M
áš a
-X
31 EO
2
Obvody s rozprostřenými parametry
Pa v
el
EO2 – Přednáška 12 Pavel Máša
Pavel Máša - X31EO2 - Vedení s rozprostřenými parametry
ÚVODEM Koaxiální kabel – vedle dvojvodičového
31 EO
2
vedení ve vzduchu (staré telefonní, 300 Ω plochý televizní kabel k anténě) patří k nejstarším (patentován r. 1880) typům kabelů – vedení s rozprostřenými parametry Vlnová impedance je 75 Ω
Pa v
el
M
áš a
-X
Každá kroucená dvojlinka UTP patch kabelu je samostaným vedením s rozprostřenými parametry Impedance vedení je 100 Ω Obdobná kroucená dvojlinka pro USB má 90 Ω
Obvodem s rozprostřenými parametry zde není paměť samotná, ale sběrnice – vodiče, spojující řadič paměťový modul s řadičem a dále procesorem; impedance vodičů je 50 Ω Nás zde zajímají terminační rezistory • FSB využívající GTL se poprvé objevila u Pentia 2 • U DDR2 byly terminační rezistory integrovány na čipu Pavel Máša - X31EO2 - Vedení s rozprostřenými parametry
PRIMÁRNÍ PARAMETRY VEDENÍ
31 EO
2
• Teče‐li vodičem elektrický proud, pak se kolem vodiče vytváří magnetické pole, konstantou úměrnosti je zde indukčnost • Kolem elektrického náboje je elektrické pole ) kapacita • Největší známou rychlostí ve vesmíru je rychlost světla c = 299 792 458 ms‐1 ve volném prostoru Elektřina se postupně šíří jako elektromagnetické pole, obklopující vodiče • Elektrický odpor a nenulová vodivost mezi vodiči způsobuje ztráty Pro předmět EO2 informativní
áš a
-X
V případě páru vodičů závisí velikost indukčnosti a kapacity na jejich geometrickém uspořádání a rozměrech: r2 Koaxiální kabel: 2¼" ¹ r2
L=
2¼
ln
r1
C=
ln rr21
Dvojvodičové vedení:
r
L=
Pa v
r
el
M
r1
aÀr
¹ a ln ¼ r
C=
¼" ln ar
Protože rychlost šíření elektromagnetické vlny je konečná, vlna „nevidí“ elektrické vedení jako celek, ale pouze jeho (nekonečně malou) část ⇒ popis vedení je nutné rozdělit na nekonečně mnoho nekonečně malých úseků, popsaných parametry dL, dC, dR, dG Primární parametry vedení uvádíme na jednotku délky: C=
Cl l
[Fm¡1 ], L =
Ll l
[Hm¡1 ], R =
Rl l
[Ðm¡1], G =
Gl l
[Sm¡1 ]
Pavel Máša - X31EO2 - Vedení s rozprostřenými parametry
ZÁKLADNÍ ROVNICE HOMOGENNÍHO VEDENÍ Ri
dR
dR
dL
dC
dG
dC
dG
Rs
31 EO
2
Ui
dL
Model vedení s rozprostřenými parametry
zdroj
i(x + dx; t)
i(x; t)
dL
dC
dG
u(x + dx; t)
Ll dx = L dx l
dR =
Rl dx = R dx l
dG =
Gl dx = G dx l
Pa v
dx
dL =
el
M
u(x; t)
dC =
áš a
dR
Cl dx = C dx l
-X
Základní element vedení
Spotřebič (zátěž)
Element popíšeme s pomocí Kirchhofových zákonů obvodovými rovnicemi • pro zobrazenou smyčku • a pro zobrazený uzel
Pavel Máša - X31EO2 - Vedení s rozprostřenými parametry
Smyčka:
@ i(x + dx; t) + u(x + dx; t) = 0 @t · ¸ @ u(x + dx; t) ¡ u(x; t) = ¡ Ri(x + dx; t) + L i(x + dx; t) dx @t
¡u(x; t) + R dx i(x + dx; t) + L dx
2
lim : : :
1. základní diferenciální rovnice homogenního vedení
-X
@u @i = Ri + L @x @t
áš a
¡
31 EO
dx!0
Uzel:
M
@ u(x + dx; t) + i(x + dx; t) = 0 @t · ¸ @ i(x + dx; t) ¡ i(x; t) = ¡ Gu(x + dx; t) + C u(x + dx; t) dx @t
Pa v
el
¡i(x; t) + G dx u(x + dx; t) + C dx
lim : : :
dx!0
¡
@i @u = Gu + C @x @t
2. základní diferenciální rovnice homogenního vedení Pavel Máša - X31EO2 - Vedení s rozprostřenými parametry
1. základní rovnice:
@u @i ¡ = Ri + L @x @t
@ ¡ @x
@ 2u @i @ 2i ¡ 2 =R +L @x @x @t@x
@ ¡ @t
@ 2u @i @ 2i ¡ =R +L 2 @x@t @t @ t
@ ¡ @x
@ 2i @u @ 2u ¡ 2 =G +C @x @x @t@x @ 2i @u @ 2u ¡ =G +C 2 @x@t @t @ t
31 EO
¡
@ @t
-X
@i @u ¡ = Gu + C @x @t
2
2. základní rovnice:
áš a
Vlnové rovnice:
Pa v
el
M
@ 2u @ 2u @u = LC + (LG + RC) + RG u @x2 @t2 @t @ 2i @ 2i @i = LC + (LG + RC) + RG i @x2 @t2 @t
Dále se budeme zabývat bezeztrátovým vedením, kde R = 0, G = 0 Pavel Máša - X31EO2 - Vedení s rozprostřenými parametry
ŘEŠENÍ VLNOVÉ ROVNICE PRO BEZEZTRÁTOVÉ VEDENÍ @ 2u @ 2u = LC 2 @x2 @t
31 EO
d’Alembertovo řešení: (popisuje též např. kmitání struny) řešením rovnice musí být funkce argumentu x § vt
2
Vlnové rovnice pro bezeztrátové vedení:
@ 2i @ 2i = LC 2 @x2 @t
Pro předmět EO2 informativní
Zavedeme pomocné proměnné » = x ¡ vt, ´ = x + vt
@» @ @´ @ @ @ @ = + = + @x @x @» @x @´ @» @´
-X
Aplikujeme řetězové pravidlo:
Pa v
el
M
áš a
@» @ @´ @ @ @ @ = + = ¡v + v @t @t @» @t @´ @» @´ μ ¶μ ¶ @ @u @u @ 2u @u @ @ 2u @ 2u Potom má vlnová rovnice tvar: = + + = 2 +2 + @x2 @» @´ @» @´ @» @»@´ @´ 2 μ μ 2 ¶ ¶μ ¶ @ 2u @ @u @ @u @u @ 2u 2 @ u = ¡v + v ¡2 ¡v +v =v + @t2 @» @´ @» @´ @» 2 @»@´ @´ 2
@ 2u =0 @»@´
Pokud:
r v=
Viz např.: http://mathworld.wolfram.com
1 LC Pavel Máša - X31EO2 - Vedení s rozprostřenými parametry
Uvedená parciální deferenciální rovnice má řešení: u(x; t) = f (») + g(´) = up (x ¡ vt) + uz (x + vt)
Důkaz:
00
h
00
00
00
i
up(x ¡ vt) + uz (x + vt)
áš a
up(x ¡ vt) + uz (x + vt) = LCv
2
-X
31 EO
2
@ 2u @2 00 00 = [u (x ¡ vt) + u (x + vt)] = u (x ¡ vt) + u p z p z (x + vt) @x2 @x2 h 00 i @ 2u @2 00 2 = 2 [up (x ¡ vt) + uz (x + vt)] = v up (x ¡ vt) + uz (x + vt) @t2 @t
p· r¶³m¶ a vlna nap·et¶³ - pohybuje se od po·ca¶tku ke konci
uz (x + vt) v
zp· etn¶ a vlna nap·et¶³ - pohybuje se od konce k po·ca¶tku rychlost · s¶³· ren¶³ vlny nap·et¶³
el
Pa v
v=p
M
Význam: up (x ¡ vt)
1 c 1 =p =p ¹" ¹ r "r LC
Pavel Máša - X31EO2 - Vedení s rozprostřenými parametry
PROUD A VLNOVÝ ODPOR Do 2. základní rovnice ¡
@i @u =C @x @t
31 EO
2
dosadíme za napětí @i @ 0 0 ¡ = C [up(x ¡ vt) + uz (x + vt)] = ¡vCup (x ¡ vt) + vCuz (x + vt) @x @t Integrací podle x dostaneme:
-X
i(x; t) = ip(x ¡ vt) + iz (x + vt) = vC [up (x ¡ vt) ¡ uz (x + vt)] = G0u(x; t)
áš a
kde G0 = vC má význam vodivosti Vlnový odpor:
i(0; 0)
V žádném případě nemá vlastnosti skutečného odporu – jmenovitě – průchodem proudu nevzniká teplo!!!
V čase t = 0 zdroj „vidí“ kabel jako obyčejný odpor o velikosti R0
Ri
Ui
M
L C
el
R0 =
R0 je ale vlastností elektromagnetického pole, které obklopuje vodiče, je závislá geometrií a vlastnostmi prostředí
Pa v
r
R0
u(0; 0)
u(0; 0) = Ui
R0 Ri + R0 Pavel Máša - X31EO2 - Vedení s rozprostřenými parametry
ŠÍŘENÍ NAPĚTÍ / PROUDU VEDENÍM up(x ¡ vt) = R0 ip(x ¡ vt)
el
M
áš a
-X
31 EO
2
vlna proudu má opačnou orientaci
Pa v
uz (x + vt) = ¡R0 iz (x + vt)
Pavel Máša - X31EO2 - Vedení s rozprostřenými parametry
