Tijdschrift voor Economie en Manageinent Vol. XLII, 2, 1997
Onzekerheidsmode11en voor de controle van de jaarrekening door C. VAN DEN ACKER"
I. INLEIDING Onzekerheid wordt meestal met kans of waarschijnlijkheid geassocieerd. De manier om met onzekerheid om te gaan, is in dat gcval gebaseerd op de wctten van de statistiek. Nochtans zijn er vormen van onzekerheid die niet als kansen ltunneii voorgesteld worden en waarvoor de wetten van de statistiek niet van toepassing zijn. Voor deze vormen zijn andere (nieuwere) onzekerheidstheorieën ontwikkeld, die steeds meer aan belang winnen. Dit artikel heeft de bedoeling de verschillende vormen van onzekerheid en de meest gekende onzelterheidstheorieën op een informele manier in te leiden. Verder willen we toelichten welke onzel
Faculteit Ecoiiomiscl~cc11toegepaste cconornischc weterischappen,K.U.Leuven, Leuvcil.
11. VORMEN VAN O N Z E I E R H E I D Onzekerheid ontstaat wanneer de bescllikbare informatie ontoereikend is om datgene te kunnen weten waarin wc geïnteresseerd zijn. 111dat geval is de waarheid of werkelijkheid niet gekend en kunnen wij alleen maar uitspraken doen over wat wij denken, vermoeden, verwachten. Naargelang de aard van de tekortkomingen die de informatie vertoont, worden in Klir (1994) drie verschillende vormen van onzekerheid onderscheiden. De meest gekende en vertrouwde vorm is deze dic veroorzaakt wordt door wat men noemt het kansproces. Op een informele manier wordt een kansproces beschreven als een spel of experiment met een gekend gehre!x~un~oge1iji.euitkomsten wuurhij men infnrmitie heeft over de waarschijnlijkheid waarmee elk van die mogelijkheden zich voordoet. Die informatie kan worden samengevat in de kansverdeling waarvan gezegd wordt dat ze aan de basis ligt van het kansproces. De onzekerheid bestaat in het feit dat niet geweten is welke mogelijkheid de werkelijke uitkomst zal zijn. De aanwezige informatie is ontoereikend om de waarheid met zekerheid te kennen omdat ze alleen maar toelaat te weten welke mogelijkheid zich met welke waarschijnlijkheid voordoet, niet welke mogelijkheid de werkelijke uitkomst is. Een typisch voorbeeld van deze onzekerheidsvorm en de tekortkoming van de informatie is de volgende situatie: ik heb een lot van een tombola gekocht en vraag mij af of ik gewonnen heb. De geheime trekking heeft plaatsgehad maar de uitslag is nog niet bekend. Ik weet dat cr 50 loten verkocht zijn en dat elk lot dezelfde kans heeft om te winnen. Een betrokkene heeft mij verzekerd dat het winnend lot een oneven nummer draagt. Bijgevolg kan ik berekenen wat de kans is dat mijn lot het winnend lot is. De informatie is voor mij ontoereikend omdat ze niet toelaat om met zekerheid te zeggen of ik wel of niet gewonnen heb. Ze laat alleen toe de waarschijnlijkheid te berekenen dat ik gewonnen heb. Een tweede veel voorkomende vorm van onzekerheid ontstaat uit wat men noemt gehele of gedeeltelijke onwetendheid. In dat geval kent men wel een groep van mogelijke uitkomsten, maar beschikt men niet over informatie die toelaat een kans te bepalen voor elk van die uitkomsten. In plaats daarvan heeft men alleen informatie die een groep van uitkomsten betreft (gedeeltelijke onwetendheid), of zelfs uitsluitend informatie over het geheel van de uitkomsten (gehele onwetend-
heid). In dit geval noemt men de informatie onvolledig. Zc is ontoereikend omdat ze de specificiteit mist oin een uitspraak te doen over een specifieke uitkomst binnen een groep van uitkomsten. Onvolledige informatie leidt tot onzekerheid over de werkelijke uitkomst binnen de groep waarover informatie beschikbaar is. Deze onzekerheidsvorm is aanwezig in de volgende situatie: opnieuw heb ik een lot gekocht, de trekking heeft plaats gehad, maar de uitslag is nog niet bekend. Ik wcct dat er 50 loten verkocl-it zijn, maar heb geen idee over de vorm van de trekking. Opnieuw hccft een betrokkene mij verzekerd dat het winnend lot een oneven nummer draagt. De inforinatie is voor mij ontoereikend omdat ze niet toelaat met zekerheid te weten of ik al dan niet gewonnen heb. Meer bepaald is ze onvolledig omdat ze al!een maar toelaat af te leiden dat het winnend m a m e r oneven is, en niets geweten is over een specifiek oneven nummer. Deze gedeeltelijke onwetendheid laat dus onzekerheid bestaan over het winnend lot binnen de groep van oneven nummers. Gezien ik geen idee heb van de kansverdeling die aan de basis ligt van de trekking, kan ik mijn winstkans niet berekenen. Tenslotte is er een belangrijke onzekerheidsvorm die haar oorsprong vindt in de vaagheid van de aanwezige informatie. In dat geval is niet precies afgelijnd op welke uitkomsten de informatie betrekking heeft en op welke niet. Omdat de informatie niet eenduidig kan geïnterpreteerd worden in termen van de uitkomsten die van belang zijn, ontstaat onzekerheid m.b.t. de werkelijke uitkomst. In het tombola-voorbeeld zou onzekerheid door vaagheid aanwezig zijn door de informatie verstrekt door de betrokkene te veranderen in: hij heeft inij verzekerd dat het winnend lot een groot nummer draagt. Gezien het begrip 'groot' vaag is (voor interpretatie vatbaar) laat deze informatie niet toe met zekerheid te zeggen wat het winnend nummer is, noch welk de groep is waartoe het winnend nummer behoort. Bcmerk dat vaagheid ook kan voorltomen bij de formulering van alle mogelijkheden, wat weerom aanleiding geeft tot varianten van onzekerlieidstheorieen. Deze dric soorten van onzekerheid sluiten mekaar niet uit. Het is dus mogelijk dat ze alledrie tegelijk aanwezig zijn in eenzelfde situatie ei1 bovendien kan de wijzc van hun combinatie, afhankelijk van de specifieke context, een anderc thcoric vereisen die hun samenspel op de beste mailier voorstelt cn bchcerst. Voor enkele combinaties van onzekerheid zijn wiskundige theorieen ontwikkeld, waarvan sommige ten gronde zijn onderzocht en gcfundeerd, terwijl andere vaak uit-
sluitend als mogelijkheid worden aangehaald. In deze tekst gaan we in op de vier belangrijkste en meest ontwikkelde theorieën om onzekerheid voor te stellen en te manipuleren. Hierbij gebruiken we een minimum aan wislsundige begrippen om de leesbaarheid te verhogen, uiteraard ten koste van nauwkeurigheid.
k r u i t de oudste theorie is de waarschijnlijkheidsleer of statistiek (Savage (1954)). Aan de basis ervan ligt de kansverdeling, die een eenheid van ~;aa:schijn!ijkheid 've:dee!t' over alle mcgeliikr J uitk~msten van een kansspel of experiinent, en daarbij aan enkele voorwaarden voldoet. Meer bepaald moet de kans van één gebeurtenis (of uitkomst)' of een groep gebeurtenissen positief zijn, moeten de kansen toegekend aan alle mogelijke gebeurtenissen optellen tot één, en moet de kans van een groep van gebeurtenissen (waarvan slechts één waar kan zijn) gelijk zijn aan de som van de kansen van de individuele gebeurtenissen. Verschillende interpretaties van het begrip kans, hebben geleid tot verhitte debatten tussen de aanhangers van de zogenaamde klassieke statistiek ('frequentists') en de subjectieve statistiek ('Bayesians'). Het is de Bayesiaanse statistiek die gebruikt wordt in onzekerheidsmodellen en toepassingen van artificiële intelligentie. Het manipuleren of 'updaten' van de als kansen voorgestelde onzekere kennis, gebeurt a.h.v. de zogenaamde regel van Bayes, die toelaat om bijkomende informatie met bestaande kansen te integreren. Voor toepassingen van realistische omvang worden zogenaamde Bayesiaanse netwerken gebouwd door opsplitsing van het probleem en het herhaaldelijk toepassen van de regel van Bayes. Zoals in het vorige onderdeel al werd ingeleid, veronderstelt de waarschijnlijkheidstheorie dat alle onzekerheid ontstaat uit een onderliggend kansproces. Vandaar dat ze uitermate geschikt is in situaties waarin dat het geval is. De regels van de statistiek garanderen daarbij dat de bekomen resultaten tot consistente beslissingen leiden. Wat de andere vormen vali onzekerheid betreft, is meermaals aangetoond dat ze moeilijk of zelfs niet te vatten zijn in deze theorie. Meer in het bijzonder is het niet mogelijk om onvolledige informatie op een ondubbelzinnig wijze weer te geven en kan met vage informatie helemaal niet gewerkt worden.
Upper and Lower pro babi li^, theorie of intewal-waarschijnlijkheidstheorie (Smets (1994)) veronderstelt evenals de gewone waarschijnlijkheidstheorie een onderliggend kansproces, maar erkent bovendien dat de kans van elke mogelijke gebeurtenis niet noodzakelijk precies gekend is o.b.v. de aanwezige informatie, maar dat alleen onderen bovengrenzen afgeleid kunnen worden. Bijgevolg wordt de onzekerheid geassocieerd met een gebeurtenis, voorgesteld door een koppel, m.n. een ondergrens en een bovengrens voor de werkelijke kans of een interval waarin de ongekende kans zich bevindt. De informatie kan dan niet worden samengevat in één enkele kansverdeling, maar wordt voorgesteld door een verzameling van kansverdelingen die elk in overeenstemming zijn met de gekende grenzen. Wanneer deze verzameling slechts één element bevat, wordt de ULP-theorie herleid tot de waarschijnlijkheidstheorie. Bijgevolg kan ULP-theorie beschouwd worden als een veralgemening van waarschijnlijkheidstheorie. Bijkomende informatie wordt in een ULP-model met de bestaande informatie geïntegreerd door Bayes' regel toe te passen op elke kansverdeling die deel uitmaakt van de verzameling van mogelijke verdelingen en van de resulterende kansen opnieuw ondergrenzen en bovengrenzen te bepalen. ULP-theorie beschikt over dezelfde mogelijkheden als waarschijnlijkheidstheorie om onzekerheid ontstaan uit een kansproces voor te stellen. Bovendien laat ze toe om onzekerheid door gehele of gedeeltelijke onwetendheid weer te geven door middel van een kansinterval. Indien de beschikbare informatie bijvoorbeeld geen enkele uitspraak toelaat over de kans van een welbepaalde gebeurtenis, dan kan dit worden voorgesteld door de grenzen O en 1 te kiezen, waarmee men alleen maar te kennen geeft dat de werkelijke kans niet negatief kan zijn en hoogstens gelijk is aan 1. Onzekerheid door vaagheid kan daarentegen niet worden voorgesteld.
In principe kunnen alle modellen die het wiskundig begrip geloofsfunctie hanteren, ondergebracht worden bij geloofsfunctie-theorie (belief function theory). Wiskundig is een geloofsfunctie vergelijkbaar met een kansverdeling omdat ze eveneens de verdeling vastlegt, in dit geval van een eenheid geloof en niet kans. De verdeling gebeurt hier
echter niet over elementen van de verzameling van mogelijke gebcurtenissen, maar over alle deelverzamelingen van die verzameling (de machtsverzameling). De geloofsfunctie kan bijgevolg een positieve hocveelheid geloof toekennen aan een groep van gebeurtenissen, zonder dat met een afzonderlijke gebeurtenis van die groep enige specifieke mate van geloof geassocieerd hoeft te zijn. Het is meteen duidelijk dat geloofsfunctie-theorie bijzonder geschikt is voor het voorstellen van onzekerheid uit onwetendheid omdat informatie over een groep van gcbeurtenissen gewoon kan uitgedrukt worden als geloof gehecht aan die groep als geheel (een deelverzameling van gebcurtenissen) waarbij dat geloof niet moet uitgesplitst worden over de individuele gebeurtenissen zoals dat bij waarschijnlijkheidstheorie wel het geva! is. De tnekenning aan dee!verzame!ingen en niet aan a f z ~ n derlijke gebcurtenissen, heeft tot gevolg dat er geen equivalent bestaat voor één van de basisregels van de waarschijnlijkheidsleer, m.n. de additiviteitsregel die zegt dat de kans dat een groep gebeurtenissen de werkelijke bevat, moet gelijk zijn aan de som van de kansen van afzonderlijke gebeurtenissen. Via de geloofsfunctie is het mogelijk de aannemelijkheidsfunctie te bepalen die de mate van aannemelijkheid van een gebeurtenis uitdrukt als één min het geloof gehecht aan tegenstrijdige alternatieven. Geloof en aannemelijkheid samen vormen een interval dat aangeeft in welke mate beschikbare informatie leidt tot enerzijds geloof en anderzijds de aannemelijkheid dat een gebeurtenis de werkelijke gebeurtenis is. Zoals verschillende interpretaties van het kansbegrip hebben geleid tot strekkingen in de statistiek, zo zijn er ook meerdere interpretaties van geloofsfunctie-theorie. Enerzijds is er de opvatting dat er altijd ergens een onderliggend kansproces bestaat zodat een geloofsfunctie in essentie een veralgemening is van kansverdeling of een 'hoger niveau' kansverdeling. De geloofsfunctie-theoric is dan een bijzondere vorm van de ULP-theorie zoals ook blijkt uit de gelijkenis van het geloofsintcrval inet het ULP-interval. De meest gekende vertegenwoordiger van dcze strekking is de 'Dempster-Shafer' theorie (Shafer (1976)), hoewcl Shafer in latere teksten van deze interpretatie uitdrukkelijk afstand neemt. De mate van geloof in een gebeurtenis kan in deze opvatting gczien worden als 'de kans dat de waarheid van de gebeurtenis bewijsbaar is'. Een tweede belangrijke strekking neemt afstand van hct onderliggend kansproces en stelt dat de mate van geloof kan bestaan los van mogelijke beslissingen en zonder dat daarvoor de veronderstelling van een kansproces nodig is. Deze opvatting
wordt ook bewijstheorie genoemd en is vooral bekend onder de vorm van het Transferrable Belief Model (TBM) van Smets en Kennes (1994). Het TBM neemt afstand van de traditionele opvatting dat kansen nodig zijn om onzekerheid voor te stellen, waardoor nogal wat (weerl e g d ~kritiek ) werd geuit door voorstanders van Bayesiaanse modellen. Terwijl de regel van Bayes zorgt voor de integratie van nieuwe informatie met bestaande in Bayesiaanse modellen, gebeurt deze integratie in geloofsfunctie-theorie aan de hand van twee regels die gekend zijn als Dempster's conditionerirzgsregel en Dempster's combinatieregel. Onafhankelijk van de gekozen interpretatie kan geloofsfunctietheorie zowel onzekerheid ten gevolge van een kansproces als van onwetendheid v~srste!!en, h~ewe!de wijze wuurep en de interpretatie in de bewijstheoretische opvatting niet altijd voor de hand liggend is. Onzekerheid veroorzaakt door vaagheid kan niet worden voorgesteld aan de hand van geloofsfuncties. D. Mogelijkheidstheorie en vage verzamelingenleer Mogelijkheidstheorie (Dubois en Prade (1994)) is gebaseerd op het wiskundige begrip mogelijkheidsfunctie. In tegenstelling tot de functies uit de vorige onderdelen 'verdeelt' ze geen 'eenheid van ...' maar geeft ze voor elke mogelijke gebeurtenis aan in welke mate ze met de waarheid kan overeenstemmen. De toegekende waarden variëren in de regel tussen O en 1 en hoeven helemaal niet op te tellen tot één. In principe kan zelfs elke ordinale schaal gebruikt worden. De mogelijkheid van een groep van gebeurtenissen is niet gelijk aan de som van de mate van mogelijkheid van de afzonderlijke gebeurtenissen, maar wel aan het maximum ervan. Uit de mogelijkheidsfunctie kan een noodzakelijkheidsfunctie afgeleid worden. De noodzakelijkheid van een gebeurtenis is één min de mogelijkheid van tegenstrijdige gebeurtenissen en drukt de mate uit waarin een gebeurtenis de werkelijke moet zijn omdat de overige gebeurtenissen niet mogelijk zijn. Noodzakelijkheid en mogelijkheid kunnen opnieuw geïnterpreteerd worden als een interval. Hoewel theoretisch niet vereist, wordt mogelijkheidstheorie meestal verbonden met vage verzamelingenleer, beter gekend als fuzzy set theory (Zadeh (1978)). Volgens deze laatste behoort een element niet noodzakelijk met zekerheid wel of niet tot een welbepaalde verzameling, maar kan het in een zekere mate deel uitmaken van een verza-
meling en tegelijkertijd ook van haar coinplement. Zo kan bijvoorbeeld een lengte van 1.65 m met een graad van 0.8 tot de verzameling 'groot' behoren en tegelijk met een graad van 0.4 tot de verzameling 'klein'. In de klassieke verzamelingenleer zou moeten beslist worden of 1.65 m een element van 'groot' dan wel van 'klein' is. De mate waarin verschillende elementen 'deelnemen' aan een vage verzameling, wordt weergegeven door de lidmaatschapsfunctie van die verzameling. Het is deze lidmaatschapsfunctie die kan worden gelijkgesteld met de mogelijkheidsfunctie en daarmee het verband legt tussen onzekerheid uitgedrukt als vaagheid en mogelijkheidstheorie. In dit eenvoudig voorbeeld zou dit betekenen dat de mogelijkheid van '1.65 m' op basis van de vage informatie 'groot' zou gelijkgesteld worden aan 9.8. Het integreren van nieuwe informatie en manipuleren van mogelijkheidswaarden kan zeer complexe vormen aannemen door de grote verscheidcnheid aan operatoren in het domein van de vage verzamelingenleer. Mogelijkheidstheorie gecombineerd met vage verzamelingenleer, is bijzonder geschikt om onzekerheid ten gevolge van vaagheid voor te stellen. Deze theorie laat toe om te redeneren met begrippen zoals ze in de natuurlijke taal voorkomen, zonder dat het model vereist dat onmiddellijk beslissiiigen worden genomen over de exacte interpretatie ervan. In heel wat onderzoeksdoineinen worden modellen aan de hand van deze principes gebouwd en ook in praktische toepassingen zijn tal van successen bekend. Onzekerheid ten gevolge van onwetendheid kan eveneens voorgesteld worden door gebruik te maken van het noodzakelijkheid-mogelijltheidsinterval. Voor onzekerheid die ontstaat uit een kansproces, kan deze theorie dan weer niet worden gebruikt. IV. ONZEKERHEID IN AUDITING Eeuwenlang werd onzekerheid succesvol voorgesteld en beheerst door middel van kansen en was onzekerheid voortkomend uit een kansproces de enige vorm die gekend was. Pas bij de opkomst van de artificiële intelligentie, werd uitdrukkelijk afstand genomen van statistische modellen omdat ze niet geschikt bleken voor dergelijke toepassingen en er bijgevolg nog andere vormen van onzekerheid moeten bestaan (zoals besproken in deel 11). Nu deze vormen gekend en benoemd zijn, wordt steeds meer duidelijk dat ze in heel wat domei-
nen aanwezig zijn en dat de traditionele kansmodellen niet altijd even geschikt zijn. Dit geldt evenzeer voor de controle van de jaarrekening, hoewel deze evolutie zich daar trager schijnt af te spelen dan in sommige andere domeinen. De controle van de jaarrekening is het werkvan de auditor en heeft het uiteindelijk doel een uitspraak te doen over de 'getrouwheid van de jaarrekeninggetallen'. Om tot een gefundeerd oordeel te komen, zal de auditor bewijsmateriaal verzamelen en interpreteren. Zijn onderzoek beslaat niet elk mogelijk detail dat tot de jaarrekening heeft bijgedragen, maar is een evenwichtig en voldoende groot geheel van audit testen dat moet toelaten om met 'redelijke zekerheid' een eindoordeel te formuleren. De auditor onderzoekt dus volgens een gestructureerde aanpak of de jaarrekening vanuit verschiliende gezicilispunten een getrouw beeld geeft van de werkelijkheid of daarentegen substantiële fouten bevat die de getrouwheid in gevaar brengen. Gezien nooit alles op een perfecte wijze kan worden nagekeken, loopt hij het risico dat zijn finaal oordeel niet overeenkomt met de werkelijkheid. Door keuze van de aard, omvang en timing van de uitgevoerde testen, wordt dit risico zo klein mogelijk gehouden, binnen de grenzen van wat economisch haalbaar is. Uit deze beschrijving blijkt onmiddellijk een eerste onzelterheid voor de auditor, m.n. het risico dat zijli uiteindelijli oordeel niet het juiste is. Daarnaast zijn er nog tal van andere onzekerheden in het gehele proces van bewijsverzameling en -interpretatie dat aan de eindconclusie voorafgaat. Zo is er het risico dat de auditor verkeerde conclusies trekt uit de uitkomsten van individuele testen, m.a.w. dat hij de aan- of afwezigheid van substantiële fouten in het onderzochte deelgebied verkeerd veralgemeent. Verder is het mogelijk dat een testuitkomst niet altijd toelaat conclusies te trekken in termen van 'getrouw' of 'niet getrouw'. Dit kan voorltosnen wanneer een ontdekte fout te groot is om te verwaarlozen maar te klein om als substantieel te worden bescliouwd en de auditor (nog) geen uitspraak kan doen over de uiteindelijke invloed op de getrouwheid. Tenslotte bestaat er ook onzekerheid over de waarden die moeten worden vastgelegd om substasltiele fouten van niet-substantiele te onderscheiden (de zogenaamde 'materiality7).In essentie is 'materiality' een rekbaar begrip in die zin dat het niet beoogt een fout van 100000 BF als substantieel te beschouwen, terwijl 99999 BF niet substantieel zou zijn omdat de grens nu eenmaal op 100000 is vastgelegd. Materiality is bijgevolg een 'vaag' begrip dat eerder een grootteorde van onaanvaardbare fouten
wil weergeven en beter in die vorm kan behouden worden. Onzekerheid ten gevolge van vaagheid treedt trouwens zeer vaak op in het audit proces, m.n. bij beoordelingen die in wezen niet kwantitatief zijn, bvb. de controles van de cliënt zijn 'zwak', de betrouwbaarheid van de elektronische informatieverwerking is 'matig' enz. Verwijzend naar de onderkende vormen van onzekerheid zoals besproken in deel I1 en de mogelijkheid ze op te vangen in verschillende modellen zoals besproken in deel 111, rijst uiteraard de vraag in welke categorieën de onzekerheden van de auditor kunnen worden ondergebracht. Voor onzekerheid resulterend uit vaagheid is er geen probleem omdat ze zich duidelijk onderscheidt van onzekerheid ontstaan uit een kansproces of uit gehele of gedeeltelijke onwetendheid. He: ûnderscheid tUssen de Wee !zatste vormer, is echter miet altijd even duidelijk en komt neer op de vraag of een onderliggend kansproces al dan niet bestaat en gekend is. Het traditioneel gebruik van statistische modellen in auditing veronderstelt inderdaad dat de toestand van de jaarrekening (getrouw, niet getrouw) en het resultaat van audit testen (getrouw, niet getrouw) het gevolg is van een onderliggend kansproces, en dat bijgevolg de onzekerheid van de auditor met kansen kan worden beschreven (bvb. 'de kans dat de conclusie juist is'). Deze veronderstelling is lang noodzakelijk geweest omdat andere modellen niet bestonden, maar op dit ogenblik zijn nog weinig argumenten aanwezig om die veronderstelling te ondersteunen. Het is uiteraard wel mogelijk (en nuttig) om foutenpatronen te onderzoeken, maar het optekenen van frequenties op zich kan de veronderstelling van een kansproces moeilijk rechtvaardigen. De jaarrekeninggetallen zijn eerder het resultaat van een complex geheel van berekeningen, manipulaties, correcties en enkele lukrake invloeden, waarbij eigenlijk helemaal niet geweten is of het om een kansproces gaat. Vanuit een louter theoretisch standpunt kan een op kansen gebaseerd model bijgevolg niet aan te bevelen zijn, wat uiteraard niet belet dat de auditor het 'introduceren' van kansen kan verkiezen waardoor vaak toch een goed en aanvaardbaar beeld wordt gegeven van de aanwezige onzekerheid, dat van grote waarde kan zijn in de praktijk. Tenslotte blijkt de auditor in sommige gevallen duidelijk te redeneren in termen van aannemelijkheid en niet van kansen. Zo heeft de term 'risico van interne controles' (internal control risk, IR) de betekenis van een aannemelijkheid en niet die van een kans. Dit wordt duidelijk wanneer IR de waarde één aanneemt ingeval de interne con-
troles (controles ingesteld door de geauditeerde) niet werden getest. De auditor wil daarmee uitdrukken dat hij geen bewijsmateriaal heeft om aan te nemen dat het risico op substantiële fouten minder dan maximaal zou zijn en bijgevolg voorzichtigheidshalve de grootste risicowaarde wil handhaven. Voorgesteld als een kans, zou de waarde één erop wijzen dat fouten met zekerheid aanwezig zijn, terwijl de auditor gcwoon wil uitdrukken dat niets erop wijst dat er geen fouten zouden zijn noch dat er wel fouten zouden zijn. In dit geval kan deze 'onwetendheid' niet in termen van kansen worden uitgedrukt zonder dat daaruit verkeerde conclusies voortvloeien. Dergelijke situaties komen vrij veel voor (ook in andere domeinen) wanneer men voorzichtigheidshalve o.b.v. beperkt ondersteunend bewijs voor de slechtste optie toch niet meteen een hoge waarschijniijkheici voor de beste optie wil concluderen, wat onmogelijk is in een kansmodel. Samenvattend kunnen we stellen dat onzekerheid uit vaagheid alleszins aanwezig is en dat onzekerheid uit onwetendheid voorkomt in specifieke situaties waarin de auditor voorzichtigheidshalve eerder aannemelijkheid dan waarschijnlijkheid bedoelt. Verder kan niet worden aangetoond of de getrouwheid van de jaarrekening (en van haar componenten) het resultaat is van een kansproces en het bijgevolg gaat om onzekerheid uit een kansproces of eerder uit onwetendheid. Daarbij kan de keuze om de onzekerheid voor te stellen d.m.v. kansen toch tot zeer bruikbare resultaten kan leiden.
V. ONZEKERHEIDSMODELLEN Op enkele uitzonderingen na bestaan er op dit ogenblik enkel op statistiek gebaseerde modellen voor de controle van de jaarrekening. In dit deel bespreken we kort de bestaande modellen die gebaseerd zijn op waarschijnlijkheidsleer en geloofsfunctietheorie. Tevens worden de mogelijkheden van vage verzamelingenleer en mogelijkheidstheorie aangehaald.
A. Modellen gebaseerd o p waarsch~nlijlcheidsleer 1. A u d i t R i s k M o d e l ( A R M )
Het ARM is ontstaan uit de behoefte om de risico-elementen in liet audit werk te formaliseren. Van het ARM bestaan meerdere varianten, maar hun verschillen zijn niet relevant voor deze bespreking. De versie die we hier weergeven, wordt gebruikt in heel wat audit hand-
boeken en werd door het AICPA (American Institute of Certified Public Accountants) verspreid in 1983 in SAS 47 (Statement on Auditing Standards). Dit is ook de versie die in de aanbevelingen van het Belgisch beroepsorgaan - het IBR of Instituut der Bedrijfsrevisoren - wordt vernoemd (IBR (1992)).
met: AR audit risk of de kans dat de jaarrekening substantiële fouten bevat na het voltooien van de audit I R inherent risk of de kans op substantiële fouten in de jaarrekcniiig, abstractie makend van de interne controles (ûf het geheei van controles ingesteld door de geauditeerde) CR control risk of de kans dat substantiële fouten niet ontdekt worden door de interne controles DR detection risk of de kans dat substantiële fouten niet ontdekt worden door de testen van de auditor. Eenvoudig voorgesteld beschrijft het ARM het uiteindelijk audit risico als het restant van het oorspronkelijk risico na verlaging door de interne controles en de testen van de auditor. Doorgaans wordt het ARM genoemd als het meest gekende model voor de voorstelling van de onzekerheid die verbonden is met de controle van de jaarrekening. Het wordt bescho~iwdals een risicomodel, omdat het tot doel heeft inzicht te krijgen in de omvang en de aard van het risico. Ondanks de vele kritiek die op de statistische onderbouw werd geleverd, zou het nog steeds het model zijn dat in praktijk het meest wordt gebruikt. Het ARM dankt wellicht haar succes aan het eenvoudig gebruik en de relatief beperkte gegevens die ervoor beschikbaar moeten zijn. Doorgaans wordt het niet als Bayesiaans bestempeld omdat het de regel van Bayes niet gebruikt, hoewel de betekenis die aan het begrip kans wordt gehecht veel meer Bayesiaans dan klassiek te noemen is.
2. B a y e s i a a n s e m o d e l l e n Bayesiaanse modellen verschenen voor het eerst in de auditing literatuur in 1980 met het CICA-model', dat een 'echte' Baysiaanse versie is van het ARM. Het model gebruikt de regel van Bayes om ini-
tiële subjectieve kansen aan te passen aan nieuwe informatie. In de context van auditing, wordt Bayes' regel in essentie gebruikt als volgt:
met: de a priori kans op substantiele fouten (Error), P(E) P(AI E) de kans dat de jaarrekening als juist wordt aanvaard (Accept) tenvijl ze substantiele fouten bevat, de kans op aanvaarding van de jaarrekening als zijnde vrij P(A) van substantiele fouten, P(E /A) de a posîzriori karis up substaatiele füuien, wetende dat de jaarrekening als juist werd aanvaard o.b.v. het bewijsmateriaal (d.i. het gebruikersrisico van onterecht vertrouwen). Het verzamelen van bewijs heeft in Bayesiaanse modellen tot gevolg dat de a priori kans op fouten, $(E), wordt aangepast d.m.v. Bayes' regel en vervangen door de a posteriori kans. In principe kan bewijs verzameld worden over gelijk welke variabele (componeiit, aspect) van de jaarrekening. Bij 11 relevante variabelen x, moet P(E) worden vervangen door P(E lx,,x,,..,x,,). Dit betekent dat zowel P(xI,x2,..,X, I E), als de a priori P(E) en de gezamenlijke kans P(xl,xd,..,x,~) gekend dienen te zijn, wat een niet tc onderschatten opdracht is. Om deze vereisten te omzeilen, gebruikt inen de samenhang van componenten in Bayesiaanse netwerken, die de beoordeling van de jaarrekening in haar gelieel verdelen in logische componenten, op hun beurt weer opsplitsbaar enz. Een goed voorbeeld van een Bayesiaans model is dat van Steele (1992). Vertrekpunt van dat model is de stelling dat de geloofwaardigheid van de uiteindelijke opinie over de jaarrekening afhangt van de geloofwaardigheid van elementaire proposities waaruit de jaarrekening is opgebouwd. Geloofwaardigheid wordt voorgesteld door (subjectieve) kansen. Voor elke propositie heeft de auditor een a priori kansverdeling die d.m.v. de regel van Bayes zal worden aangepast an een a posteriori kansverdeling wanneer bewijsmateriaal voorhanden is4. Bijkomende testen zullen worden uitgevoerd (en leiden tot een aanpassing van de kansverdeling) totdat de betrouwbaarheid van de opinie van de auditor aanvaardbaar is. 'Aanvaardbaar' is in dit model ecn evenwicht tussen de mogelijke kosten in geval van een verkeerde opinie en de kosten van bijkomend bewijsmateriaal om de be-
trouwbaarheid te verhogen. Voor de jaarrekening als geheel wordt geen 'geaggregeerde' betrouwbaarheid berekend a.h.v. de betrouwbaarheid van de samenstellende proposities. Het finaal oordeel wordt daarentegen o.b.v. vuistregels (informeel) afgeleid uit de beoordeling van het geheel van proposities. Vanuit een theoretisch standpunt zijn de Bayesiaanse modellen beter dan het ARM omdat zij de onzekcrheid nauwkeuriger (in meer detail en op een consistente manier) voorstellen en manipuleren. Bovendien bieden ze de mogelijkheid om beslissingsrelevaiite aspecten zoals kosten en opbrengsten te integreren. De keerzijde van deze nauwkeurigheid is de verhoogde complexiteit van dergelijke modellen (zeker in vergelijking tot het eenvoudige ARM), maar meer nog de grote hocvre!heic! benodigde inp~tgegevens.Meer ii: het bi;z~r,J der zijn er gegevens nodig om zowel alle a priori kansverdelingen als de voorwaardelijke kansverdelingen - nodig voor het toepassen van Bayes' regel - te bepalen. Wellicht verklaren deze argumenten het eerder beperkt succes van deze modellen in praktijk, hoewel ze de academische literatuur domineren. B. Modellen gebaseerd op geloojijimctie-theorie Risicomodellen gebaseerd is op gcloofsfunctie-theorie zijn op dit ogenblik nog zeer schaars. Ook al werd geloofsfunctie-theorie eerder door meerdere auteurs als 'beloftevol' voor auditing genoemd, toch is er pas echt sprake van een geloofsfunctie-model voor de controle van de jaarrekening vanaf de jaren'90 dankzij het werk van voornamelijk Srivastava (1995a). De voorstelling van onzekerheid op een wijze die verschillend is van de traditionele waarschijnlijliheidsleer, is gelieel nieuw waardoor Srivastava's model gebaseerd is op een aantal vereenvoudigeiide veronderstellingen. Een recenter geloofsfunctie-model dat aan deze beperkingen tracht tegemoet te komen, is uitgewerkt in Van den Acker (1996). Modellen die gebaseerd zijn op geloofsfunctie-theorie en daarbij venvachte kosten en opbrengsten integreren, bestaan op dit ogenblik nog niet. Vergelijkbaar met Bayesiaanse netwerken, wordt in beide bestaande modellen het oordeel over de jaarrekening als geheel opgebouwd uit beoordelingen vali componenten. De beoordeling is nu niet gebaseerd op kansen, maar op geloof en aannemelijkheid. De mate waarin componenten als onderling onafhankelijk worden beschouwd, bepaalt - net zoals bij Bayesiaanse netwerken - de complexiteit van het
model. In beide modellen wordt geloof en aannemelijkheid van het finale oordeel logisch afgeleid door het combineren en overbrengen van geloof in componenten. Het uiteindelijke resultaat van een geloofsfunctie-model is een graad van geloof in en aannemelijkheid van de finale beoordeling. Vergeleken met Bayesiaanse modellen, bezit ge!oofsfunctie-theorie liet voordeel dat alleen gewerkt wordt met informatie die voorhanden is. C. Modellen gebaseerd o p vage verzamenlingenleer en mogelijkheidstheorie
Voor de controle van de jaarrekening bestaan nog gecn modellen gebaseerd op vage verzamenliiigenleer en mogelijkheidstlieorie. De belangstelling vanuit auditing middens voor deze theorieën bestaat nog niet zo lang, maar lijkt op dit ogenblik groeiende. Vanuit een louter theoretisch standpunt biedt deze theorie heel wat mogelijklieden voor liet modelleren van het audit proces, omdat de auditor dan niet verplicht wordt tot het vroegtijdig vastlcggen van exacte grenswaarden maar met begrippen kan redeneren die vaag kunnen blijven tot aan het einde van het redeneerproces. Dergelijke werkwijze biedt als grote voordeel dat begrippen die inherent vaag zijn, niet moeten gesubstitueerd worden door een exacte grenswaarde die noodzakelijkerwijze alleen benaderend kan zijn en zo heel wat informatie 'verliest'. Mogelijke nadelen van deze benadering liggen ongetwijfeld in de vraag of dergelijke modellen bewijskracht kunnen hebben ingeval van betwisting, evenals in de moeilijke keuze tussen de talrijke mogelijkheden om met vage waarden te redeneren en de deelneiningsfuiicties te bepalen.
D. Vergelijking van bestaande n~odellen Zonder in detail te treden, kunnen wij de voor- cn nadelen van bovengenoemde modellen als volgt samenvatten. Let wel dat een grondige vergelijking hecl wat mcer aspecten omvat, maar niet mogelijk is binnen het bestek van dit artikel. De kracht van het ARM is zonder meer haar eenvoud. Ondanks de vele (terechte) kritiek die op de theoretische oiiderbouw werd geIcverd, blijkt het ARM nog altijd een handig hulpmiddel te zijn om risico voor tc stellen en de impact van audit testen te beredeneren. Het biedt een intuïtief eenvoudig inzicht in de samenstelling van hct
uiteindelijk risico en de samenhang tussen risico en de inspanningen van de auditor. Hoewel theoretisch meermaals aangetoond werd dat het ARM hei audit risico in de meeste gevallen zal onderschatten, is ook de vraag van belang of dergelijke fouten werkelijk doorslaggevend zijn in een context waarin de cijfeiwaardcn van alle componenten van het risico niet meer dan een pragmatische benadering zijn. Bayesiaanse modellen lijden vooral onder de grote inputvereisten, enerzijds omdat veel gegevens moeilijk te bekoiilen zijn, anderzijds omdat ze, samen met het verzamelde bewijsmateriaal, bepalend zijn voor het te verrichten audit werk en de resiiltaten van het model. Daar tegenover staat dan weer dat deze gegevens - wannecr ze kwalitatief goed en voorhanden zijn - het audit werk kunnen beperken en de resultaten ten gorde komen. Nochtans blijf! het een feit dat om een Bayesiaans netwerk van realistische omvang te gebruiken, een niet te miskennen hoeveelheid niet onmiddellijk beschikbare informatie nodig is. De complexiteit van de modellen hangt vooral af van de (onai11ankelijkheids)assumptiec die door de bouwer zijn gemaakt. Uiteraard kunnen dan vragen rijzen over de aanvaardbaarheid van de gekozen assumpties. De grote voordelen liggen in de traditie van de statistiek en de algemene vertrouwdheid lnet het begrip kans, de tastbaarheid van de theorie d.m.v. haar associatie met kansspelen en de aanwezigheid van de beslissingstheorie die het mogelijk maakt aan onzekere beslissingen opbrengsten en kosten tc koppelen. Gelosfsfunctie-modellen bieden als onmiskenbaar voordeel dat de beschikbare informatie volstaat om het model te gebruiken. Verder wordt vaak geargumenteerd dat geloof en aannemelijkheid beter in staat zouden zijn de intenties van de auditor weer te geven dan dat kansen dat kunnen. Nadelig is zonder twijfel de onvertrouwdlieid met begrippen als geloof en aannemelijkheid en de 'redeneerregels' die worden gebruikt, alsook het ontbreken van een ineer 'tastbare' interpretatie zoals kansspelen dat zijnvoor de statistiek. Wellicht kan men zich ook vragen stellen over de bewijskracht van dergelijke nieuwere modellen in geval van betwisting, zij het dan in mindere mate dan bij fuzzy set theory. Zoals bij Bayesiaanse netwerken wordt de complexiteit van een model vooral bepaald door de veronderstellingen van onafhankelijkheid. Tenvijl de complexiteit van een Bayesiaans model zich uit in zwaardere inputvereisten, is de coinplexiteit van een geloofsfunctie-model vooral op het vlakvan berekeningen belastend (vnl. oindat gewerkt wordt met de machtsverzameling, zie deel BI).
VI. BESLUIT In dit artikel werden drie vormen van onzekerheid toegelicht, met name onzeltcrheid ontstaan uit een kalisproces, uit gehele of gedceltelijke onwetendheid en uit vaagheid. Verder werden naast de waarschijnlijkheidstheorie, drie nieuwere oiizekerheidstheorieen op een informele wijze ingeleid. Geen enkele van de besproken onzekerheidstheorieën - waarschijnlijkheidstheorie, ULP-theorie, geloofsfunctic-theorie en mogelijkheidsthcorie - leidt tot 'liet beste model' onder alle omstandigheden. Voor elke situatie op zich is het belangrijk de aard van de onzelterheid te herkennen en aan de hand daarvan het meest geschikte model te kiezen. Wat auditing betreft, wordt steeds meer erkend dat naast onzekerheid ontstaan uit een kansproces, ook andere vormen aanwezig zijn. In het vijfde deel van deze tekst werd besproken welke audit modcllen op dit ogenblik beschikbaar zijn, en welke hun belangrijkste voor- en nadelen zijn. Moe nuttig de discussies over de theoretische kwaliteiten van verschillende modellen ook kunnen zijn, hun aanvaarding in praktijk is evenzeer van groot belang. Op dit ogenblik blijkt het ARM nog steeds het meest gebruikte model te zijn, terwijl Bayesiaanse modellen vooral de academische literatuur domineren. De interesse voor nieuwere modellen is sinds einde jaren '80 langzaam groeiende. NOTEN 1. Gemakkelijkheidshalve zullen we verwijzen siaar 'cosltrolc of certiiicatic vali de jaarrckening' met de kortere tcrm 'audilirig'. 2. De verwijzing 'kans van ccn gebeurtenis' is cc11vcrkortc weergave van 'kans dat ccii geheurteriis de werkelijkc gebeurleilis is'. 3. CICA staat voor 'Canadia11 Institute of Chartercd Accountants'. 4. De a priori liailsvcrdcliilg besclirijfl de kans voor clkc mogclijlte tocstand (bvb. 'juist', 'fout'), terwijl dc a posteriori kansverdeling wecrgccft Iioe groot de kans is voor elke m«gclijl<e tocstand gegeven de hckonien tcstres~iltatcri.
REFERENTIES Cusliing, B. arid Loebbecke, J., 1983, Aiialytical Approaches t« A~iditRisk: a Survey arid Analysis, Arrdilirzg: cr .lou~.rlnlq[Prrrc/ice nrld Tlzeo~y,Fall, 42-54. De Coen, A., 1090a, Bayesian Statistical Auditing (T), Acco~irztirncy& Bedr~jjsk~irzcle, liwartnnlscl~riJl15, 3, 33-39. De Cocn, A., 1990b, Bayesiari Statistical Auditilig (11),Accourz/orzcy& UerlrijJ~kurrde, kwartaalscl~rifi15, 4, 31-39. DeCrroot, M., 1975, Probability arid Statistics, (Addison-Wcslcy, Loridon). Duhois, D. aiid Pradc, I-I., 1994, A Survey of Belief Revision aild Updating Rulcs in Various Uncertainty Models, Irrterr~crtio17ol.lournaloj'Intcllige~ztSysfri?zs,9, 61-100.
IIalpern, J. aiid Fagin, R., 1992, Two Views of Belief: Belief as Gciieralized Proliahility and 54, 273-317. Belief as Evideilcc,Artificiul l~iiellige17c.e, IBR, 1992, Vooroiilwcrp aaiiheveliiig coritrolcrisico, Peilodieke Berichten, juli-augustus, 1-6. T
proxirnuie Rensonitig, S,, 195-209. Savage, G., 1954, Tlie Foundalions of Statisties, (New York). Shafcr, C;., 1976, A Matliematical Tlicory o i Evidcricc, (Priiicelon University Press). Smets, Pli., 1994, Wliat is Denipster-Shafer's Model'?, i11 Yagcr. K. ct al., Advances i11thc Denipster-Sliafer Tlieory of Evideiice, 5-34. Sinets, Ph. and Kcnncs, I<., 1994, Tlie Traiislerable Belief Model,Ariificirrl Intelligenci~,66, 191-234. Srivastava, R., 1995a, The Beliel-Funclion Approacli t» Aggrcgating Audit Evidciice, In/ernntionrrl .lourrinl oj'lntelligent S~~stems, 10, 329-356. Srivastava, R., 1905b, A Gcneral Scliciue for Aggregating Evideiice iii Auditiiig: Propagation of Bcliels i11 Networks, i11 Vasarhelyi, M., Artificial Iiitelligence iii Accouiitirig and Auditing. IL~liwlcdgiRcpr~seliiatiiiri,A~~iiïiiiîirig Appiic;iiiuns aiiù îiie Fuî~ire,3, 5599. Stecle, A., 1992, Audit Risk aiid Audit Evidence, (Academie Prcss, London). Van den Acker, C., 1996, Belief-F~iiictionTheory and its Applicatioii t» the Modeling of Uncertainty in Financial Statement Aiiditing, Phci.Disscrtati»n, (I<.U.Leuvcn, Leuven). Van de11 Ackcr, C. aild Vanthieiicn, J., 1996, Integrating Statistical Audit Evidence wit11 BelicLFunctioil 'Thcory, Lecture Notes in Ariilicial Tnlelligence 1085, 1-14. Zadch, L., 1978, Fuzzy Sets as a Basis f«r a Thcory of Possibility, fiizzy Sets u~zdSystems, 3-28.
