banyaknya pengamatan maka pada m=150 24

memiliki kinerja yang jauh lebih bagus daripada

grafik

pengendali

2

T.

Dapat dilihat pula pada Gambar 10 dan

Pada

Gambar 11 pada data phase I dengan 20%

pergeseran rata-rata baik pH, RI, maupun

outlier yang memiliki pergeseran rata-rata

massa jenis data phase II kinerja kedua

atau pengali yang besar, grafik pengendali

grafik pengendali lebih bagus untuk Kasus

2 tetap memiliki kinerja yang baik. TRMCD

8 dari pada Kasus 9, artinya kinerja kedua

Pada data phase I dengan 30% outlier yang

grafik pengendali banyak dipengaruhi oleh

memiliki pergeseran rata-rata atau pengali

outlier dengan pergeseran rata-rata dari pada outlier dengan perubahan matriks kovariansi.

Hal

ini

dengan

2 yang besar kinerja grafik pengendali TRMCD

sudah tidak baik.

jelas

ditunjukkan Gambar 10 dan Gambar 11.

Studi Simulasi pada Data dengan Dua Karakteristik Kualitas (p=2) Pada

studi

simulasi

ini

yang

dibahas pertama adalah untuk kombinasi pertama (pH dan RI). Dalam studi simulasi data bersih dari kombinasi ini yang dibangkitkan beristribusi N2(,Ʃ), dengan Gambar 10. Probabilitas signal di luar kendali terhadap pergeseran rata-rata massa jenis data phase II, 20% Kasus 8, m=50

 dan Ʃ masing-masing sebagai berikut: 1,36   0,91



1 5 dan   1,02 10 6,59 10  5 6

6,59 10

1,89 10  .

Sebagian besar hasil hampir sama dengan studi simulasi pada data dengan p=3, hanya saja untuk studi simulasi pada kombinasi pengendali

pertama 2 TRMCD

kinerja

jauh

lebih

grafik bagus.

Terlebih pada hasil simulasi Kasus 5, Gambar 11. Probabilitas signal di luar kendali terhadap pergeseran rata-rata massa jenis data phase II, 20% Kasus 9, m=50

Kasus 6, dan Kasus 7 untuk pergeseran rata-rata pH data phase II perbedaan sangat

25

Studi simulasi selanjutnya adalah

2 terlihat jelas. Kinerja TRMCD sangat bagus

pada p=2 dengan kombinasi pH dan RI 2 buruk pada p=3. sedangkan Kinerja TRMCD

Kinerja grafik pengendali T2 sama-sama buruk baik pada p=2 kombinasi ini maupun pada

p=3.

Perbedaan

kinerja

grafik

2 pengendali T2 dan TRMCD pada data dengan

untuk kombinasi (RI dan massa jenis). Dalam studi simulasi data bersih dari kombinasi

ini

yang

dibangkitkan

beristribusi N2(,Ʃ), dengan  dan Ʃ masing-masing sebagai berikut: 6,85     dan 1,36 

 1,77  10 6  6  9,79  10

 9,79  10 6  .  9,48  10 5 

p=3 dan p=2 ditunjukkan Gambar 12 dan Gambar 13.

Hasil

hampir

sama

dengan

kombinasi karakteristik pH dan RI. Namun pada kombinasi RI dan massa jenis kinerja 2 grafik pengendali TRMCD jauh lebih baik

dibanding pada kombinasi sebelumnya. Sebagai contoh pada Kasus 5 dengan pergeseran rata-rata RI data phase II yang ditunjukkan oleh Gambar 14 dan Gambar 15. Gambar 12. Probabilitas signal di luar kendali terhadap pergeseran rata-rata pH data phase II, 10% Kasus 5, m=50, p=2 kombinasi pertama

Gambar 14. Probabilitas signal di luar kendali terhadap pergeseran rata-rata RI data phase II, 10% Kasus 5, Gambar 13. Probabilitas signal di luar kendali terhadap

m=50, p=2 kombinasi kedua

pergeseran rata-rata pH data phase II, 10% Kasus 5, m=50, p=3

26

Gambar 15. Probabilitas signal di luar kendali terhadap

Gambar 16. Probabilitas signal di luar kendali terhadap

pergeseran rata-rata RI data phase II, 10% Kasus 5,

pergeseran rata-rata pH data phase II, 20% Kasus 9,

m=50, p=2 kombinasi pertama

m=50, p=2 kombinasi pertama

Studi simulasi yang terakhir adalah untuk kombinasi ketiga (pH dan massa jenis). Dalam studi simulasi data bersih dari kombinasi

ini

yang

dibangkitkan

beristribusi N2(,Ʃ), dengan  dan Ʃ masing-masing sebagai berikut: 6,84     dan 0,91

 1,04  10 1  4  5,54  10

 5,54  10 4  .  9,57  10 5 

Gambar 17. Probabilitas signal di luar kendali terhadap pergeseran rata-rata pH data phase II, 20% Kasus 9,

Hasil simulasi pada kombinasi ini tidak jauh berbeda dengan hasil simulasi pada kombinasi pertama dapat dilihat pada Gambar 16 dan Gambar 17.

m=50, p=2 kombinasi ketiga

2 Kinerja grafik pengendali TRMCD

lebih

buruk pada kombinasi ketiga dibanding dengan kombinasi kedua, ditunjukkan oleh Gambar 18 dan Gambar 19.

27

rata-rata dan konstanta pengali yang besar, 2 grafik pengendali TRMCD memiliki kinerja

yang jauh lebih baik dari grafik pengendali T2.

Saran Untuk penelitian selanjutnya faktor Gambar 18. Probabilitas signal di luar kendali terhadap

koreksi sampel terbatas dm, p sebaiknya

pergeseran rata-rata massa jenis data phase II, 30% Kasus 8, m=150, p=2 kombinasi kedua

digunakan

dalam

perhitungan S RMCD

supaya estimator RMCD lebih konsisten. Untuk lebih jelas lihat Pison et al. (2002).

Pustaka

Gambar 18. Probabilitas signal di luar kendali terhadap pergeseran rata-rata massa jenis data phase II, 30% Kasus 8, m=150, p=2 kombinasi ketiga

Kesimpulan Studi simulasi menunjukkan bahwa baik data phase I yang tidak memiliki outlier maupun data phase I yang memiliki outlier dengan pergeseran rata-rata dan konstanta pengali kecil, grafik pengendali T2 memiliki kinerja lebih baik dari grafik pengendali

2 TRMCD

walaupun selisihnya

tidak banyak. Namun pada data phase I yang memiliki outlier dengan pergeseran

Chenouri, S., Steiner, S. H., Variyath, A. M. 2009. A Multivariate Robust Control Chart for Individual Observations. Journal of Quality Technology, Vol 41, No. 3, 259271. Hubert, Mia, Rousseeuw, Peter J. dan van Aelst, Stefan. 2008. HighBreakdown Robust Multivariate Methods. Statistical Science 2008, Vol. 23, No. 1, 92–119. DOI: 10.1214/088342307000000087. Mohammadi, M., Midi, H., Arasan, J. dan Al-Talib, B. 2011. High Breakdown Estimators to Robustify Phase II Multivariate Control Charts. Journal of Applied Science 11 (3): 503-511. Montgomery D.C. 2009. Introduction to Statistical Quality Control. Sixth Edition.United States of America: John Wiley and Sons. Permana, Lucky. 2009. Perbandingan Kinerja RMCD dan MVV dalam Mendeteksi Outlier pada Data p28

Variate. Tesis. Program Magister Jurusan Statistika FMIPA. Surabaya: ITS. Pertiwi, A.T., Setiawan, A., Susanto,B. 2014. Penerapan Grafik Pengendali Estimator Robust RMCD pada Grafik Pengendali T2 Hotteling untuk Pengamatan Individual Bivariat dan Trivariat. Telah diseminarkan pada Seminar Nasional Matematika VIII jurusan Matematika FMIPA UNNES Semarang, 8 November 2014. Pison, G.,van Alest, S., Willems, G. 2002. Small Sample Corrections for LTS and MCD. Metrika 55, 111-123. Prastyowati, Retno. 2009. Diagram Kontrol T2 Hottelling Berbasis Overlapping Groups Covariance Matrix dengan Penaksir Robust RMCD. Tesis. Program Magister Jurusan Statistika FMIPA. Surabaya: ITS. Puspitoningrum, Fitria. 2012. Penerapan Grafik Hotelling T2 pada Karakteristik Kualitas Parfum

Remaja dari Perusahaan “X”. Skripsi. Program Studi Matematika FSM. Salatiga: UKSW. Rosseeauw, P. J. and van Driessen, Katrien. 1999. A Fast Algorithm for the Minimum Covariance Determinant Estimator. Technometrics, Vol 41, No. 3, 212223. Vanpaemel, Dina. 2013. Improved Outlier Detection Combining Extreme Value, Nonparametric and Robust Statistics. Dissertation. Arenberg Doctoraatsschool,GroepWetenscha p&Technologie. Heverlee: Katholieke Universiteit Leuven. Variyath, Asokan M. dan Vattathoor, Jayasankar. 2013. Robust Control Charts for Monitoring Process Mean of Phase-I Multivariate Individual Observations. Journal of Quality and Reliability Engineering, Volume 2013, Article ID 542305. Hindawi Publishing Corporation.

29

PEMBAHASAN Pembahasan uji normalitas data dan program MATLAB yang dipakai pada makalah pertama dapat dilihat di Lampiran 2 halaman L.2. Hasil studi simulasi untuk tiga karakteristik kualitas (p=3) dan dua karakteristik kualitas (p=2) lebih lengkap dapat dilihat pada Lampiran 8 di halaman L.17 dan Lampiran 9 di halaman L.34. Hasil Studi Simulasi pada Data dengan Tiga Karakteristik Kualitas Grafik probabilitas signal di luar kendali terhadap pergeseran pH, RI, dan massa jenis menggunakan data phase I yang bebas outlier secara berurutan ditunjukkan oleh Tabel 4.1, Tabel 4.2, dan Tabel 4.3. Dari tabel ini diketahui bahwa grafik pengendali T2 bekerja lebih 2 , walaupun selisihnya kecil. Juga dapat dibandingkan dengan jelas baik dibanding TRMCD 2 bahwa pada m=50 (Tabel 4.1 sampai 4.3 kolom pertama) grafik pengendali TRMCD dengan 2 λ=0,5 memiliki kinerja lebih baik dari pada grafik pengendali TRMCD λ=0,75. Pada m=150

(Tabel 4.1 sampai 4.3 kolom kedua) nilai RMCD50 dan RMCD75 selalu berhimpitan, artinya 2 grafik pengendali TRMCD dengan λ=0,5 dan λ=0,75 memiliki kinerja yang sama-sama baik. Untuk Kasus 2 (ditunjukkan oleh Tabel 4.4 sampai 4.6), Kasus 3 (ditunjukkan oleh Tabel 4.10 sampai 4.12), dan Kasus 4 (ditunjukkan oleh Tabel 4.16, 4.20, dan 4.24) grafik 2 pengendali T2 dan TRMCD memiliki kinerja yang hampir sama dengan Kasus 1 pada semua pergeseran rata-rata karakteristik kualitas data phase II. Kinerja grafik pengendali T2 dan 2 hampir sama, tidak ada penurunan kinerja yang berarti pada proporsi 10%, 20%, TRMCD maupun 30% outlier kecuali pada pergeseran rata-rata pH phase II (lihat Tabel 4.4, Tabel 4.10, dan Tabel 4.16). Untuk Kasus 5 (ditunjukkan oleh Tabel 4.7 sampai 4.9), Kasus 6 (ditunjukkan oleh Tabel 4.13 sampai 4.15), dan Kasus 7 (ditunjukkan oleh Tabel 4.19, 4.23, dan 4.27) dengan 2 proporsi 10%, 20%, dan 30 % outlier grafik pengendali TRMCD memiliki kinerja yang jauh lebih bagus dibandingkan grafik pengendali T2 di pergeseran rata-rata semua karakteristik kualitas data phase II. Untuk Kasus 8 ditunjukkan oleh Tabel 4.17, 4.21, 4.25 dan Kasus 9 ditunjukkan oleh Tabel 4.18, 4.22, 4.26. Hasil Studi Simulasi pada Data dengan Dua Karakteristik Kualitas (p=2) 1. Kombinasi I (pH dan RI) Kasus 1 ditunjukkan oleh Tabel 5I.1 dan 5I.2 Kasus 2 ditunjukkan oleh Tabel 5I.3 dan 5I.4 Kasus 3 ditunjukkan oleh Tabel 5I.7 dan 5I.8 Kasus 4 ditunjukkan oleh Tabel 5I.11 dan 5I.15 30

Kasus 5 ditunjukkan oleh Tabel 5I.5 dan 5I.6 Kasus 6 ditunjukkan oleh Tabel 5I.9 dan 5I.10 Kasus 7 ditunjukkan oleh Tabel 5I.14 dan 5I.18 Kasus 8 ditunjukkan oleh Tabel 5I.12 dan 5I.16 Kasus 9 ditunjukkan oleh Tabel 5I.13 dan 5I.17

2. Kombinasi II (RI dan Massa Jenis) Kasus 1 ditunjukkan oleh Tabel 5II.1 dan 5II.2 Kasus 2 ditunjukkan oleh Tabel 5II.3 dan 5II.4 Kasus 3 ditunjukkan oleh Tabel 5II.7 dan 5II.8 Kasus 4 ditunjukkan oleh Tabel 5II.11 dan 5II.15 Kasus 5 ditunjukkan oleh Tabel 5II.5 dan 5II.6 Kasus 6 ditunjukkan oleh Tabel 5II.9 dan 5II.10 Kasus 7 ditunjukkan oleh Tabel 5II.14 dan 5II.18 Kasus 8 ditunjukkan oleh Tabel 5II.12 dan 5II.16 Kasus 9 ditunjukkan oleh Tabel 5II.13 dan 5II.17

3. Kombinsi III (pH dan Massa Jenis) Kasus 1 ditunjukkan oleh Tabel 5III.1 dan 5III.2 Kasus 2 ditunjukkan oleh Tabel 5III.3 dan 5III.4 Kasus 3 ditunjukkan oleh Tabel 5III.7 dan 5III.8 Kasus 4 ditunjukkan oleh Tabel 5III.11 dan 5III.15 Kasus 5 ditunjukkan oleh Tabel 5III.5 dan 5III.6 Kasus 6 ditunjukkan oleh Tabel 5III.9 dan 5III.10 Kasus 7 ditunjukkan oleh Tabel 5III.14 dan 5III.18 Kasus 8 ditunjukkan oleh Tabel 5III.12 dan 5III.16 Kasus 9 ditunjukkan oleh Tabel 5III.13 dan 5III.17

31

SIMPULAN Berdasarkan makalah (Pertiwi et al., 2014a) dan (Pertiwi et al., 2014b) dapat disimpulkan: Dari penerapan estimator robust RMCD pada grafik pengendali T2 Hotelling untuk 1. pengamatan individual bivariat dan trivariat pada data karakteristik kualitas Parfum Remaja periode April-Desember 2010 didapat bahwa hanya diperlukan dua kali iterasi 2 untuk mencapai kondisi in control di phase I baik pada grafik pengendali 𝑇RMCD bivariat 2 maupun grafik pengendali 𝑇RMCD trivariat. 2 Lebih lanjut, titik di luar kendali pada grafik pengendali 𝑇RMCD lebih sedikit 2. dibandingkan dengan hasil penelitian Puspitoningrum (2012) yang menggunakan grafik pengendali T2 Hotelling biasa. Studi simulasi menunjukkan bahwa baik data phase I yang tidak memiliki outlier 3. maupun data phase I yang memiliki outlier dengan pergeseran rata-rata dan konstanta pengali kecil, grafik pengendali T2 memiliki kinerja lebih baik dari grafik pengendali 2 walaupun selisihnya tidak banyak. TRMCD 4. Pada data phase I yang memiliki outlier dengan pergeseran rata-rata dan konstanta 2 memiliki kinerja yang jauh lebih baik dari pengali yang besar, grafik pengendali TRMCD 2 grafik pengendali T .

SARAN Saran yang dapat diberikan untuk penelitian berikutnya adalah sebaiknya digunakan faktor koreksi sampel terbatas dm, p supaya perhitungan S RMCD (matriks kovariansi estimator RMCD) lebih konsisten. Penjelasan dapat dilihat pada Pison et al. (2002). UCAPAN TERIMA KASIH Puji dan syukur penulis haturkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa karena senantiasa melimpahkan berkat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini tepat waktu. Penulis menyadari bahwa tugas akhir ini tidak dapat diselesaikan tanpa bantuan dari berbagai pihak. Oleh karena itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada: Dekan Fakultas Sains dan Matematika (FSM) Dr. Surya Satriya Trihandaru, M.Sc.,nat. Dr. Bambang Susanto,M.S selaku Kaprogdi Matematika sekaligus pembimbing pendamping yang telah meluangkan waktu untuk membimbing penulis dan mengoreksi tugas akhir ini. Dr. Adi Setiawan, M.Sc selaku pembimbing utama yang telah meluangkan banyak waktu untuk memberikan arahan, bimbingan, petunjuk dan perbaikan tugas akhir ini.Wali studi, Dra. Lilik Linawati, M.Kom yang telah mendampingi dan memberikan semangat yang tiada henti kepada penulis selama belajar di FSM UKSW hingga selesainya tugas akhir ini. Dosen pengajar Dr. Hanna Arini Parhusip, M.Sc, Tundjung Mahatma, S.Pd, M.Kom, Didit Budi Nugroho, D.Sc, dan Leopoldus Ricky Sasongko, M.Si untuk ilmu dan bimbingan selama penulis belajar di FSM UKSW hingga selesainya tugas akhir ini. Staff FSM: Pak Edy laboran Lab Komputer FSM yang sudah membantu, staff TU Mbak Eny yang banyak sekali memberikan informasi dan Bu Ketut, dan staff FSM lain yang tidak dapat penulis sebutkan satu per satu. Bapak dan Ibu atas doa, semangat, dan pengorbanan yang tiada habisnya, Kakak 32

(A. Ageng D. U.) dan Petrus H.K.G. serta keluarga besar yang telah memberikan semangat dan dukungan yang sangat berarti. Terima kasih untuk sahabat (Priska,Purwoto,Aji,Ferry,Hera dan Yaya), sahabat dan teman seperjuangan Prodi Matematika 2011 (Dewi,Daivi,Dwi,Malik, dan Kevin), fungsionaris LKF-FSM 2012/2013 dan 2013/2014 serta sahabat-sahabat lain yang tidak bisa penulis sebutkan satu persatu yang telah banyak membantu penulis dari awal hingga terselesaikanya tugas akhir ini. Semua pihak yang telah membantu dan terlibat dalam penulisan ini terima kasih banyak. Tuhan Memberkati.

DAFTAR PUSTAKA Chenouri, S., Steiner, S. H., Variyath, A. M. 2009. A Multivariate Robust Control Chart for Individual Observations. Journal of Quality Technology. Vol 41. No. 3. 259-271. Hubert, Mia, Rousseeuw, Peter J. dan van Alest, Stefan. 2008. High-Breakdown Robust Multivariate Methods. Statistical Science 2008. Vol. 23. No. 1. 92–119. DOI: 10.1214/088342307000000087. Johnson, R. A. and Wichern, D.W. 2002. Applied Multivariate Statistical Analysis. Third Edition. New Jersey: Prentice Hall. Mohammadi, M., Midi, H., Arasan, J. dan Al-Talib, B. 2011. High Breakdown Estimators to Robustify Phase II Multivariate Control Charts. Journal of Applied Science 11 (3): 503-511. Mohammadi, Mandana, Midi, Habshah dan Arasan, Jayanthi. 2010. Re-weighted Robust Control Charts for Individual Observations. Proceedings of the 6th IMT-GT Conference on Mathematics. Statistics and its Applications (ICMSA2010) Universiti Tunku Abdul Rahman. Kuala Lumpur. Montgomery, D.C. 2009. Introduction to Statistical Quality Control. Sixth Edition. United States of America: John Wiley and Sons. Permana. Lucky. 2009. Perbandingan Kinerja RMCD dan MVV dalam Mendeteksi Outlier pada Data p-Variate. Tesis. Program Magister Jurusan Statistika FMIPA. Surabaya: Institut Teknologi Sepuluh Nopember. Pertiwi, A.T., Setiawan, A., Susanto,B. 2014a. Penerapan Grafik Pengendali Estimator Robust RMCD pada Grafik Pengendali T2 Hotteling untuk Pengamatan Individual Bivariat dan Trivariat. Prosiding: Seminar Nasional Matematika VIII. Jurusan Matematika. FMIPA. Universitas Negeri Semarang. ISBN 978-602-1034-06-4. Hal. 233-246. Pertiwi, A.T., Setiawan, A., Susanto, B. 2014b. Studi Simulasi Grafik Pengendali T2 Hotelling untuk Pengamatan Individual Menggunakan Estimator Robust RMCD. Prosiding: Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD2014). Universitas Ahmad Dahlan. ISSN :9 772407 749004. Hal. 1358-1371 Pison, G., van Alest, S., Willems, G. 2002. Small Sample Corrections for LTS and MCD, Metrika 55. 111-123. Prastyowati, Retno. 2009. Diagram Kontrol T2 Hottelling Berbasis Overlapping Groups Covariance Matrix dengan Penaksir Robust RMCD. Tesis. Program Magister Bidang Keahlian Perencanaan dan Evaluasi Pendidikan Jurusan Statistika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Surabaya: Institut Teknologi Sepuluh Nopember.

33

Puspitoningrum, Fitria. 2012. Penerapan Grafik Hotelling T2 pada Karakteristik Kualitas Parfum Remaja dari Perusahaan “X”. Skripsi. Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Matematika. Salatiga: Universitas Kristen Satya Wacana. Rosseeauw, P. J. and van Driessen, Katrien. 1999. A Fast Algorithm for the Minimum Covariance Determinant Estimator. Technometrics. Vol 41. No. 3. 212-223. Vanpaemel, Dina. 2013. Improved Outlier Detection Combining Extreme Value. Nonparametric and Robust Statistics. Dissertation. Doctor in Science. Arenberg Doctoraatsschool. Groep Wetenschap & Technologie. Heverlee: Katholieke Universiteit Leuven. Variyath, Asokan M. dan Vattathoor, Jayasankar. 2013. Robust Control Charts for Monitoring Process Mean of Phase-I Multivariate Individual Observations. Journal of Quality and Reliability Engineering. Volume 2013. Article ID 542305. Hindawi Publishing Corporation. Zhang, Jianfeng. 2011. Applications of A Robust Dispersion Estimator. Research Dissertation. Doctor of Philosophy in Mathematics Department of Mathematics. Carbondale: Southern Illionis University.

34

Lampiran 1: Data Karakteristik Kualitas Parfum Remaja Periode April-Desember 2010 RI

Massa Jenis

No

Tanggal

pH

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

04-Apr 04-Apr 04-Apr 04-Apr 04-Apr 04-Apr 05-Apr 05-Apr 05-Apr 05-Apr 05-Apr 05-Apr 06-Apr 06-Apr 06-Apr 06-Apr 06-Apr 06-Apr 07-Apr 07-Apr 07-Apr 07-Apr 07-Apr 08-Apr 08-Apr 08-Apr

6,8 7 6,46 7,11 6,29 7,04 6,95 6,48 6,7 7,1 6,47 7,55 6,21 6,9 6,39 6,75 6,21 6,16 7,13 6,93 6,91 6,55 7 6,82 6,4 7,1

1,364 1,361 1,361 1,364 1,364 1,362 1,364 1,362 1,361 1,361 1,362 1,364 1,362 1,364 1,364 1,364 1,362 1,362 1,361 1,361 1,362 1,361 1,36 1,362 1,362 1,364

0,9028 0,9205 0,9221 0,905 0,9033 0,9234 0,9013 0,921 0,9202 0,9213 0,9252 0,9019 0,901 0,9017 0,9043 0,9011 0,9214 0,9216 0,9278 0,9264 0,9218 0,9226 0,902 0,9197 0,9227 0,9002

27

08-Apr

6,79

28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

08-Apr 12-Apr 12-Apr 12-Apr 12-Apr 13-Apr 13-Apr 13-Apr 14-Apr 14-Apr 14-Apr 15-Apr 15-Apr

6,95 6,81 6,29 6,77 6,62 6,45 6,77 6,96 6,51 6,66 7,03 6,44 7,21

1,364 1,364 1,364 1,361 1,364 1,361 1,362 1,362 1,362 1,362 1,362 1,365 1,365 1,363

0,9052 0,9061 0,9023 0,9209 0,9047 0,9242 0,9267 0,9251 0,9237 0,8984 0,9056 0,9003 0,926 0,9043

No

Tanggal

pH

RI

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

15-Apr 15-Apr 20-Apr 20-Apr 20-Apr 20-Apr 22-Apr 22-Apr 22-Apr 22-Apr 23-Apr 23-Apr 23-Apr 23-Apr 26-Apr 26-Apr 26-Apr 27-Apr 27-Apr 27-Apr 27-Apr 28-Apr 28-Apr 28-Apr 28-Apr 28-Apr 29-Apr 29-Apr 29-Apr 29-Apr 30-Apr 30-Apr 30-Apr 30-Apr 05-Mei 05-Mei 05-Mei 06-Mei 06-Mei 06-Mei

6,78 6,84 6,74 6,45 6,08 7,13 7,06 6,81 7,02 7,24 6,82 7,09 7,15 6,42 7,24 7,42 7,1 7,02 6,83 7,06 6,96 7,26 6,9 6,89 6,62 6,56 6,93 6,91 6,69 6,77 6,82 6,64 6,84 6,27 6,72 6,62 7,05 7,22 6,4 7,01

1,365 1,363 1,363 1,363 1,363 1,361 1,364 1,362 1,361 1,364 1,361 1,363 1,363 1,364 1,364 1,364 1,361 1,361 1,361 1,361 1,364 1,363 1,36 1,362 1,364 1,362 1,364 1,364 1,362 1,362 1,362 1,362 1,362 1,36 1,363 1,364 1,362 1,364 1,362 1,363

Massa Jenis 0,9026 0,9294 0,9181 0,92 0,9185 0,9269 0,9068 0,9095 0,924 0,9034 0,9231 0,9019 0,9015 0,905 0,906 0,9064 0,9248 0,9231 0,9239 0,9249 0,902 0,905 0,9218 0,9024 0,9011 0,918 0,9011 0,8987 0,9125 0,9172 0,9223 0,9201 0,9188 0,921 0,9121 0,9073 0,9192 0,9008 0,9216 0,9198 L.2

Lampiran 1 (Lanjutan 1) No

Tanggal

pH

RI

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120

10-Mei 10-Mei 10-Mei 10-Mei 10-Mei 11-Mei 11-Mei 11-Mei 11-Mei 11-Mei 12-Mei 12-Mei 12-Mei 12-Mei 14-Mei 14-Mei 14-Mei 17-Mei 17-Mei 17-Mei 17-Mei 18-Mei 18-Mei 18-Mei 18-Mei 19-Mei 19-Mei 19-Mei 19-Mei 26-Mei 26-Mei 26-Mei 26-Mei 31-Mei 31-Mei 31-Mei 31-Mei 02-Jun 02-Jun 02-Jun

6,92 6,89 6,99 6,68 6,88 6,96 6,75 7,3 6,53 6,35 6,66 6,34 6,56 6,54 6,21 6,35 6,46 6,75 6,87 7,29 7,06 6,45 7,02 6,5 6,86 6,81 6,89 6,86 6,77 7,16 6,75 6,,69 6,91 6,78 7,26 6,91 6,5 6,84 7,02 6,72

1,364 1,361 1,361 1,362 1,361 1,362 1,364 1,364 1,361 1,361 1,361 1,361 1,363 1,361 1,361 1,364 1,364 1,36 1,361 1,366 1,364 1,364 1,364 1,362 1,364 1,364 1,364 1,362 1,362 1,363 1,361 1,361 1,361 1,364 1,364 1,362 1,364 1,364 1,364 1,362

Massa Jenis 0,901 0,9284 0,9254 0,923 0,925 0,9208 0,9019 0,8949 0,9247 0,922 0,9224 0,9225 0,9197 0,921 0,9254 0,9188 0,903 0,9189 0,9219 0,9011 0,9016 0,9028 0,9044 0,929 0,9018 0,902 0,9025 0,921 0,9232 0,9023 0,9236 0,922 0,9173 0,9051 0,9025 0,923 0,9003 0,9082 0,9033 0,9237

No

Tanggal

pH

121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160

08-Jun 08-Jun 08-Jun 09-Jun 09-Jun 09-Jun 09-Jun 10-Jun 10-Jun 10-Jun 10-Jun 16-Jun 16-Jun 16-Jun 16-Jun 18-Jun 18-Jun 18-Jun 21-Jun 21-Jun 21-Jun 25-Jun 25-Jun 25-Jun 25-Jun 29-Jun 29-Jun 29-Jun 29-Jun 01-Jul 01-Jul 01-Jul 01-Jul 01-Jul 02-Jul 02-Jul 02-Jul 05-Jul 05-Jul 05-Jul

6,87 6,46 7,05 6,86 7,32 6,95 7,09 7,09 6,59 6,87 6,5 6,96 6,7 7,45 6,8 7,08 6,74 7,4 7,36 7,31 6,7 7,69 7,38 7,28 6,74 7,19 6,79 7,41 7,4 6,75 6,37 6,15 6,95 6,9 5,5 7,18 6,78 7,03 6,81 6,94

RI 1,365 1,363 1,363 1,363 1,364 1,364 1,365 1,362 1,361 1,361 1,364 1,363 1,361 1,361 1,361 1,364 1,361 1,361 1,361 1,361 1,361 1,364 1,362 1,364 1,364 1,364 1,363 1,361 1,361 1,361 1,364 1,364 1,364 1,364 1,364 1,364 1,363 1,363 1,364 1,362

Massa Jenis 0,9067 0,9209 0,9268 0,9053 0,9084 0,9045 0,9065 0,924 0,9273 0,9236 0,9056 0,9082 0,9252 0,9232 0,9264 0,9061 0,9236 0,923 0,9231 0,9294 0,9243 0,9068 0,9224 0,9027 0,9058 0,9032 0,9013 0,9251 0,9241 0,9254 0,9169 0,9035 0,9012 0,895 0,922 0,9011 0,9017 0,9005 0,9001 0,9223 L.2

Lampiran 1 (Lanjutan 2) No

Tanggal

161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200

09-Jul 09-Jul 09-Jul 09-Jul 12-Jul 12-Jul 12-Jul 12-Jul 12-Jul 13-Jul 13-Jul 13-Jul 14-Jul 14-Jul 14-Jul 14-Jul 15-Jul 15-Jul 15-Jul 15-Jul 15-Jul 16-Jul 16-Jul 16-Jul 16-Jul 19-Jul 19-Jul 19-Jul 19-Jul 20-Jul 20-Jul 20-Jul 20-Jul 21-Jul 21-Jul 21-Jul 21-Jul 23-Jul 23-Jul 23-Jul

pH 6,46 6,92 6,55 7 6,89 6,64 6,11 6,71 6,97 6,3 7,07 6,86 7,54 7,18 6,92 6,01 6,06 7,16 7,07 7,01 6,86 6,97 7,04 6,96 6,91 6,53 6,94 6,27 6,83 7,21 7,2 5,2 6,2 6,78 6,78 6,82 7 6,65 7,37 6,95

RI 1,362 1,361 1,361 1,362 1,364 1,363 1,361 1,362 1,363 1,362 1,364 1,363 1,363 1,362 1,361 1,361 1,364 1,363 1,362 1,362 1,361 1,361 1,364 1,364 1,364 1,361 1,364 1,364 1,362 1,364 1,364 1,364 1,361 1,361 1,362 1,361 1,361 1,361 1,361 1,361

Massa Jenis 0,9118 0,9203 0,928 0,9197 0,9021 0,9 0,9219 0,9198 0,9012 0,9207 0,9034 0,9038 0,896 0,9012 0,9253 0,925 0,9045 0,8998 0,904 0,9229 0,9223 0,9247 0,9038 0,9022 0,9055 0,9224 0,9053 0,9011 0,9206 0,9018 0,9022 0,8995 0,9193 0,9225 0,9186 0,9225 0,9228 0,9228 0,9271 0,9073

No

Tanggal

pH

201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240

23-Jul 26-Jul 26-Jul 26-Jul 26-Jul 27-Jul 28-Jul 28-Jul 28-Jul 28-Jul 28-Jul 29-Jul 29-Jul 29-Jul 29-Jul 02-Agust 02-Agust 02-Agust 04-Agust 04-Agust 04-Agust 04-Agust 10-Agust 10-Agust 10-Agust 10-Agust 13-Agust 13-Agust 13-Agust 13-Agust 18-Agust 18-Agust 18-Agust 18-Agust 19-Agust 23-Agust 23-Agust 23-Agust 23-Agust 30-Agust

7,02 7,24 6,98 7,3 7,24 7,66 6,94 7,32 6,87 6,89 6,73 6,61 6,95 6,64 6,61 6,64 7,11 7,74 7,17 6,88 7,14 7,27 7,09 7,28 6,72 6,91 7,01 7,23 6,82 7,22 7,02 6,95 6,96 6,77 7,2 7,22 6,91 6,74 6,6 7,18

RI 1,363 1,363 1,363 1,365 1,364 1,364 1,364 1,364 1,362 1,361 1,362 1,361 1,364 1,364 1,361 1,361 1,364 1,364 1,364 1,363 1,364 1,364 1,364 1,364 1,361 1,361 1,364 1,364 1,364 1,361 1,364 1,364 1,36 1,361 1,361 1,361 1,361 1,36 1,362 1,363

Massa Jenis 0,9079 0,9063 0,9141 0,9027 0,9043 0,923 0,914 0,9227 0,9135 0,9252 0,9052 0,9135 0,9252 0,9029 0,9209 0,9206 0,9043 0,9055 0,9094 0,9056 0,9273 0,9063 0,9038 0,8976 0,9216 0,9217 0,9067 0,9053 0,9057 0,9229 0,9061 0,9032 0,9034 0,9235 0,9207 0,922 0,9126 0,9005 0,9025 0,9181

L.3

Lampiran 1 (Lanjutan 3) No

Tanggal

pH

241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280

30-Agust 30-Agust 02-Sep 02-Sep 02-Sep 16-Sep 16-Sep 16-Sep 21-Sep 21-Sep 21-Sep 21-Sep 23-Sep 23-Sep 23-Sep 28-Sep 28-Sep 28-Sep 28-Sep 05-Okt 05-Okt 05-Okt 07-Okt 07-Okt 07-Okt 07-Okt 13-Okt 13-Okt 13-Okt 13-Okt 19-Okt 19-Okt 19-Okt 19-Okt 22-Okt 22-Okt 22-Okt 22-Okt 26-Okt 26-Okt

6,78 6,82 6,59 6,7 6,62 6,65 7,34 6,91 6,87 6,93 6,78 6,65 6,33 6,04 6,5 6,62 6,86 6,97 6,86 6,84 6,15 6,42 6,49 6,67 6,58 6,65 6,21 6,94 6,54 7,35 6,63 6,65 6,52 6,69 6,52 7 6,65 7,15 6,59 6,68

RI 1,364 1,364 1,364 1,362 1,362 1,363 1,362 1,361 1,363 1,363 1,362 1,361 1,366 1,366 1,363 1,362 1,362 1,363 1,363 1,363 1,364 1,363 1,366 1,366 1,364 1,361 1,361 1,364 1,361 1,364 1,361 1,364 1,364 1,361 1,361 1,364 1,361 1,364 1,364 1,363

Massa Jenis 0,9186 0,9174 0,8988 0,9004 0,9204 0,9036 0,9041 0,9075 0,9005 0,9023 0,9035 0,9188 0,9185 0,9028 0,9236 0,9188 0,9185 0,9028 0,9236 0,9188 0,904 0,9162 0,9266 0,9252 0,9013 0,9242 0,9248 0,9032 0,9247 0,9028 0,9251 0,9036 0,9056 0,9236 0,9235 0,9075 0,9251 0,9096 0,9056 0,9059

No

Tanggal

pH

281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320

01-Nop 01-Nop 04-Nop 04-Nop 04-Nop 04-Nop 09-Nop 09-Nop 09-Nop 09-Nop 15-Nop 15-Nop 15-Nop 15-Nop 18-Nop 18-Nop 18-Nop 18-Nop 22-Nop 22-Nop 22-Nop 22-Nop 25-Nop 25-Nop 25-Nop 29-Nop 29-Nop 29-Nop 29-Nop 30-Nop 30-Nop 01-Des 01-Des 01-Des 02-Des 08-Des 08-Des 13-Des 13-Des 13-Des

6,5 6,74 5,08 6,8 7,09 6,85 7,33 6,81 6,87 6,18 6,15 6,38 7,12 6,23 6,86 7,07 7,04 6,71 6,31 7,31 6,51 7,36 6,81 6,9 6,81 7,08 6,92 7,01 7,34 7,33 7,56 6,81 6,91 6,95 7,07 6,73 7,11 6,89 6,6 7,01

RI 1,362 1,363 1,361 1,364 1,363 1,361 1,362 1,361 1,361 1,362 1,364 1,362 1,365 1,364 1,362 1,364 1,364 1,363 1,364 1,366 1,362 1,362 1,362 1,362 1,362 1,364 1,361 1,361 1,362 1,364 1,364 1,362 1,364 1,364 1,363 1,364 1,361 1,361 1,361 1,362

Massa Jenis 0,924 0,9051 0,9212 0,9047 0,9034 0,9043 0,9041 0,9227 1 0,905 0,9042 0,9196 0,9038 0,9055 0,912 0,904 0,9028 0,9224 0,9009 0,9017 0,9204 0,9245 0,9232 0,914 0,9135 0,9054 0,9226 0,9237 0,914 0,902 0,9025 0,9232 0,9031 0,9056 0,9063 0,9031 0,9252 0,915 0,9155 0,9272 L.4

Disimpan ke notepad (Data2010.txt) untuk keperluan pemrograman sebagai contoh: 6.8 7 6.46 7.11 6.29 7.04 6.95 6.48 6.7 7.1 6.47 7.55 6.21 6.9 6.39 6.75 6.21 6.16 7.13 6.93 6.91 6.55 7 6.82 6.4 7.1 6.79 6.95 6.81 6.29 6.77 6.62 6.45 6.77 6.96 6.51 6.66 7.03 6.44 7.21

1.364 1.361 1.361 1.364 1.364 1.362 1.364 1.362 1.361 1.361 1.362 1.364 1.362 1.364 1.364 1.364 1.362 1.362 1.361 1.361 1.362 1.361 1.36 1.362 1.362 1.364 1.364 1.364 1.364 1.361 1.364 1.361 1.362 1.362 1.362 1.362 1.362 1.365 1.365 1.363

0.9028 0.9205 0.9221 0.905 0.9033 0.9234 0.9013 0.921 0.9202 0.9213 0.9252 0.9019 0.901 0.9017 0.9043 0.9011 0.9214 0.9216 0.9278 0.9264 0.9218 0.9226 0.902 0.9197 0.9227 0.9002 0.9052 0.9061 0.9023 0.9209 0.9047 0.9242 0.9267 0.9251 0.9237 0.8984 0.9056 0.9003 0.926 0.9043

L.5

Lampiran 2: Uji Normalitas Data H0: Data berdistribusi normal multivariat H1: Data tidak berdistribusi normal multivariat Menurut Johnson & Wichern (2002) ada dua teknik untuk menyelidiki data yang berdistribusi normal multivariat. 1. Jika separuh dari d 2j kurang dari sama dengan kuantil distribusi chi-square qc, p (0.5) maka data berdistribusi normal multivariat. d 2j  (x j  x )'S 1 (x j  x ) Disini:

x j menunjukkan vektor kolom pengamatan ke-j dengan j=1,2,3,...,m, x dan S secara berurutan adalah vektor rata-rata dan matriks kovariansi sampel. 2. Plot para d 2j yang sudah diurutkan ( d (21)  d (22)  d (23)  ...  d (2m) ) terhadap qc, p ((1  0.5) / m), qc, p ((2  0.5) / m),..., qc, p ((m  0.5) / m) secara berurutan. Jika plot tersebut mendekati garis lurus yang memiliki gradien 1 dan melewati origin maka data berdistribusi normal multivariat. Informasi lebih lengkap dapat di lihat pada halaman 186. Berdasarkan kedua teknik di atas , uji kenormalan untuk data pada Lampiran 1 menunjukkan bahwa H0 diterima karena ada sebanyak 198 > 320/2 d 2j yang kurang dari sama dengan kuantil distribusi chi-square qc, p (0.5) ditunjukkan Gambar L1 dan plot ( d 2j , qc, p (( j  0.5) / m) ) mendekati garis lurus yang memiliki gradien 1 dan melewati origin ditunjukkan oleh Gambar L2.

Gambar L1. Hasil pemetaan squared distance, garis merah menunjukkan qc , p (0.5)

Gambar L2. Hasil Chi-square plot data karakteristik kualitas parfum remaja

L.6

Lampiran 3: Program R Uji Normalitas Data qq.plot_multi<-function(X) { m<-dim(X)[1] p<-dim(X)[2] xbar<-ubah.v(apply(X,2,mean)) sigma<-cov(X) isigma<-solve(sigma) dis<-matrix(0,m,1) for(i in 1:m) { dis[i,1]<-t(ubah.v(X[i,]-xbar))%*%isigma%*%(ubah.v(X[i,]-xbar)) } d<-sort(dis) q<-matrix(0,m,1) for(i in 1:m) { cari<-(i-0.5)/m q[i,1]<-qchisq(cari,p) } u<-1:m x<-1:15 y<-x cs<-qchisq(0.5,p) #plot syarat 2 windows() plot(d,q,type="p",xlim=c(0,25),ylim=c(0,15),xlab="squared distance",ylab="chi-square quantile") par(new=TRUE) plot(x,y,type="l",xlim=c(0,25),ylim=c(0,15),xlab="squared distance",ylab="chi-square quantile") #garis windows() plot(dis,ylab="squared distance",type="p",pch=18) #plot syarat 1 lines(u,rep(cs,length(u)),lty=2,col="red") } #uji normal trivariat Z<-ubah(read.table('Data2010.txt')) qq.plot_multi(Z)

L.7

Lampiran 4: Diagram Alir Grafik Pengendali T2 Hotelling Diagram Alir untuk Phase I

Diagram alir untuk Phase II

L.8

Lampiran 5 : Program R grafik Pengendali T2 Hotelling Biasa #mengubah input data ke matrix ubah <- function(x) { m<-dim(x)[1] n<-dim(x)[2] has<-matrix(0,m,n) for (i in 1:m) { for(j in 1:n) has[i,j]<-x[i,j] } has } #mengubah input data ke vektor kolom ubah.v <- function(x) { m<-length(x) has<-matrix(0,m,1) for (i in 1:m) { has[i,1]<-x[i] } has } #fungsi phase I untuk T2 biasa #M=input data #alfa=tingkat konfidensi Biasa.I<-function(M,alfa) { x<-ubah(M)#mengubah input data ke matriks berukuran mxp m<-dim(x)[1] p<-dim(x)[2] Xbar<-apply(x,2,mean) S<-cov(x) invS<-solve(S) #menghitung T2 T2<-matrix(0,m,1) for (i in 1:m) { coba<-x[i,]-Xbar v<-ubah.v(coba) T2[i,1]<-t(v)%*%invS%*%v } #membuat control chart L.9

qbta<-qbeta(1-alfa,p/2,(m-p-1)/2) UCLf<-(((m-1)^2)/m)*qbta LCLf<-0 BB <- min(LCLf-sd(T2), min(T2)-sd(T2)) BA <- max(UCLf+sd(T2), max(T2)+sd(T2)) plot(T2,ylim=c(BB,BA), type="b", col="blue") u <- seq(1,m,by=0.1) lines(u,rep(UCLf,length(u)),lty=2, col="red") lines(u,rep(LCLf,length(u)),lty=2) text(1,UCLf,"BPA") text(1,LCLf,"BPB") out <- which(T2 > UCLf) #output: indeks outofcontrol,nilai T2 out,S dan X,BPA) hasil<-list(out,T2[out],S,Xbar,UCLf) return(hasil) } #fungsi prosedur phase I T2 biasa ppI.Biasa<-function(X,alfa) { i<-1 tout<-0 pI<-Biasa.I(X,alfa) while(length(pI[[1]])!=0) { i<-i+1 out<-pI[[1]] tout<-c(tout,out) X<-X[-out,] pI<-Biasa.I(X,alfa) } S<-pI[[3]] X<-pI[[4]] BPA<-pI[[5]] #output:banyaknya iterasi,indeks outofcontrol,S dan X in control,BPA has<-list(i,tout,S,X,BPA) return(has) } #fungsi phase II T2 biasa #M=input data baru #Xbar= vektor rata-rata in control #S=matriks kovariansi in control #alfa=tingkat konfidensi Biasa.II<-function(M,Xbar,S,alfa) { L.10

x<-ubah(M) m<-dim(x)[1] p<-dim(x)[2] invS<-solve(S) #menghitung T2 T2<-matrix(0,m,1) for (i in 1:m) { coba<-x[i,]-Xbar v<-ubah.v(coba) T2[i,1]<-t(v)%*%invS%*%v } #membuat control chart qef<-qf(1-alfa,p,m-p) UCLf<-((p*(m+1)*(m-1))/(m*(m-p)))*qef LCLf<-0 BB <- min(LCLf-sd(T2), min(T2)-sd(T2)) BA <- max(UCLf+sd(T2), max(T2)+sd(T2)) plot(T2,ylim=c(BB,BA), type="b", col="blue") u <- seq(1,m,by=0.1) lines(u,rep(UCLf,length(u)),lty=2, col="red") lines(u,rep(LCLf,length(u)),lty=2) text(1,UCLf,"BPA") text(1,LCLf,"BPB") out <- which(T2 > UCLf) #output:banyaknya outofcontrol,indeks out, nilai T2out,BPA hasil<-list(length(out),out,T2[out],UCLf) return(hasil) }

L.11

Lampiran 6: Nilai Estimasi Least-Square dari Parameter Regresi 𝒂𝟏, 𝒑,𝟏−𝜶,𝝀 dan 𝒂𝟐, 𝒑,𝟏−𝜶,𝝀 Tabel Estimasi Nilai Least-Square dari Parameter Regresi 𝑎1, 𝑝,1−𝛼,𝜆 dan 𝑎2, 𝑝,1−𝛼,𝜆 untuk

Dimensi p=2,3,...,10, Tingkat Konfidensi 1 − 𝛼 = 0,99; 0,999 dan Titik Breakdown 1 − 𝜆 = 0,5; 0,25 𝝀 = 𝟎, 𝟓 p

99% quantil 𝒂𝟏, 𝒑,𝟏−𝜶,𝝀 𝒂𝟐, 𝒑,𝟏−𝜶,𝝀

𝝀 = 𝟎, 𝟕𝟓 99,9% quantil 𝒂𝟏, 𝒑,𝟏−𝜶,𝝀 𝒂𝟐, 𝒑,𝟏−𝜶,𝝀

99% quantil 𝒂𝟏, 𝒑,𝟏−𝜶,𝝀 𝒂𝟐, 𝒑,𝟏−𝜶,𝝀

99,9% quantil 𝒂𝟏, 𝒑,𝟏−𝜶,𝝀 𝒂𝟐, 𝒑,𝟏−𝜶,𝝀

2

1387,415

1,632

6225,543

1,795

208,836

1,251

1476,590

1,568

3

13533,973

2,018

71901,268

2,204

830,500

1,474

3530,978

1,647

4

110115,900

2,420

1897062,000

2,917

1709,908

1,563

23453,370

2,050

5

401744,300

2,618

2261387,000

2,838

7625,221

1,868

22914,710

1,950

6

3168654,000

3,060

12987610,000

3,195

13075,115

1,925

55097,744

2,103

7

2733044,000

2,904

10857430,000

3,019

43535,449

2,166

219090,500

2,407

8

5828231,000

3,009

12730200,000

2,976

64711,622

2,197

145095,600

2,223

9

9063979,000

3,048

27445690,000

3,114

80949,116

2,184

195972,600

2,231

10

41396480,000

3,385

471116200,000

3,824

91663,370

2,154

227923,500

2,209

Disimpan ke notepad (leastSquare.txt) untuk keperluan pemrograman sebagai berikut: 1387.415

1.632

6225.543

1.795

208.836

1.251

1476.590

1.568

13533.973

2.018

71901.268

2.204

830.500

1.474

3530.978

1.647

110115.900

2.420

1897062.000

2.917

1709.908

1.563

23453.370

2.050

401744.300

2.618

2261387.000

2.838

7625.221

1.868

22914.710

1.950

3168654.000

3.060

12987610.000

3.195

13075.115

1.925

55097.744

2.103

2733044.000

2.904

10857430.000

3.019

43535.449

2.166

219090.500

2.407

5828231.000

3.009

12730200.000

2.976

64711.622

2.197

145095.600

2.223

9063979.000

3.048

27445690.000

3.114

80949.116

2.184

195972.600

2.231

41396480.000

3.385

471116200.000

3.824

91663.370

2.154

227923.500

2.209

L.12

Lampiran 7: Program R grafik Pengendali T2 Hotelling RMCD #fungsi untuk phase I T2 RMCD #M=input data #eta: dipilih 0.975, Lihat Rouseew & van driessen (1999) #1-lamda= titik breakdown #biasa dipilih lamda=0.5 atau 0.75 Lihat Chenouri et al.(2009) #alfa=0.01 atau 0.001 merupakan tingkat konfidensi RMCD.I<-function(M,eta,lamda,alfa) { #mengubah input M ke matriks x x<-ubah(M) #inisialisasi jumlah pengamatan(m) dan karakteristik kualitas(p) m<-dim(x)[1] p<-dim(x)[2] #menghitung estimator MCD mcd<-CovMcd(x,lamda) Xmcd<-getCenter(mcd) Smcd<-getCov(mcd) invSmcd<-solve(Smcd) #inisialisasi bobot dan jarak robust D<-matrix(0,m,1) w<-matrix(0,m,1) #bobot qeta<-qchisq(eta,p-1) for (i in 1:m) { coba<-x[i,]-Xmcd v<-ubah.v(coba) D[i,1]<-sqrt(t(v)%*%invSmcd%*%v) w[i,1]<-ifelse(D[i,1]<=qeta,1,0) } #pengamtan yg dibobot T<-matrix(0,m,p) for (i in 1:m) { T[i,]<-(w[i,1]*x[i,]) } #estimator vektor rata-rata rmcd Xrmcd<-apply(T,2,sum)/sum(w) #faktor konsistensi c<-eta/pchisq(qeta,p+2) #faktor koreksi sampel terbatas d<-1 #pembilang Srmcd pembilang<-matrix(0,p,p) L.13

for (k in 1:m) { coba<-(x[k,]-Xrmcd) v<-ubah.v(coba) hasil<-w[k,1]*v%*%t(v) pembilang<-pembilang+hasil } Srmcd<-c*d*pembilang/sum(w) invSrmcd<-solve(Srmcd) #menghitung T2rmcd Trmcd<-matrix(0,m,1) for (i in 1:m) { coba<-x[i,]-Xrmcd v<-ubah.v(coba) Trmcd[i,1]<-t(v)%*%invSrmcd%*%v } #membuat control chart #menentukan parameter least square a1 dan a2 (Chenouri,2009) tabel<-read.table('leastSquare.txt') a1.a2<-function(tabel,p,lamda,alfa) { if (lamda==0.5 && alfa==0.01) a<-tabel[p-1,1:2] if (lamda==0.5 && alfa==0.001) a<-tabel[p-1,3:4] if (lamda==0.75 && alfa==0.01) a<-tabel[p-1,5:6] if (lamda==0.75 && alfa==0.001) a<-tabel[p-1,7:8] a } a<-a1.a2(tabel,p,lamda,alfa) a<-ubah(a) a1<-a[1,1] a2<-a[1,2] qcsq<-qchisq(1-alfa,p) UCL<-qcsq+(a1/(m^a2)) LCLf<-0 BB <- min(LCLf-sd(Trmcd), min(Trmcd)-sd(Trmcd)) BA <- max(UCL+sd(Trmcd), max(Trmcd)+sd(Trmcd)) #plot(Trmcd,ylim=c(BB,BA), type="b", col="blue") u <- seq(1,m,by=0.1) lines(u,rep(UCL,length(u)),lty=2, col="red") lines(u,rep(LCLf,length(u)),lty=2, col="red") text(1,UCL,"BPA") L.14

text(1,LCLf,"BPB") out <-which(Trmcd>UCL) #output:indeks outofcontrol,nilai T2out,S dan X RMCD,BPA has<-list(out,Trmcd[out],Srmcd,Xrmcd,UCL) return(has) } #fungsi prosedur phase I T2 rmcd #input sama dengan fungsi RMCD.I ppI.RMCD<-function(X,eta,lamda,alfa) { i<-1 tout<-0 pI<-RMCD.I(X,eta,lamda,alfa) while(length(pI[[1]])!=0) { i<-i+1 out<-pI[[1]] tout<-c(tout,out) X<-X[-out,] pI<-RMCD.I(X,eta,lamda,alfa) } S<-pI[[3]] X<-pI[[4]] BPA<-pI[[5]] #output: banyaknya iterasi, indeks outofcontrol,S dan X RMCD in control,BPA has<-list(i,tout,S,X,BPA) return(has) } #fungsi untuk phase II T2 RMCD #Mbaru=input pengamatan baru #Srmcd,Xrmcd, dan BPA dari fungsi ppI.RMCD RMCD.II<-function(Mbaru,Srmcd,Xrmcd,BPA) { #mengubah input M ke matriks x x<-ubah(Mbaru) #inisialisasi jumlah pengamatan(m) dan karakteristik kualitas(p) m<-dim(x)[1] p<-dim(x)[2] invSrmcd<-solve(Srmcd) #menghitung T2rmcd Trmcd<-matrix(0,m,1) for (i in 1:m) { coba<-x[i,]-Xrmcd L.15

v<-ubah.v(coba) Trmcd[i,1]<-t(v)%*%invSrmcd%*%v } #membuat control chart UCLf<-BPA qef<-qf(1-0.01,p,m-p) #UCLf<-((p*(m+1)*(m-1))/(m*(m-p)))*qef LCLf<-0 BB <- min(LCLf-sd(Trmcd), min(Trmcd)-sd(Trmcd)) BA <- max(UCLf+sd(Trmcd), max(Trmcd)+sd(Trmcd)) plot(Trmcd,ylim=c(BB,BA), type="b", col="blue") u <- seq(1,m,by=0.1) lines(u,rep(UCLf,length(u)),lty=2, col="red") lines(u,rep(LCLf,length(u)),lty=2) text(1,UCLf,"BPA") text(1,LCLf,"BPB") out <- which(Trmcd > UCLf) #output:banyaknya outofcontrol,indeks out,nilai T2rmcd out,BPA has<-list(length(out),out,Trmcd[out],BPA) return(has) } #cara menggunakan #load package: rrcov Z<-read.table('Data2010.txt') #mengambil data X<-Z[1:160,] #data historis tiga karakteristik kualitas #X<-cbind(Z[1:160,1], Z[1:160,2]) #data historis dua karak. kualitas kombinasi 1 Mbaru<-Z[161:320,] #data baru tiga karakteristik kualitas #Mbaru<- cbind(Z[161:320,1], Z[161:320,2]) #data baru dua karak. kualitas kombinasi 1 eta<-0.975 lamda<-0.5 alfa<-0.01 phaseI<-ppI.RMCD (X,eta,lamda,alfa) #hasil keluaran ppI.RMCD phaseI Srmcd<- phaseI[[2]] Xrmcd<- phaseI[[3]] BPA<- phaseI[[4]] RMCD.II (Mbaru,Srmcd,Xrmcd,BPA)

L.16

Lampiran 8: Gambar-gambar Hasil Studi Simulasi pada Tiga Karakteristik Kualitas m=banyaknya pengamatan Tabel 4.1. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata pH Menggunakan Data Phase I yang Bebas Outlier

m =50

m =150

Tabel 4.2. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata RI Menggunakan Data Phase I yang Bebas Outlier

m =50

m =150

Tabel 4.3. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata Massa Jenis Menggunakan Data Phase I yang Bebas Outlier

m =50

m =150

L.17

Tabel 4.4. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata pH Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Shift Outlier dengan pergeseran σ m 10% outlier 20% outlier 30% outlier

5 0

1 5 0

Tabel 4.5. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata RI Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Shift Outlier dengan pergeseran σ m 10% outlier 20% outlier 30% outlier

5 0

L.18

1 5 0

Tabel 4.6. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata Massa Jenis Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Shift Outlier dengan pergeseran σ m 10% outlier 20% outlier 30% outlier

5 0

1 5 0

L.19

Tabel 4.7. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata pH Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Shift Outlier dengan pergeseran 6σ m 10% outlier 20% outlier 30% outlier

5 0

1 5 0

Tabel 4.8. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata RI Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Shift Outlier dengan pergeseran 6σ m 10% outlier 20% outlier 30% outlier

5 0

L.20

1 5 0

Tabel 4.9. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata Massa Jenis Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Shift Outlier dengan pergeseran 6σ m 10% outlier 20% outlier 30% outlier

5 0

1 5 0

L.21

Tabel 4.10. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata pH Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Scale Outlier dengan Konstanta Pengali k=5 m 10% outlier 20% outlier 30% outlier

5 0

1 5 0

Tabel 4.11. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata RI Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Scale Outlier dengan Konstanta Pengali k=5 m 10% outlier 20% outlier 30% outlier

5 0

L.22

1 5 0

Tabel 4.12. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata Massa Jenis Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Scale Outlier dengan Konstanta Pengali k=5 m 10% outlier 20% outlier 30% outlier

5 0

1 5 0

L.23

Tabel 4.13. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata pH Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Scale Outlier dengan Konstanta Pengali k=30 m 10% outlier 20% outlier 30% outlier

5 0

1 5 0

Tabel 4.14. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata RI Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Scale Outlier dengan Konstanta Pengali k=30 m 10% outlier 20% outlier 30% outlier

5 0

L.24

1 5 0

Tabel 4.15. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata Massa Jenis Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Scale Outlier dengan Konstanta Pengali k=30 m 10% outlier 20% outlier 30% outlier

5 0

1 5 0

L.25

Tabel 4.16. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata pH Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Radial Outlier dengan Pergesern σ dan Konstanta Pengali k=5 m 10% outlier 20% outlier 30% outlier

5 0

1 5 0

Tabel 4.17. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata pH Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Radial Outlier dengan Pergesern σ dan Konstanta Pengali k=30 m 10% outlier 20% outlier 30% outlier

5 0

L.26

1 5 0

Tabel 4.18. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata pH Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Radial Outlier dengan Pergesern 6σ dan Konstanta Pengali k=5 m 10% outlier 20% outlier 30% outlier

5 0

1 5 0

L.27

Tabel 4.19. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata pH Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Radial Outlier dengan Pergesern 6σ dan Konstanta Pengali k=30 m 10% outlier 20% outlier 30% outlier

5 0

1 5 0

Tabel 4.20. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata RI Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Radial Outlier dengan Pergesern σ dan Konstanta Pengali k=5 m 10% outlier 20% outlier 30% outlier

5 0

L.28

1 5 0

Tabel 4.21. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata RI Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Radial Outlier dengan Pergesern σ dan Konstanta Pengali k=30 m 10% outlier 20% outlier 30% outlier

5 0

1 5 0

L.29

Tabel 4.22. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata RI Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Radial Outlier dengan Pergesern 6σ dan Konstanta Pengali k=5 m 10% outlier 20% outlier 30% outlier

5 0

1 5 0

Tabel 4.23. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata RI Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Radial Outlier dengan Pergesern 6σ dan Konstanta Pengali k=30 m 10% outlier 20% outlier 30% outlier

5 0

L.30

1 5 0

Tabel 4.24. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata Massa Jenis Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Radial Outlier dengan Pergesern σ dan Konstanta Pengali k=5 m 10% outlier 20% outlier 30% outlier

5 0

1 5 0

L.31

Tabel 4.25. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata Massa Jenis Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Radial Outlier dengan Pergesern σ dan Konstanta Pengali k=30 m 10% outlier 20% outlier 30% outlier

5 0

1 5 0

Tabel 4.26. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata Massa Jenis Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Radial Outlier dengan Pergesern 6σ dan Konstanta Pengali k=5 m 10% outlier 20% outlier 30% outlier

5 0

L.32

1 5 0

Tabel 4.27. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata Massa Jenis Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Radial Outlier dengan Pergesern 6σ dan Konstanta Pengali k=30 m 10% outlier 20% outlier 30% outlier

5 0

1 5 0

L.33

Lampiran 9: Gambar-gambar Hasil Studi Simulasi pada Dua Karakteristik Kualitas Kombinasi I : pH dan RI Tabel 5I.1. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata pH Menggunakan Data Phase I yang Bebas Outlier

m =50

m =150

Tabel 5I.2. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata RI Menggunakan Data Phase I yang Bebas Outlier

m =50

m =150

Tabel 5I.3. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata pH Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Shift Outlier dengan pergeseran σ m 10% outlier 20% outlier 30% outlier

5 0

L.34

1 5 0

Tabel 5I.4. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata RI Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Shift Outlier dengan pergeseran σ m 10% outlier 20% outlier 30% outlier

5 0

1 5 0

L.35

Tabel 5I.5. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata pH Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Shift Outlier dengan pergeseran 6σ m 10% 20% 30%

5 0

1 5 0

Tabel 5I.6. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata RI Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Shift Outlier dengan pergeseran 6σ m 10% outlier 20% outlier 30% outlier

5 0

L.36

1 5 0

Tabel 5I.7. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata pH Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Scale Outlier dengan Konstanta Pengali k=5 m 10% outlier 20% outlier 30% outlier

5 0

1 5 0

L.37

Tabel 5I.8. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata RI Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Scale Outlier dengan Konstanta Pengali k=5 m 10% outlier 20% outlier 30% outlier

5 0

1 5 0

Tabel 5I.9. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata pH Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Scale Outlier dengan Konstanta Pengali k=30 m 10% outlier 20% outlier 30% outlier

5 0

L.38

1 5 0

Tabel 5I.10. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata RI Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Scale Outlier dengan Konstanta Pengali k=30 m 10% outlier 20% outlier 30% outlier

5 0

1 5 0

L.39

Tabel 5I.11. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata pH Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Radial Outlier dengan Pergesern σ dan Konstanta Pengali k=5 m 10% outlier 20% outlier 30% outlier

5 0

1 5 0

Tabel 5I.12. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata pH Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Radial Outlier dengan Pergesern σ dan Konstanta Pengali k=30 m 10% outlier 20% outlier 30% outlier

5 0

L.40

1 5 0

Tabel 5I.13. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata pH Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Radial Outlier dengan Pergesern 6σ dan Konstanta Pengali k=5 m 10% outlier 20% outlier 30% outlier

5 0

1 5 0

L.41

Tabel 5I.14. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata pH Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Radial Outlier dengan Pergesern 6σ dan Konstanta Pengali k=30 m 10% outlier 20% outlier 30% outlier

5 0

1 5 0

Tabel 5I.15. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata RI Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Radial Outlier dengan Pergesern σ dan Konstanta Pengali k=5 m 10% outlier 20% outlier 30% outlier

5 0

L.42

1 5 0

Tabel 5I.16. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata RI Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Radial Outlier dengan Pergesern σ dan Konstanta Pengali k=30 m 10% outlier 20% outlier 30% outlier

5 0

1 5 0

L.43

Tabel 5I.17. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata RI Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Radial Outlier dengan Pergesern 6σ dan Konstanta Pengali k=5 m 10% outlier 20% outlier 30% outlier

5 0

1 5 0

Tabel 5I.18. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata RI Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Radial Outlier dengan Pergesern 6σ dan Konstanta Pengali k=30 m 10% outlier 20% outlier 30% outlier

5 0

L.44

1 5 0

Kombinasi II : RI dan Massa Jenis Tabel 5II.1. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata RI Menggunakan Data Phase I yang Bebas Outlier

m =50

m =150

Tabel 5II.2. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata Massa Jenis Menggunakan Data Phase I yang Bebas Outlier

m =50

m =150

L.45

Tabel 5II.3. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata RI Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Shift Outlier dengan pergeseran σ m 10% outlier 20% outlier 30% outlier

5 0

1 5 0

Tabel 5II.4. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata Massa Jenis Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Shift Outlier dengan pergeseran σ m 10% outlier 20% outlier 30% outlier

5 0

L.46

1 5 0

Tabel 5II.5. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata RI Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Shift Outlier dengan pergeseran 6σ m 10% outlier 20% outlier 30% outlier

5 0

1 5 0

L.47

Tabel 5II.6. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata Massa Jenis Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Shift Outlier dengan pergeseran 6σ m 10% outlier 20% outlier 30% outlier

5 0

1 5 0

Tabel 5II.7. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata RI Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Scale Outlier dengan Konstanta Pengali k=5 m 10% outlier 20% outlier 30% outlier

5 0

L.48

1 5 0

Tabel 5II.8. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata Massa Jenis Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Scale Outlier dengan Konstanta Pengali k=5 m 10% outlier 20% outlier 30% outlier

5 0

1 5 0

L.49

Tabel 5II.9. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata RI Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Scale Outlier dengan Konstanta Pengali k=30 m 10% outlier 20% outlier 30% outlier

5 0

1 5 0

Tabel 5II.10. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata Massa Jenis Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Scale Outlier dengan Konstanta Pengali k=30 m 10% outlier 20% outlier 30% outlier

5 0

L.50

1 5 0

Tabel 5II.11. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata RI Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Radial Outlier dengan Pergesern σ dan Konstanta Pengali k=5 m 10% outlier 20% outlier 30% outlier

5 0

1 5 0

L.51

Tabel 5II.12. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata RI Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Radial Outlier dengan Pergesern σ dan Konstanta Pengali k=30 m 10% outlier 20% outlier 30% outlier

5 0

1 5 0

Tabel 5II.13. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata RI Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Radial Outlier dengan Pergesern 6σ dan Konstanta Pengali k=5 m 10% outlier 20% outlier 30% outlier

5 0

L.52

1 5 0

Tabel 5II.14. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata RI Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Radial Outlier dengan Pergesern 6σ dan Konstanta Pengali k=30 m 10% outlier 20% outlier 30% outlier

5 0

1 5 0

L.53

Tabel 5II.15. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata Massa Jenis Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Radial Outlier dengan Pergesern σ dan Konstanta Pengali k=5 m 10% outlier 20% outlier 30% outlier

5 0

1 5 0

Tabel 5II.16. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata Massa Jenis Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Radial Outlier dengan Pergesern σ dan Konstanta Pengali k=30 m 10% outlier 20% outlier 30% outlier

5 0

L.54

1 5 0

Tabel 5II.17. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata Massa Jenis Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Radial Outlier dengan Pergesern 6σ dan Konstanta Pengali k=5 m 10% outlier 20% outlier 30% outlier

5 0

1 5 0

L.55

Tabel 5II.18. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata Massa Jenis Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Radial Outlier dengan Pergesern 6σ dan Konstanta Pengali k=30 m 10% outlier 20% outlier 30% outlier

5 0

1 5 0

Kombinasi III : pH dan Massa Jenis Tabel 5III.1. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata pH Menggunakan Data Phase I yang Bebas Outlier

m =50

m =150

L.56

Tabel 5III.2. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata Massa Jenis Menggunakan Data Phase I yang Bebas Outlier

m =50

m =150

Tabel 5III.3. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata pH Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Shift Outlier dengan pergeseran σ m 10% outlier 20% outlier 30% outlier

5 0

1 5 0

L.57

Tabel 5III.4. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata Massa Jenis Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Shift Outlier dengan pergeseran σ m 10% outlier 20% outlier 30% outlier

5 0

1 5 0

Tabel 5III.5. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata pH Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Shift Outlier dengan pergeseran 6σ m 10% 20% 30%

5 0

L.58

1 5 0

Tabel 5III.6. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata Massa Jenis Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Shift Outlier dengan pergeseran 6σ m 10% outlier 20% outlier 30% outlier

5 0

1 5 0

L.59

Tabel 5III.7. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata pH Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Scale Outlier dengan Konstanta Pengali k=5 m 10% outlier 20% outlier 30% outlier

5 0

1 5 0

Tabel 5III.8. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata Massa Jenis Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Scale Outlier dengan Konstanta Pengali k=5 m 10% outlier 20% outlier 30% outlier

5 0

L.60

1 5 0

Tabel 5III.9. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata pH Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Scale Outlier dengan Konstanta Pengali k=30 m 10% outlier 20% outlier 30% outlier

5 0

1 5 0

L.61

Tabel 5III.10. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata Massa Jenis Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Scale Outlier dengan Konstanta Pengali k=30 m 10% outlier 20% outlier 30% outlier

5 0

1 5 0

Tabel 5III.11. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata pH Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Radial Outlier dengan Pergesern σ dan Konstanta Pengali k=5 m 10% outlier 20% outlier 30% outlier

5 0

L.62

1 5 0

Tabel 5III.12. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata pH Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Radial Outlier dengan Pergesern σ dan Konstanta Pengali k=30 m 10% outlier 20% outlier 30% outlier

5 0

1 5 0

L.63

Tabel 5III.13. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata pH Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Radial Outlier dengan Pergesern 6σ dan Konstanta Pengali k=5 m 10% outlier 20% outlier 30% outlier

5 0

1 5 0

Tabel 5III.14. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata pH Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Radial Outlier dengan Pergesern 6σ dan Konstanta Pengali k=30 m 10% outlier 20% outlier 30% outlier

5 0

L.64

1 5 0

Tabel 5III.15. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata Massa Jenis Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Radial Outlier dengan Pergesern σ dan Konstanta Pengali k=5 m 10% outlier 20% outlier 30% outlier

5 0

1 5 0

L.65

Tabel 5III.16. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata Massa Jenis Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Radial Outlier dengan Pergesern σ dan Konstanta Pengali k=30 m 10% outlier 20% outlier 30% outlier

5 0

1 5 0

Tabel 5III.17. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata Massa Jenis Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Radial Outlier dengan Pergesern 6σ dan Konstanta Pengali k=5 m 10% outlier 20% outlier 30% outlier

5 0

L.66

1 5 0

Tabel 5III.18. Grafik Probabilitas Signal di Luar Kendali Data Phase II Terhadap Pergeseran Rata-rata Massa Jenis Menggunakan Data Phase I yang Memiliki Radial Outlier dengan Pergesern 6σ dan Konstanta Pengali k=30 m 10% outlier 20% outlier 30% outlier

5 0

1 5 0

L.67

Lampiran 10: Program R Studi Simulasi #load package: rrcov dan Mass #fungsi mencari data in control #X=input data asli #eta= 0.975 #lamda=0.5 #alfa=0.01 caribersih<-function(X,eta,lamda,alfa) { i<-1 tout<-0 kotor<-rep(0,dim(X)[2]) RMCDI<-RMCD.I(X,eta,lamda,alfa) while(length(RMCDI[[1]])!=0) { i<-i+1 out<-RMCDI[[1]] tout<-c(tout,out) kotor<- rbind(kotor,X[out,]) X<-X[-out,] RMCDI<-RMCD.I(X,eta,lamda,alfa) } kotor<-ubah(kotor) kotor<-kotor[-1,] mb<-apply(X,2,mean) sb<-cov(X) has<-list(mb,sb,kotor) return(has) } #fungsi untuk membangkitkan data simulasi phase II #shift=pergeseran #a=karakteristik kualitas yg digeser #k=konstanta pengali matriks kovariansi #p=banyaknya karakteristik kualitas #ukuran=jumlah pengamatan yang dibangkitkan #mu=vektor rata-rata bersih #sig=matriks kovariansi bersih data.Ia<-function(shift,a,k,p,ukuran,mu,sig) { sig<-k*sig mu[a]<-mu[a]+shift M<-mvrnorm(ukuran,mu,sig) M } L.68

#fungsi untuk membangkitkan data simulasi #outlier=proporsi banyaknya pengotoran outlier(0,0.1,0.2,0.3) #mb=vektor rata-rata bersih #sb=matriks kovariansi bersih data.sim1<-function(shift,a,k,p,ukuran,outlier,mb,sb) { ms<-mb ms[a]<-ms[a]+shift ss<-k*sb M<-matrix(0,ukuran,p) u<-0 for(i in 1:ukuran) { i b<-zeros(p) u<-runif(1) if(u=outlier)b<-mvrnorm(1,mb,sb) M[i,]<-b } M } #fungsi untuk simulasi menghitung probabilitas signal out of control #tanpa prosedur penghapusan phase I #iterasi=banyaknya pengulangan, dipilih 1000 sim1<-function(shift,a,k,p,ukuran,outlier,iterasi) { Z<-read.table('Data2010.txt') #pilih banyaknya variabel dengan menghilangkan (#) #tiga variabel Y<-Z #dua variabel #kombinasi 1: pH dan RI #Y<-cbind(Z[,1],Z[,2]) #kombinsi 2: RI dan massa jenis #Y<-cbind(Z[,2],Z[,3]) #kombinasi 3: pH dan massa jenis #Y<-cbind(Z[,1],Z[,3]) bersih<-caribersih(Y,0.975,0.5,0.01) mu<-bersih[[1]] sig<-bersih[[2]] S<-matrix(0,p,p) Xbar<-rep(0,p) Srmcd50<-matrix(0,p,p) Xrmcd50<-rep(0,p) BPA50<-0 L.69

Srmcd75<-matrix(0,p,p) Xrmcd75<-rep(0,p) BPA75<-0 for(i in 1:iterasi) { i X<-data.sim1(shift,a,k,p,ukuran,outlier,mu,sig) BiasaI<-Biasa.I(X,0.01)#(out,T2[out],S,Xbar,UCLf) #BiasaI<-ppI.Biasa(X,0.01) S<-(S+BiasaI[[3]]) Xbar<-(Xbar+BiasaI[[4]]) RMCDI50<-RMCD.I(X,0.975,0.5,0.01)#(out,Trmcd[out],Srmcd,Xrmcd,UCL) RMCDI75<-RMCD.I(X,0.975,0.75,0.01)#(out,Trmcd[out],Srmcd,Xrmcd,UCL) #RMCDI50<-ppI.RMCD(X,0.975,0.5,0.01) #RMCDI75<-ppI.RMCD(X,0.975,0.75,0.01) Srmcd50<-(Srmcd50+RMCDI50[[3]]) Xrmcd50<-(Xrmcd50+RMCDI50[[4]]) BPA50<-(BPA50+RMCDI50[[5]]) Srmcd75<-(Srmcd75+RMCDI75[[3]]) Xrmcd75<-(Xrmcd75+RMCDI75[[4]]) BPA75<-(BPA75+RMCDI75[[5]]) } S<-S/iterasi Xbar<-Xbar/iterasi Srmcd50<-Srmcd50/iterasi Xrmcd50<-Xrmcd50/iterasi BPA50<-BPA50/iterasi Srmcd75<-Srmcd75/iterasi Xrmcd75<-Xrmcd75/iterasi BPA75<-BPA75/iterasi shift<-seq(0,3,by=0.5) #k<-c(1,seq(5,30,by=5)) prob<-rep(0,length(shift)) prob50<-rep(0,length(shift)) prob75<-rep(0,length(shift)) for (i in 1:length(shift)) { pb<-rep(0,iterasi) pb50<-rep(0,iterasi) pb75<-rep(0,iterasi) for(j in 1:iterasi) { M<-data.Ia(shift[i],a,1,p,ukuran,mu,sig) BiasaII<-Biasa.II(M,Xbar,S,0.01)#(length(out),out,T2[out],UCLf) RMCDII50
RMCDII75
L.72

L.73