1
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Dalam teori ekonomi, setiap perusahaan diasumsikan bertujuan memperoleh imbalan yang maksimum. Imbalan yang didapat bergantung pada strategi yang diambil perusahaan. Kuantitas merupakan salah satu strategi perusahaan. Dalam model duopoli dimana dalam pasar terdapat dua perusahaan yang saling bersaing, setiap perusahaan dapat memilih strategi secara simultan atau sekuensial. Model duopoli dengan kuantitas sebagai strategi yang dipilih disebut duopoli kuantitas ( Amir dan Grilo 1999). Hamilton dan Slutsky (1990) mengkonstruksi sebuah permainan yang diperluas dengan model endogenous timing pada duopoli. Endogenous timing adalah suatu permainan dimana setiap pemainnya memiliki dua periode untuk memilih strategi. Permainan yang diperluas tersebut dikonstruksi dari model duopoli sederhana, dimana sebelum permainan berlangsung perusahaan memutuskan di periode ke berapakah memilih strategi. Model duopoli sederhana kemudian dimainkan menurut keputusan waktu tersebut, secara simultan atau sekuensial. Jika para pemain memutuskan bergerak pada saat yang sama, terjadi permainan simultan. Tetapi jika para pemain memutuskan bergerak pada waktu yang berbeda, terjadi permainan sekuensial. Duopoli Cournot dan Stackelberg masingmasing merupakan aplikasi permainan simultan dan sekuensial dengan kuantitas sebagai strategi untuk memaksimumkan imbalan. Misalkan dalam pasar terdapat dua perusahaan dengan produk yang dihasilkan adalah air kemasan. Untuk memaksimumkan
imbalannya perusahaan dapat memutuskan berproduksi pada periode 1 atau periode 2. Jika kedua perusahaan berproduksi pada periode yang sama maka terjadi model duopoli Cournot, sedangkan jika kedua perusahaan berproduksi pada periode yang berbeda terjadi model duopoli Stackelberg. Dalam karya ilmiah ini akan dibahas suatu kondisi minimal yang menyebabkan perusahaan lebih memilih model duopoli Cournot atau duopoli Stackelberg agar imbalan yang didapat maksimum. Karya ilmiah ini merupakan rekonstruksi dari tulisan Rabah Amir dan Isabel Grilo (1999) yang berjudul Stackelberg versus Cournot equilibrium. 1.2 Tujuan Penulisan Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah menunjukkan bahwa dengan memberikan suatu kondisi minimal pada harga pasar dan fungsi biaya, perusahaan akan lebih memilih model duopoli Cournot atau duopoli Stackelberg untuk memaksimumkan imbalannya. 1.3 Sistematika Penulisan Pada bab pertama dijelaskan latar belakang dan tujuan dari penulisan karya ilmiah ini. Bab dua berisi landasan teori yang menjadi konsep dasar dalam penyusunan pembahasan. Pada bab tiga diberikan pemodelan kesetimbangan Cournot dan Stackelberg yang akan digunakan dalam pembahasan. Bab empat berisi tentang kondisi minimal yang akan menyebabkan terjadinya model duopoli Cournot dan Stackelberg. Kemudian bab lima berisi simpulan dari karya ilmiah ini.
II. LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diberikan teori yang menjadi landasan pengerjaan karya ilmiah ini. Berikut ini adalah definisi-definisi mengenai istilah ekonomi yang digunakan. 2.1 Teori Permainan Secara umum, suatu permainan terdiri atas himpunan pemain, himpunan strategi,
dan imbalan yang diperoleh setiap pemain dari strategi yang dipilih. Definisi 1 [Himpunan Strategi] Himpunan strategi pemain-i Ai adalah himpunan dari pilihan strategi ai yang dapat diambil oleh pemain-i dalam suatu permainan. Jadi Ai = {a i } . (Rasmusen 1990)
2
Definisi 2 [ Pemain] Pemain adalah individu atau kelompok yang membuat keputusan dari suatu himpunan strategi. Dalam suatu permainan, diasumsikan setiap pemain mempunyai tujuan untuk memaksimumkan imbalan yang didapat. (Rasmusen 1990) Definisi 3 [Kombinasi Strategi] Kombinasi strategi A adalah himpunan terurut yang terdiri dari satu strategi untuk masing-masing n pemain dalam permainan. Jadi A = {a1 , … , a n } . Untuk model duopoli, kombinasi strateginya adalah A = {a1 , a 2 } . (Rasmusen 1990) Definisi 4 [Fungsi Imbalan] Fungsi imbalan pemain-i ( π i ) adalah hasil yang diterima oleh pemain-i dari kombinasi strategi yang telah diambil. Dalam model duopoli, fungsi imbalan pemain-i dapat dipetakan dengan π i (a1 , a 2 ) : [0, ∞ )× [0, ∞ ) → R . (Rasmusen 1990) Definisi 5 [Bentuk Ekstensif] Bentuk ekstensif permainan menjabarkan: 1) Para pemain 2) a) Kapan tiap pemain berproduksi. b) Strategi yang diambil pemain pada tiap kesempatan dia boleh berproduksi. c) Apa yang diketahui tiap pemain pada kesempatan dia boleh berproduksi. 3) Imbalan yang diterima tiap pemain untuk setiap kombinasi strategi yang dapat dipilih para pemain. (Gibbons 1992) Bentuk ekstensif dapat digambarkan dalam bentuk pohon permainan. Berikut ini adalah contoh uraian permainan dalam bentuk ekstensif. 1. Pemain-1 memilih strategi a1 dari
{
himpunan strategi A1 = Pemain-2 mengamati a1
a1 , a1'
2.
memilih a 2 dari A2 = 3.
{
a 2 , a 2'
}.
kemudian
}.
Imbalannya adalah π 1 (a1 , a 2 ) dan π 2 (a1 , a 2 ) yang akan ditunjukkan dalam pohon permainan dibawah ini.
1
a1
a1' 2
2
a2 π 1 (a1 , a 2 )
π 2 (a1 , a 2 )
a2
a 2'
( ) (a , a )
(
π 1 a 1 , a 2'
π 1 a1' , a 2 ,
π2
π 2 a1' , a 2
1
' 2
(
a 2'
)
π (a , a ) '
'
) π (a ,a ) 1
2
1
2
'
'
1
2
Gambar 1 Pohon permainan ini dimulai dari titik simpul keputusan untuk pemain-1 dimana pemain-1 dapat memilih strategi a1 atau a1' . Jika pemain-1 memilih a1 , maka dicapai titik simpul keputusan untuk pemain-2 dimana dia memilih strategi a 2 atau a 2' . Demikian pula jika pemain-1 memilih a1' , maka dicapai titik simpul keputusan untuk pemain-2 dimana dia dapat memilih strategi a 2 atau a 2' . Berdasarkan pilihan strategi dari masing-masing pemain, dicapai titik simpul akhir yang menunjukkan imbalan yang diterima pemain. Misal imbalan yang diterima pemain diperlihatkan seperti pada Gambar 1. Baris pertama menunjukkan imbalan untuk pemain-1, sedangkan baris kedua menunjukkan imbalan untuk pemain2. Jika pemain-1 memilih a1 dan pemain-2 memilih a 2 , maka imbalan yang diterima pemain-1 adalah π 1 (a1 , a 2 ) dan imbalan untuk pemain-2 adalah π 2 (a1 , a 2 ) , dan seterusnya. Definisi 6 [Subgame] Subgame adalah bagian dari permainan yang dimulai dari suatu titik simpul pada permainan yang berbentuk ekstensif. (Rasmusen 1990) Definisi 7 [Kesetimbangan Nash] Kesetimbangan Nash adalah kombinasi strategi A* dimana tidak ada dorongan bagi
setiap pemain untuk melakukan perubahan strategi apabila pemain-pemain lain tidak melakukan perubahan strategi, yang dapat dirumuskan dengan:
3
∀i,
(
)
π i a1* , … , a i*−1 , a i* , a i*+1 , … , a n* ≥ π i a1* , … , a i*−1 , a i , a i*+1 , … , a n*
(
2.3 Fungsi konveks dan Fungsi Konkaf
)
untuk semua kemungkinan strategi ai ∈ Ai . Untuk model duopoli, kesetimbangan Nash dapat dirumuskan dengan: π 1 a1* , a 2* ≥ π 1 a1 , a 2*
( ) ( ) π (a , a ) ≥ π (a , a ) 2
* 1
* 2
2
* 1
2
(Rasmusen 1990)
Definisi 11 [Fungsi Konveks] Misalkan f adalah fungsi bernilai real yang terdefinisi pada selang I. Fungsi f dikatakan konveks di I jika: f (λx1 + (1 − λ )x 2 ) ≤ λf (x1 ) + (1 − λ ) f (x 2 ) , untuk setiap x1 , x 2 ∈ I dan untuk setiap λ dengan 0 ≤ λ ≤ 1 . (Peressini, Sullivan dan Uhl Jr 1988)
2.2 Model Cournot dan Stackelberg
Definisi 12 [Fungsi Konkaf] Misalkan f adalah fungsi bernilai real yang terdefinisi pada selang I. Fungsi f dikatakan konkaf di I jika: f (λx1 + (1 − λ )x 2 ) ≥ λf (x1 ) + (1 − λ ) f (x 2 ) , untuk setiap x1 , x 2 ∈ I dan untuk setiap λ dengan 0 ≤ λ ≤ 1 . (Peressini, Sullivan dan Uhl Jr 1988)
Definisi 9 [Model Cournot] Model Cournot adalah model permainan simultan, setiap perusahaan memilih kuantitas sebagai strategi untuk memaksimumkan imbalan, barang yang diproduksi homogen, dan fungsi imbalan masing-masing pemain diketahui oleh semua pemain. (Gibbons 1992)
Definisi 13 [Log Konkaf dan Log Konveks] 1. Fungsi F : R + → R adalah log konkaf jika fungsi log F adalah konkaf. 2. Fungsi F : R + → R adalah log konveks jika fungsi log F adalah konveks. (Amir 1996)
Definisi 10 [Model Stackelberg] Model Stackelberg adalah sebuah model dinamis, yaitu pemain (leader) bergerak lebih dulu, kemudian diikuti oleh pemain lainnya (follower). Secara umum, langkah pada permainan ini adalah: 1. Pemain-1 (leader) memilih strategi a1 ∈ A1 . 2. Pemain-2 (follower) mengamati a1
2.4 Interior Solution
Definisi 8 [Kesetimbangan Nash Subgame-Perfect ] Suatu kesetimbangan Nash merupakan subgame-perfect jika strategi para pemain merupakan kesetimbangan Nash di setiap subgame. (Gibbons 1992)
3.
dan menentukan strategi a 2 ∈ A2 . Fungsi imbalan masing-masing pemain adalah π 1 (a1 , a 2 ) dan π 2 (a1 , a2 ) . (Gibbons 1992)
Duopoli Cournot merupakan aplikasi permainan simultan sedangkan duopoli Stackelberg merupakan aplikasi permainan sekuensial. Berikut adalah definisi, teorema dan lemma yang digunakan untuk pembuktian lemma dan teorema dalam pembahasan.
Definisi 14 [Daerah Fisibel] f , g1 , … , g m adalah fungsi Misalkan bernilai real yang didefinisikan pada C ⊂ R n . Misalkan program nonlinear: ⎧ Minimumkan f (x ) terhadap (P )⎪⎨ g1 (x ) ≤ 0, g 2 (x) ≤ 0, … , g m (x) ≤ 0, ⎪ dimana x ∈ C ⊂ R n ⎩
Fungsi f disebut fungsi objektif dari (P) dan ketaksamaan g1 (x ) ≤ 0, … , g m (x ) ≤ 0 disebut kendala untuk (P). Titik x ∈ C yang memenuhi semua kendala dari program (P) disebut titik fisibel untuk (P), dan himpunan semua titik fisibel untuk (P) disebut daerah fisibel untuk (P). (Peressini, Sullivan dan Uhl Jr 1988) Definisi 15 [Interior Solution] Interior solution adalah solusi dari suatu masalah optimisasi yang terjadi didalam daerah fisibel. (Chiang dan Wainwright 2005)
4
2.5 Fungsi Naik dan Fungsi Turun Definisi 16 [Fungsi Naik dan Fungsi Turun] a) Fungsi f disebut naik pada selang I jika f (x1 ) < f (x 2 ) bilamana x1 < x 2 pada I. b) Fungsi f disebut turun pada selang I jika f (x1 ) > f (x 2 ) bilamana x1 < x 2 pada I. (Stewart 1998)
ii. Jika v ≤ s ∀s ∈ S , maka v ≤ w. (Bartle dan Sherbert 1982)
2.6 Kekompakan Definisi 17 [Fungsi Kontinu] Sebuah fungsi f kontinu pada sebuah bilangan a jika lim f (x ) = f (a ) (Stewart 1998) x →a
Definisi 18 [Ruang Metrik] Misalkan M sembarang himpunan dan ρ adalah fungsi dengan ρ : M × M → [0, ∞ ) ∀x, y, z ∈ M sedemikian sehingga memenuhi: a) ρ (x, x ) = 0 b) ρ ( x, y ) > 0, x ≠ y c) ρ (x, y ) = ρ ( y, x ) d) ρ (x, y ) ≤ ρ (x, z ) + ρ (z , y ) maka ρ disebut metrik untuk M dan (M , ρ ) disebut ruang metrik. (Goldberg 1976) Definisi 19 [Barisan Cauchy] Barisan bilangan real {x n }∞n =1
disebut
barisan Cauchy jika: ∀ε > 0, ∃n 0 ∈ N ∋ m, n ≥ n 0 ⇒ x m − x n < ε (Goldberg 1976) Definisi 20 [Kekonvergen Barisan] Barisan bilangan real {x n }∞n =1 dikatakan konvergen ke L jika limit L.
Definisi 22 [Supremum dan Infimum] 1) Suatu bilangan u∈R disebut supremum (batas atas terkecil) dari S ⊆ R jika memenuhi dua kondisi berikut: i. s ≤ u ∀s ∈ S ii. Jika s ≤ v ∀s ∈ S , maka u ≤ v . 2) Suatu bilangan w ∈ R disebut infimum (batas bawah terbesar) dari S ⊆ R jika memenuhi dua kondisi berikut: i. w ≤ s ∀s ∈ S
{ }
x n ∞n =1
mempunyai
(Goldberg 1976)
Definisi 21 [Ruang Metrik Lengkap] Misalkan (M , ρ ) ruang metrik. M disebut ruang metrik lengkap jika setiap barisan Cauchy di M konvergen di M. (Goldberg 1976)
Definisi 23 [Terbatas] Misalkan (M , ρ ) ruang metrik. Himpunan A ⊂ M dikatakan terbatas jika ∃L > 0 sehingga ρ (x, y ) ≤ L ∀x, y ∈ A . Jika A terbatas, maka didefinisikan diameter A sebagai : diam A = sup (x, y ) x , y∈A
Jika A tidak terbatas, maka didefinisikan diameter A sebagai: diam A = +∞ (Goldberg 1976) Definisi 24 [Terbatas Total] Misalkan (M , ρ ) ruang metrik dan A ⊂ M . Himpunan A disebut terbatas total jika ∀ε > 0, ∃Ai , i = 1, … , n dimana Ai ⊂ M n
dengan diam Ai < ε sehingga A ⊂ ∪ Ai . i =1
(Goldberg 1976) Sebagai ilustrasi, ruang metrik [a, b] dengan a, b ∈ R adalah terbatas total. Definisi 25 [Kompak] Ruang metrik (M , ρ ) disebut ruang metrik kompak jika (M , ρ ) lengkap dan terbatas total. (Goldberg 1976) Teorema 1 [Ruang Metrik Lengkap] Jika (M , ρ ) adalah ruang metrik lengkap dan A ⊂ M , maka ( A, ρ ) adalah lengkap. (Goldberg 1976) Bukti dapat dilihat pada Goldberg (1976). Dari Teorema 1, karena R lengkap maka [a, b] ⊂ R adalah lengkap. Karena [a, b] juga terbatas total, maka menurut Definisi 25 [a, b] merupakan ruang metrik kompak dengan metrik ρ nilai mutlak.
5
2.7 Titik Tetap Tarski
lim
sup f (x ) ≤ f (inf (C ))
lim
sup f (x ) ≤ f (sup(C )) .
x∈C , x →inf (C )
Definisi 26 [Lattice] Himpunan S dikatakan lattice jika untuk setiap himpunan dua titik {x, y} ⊂ S , ada supremum untuk {x, y} (dinotasikan dengan x ∨ y , dikatakan gabungan x dan y ) dan infimum (dinotasikan dengan x∧y , dikatakan irisan x dan y ) dalam S. (Milgrom dan Roberts 1990) Definisi 27 [Complete Lattice] Misalkan himpunan S adalah lattice. Lattice S disebut complete jika untuk semua himpunan bagian tak kosong T ⊂ S , Inf (T ) ∈ S dan Sup (T ) ∈ S . (Milgrom dan Roberts 1990) Definisi 28 [Titik Tetap] Misal diberikan sistem persamaan diferensial (SPD) sebagai berikut: dx . = x = f (x ), x ∈ R n dt
( )
Titik x * disebut titik tetap jika f x * = 0 . Titik tetap disebut titik kritis atau kesetimbangan. (Tu 1994) Teorema 2 [Titik Tetap Tarski] Jika T adalah complete lattice dan f : T → T adalah fungsi tak turun, maka f mempunyai titik tetap. Selain itu, himpunan titik tetap f mempunyai Sup{x ∈ T | f (x ) ≥ x} sebagai anggota Inf {x ∈ T | f (x ) ≤ x} terbesarnya dan sebagai anggota terkecilnya. (Tarski 1955) Bukti dapat dilihat pada Tarski (1955). Definisi 29 [Order Upper SemiContinuous] Misalkan diberikan complete lattice S dan C ⊂ S sedemikian sehingga untuk y ∈C , x∈C dan sembarang x ≥ y atau y ≥ x . Fungsi f : S → R adalah order upper semi-continuous jika
x∈C , x →sup (C )
dan
(Milgrom dan Roberts 1990) Misalkan M ≠ ∅ adalah himpunan pemain dimana M finite atau infinite. Masing-masing pemain m ∈ M mempunyai himpunan strategi Am = {a m } dan strategi pesaingnya dinotasikan dengan a − m . Fungsi imbalan pemain-m adalah π m (a m , a − m ) . Teorema 3 [Kesetimbangan] Misalkan a m dan a m adalah anggota
terkecil dan terbesar dari Am , y dan z adalah dua kesetimbangan dengan y ≥ z . 1) Jika π m (a m , a − m ) naik dalam
a −m , maka π m (y ) ≥ π m (z ) . 2) Jika π m (a m , a − m ) turun dalam
a − m , maka π m (y ) ≤ π m (z ) . Jika kondisi (1) dipenuhi untuk beberapa himpunan bagian pemain M 1 dan kondisi (2) dipenuhi untuk pemain lain M \ M 1 , maka kesetimbangan terbesar adalah kesetimbangan terpilih untuk pemain di M 1 dan pilihan terkecil untuk para pemain lainnya, sementara kesetimbangan terkecil adalah pilihan terkecil pemain di M 1 dan pilihan terbesar para pemain sisa. (Milgrom dan Roberts 1990) Bukti dapat dilihat pada Milgrom dan Roberts (1990).
Definisi 30 [ Arg maks] Arg maks (Argumen maksimum) adalah himpunan nilai yang menyebabkan suatu fungsi mencapai nilai maksimum, yaitu: argmaks f (x) ∈ {x | ∀y : ( y ≠ x → f ( y) < f (x))} x
(Wikipedia 2006)
