2
I. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Menurut Sharpe et al (1993), investasi adalah mengorbankan aset yang dimiliki sekarang guna mendapatkan aset pada masa mendatang yang tentu saja dengan jumlah yang lebih besar. Investasi dalam bidang keuangan berkaitan dengan aset-aset keuangan, seperti investasi pada saham, obligasi, dan aset-aset keuangan lainnya. Investasi di bursa saham merupakan bentuk investasi penuh risiko yang membuat investor berhati-hati dalam menginvestasikan dananya. Hal tersebut menjadi salah satu faktor munculnya sarana alternatif untuk berinvestasi. Salah satu investasi alternatif yang ditawarkan di berbagai bursa dunia adalah produk derivatif. Produk derivatif merupakan suatu instrumen keuangan yang nilainya bergantung pada nilai aset yang mendasarinya. Aset yang mendasari opsi dapat berupa saham, emas, mata uang asing, indeks saham, dan lain-lain. Produk derivatif dapat digunakan sebagai instrumen untuk mengelola risiko dan spekulasi, serta untuk mengurangi biaya transaksi atau untuk menghindari pajak. Salah satu dari produk derivatif adalah opsi. Perdagangan opsi terbesar dan pertama kali dikembangkan adalah di CBOE (Chicago Board Options Exchage), USA pada tahun 1973, dan telah mencapai sukses luar biasa dengan total perdagangan sebanyak 16 saham. Dalam lima tahun, para pemodal melakukan perdagangan opsi mencapai lebih dari 10 juta lembar per hari (Brealey and Myers, 1991). Sejarah mengenai teori penilaian opsi di mulai pada tahun 1900, yaitu pada saat seorang matematikawan Perancis, Louis Bachelier, menghasilkan formula penilaian opsi. Formula Bachelier ini memiliki kelemahan karena didasarkan pada asumsi yang kurang realistis yaitu adanya tingkat suku bunga nol dan harga saham bernilai negatif. Formula ini kemudian diperbaiki oleh peneliti lain, diantaranya Case Sprenkle, James Boness dan Paul Samuelson yang menggunakan asumsi bahwa harga saham memiliki distribusi log normal (hal ini
menjamin bahwa harga saham selalu bernilai positif) dan tingkat suku bunga tidak nol. Pada masa sebelum tahun 1973, usaha penilaian opsi didasarkan pada penentuan premi risiko atau besarnya risiko dari tingkat pengembalian harga saham. Penentuan premi risiko tidaklah mudah karena premi risiko tidak hanya menggambarkan risiko pada perubahan harga saham, namun mengikutsertakan pula perilaku investor terhadap risiko. Untuk mengatasi masalah ini, pada tahun 1973, Fisher Black dan Myron Scholes telah berhasil menyelesaikan masalah tentang penilaian opsi. Hasil kerja Fisher Black dan Myron Scholes dikenal dengan model Black-Scholes. Salah satu kegunaan formula BlackScholes ini adalah sebagai alat untuk mengendalikan risiko (hedging) dalam suatu opsi pada portofolio. Teknik untuk mengendalikan risiko secara umum dikatakan sebagai sensitivitas nilai opsi (Greeks). Greeks ini terdiri atas delta, gamma, theta, vega, dan rho. 1.2 Tujuan Penulisan Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah sebagi berikut: 1. Menganalisis model Black-Scholes untuk menentukan nilai opsi call dan opsi put tipe Eropa. 2. Menganalisis model Black-Scholes untuk menentukan hedge ratio dari opsi tipe Eropa. 1.3 Sistematika Penulisan Pada bab satu diberikan latar belakang dari permasalahan penentuan hedge ratio untuk opsi call dan opsi put tipe Eropa. Pada bab dua diberikan landasan teori yang akan digunakan sebagai dasar pengerjaan karya ilmiah. Sedangkan pada bab tiga akan diberikan model Black-Scholes untuk opsi call dan opsi put tipe Eropa dan pengertian dari rasio lindung nilai (hedge ratio) serta model Black-Scholesnya. Pada bab empat akan diberikan kesimpulan yang diperoleh selama penulisan karya ilmiah ini. Pada bab terakhir akan diberikan daftar pustaka.
II. LANDASAN TEORI Bab ini berisi teori yang menjadi dasar pengerjaan karya ilmiah. Pada bagian pertama sampai dengan bagian kelima disajikan proses stokastik, gerak Brown, proses Wiener, proses
Itô, aplikasi proses stokastik untuk harga saham dan persamaan diferensial parsial dari harga saham. Pada bagian ketujuh sampai dengan bagian terakhir disajikan definisi,
2
notasi, asumsi mengenai opsi, penilaian opsi, dan Greeks.
Definisi 5 (Proses stokastik) Proses stokastik X = { X (t ), t ∈ T}
2.1 Proses Stokastik Proses stokastik digunakan sebagai model matematika untuk mewakili suatu peubah yang nilainya berubah secara acak menurut waktu. Untuk memahami proses stokastik diperlukan definisi berikut.
suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu ruang state S .
Definisi 1 (Ruang contoh) Ruang contoh adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak, dan dinotasikan dengan Ω . [Grimmett dan Stirzaker, 2001] Definisi 2 (Kejadian) Kejadian adalah suatu himpunan bagian dari ruang contoh Ω . [Grimmett dan Stirzaker, 2001] Definisi 3 (Medan- σ ) yang Medan- σ adalah himpunan anggotanya merupakan himpunan bagian dari ruang contoh Ω yang memenuhi syaratsyarat berikut: 1. ∅ ∈ - . 2.
Jika A ∈ - maka A ∈ - , dengan A menyatakan komplemen dari himpunan A. c
c
∞
3.
Jika A1 , A2 , A3 , … ∈ - , maka ∪ Ai ∈ - . i =1
[Hogg et al, 1995] Definisi 4 (Ukuran Peluang) Ukuran peluang P pada ruang ukuran (Ω, - ) adalah fungsi P : - → [0,1] yang memenuhi: 1. P(∅) = 0, P(Ω) = 1 .
2. Jika
A1 , A2 , A3 , …
adalah
dengan i ≠ j maka:
( )
∞
i =1
i =1
2.2 Gerak Brown Proses stokastik X = { X (t ), t ∈ T} disebut gerak Brown jika: 1. X (0) = 0 . 2. Untuk 0 < t1 < t2 < … < tn , peubah acak
X (ti ) − X (ti −1 ), i = 1, 2, … , n
saling
bebas. 3. Untuk t > 0, X (t ) berdistribusi normal dengan rataan 0 dan varian
σ t. 2
2.3 Proses Wiener Proses Wiener adalah gerak Brown dengan rataan 0 dan varian 1. Proses Wiener umum untuk suatu peubah acak X dapat dinyatakan sebagai berikut:
dX (t ) = adt + bdW (t )
(1)
adt disebut sebagai komponen deterministik bdW (t ) menyatakan komponen dan
stokastik, serta W (t ) adalah proses Wiener, sedangkan a dan b masing-masing menyatakan drift rate dan variance rate dari X. Untuk proses stokastik yang didefinisikan pada ruang probabilitas (Ω, F , P ) berlaku hal berikut: Misalkan W (t ) adalah proses Wiener pada (Ω, F , P ) . Integral stokastik adalah proses stokastik X (t ) dengan bentuk:
himpunan
anggota-anggota - yang saling lepas, yaitu Ai ∩ A j = ∅ , untuk setiap i, j
∞
adalah
P ∪ Ai = ∑ P ( Ai ) . Pasangan (Ω, - , P) disebut dengan ruang peluang (probability space). [Grimmett dan Stirzaker, 2001] Proses stokastik didefinisikan sebagai berikut.
t
X (t ) = X (0) + ∫0 a ( X ( s ), s ) ds t
+ ∫0 b ( X ( s ), s ) dW ( s ).
(2)
2.4 Proses Itô Proses Itô adalah proses Wiener umum dengan a dan b menyatakan suatu fungsi dari peubah acak X dan waktu t . Proses Itô dapat dinyatakan sebagai berikut: dX (t ) = a ( X (t ), t ) dt + b( X (t ), t ) dW (t )
(3)
3
Lema 1 (Lema Itô) Misalkan proses X (t ) memenuhi persamaan (3) dan fungsi Y (t ) = g ( X (t ), t ) adalah kontinu
serta
turunan-turunan
g X ( X (t ), t ) ,
gt ( X (t ), t ) ,
g XX ( X (t ), t ) kontinu, maka
Y (t ) = g ( X (t ), t )
memenuhi
persamaan
berikut:
dY (t ) = gt ( X (t ), t )dt + g x ( X (t ), t )dX (t ) +
1 2
g xx ( X (t ), t )(dX (t ))
2
(4)
Perubahan nilai S (t ) tersebut dapat dimodelkan dengan memanfaatkan lema Itô. Misalkan diberikan suatu peubah Y (t ) yang bergantung pada peubah harga saham S (t ) dan waktu t . Berdasarkan Hull (1997), apabila harga saham S (t ) mengikuti model saham (5), maka bentuk PDS untuk Y (t ) ditentukan oleh teorema berikut:
dengan
Teorema 2.1 Misalkan diberikan Y (t ) = g ( S (t ), t ) dengan
dg dg d 2g gt = , gX = , g XX = dt dX dX 2
t ∈ [ 0, ∞ )
dan S (t )
memiliki diferensial
stokastik (5), maka persamaan diferensial stokastik bagi fungsi Y (t ) dapat dinyatakan dalam bentuk:
dan
(dt ) = dW (t )dt = dtdW (t ) = 0 2
( dW (t )) = dt 2
⎛
∂g
⎝
∂S
dY (t ) = ⎜ μ S (t )
Bukti: lihat Lampiran 1. 2.5 Model untuk Harga Saham Harga saham yang berubah secara acak menurut waktu diasumsikan sebagai suatu proses stokastik. Selain itu diasumsikan tidak ada pembayaran dividen atas saham. Misalkan X (t ) mengikuti proses Wiener umum, yaitu persamaan (1). Persamaan ini dapat dikembangkan menjadi persamaan (2). Selanjutnya akan ditentukan model dari proses harga saham S . Misalkan S (t ) adalah harga saham pada waktu t . Mengingat proses Itô, perubahan S (t ) akan memiliki nilai harapan drift rate μ S . Parameter μ menyatakan tingkat rata-rata pertumbuhan harga saham dan μ S (t )dt disebut komponen deterministik. Karena harga saham juga dipengaruhi oleh faktor ketidakpastian maka komponen stokastiknya adalah σ S (t )dW (t ) , dengan σ menyatakan volatilitas harga saham. Volatilitas harga saham mengindikasikan tingkat risiko dari harga saham. Dengan demikian model dari harga saham dapat dinyatakan sebagai berikut:
dS (t ) = μ S (t )dt + σ S (t )dW (t )
2.6 Persamaan Diferensial Stokastik (PDS) dari Harga Saham Pada bagian ini diberikan bentuk PDS bagi suatu peubah yang nilainya bergantung pada harga saham S (t ) dan waktu t .
(5)
+ σ S (t )
∂g ∂S
+
1 2 2 ∂ g⎞ dt + σ S (t ) 2⎟ ∂t 2 ∂S ⎠
∂g
2
(6)
dW (t )
[Hull, 1997]
Bukti: lihat Lampiran 2. 2.7 Definisi, Notasi, dan Asumsi Opsi Salah satu instrumen derivatif yang mempunyai potensi untuk dikembangkan adalah opsi. Untuk lebih memahami bagian ini, didefinisikan beberapa hal yang perlu diperhatikan. Definisi 6 Opsi adalah suatu kontrak antara dua pihak di mana pemegang opsi mempunyai hak untuk membeli atau menjual suatu aset tertentu dengan harga yang telah ditentukan, pada atau sebelum waktu yang telah ditentukan. Menurut jenisnya opsi terbagi dua, yaitu opsi call dan opsi put. Definisi 7 Opsi call adalah opsi yang memberikan hak kepada pemegangnya untuk membeli aset yang mendasari pada harga tertentu dan jangka waktu tertentu.
4
Opsi put adalah opsi yang memberikan hak kepada pemegangnya untuk menjual aset yang mendasari pada harga tertentu dan jangka waktu tertentu. Menurut waktu eksekusinya, opsi dibedakan atas opsi tipe Eropa dan opsi tipe Amerika. Opsi tipe Eropa adalah opsi yang hanya dapat dieksekusi pada saat kontrak jatuh tempo. Sedangkan opsi tipe Amerika adalah opsi yang dapat dieksekusi sebelum kontrak jatuh tempo. Dalam karya ilmiah ini hanya akan dibahas opsi tipe Eropa. Definisi 8 Nilai opsi adalah besarnya biaya yang dikeluarkan oleh seorang investor untuk mendapatkan kontrak opsi dan pembayarannya dilakukan pada saat kontrak dibuat. [Wilmott et al, 1996]
Ada beberapa hal yang mempengaruhi nilai opsi, yaitu: 1. Harga saham saat ini (S0) 2. Harga eksekusi (K), yang merupakan harga jual atau beli saham yang tercantum dalam kontrak opsi (harga exercise atau harga strike). 3. Waktu jatuh tempo (T). 4. Volatilitas dari harga saham (σ), yang merupakan sebuah ukuran tingkat ketidakpastian mengenai pergerakan saham di masa yang akan datang. 5. Tingkat suku bunga (r). 6. Dividen yang dibayarkan atas saham. Dalam merumuskan nilai opsi, Fisher Black dan Myron Scholes (1973) menggunakan beberapa asumsi, sebagai berikut: 1. Sebaran harga saham adalah lognormal dan varian dari return pada saham adalah konstan. 2. Tipe opsi yang digunakan adalah tipe Eropa. 3. Tidak ada biaya transaksi untuk menjual atau membeli saham atau opsi. 4. Tidak ada pembayaran dividen pada saham. 5. Tidak ada kemungkinan terjadinya arbitrase. Arbitrase adalah tindakan membeli sekuritas yang berharga rendah di suatu pasar dan pada saat yang sama menjualnya dengan harga yang lebih tinggi di pasar yang berbeda sehingga memperoleh keuntungan tanpa risiko. 6. Investor diperbolehkan meminjam sejumlah dana untuk membeli saham pada tingkat suku bunga bank.
Tingkat suku bunga bebas risiko jangka pendek diketahui dan nilainya konstan. Harga saham diasumsikan sebagai proses stokastik dan berdasarkan asumsi 1, sebaran lognormal untuk harga saham dapat diketahui. Sehingga diperoleh teorema berikut:
7.
Teorema 2.2 Logaritma harga saham pada saat jatuh tempo mempunyai sebaran normal dengan:
⎛
2 σ ⎞
⎝
2 ⎠
rataan : μ = ln S0 + ⎜ r −
⎟T
dan varian : Var = σ T . 2
[Hull, 1997]
Bukti: lihat Lampiran 3. 2.8 Penilaian Opsi Dengan asumsi di atas, nilai opsi hanya bergantung pada harga saham, waktu, dan parameter lain yang nilainya konstan. Penilaian opsi merupakan suatu masalah yang berkembang cukup lama dalam finansial. Terdapat suatu riset yang memfokuskan mengenai ada atau tidaknya hubungan antara harga saham dan kontrak opsi yang tertulis pada saham tersebut. Masalah ini dipecahkan oleh Fisher Black dan Myron Scholes pada tahun 1973, yang kemudian modelnya dikenal dengan model Black-Scholes, sehingga diperoleh teorema berikut ini: Teorema 2.3 Misalkan V ( S , t ) menyatakan nilai opsi pada waktu t . Maka V memenuhi persamaan diferensial parsial Black-Scholes:
∂V
∂V
2
1 2 2∂V + σ S − rV = 0. (7) 2 ∂t ∂S 2 ∂S [Hull, 1997] Bukti: lihat Lampiran 4. + rS
Pada waktu opsi call jatuh tempo, apabila ST > K maka pemegang kontrak opsi akan mengeksekusi kontraknya karena investor memperoleh keuntungan sebesar ST − K . Sebaliknya apabila ST ≤ K pada saat jatuh tempo, maka pemegang kontrak opsi tidak akan mengeksekusi kontraknya, karena investor akan memperoleh kerugian sebesar
5
K − ST . Untuk kondisi ini opsi tidak mempunyai nilai pada saat jatuh tempo. Jadi nilai opsi call pada saat jatuh tempo dapat dituliskan sebagai suatu payoff atau penerimaan bagi pemegang kontrak sebagai berikut: c = max( ST − K , 0) .
p = max( K − ST , 0) .
(9)
Payoff Opsi Put (p )
(8)
Payoff Opsi Call (c )
Harga Strike (K )
Harga Saham (S T )
Gambar 2 Diagram payoff opsi put tipe Eropa
Harga Strike (K )
Harga Saham (S T )
Gambar 1 Diagram payoff opsi call tipe Eropa Begitu juga pada waktu opsi put jatuh tempo, apabila ST < K maka pemegang kontrak opsi akan mengeksekusi kontraknya karena investor memperoleh keuntungan sebesar K − ST . Sebaliknya apabila ST ≥ K pada saat jatuh tempo, maka pemegang kontrak opsi tidak akan mengeksekusi kontraknya, karena investor akan memperoleh kerugian sebesar ST − K . Untuk kondisi ini opsi tidak mempunyai nilai pada saat jatuh tempo. Jadi nilai opsi put pada saat jatuh tempo dapat dituliskan sebagai suatu payoff atau penerimaan bagi pemegang kontrak sebagai berikut:
2.9 Greeks Salah satu kegunaan formula BlackScholes ini adalah sebagai alat untuk mengendalikan risiko (hedging) dalam suatu opsi pada portfolio. Dalam setiap mengukur nilai pasar dari setiap portofolio dipengaruhi oleh perubahan-perubahan dari beberapa variabel seperti harga yang mendasari, volatilitas, tingkat suku bunga dan waktu. Teknik mengendalikan risiko ini secara umum dikatakan sebagai sensitivitas nilai opsi (Greeks). Greeks ini terdiri atas delta, gamma, theta, vega, dan rho. Delta adalah tingkat perubahan rata-rata nilai opsi terhadap harga saham. Gamma adalah tingkat perubahan delta untuk suatu nilai opsi terhadap harga saham. Theta adalah tingkat perubahan ratarata nilai opsi terhadap waktu. Vega adalah tingkat perubahan rata-rata nilai opsi terhadap volatilitas. Sedangkan Rho adalah tingkat perubahan rata-rata nilai opsi terhadap suku bunga. Dalam karya ilmiah ini hanya akan dibahas delta.
III. PEMBAHASAN Dalam bab ini akan dijelaskan model Black-Scholes yang digunakan untuk menentukan rasio lindung nilai (hedge ratio) pada opsi tipe Eropa. Pada bagian pertama akan diberikan komponen-komponen yang dimiliki oleh nilai opsi tipe Eropa. Pada bagian kedua diberikan model BlackScholes yang digunakan untuk menghitung nilai opsi call dan opsi put tipe Eropa.
Selain untuk menghitung nilai opsi tipe Eropa, model Black-Scholes juga digunakan sebagai alat untuk mengendalikan risiko (hedging). Pada bagian ketiga akan dijelaskan salah satu teknik untuk mengendalikan risiko, yaitu dengan rasio lindung nilai berupa delta hedging. Sedangkan pada bagian terakhir akan diberikan ilustrasi dari opsi.
