Parci´ aln´ı derivace a diferenci´ al Vyˇsˇs´ı matematika, Inˇzen´yrsk´a matematika LDF MENDELU
Podpoˇreno projektem Pr˚ uˇrezov´ a inovace studijn´ıch program˚ u Lesnick´ e a dˇrevaˇrsk´ e fakulty MENDELU v Brnˇ e (LDF) s ohledem na discipl´ıny spoleˇ cn´ eho z´ akladu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. ˇ e republiky. ˇ c. CZ.1.07/2.2.00/28.0021) za pˇrispˇ en´ı finanˇ cn´ıch prostˇredk˚ u EU a st´ atn´ıho rozpoˇ ctu Cesk´
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
Parci´ aln´ı derivace a diferenci´ al
VMAT, IMT
1 / 19
Derivace funkce jedn´ e promˇ enn´ e a jej´ı geometrick´ y v´ yznam Derivace funkce y = f (x) v bodˇe x0 je definov´ana jako limita f 0 (x0 ) = lim
x→x0
f (x) − f (x0 ) . x − x0 y
Tato limita ud´av´a smˇernici teˇcny ke grafu funkce f v bodˇe (x0 , f (x0 )) a vyjadˇruje tedy rychlost r˚ ustu funkce v bodˇe x0 .
ϕ
f (x0 )
Teˇcna ke grafu funkce f v bodˇe (x0 , f (x0 )) m´a rovnici y = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ).
x
x0 (smˇernice teˇcny = tgϕ)
Pˇripomeˇ nme, ˇze pokud m´a funkce v bodˇe x0 vlastn´ı derivaci (v´yˇse uveden´a limita existuje a je koneˇcn´a), pak je funkce v bodˇe x0 spojit´a. Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
Parci´ aln´ı derivace a diferenci´ al
VMAT, IMT
2 / 19
Parci´ aln´ı derivace Definice (Parci´ aln´ı derivace) Necht’ funkce f : R2 → R je definovan´a v bodˇe (x0 , y0 ) a nˇejak´em jeho okol´ı. Poloˇzme g(x) = f (x, y0 ). M´a-li funkce g derivaci bodˇe x0 , naz´yv´ame tuto derivaci parci´aln´ı derivac´ı funkce f podle promˇenn´e x v bodˇe (x0 , y0 ) a znaˇc´ıme ji fx0 (x0 , y0 ). Plat´ı tedy fx0 (x0 , y0 ) = lim
x→x0
g(x) − g(x0 ) f (x, y0 ) − f (x0 , y0 ) = lim . x→x0 x − x0 x − x0
Podobnˇe poloˇzme h(y) = f (x0 , y). M´a-li funkce h derivaci bodˇe y0 , naz´yv´ame tuto derivaci parci´aln´ı derivac´ı funkce f podle promˇenn´e y v bodˇe (x0 , y0 ) a znaˇc´ıme ji fy0 (x0 , y0 ). Plat´ı tedy fy0 (x0 , y0 ) = lim
y→y0
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
f (x0 , y) − f (x0 , y0 ) h(y) − h(y0 ) = lim . y→y y − y0 y − y0 0
Parci´ aln´ı derivace a diferenci´ al
VMAT, IMT
3 / 19
Geometrick´ y v´ yznam parci´ aln´ıch derivac´ı Parci´aln´ı derivace urˇcuj´ı rychlost r˚ ustu funkce ve smˇerech rovnobˇeˇzn´ych se souˇradn´ymi osami x a y. (Pozn.: Jsou speci´aln´ımi pˇr´ıpady tvz. smˇerov´ych derivac´ı, kter´e urˇcuj´ı rychlost r˚ ustu funkce v libovoln´em dan´em smˇeru.) Parci´aln´ı derivace fx0 (x0 , y0 ) pˇredstavuje smˇernici teˇcny v bodˇe (x0 , y0 , f (x0 , y0 )) ke kˇrivce, kter´a vznikne pr˚ useˇc´ıkem grafu funkce f s rovinou y = y0 . Podobnˇe parci´aln´ı derivace fy0 (x0 , y0 ) pˇredstavuje smˇernici teˇcny v bodˇe (x0 , y0 , f (x0 , y0 )) ke kˇrivce, kter´a vznikne pr˚ useˇc´ıkem grafu funkce f s rovinou x = x0 .
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
Parci´ aln´ı derivace a diferenci´ al
VMAT, IMT
4 / 19
Parci´ aln´ı derivace jako funkce M´a-li funkce dvou promˇenn´ych z = f (x, y) parci´aln´ı derivaci podle promˇenn´e x ve vˇsech bodech nˇ ejak´ e mnoˇ ziny M ⊂ D(f ), pak m˚ uˇzeme na t´eto mnoˇzinˇe definovat funkci, kter´a kaˇzd´emu bodu z mnoˇziny M pˇriˇrad´ı parci´aln´ı derivaci podle promˇenn´e x v tomto bodˇe. Tato funkce se naz´yv´a parci´aln´ı derivace funkce f podle promˇenn´e x a znaˇc´ı se fx0 . Podobnˇe definujeme parci´aln´ı derivaci podle promˇenn´e y a znaˇc´ıme fy0 . Jin´a znaˇcen´ı parci´aln´ıch derivac´ı: fx , f y ,
∂f ∂f , , ∂x ∂y
zx0 , zy0 ,
zx , zy ,
∂z ∂z , ∂x ∂y
Pˇri v´ypoˇctu parci´aln´ıch derivac´ı se d´ıv´ame na funkci f (x, y) jako na funkci jedn´e promˇenn´e: Pˇri v´ypoˇctu parci´ aln´ı derivace fx0 (x, y) povaˇzujeme x za promˇennou a y za konstantu. Podobnˇe pˇri v´ypoˇctu fy0 (x, y) povaˇzujeme y za promˇennou a x za konstantu.
Pˇri v´ypoˇctu parci´aln´ıch derivac´ı tedy pouˇz´ıv´ame stejn´e vzorce a stejn´a pravidla jako pˇri derivov´an´ı funkce jedn´e promˇenn´e. Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
Parci´ aln´ı derivace a diferenci´ al
VMAT, IMT
5 / 19
Pˇr´ıklad (V´ ypoˇ cet parci´ aln´ıch derivac´ı) 1
z = x3 + 2x2 y 2 + 3x2 y − 6xy + 8x − 2
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
Parci´ aln´ı derivace a diferenci´ al
VMAT, IMT
6 / 19
Pˇr´ıklad (V´ ypoˇ cet parci´ aln´ıch derivac´ı) 1
z = x3 + 2x2 y 2 + 3x2 y − 6xy + 8x − 2 zx0
=
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
3x2
Parci´ aln´ı derivace a diferenci´ al
VMAT, IMT
6 / 19
Pˇr´ıklad (V´ ypoˇ cet parci´ aln´ıch derivac´ı) 1
z = x3 + 2x2 y 2 + 3x2 y − 6xy + 8x − 2 zx0
=
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
3x2 + 2 · 2x · y 2
Parci´ aln´ı derivace a diferenci´ al
VMAT, IMT
6 / 19
Pˇr´ıklad (V´ ypoˇ cet parci´ aln´ıch derivac´ı) 1
z = x3 + 2x2 y 2 + 3x2 y − 6xy + 8x − 2 zx0
=
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
3x2 + 2 · 2x · y 2 + 3 · 2x · y
Parci´ aln´ı derivace a diferenci´ al
VMAT, IMT
6 / 19
Pˇr´ıklad (V´ ypoˇ cet parci´ aln´ıch derivac´ı) 1
z = x3 + 2x2 y 2 + 3x2 y − 6xy + 8x − 2 zx0
=
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
3x2 + 2 · 2x · y 2 + 3 · 2x · y − 6 · 1 · y
Parci´ aln´ı derivace a diferenci´ al
VMAT, IMT
6 / 19
Pˇr´ıklad (V´ ypoˇ cet parci´ aln´ıch derivac´ı) 1
z = x3 + 2x2 y 2 + 3x2 y − 6xy + 8x − 2 zx0
=
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
3x2 + 2 · 2x · y 2 + 3 · 2x · y − 6 · 1 · y + 8 · 1
Parci´ aln´ı derivace a diferenci´ al
VMAT, IMT
6 / 19
Pˇr´ıklad (V´ ypoˇ cet parci´ aln´ıch derivac´ı) 1
z = x3 + 2x2 y 2 + 3x2 y − 6xy + 8x − 2 zx0
=
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
3x2 + 2 · 2x · y 2 + 3 · 2x · y − 6 · 1 · y + 8 · 1 − 0
Parci´ aln´ı derivace a diferenci´ al
VMAT, IMT
6 / 19
Pˇr´ıklad (V´ ypoˇ cet parci´ aln´ıch derivac´ı) 1
z = x3 + 2x2 y 2 + 3x2 y − 6xy + 8x − 2 zx0
=
3x2 + 2 · 2x · y 2 + 3 · 2x · y − 6 · 1 · y + 8 · 1 − 0
=
3x2 + 4xy 2 + 6xy − 6y + 8
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
Parci´ aln´ı derivace a diferenci´ al
VMAT, IMT
6 / 19
Pˇr´ıklad (V´ ypoˇ cet parci´ aln´ıch derivac´ı) 1
z = x3 + 2x2 y 2 + 3x2 y − 6xy + 8x − 2 zx0 zy0
=
3x2 + 2 · 2x · y 2 + 3 · 2x · y − 6 · 1 · y + 8 · 1 − 0
=
3x2 + 4xy 2 + 6xy − 6y + 8
=
0
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
Parci´ aln´ı derivace a diferenci´ al
VMAT, IMT
6 / 19
Pˇr´ıklad (V´ ypoˇ cet parci´ aln´ıch derivac´ı) 1
z = x3 + 2x2 y 2 + 3x2 y − 6xy + 8x − 2 zx0 zy0
=
3x2 + 2 · 2x · y 2 + 3 · 2x · y − 6 · 1 · y + 8 · 1 − 0
=
3x2 + 4xy 2 + 6xy − 6y + 8
=
0 + 2x2 · 2y
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
Parci´ aln´ı derivace a diferenci´ al
VMAT, IMT
6 / 19
Pˇr´ıklad (V´ ypoˇ cet parci´ aln´ıch derivac´ı) 1
z = x3 + 2x2 y 2 + 3x2 y − 6xy + 8x − 2 zx0 zy0
=
3x2 + 2 · 2x · y 2 + 3 · 2x · y − 6 · 1 · y + 8 · 1 − 0
=
3x2 + 4xy 2 + 6xy − 6y + 8
=
0 + 2x2 · 2y + 3x2 · 1
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
Parci´ aln´ı derivace a diferenci´ al
VMAT, IMT
6 / 19
Pˇr´ıklad (V´ ypoˇ cet parci´ aln´ıch derivac´ı) 1
z = x3 + 2x2 y 2 + 3x2 y − 6xy + 8x − 2 zx0 zy0
=
3x2 + 2 · 2x · y 2 + 3 · 2x · y − 6 · 1 · y + 8 · 1 − 0
=
3x2 + 4xy 2 + 6xy − 6y + 8
=
0 + 2x2 · 2y + 3x2 · 1 − 6x · 1
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
Parci´ aln´ı derivace a diferenci´ al
VMAT, IMT
6 / 19
Pˇr´ıklad (V´ ypoˇ cet parci´ aln´ıch derivac´ı) 1
z = x3 + 2x2 y 2 + 3x2 y − 6xy + 8x − 2 zx0 zy0
=
3x2 + 2 · 2x · y 2 + 3 · 2x · y − 6 · 1 · y + 8 · 1 − 0
=
3x2 + 4xy 2 + 6xy − 6y + 8
=
0 + 2x2 · 2y + 3x2 · 1 − 6x · 1 + 0
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
Parci´ aln´ı derivace a diferenci´ al
VMAT, IMT
6 / 19
Pˇr´ıklad (V´ ypoˇ cet parci´ aln´ıch derivac´ı) 1
z = x3 + 2x2 y 2 + 3x2 y − 6xy + 8x − 2 zx0 zy0
=
3x2 + 2 · 2x · y 2 + 3 · 2x · y − 6 · 1 · y + 8 · 1 − 0
=
3x2 + 4xy 2 + 6xy − 6y + 8
=
0 + 2x2 · 2y + 3x2 · 1 − 6x · 1 + 0 − 0
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
Parci´ aln´ı derivace a diferenci´ al
VMAT, IMT
6 / 19
Pˇr´ıklad (V´ ypoˇ cet parci´ aln´ıch derivac´ı) 1
z = x3 + 2x2 y 2 + 3x2 y − 6xy + 8x − 2 zx0 zy0
=
3x2 + 2 · 2x · y 2 + 3 · 2x · y − 6 · 1 · y + 8 · 1 − 0
=
3x2 + 4xy 2 + 6xy − 6y + 8
=
0 + 2x2 · 2y + 3x2 · 1 − 6x · 1 + 0 − 0
=
4x2 y + 3x2 − 6x
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
Parci´ aln´ı derivace a diferenci´ al
VMAT, IMT
6 / 19
Pˇr´ıklad (V´ ypoˇ cet parci´ aln´ıch derivac´ı) 1
z = x3 + 2x2 y 2 + 3x2 y − 6xy + 8x − 2 zx0 zy0
2
=
3x2 + 2 · 2x · y 2 + 3 · 2x · y − 6 · 1 · y + 8 · 1 − 0
=
3x2 + 4xy 2 + 6xy − 6y + 8
=
0 + 2x2 · 2y + 3x2 · 1 − 6x · 1 + 0 − 0
=
4x2 y + 3x2 − 6x
z = xy , x > 0
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
Parci´ aln´ı derivace a diferenci´ al
VMAT, IMT
6 / 19
Pˇr´ıklad (V´ ypoˇ cet parci´ aln´ıch derivac´ı) 1
z = x3 + 2x2 y 2 + 3x2 y − 6xy + 8x − 2 zx0 zy0
2
=
3x2 + 2 · 2x · y 2 + 3 · 2x · y − 6 · 1 · y + 8 · 1 − 0
=
3x2 + 4xy 2 + 6xy − 6y + 8
=
0 + 2x2 · 2y + 3x2 · 1 − 6x · 1 + 0 − 0
=
4x2 y + 3x2 − 6x
=
yxy−1
z = xy , x > 0 zx0
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
(derivujeme jako mocninnou funkci)
Parci´ aln´ı derivace a diferenci´ al
VMAT, IMT
6 / 19
Pˇr´ıklad (V´ ypoˇ cet parci´ aln´ıch derivac´ı) 1
z = x3 + 2x2 y 2 + 3x2 y − 6xy + 8x − 2 zx0 zy0
2
=
3x2 + 2 · 2x · y 2 + 3 · 2x · y − 6 · 1 · y + 8 · 1 − 0
=
3x2 + 4xy 2 + 6xy − 6y + 8
=
0 + 2x2 · 2y + 3x2 · 1 − 6x · 1 + 0 − 0
=
4x2 y + 3x2 − 6x
=
yxy−1
z = xy , x > 0 zx0 zy0
=
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
y
x ln x
(derivujeme jako mocninnou funkci) (derivujeme jako exponenci´aln´ı funkci)
Parci´ aln´ı derivace a diferenci´ al
VMAT, IMT
6 / 19
Souvislost spojitosti s parci´ aln´ımi derivacemi Z pouh´e existence parci´aln´ıch derivac´ı funkce f v bodˇe (x0 , y0 ) neplyne spojitost funkce f v bodˇe (x0 , y0 ). Napˇr´ıklad funkce 1 pro x = 0 nebo y = 0 f (x, y) = 0 jinak m´a v bodˇe (0, 0) obˇe parci´aln´ı derivace (plat´ı, ˇze fx0 (0, 0) = fy0 (0, 0) = 0), ale funkce nen´ı v bodˇe (0, 0) spojit´a, nebot’ zde nem´a ani limitu. Bl´ıˇz´ıme-li se totiˇz k bodu (0, 0) ve smˇeru souˇradn´ych os, m´a funkce st´ale hodnotu 1, pokud se vˇsak bl´ıˇz´ıme v jin´em smˇeru, dostaneme hodnotu 0. Vˇ eta (Postaˇ cuj´ıc´ı podm´ınka spojitosti) Necht’ funkce dvou promˇenn´ych f m´a v bodˇe (x0 , y0 ) spojit´e obˇe parci´aln´ı derivace. Pak je funkce f v bodˇe (x0 , y0 ) spojit´a.
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
Parci´ aln´ı derivace a diferenci´ al
VMAT, IMT
7 / 19
Pˇr´ıklad (M´ıra tepeln´ e ztr´ aty v chladn´ em poˇ cas´ı) M´ıra tepeln´a ztr´aty: √ H(t, v) = (10, 45 + 10 v − v)(33 − t), kde v je rychlost vˇetru a t je teplota vzduchu. Pˇredpokl´adejme, ˇze t = 0 ◦ C a v = 4m/s. Co m´a vˇetˇs´ı vliv na m´ıru tepeln´e ztr´aty: zmˇena rychlosti vˇetru nebo zmˇena teploty (o jednotku)? ∂H = ∂v
5 ∂H √ − 1 (33 − t) =⇒ (0, 4) = 49, 5 ∂v v
√ ∂H ∂H = v − 10 v − 10, 45 =⇒ (0, 4) = −26, 45 ∂t ∂t Vˇetˇs´ı vliv m´a zmˇena rychlosti vˇetru. Kladn´a hodnota (49, 5) znamen´a, ˇze s rostouc´ı rychlost´ı vˇetru (pˇri konstantn´ı teplotˇe) roste m´ıra tepeln´e ztr´aty. Naopak z´aporn´a hodnota (−26, 45) znamen´a, ˇze s rostouc´ı teplotou (pˇri konstantn´ı rychlosti vˇetru) kles´a m´ıra tepeln´e ztr´aty. Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
Parci´ aln´ı derivace a diferenci´ al
VMAT, IMT
8 / 19
Pˇr´ıklad (Substituty a komplementy) Popt´avan´ a mnoˇzstv´ı v´yrobk˚ u A a B z´avis´ı na cen´ach tˇechto v´yrobk˚ u n´asledovnˇe: √ 3 A √ QA = 50√PPB , QB = 75P . Vypoˇ c tˇ e te parci´ a ln´ ı derivace a urˇ c ete, zda jsou 3 2 A
PB
v´yrobky A, B substituty nebo komplementy. ∂QA −3/2 1/3 = −25PA PB < 0 ∂PA
50 −1/2 −2/3 ∂QA = P PB >0 ∂PB 3 A
∂QB −5/3 = −50PA PB <0 ∂PB
∂QB −2/3 = 75PB >0 ∂PA
Zcela pˇrirozenˇe pro oba v´yrobky plat´ı, ˇze s rostouc´ı cenou v´yrobku kles´a jeho popt´avan´e mnoˇzstv´ı. S rostouc´ı cenou v´yrobku B roste popt´avan´e mnoˇzstv´ı v´yrobku A, podobnˇe, s rostouc´ı cenou v´yrobku A roste popt´avan´e mnoˇzstv´ı v´yrobku B. V´yrobky jsou substituty.
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
Parci´ aln´ı derivace a diferenci´ al
VMAT, IMT
9 / 19
Teˇ cn´ a rovina a diferenci´ al Necht’ funkce f m´a spojit´e parci´aln´ı derivace v okol´ı bodu (x0 , y0 ). Pak rovnice teˇcn´e roviny ke grafu funkce f v bodˇe (x0 , y0 ) m´a tvar z = f (x0 , y0 ) + fx0 (x0 , y0 )(x − x0 ) + fy0 (x0 , y0 )(y − y0 ) a funkˇcn´ı hodnoty v mal´em okol´ı bodu (x0 , y0 ) lze aproximovat funkˇcn´ımi hodnotami na teˇcn´e rovinˇe, tj. v mal´em okol´ı bodu (x0 , y0 ) m˚ uˇzeme ps´at f (x, y) ≈ f (x0 , y0 ) + fx0 (x0 , y0 )(x − x0 ) + fy0 (x0 , y0 )(y − y0 ). Oznaˇcme dx = x − x0 a dy = y − y0 . Pˇr´ır˚ ustek funkce f namˇeˇren´y na teˇcn´e rovinˇe (pˇri posunu z bodu (x0 , y0 ) do bodu (x, y))), tj. v´yraz df (x0 , y0 ) = fx0 (x0 , y0 ) dx + fy0 (x0 , y0 ) dy, naz´yv´ame diferenci´alem funkce f v bodˇe (x0 , y0 ). Rovnice teˇcn´e roviny je nejlepˇs´ı line´arn´ı aproximac´ı funkce v okol´ı dan´eho bodu. Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
Parci´ aln´ı derivace a diferenci´ al
VMAT, IMT
10 / 19
Pˇr´ıklad (Teˇ cn´ a rovina) Napiˇste rovnici teˇcn´e roviny ke grafu funkce z = xy 2 − x + 3y 2 v bodˇe (1, 2). Funkˇcn´ı hodnota v bodˇe (1, 2) je z(1, 2) = 15. Hodnoty parci´aln´ıch derivac´ı: zx0 = y 2 − 1 =⇒ zx0 (1, 2) = 3 zy0 = 2xy + 6y =⇒ zy0 (1, 2) = 16 Teˇcn´a rovina m´a rovnici: z = 15 + 3(x − 1) + 16(y − 2), tj. z = 3x + 16y − 20.
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
Parci´ aln´ı derivace a diferenci´ al
VMAT, IMT
11 / 19
Pˇr´ıklad (Line´ arn´ı aproximace) Pomoc´ı line´arn´ı aproximace vyoˇctˇete pˇribliˇznˇe 1, 042,02 . Najdeme teˇcnou rovinu funkce z = xy bodˇe (1, 2): Funkˇcn´ı hodnota v bodˇe (1, 2) je z(1, 2) = 1. Hodnoty parci´aln´ıch derivac´ı: zx0 = yxy−1 =⇒ zx0 (1, 2) = 2 zy0 = xy ln x =⇒ zy0 (1, 2) = 0 Teˇcn´a rovina m´a rovnici: z = 1 + 2(x − 1) = 2x − 1, tj. v mal´em okol´ı bodu (1, 2) m´ame xy ≈ 2x − 1, tedy 1, 042,02 ≈ 2 · 1, 04 − 1 = 1, 08. Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
Parci´ aln´ı derivace a diferenci´ al
VMAT, IMT
12 / 19
Pˇr´ıklad (Diferenci´ al: Zmˇ ena objemu kuˇ zele) Pomoc´ı diferenci´alu urˇcete, o kolik cm3 se pˇribliˇznˇe zmˇen´ı objem kuˇzele o polomˇeru podstavy r0 = 10 cm a v´yˇskou v0 = 10 cm, jestliˇze polomˇer o 5 mm zvˇetˇs´ıme a v´yˇsku o 5 mm zmenˇs´ıme. Objem kuˇzele: V (r, v) = 31 πr2 v. Najdeme diferenci´al t´eto funkce v bodˇe (10, 10) a urˇc´ıme jeho hodnotu pro dr = 0, 5 a dv = −0, 5. ∂V 2 = πrv =⇒ ∂r 3 ∂V 1 = πr2 =⇒ ∂v 3 dV (10, 10) =
∂V (10, 10) = ∂r ∂V (10, 10) = ∂v
200 π 3 100 π 3
200 100 200 100 50 π dr + π dv = π · 0, 5 + π(−0, 5) = π 3 3 3 3 3
Kladn´a hodnota znamen´a, ˇze se objem zvˇetˇs´ı pˇribliˇznˇe o Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
Parci´ aln´ı derivace a diferenci´ al
50 3 π.
VMAT, IMT
13 / 19
Pˇr´ıklad (Diferenci´ al: Odhad relativn´ı chyby veliˇ ciny poˇ c´ıtan´ e pomoc´ı mˇ eˇren´ ych veliˇ cin) Je mˇeˇrena kinetick´a energie E = 12 mv 2 ˇc´astice o hmotnosti m a rychlosti v. Relativn´ı chyba pˇri stanoven´ı hmotnosti je 1%, pˇri stanoven´ı rychlosti 2%. Pomoc´ı diferenci´alu stanovte odhad pro relativn´ı chybu poˇc´ıtan´e energie. Oznaˇcme m0 , v0 skuteˇcn´e hodnoty veliˇ e hodnoty. Pro cin a m, v namˇ eˇren´ dm dv dm = m − m0 a dv = v − v0 m´ame m0 ≤ 0, 01 a v0 ≤ 0, 02. Parci´aln´ı derivace: ∂E 1 ∂E = v2 , = mv. ∂m 2 ∂v Diferenci´al funkce E v bodˇe (m0 , v0 ) a odhad chyby: 1 dE(m0 , v0 ) = v02 dm + m0 v0 dv 2 dm dv dE(m0 , v0 ) = +2 E(m0 , v0 ) m0 v0 dE(m0 , v0 ) dm ≤ + 2 dv ≤ 0, 01 + 2 · 0, 02 = 0, 05. E(m0 , v0 ) m0 v0 Relativn´ı chyba poˇc´ıtan´e energie je pˇribliˇznˇe 5%. Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
Parci´ aln´ı derivace a diferenci´ al
VMAT, IMT
14 / 19
Parci´ aln´ı derivace vyˇsˇs´ıch ˇr´ ad˚ u Definice (Parci´ aln´ı derivace druh´ eho ˇr´ adu) M´a-li funkce fx0 v bodˇe (x0 , y0 ) parci´aln´ı derivaci podle x, naz´yv´ame ji parci´aln´ı derivac´ı 2. ˇr´adu podle x funkce f v bodˇe (x0 , y0 ) a znaˇc´ıme 2 00 fxx (x0 , y0 ) (nebo fxx (x0 , y0 ), ∂∂xf2 (x0 , y0 )). M´a-li funkce fx0 v bodˇe (x0 , y0 ) parci´aln´ı derivaci podle y, naz´yv´ame ji sm´ıˇsenou parci´aln´ı derivac´ı 2. ˇr´adu funkce f v bodˇe (x0 , y0 ) a znaˇc´ıme ∂2f 00 fxy (x0 , y0 ) (nebo fxy (x0 , y0 ), ∂xy (x0 , y0 )). Zcela analogicky definujeme a znaˇc´ıme parci´aln´ı derivace druh´eho ˇr´adu 00 00 fyx (x0 , y0 ) a fyy (x0 , y0 ). Podobnˇe definujeme a znaˇc´ıme i parci´aln´ı derivace vyˇsˇs´ıch ˇr´ad˚ u. Parci´aln´ı derivace druh´eho ˇr´adu jsou celkem 4, parci´aln´ıch derivac´ı tˇret´ıho je 8.
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
Parci´ aln´ı derivace a diferenci´ al
VMAT, IMT
15 / 19
Pˇr´ıklad Vypoˇctˇete vˇsechny parci´aln´ı derivace druh´eho ˇr´adu. z
=
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
ex
2
y
Parci´ aln´ı derivace a diferenci´ al
VMAT, IMT
16 / 19
Pˇr´ıklad Vypoˇctˇete vˇsechny parci´aln´ı derivace druh´eho ˇr´adu. z zx0
= =
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
ex
2
y
ex
2
y
· 2xy = 2xyex
2
y
Parci´ aln´ı derivace a diferenci´ al
VMAT, IMT
16 / 19
Pˇr´ıklad Vypoˇctˇete vˇsechny parci´aln´ı derivace druh´eho ˇr´adu. z
=
ex
2
y y
· 2xy = 2xyex
y
· x2 = x2 ex
zx0
=
ex
2
zy0
=
ex
2
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
2
2
y
y
Parci´ aln´ı derivace a diferenci´ al
VMAT, IMT
16 / 19
Pˇr´ıklad Vypoˇctˇete vˇsechny parci´aln´ı derivace druh´eho ˇr´adu. z
=
ex
2
y y
· 2xy = 2xyex
y
· x2 = x2 ex
zx0
=
ex
2
zy0
=
ex
2
00 zxx
= 2y · ex
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
2
y
2
2
y
2
y
y
+ 2xy · ex
2
· 2xy = 2yex y (1 + 2x2 y)
Parci´ aln´ı derivace a diferenci´ al
VMAT, IMT
16 / 19
Pˇr´ıklad Vypoˇctˇete vˇsechny parci´aln´ı derivace druh´eho ˇr´adu. z
=
ex
2
y y
· 2xy = 2xyex
y
· x2 = x2 ex
zx0
=
ex
2
zy0
=
ex
2
y
2
y
· 2xy = 2yex y (1 + 2x2 y)
2
y
· x2 = 2xex y (1 + x2 y)
y
2
y
+ 2xy · ex
2
y
+ 2xy · ex
00 zxx
= 2y · ex
00 zxy
= 2x · ex
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
2
2
2
Parci´ aln´ı derivace a diferenci´ al
2
VMAT, IMT
16 / 19
Pˇr´ıklad Vypoˇctˇete vˇsechny parci´aln´ı derivace druh´eho ˇr´adu. z
=
ex
2
y y
· 2xy = 2xyex
y
· x2 = x2 ex
zx0
=
ex
2
zy0
=
ex
2
2
2
y
2
y
· 2xy = 2yex y (1 + 2x2 y)
2
y
· x2 = 2xex y (1 + x2 y)
y
2
y
+ 2xy · ex
= 2x · ex
2
y
+ 2xy · ex
= 2x · ex
2
y
+ x2 · ex
00 zxx
= 2y · ex
00 zxy 00 zyx
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
2
y
2
2
2
· 2xy = 2xex y (1 + x2 y)
Parci´ aln´ı derivace a diferenci´ al
VMAT, IMT
16 / 19
Pˇr´ıklad Vypoˇctˇete vˇsechny parci´aln´ı derivace druh´eho ˇr´adu. z
=
ex
2
y y
· 2xy = 2xyex
y
· x2 = x2 ex
zx0
=
ex
2
zy0
=
ex
2
2
2
y
2
y
· 2xy = 2yex y (1 + 2x2 y)
2
y
· x2 = 2xex y (1 + x2 y)
y
2
y
+ 2xy · ex
= 2x · ex
2
y
+ 2xy · ex
00 zyx
= 2x · ex
2
y
+ x2 · ex
00 zyy
=
00 zxx
= 2y · ex
00 zxy
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
x2 ex
2
y
2
y 2
· x2 = x4 ex
2
2
2
· 2xy = 2xex y (1 + x2 y)
y
Parci´ aln´ı derivace a diferenci´ al
VMAT, IMT
16 / 19
Pˇr´ıklad Vypoˇctˇete vˇsechny parci´aln´ı derivace druh´eho ˇr´adu. z
=
ex
2
y y
· 2xy = 2xyex
y
· x2 = x2 ex
zx0
=
ex
2
zy0
=
ex
2
2
2
y
2
y
· 2xy = 2yex y (1 + 2x2 y)
2
y
· x2 = 2xex y (1 + x2 y)
y
2
y
+ 2xy · ex
= 2x · ex
2
y
+ 2xy · ex
00 zyx
= 2x · ex
2
y
+ x2 · ex
00 zyy
=
00 zxx
= 2y · ex
00 zxy
x2 ex
2
y
2
y 2
· x2 = x4 ex
2
2
2
· 2xy = 2xex y (1 + x2 y)
y
00 00 Skuteˇcnost, ˇze zxy = zyx , je d˚ usledkem n´asleduj´ıc´ı vˇety.
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
Parci´ aln´ı derivace a diferenci´ al
VMAT, IMT
16 / 19
Vˇ eta (Schwarzova) 00 00 Necht’ m´a funkce f spojit´e sm´ıˇsen´e parci´aln´ı derivace fxy , fyx v bodˇe (x0 , y0 ). 00 00 Pak plat´ı fxy (x0 , y0 ) = fyx (x0 , y0 ).
Vˇetu lze zobecnit i pro derivace vyˇsˇs´ıch ˇr´ad˚ u: M´a-li funkce v bodˇe (x0 , y0 ) spojit´e parci´aln´ı derivace aˇz do ˇr´adu n, pak pˇri v´ypoˇctu tˇechto parci´aln´ıch derivac´ı nez´aleˇz´ı na tom, v jak´em poˇrad´ı se derivuje podle jednotliv´ych promˇenn´ych, ale pouze na tom, kolikr´at se podle kter´e promˇenn´e derivuje.
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
Parci´ aln´ı derivace a diferenci´ al
VMAT, IMT
17 / 19
Vyuˇ zit´ı syst´ em˚ u poˇ c´ıtaˇ cov´ e algebry
Vyuˇzit´ı syst´em˚ u Sage, Maxima, Wolfram Alpha: http://user.mendelu.cz/marik/akademie/
Matematick´e v´ypoˇcty online (MAW) - parci´aln´ı derivace: http://um.mendelu.cz/maw-html/index.php?lang=cs&form=derivace
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
Parci´ aln´ı derivace a diferenci´ al
VMAT, IMT
18 / 19
Pˇr´ıklad Urˇcete parci´aln´ı derivace funkce z = x2 ln(x + y 3 ). ˇ sen´ı pomoc´ı Wolfram Alpha (http://www.wolframalpha.com/): Reˇ Parci´aln´ı derivace podle promˇenn´e x differentiate x^2*ln(x+y^3) with respect to x Parci´aln´ı derivace podle promˇenn´e y differentiate x^2*ln(x+y^3) with respect to y
Simona Fiˇsnarov´ a (MENDELU)
Parci´ aln´ı derivace a diferenci´ al
VMAT, IMT
19 / 19
