PENDAHULUAN Latar Belakang Menduga dan meramal state yang tidak bisa diamati secara langsung dari suatu kejadian ekonomi adalah penting. Pemerintah melalui bank sentral dan para regulator dapat menggunakan informasi tentang nilai pasar, seperti nilai tukar mata uang yang diharapkan pada state yang tidak bisa diamati menyangkut bidang ekonomi sebagai acuan untuk membuat pokok kebijakan dan keputusan, sebagai contoh, memutuskan kebijakan moneter. Perubahan nilai tukar mata uang merupakan suatu kejadian yang bisa terjadi kapan saja dalam periode waktu yang panjang. Dengan asumsi perubahan yang terjadi pada waktu yang lalu mungkin terjadi kembali di masa mendatang, sehingga hal ini merupakan suatu proses stokastik. Faktor penyebab kejadian (state) tersebut dapat berkembang menurut model rantai Markov di mana state yang akan datang hanya dipengaruhi oleh state sekarang dan bebas terhadap state yang lalu. Jika penyebab kejadian tidak diamati secara langsung (hidden) dan membentuk rantai Markov maka pasangan kejadian dan penyebabnya dapat dimodelkan dengan model Hidden Markov (Hidden Markov Model, HMM). Menghilangnya para investor dari Indonesia selama terjadinya krisis keuangan dalam kurun waktu tahun 1997-1999, menyisakan banyak permasalahan tidak hanya di bidang ekonomi tapi juga pada sektor perdagangan dan pariwisata. Dengan kondisi politik, sosial, dan keamanan yang sudah mulai kondusif, sangat penting sekali bagi pemerintah untuk menarik para investor luar dan dalam negeri kembali menanamkan modal mereka di negeri ini.
Ramalan nilai tukar mata uang Rupiah terhadap US Dollar merupakan suatu informasi penting yang dapat digunakan pemerintah untuk menentukan kebijakan di bidang ekonomi, perdagangan, dan pariwisata. Faktor utama penyebab melemahnya nilai tukar Rupiah terhadap US Dollar antara lain instabilitas politik, sosial, ekonomi, dan keamanan. Namun kejadian-kejadian ini tidak diamati secara langsung (hidden). Permasalahan yang dibahas dalam karya ilmiah ini adalah penggunaan model deret waktu Hidden Markov dalam menggambarkan perilaku nilai tukar Rupiah terhadap US Dollar. Dalam deret waktu Hidden Markov, kejadian yang diamati selain diamati oleh faktor penyebab kejadian, juga dipengaruhi oleh kejadian sebelumnya. Dalam model ini akan dicari penduga parameter yang akan memaksimumkan peluang terjadinya suatu kejadian. Metode Maximum Likelihood dan algoritma Expectation Maximum adalah metode yang digunakan untuk pendugaan parameter tersebut. Setelah pendugaan parameter yang memaksimumkan peluang terjadinya suatu kejadian didapatkan, maka diharapkan dapat dilakukan suatu penarikan kesimpulan yang optimal dan peramalan state. Tujuan Tujuan dari karya ilmiah ini adalah: 1 Mempelajari deret waktu Hidden Markov satu waktu sebelumnya beserta penduga parameternya. 2 Menggunakan deret waktu Hidden Markov dalam masalah nilai tukar Rupiah terhadap US Dollar.
LANDASAN TEORI Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang Definisi 1 (Percobaan Acak) Suatu percobaan yang dapat diulang dalam keadaan yang sama di mana hasil dari percobaan ini tidak dapat ditebak dengan tepat namun dapat diketahui semua kemungkinan hasilnya disebut percobaan acak. [Ross, 1996]
Definisi 2 (Ruang Contoh dan Kejadian) Himpunan dari semua kemungkinan hasil yang muncul dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh, dinotasikan dengan Ω . Suatu kejadian A adalah himpunan bagian dari Ω . [Grimmet dan Stirzaker, 1992]
2
Definisi 3 (Medan- σ ) Medan- σ adalah suatu himpunan F yang anggotanya adalah himpunan bagian dari ruang contoh Ω serta memenuhi syarat-syarat sebagai berikut: a. φ ∈ F b. Jika A1 , A2 ,... ∈ F maka
∞ U Ai ∈ F. i =1
c. Jika A ∈ F maka Ac ∈ F. [Ross, 1996] Definisi 4 (Ukuran Peluang) Ukuran peluang P pada ( Ω ,F) adalah fungsi P : F → [ 0,1] yang memenuhi: a. P (φ ) = 0 P ( Ω ) = 1. b. Jika A1 , A2 ,... ∈ F adalah himpunan yang saling lepas, yaitu Ai ∩ A j = φ untuk setiap
Definisi 6 (Kejadian Saling Bebas) Kejadian dikatakan saling bebas jika P( A ∩ B ) = P( A)P(B ) . Misal I adalah himpunan indeks. Himpunan kejadian { Ai : i ∈ I } disebut saling bebas jika
P( I Ai ) = ∏ P ( A ) i∈J
i=J
untuk setiap himpunan bagian berhingga J dari I . [Grimmet dan Stirzaker, 1992] Peubah Acak dan Sebarannya Definisi 7 (Peubah Acak) Misalkan F adalah medan- σ dari Ω . Peubah acak X merupakan fungsi X : Ω → R di mana {ω ∈ Ω : X (ω ) ≤ x} ∈ F untuk setiap
x∈R . [Grimmet dan Stirzaker, 1992]
pasangan i, j di mana i ≠ j , maka
∞ ∞ P U Ai = ∑ P ( Ai ) . i =1 i =1 Pasangan ( Ω , F, P) disebut ruang peluang. [Grimmet dan Stirzaker, 1992] Teorema 1 (Kontinu Absolut) Jika v dan µ merupakan dua ukuran peluang pada ( Ω ,F). Ukuran peluang v dikatakan kontinu absolut terhadap ukuran peluang µ jika µ A = 0 maka vA = 0 , untuk setiap A ∈ F. Dinotasikan v µ . [bukti lihat Royden, 1963] Teorema 2 (Radon Nikodym) Jika P dan P merupakan dua ukuran peluang pada ( Ω ,F) dan P P , maka terdapat peubah acak tak negatif ∆ sehingga untuk semua P (C ) = ∫ ∆dP C ∈ F. c
Dinotasikan
dP dP
=∆.
Peubah acak akan dinotasikan dengan huruf besar, sedangkan nilai dari peubah acak tersebut dinotasikan dengan huruf kecil. Definisi 8 (Fungsi Sebaran) Fungsi sebaran dari peubah acak X adalah suatu fungsi F : R → [0,1] di mana FX ( x) = P ( X ≤ x ). [Grimmet dan Stirzaker, 1992] Definisi 9 (Peubah Acak Diskret) Peubah acak X dikatakan peubah acak diskret jika nilainya hanya pada himpunan bagian yang terhitung { x1 , x2 ,K} dari R . [Ross, 1996] Definisi 10 (Fungsi Kerapatan Peluang) Fungsi kerapatan peluang dari peubah acak diskret X adalah fungsi f : R → [ 0,1] di mana PX ( x ) = P ( X = x) . [Grimmet dan Stirzaker, 1992]
F
[bukti lihat Wong dan Hajek, 1985] Definisi 5 (Peluang Bersyarat) Jika P (B ) > 0 maka peluang bersyarat dari kejadian A setelah diketahui kejadian B adalah P( A ∩ B) P ( A | B) = . P( B) [Grimmet dan Stirzaker, 1992]
Definisi 11 (Peubah Acak Kontinu) Peubah acak X disebut peubah acak kontinu jika fungsi sebarannya dapat dinyatakan sebagai x
FX ( x ) = ∫ f (u ) du −∞
f : R → (0, ∞) yang terintegralkan. Selanjutnya fungsi f = f X disebut fungsi kepekatan peluang (probability density function) bagi X. [Ross, 1996]
untuk suatu fungsi
3
Definisi 12 (Fungsi Sebaran Bersama Dua Peubah Acak) Fungsi sebaran bersama dua peubah acak X dan Y merupakan suatu fungsi F : R 2 → [0,1] yang didefinisikan oleh F ( x, y ) = P ( X ≤ x, Y ≤ y ) . [Grimmet dan Stirzaker, 1992] Definisi 13 (Fungsi Sebaran dan Kepekatan Peluang Bersama Dua Peubah Acak Kontinu) Peubah acak X dan Y disebut peubah acak kontinu yang menyebar bersama jika untuk setiap x, y ∈ R fungsi sebaran bersamanya dapat diekspresikan sebagai berikut y
x
F ( x, y ) = ∫ ∫ f (u, v)dudv
f : R → [ 0,1]
untuk suatu fungsi
yang
terintegralkan. Fungsi f di atas disebut fungsi kepekatan peluang bersama dari peubah acak kontinu X dan Y , ∂ ∂ f ( x, y ) = F ( x, y ). ∂x ∂y [Ross, 1996] Definisi 14 (Fungsi Kepekatan Peluang Marjinal) Misalkan X dan Y adalah peubah acak kontinu yang menyebar bersama dengan fungsi sebaran F ( x, y ) dan fungsi kepekatan peluang bersama f ( x, y ) . Fungsi kepekatan peluang marjinal dari peubah acak X dan Y adalah berturut-turut ∞
f X ( x) = ∫ f ( x, y) dy −∞ ∞
fY ( y ) = ∫ f ( x, y )dx. −∞
[Ross, 1996] Definisi 15 (Fungsi Kepekatan Peluang Bersyarat) Misalkan X dan Y peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang marjinal fY ( y ) >0, maka fungsi kepekatan peluang bersyarat dari X dengan syarat Y = y adalah
f XY ( x, y ) . fY ( y ) [Grimmet dan Stirzaker, 1992]
f X |Y ( x | y ) =
Definisi 16 (Nilai Harapan Peubah Acak Diskret) Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan fungsi kerapatan peluang PX ( x) = P( X = x) maka nilai harapan dari X adalah E [ X ] = ∑ xPX ( x) x
asalkan jumlah di atas konvergen mutlak. [Hogg dan Craig, 1995] Definisi 17 (Nilai Harapan Peubah Acak Kontinu) Misalkan X adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang f X ( x) maka nilai harapan dari X adalah ∞
−∞ −∞
2
Nilai Harapan
E [X ] = ∫ xf X ( x)dx −∞
asalkan integralnya ada. [Hogg dan Craig, 1995] Definisi 18 (Nilai Harapan Bersyarat) Misalkan X dan Y adalah peubah acak kontinu dan f X |Y ( x | y ) adalah fungsi kepekatan peluang bersyarat dari X dengan syarat Y = y , maka nilai harapan dari X dengan syarat Y = y adalah ∞
E [ X | Y = y ] = ∫ xf X |Y ( x | y)dx . −∞
[Hogg dan Craig, 1995] Teorema 3 (Teorema Dasar Kalkulus Bagian 1) Jika f kontinu pada [a,b], maka fungsi g yang didefinisikan oleh
g ( x ) = ∫ax f ( t ) dt a≤ x≤b adalah kontinu pada [a,b] dan terdiferensialkan pada (a,b) dan g′( x) = f ( x) . [Stewart, 1998] Definisi 19 (Himpunan dan Fungsi Konveks) Misalkan S ∈ R N adalah himpunan vektor. Maka S disebut sebagai himpunan konveks jika untuk semua x, x ′ ∈ S dan λ ∈ [ 0,1] maka
(1 − λ ) x + λ x′ ∈ S . Misalkan f merupakan fungsi dengan peubah x yang terdefinisi pada himpunan konveks S.
4
Maka f disebut sebagai fungsi konveks jika f memenuhi persamaan f ((1 − λ ) x + λ x′) ≤ (1 − λ ) f ( x) + λ f ( x′). [Osborne, 1997]
untuk setiap {t = 0,1, 2,...} berlaku
Teorema 4 (Fungsi Konveks) Misalkan f memiliki turunan kedua. f adalah fungsi konveks jika dan hanya jika ∇ 2 f ( x) ≥ 0, ∀x ∈ S dan merupakan strictly convex jika ∇ 2 f ( x) > 0, ∀x ∈ S . [bukti lihat Osborne, 1997]
untuk semua kemungkinan nilai dari i0 , i1 , i2 ,..., it −1 , it , j ∈ {1, 2,3,..., N } . [Ross, 1996]
Teorema 5 (Ketaksamaan Jensen) Misalkan X ∈ R adalah peubah acak dengan Ε [| X |] berhingga dan g ( x ) adalah
fungsi konveks. Maka Ε [ g ( X ) ] ≥ g ( Ε [ X ]) . [bukti lihat Weisstein, 1999]
P( St = j | St −1 = i, St − 2 = it −1 ,...) = P( St = j | St −1 = i) = pij
Jadi untuk suatu rantai Markov, sebaran bersyarat dari sebarang state saat ini St denga syarat state yang lalu S0 , S1 , S 2 ,..., St − 2 dan state kemarin St −1 adalah bebas terhadap semua state yang lalu, dan hanya bergantung pada state kemarin. Hal ini disebut sebagai sifat Markov (Markovian Property). Proses di atas dapat digambarkan sebagai N-state rantai Markov dengan peluang transisi
Rantai Markov Definisi 20 (Ruang State) Misalkan K ⊂ R merupakan nilai dari barisan peubah acak, maka K disebut ruang state. [Grimmet dan Stirzaker, 1992] Definisi 21 (Proses Stokastik) Proses stokastik S = {St , t ∈ T } , adalah suatu koleksi (gugus, himpunan, atau kumpulan) dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu ruang state K. [Ross, 1996]
Dalam hal ini t dianggap sebagai waktu dan nilai dari peubah acak St sebagai state (keadaan) dari proses pada waktu t . Definisi 22 (Rantai Markov) Suatu proses stokastik S = {St , t ∈ T } disebut rantai Markov jika P( St = st | St −1 = st −1 , St − 2 = st − 2 ,..., S0 = s0 ) = P ( St = st | St −1 = st −1 ) . [Grimmet dan Stirzaker, 1992] Definisi 23 (Rantai Markov dengan Waktu Diskret) Proses stokastik {St , t = 0,1, 2,...} ,
dengan ruang state {1, 2,3,..., N } , disebut rantai Markov dengan waktu diskret jika
{ pij } i, j = 1, 2,3,..., N .
Nilai dari pij
menyatakan peluang bahwa, jika proses tersebut berada pada state i, maka berikutnya akan beralih ke state j. Karena pij adalah nilai peluang dan proses tersebut harus bertransisi, maka i. 0 ≤ pij ≤ 1 , untuk i, j ∈ {1, 2,3,..., N } N
ii. ∑ pij = 1 , untuk i ∈ {1, 2,3,..., N } . j =1
Peluang transisi ini dapat ditulis dalam bentuk matriks P yang disebut sebagai matriks transisi. p11 p21 L pN 1 p L pN 2 p P = ( pij ) N × N = 12 22 M M M M p L p p 1N 2 N NN dengan j menyatakan baris dan i menyatakan kolom dari matriks P. Definisi 24 (Matriks Transisi) Misalkan {St , t ∈ 0,1, 2,...} adalah rantai
Markov dengan ruang state {1, 2,3,..., N } .
( )N ×N
Matriks transisi P = pij
adalah matriks
dari peluang transisi pij = P( St = j | St −1 = i ) untuk i, j ∈ {1, 2,..., N } . [Grimmet dan Stirzaker, 1992] Definisi 25 (Terakses) Peluang bahwa pada waktu ke-k proses berada pada state j dengan syarat state awal adalah i dinotasikan dengan pij( k ) . Suatu state
5
j disebut terakses dari state i (notasi : i → j ), jika minimal ada sebuah bilangan bulat k ≥ 0
sehingga
pij( k ) > 0 di mana
pij( k )
adalah
peluang bahwa pada waktu ke-k proses berada pada pada state j dengan syarat state awal adalah i. [Ross, 1996] Definisi 26 (Berkomunikasi) Dua state i dan j dikatakan berkomunikasi (notasi : i ↔ j ), jika state i dapat diakses dari state j dan state j dapat diakses dari state i. [Ross, 1996] Definisi 27 (Kelas State) Suatu kelas dari state adalah suatu gugus (himpunan) tak kosong C sehingga semua pasangan state yang merupakan anggota dari C adalah berkomunikasi satu dengan yang lainnya, serta tak ada state yang merupakan anggota C yang berkomunikasi dengan suatu state yang bukan anggota dari C. [Ross, 1996] Definisi 28 (Rantai Markov Tak Tereduksi) Rantai Markov disebut tak tereduksi jika hanya terdapat satu kelas state (satu gugus tertutup state), yaitu jika semua state berkomunikasi satu dengan yang lainnya. [Ross, 1996] Definisi 29 (First-PassageTime Probability) f ij( n ) menyatakan peluang bahwa mulai
dari state i, proses bertransisi untuk pertama kali ke state j, terjadi pada waktu n. Peluang ini disebut first-passage time probability. Jadi untuk setiap n = 1, 2,3,...
fij( n ) = P ( X n = j , X k ≠ j untuk semua 1 ≤ k ≤ n − 1| X 0 = 1) i, j ∈ {0,1, 2,...}, dan f ij(0) = 0 untuk semua
i, j ∈ {0,1, 2,...}. Selanjutnya, untuk setiap i, j ∈ {0,1, 2,...}, kita definisikan
Teorema 6 (Recurrent dan Transient) State i adalah recurrent ∞
∞
n =0
n =0
jika
( n) ( n) ∑ pii = ∞ dan transient jika ∑ pii < ∞.
[Ross, 1996] Definisi 31 (Periode, Periodik, dan Aperiodik) 1. Suatu state i disebut memiliki periode d jika pii( n ) = 0 untuk semua n yang tidak habis dibagi d, dan d adalah bilangan bulat terbesar yang memenuhi sifat ini. Dengan kata lain, suatu state i disebut memiliki periode d jika d adalah persekutuan pembagi terbesar (the greates common divisor) bagi n sehingga pii( n ) > 0 . 2. Suatu state dengan periode sama dengan satu disebut aperiodik, sedangkan state dengan periode ≥ 2 disebut periodik. [Ross, 1996] Definisi 32 (Positive Recurrent dan Null Recurrent) Suatu state disebut berulang positif (positive recurrent) jika state tersebut adalah berulang (recurrent) serta berlaku : jika proses dimulai dari state i maka nilai harapan dari waktu sampai proses tersebut kembali ke state i adalah bilangan terhingga (finite). State recurrent yang tidak tidak positive recurrent disebut null recurrent. [Ross, 1996] Definisi 33 (Ergodic) Rantai Markov dengan positive recurrent dan aperiodik disebut ergodic. [Ross, 1996] Teorema 7 (Rantai Markov Ergodic Tak Tereduksi) Untuk rantai Markov ergodic tak tereduksi lim pij( n ) ada dan nilainya tak n →∞
tergantung dari i. π j = lim pij( n ) , j ≥ 1 n→∞
π j adalah solusi unik tak negatif dari
∞
fij = ∑ fij( n ) .
N
n =1
[Ross, 1996]
π j = ∑ π j pij i =1
N
Definisi 30 (Recurrent dan Transient) State i disebut recurrent jika fii = 1 , dan
disebut transient jika f ii < 1 . [Ross, 1996]
∑ π j = 1.
j =1
[bukti lihat Ross, 1996]
6
Definisi 34 (Vektor Peluang Steady State) Vektor peluang π = {π1 , π 2 , π 3 ,..., π N } , yang setiap komponennya menyatakan bahwa proses akan berturut-turut berada pada state 1, 2,3,..., N untuk n → ∞ di mana
suatu metode approksimasi berulang (iteratif). Langkah-langkah dalam metode tersebut adalah: 1. Set nilai awal parameter θˆk dengan k = 0. 2.
Set θ * = θˆk dan hitung Q (⋅, θ * ) dengan
3.
dP Q (θ , θ * ) = Εθ * log θ | Y . dPθ * * ˆ Cari θ arg max Q (θ , θ )
N
P( St = j ) = ∑ P( St = j | St −1 = i) P( St −1 = i ) i =1 N
= ∑ pij P ( St −1 = i ) = π j i =1
disebut vektor peluang steady state atau sebaran steady state. Karena π adalah vektor peluang, maka harus memenuhi syarat bahwa semua unsurnya adalah bilangan tak negatif serta jumlah semua unsurnya adalah sama dengan satu. Sebaran steady state sering juga disebut sebaran stasioner, atau sebaran setimbang (equilibrium distribution) dari rantai Markov yang bersangkutan. [Ross, 1996]
Algoritma Expectation Maximization (EM) Misalkan { Pθ , θ ∈ Θ} adalah himpunan
ukuran peluang yang terdefinisi pada (Ω, F ) dan kontinu absolut terhadap P0 . Misalkan Y ⊂ F . Fungsi Likelihood yang digunakan untuk menghitung penduga parameter θ berdasarkan informasi Y``adalah dP L(θ ) = Εθ * θ | Y . dPθ * Penduga maksimum likelihood (MLE) didefinisikan oleh θˆ ∈ arg max L(θ ). θ ∈Θ
k +1
θ ∈Θ
Ganti k dengan k+1 dan ulangi langkah 2 sampai 4 hingga kriteria hentinya tercapai. 1 Misalkan g ( x) = log . Karena turunan x kedua dari g ( x ) selalu positif 4.
1 ∇ 2 g ( x) = ∇ 2 log x 1 = 2 > 0, ∀x > 0 x maka g ( x ) merupakan fungsi konveks. Lemma 1 Berdasarkan
ketaksamaan Jensen, 1 karena g ( x) = log merupakan fungsi x konveks maka dapat dihasilkan barisan θˆ , k ≥ 0 , yang merupakan fungsi likelihood
{
k
}
yang tak turun yaitu log L(θˆk +1 ) − log L (θˆk ) ≥ Q (θˆk +1 , θˆk ). Bentuk Q (θ , θ * ) disebut Pseudo Likelihood bersyarat. Bukti lihat Lampiran 1.
Umumnya MLE sulit untuk dihitung secara langsung, oleh karena itu algoritma Expectation Maximization (EM) memberikan
MODEL HIDDEN MARKOV Model Hidden Markov terdiri atas sepasang proses stokastik {St , Yt } . St dengan
state {1,2,..., N } adalah proses penyebab kejadian yang tidak diamati secara langsung dan membentuk rantai Markov. Sedangkan Yt adalah proses observasinya. Karakteristik proses penyebab kejadian hanya bisa diamati melalui proses observasinya. Karakteristik model Hidden Markov dicirikan oleh parameter-parameternya yaitu matriks transisi dari penyebab kejadian, serta nilai harapan dan ragam dari proses observasinya.
Pada saat St berada pada state j (S t = j ) , maka proses yang diamati Yt menyebar normal dengan nilai harapan µ j dan ragam
σ 2j . Fungsi kerapatan peluang bersyarat dari Yt dengan syarat S t = j adalah f ( yt | St = j;θ ) =
−( yt − µ j )2 exp 2πσ j 2σ 2j
1
(1)
dengan j = 1, 2,..., N . θ adalah vektor parameter populasi yang memuat µ1 , µ 2 ,..., µ N dan σ 12 , σ 22 ,..., σ N2 .
