I. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Pemodelan kompartemental mempunyai aplikasi pada berbagai bidang, seperti pergerakan obat pada fannakologi, analisis ekosistem, studi sistem ~iletabolisrnedan gerak pada reaksi kimia. Sistenl pada model ini dianalisis ~nelalui pelisahan sistem menjadi sejumlali komponen, yang disebut kompartemen, yang berhubungan langsung dengan pembalm material. Twri ~nate~ilatikauntuk perilaku sistem ini disebut antrlisis konipartenientnl. Sistem koinpartemental terdiri dari dua atau lebih ko~i~partemen. Sistem tersebut dilnodelkan dalain bentuk persanaan diferensial, d i i a setiap persamaan menggarnbarkan laju pembahan jumlah material terladap waktu pada konipartemen tertentu. Salall satu model kompartemental addah persamaan diferensial berbentuk
memiliki bagian imajiner tak no1 dan memperoleh pertidaksamaan dari jumlah kuadrat bagian imajiner nilai eigen A. Masalah lain adalab lnempelajari sifat-sifat bagian imajiner nilai eigen A, dengan A lnerepresentasikan kornbinasi dua atau lebih cycle. 1.2 Tujuan Tujuan dari pennlisan ini adalah : 1. melnpelajd sifat dari nilai eigen matriks komparten~ental yang mempunyai bagian irnajiner tak nol. 2. memnperolel~selang yang lnembatasi nilai dari jumlali kuadrat nilai eigen A yang imajiner, dan 3. me~npelajarisifat nilai eigen A yang imajiner, dengan A rnerepresentasikan ko~nbinasicycle.
1.3 Metode Metode yang digunakan dalam tulisan dengan topik sifat nilai eigen kolnpleks lnatriks SCCM (Stongly Connected Closed Models) dari model kompartemental ini adalah metode studi pustaka. dengan x dan b adalah vektor kolom n s l dan A yang lneliputi penelusuran dan pennlisan kembali adalah rnatriks konipartenientrrl nsn. Matriks suatu jumal dalam bentuk yang lebih utuh. ko~upartementalA ini memiliki elemen dia~onal utana nonpositif, elemen Iaiunya nomegatif dan jumlal~elemen tiap kolomnya nonpositif. Menurut 1.4 Sistematika Sistenlatika penulisan pada tulisan ini adalah Anderson (1983) semua nilai eigen dari A sebagai berikut. Pada bab dua diberikan landasan mempunyai bagian real nonpositif dan A tidak memnpunyai nilai eigen ilnajiner murni. Jadi, nilai teori sebagai dasar analisis masalall. Pada bab tiga diberikan deskripsi mengenai eigen '4 dapat mneiniliki bagian imajiner tak no1 model kompartemental. Bab empat akan pada saat bagian realnya negatif, selkgga dari membahas sifat-sifat dari nilai eigen ko~npleks aspek dinanik: osilasi teredam mungkin tejadi matriks SCCM. pada solusi persamaan (1). Tetapi tulisan ini tidak Bab lima nienlbahas nilai eigen suatu matriks ~uembahas aspek kedinamikan dari model SCCM yang rnerepresentasikan cycle dan bab ko~l~partemental,melainkan mempelajari aspek enan lnernbahas nilai eigen suatu litatriks SCCM aljabarnya. cycle. Masdall yang dibahas pada tulisan ini adalah yang lnerepresentasikan kombinasi Kesimpulan dari tulisan ini ada pada bab teraklur. rnerupelajari kondisi pada saat nilai eigen A
II. LANDASAN.TEORI 2.1 Definisi dan L e n ~ aDasar dalam AIjabar
Linear Definisi 1 [Noble. 19691 Misalkan matriks A =(ai,),. Minor dari n, adalah deter~~inan dari matriks ~.. .,..,.. ., vane dioeroleh , dengan mengl~ilangkanbasis ke-i dan kolom ke-j dari ~llatriksA,,, dan dinotasikan dengan n/fv Bilangan B,=(-l)'iJhJ/, disebut kofaktor dari a,
- .
Definisi 2 fNoble. 19691 Deterniinan dari ru~atriksA=(o,),,, oleh ekspresi \A\ = d
didefinisikan
e t =~ i a , , ~ , , i=l
Definisi 3 [Noble. 19691 Misalkan A adalal~ ~natriks 17m. Polinori~ flL)=det(.4 - A) disebut yolirionz krrrulderistik dan
pers;unaanl(A)=O disebut persumuun kurakterisfik dari A. Nilai eigen dari A adalah skalar A> dimana A x = k atau (A - W ) x=O mnenipunyai solusi tak nol. Solusi tak no1 x disebut vektor eigerz dari A. Definisi 4 [Anton, 19951 Jika matriks A={aij},, maka trunspose dari A adalah ~ ' = { b ~ } "dengan ~, bo= a,;. Lema 1 Nilai eigen lnatriksA d a n ~ 'adalah sama. Bulti : Misalkan A adalah ~ l a eigen i dari matriks A, maka polinom karakteristik dari A adalah fA(A)=IA - 21. Karena (A - ailT = ( A -~a ) , maka dari sifat detemkan J;,(A)=H - 2 1 = IAT-AII= f,, (A) Karena polinom karakteristik dari A dan A* sama. maka A dan A' mnempunyai nilai eigen yang sama. 0 Definisi 5 [Anton, 19951 Terus dari matriks A={aii},, ditulis trA, adalall jnmlah dari elemen-elemen diagonal utamanya.
Lema 3 pIoble, 19691 Polinom karakteristik dari matriks A={av)na adalah polinom berderajat-11,XA) dengan XA)=ao An+al A"-'+. . . + a,.~ A+ a, dengan a; adalah jumlah prinsif minor orde-i berganti tanda (~YSJ?)dan untuk 00, al dan a, memenulli 0 0 = (-1):11 al = (-1) t r A 3 an= IAl. Jika lulai eigen -4adalah Al,. . . ,IlnInaka
Bukti: Jika W-AII diperluas &lam bentnk elemen pada baris pertama, maka diperoleh
Bv adalah kofaktor dari elemen (iJ) pada A-A1 dengan , Ell polinom A berderajat n-1 Bljpolinom Aberderajat 17-2 untuk j=2,3,. ..,n , sellingga , X.2) =(all-A) Bll -1-{Polinomberderajat (17-2)). Argumen yang sana diterapkan pa& Bll dan dengan pengulangan diperoleh. j(A) = (all- A)(ar A). . . (a,, - A) +{Polinom berderajat (17-2) atau knrang)
-
Definisi 6 [Anton, 19951 Matriks A, disebut segitiga atus jika semua elenlen di bawah diagonal utama adalah nol. Lema 2 [Marcus & Minc, 19691 1. Jika matriks A={av)m,dan B={bv}-,
I/
I,
I?
maka
(-l)"An + (-I)"-' x u i i An-'
j=li=I
2. Jika Tmnadaldl m a a s segitiga atas, maka
+ {Polinom
;=I
berderajat (n-2) atau kurang) (2) sellingga polinom karakteristik dari matriks A., adalah polimom berderajat-n dengan koefisien An adalah (-1)" dan koefisien ,T1adalah
"
(ii) trAAT = C C a , a v = ~ C a . i ;=I j = l
n
=
i=l
Misalkan &>, 2,=1,2,..., n adalah nilai eigen A. , m&i XA) ==lil.aI=(A121I,)(h. A) , , A) t)
2
t r n T = C t i j + C XI,; ;=I
I'
"
;=I j = ~ ic i
Definisi 7 [Noble, 19691 Matriks A,,, disebut nonsingulur atau mempunyai invers, jika ada matriks B sehungga AB=BA=I, dengan I matriks identitas. Matriks B disebut irzvers dari A dan dinotasikm dengan A-I.
=(-1)"X +(-I)"-'C Ai 2.' + . . .
(3)
i=l
Untuk lnenentukan konstanta a, , pilih A=O padaj(A) sellingga dari persamaan (3) diperoleh !Al=AlA2.. A Jadi, dari persamaan (2) dan (3) terbukti v
CA; =Ca,, =trA ;=I
i=1
0
Aliibat 1 [Noble, 19691 arg(p+iv) adalall suatu sudut sedemikian Npa Jika nilai eigen matriks A,, adalah At ,...,A,,, sehingga tan 0 = v / p . maka Lema 5 [Hall & Knight, 19641 f r ~ '=:A; . Pada polinom dengan koefisien real. jika i=l mempmyai akar kompleks, maka selalu dengan sekawannya. Bukti : Misalkan A i=1.2,...,n adalall nilai eigen yang Bukti : bersesuaian dengan matriks A artinya Ax=+, Misalkan JA) =O adalah polinom dengan Inaka dari Lema 3 koefisien real dan ~nelnpunyai akar konipleks dan ~AX=A@X)=A(G)=.~(AX)=A{.ZSC)=&~X.
Berarti nilai eigen yang bersesuaian dengan matriksA.4 adalall
Definisi 8. [Marcus & Minc, 19691 Matriks nomegatif K,, disebut tak terurai jika matriks tersebut tidak dapat diuraikan (melalui pertukaran baris, kemudian pertukaran yang sama terhadap kolomnya) ke dalam bentuk
p+i v. akan dibuktikan bal~wap -i v juga akar dari XA). Faktor dari XA) yyag bersesuaian untuk dua akar adalal1 (A-p- iv)(A-p+iv) atau (A-p)2+?. MisalkanXA) dibagi ole11 (A-p)'+ 2, maka ~d)=fi(A){(A-p)2+$)+ aA+b, dengan a,b~'iRdanfi(A) adalah polinom berde~ajal '17-2. Karena A=p+iv, maka dari hipotesis .flA)=O dan (A-p)'+?=0, sellingga a(p+iv)+b=O. Bagian real dan imajiner di atas sama dengan nol, sehingga ap+b=O clan U F O . Karena MfO. maka a=O; mengakibatkan b=0. Sehingga XA) lhabis dibagi ole11 ( ~ - p )?, ~ jadi + p -iv juga akar dari polinom tersebut. 0
1
~
2~ 3 1 '
dengan K2 matriks sembamng, Kl dan K3 adalah sub mahiks segi, sedangkan 0 adalah ma* nol. Lema 4 warcus & Minc, 19691 Misalkan K,, adalah matriks tak terurai yang nomegatif dan A+=maks{A I Kx >Ax. x 2 01, maka ada suatu nilai eigen real nomegatif A ' dan vektor eigen x+ nomegatif yang bersesuaian dengan A' , sehingga fi'=A+xi dan jika A adalah nilai eigen lain dari K ,maka 14 21 A'. Selanjutnya A ' disebut nilai eigezz Perron.
Akibat 2 Misalkan 4 , j=l, ...,n adalali nilai eigen dari matriks A, maka rata-ntanya, A , bemilai real. Buliti : Misalkan nilai eigen dari mahiks A real atau kompleks, untuk nilai eigen real , maki 2 real dan untuk nilai eigen kompleks, berdasarkan Lema 5 maka penjumlahan bagian imajiner dari nilai eigen akan saling menglulangkan, yang berakibat 2 real. 0
Buliti: Liliat Oksaviri (1997) 2.2 Ruaug Vektor Kompleks
Definisi 9 [Paliouras, 19871 Bilazrgan konrpleks adalah suatu pasangan t e m t bilangan real yang dinyatakan oleh (p, v) atau p+iv, dengan i2= -1. Untuk sen~barangbilangan kompleks z =p+iv, nrgrinren z , ditulis arg z, didefinisikan sebagai salal~satu sudut yang dibentuk ole11 vektor z dengan surnbu real positif. Dengan kata lain
Lema 6 [Paliouras. 19871 Misalkan z = p+iv= r(cos0 + i si170)= rd8, dengan $ = @+3)dan 0 = arctan@ /v). Jika 17 bilangan bulat positif, maka I"= ~ " ( C O Sn0+isi1?n 0 ) = me"'. Buliti : Proses pembuktian dilakukan dengan induksi malemalika. Untuk 17=2,
r'=zz = rfcos B+isin 0 ) r(cos B+isin 8 )
Lema 9 IPaliouras, 19871
.-
?I=
Asumsikan benar untuk n=k, sehingga 9 = ~ ( C Ok8+isin S k 8 ) = peika. Untuk 17=k+l 22 = ~ ( C Ok@+isin S k 8 ) r(cos0+isin 8 ) = T1(cos(kB+B)+isin( k@+@)) = ?'(cos( k+1)8+isi17(k+1)8) = ++lei(il+l)8
13
Lema 7 [Paliouras. 19871 Misalkan z" = ~"(COS n 8 + isin 170)= i-"e'"'. dan z, = r, (cos@,+ i sin@,). Jika z" = z., ~nakaakar ke-n dari z diberikan oleh 17 bilangan kolnpleks zk= r,'"(cos (B,ln+2d/n)+ i sin (8&+2d/n)), k=O. 1,... ,n-1.
Buliti : Dati persalnaan trigonometri . sin (x+n) =sin x cos a + sin n cos x. sin (x - n) =sin x cos n - sin n cos x, sehingga sin (x+n) - sin (x - a) = 2sin a cos x. Misalkan ~ 2 n W ndan n=dn. rnaka sin(k+1/2)2rdn -sin(k-1/2)2dn =2sind17 cos2nk/r?. Julnlalkan untuk k0.1. ... , n-1. maka sinfn-l+112~2rd1~sin(-112)2dn . . =
-
sinfn-ll2)2dn + sin rdn =
Buliti : Misalkan
sin(2n-dn )+ sin d n =2sind7
z" = z , r"(cosn8+ i sin 178) = r,(cosO,+ i sin8,), sehingga r"= r, , n0=BO+2& untuk beberapa bilangan bulat k. Karena r dan r, bilangan real positif, berarti r adalal~akar pangkat ke-n dari r, yaitu r = (rJ1'" dan 8= ($+2nk)h7 , selingga akar pangkat n dari z adalah zk= r,""(cos (Bo/,7+2nk/n)+ i sin (8Jn+2xk A?)), k=0,1.... ,n-1. 0
sin 2n cos d n -sin d n cos 271 + sin d n
Lema S
Buliti : Bukti dari lelna tersebut menggunakan deret geornetri. e2dlt,[(e2dl,?r I,-I -Ce'"'" e3ni~,r -1
k=1
-
e2mi!!ead(+~-~)~,? -e2miri e?mlrr
e?" 2m 1,r
I
k=I
I =
Definisi 10 [Anton, 19951 Suatu vektor p disebut konrbinrrsi lilterlr dari vektor-vektor kompleks xl,...,xnjika vektor tersebut dapat dinyatakan dala~nbentuk
dengan c,, lr i S n adalali skalar kolupleks. Definisi 11 [Anton, 19951 Misalkan xi,...,x, adalah vektor-vektor pada ruang vektor kompleks I/. Jika masing-masing vektor pada I/ dapat dinyatakan sebagai ko~ilbinasilinear dari xl....,x,, inaka vektor-vektor ini dikat<&an nrererttfntg I/.
-1
-
1-e2m~n e'm'#t
=-I. -1
0
Definisi 12 [Anton 19953 Jika S={x l,...,xn) adalah himpunari kompleks. maka persamam vektor
vektor
n
Ccixi= 0 , i=l
melnpunyai paling sedikit satu solusi, yakni c,=O, untuk setiap i. Jika ini adalah satu-satunya solusi, hinlprrnan bebas linear. Jika ads Inaka S solusi lain, maka S disebut Irinpunarr tcrk bebas lirtear. Definisi 13 [Anton, 19951 Jika V se~nbarang ruang vektor kolnpleks dan S={xl,.. ..xm)merupakan lumpunan berlungga dari vektor-vektor pada V, maka S disebut basis untuk J'jika 1. S bebas limear 2. S merentang V.
vektor yang berbeda dalau lumpunan tersebut ortogonnl. Suatu himpunan ortogonal yang setiap vektomya lnempunyai nonna satu disebut ortonor,llaL
L~~~ 10 (proses ~ r a l , l . ~ c ~ 7[nh lt oi ~n ~, 19951 ) basis untuk ruang Misalkan {xl,,,,,xn) I/, lnisalkan
..
..
dan definisikan tr2, ..., rr, secara rekursif ole11
untuk h=1,2, . . ., 17-1, dengan PL= ( ~ k + l , t III+ ~ l ) . . . + (xl+l,l~k) Ilk Definisi 14 [Anton, 19951 adalah proyeksi ortogonal xk+~ pada ruang yang Jika u=(ul, ...: zt?) dan v=(vl, ..., v,) adalah vektord i b a n p ole11 vl, ..., uk, ~uaka lumpunan ( 1 1 ~,.... zr,) vektor di C", maka basil kali dalam (u,v) adalali basis ortononnal untuk I,! didefinisikan ole11 (u,v)=
" crc;v, ,
Bulti: Lihat Anton (1995)
i=l
dengan ii, adalah sekawan dari v; ,i=l, ..., n Definisi 15 [Anton 19951 Suatu hasil knli dalanr pada ruang vektor kompleks V adalah fungsi yang menghubungkan bilangan kompleks (u,v) dengan masing-masing pasangan vektor u dan I ) pada V sedemikian sel~inggaaksioma-aksioma berikut terpenuhi untuk semua vektor u, v dan w di V dan semua skalar k. 1. (u,1+=(v,u) 2. (11+v,w)=(tl,>v)+(v. w) 3 . (ku,v)= k(u,v) 4 . (v,v)2 0 dan ( I ~ v=)0 o v = 0 Suatu ruang vektor kompleks dengan suatu lusil kali dalaln disebut run~rg hasil kali dalam konrpleks/ruairg uniter.
Definisi 19 [Anderson, 19831 Matriks4,disebut definit positif, jika A bersifat ( x . 4 ~>) 0. untuk setiap vektor tak no1 x. Definisi 20 [Marcus & Minc, 19691 Misalkan U,, adalali matriks dengan unsur kompleks: maka trunspos sekmvan U, dinyatakan oleh U' dan didefinisikan ole11 U * = , dengan adalah matriks yang unsur-unsurnya sekawan dengan unsur-unsur yang bersesuaian dalam U.
uT
Definisi 21 [Marcus & M i x C19691 M a a s U,, disebut nratriks u~riter,jika u'=u'.
Lema 11 [Marcus Mint, 19691 Misalkan U={hu),,, adalah lnatriks dengan unsur .kompleks, m&i ,.
Definisi 16 [Anton, 19951 Ruang uniter dua vektor u dan 11 disebut ortogo~tal jika ( L I ,=O. ~) Definisi 17 [Anton, 19951 Jika If. adalall sebuall mang miter. lnaka nornzu vektor 11 dinyatakan ole11 llull dan didefinisikan oleh 1 1 ~ 1 1i =(u,zt)In. Definisi 18 [Anton, 19951 Suatu liili~punanvektor pada ruang uniter disebut hirirprinan ortogoncrl jika selnua pasangan vektor-
Lema 12 [Marcus & Minc, 19691 Untuk setiap matriks real A , . ada lnatriks uniter U,, . sehingga UmAU=T . dengan T,, adalali matriks segitiga atas . Bulcti : Proses pe~nbuktian lema ini n~enggunakan induksi matematika. Untuk selnbarang nilai n, misalkan A, adalah nilai eigen dari lnatriks An,, dan
adalab vektor eigen yang bersesuaian dengan Menggunakan proses Gram-Sclunidt, A. konstruksi vektor ~2 ... .\ir,, sehingga {w,,... .w.} adalal~basis ortonormal unruk C'. Misalkan Q adalah lnatriks yang vektor kolom ke-i adalal~IV; untuki=l ,...: n. Q=[ > V I , ~ V ~.... , lvn]=[7l',, prq, dengan ~V=[IV~, ... w"]. Dari konstdsi, Q adalab matriks uniter, lne~nberikan IV,
.
.
selun~~ W-wl a =O. Karena Aivl =Alwl, maka
Lema 13 (Pertidaksaniaan Schrrr) Narcus& Minc, 19691 Jika.4={ov), mempunyai nilai eigen 4, i=l, ...,n , maka
BuMi : Berdasarkan Lema 12, untuk setiap ~natriks .4., ada matriks uniter U,,: seldngga U> U =T. dengan T lnatriks segitiga atas, maka (u-AAU)'=T' U'A'U=T. TU*A'U=TT. (u.AU)U>.U=TT' U.M'U=TT'. Dari Lema 2, diperoleh tr U'AA'U= PM' , sehingga trAAm= t r l T
Lemna ini benar untuk n=2 karena C inatriks 1x1 dan B ~natriks1x1, sehingga Q-AQ adalah matriks segitiga atas. Asumsikan benar untuk n=k, maka ada matriks ortogonal kxkk lfl: seldngga 1,jil Pj =TI: dengan TI 2 . 3 Teori Directed Graph ~natrikssegitiga atas. Definisi 22 [Thulasiraman & Swamy, 19921 Untuk n=k+l, maka C inatriks kxk dan B Directed graph (Digran, D=(V,E) adalah pasangan mnatriks lxk, dengan hipotesis induksi, Inaka ada lnatriks ortogonal kxk, Ifl, selkgga l/,*Cl/,=~~, t e m t V dan E, dengan V adalah himpunan tak kosong dan terbatas dari verteks (simpul) dan E dengan TI mahiks segitiga atas. adalah himpunan pasangan tenuut elemen-elemen Misalkan tak identik lf , yang disebut arc (busur/sisi berarah).
Misalkan U=Qli, U nlatriks muter, karena U-U=(Ql.)'Ql/.= r; Q'Ql/=I. seldngga C'A U=T, dengan T ~natrikssegitiga atas. 0
Definisi 23 [Thulasiramnan & Swamy, 19921 Suatu walk pa& digraf D=(V,E) adalal~ suatu barisan verteks dan arc pada digraf D dengan bentuk 1~l,(l~l,f~2). V2,(1;2,1/3) ,..., Vn.l,(l/;.l,Vn)J*',v Walk yang semua verteksnya berbeda disebut path. Pat17 dengan verteks awal dan akhirnya sana (i,;=I/,) disebut cycle. Definisi 24 [Thulasimman & Swamy. 19921 Digraf D=(l<E) disebut strong!y connected jika pada digraf tersebut ada patl? dari setiap verteks ke setiap verteks lainnya.
