PENDUGAAN PARAMETER MODEL DINAMIK DENGAN METODE MEDIAN ABSOLUTE DEVIATION DAN BISQUARE M-ESTIMATION
RIEFDAH IMRO’ATUL AZIZAH
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2015
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pendugaan Parameter Model Dinamik dengan Metode Median Absolute Deviation dan Bisquare MEstimation adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Agustus 2015 Riefdah Imro’atul Azizah NIM G54110066
ABSTRAK RIEFDAH IMRO’ATUL AZIZAH. Pendugaan Parameter Model Dinamik dengan Metode Median Absolute Deviation dan Bisquare M-Estimation. Dibimbing oleh NGAKAN KOMANG KUTHA ARDANA dan ALI KUSNANTO. Metode Least Square (LS) merupakan salah satu metode pendugaan parameter yang mudah terpengaruh terhadap kehadiran pencilan. Oleh karena itu diperlukan metode alternatif yang tahan terhadap kehadiran pencilan, yaitu metode robust. Metode robust yang digunakan pada karya ilmiah ini adalah metode Median Absolute Deviation (MAD) dan Bisquare M-Estimation. Parameter yang diduga yaitu parameter model tunggal dinamik Gompertz dan parameter model sistem dinamik SEIV (Susceptible - Exposed - Infected - Vaccinated) dengan data hipotetik yang dibangkitkan melalui software Wolfram Mathematica 10. Nilai SMAPE (Symmetrical Mean Absolute Percentage Error) digunakan untuk mengukur keakuratan pendugaan parameter. Metode Bisquare M-Estimation relatif lebih baik dari metode LS dan MAD pada data dengan pencilan. Ketiga metode dapat diterapkan pada data tanpa pencilan.
ABSTRACT RIEFDAH IMRO’ATUL AZIZAH. Parameter Estimation of Dynamical Model using Median Absolute Deviation Method dan Bisquare M-Estimation Method. Supervised by NGAKAN KOMANG KUTHA ARDANA and ALI KUSNANTO. Least Square method (LS) is a parameter estimation method which is easily affected by the presence of outliers. Therefore we need an alternative method that is resistant to the presence of outliers, i.e. robust method. Robust method used in this paper is Median Absolute Deviation (MAD) and Bisquare M-Estimation. The estimated parameters are parameters of the single dynamic Gomperrtz model and dynamical system SEIV (Susceptible - Exposed - Infected - Vaccinated) model using hypothetical data generated through the software Wolfram Mathematica 10. SMAPE (Symmetrical Mean Absolute Percentage Error) values are used to measure the accuracy of the parameter estimation. The Bisquare M-Estimation method is relatively better than LS and MAD method on the data with outliers. These three methods can be applied to the data without outliers.
PENDUGAAN PARAMETER MODEL DINAMIK DENGAN METODE MEDIAN ABSOLUTE DEVIATION DAN BISQUARE M-ESTIMATION
RIEFDAH IMRO’ATUL AZIZAH
Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2015
PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wata’ala atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah yang berjudul Pendugaan Parameter Model Dinamik dengan Metode Median Absolute Deviation dan Bisquare MEstimation ini telah diselesaikan. Penulisan karya ilmiah ini tak luput atas segala dukungan dan bantuan dari berbagai pihak. Penulis mengucapkan terimakasih sebesar-besarnya kepada: 1 Bapak Ir Ngakan Komang Kutha Ardana, MSc dan Bapak Drs Ali Kusnanto, MSi selaku dosen pembimbing, serta Bapak Dr Ir Hadi Sumarno, MS selaku dosen penguji. Terima kasih atas semua ilmu, masukan, motivasi, saran, dan pengalaman yang telah diberikan. 2 Mama, Ayah, dek Jupa dan dek Ija atas doa, semangat, perhatian dan kasih sayangnya yang tak akan lekang oleh waktu. 3 Ariyanto Hermawan, teman-teman Matematika 48, kakak-kakak Matematika 47, kakak-kakak Matematika 46, adik-adik Matematika 49 dan adik-adik Matematika 50 atas segala dukungan, motivasi, perhatian, saran, ilmu dan segala bantuan. 4 Teman-teman ”Strong Women Geng” yaitu Resty, Aini, Kio, Intan, Hanna, Sifa, Atika, Andin, Lidya, Putri dan Ebi atas motivasi, perhatian dan dukungan mental yang telah diberikan selama ini. 5 Teman-teman SMA tercinta yaitu Versha, Sisi, Syifa, Hani, Icha, Rista, Yola, Tiara, Dayinta, Robby, Wais dan Yuwanda atas segala perhatian dan kesediaan waktunya untuk selalu mendukung dan mendengarkan keluh kesah selama ini. 6 Teman-teman pimpinan Gumatika 2014 yaitu Henny, Adam, Parara, Abi, Median, Dedi Soleh, Dedi Setiawan, Fakhri, Rizky, Hendar dan Hasan atas semangat dan dukungan selama ini. 7 Teman-teman asrama TPB yaitu Niken, Yani, Laili, Etik, Dara, Ncut, Lani, Egi, Cicin dan Dyah atas semangat dan dukungan moril. 8 Teman-teman kontrakan yaitu Hilda, Latifa dan Sarah atas segala dukungannya. 9 Dosen, staf penunjang Departemen Matematika, dan khususnya Bu Susi atas semua ilmu dan bantuan selama ini. 10 Semua pihak yang tidak bisa penulis sebutkan satu persatu yang turut membantu dalam penyelesaian karya ilmiah ini. Bogor, Agustus 2015 Riefdah Imro’atul Azizah
DAFTAR ISI DAFTAR TABEL
v
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
1
LANDASAN TEORI
2
Model Dinamik
2
Metode Least Square (LS)
2
Pencilan (Outlier)
2
Metode Runge-Kutta Orde Empat
3
Metode Robust
3
Metode Median Absolute Deviation (MAD)
3
Metode Bisquare M-Estimation
3
Symmetrical Mean Absolute Percentage Error (SMAPE)
4
Model Analisis
5
Data Pengamatan
6
Metode Analisis
6
HASIL DAN PEMBAHASAN
6
Pendugaan Parameter model Gompertz
6
Pendugaan Parameter model SEIV
8
SIMPULAN
15
Simpulan
15
DAFTAR PUSTAKA
15
RIWAYAT HIDUP
26
DAFTAR TABEL 1 Nilai parameter awal dan nilai awal untuk setiap model dinamik 6 2 Parameter dugaan pada model Gompertz dengan metode LS, MAD, dan Bisquare M-Estimation 8 3 Nilai SMAPE model Gompertz dengan metode LS, MAD, dan Bisquare M-Estimation 8 4 Parameter dugaan pada model SEIV dengan metode LS, MAD, dan Bisquare M-Estimation 11 5 Nilai SMAPE model SEIV dengan metode LS, MAD, dan Bisquare MEstimation 12
DAFTAR GAMBAR 1 Bentuk umum boxplot 4 2 Tebaran data hipotetik model Gompertz tanpa pencilan 7 3 Plot pendugaan parameter model Gompertz tanpa pencilan dengan metode LS, MAD dan Bisquare M-Estimation 7 4 Plot pendugaan parameter model Gompertz dengan pecilan atas-bawah 5% (a) dan pencilan atas-bawah 10% (b) dengan metode LS, MAD, dan Bisquare M-Estimation 7 5 Tebaran data hipotetik model SEIV tanpa pencilan 9 6 Plot pendugaan parameter model SEIV tanpa pencilan dengan metode LS, MAD, dan Bisquare M-Estimation 9 7 Plot pendugaan parameter model SEIV dengan pencilan atas-bawah 5% dengan metode LS, MAD, dan Bisquare M-Estimation 10 8 Plot pendugaan parameter model SEIV dengan pencilan atas-bawah 10% dengan metode LS, MAD, dan Bisquare M-Estimation 10 9 Boxplot SAPE ketiga metode pada data model Gompertz tanpa pencilan 13 10 Boxplot SAPE ketiga metode pada data model Gompertz dengan pencilan atas-bawah 5% (a) dan pencilan atas-bawah 10% (b) 13 11 Boxplot SAPE variable S, E, I, dan V dengan metode LS, MAD, dan Bisquare M-Estimation pada data model SEIV tanpa pencilan 13 12 Boxplot SAPE variable S, E, I, dan V dengan metode LS, MAD, dan Bisquare M-Estimation pada data model SEIV pencilan atas-bawah 5% 14 13 Boxplot SAPE variable S, E, I, dan V dengan metode LS, MAD, dan Bisquare 14 M-Estimation pada data model SEIV pencilan atas-bawah 10%
PENDAHULUAN Latar Belakang Pendugaan parameter model dinamik dapat dilakukan secara tidak langsung ataupun langsung. Pendugaan parameter model dinamik secara tidak langsung yaitu dengan mencari solusi analitik dari model dinamik kemudian dilanjutkan dengan melakukan regresi. Namun, tidak semua model dinamik dapat ditentukan solusi analitiknya. Oleh karena itu diperkenalkan pendugaan parameter secara langsung, dengan mencari solusi dari model dinamik, berupa solusi analitik maupun solusi numerik. Setelah didapat solusinya, maka parameternya dapat diduga langsung dengan menggunakan beberapa metode. Least Square (LS) atau metode kuadrat terkecil merupakan satu metode yang umum digunakan dalam menduga parameter dalam analisis regresi linier berganda dengan didasarkan pada asumsi tertentu. Dalam prakteknya penyimpangan sering terjadi karena adanya pengamatan pencilan berpengaruh. Metode LS ternyata tidak tahan dan sangat sensitif terhadap pencilan (Yafee 2002). Pengaruh data pencilan dapat dikurangi dengan menggunakan metode robust. Metode robust Median Absolute Deviation (MAD) lebih tahan dibandingkan Metode Least Absolute Deviation (LAD) pada kasus pengaruh pencilan 10% dan pencilan 40 % (Widiasari 2014). Metode robust lainnya adalah Bisquare M-Estimation. Pada karya ilmiah ini, metode Least Square (LS) dan metode robust yaitu Median Absolute Deviation (MAD) dan Bisquare MEstimation. Model dinamik yang akan digunakan pada karya ilmiah ini adalah model Gompertz dan model SEIV (Susceptible - Exposed - Infected - Vaccinated). Model Gompertz adalah model dinamik yang banyak digunakan untuk menggambarkan pertumbuhan tumor, dengan laju pertumbuhan paling lambat berada pada awal periode dan akan melaju cepat pada akhir periode. Model SEIV adalah model dinamik yang menggambarkan individu terserang penyakit, namun tidak ada fase penyembuhan permanen. Kedua model tersebut akan diduga parameternya berdasarkan data hipotetik (bangkitan).
Tujuan Penelitian Tujuan karya ilmiah ini yaitu: Mengkaji pendugaan parameter model dinamik dengan metode Least Square (LS) dan metode robust yaitu Median Absolute Deviation (MAD) dan Bisquare M-Estimation. 2 Membandingkan metode Least Square (LS), Median Absolute Deviation (MAD), dan Bisquare M-Estimation dalam pendugaan parameter model dinamik. 3 Membandingkan pengaruh pencilan atas-bawah terhadap metode Least Square (LS), Median Absolute Deviation (MAD), dan Bisquare MEstimation. 1
2
LANDASAN TEORI Model Dinamik Misalkan terdapat suatu model dinamik dengan n state variabel 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 yang dinyatakan dengan n buah persamaan diferensial biasa yang bergantung pada waktu t dinyatakan sebagai berikut : 𝑥̇ 1 = 𝑓1 (𝑥1 , … , 𝑥𝑛 , 𝑡) 𝑥̇ 2 = 𝑓2 (𝑥1 , … , 𝑥𝑛 , 𝑡) ⋮ 𝑥̇ 𝑛 = 𝑓𝑛 (𝑥1 , … , 𝑥𝑛 , 𝑡) atau 𝒙̇ =
𝑑𝒙(𝑡) 𝑑𝑡
= 𝒇(𝒙, 𝑡).
Apabila bergantung pada vektor parameter p maka persamaan diferensialnya dapat dinyatakan sebagai berikut: 𝑑𝒙 𝒙̇ = = 𝒇(𝒙, 𝑡, 𝐩). (1) 𝑑𝑡 (Strogatz 2000).
Metode Least Square (LS) Misalkan dari persamaan (1) diperoleh solusi 𝑥̂(𝑡, 𝐩) dan dari data pengamatan yang diperoleh suatu model 𝑦𝑖 = 𝑔(𝑥(𝑡, 𝐩)) + 𝑒𝑖 untuk i = 1, 2, .. , n. Maka p dapat diduga dengan cara berikut: 𝑛
min ∑
(𝑦𝑖 − 𝑦̂𝑖 )2 ,
𝑖=1
dengan 𝑦̂𝑖 = 𝑔(𝑥̂(𝑡, 𝐩)).
(Draper dan Smith 1992).
Pencilan (Outlier) Pencilan merupakan suatu keganjilan dan menandakan suatu titik data yang sama sekali tidak tipikal dibandingkan dengan data lainnya. Oleh karena itu, suatu pencilan patut diperiksa secara saksama untuk mengetahui alasan atau penyebab terdapatnya pencilan (Draper dan Smith 1992).
3 Metode Runge-Kutta Orde Empat Metode Runge-Kutta digunakan untuk mencari solusi numerik suatu persamaan differensial. Metode ini digunakan untuk mendapatkan derajat ketelitian yang lebih tinggi. Misalkan diberikan sebuah persamaan diferensial sebagai berikut: 𝑥 ′ = 𝑓(𝑡, 𝑥) dengan 𝑥(𝑎) = 𝑥𝑎 . Formulasi metode Runge-Kutta: 1 𝑥(𝑡 + ℎ) = 𝑥(𝑡) + (𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4 ), 6 dengan 𝑘1 = ℎ𝑓(𝑡 , 𝑥) 1 1 𝑘2 = ℎ𝑓(𝑡 + ℎ , 𝑥 + 𝑘1 ) 2 2 1 1 𝑘3 = ℎ𝑓(𝑡 + ℎ , 𝑥 + 𝑘2 ) 2 2 𝑘4 = ℎ𝑓(𝑡 + ℎ , 𝑥 + 𝑘3 ). (Cheney 2008) Solusi numerik pada suatu waktu t tertentu ditambah panjang sub interval ℎ pada selang [a,b] dilambangkan 𝑥(𝑡 + ℎ). N menyatakan banyaknya interval [a,b] 𝑏−𝑎 dan ℎ = 𝑁 merupakan ukuran langkah. Metode Robust Beberapa metode penduga parameter yang bersifat robust terhadap pencilan yaitu metode Weighted Least Square (WLS), metode Least Absolute Deviation ( LAD), metode Least Trimmed Square (LTS), metode Least Median of Square (LMS) (Yafee 2002). Metode robust yang digunakan yaitu Metode Median Absolute Deviation (MAD) dan Metode Bisquare M-Estimation (Ripley 1992).
Metode Median Absolute Deviation (MAD) Parameter p juga dapat diduga dengan cara meminimumkan median nilai mutlak selisih antara galat dengan median galat atau dapat ditulis sebagai berikut: min median|(𝑦𝑖 − 𝑦̂𝑖 ) − median(𝑦𝑖 − 𝑦̂𝑖 )| (Ripley 1992).
Metode Bisquare M-Estimation M-Estimation dipandang baik untuk mengestimasi parameter yang disebabkan oleh x-outlier. M-Estimation menduga parameter p sebagai berikut:
4 𝑛
𝑛
𝑖=𝑛
𝑖
𝑒𝑖 min ∑ 𝜌(𝑒𝑖∗ ) = min ∑ 𝜌 ( ) , 𝜎̂ = 1, 𝜎̂ Fungsi objektif untuk Tukey Bisquare adalah 2 3
𝜌(𝑒 ∗)=
𝑟2 𝑒𝑖∗ [1 − (1 − ( ) ) ] , |𝑒𝑖∗ | ≤ 𝑟 6 𝑟 𝑟2 { 6
, |𝑒𝑖∗ | > 𝑟,
dengan 𝑟 = 4.685 (Fox 2002).
Symmetrical Mean Absolute Percentage Error (SMAPE) Symmetrical Mean Absolute Percentage Error (SMAPE) didefinisikan sebagai berikut: 𝑛 100 |𝑦𝑖 − 𝑦̂𝑖 | SMAPE = ×∑ 𝑛 𝑦𝑖 + 𝑦̂𝑖 𝑖=1
dengan, n = banyaknya pengamatan, 𝑦𝑖 = data aktual / yang sebenarnya ke-i, 𝑦̂𝑖 = penduga data ke-i, SMAPE memiliki batas bawah 0% dan batas atas 100%. Semakin kecil nilai SMAPE maka akan semakin akurat nilai pendugaan parameternya. SAPE (Symmetrical Absolute Percentage Error) didefinisikan sebagai berikut : |𝑦𝑖 − 𝑦̂𝑖 | SAPE = 𝑦𝑖 + 𝑦̂𝑖 Nilai-nilai sebaran SAPE (Symmetrical Absolute Percentage Error) akan ditampilkan dalam diagram kotak (boxplot) seperti pada Gambar 1. Panjang kotak (𝑄3 - 𝑄1) menunjukkan tingkat keragaman nilai-nilai SAPE. Semakin pendek kotak mengindikasikan nilai-nilai SAPE yang mengumpul di sekitar SMAPEnya (semakin seragam).
Gambar 1 Bentuk umum Boxplot (Weisstein 1999)
5 Model Analisis Model yang digunakan pada tulisan ini yaitu model Gompertz dan model SEIV. Model Gompertz Model Gompertz yang akan dibahas pada karya ilmiah ini adalah model yang banyak digunakan untuk menggambarkan fenomena perilaku sel tumor, ukuran tumor pada waktu t dinotasikan dengan P. Persamaan differensial model dinamik Gompertz dinyatakan sebagai berikut: 𝑑𝑃 𝑃 = −𝑟𝑃 (ln ( )), 𝑑𝑡 𝐾 dengan, r = laju pertumbuhan sel tumor K = daya dukung lingkungan Solusi model Gompertz diberikan sebagai berikut : 𝑃0
𝑃(𝑡) = 𝐾𝑒 ln( 𝐾 )𝑒
−𝑟𝑡
(Behera dan O’Rourke 2008). Model SEIV Model system dinamik yang akan dibahas pada karya ilmiah ini adalah model epidemi SEIV (Susceptible - Exposed - Infected - Vaccinated). Model ini digunakan untuk menggambarkan individu yang telah terserang penyakit, tetapi tidak ada fase penyembuhan permanen. Namun, terhadap penyakit tersebut dapat dilakukan pencegahan dengan vaksinasi kepada individu yang rentan. Contoh penyakit yang sesuai dengan model epidemi SEIV adalah rabies dan polio. Populasi pada model SEIV dibagi menjadi 4 jenis, populasi individu rentan (susceptible) dinotasikan dengan S, populasi individu yang terjangkit tetapi belum terinfeksi (exposed) dinotasikan dengan E. Populasi exposed merupakan populasi yang masuk dalam masa inkubasi, yaitu masa dimana masuknya virus ke dalam populasi yang rentan sampai timbul gejala-gejala penyakit yang dideritanya. Populasi individu yang terinfeksi penyakit (infected) dinotasikan dengan I, dan populasi individu yang telah divaksinasi (vaccinated) dinotasikan dengan V. Model penyebaran penyakit diturunkan menggunakan asumsi atau batasan tertentu. Dengan demikian, model penyebaran penyakit epidemi SEIV dalam kasus ini dapat dirumuskan dalam sistem persamaan diferensial taklinear yang mengacu pada (Islam et al. 2013) sebagai berikut: 𝑑𝑆(𝑡) = (1 − 𝑞)Λ − β𝑆(𝑡)𝐼(𝑡)(1 + ξ𝐼(𝑡)) − θ𝑆(𝑡) + α𝑉(𝑡) 𝑑𝑡 𝑑𝐸(𝑡) = 𝛽𝑆(𝑡)𝐼(𝑡)(1 + 𝜉𝐼(𝑡)) − (𝜃 + 𝑛)𝐸(𝑡) 𝑑𝑡 𝑑𝐼(𝑡) = 𝑛𝐸(𝑡) − (𝜃 + 𝛿)𝐼(𝑡) 𝑑𝑡 𝑑𝑉(𝑡) = 𝑞Λ − θ𝑉(𝑡) + δ𝐼(𝑡) − α𝑉(𝑡), 𝑑𝑡
6 dengan Λ = laju kelahiran 𝛽 = laju penularan penyakit populasi rentan ke populasi yang terinfeksi 𝜃 = laju kematian alami 𝛼 = laju penurunan kekebalan penyakit 𝑛 = laju penularan penyakit populasi 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑠𝑒𝑑 ke populai yang terinfeksi 𝛿 = laju individu yang sembuh sementara 𝑞 = proporsi dari individu yang sembuh sementara 𝜉 = laju perubahan perilaku dari populasi rentan ke populasi yang terinfeksi
Data Pengamatan Data yang digunakan merupakan data bangkitan atau hipotetik dengan bantuan software Wolfram Mathematica 10. Nilai parameter awal dan nilai awal akan ditampilkan pada Tabel 1. Langkah-langkah membangun data hipotetik dapat dilihat secara rinci pada Lampiran 1. Tabel 1 Nilai parameter awal dan nilai awal untuk setiap model dinamik Model Dinamik Model Gompertz Model SEIV
Nilai parameter Awal 𝑟0 = 0.003 𝐾0 = 100 𝑞0 = 0.4 𝜉0 = 0.01 𝜃0 = 0.00052 𝛼0 = 0.03
Nilai Awal 𝑃0 = 5 𝑆0 = 100 𝐸0 = 8 𝐼0 = 10 𝑉0 = 20
Metode Analisis Dalam menduga parameter digunakan metode Least Square (LS), dan dua metode robust yaitu metode Median Absolut Deviation (MAD) dan metode Bisquare M-Estiomation.
HASIL DAN PEMBAHASAN Pendugaan Parameter model Gompertz Data hipotetetik yang digunakan terdiri atas tiga jenis, yaitu data hipotetik tanpa pencilan, data hipotetik dengan pencilan atas-bawah 5%, dan data hipotetik dengan pencilan atas-bawah 10%. Tebaran data hipotetik tanpa pencilan dapat dilihat pada Gambar 2.
7
Gambar 2 Tebaran data hipotetik model Gompertz tanpa pencilan Plot hasil pendugaan dengan ketiga metode terlihat saling berimpit pada Gambar 3. Hal ini menunjukkan ketiga metode dapat digunakan pada data tanpa pencilan.
Gambar 3 Plot pendugaan parameter model Gompertz tanpa pencilan dengan metode LS, MAD, dan Bisquare M-Estimation Plot pendugaan dengan pecilan atas-bawah 5% dan data dengan pencilan atasbawah 10% ditampilkan pada Gambar 4. Terlihat bahwa plot hasil pendugaan menggunakan metode LS cenderung bergeser ke luar mendekati pencilan. Plot hasil pendugaan menggunakan metode MAD dan metode Bisquare M-Estimation masih saling berimpit mengikuti pola tebaran data, tanpa terpengaruh oleh keberadaan pecilan atas-bawah 5% dan pencilan atas-bawah 10%. Hal ini menunjukkan metode LS tidak tahan terhadap pencilan, sedangkan metode MAD dan Bisquare MEstimation lebih tahan.
(a)
(b)
Gambar 4 Plot pendugaan parameter model Gompertz dengan pecilan atasbawah 5% (a) dan pencilan atas-bawah 10% (b) dengan metode LS, MAD, dan Bisquare M-Estimation
8 Nilai dugaan parameter model Gompertz 𝑟 dan 𝐾 dengan menggunakan metode LS, MAD, dan Bisquare M-Estimation yang didapat dari masing-masing metode ditampilkan pada Tabel 2. Umumnya selisih parameter dugaan dengan parameter awal untuk metode MAD dan Bisquare M-Estimation lebih kecil dibanding metode LS. Tabel 2 Parameter dugaan pada model Gompertz dengan metode LS, MAD, dan Bisquare M-Estimation Data Hipotetik
Parameter
Tanpa Pencilan Pencilan Atas-Bawah 5% Pencilan Atas-Bawah 10%
𝑟 selisih 𝐾 selisih 𝑟 selisih 𝐾 selisih r selisih K selisih
Nilai Parameter Awal 0.003000 100.0000 0.003000 100.0000 0.003000 100.0000
Metode LS
MAD
0.002990 0.000010 100.4910 -0.491000 0.009789 -0.006789 15.59348 84.40652 0.009185 -0.006185 17.32250 82.67750
0.003007 -0.000007 100.0000 0.000000 0.003008 -0.000008 100.0000 0.000000 0.002998 0.000002 100.0000 0.000000
BISQUARE 0.002989 0.000011 100.5370 -0.537000 0.002964 0.000036 102.9612 -2.961200 0.002514 0.000486 165.6550 -65.65500
Nilai SMAPE pada model Gompertz dapat dilihat pada Tabel 3. Nilai SMAPE yang dihasilkan relatif sama untuk data tanpa pencilan. Nilai SMAPE pada data pencilan atas-bawah 5% dan pencilan atas-bawah 10%, pada metode MAD dan Bisquare M-Estimation lebih kecil dibanding metode LS. Berdasarkan hasil yang diperoleh nilai SMAPE metode Bisquare M-Estimation selalu lebih kecil dari metode MAD. Tabel 3 Nilai SMAPE model Gompertz dengan metode LS, MAD, dan Bisquare M-Estimation Data Hipotetik Tanpa Pencilan
Pencilan Atas-Bawah 5%
Pencilan Atas-Bawah 10%
Metode LS MAD BISQUARE LS MAD BISQUARE LS MAD BISQUARE
SMAPE (%) 0.670262 0.677564 0.670247 3.286417 2.740794 2.732976 4.067516 3.381017 3.380189
Pendugaan Parameter model SEIV Pendugaan parameter dalam karya ilmiah ini selain dilakukan terhadap model dinamik tunggal juga dilakukan terhadap model sistem dinamik yaitu model
9 SEIV. Data hipotetetik yang digunakan terdiri atas tiga jenis, yaitu data hipotetik tanpa pencilan, data hipotetik dengan pencilan atas-bawah 5%, dan pencilan atasbawah 10%. Tebaran data hipotetik tanpa pencilan dapat dilihat pada Gambar 5.
Gambar 5 Tebaran data hipotetik model SEIV tanpa pencilan Pendugaan parameter 𝑞, 𝜉, 𝜃,dan 𝛼 diduga dengan menggunakan tiga metode metode LS, MAD, dan Bisquare M-Estimation. Plot hasil pendugaan dengan ketiga metode terlihat saling berimpit pada Gambar 6.
Gambar 6 Plot pendugaan parameter model SEIV tanpa pencilan dengan metode LS, MAD, dan Bisquare M-Estimation.
10 Data dengan pencilan atas-bawah 5% dan pencilan atas-bawah 10% berturutturut ditunjukkan pada Gambar 7 dan 8. Kedua gambar menunjukkan bahwa plot hasil pendugaan menggunakan metode LS cenderung bergeser ke luar mendekati pencilan. Plot hasil pendugaan menggunakan metode MAD dan Bisquare MEstimation masih saling berimpit mengikuti pola tebaran data tanpa terpengaruh oleh keberadaan pencilan atas-bawah 5% dan pencilan atas-bawah 10%. Hal ini menunjukkan metode LS tidak tahan terhadap pencilan, sedangkan metode MAD dan Bisquare M-Estimation lebih tahan terhadap pencilan.
Gambar 7 Plot pendugaan parameter model SEIV dengan pencilan atas-bawah 5% dengan metode LS, MAD, dan Bisquare M-Estimation
Gambar 8 Plot pendugaan parameter model SEIV dengan pencilan atas-bawah 10% dengan metode LS, MAD, dan Bisquare M-Estimation
11 Pendugaan parameter 𝑞, 𝜉, 𝜃, dan 𝛼 pada model SEIV dengan menggunakan metode LS, MAD, dan Bisquare M-Estimation ditampilkan pada Tabel 4. Perbedaan nilai pendugaan parameter pada metode MAD dan Bisquare MEstimation terlihat tidak signifikan. Tabel 4 Parameter dugaan pada model SEIV dengan metode LS, MAD, dan Bisquare M-Estimation Data Hipotetik
Tanpa Pencilan
Pencilan AtasBawah 5%
Pencilan AtasBawah 10%
Parameter 𝑞 Selisih 𝜉 Selisih 𝜃 Selisih 𝛼 Selisih 𝑞 Selisih 𝜉 Selisih 𝜃 Selisih 𝛼 Selisih 𝑞 Selisih 𝜉 Selisih 𝜃 Selisih 𝛼 Selisih
Nilai Parameter Awal 0.400000 0.010000 0.000520 0.030000 0.400000 0.010000 0.000520 0.030000 0.400000 0.010000 0.000520 0.030000
Metode LS 0.428720 -0.028720 0.009886 0.000114 0.000504 0.000016 0.032048 -0.002048 0.831176 -0.431176 0.010641 -0.000641 0.000555 -0.000035 0.060351 -0.030351 76.24840 -75.84840 0.014441 -0.004441 0.001278 -0.000758 5.454975 -5.424975
MAD 0.399972 0.000028 0.009855 0.000145 0.000520 0.000000 0.030000 0.000000 0.399209 0.002423 0.010074 -0.000074 0.000519 0.000001 0.030000 0.000000 0.400973 -0.000973 0.010035 -0.000035 0.000520 0.000000 0.030000 0.000000
BISQUARE 0.415945 -0.015946 0.009801 0.000199 0.000514 0.000006 0.031099 -0.001099 0.408941 -0.008941 0.009774 0.000226 0.000508 0.000012 0.030602 -0.000602 0.399662 0.000338 0.009752 0.000248 0.000486 0.000034 0.029978 0.000022
Metode robust adalah metode yang tahan terhadap pencilan. Hal ini terlihat dari nilai SMAPE metode MAD dan Bisquare M-Estimation pada data pencilan atas-bawah 5% dan pencilan atas-bawah 10% relatif sama dan kecil dibanding dengan nilai SMAPE metode LS. Nilai SMAPE yang diperoleh lebih diperjelas pada Tabel 5. Semakin kecil nilai SMAPE menunjukkan semakin kecil pula kesalahan pendugaan dari metode tersebut. Bisquare M-Estimation memiliki nilai SMAPE terkecil, hal ini menandakan bahwa metode Bisquare M-Estimation adalah metode yang relatif lebih baik dibanding dengan metode LS dan MAD.
12 Tabel 5 Nilai SMAPE model SEIV dengan metode LS, MAD, dan Bisquare MEstimation Data Hipotetik
Tanpa Pencilan
Pencilan AtasBawah 5%
Pencilan AtasBawah 10%
Metode
Mean SMAPE (%)
LS
2.045133
MAD
2.047119
BISQUARE
2.044879
LS
3.830413
MAD
3.584347
BISQUARE
3.574554
LS
7.086852
MAD
5.580051
BISQUARE
5.577319
Parameter
SMAPE(%)
𝑞 𝜉 𝜃 𝛼 𝑞 𝜉 𝜃 𝛼 𝑞 𝜉 𝜃 𝛼 𝑞 𝜉 𝜃 𝛼 𝑞 𝜉 𝜃 𝛼 𝑞 𝜉 𝜃 𝛼 𝑞 𝜉 𝜃 𝛼 𝑞 𝜉 𝜃 𝛼 𝑞 𝜉 𝜃 𝛼
0.646693 3.702730 2.920324 0.910785 0.649332 3.699555 2.926005 0.913582 0.650349 3.691629 2.927735 0.909801 2.841202 5.546133 4.565781 2.368535 2.759307 5.620305 4.553947 1.403826 2.750705 5.592373 4.562655 1.392481 6.555997 8.102548 7.633644 6.055218 5.416545 8.025065 6.994094 1.884496 5.411091 8.023017 6.991187 1.883981
Cara lain untuk membandingkan ketiga metode tersebut dalam karya ilmiah ini yaitu dengan menggunakan diagram boxplot yang menjelaskan sebaran data SAPE. Gambar 9 dan 10 memperlihatkan perbandingan boxplot dari ketiga metode pada model Gompertz, sedangkan boxplot pada model SEIV ditampilkan pada Gambar 11, 12, dan 13. Dari diagram kotak (boxplot) di bawah dapat dilihat bahwa tingkat keragaman SAPE pada model Gompertz dan SEIV tanpa pencilan lebih seragam daripada SAPE data dengan pencilan. Pada data dengan pencilan, diagram
13 kotak metode MAD dan Bisquare M-Estimation lebih pendek dibandingkan diagram kotak LS. Hal ini menunjukkan metode MAD dan Bisquare M-Estimation lebih tahan terhadap pencilan.
Gambar 9 Boxplot SAPE ketiga metode pada data model Gompertz tanpa pencilan
(a) (b) Gambar 10 Boxplot SAPE ketiga metode pada data model Gompertz dengan pencilan atas-bawah 5% (a) dan pencilan atas-bawah 10% (b)
S
E
I
V
```
Gambar 11 Boxplot SAPE variable S, E, I, dan V dengan metode LS, MAD, dan Bisquare M-Estimation pada data model SEIV tanpa pencilan
14
S
E
I
V
Gambar 12 Boxplot SAPE variable S, E, I, dan V dengan metode LS, MAD, dan Bisquare M-Estimation pada data model SEIV pencilan atas-bawah 5%
S
E
I
V
Gambar 13 Boxplot SAPE variable S, E, I, dan V dengan metode LS, MAD, dan Bisquare M-estimation pada data model SEIV pencilan atas-bawah 10%
15
SIMPULAN Simpulan Pendugaan parameter pada model Gompertz dan SEIV dilakukan dengan menggunakan metode LS, MAD, dan Bisquare M-Estimation. Pendugaan pada kedua model tersebut dengan metode Least Square (LS) tidak tahan terhadap pencilan atas-bawah 10% maupun pencilan atas-bawah 5%. Metode robust yaitu metode Median Absolute Deviation (MAD) dan Bisquare M-Estimation menghasilkan pendugaan yang lebih tepat dibanding metode LS. Metode Bisquare M-Estimation menghasilkan nilai SMAPE yang relatif lebih baik dibanding MAD. Dengan demikian, pada kasus ini metode Bisquare M-Estimation relatif lebih tahan terhadap pencilan untuk kedua model tersebut. Ketiga metode dapat diterapkan pada data tanpa pencilan.
DAFTAR PUSTAKA Behera A, O’Rourke S, 2008. The effect of correlated noise in a Gompertz tumor growth model. Braz. J. Phys. 38(2).dx.doi.org/10.1590/S010397332008000200011. Cheney, David K. 2008. Numerical Mathematics and Computing, Sixth Edition. Dedicated to David M. Young. Draper N, Smith H. 1992. Analisis Regresi Terapan. Sumantri B, penerjemah. Jakarta (ID): Gramedia Pustaka Utama. Terjemahan dari: Applied Regression analysis. Ed ke-2. Fox J. 2002. Robust regression : Appendix to an R and S-PLUS. Companion to applied Regression. [diunduh 2014 Sept 24]; Tersedia pada: http://cran.rproject.org/doc/contrib/Fox-Companion/appendix-robust-regression.pdf. Islam S, Zaman G, Saddiq SF, Khan MA, Khan SA, Ahmad F, Ullah M. 2013. Analytical solution of an SEIV epidemic model by Homotopy Perturbation method. VFAST Transactions on Mathematics. 1(2):1-7. [diunduh 2014 Sept 24]; Tersedia pada: http://www.vfast.org/index.php/VTM/article/ viewFile/43/58.. Ripley BD. 1992. Robust statistics. M.Sc. in Applied Statistics MT2004. [internet].[diunduh 2014 Sept 9]. Tersedia pada : http://www.stats.ox.ac.uk/pub/StatMeth/Robust.pdf Strogatz SH. 2000. Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications To Physics, Biology, Chemistry, and Engineering. United States (US): Perseus Books Publishing, LLC. Weisstein EW. 1999. Box-and-whisker plot. MathWorld [diunduh 2014 Feb 10]. Tersedia pada: http://mathworld.wolfram.com/Box-and-WhiskerPlot.html Widiasari LY.2014. Pendugaan Parameter Model Dinamik dengan Metode Robust Median Absolute Deviation (MAD) [skripsi]. Bogor: Institut Pertanian Bogor. Yafee RA. 2002. Robust regression analysis: some popular statistical package options. Statistics, Social Science, and Mapping Group [diunduh 2014 Mar 19]. Tersedia pada: http://www.nyu.edu/its/socsci/Docs/Robust%20reg2.pdf.
16 Lampiran 1 Kodingan pendugaan parameter pada model Gompertz dengan metode LS, MAD dan Bisquare M-Estimation
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
RIWAYAT HIDUP Penulis lahir di Cibubur-Jakarta Timur pada tanggal 29 Desember 1992 sebagai anak sulung dari tiga bersaudara, anak dari M. Arief Sutrisno dan Zun Afidah.Tahun 2005 penulis lulus dari SDN Tridaya Sakti 03 Kota Bekasi. Tahun 2008 penulis lulus dari SMPN 1 Tambun Selatan Kota Bekasi. Tahun 2011 penulis lulus dari SMAN 1 Tambun Selatan Kota Bekasi dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Ujian TalentaMasuk IPB (UTMI). Pada tahun 2012, penulis masuk Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama menuntut ilmu di IPB, penulis aktif di Gugus Mahasiswa Matematika IPB, khususnya sebagai pengawas GUMATIKA IPB.
