PENDAHULUAN LANDASAN TEORI

1

PENDAHULUAN Latar Belakang Dalam kehidupan sehari-hari, banyak permasalahan yang dapat dimodelkan dengan proses stokastik. Proses stokastik dapat dibedakan menjadi dua yaitu proses stokastik dengan waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson periodik. Contoh proses yang dapat dijelaskan dengan proses Poisson periodik adalah proses kedatangan pelanggan ke suatu pusat servis. Namun, jika banyaknya pelanggan yang datang mempunyai kecenderungan meningkat secara linear terhadap waktu, maka model yang cocok adalah proses Poisson periodik dengan tren linear. Pada proses kedatangan pelanggan tersebut, waktu tunggu dari seorang pelanggan adalah jarak waktu sejak pusat servis tersebut dibuka sampai pelanggan tersebut datang. Karena waktu tunggu ini merupakan suatu peubah acak kontinu, maka ia memiliki fungsi sebaran dan fungsi kepekatan peluang. Umumnya kedua fungsi ini tidak diketahui sehingga diperlukan suatu penduga bagi kedua fungsi tersebut.

Pada tulisan ini dikaji kekonsistenan penduga fungsi sebaran dan fungsi kepekatan peluang waktu tunggu proses Poisson periodik dengan tren linear. Ini merupakan rekonstruksi dari paper Mangku (2010). Untuk menyusun suatu penduga yang konsisten, diperlukan data yang banyaknya menuju tak hingga jika panjang interval pengamatan menuju tak hingga. Agar data pengamatan di berbagai bagian interval pengamatan yang berbeda bisa digunakan untuk menduga fungsi sebaran dan fungsi kepekatan peluang, maka diperlukan asumsi keperiodikan dari fungsi intensitas proses yang dikaji. Pada kajian ini dianggap periode dari fungsi intensitas diketahui yaitu . Tujuan

Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah 1. Mengonstruksi kembali penyusunan penduga fungsi sebaran dan fungsi kepekatan peluang waktu tunggu proses Poisson periodik dengan tren linear. 2. Mengonstruksi kembali pembuktian kekonsistenan penduga fungsi sebaran waktu tunggu dan penduga fungsi kepekatan peluang waktu tunggu.

LANDASAN TEORI Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama yang hasilnya tidak bisa diprediksi secara tepat tetapi dapat diketahui semua kemungkinan hasil yang muncul disebut percobaan acak. Definisi 1 (Ruang contoh) Ruang contoh adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak, dinotasikan dengan Ω. [Grimmett dan Stirzaker, 1992] Definisi 2 (Kejadian) Kejadian adalah suatu himpunan bagian dari ruang contoh Ω. [Grimmett dan Stirzaker, 1992]

Definisi 3 (Kejadian lepas) Kejadian  dan  disebut saling lepas jika irisan dari keduanya adalah himpunan kosong  . [Grimmett dan Stirzaker, 1992]

Definisi 4 (Medan- ) Suatu himpunan  yang anggotanya adalah himpunan bagian dari Ω disebut medan- jika memenuhi kondisi berikut 1.   ; 2. Jika  ,  , …   maka ∞    ; 3. Jika    maka   . [Grimmett dan Stirzaker, 1992] Definisi 5 (Ukuran peluang) Ukuran peluang Ρ pada Ω,  adalah fungsi Ρ:   0,1" yang memenuhi 1. Ρ # 0, ΡΩ # 1,

2 2. Jika  ,  , … adalah himpunan lepas yang merupakan anggota dari , yaitu  $ % # , untuk setiap i, j dengan & ' (, maka Ρ∞  # ∑∞*Ρ +. [Grimmett dan Stirzaker, 1992] Pasangan Ω, , Ρ disebut ruang peluang.

Definisi 6 (Kejadian saling bebas) Kejadian  dan  dikatakan saling bebas jika Ρ $  # P P . Secara umum, himpunan kejadian { ; &  Ι} dikatakan saling bebas jika P*./  += ∏/ P , untuk setiap himpunan bagian berhingga 1 dari Ι. [Grimmett dan Stirzaker, 1992] Peubah Acak dan Fungsi Sebaran Definisi 7 (Peubah acak) Peubah acak 2 adalah fungsi 2: Ω 4 5 dengan 67  Ω: 27 8 9:   untuk setiap 9  5. [Grimmett dan Stirzaker, 1992] Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital, seperti 2 , ; dan < . Sedangkan nilai peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil, seperti 9, = dan >.

Definisi 8 (Fungsi sebaran) Fungsi sebaran peubah acak 2 adalah ?@ : 5 4 0,1", yang didefinisikan oleh ?@ 9 # P2 8 9 . Fungsi ?@ disebut fungsi sebaran dari peubah acak 2. [Grimmett dan Stirzaker, 1992] Definisi 9 (Peubah acak diskret) Peubah acak 2 dikatakan diskret jika semua himpunan nilai 69 , 9 , … : dari 2 merupakan himpunan tercacah. [Grimmett dan Stirzaker, 1992] Definisi 10 (Fungsi massa peluang) Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret 2 adalah fungsi A@ : 5 4 0, 1", yaitu A@ 9 # Ρ2 # 9 . [Grimmett dan Stirzaker, 1992] Definisi 11 ( Peubah acak kontinu) Peubah acak 2 dikatakan kontinu jika ada fungsi B@ sehingga fungsi sebaran ?@ dapat dinyatakan sebagai

F

?@ 9 # C B@ D ED, G∞

9  5, dengan B@ H 5 4 0, ∞ adalah fungsi yang terintegralkan. Fungsi B@ disebut fungsi kepekatan peluang bagi peubah acak 2. [Grimmett dan Stirzaker, 1992] Kekonvergenan Definisi 12 (Konvergen dalam peluang) Misalkan 2 , 2 , … , 2 adalah peubah acak pada suatu ruang peluang Ω, , Ρ . Suatu barisan peubah acak 2 , 2 , …, dikatakan konvergen dalam peluang ke peubah acak 2, J

ditulis 2I 4 2, untuk K 4 ∞, jika untuk setiap L M 0, lim Ρ|2I R 2| S L # 0. I4∞

[Casella dan Berger, 1990]

Lema 1 (Sifat kekonvergenan dalam peluang) Misalkan 2I konvergen dalam peluang ke 2 dan ;I konvergen dalam peluang ke ; maka 2I ;I konvergen dalam peluang ke 2;, J

dinotasikan dengan2I ;I 4 2;. [Hogg et al., 2005] Bukti: Lihat Hogg et al. 2005. Momen, Nilai Harapan dan Ragam Definisi 13 (Momen) 1. Jika 2 adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang A@ , momen ke- T dari 2 didefinisikan sebagai Ε2 U " # ∑ 9U A@ 9 , jika jumlah di atas konvergen. Jika jumlah di atas divergen, maka momen ke-T dari peubah acak 2 adalah tidak ada. 2. Jika 2 adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang B@ , momen ke-T dari 2 didefinisikan sebagai W∞ Ε2 U " # VG∞ 9 U B@ 9 E9 , jika integral di atas konvergen. Jika integral di atas divergen, maka momen keT dari peubah acak 2 adalah tidak ada. [Taylor dan Karlin, 1984] Definisi 14 (Nilai harapan) 1. Jika 2 adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang A@ , maka nilai harapan dari 2 didefinisikan sebagai Ε2" # X 9 A@ 9 , 

3

jika jumlah di atas konvergen. Jika jumlah di atas divergen, maka nilai harapan dari 2 adalah tidak ada. 2. Jika 2 adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang B@ , maka nilai harapan dari 2 didefinisikan sebagai Y

Ε2" # C 9B@ 9 E9 , GY

jika integral di atas konvergen. Jika integral di atas divergen, maka nilai harapan dari 2 adalah tidak ada. [Taylor dan Karlin, 1984] Definisi 15 (Ragam) Jika 2 adalah peubah acak, maka ragam dari 2 didefinisikan sebagai Z[\2 # ΕX R ΕX"  ". [Taylor dan Karlin, 1984] Definisi 16 (Covarian) Misalkan 2 dan ; adalah peubah acak dan misalkan pula ^@ dan ^_ masing-masing menyatakan nilai harapan 2 dan; . Covarian dari 2 dan ; didefinisikan sebagai `ab2, ; # c2 R ^@ ; R ^_ ". [Casella dan Berger, 1990] Lema 2 Misalkan 2 dan ; adalah peubah acak dan misalkan pula d dan E adalah dua buah konstanta sebarang, maka Z[\d2 e E; # d  Z[\2 e E  Z[\;

e 2dE`ab2, ; . Jika 2 dan ; adalah peubah acak saling bebas, maka Z[\d2 e E; # d  Z[\2 e E  Z[\; . [Casella dan Berger, 1990] Bukti: Lihat Lampiran 1 Lema 3 Jika 2 adalah peubah acak dengan ragam yang berhingga, maka untuk sebarang konstanta d dan E, berlaku Z[\d2 e E # d  Z[\9 . [Casella dan Berger, 1990] Bukti: Lihat Lampiran 2. Definisi 17 (Fungsi indikator) Misalkan A adalah suatu kejadian. Fungsi indikator dari A adalah suatu fungsi gh H Ω 4 60,1:, yang diberikan oleh 1, (&j[ 7   l gh 7 # i 0, (&j[ 7 k . [Grimmett dan Stirzaker, 1992]

Nilai harapan dari fungsi indikator di atas dapat dinyatakan sebagai berikut cgh # Ρ .

Penduga dan Sifat-sifatnya

Definisi 18 (Statistik) Statistik adalah suatu fungsi dari satu atau lebih peubah acak, yang tidak bergantung pada satu atau beberapa parameter yang nilainya tidak diketahui. [Hogg et al., 2005] Definisi 19 (Penduga) Misalkan 2 , 2 , … , 2I adalah contoh acak. Suatu statistik 2 , 2 , … , 2I

yang digunakan untuk menduga suatu parameter, katakanlah mn , disebut sebagai penduga (estimator) bagi mn . Begitu 2 , 2 , … , 2I diamati, katakanlah bernilai 2 # 9 , 2 # 9 , … , 2I # 9I , maka nilai 9 , 9 , … , 9I

disebut sebagai dugaan (estimate) bagi mn . [Hogg et al., 2005] Definisi 20 (Penduga tak-bias) 1. Suatu penduga yang nilai harapannya sama dengan parameter mn yang diduga, yaitu c2 , 2 , … , 2I " # mn , disebut penduga tak bias bagi parameter tersebut. Jika tidak, penduga tersebut disebut berbias. 2. Bila lim c2 , 2 , … , 2I " # mn

I4∞

maka 2 , 2 , … , 2I disebut sebagai penduga tak bias asimtotik bagi mn . [Hogg et al., 2005]

Definisi 21 (Penduga konsisten) Suatu penduga 2 , 2 , … , 2I yang konvergen dalam peluang ke parameter mn , yaitu o

2 , 2 , … , 2I 4 mn , untuk K 4 ∞, disebut penduga konsisten bagi mn . [Hogg et al., 2005]

Definisi 22 (pq dan rq ) 1. Barisan dari peubah acak 62I : yang berpadanan dengan fungsi sebaran 6?I : dikatakan terbatas dalam peluang, ditulis 2I # so 1 , untuk K 4 ∞ , jika untuk setiap L M 0, uvw dan xw sehingga ?I vw R ?I Rvw M 1 R L, yK M xw . Mudah terlihat bahwa z

2I 4 2 { 2I # so 1 .

4

2. Secara umum, untuk dua barisan dari peubah acak 6|I : dan 6ZI : , notasi |I # so ZI menyatakan bahwa barisan | } I~Z  adalah so 1 , untuk K 4 ∞. I 3. 2I # ao 1 , jika untuk setiap L M 0 , berlaku lim P|2I | M L # 0. I4∞

4. Secara umum, untuk dua barisan dari peubah acak 6|I : dan 6ZI : , maka |I # | ao ZI jika } I~Z  adalah ao 1 , I untuk K 4 ∞. 5. Jika |I # ao ZI berimplikasi |I # so ZI , untuk K 4 ∞. [Serfling, 1980] Definisi 23 (MSE suatu penduga) Mean squared error (MSE) dari penduga  untuk parameter n adalah fungsi dari n yang didefinisikan oleh Eƒ  R n  . Dengan kata lain MSE adalah nilai harapan kuadrat dari selisih antara penduga  dan parameter n . Dari sini diperoleh  Eƒ  R n  # Z[\ e *Eƒ  R n +  # Z[\ e *&[„nI + . [Casella dan Berger, 1990] Proses Stokastik dan Proses Poisson Definisi 24 (Proses stokastik) Proses stokastik … # 62† , †  ‡: adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu ruang state (state space) ˆ. [Ross, 1996]

Jadi, untuk setiap † pada himpunan indeks ‡ , 2† adalah suatu peubah acak. Indeks † sering diinterpretasikan sebagai waktu dan 2† disebut sebagai state (keadaan) dari proses pada waktu †. Ruang state ˆ mungkin berupa 1. ˆ # ‰ (himpunan bilangan bulat (integer)), atau himpunan bagiannya. 2. ˆ # 5 (himpunan bilangan nyata (real)), atau himpunan bagiannya. Suatu proses stokastik 2 disebut proses stokastik dengan waktu diskret (discrete time stochastic process) jika himpunan indeks ‡ adalah himpunan tercacah (countable set), sedangkan 2 disebut proses stokastik dengan waktu kontinu (continuous time stochastic process) jika ‡ adalah suatu interval.

Definisi 25 (Proses pencacahan) Suatu proses stokastik 62† , † S 0: disebut proses pencacahan (counting process) jika 2† menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu †. [Ross, 1996]

Kadangkala proses pencacahan 62† , † S 0: ditulis 20, †" , yang menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi pada selang waktu 0, †". Suatu proses pencacahan disebut memiliki inkremen bebas jika banyaknya kejadian yang terjadi pada sembarang dua selang waktu yang tidak tumpang tindih (tidak overlap) adalah bebas. Sedangkan suatu proses pencacahan disebut memiliki inkremen stasioner jika sebaran dari banyaknya kejadian yang terjadi pada sembarang selang waktu hanya bergantung dari panjang selang tersebut. Salah satu proses pencacahan yang penting adalah proses Poisson, yang juga merupakan salah satu contoh penting dari proses stokastik dengan waktu kontinu.

Definisi 26 (Proses Poisson) Suatu proses pencacahan 62† , † S 0: disebut proses Poisson dengan laju , M 0, jika dipenuhi tiga syarat berikut 1. 20 # 0. 2. Proses tersebut memiliki inkremen bebas. 3. Banyaknya kejadian pada sembarang interval waktu dengan panjang †, memiliki sebaran Poisson dengan nilai harapan †. Jadi, untuk semua †, „ S 0, Ρ2† e „ R 2„ # j # k # 0, 1, …

Š ‹Œ Ž  ‘!

,

[Ross, 1996]

Proses Poisson dengan laju yang merupakan konstanta untuk semua waktu † disebut proses Poisson homogen (homogeneous Poisson process). Jika laju bukan konstanta, tetapi merupakan fungsi dari waktu †, † , maka disebut proses Poisson tak-homogen (inhomogeneous Poisson process). Untuk kasus ini, † disebut fungsi intensitas dari proses Poisson tersebut. Fungsi intensitas † harus memenuhi syarat

† S 0, untuk semua †. Misalkan 2 adalah proses Poisson dan  adalah suatu selang bilangan nyata. Jika 2 adalah proses Poisson homogen, maka c2 " # ||,

5 dengan || adalah panjang  , serta 2

menyatakan banyaknya kejadian dari proses Poisson pada selang . Jika 2 adalah proses Poisson non homogen dengan fungsi intensitas † , maka ^ # ”2 " # C † E†. •

Dengan kata lain, jika 2 adalah proses Poisson tak-homogen maka 2 memiliki sifat

— G–• , 1. Ρ2 # j # ‘! j # 0, 1, … untuk setiap selang  dengan ^ ˜ ∞. 2. Untuk setiap bilangan bulat positif T S 2 dan  ,  , … , U adalah selang-selang yang disjoint dengan *% + ˜ ∞, ( # 1, 2, … , T, 2 , 2 , … , 2U

merupakan peubah acak yang saling bebas. –• 

Peubah acak yang merupakan jumlah dari dua atau lebih peubah acak Poisson yang saling bebas mempunyai sebaran Poisson juga. Hal ini dapat ditunjukkan oleh lema berikut. Lema 4 (Sebaran jumlah peubah acak Poisson) Misalkan 2 dan ; adalah peubah acak saling bebas dan memiliki sebaran Poisson dengan parameter berturut-turut D dan b. Maka 2 e ; memiliki sebaran Poisson dengan parameterD e b. [Taylor dan Karlin, 1984] Bukti: lihat Lampiran 3. Definisi 27 (Terintegralkan lokal) Fungsi intensitas disebut terintegralkan lokal jika untuk sembarang himpunan Borel terbatas ™ kita memiliki

^™ # V™ „ E„ ˜ ∞. [Dudley, 1989]

Definisi 28 (Titik Lebesgue) Titik „ disebut titik Lebesgue dari suatu fungsi

jika berlaku š

1 lim C| „ e 9 R „ | E9 # 0. š4› 2œ Gš

[Wheeden dan Zygmund, 1977]

Definisi 29 (Intensitas lokal) Intensitas lokal dari suatu proses Poisson takhomogen 2 dengan fungsi intensitas pada titik „  5 adalah „ , yaitu nilai fungsi di „. [Cressie, 1993]

Definisi 30 (Fungsi periodik) Suatu fungsi disebut periodik jika

„ e j # „ , untuk setiap „  5 dan j  ‰ . Konstanta terkecil  yang memenuhi persamaan diatas disebut periode dari fungsi tersebut. [Browder, 1996] Definisi 31 (Proses Poisson periodik) Proses Poisson periodik adalah proses Poisson tak homogen yang fungsi intensitasnya adalah fungsi periodik. [Mangku, 2001] Beberapa Definisi dan Lema Teknis

Definisi 32 (p dan r ) 1. Suatu barisan bilangan nyata 6[I : disebut terbatas dan ditulis [I # s1 , untuk K 4 ∞, jika ada bilangan terhingga  dan  sehingga  ˜ [I ˜  , untuk semua bilangan asli K. 2. Suatu barisan 6žI : konvergen ke nol untuk K 4 ∞ , kadangkala ditulis žI # a1 , untuk K 4 ∞. [Purcell dan Verberg, 1998] Definisi 33 (Momen kedua terbatas) Peubah acak 2 dikatakan mempunyai momen kedua terbatas jika dipenuhi c2  terbatas. [Helms, 1996] Lema 5 (Ketaksamaan Markov) Jika 2 adalah peubah acak dengan c2

terbatas, maka untuk setiap † M 0 berlaku Ÿ|@|

. Ρ|2| S † 8  [Helms, 1996] Bukti: Lihat Lampiran 4. Lema 6 (Ketaksamaan Chebyshev) Jika 2 adalah peubah acak dengan nilai harapan ^ dan ragam terbatas   , maka  Ρ|2 R ^| S   8  ,   untuk setiap   M 0. [Helms, 1996] Bukti: Lihat Lampiran 5. Lema 7 (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz) Jika 2 dan ; adalah peubah acak dengan momen kedua terbatas, maka c62;:  8 c2" c;" , dan akan “bernilai sama dengan” jika dan hanya jika ¡2 # 0 # 1 atau ¡; # [2 # 1 untuk suatu konstanta [. [Helms, 1996] Bukti: Lihat Lampiran 6.