5
I. PENDAHULUAN 1. Latar Belakang Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang mengandung sebuah fungsi yang tak diketahui dengan satu atau lebih turunannya [Stewart, 2003]. Persamaan diferensial dapat dibedakan menurut ordenya, salah satunya persamaan diferensial orde dua. Selain itu, berdasarkan keeksplisitan variabel bebas dalam persamaannya, persamaan diferensial dapat dibagi menjadi dua yaitu persamaan diferensial otonom dan takotonom. Persamaan diferensial otonom secara eksplisit tidak memuat variabel bebas, sedangkan persamaan diferensial takotonom memuat variabel bebas. Variabel bebas merupakan variabel yang tidak bergantung pada variabel lain. Persamaan diferensial takotonom orde dua dapat diaplikasikan ke dalam beberapa bidang, salah satunya bidang fisika. Contoh aplikasi dalam bidang fisika adalah persamaan
diferensial untuk memodelkan gerak sistem mekanik yang mendapat gaya eksternal yang terjadi secara periodik. Dalam karya ilmiah ini akan dibahas persamaan diferensial takotonom orde dua yang memiliki kondisi batas periodik akan menghasilkan suatu solusi periodik. Metode Carathéodory digunakan untuk mencari solusi periodik persamaan diferensial takotonom orde dua tersebut. Untuk menggambarkan solusi periodik dari persamaan diferensial takotonom orde dua digunakan bantuan software Mathematica 6. 2. Tujuan Tujuan dari karya ilmiah ini adalah mempelajari penggunaan metode Carathéodory untuk mencari solusi periodik dari persamaan diferensial takotonom orde dua.
II. LANDASAN TEORI
Definisi 1. (Persamaan Diferensial Orde Dua)
Persamaan diferensial orde dua adalah persamaan diferensial yang memiliki bentuk umum F ( x, y ′, y ′′) = 0
dy , dx
d2y y ′′ = 2 . dx
[Farlow, 1994]
Persamaan
orde
[Ji & Shi,2006]
Definisi 3. (Solusi Periodik)
dimana y diturunkan terhadap x , y′ =
Definisi 2. Takotonom)
T
⎛ ∂V ∂V ∂V ⎞ , ,..., ∇ yV ( x, y ) = ⎜ ⎟ y y yn ⎠ ∂ ∂ ∂ 2 ⎝ 1
(Persamaan
dua
Diferensial
y ′′ − ∇ yV ( x, y ) = 0
disebut persamaan diferensial takotonom dimana V : [ 0, T ] × n → kontinu dan periodik di x dengan periode T dan fungsinya dapat diturunkan dan turunannya kontinu di y,
Anggap bahwa
x = Φ (t )
adalah solusi
periodik untuk persamaan n dan terdapat bilangan x& = f ( x ) ; x ∈ D ⊂ positif
T,
Φ (t + T ) = Φ (t )
sedemikian untuk
∀t ∈
sehingga n
maka
Φ ( t ) disebut solusi periodik dari x = Φ ( t )
dengan periode T. Jika
Φ (t )
memiliki
periode T, maka Φ ( t ) juga memiliki periode 2T, 3T, .... Jika T adalah periode terkecil maka disebut periodik-T. [Verhulst, 1990]
6
L ( x, y ( x ) , y ′ ( x ) )
Definisi 4. (Nilai Batas)
Bentuk
Jika kondisi tambahan untuk persamaan diferensial yang diberikan menghubungkan dua atau lebih nilai x, kondisinya disebut kondisi batas atau nilai batas. [Rice & Strange, 1994]
Lagrangian.
disebut fungsi [Wan, 1995]
Definisi 7. (Panjang atau Norm Vektor)
Panjang atau norm dari suatu vektor x = ( x1 , x2 ,..., xn ) di dalam
Definisi 5. (Kalkulus Variasi)
Kalkulus variasi adalah salah satu teori matematika yang berhubungan dengan masalah optimisasi yang meliputi memaksimumkan atau meminimumkan nilai sebuah integral. Bentuk integral yang dipakai dalam kalkulus variasi adalah
n
didefinisikan
sebagai =
x
x1 + x2 + ... + xn 2
2
2
.
Rumus diatas dinamakan norm Euclidean. [Mathews, 1992]
b
I ( y ) = ∫ L ( x, y ( x ) , y ′ ( x ) ) dx
Definisi 8. (Hasil kali dalam)
a
y′ =
dengan
dy
dan
y ( x ) ∈ C [ a, b ] .
Misalkan x dan y merupakan vektor berukuran m, hasil kali dalam dari vektor x dan y adalah
1
dx Fungsi L diasumsikan mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu terhadap semua argumennya. Untuk pembahasan selanjutnya ditetapkan a = 0, b = T . Sehingga bentuk integral di atas dapat diubah menjadi
x , y = x1 y1 + x2 y2 + ... + xm ym m
x, y =
∑x y i
i
i =1
Suatu vektor juga merupakan suatu matriks yang hanya memiliki satu kolom. Oleh karena itu, persamaan diatas dapat ditulis menjadi T
x y = x1 y1 + x2 y 2 + ... + xm y m .
T
I ( y ) = ∫ L ( x, y ( x ) , y ′ ( x ) ) dx
[Beezer, 2006]
0
y ( x ) ∈ C [ 0, T ] . 1
dengan
Masalah
selanjutnya adalah memilih fungsi
y ( x)
Definisi 9. (Himpunan konveks dan Fungsi Konveks)
titik ujung peubah y ( x ) ditetapkan yaitu
Misalkan C ⊂ n adalah himpunan vektor. Maka C disebut sebagai himpunan konveks jika untuk semua x, x ' ∈ C terdapat λ ∈ [ 0,1]
y ( 0 ) = y0
maka
dalam C [ 0, T ] dengan syarat T dan kedua 1
dan
y ( T ) = yT ,
agar
I ( y ) optimum (maksimum atau minimum)
[Wan, 1995] Definisi 6. (Fungsi Lagrangian)
Bentuk integral yang dipakai dalam kalkulus variasi adalah
(1 − λ ) x + λ x′ ∈ C . Misalkan f merupakan fungsi dengan peubah x yang terdefinisi pada himpunan konveks C. Maka f disebut sebagai fungsi konveks jika f memenuhi persamaan f
( (1 − λ ) x + λ x′ ) ≤ (1 − λ ) f ( x ) + λ f ( x′ ) .
T
I ( y ) = ∫ L ( x, y ( x ) , y ′ ( x ) ) dx
Jika f memiliki turunan kedua, maka f disebut sebagai fungsi konveks jika dan hanya jika
0
dengan y ′ =
dy dx
dan y ( x ) ∈ C [ 0, T ] . 1
∇ 2 f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ C
7
dan merupakan strictly convex jika
x2
I =
∇ 2 f ( x ) > 0, ∀x ∈ C .
∫ f ( x, y, y′ ) dx
(1)
x1
Akan dihasilkan persamaan diferensial untuk y ( x ) dengan membandingkan nilai I yang
[Hanum, 2006] Definisi 10. (Persamaan Euler-Lagrange)
sesuai untuk pendekatan fungsi y ( x ) . Ide
Persamaan
utamanya yaitu
∂f ∂y
−
y ( x)
memberikan nilai
minimum untuk I, I akan bertambah jika y ( x ) diubah-ubah. Perubahan ini disusun
d ⎛ ∂f ⎞ ⎜ ⎟=0 dx ⎝ ∂y ′ ⎠
sebagai berikut. Misalkan η ( x ) adalah sembarang fungsi
disebut persamaan Euler-Lagrange dengan fungsi Lagrangian f ( x , y , y ′ ) .
dengan diketahui η ′′ ( x ) fungsi kontinu dan
[Simmons, 1991]
η ( x1 ) = η ( x2 ) = 0
(2)
Jika α adalah parameter, kemudian
Definisi 11. (Persamaan Euler-Lagrange Pada Kalkulus Variasi)
y ( x ) = y ( x ) + αη ( x )
Penjelasan tentang persamaan ini diringkaskan dari buku Differential Equations with Applications and Historical Notes Second Edition [Simmons, 1991]. Diasumsikan fungsi yang y ( x)
(3)
menggambarkan kelompok satu parameter dari fungsi y ( x ) . Penyimpangan vertikal dari kurva pada kelompok satu parameter berasal dari kurva y ( x ) yang meminimumkan I
meminimumkan integral
αη ( x ) , ditunjukkan pada gambar berikut. yaitu
y
( x1, y1 )
y ( x ) = y ( x ) + αη ( x )
y ( x)
( x2, y2 ) αη ( x )
η ( x) x1
x
x2
x
Gambar 1 Penyimpangan vertikal kurva y(x)
Maksud dari persamaan (3) bahwa untuk setiap kelompok pada tipe ini, yaitu untuk masing-masing nilai pada fungsi η ( x ) ,
fungsi
y ( x)
yang
meminimumkan
I
termasuk kelompok satu parameter dan sesuai dengan nilai parameter α = 0 .
8
η ( x)
Dengan
tetap,
y ( x ) = y ( x ) + αη ( x )
dan
y ′ ( x ) = y ′ ( x ) + αη ′ ( x ) disubstitusikan ke
x2
∂f
∫ ∂y′ x1
= −∫η ( x ) x1
x2
∫ f ( x, y , y′ ) dx
x2
∫
f [ x, y ( x ) + αη ( x ) , y′ ( x ) + αη ′ ( x )] dx
x1
Saat α = 0 , persamaan (3) menghasilkan dan karena y ( x) = y ( x) , y ( x) meminimumkan integral, diketahui bahwa I (α ) harus minimum saat α = 0 . Dengan kalkulus dasar, kondisi penting untuk meminimumkan adalah menjadi nolkan turunan I ′ (α ) saat α = 0 yaitu I ′ ( 0 ) = 0 . I ′ (α )
Turunan
dapat
dihitung
dengan
menurunkan persamaan (4)
I ′ (α ) =
⎛ ∂f ⎞ ⎜ ⎟ dx dx ⎝ ∂y′ ⎠ d
⎡ ∂f
x2
⎛ ∂f ⎞⎤
d
⎟ ⎥ dx = 0 . ∫ η ( x ) ⎢⎣ ∂y − dx ⎝⎜ ∂y′ ⎠⎦
(8)
∂
x2
∫ ∂α f ( x, y , y′ ) dx .
=
∂f ∂x ∂x ∂α ∂f ∂y
+
x2
⎡ ∂f
d ⎛ ∂f ⎞ ⎜ ⎟=0 dx ⎝ ∂y ′ ⎠
(9)
∂f ∂y ∂y ∂α
η ( x) +
∂f ∂y ′
+
∂y ′ ∂α
s = Fy ′ ( x , y , y ′ ) .
[Wan, 1995]
η′( x) . Definisi Jacobi)
⎤
∂f
letakkan
Persamaan H ( x , y , s ) = s , y ′ − F ( x , y , y ′ ) disebut sebagai fungsi Hamiltonian dengan F ( x, y , y ′ ) adalah fungsi Lagrangian dan
(6)
x1
jadi
∂y
−
∂f ∂y ′
∫ ⎢⎣ ∂y η ( x ) + ∂y′ η ′ ( x )⎥⎦ dx .
I ′(0) = 0 ,
∂f
Definisi 12. (Fungsi Hamiltonian)
Jadi persamaan (5) dapat ditulis
I ′ (α ) =
Meskipun demikian karena integral pada persamaan (8) harus menjadi nol untuk setiap fungsi, disimpulkan bahwa pernyataan dalam tanda kurung juga harus sama dengan nol. Sehingga dihasilkan
(5)
Dengan rangkaian cara untuk menurunkan fungsi dari beberapa variabel diperoleh f ( x, y , y ′ ) =
Penarikan kesimpulan pada masalah ini berdasarkan pada nilai tetap fungsi η ( x ) .
yang disebut sebagai persamaan EulerLagrange.
x1
∂α
1
x1
(4)
∂
x2
karena persamaan (2). Persamaan (7) dapat ditulis dalam bentuk
x1
=
∂f ⎤ d ⎛ ∂f ⎞ − ∫ η ( x ) ⎜ ⎟ dx ⎥ dx ⎝ ∂y′ ⎠ ∂y′ ⎦ x x1
x2
integral (1), dan diperoleh fungsi dari α
I (α ) =
x2
⎡ ⎣
η′ ( x ) dx = ⎢η ( x )
α =0
pada
persamaan (6) menghasilkan
∂f ⎡ ∂f ⎤ ∫ ⎢⎣ ∂y η ( x ) + ∂y′ η ′ ( x )⎥⎦ dx = 0 . x
Untuk
13.
(Persamaan
fungsi
Hamiltonian
HamiltonianH ( x, y , s ) ,
persamaan diferensial H ( x , y , ϕ y ) + ϕ x = 0 disebut dengan
ϕ:
×
persamaan ϕ ( x, y ) n
→
Hamiltonian-Jacobi adalah fungsi
.
x2
(7)
1
Pada persamaan ini turunan η ′ ( x ) muncul bersama dengan fungsi η ( x ) . η ′ ( x ) dapat dieliminasi dengan mengintegralkan bagian kedua,
[Wan, 1995]
9
Lema 14 S : [ 0, T ] ×
Misal
→
n
adalah fungsi
yang dapat diturunkan dan turunannya kontinu dan memenuhi S ( 0, y ) = S ( T , y ) ,
∂S ∂x
( 0, y ) =
∂S ∂x
n
(T , y ) ,
y∈
n
,
∂S ∂x n
×
n
,
setiap ( x, y ) ∈ [ 0, T ] × , persamaannya L% ( x, y , q ) = 0 mempunyai n
Untuk
q = q ( x, y )
solusi
memenuhi
q ( 0, y ) = q ( T , y ) .
Misal q = q ( x, y ) solusi dari L% ( x, y , q ) = 0 q ( 0, y ) = q ( T , y ) .
yang memenuhi y* : [ 0, T ] →
Teorema 15
Asumsikan bahwa S : [ 0, T ] × → dari persamaan Hamiltonian-Jacobi
sehingga syarat berikut dipenuhi (1) Untuk setiap ( x, y , y ′ ) ∈ [ 0, T ] × L% ( x, y , y ′ ) ≥ 0 (2)
maka y * ( x ) adalah solusi periodik dari persamaan diferensial takotonom. [bukti lihat Lampiran 1]
solusi
( x, y ) + H ( x, y , ∇ S ( x, y ) ) = 0 y
q : [ 0, T ] ×
dan
n
→
n
memenuhi
∇ q L ( x, y , q ( x, y ) ) − ∇ y S ( x, y ) = 0
Jika y* : [ 0, T ] →
n
solusi
y ′ ( x ) = q ( x , y ( x ) ) , x ∈ [ 0, T ]
(12)
y ( 0 ) = y (T )
(13)
kemudian y * ( x ) minimizer dari persamaan
Jika T
n
min I ( y ) , I ( y ) = ∫ L ( x, y ( x ) , y′ ( x ) ) dx ,
solusi
y ∈Ω
0
y ′ ( x ) = q ( x , y ( x ) ) , x ∈ [ 0, T ]
(10)
y ( 0 ) = y (T )
(11)
maka y * ( x ) solusi periodik dari persamaan diferensial takotonom. [bukti lihat Lampiran 1]
kemudian y * ( x ) minimizer dari persamaan T
min I ( y ) , I ( y ) = ∫ L ( x, y ( x ) , y′ ( x ) ) dx , y ∈Ω
0
III. PEMBAHASAN 1. Perumusan Masalah
Didefinisikan takotonom
persamaan
diferensial
y ′′ − ∇ yV ( x, y ) = 0
dimana
V : [ 0, T ] ×
diferensial takotonom (14) memiliki nilai batas periodik y ( 0 ) = y (T ) ,
y′ ( 0 ) = y′ (T ) .
(15)
(14) n
→
kontinu
dan
periodik di x dengan periode T dan dapat diturunkan dan turunannya kontinu di y T
⎛ ∂V ∂V ∂V ⎞ , ,..., ∇ yV ( x, y ) = ⎜ ⎟ . ∂yn ⎠ ⎝ ∂y1 ∂y2 Akan dicari solusi periodik untuk persamaan diferensial takotonom (14). Persamaan
2. Metode Carathéodory
Pada teori kalkulus variasi [Simmons, 1991], dijelaskan bahwa diasumsikan ada fungsi y ( x ) yang meminimumkan integral x2
I ( y ) = ∫ L ( x, y, y ′ ) dx. x1
(16)