LINEÁRNÍ OBVODY S ELEKTRONICKÝMI PRVKY

VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ – TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA

Fakulta elektrotechniky a informatiky

LINEÁRNÍ OBVODY S ELEKTRONICKÝMI PRVKY Sbírka příkladů

Jitka Mohylová

OSTRAVA 2002

Mohylová J.: Lineární obvody s elektronickými prvky – sbírka příkladů

© Jitka Mohylová, 2002 ISBN 80 – 248 – 0098 – 5

Obsah 1.

Úvod ……………………………………………………………………………. 3

2.

Použité algoritmy ………………………………………………………………. 3

3.

Základy MATLABu …………………………………………………………… 4

4.

Řešené příklady ……………………………………………………………….. 17 4.1

Lineární struktury s operačními zesilovači …………………………… 17

4.2

Filtry …………………………………………………………………... 37 4.2.1 Filtry 2. řádu s invertujícím OZ ………………………………. 37 4.2.2 Filtry 2. řádu s neinvertujícím OZ …………………………….. 39 4.2.2.1 Filtr typu dolní propust ………………………………... 39 4.2.2.2 Filtr typu horní propust ………………………………. 40 4.2.3 Kaskádní realizace filtrů ……………………………………… 47

4.3

Jiné struktury ………………………………………………………….. 49

4.4

Nulorová metoda řešení obvodů ……………………………………… 55

4.5

Obvody s tranzistory …………………………………………………. 57

5. Závěr ……………………………………………………………………………….. 95 6. Literatura ………………………………………………………………………….. 96 7. Dodatek …………………………………………………………………………….. 97


Úvod

1

Skripta „ Lineární obvody s elektronickými prvky – sbírka příkladů“ úzce navazují na přednáškové skriptum Lineární obvody s elektronickými prvky [1 – Punčochář 2002]. Toto skriptum doplňuje řešenými příklady s problémovými úkoly, kde je detailně ukázána metodika řešení typických problémů s ukázkami řešení problémů pomocí počítače. Neřešené příklady a úkoly slouží k samostatné práci studentů. Simulace elektronických obvodů vede na numerické řešení úlohy s následným vykreslením grafů požadovaných závislostí. Numerické řešení má charakter rutinních, avšak časově náročných, úkonů. Dnes existuje celá řada kvalitních programů. Jejich nevýhodou je, že jsou málo průhledné. Pro správné použití těchto programů je nutné, aby byly známy principy, na kterých jsou tyto programy sestaveny. Při studiu obvodů je užitečné vytvořit si vlastní simulační program, u kterého lze celý postup výpočtu detailně sledovat. K tomuto účelu je velmi vhodný matematický jazyk MATLAB. S jeho pomocí si usnadníme řešení složitých matematických výpočtů, které se při simulaci obvodů používají. Základní popis jazyka MATLAB je popsán v kapitole 3.

Použité algoritmy

2

K řešení příkladů lineárních obvodů s aktivními prvky byla zvolena metoda uzlových napětí pro její jednoznačnost a produktivnost. Zopakujme tedy základní postup pro řešení: a) známe-li admitanční modely aktivních prvků: 

obvod rozdělíme na část pasivní a „k ní“ paralelně připojenou část aktivní



sestavíme admitanční matici pasivní části obvodu prvek Yss je roven sumě admitancí vstupujících do uzlu s (vždy kladné znaménko); prvek Ysk je dán sumou admitancí připojených mezi uzly k a s ( se znaménkem záporným)



sestavíme admitanční matici aktivního prvku (lineární model)



propojení uzlů obou n-pólů vyznačíme do matice pasivní části obvodu



v pozicích, kde dochází ke koincidenci členů admitanční matice aktivního prvku, přičítáme odpovídající admitance této matice – členy odpovídající „průsečíku“ indexů

Výsledkem postupu jsou lineární modely elektronických obvodů s reálnými prvky. b) známe-li nulorové modely aktivních prvků: 

sestavíme admitanční matici pasivní části obvodu (neuvažujeme nulory)



sjednotíme napětí uzlů propojených nulátory (a tedy i odpovídající sloupce „pasivní matice“), sjednocení s referenčním uzlem znamená nulové napětí na pří3


slušném uzlu a proto i škrtnutí příslušného sloupce (napěťové propojení nulátorem) 

sjednotíme budicí proudy uzlů propojených norátory (a tedy i odpovídající řádky „pasivní matice“), sjednocení s referenčním uzlem znamená nezávislost mezi proudem a napětím na příslušném uzlu, tzn. příslušný budicí proud a řádek se škrtají (proudové propojení norátorem)

Zde je výsledkem lineární model elektronického obvodu s ideálními prvky.

3

Základy MATLABu

MATLAB je úzce specializovaný jazyk pro technické výpočty. Jeho název je odvozen z překladu mathematics laboratory. Integruje výpočty, vizualizace a programování ve velmi snadně použitém prostředí, kde problémy a výsledky jsou vyjádřeny v příbuzných matematických výrazech. Může rovněž pracovat s lineárními, nelineárními, spojitými , diskrétními systémy. Typické použití je například pro: 

matematiku a výpočty



vývoj algoritmů



modelování a simulace



analýzu dat, výzkum a vizualizaci



vědeckou a inženýrskou grafiku

Příbuzné aplikace se nazývají TOOLBOXY jako například: 

Symbolic math



Statistics



Signal processing



Fuzzy logic



Neural Network



Partial differential equation

 

Optimalization Control



…

Nástavbou Matlabu je Simulink. Je to interaktivní systém pro simulaci nelineárních dynamických systémů. Je ovládán myší. Obsluhující modely a systémy pro kreslení diagramů na obrazovce. Pozor Matlab rozlišuje malá a velká písmena. Tj. proměnné d a D jsou různé !!! (častá chyba a problém při odlaďování programu).

4


Při spuštění programu se za znakem >> očekává vstup uživatele. Pokud jsme novými uživateli, použijme příkaz DEMO k demonstraci a ilustraci možností Matlabu . Příkazem EXIT se program ukončí. Pokud chceme uložit práci předem rozpracovanou, napíšeme příkaz SAVE a veškeré proměnné se uloží do souboru matlab.mat. Pro následnou práci v Matlabu použijeme příkaz LOAD pro práci s těmito proměnnými.

Obr. 1: Simulink – Ukázka příkazového a grafického okna Matlab používá dva typy oken – příkazové a grafické. Grafické okno slouží pro znázornění grafiky, grafů a průběhů. Tato okna jsou při spuštění Matlabu „čistá“ prázdná. Pokud během práce potřebujeme vyčistit obsah příkazového okna, napíšeme CLC. Pro vyčištění grafického okna slouží příkaz CLG (clear graphic). Pozor, těmito příkazy se vyčistí obrazovka, nikoli proměnné. Pro vymazání obsahů proměnných slouží příkaz CLEAR. Pokud se dostaneme do programu s cyklickou smyčkou, je možné běh programu přerušit stiskem kláves ^C. Příkazem WHO se vypíší proměnné, které jsou definovány v programu. Použitím příkazu WHOS se vypíší proměnné s rozměrem, počtem prvků a počtem bytů. Těmito příkazy se vypíše i proměnná ANS, která se používá k uložení hodnoty výsledku, které nebyla přiřazena žádná proměnná. Příkazem SIZE je možno zjistit rozměr matice, př. SIZE(A) => počet řádků, počet sloupců. Matlabovské příkazy jsou typicky psány na zvláštní řádky nebo odděleny středníkem na stejném řádku. Text se zapisuje tak, že před text se zapíše %. Čárka se používá pro oddělování příkazů na jedné řádce, případně při zadávání řádků matice. Středník způsobí nevypsání výsledku operace. Používá se též pro ukončení sloupce při zadávání matic. Př. » w=[1,2,3;4,5,6;7,8,9] nebo » w=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]

5


w= 1 4 7

2 5 8

3 6 9

Přímo do Matlabu je zabudován Help, který je snadno dostupný v příkazovém okně (HELP SIZE), nebo v menu tohoto okna. Případným zápisem slova HELP do příkazového řádku se vygeneruje seznam vrcholových symbolů, které je možno vybrat pro další informaci. » help size SIZE Size of matrix. D = SIZE(X), for M-by-N matrix X, returns the two-element row vector D = [M, N] containing the number of rows and columns in the matrix. For N-D arrays, SIZE(X) returns a 1-by-N vector of dimension lengths. Trailing singleton dimensions are ignored. [M,N] = SIZE(X) returns the number of rows and columns in separate output variables. [M1,M2,M3,...,MN] = SIZE(X) returns the length of the first N dimensions of X. M = SIZE(X,DIM) returns the length of the dimension specified by the scalar DIM. For example, SIZE(X,1) returns the number of rows. See also LENGTH, NDIMS.

Matlab ver. 5 umožňuje volbou z menu příkazového okna spustit nápovědu ve formě HTML stránek. Podrobný popis celého programu ve formátu pdf je uložen v adresáři: c:\matlab\help\pdf_doc\ . Pro základní orientaci jsou důležité tyto soubory. c:\matlab\help\pdf_doc\matlab\using_ml.pdf c:\matlab\help\pdf_doc\matlab\getstart.pdf Případné dotazy a informace lze rovněž nalézt na adrese www.mathworks.com

Data jak již vyplynulo z kontextu, Matlab pracuje z maticemi. Používá matice (i vícerozměrné – ver. 5). Skalár je tedy matice (1 x 1) a vektor (1 x n) nebo (n x 1). Používá obvyklý desítkový zápis čísel s volitelnou desetinnou tečkou, kladným a záporným znaménkem. Za číslo můžete připojit exponent nebo komplexní jednotku. Příklady přípustných čísel jsou: 3 9.6397238 2i

-99 1.60210E-20 -3.14159i

+0.0001 6.02252e23 3e5i

POZOR na omylem vložené mezery před a za symbolem exponentu. Velmi užitečný je sloupcový operátor používaný při práci s maticemi nebo programování. Př. 6


» A = [1 1; 2 3] A= 1 1 2 3

» B = A(:,1) B= 1 2

» B = A(1,:) B= 1 1

» B = A(:,2) B= 1 3

nebo při zadávání posloupnosti čísel s pravidelným krokem. » x=1:7 x= 1 2

3

4

5

6

7

v případě že krok není roven 1 (může být i záporný) lze použít. » s=0:0.7854:3.14 s= 0 0.7854 1.5708

2.3562

nebo záporné » 100:-20:0 ans = 100 80 60 40 20

0

Výrazy můžete sestavovat pomocí obvyklých aritmetických operátorů a pravidel o prioritě operací + sčítání – odčítání * násobení / dělení zprava \ dělení zleva ^ mocnění Pozor: nepoužívejte jako název jednotkové matice název i nebo j protože jsou Matlabem rezervovány pro komplexní jednotku. Za svůj výkon vděčí Matlab v mnohém značnému množství funkcí. Některé z nich jsou vnitřní, nebo-li vestavěné. Jiné funkce jsou v knihovnách M-souborů distribuovaných s Matlabem (nadstavby Matlabu). A další funkce pro specializované aplikace mohou být přidány uživateli nebo skupinami uživatelů. Toto je důležitá vlastnost Matlabu; každý uživatel může vytvořit funkce, které se provádějí právě tak jako vnitřní funkce vestavěné v Matlabu. Obecné kategorie analytických funkcí využitelných v Matlabu zahrnují - Elementární matematické funkce - Speciální funkce - Elementární matice - Speciální matice - Rozklad matic - Analýza dat 7


-

Polynomy Řešení diferenciálních rovnic Nelineární rovnice a optimalizace Numerická integrace Zpracování signálů

Maticové operace Maticové operace jsou základem Matlabu. Kdekoli je to možné, jsou označeny obvyklým matematickým způsobem omezeným pouze znakovou sadou počítače. a) Transpozice matic – Transpozici matic označuje apostrof (‘). b) Sčítání a odčítání matic – Znaménka + a - označují sčítání matic. Matice musí mít shodné dimenze. c) Násobení matic – Symbol * označuje násobení matic. Operace je definována, pokud vnitřní rozměr dvou operandů jsou stejné. X*Y se vykoná, je-li druhý rozměr X stejný jako první rozměr Y. Např. výše uvedené x a y mají stejné rozměry [3x1], takže výraz x*y není definován a výsledkem je chybové hlášení. Je však definováno několik jiných vektorových součinů, které jsou užitečné. Mezi nejběžnější patří součin (skalární) tj. x´*y. Součin matice s vektorem je speciálním případem součinu matice s maticí. Samozřejmě skalár může násobit matici nebo může být maticí násoben: pi*x. d) Dělení matic – V Matlabu existují dva symboly pro dělení matic, \ a /. Je-li A regulární čtvercová matice, potom A\B resp. B/A formálně odpovídají levostrannému resp. pravostrannému násobení matice B maticí inverzní k matici A; tj. inv(A)*B resp. B*inv(A), ale výsledek je získán přímo (bez výpočtu inverze). Obecně X= A\B je řešením A*X = B X=A/B je řešením X*A = B

Levostranné dělení, A\B, je definováno, má-li B tolik řádek jako A. Pokud je matice A čtvercová, požívá se Gaussova eliminace. Výsledek je matice X se stejnými rozměry jako u matice B. Pokud je A téměř singulární, zobrazí se varovné hlášení. Není-li matice A čtvercová, aplikuje se Householderova ortogonalizace se sloupcovým výběrem. Výsledkem je matice X o rozměrech [m x n], kde m je počet sloupců A a n je počet sloupců B. Pravostranné dělení B/A, je definováno pomocí levostranného dělení jako B/A = (A´/B´)´. e) Mocniny matic – Výraz A^p, který má význam p-té mocniny matice A, je definováno, je-li A čtvercová matice a p je skalár. Pokud je p celočíselné větší než jedna, vypočte se tento výraz opakovaným násobením. Pro jiné hodnoty p, výpočet vyvolá vyhodnocení vlastních čísel a vlastních vektorů. Je-li [V,D] = eig(A), potom A^p = V*D.^p/V. Pokud je P matice a a je skalár, výraz a ^P se řeší opět přes vlastní čísla a vlastní vektory. Výraz X^P, kde jak X tak P jsou matice, nahlásí chybu.

8


Prvkové operace Výraz prvkové operace znamená aritmetické operace prováděné na prvcích matic. Pro odlišení těchto operací od operací maticových předchází příslušné operátory tečka. a) Prvkové sčítání a odčítání – U sčítání jsou maticové operace totožné s operacemi prvkovými, takže + a - může být považováno buď za maticovou nebo prvkovou operaci. b) Prvkové násobení a dělení – Symbol .* označuje prvkové násobení. Pokud A a B jsou stejného typu, potom A.*B vytvoří maticí, jejíž prvky jsou jednoduše součiny jednotlivých prvků matice A a B. Např. x = [1 2 3 ]; y = [4 5 6 ];

potom pro z = x.*y

obdržíme z= 4 10 18

Výrazy A./B a A.\B počítají podíly jednotlivých prvků. Takže pro z = x.\y

obdržíme z= 4.0000 2.5000 2.0000

Prvkové použití mocnin Symbol .^ označuje prvkové mocniny. Následuje několik příkladů, které využívají výše zavedené vektory x a y. Zadejte z = x.^y

což vede k z= 1 32 729

Exponent může být skalár : z = x. ^2 z= 1 4 9

nebo může být skalárem báze : z = 2. ^[xy] z= 2 4 8 16 32 64

Manipulace s vektory a maticemi Indexovací schopnosti MATLABu umožňují manipulaci s řádky,sloupci, jednotlivými prvky a submaticemi matic. Indexování se provádí na vektorech, které jsou vytvářeny pomocí dvojtečkového zápisu. Vektory a indexace jsou nejmocnější operace Matlabu, jimiž se snadno dociluje i dosti složitých manipulací s daty. a) Vytváření vektorů 9


Dvojtečka je důležitým znakem v MATLABu. Příkaz x = 1:5

vygenerujeme řádkový vektor obsahující čísla od 1 do 5 s jednotkovým krokem. Tedy x= 1 2 3 4 5

Samozřejmě můžete zvolit jiný krok než jedna. Např. y=0:pi/4:pi

vytvoří y= 0.0000 0.7854 1.5708 2.3562 3.1416

Lze použít rovněž záporný krok. Např. z = 6:-1:1

znamená z= 6 5 4 3 2 1

Dvojtečkový zápis umožňuje snadné vytváření tabulek. Abychom získali sloupcovou tabulku, je třeba transponovat řádkový vektor získaný dvojtečkovým zápisem, vypočítat sloupec funkčních hodnot a potom vytvořit matici ze dvou sloupců. y = exp(-x).+sin(x);

x = (0.0:0.2:3.0); [x y]

vytvoří ans = 0.0000 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.0000 1.2000 1.4000

0.0000 0.1627 0.2610 0.3099 0.3223 0.3096 0.2807 0.2430

1.6000 1.8000 2.0000 2.2000 2.4000 2.6000 2.8000 3.0000

0.2018 0.1610 0.1231 0.0896 0.0613 0.0383 0.0204 0.0070

Jinou možností jak vytvořit vektor je použití funkce logspace, která vytvoří vektor s logaritmickým rozložením, nebo linspace, která umožní určit počet bodů vektoru místo volby kroku k = linspace (-pi,pi,4) k= -3.1416 -1.0472 1.0472 3.1416

b) Indexace Na jednotlivé prvky v matici se lze odkázat pomocí jejich indexů uzavřených v kulatých závorkách. Výrazy použité na místě indexů jsou celá čísla. Např. máme matici A A= 123 456 789

potom příkaz A(3,3) = A(1,3)+A(3,1) 10


vytvoří A= 123 456 7 8 10

Indexem může být i vektor. Jsou-li x a v vektory, potom x(v) je [x(v(1)), x(v(2)), ....x(v(n))].

Je-li x matice, pak vektorové indexy umožní zpřístupnit spojité či nespojité submatice. Např. předpokládejme, že A je matice řádu deset, potom A(1:5,3)

specifikuje submatici [5x1] (sloupcový vektor), která je tvořena prvními pěti prvky třetího sloupce matice A. Podobně A(1:5,7:10)

je submatice [5x4], která je tvořena z prvků prvních pěti řádek a posledních čtyř sloupců. Samotná dvojtečka na místě indexu označuje všechny odpovídající řádky nebo sloupce. Např. A(:,3) označuje třetí sloupec a A(1:5,:) označuje prvních pět řádek. Krásně rafinovaných efektů se dosáhne použitím odkazu na submatice na obou stranách přiřazovacího příkazu. Např. A(:,[3 5 10]) = B(:,1:3)

nahradí třetí, pátý a desátý sloupec matice A prvními třemi sloupci matice B. Obecně, je-li v a w vektor s číselnými hodnotami, pak A(v,w) je matice získaná vybráním prvků matice A s řádkovými indexy ve vektoru v a se sloupcovými indexy ve vektoru w. Takže A(:,n:-1:1)

převrací sloupce matice A a v = 2:2:n; w = [3 1 4 1 6] A(v,w)

je legální, leč pravděpodobně ne moc často použitelná skupina příkazů. Jedním z dalších triků, které využívají dvojtečku, je A(:). A(:) na pravé straně přiřazovacího příkazu označuje všechny prvky matice A zařazené do dlouhého sloupcového vektoru. Tedy příkazy A = [1 2;3 4;5 6] b = A(:)

vytvoří A= 12 34 56 b= 11


1 3 5 2 4 6

Pokud již matice A existuje, lze A(:) použít i na levé straně přiřazovacího příkazu ke změně tvaru nebo velikosti matice. Potom A(:) označuje matici A uspořádanou pouze v rámci daného přiřazovacího příkazu do sloupcového vektoru (se sloupci A pod sebou). Např. výše uvedená matice A má tři řádky a dva sloupce, takže A(:) = 11:16

změní šestiprvkový řádkový vektor na matici [3x2]: A= 11 12 13

14 15 16

tato operace je zahrnuta ve funkci reshape.

Prázdné matice Příkaz x=[ ]

přiřadí do x matici řádu nula. Následné použití této funkce nevyvolá chybu; pouze operace s touto maticí způsobí vznik další prázdné matice. Něco jiného je ale příkaz clear x

který vymaže x ze seznamu současných proměnných. Prázdné matice existují v pracovním seznamu; mají pouze nulový řád. K otestování existence matice v pracovním prostoru slouží funkce exist, zatímco funkce isempty testuje, zda se jedná o prázdnou matici. Také je možné vytvořit prázdný vektor. Je-li n menší než jedna, potom 1: n neobsahuje žádný prvek a tak x = 1 : n je komplikovanější cestou jak vytvořit prázdné x. Důležitější využití prázdné matice je ale při odstraňování řádek a sloupců matice, což se provádí přiřazením prázdné matice rušeným řádkům či sloupcům. Tak A(:,[2 4])

smaže druhý a čtvrtý sloupec matice A.

Tvorba velkých matic Velké matice můžete tvořit z malých matic, když je vložíte do hranatých závorek. Např. je-li A čtvercová matice, potom C = [A A’; ones(size(A)) A.^2]

vytvoří matici dvojnásobného řádu oproti matici A. Menší matice musí být rozměrově konzistentní, jinak nastane chyba.

Manipulace s maticemi 12


Několik funkcí slouží k rotaci, překlápění, změně tvaru nebo vyjímání určitých částí matice.  

rot90 fliplr

- rotace - horizontální překlopení



flipud

- vertikální překlopení



diag

- vyjmutí nebo vytvoření diagonály



tril

- dolní trojúhelníková část matice



triu

- horní trojúhelníková část matice



reshape

- změna tvaru



‘nebo.’

- transponování



:

- obecné přeskupení

Např. změnit matici A, která je [3x4] na matici B – [2x6] → B=reshape(A,2,6) Velice užitečné jsou funkce size a length. Funkce size vrací dvouprvkový vektor obsahující informaci o typu matice. Je-li proměnná vektor, length vrací jeho dimenzi a pro matici vrací max(size(V)).

Vícerozměrné matice V této části rozebereme problematiku vícerozměrných matic s rozměry většími než 2-D. Vícerozměrná pole mohou být numerická, znaková, buněčná, nebo strukturální. Vícerozměrné matice jsou všestranně užitečné například v reprezentaci vícevariačních dat.

13


Pozor na vytváření stejných proměnných a stejných názvů funkce jaké již existují v Matlabu.

Grafika Grafický systém Matlabu umožňuje různé způsoby zobrazení dat. Tento systém je vybudován na základě sady grafických objektů (line, surface, ...), jejichž vzhled lze potvrdit nastavením parametrů jejich vlastností. Protože Matlab obsahuje dostatečné množství 2-D a 3-D grafických funkcí vyšší úrovně, není nezbytné používat přímý přístup k vlastnostem objektů. Pro zobrazení dat ve tvaru 2-D grafů včetně popisů a komentářů je v Matlabu Dvourozměrná matice

Třírozměrná matice

Ukázka přístupu k matici ve druhé stránce: k dispozici řada funkcí. 14


Následující seznam obsahuje přehled funkcí, které vytvářejí graf daných dat. Tyto funkce se liší pouze užitím jiné stupnice os. Všechny akceptují vstupní data ve tvaru vektorů nebo matic a automatický provádějí transformaci os podle rozsahu hodnot vstupních dat. plot logplot semilogx semilogy

vytváří graf užitím lineární stupnice pro obě osy vytváří graf užitím logaritmické stupnice pro obě osy vytváří graf užitím logaritmické stupnice pro x-ovou osu a lineární stupnice pro y-ovou osu vytváří graf užitím logaritmické stupnice pro y-ovou osu a lineární stupnice pro x-ovou osu

Do grafu lze přidat nadpis, popis os, text nebo zobrazit síť pomocí následujících funkcí title xlabel ylabel text gtext grid

přidá nadpis do grafu (doprostřed nad graf) přidá popis x-ové osy (doprostřed pod osou) přidá popis y-ové osy (doprostřed podél osy) přidá textový řetězec na určenou pozici umístí text do grafu na místo vybrané myší zobrazí síť

Vytváření grafů užitím funkce plot Je-li x vektor, plot(x) vytvoří lineární graf prvků vektoru x vzhledem k indexu prvků tohoto vektoru. Pro kreslení čar, případně vyznačení bodů, je k dispozici sada typů čar a barev uvedených v následující tabulce : Symbol y m c r g b w k

Barva žlutá fialová tyrkysová červená zelená modrá bílá černá

Symbol . o x + * : -. --

Typ čáry bod kroužek značka x plus hvězdička plná tečkovaná čerchovaná přerušovaná

Třetím parametrem funkce plot lze specifikovat typy čar a jejich barvu.V příkazu plot(x,y,s) s značí jedno-, dvou- nebo tří- znakový řetězec (oddělený apostrofy) z předcházející tabulky. Kombinovat lze pouze symboly z různých sloupců. Např. plot(x,y,´c+´) vykreslí značku + tyrkysové barvy v každém bodě dat, plot(t,x,´r-´,t,y,´g--´) vykreslí graf funkce x plnou červenou barvou, graf funkce y zelenou přerušovanou čarou. Není-li barva určena funkce plot automaticky vybírá barvy z tabulky v uvedeném pořadí. Pro násobné čáry vybírá funkce plot cyklicky prvních šest barev z výše uvedené tabulky. Tloušťku čáry i velikost značek lze měnit. Vyvolání dalšího příkazu plot běžně způsobí vymazání aktuálních os a nakreslení nových. Tomu lze zabránit příkazem hold on. Potom Matlab neodstraní existující osy, 15


ale přidá do aktuálních os nové čáry. Pokud je rozsah nových dat větší než rozsah původních dat, změní se zároveň rozsah os podle nových dat, Tyto příkazy zobrazí do jednoho grafu funkce sinus a kosinus ve zvoleném rozsahu, měřítko os je voleno podle rozsahu funkce kosinus. Zmrazením měřítka os lze ale dosáhnout vykreslení další čáry do původního rozsahu os. Funkcí subplot můžeme do stejného grafického okna umístit více grafů. Subplot(m,n,p) rozdělí grafické okno na m*n oblastí (os) a vybere pro aktuální graf p-tou z nich. Oblasti jsou číslovány po řádcích shora. Funkce figure bez argumentů otevře nové grafické okno. figure(N) zaktualizuje Nté grafické okno, grafické příkazy budou nyní zobrazovat data do tohoto okna. Pokud N-té grafické okno neexistuje, MATLAB vytvoří další nové okno, ovšem ne nutně s číslem N. Logaritmická stupnice MATLAB vykreslí v logaritmické stupnici také záporná data. Nemůže ale zobrazit záporná a kladná data současně do jediných os. Obsahují-li data kladná i záporná čísla, jsou záporná čísla ignorována a dolní mez osy je nastavena automaticky tak, aby byla znázorněna nejmenší kladná hodnota dat. Zápornou logaritmickou osu vytváří Matlab pouze tehdy, pokud jsou všechna kreslená data záporná.

ODLAĎOVÁNÍ Ačkoli je MATLAB jako programovací jazyk podstatně jednodušší než jiné pro1

Př:

0.8

t=0:pi/100:2*pi; plot(sin(t),'k'); gtext('sin(t)'); hold on tt = 0:pi/100:4*pi; plot(cos(tt),'r--'); gtext('cos(ft)'); hold off

0.6 0.4 0.2 0 -0.2

cos(ft)

sin(t)

-0.4 -0.6 -0.8 -1 0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

gramovací jazyky, přesto budete někdy nuceni lokalizovat a opravovat chyby M – souborech. Syntaktické chyby MATLAB nalezne během kompilace. Tyto chyby se obvykle snadno odstraňují. Horší je to v situaci, když MATLAB narazí na běhovou chybu, neboť při výskytu těchto chyb se provede návrat do příkazového okna s ohlášením chyby. To vede ke ztrátě lokálního pracovního prostoru funkce, v níž došlo k chybě. Pokud užíváte středník k potlačování zobrazování mezivýsledků, nebudete znát místo chyby. Pro zobrazení mezivýsledků můžete použít tyto metody :  Odstranit středníky.  Přidat příkazy keyboard, které vám umožní prověřit pracovní prostor v místech aplikace těchto příkazů.  Udělat z funkčního M - souboru skriptový M - soubor (z první řádky se udělá komentář) , takže všechny mezivýsledky budou uloženy v hlavním pracovním prostoru. 16


 Použít příkazy MATLABu pro odlaďování. První tři metody vyžadují zásahy do M - souborů . Poslední metoda je popsána v následující části. Odlaďovací příkazy Odlaďovací příkazy jsou * dbstop nastavení bodu přerušení. * dbclear odstranění bodu přerušení. * dbcont pokračování v programu. * dbdown změna kontextu lokálního pracovního prostoru. * dbstack výpis volání. * dbstatus výpis všech bodů přerušení. * dbstep spuštění jedné nebo několika řádek. * dbtype výpis M - souborů s čísly řádek. * dbup změna kontextu lokálního pracovního prostoru. * dbquit ukončení odlaďování. Přehled některých základních funkcí je uveden v dodatku.

4

Řešené příklady

4.1

Lineární struktury s operačními zesilovači



1 Analyzujte vliv vlastností operačního zesilovače v zapojení na obr. 2. Analýzu proveďte pro a) invertující strukturu  U1 = 0 V b) neinvertující strukturu  U2 = 0 V c) diferenční strukturu  U1 = 1 V, U2 = U1  1  V Vlastnosti operačního jsou: Ao = 2∙105; f1 = 5 Hz; f2 = 2∙106 Hz; Ro = 70 Ω, Rd = 2 MΩ; Rcm = 300 MΩ;

17


Hodnoty rezistorů: R1 = 104 Ω; R2 = 105 Ω; R3 = 104 Ω; R4 = 105 Ω;

 Řešení: Podrobný teoretický rozbor příkladu je v [1] kap. 3.1.1. Zde je ilustrován pouze výpočet s konkrétními hodnotami zapojených prvků. Příklad je vyřešen v prostředí MATLAB a doplněn komentářem. Výsledky jsou graficky znázorněny na obr. 3 až obr 6.

 Řešení pomocí MATLABu: % INVERTUJÍCÍ STRUKTURA % ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

clear all; clc; R2 I2 (2)

R1

(3)

-

Zd

+ I1 (1)

R3

(5) Rz

(4) ZCM

ZCM

R4

Obr. 2: Schéma k příkladu 1 Ao = 2e5; % Zadání vstupních hodnot f1 = 5; f2 = 2e6; Ro = 70; Rd = 2e6; Rcm = 300e6; R1 = 1e4; R2 = 1e5; R3 = 1e4; R4 = 1e5; G1 = 1/R1; G2 = 1/R2; G3 = 1/R3; G4 = 1/R4; Gcm = 1/Rcm; Gd = 1/Rd; Go = 1/Ro; A = Ao; Gz=0; fpocet = 100; fT = Ao*f1; a = 0; b = 8; U1 = 0; U2 = 1; % zadání invertující struktury I = [-G3*U1; -G1*U2; G1*U2; G3*U1; 0]; % předpokl., že obvod je buzen ideál. zdroji napětí U1 a U2, neznámými jsou proudy I1 a I2 namísto uzlových napětí U1 a U2 viz [1 – vztah (3.4)] freq = logspace(a,b,fpocet); % definice kmitočtů, pro které budou počítány kmitočtové charakteristiky for f = 1:fpocet A(:,f) = fT./(f1+j*freq(f)); % všimněte si operátoru ./ ! % sestavení matice vodivostí G – matic G bude právě f – dvourozměrných vodivostních matic pro: ∀ f ∈ <1, fpocet> G(:,:,f) = [-1 0 0 -G3 0; 0 -1 -G1 0 0; 0 0 G1+G2+Gcm+Gd -Gd -G2; 0 0 -Gd G3+G4+Gd+Gcm 0; 0 0 -G2+A(f)*Go -A(f)*Go G2+Gz+Go]; U(:,f) = G(:,:,f)\I; Ku(:,f) = U(5,f)/U2; faze_Ku(:,f) = (180/pi)*angle(Ku(f));

% výpočet matice uzlových napětí – pozor operátor „backslash“ \ ! % výpočet napěťového zesílení Ku % výpočet Ku(f) ve stupních 18


Zvst(:,f) =U2/U(2,f); faze_Zvst(:,f)=(180/pi)*angle(Zvst(f)); EA(:,f) = Ku(f)/(-R2/R1); end; figure(1); subplot(2,2,1); semilogx(freq,20*log10(abs(A))),grid title('zesílení A invertujícího OZ'); gtext('\leftarrow |A(j\omega)|','FontSize',9); xlabel('f'), ylabel('|A(j)| [dB]'); subplot(2,2,2); semilogx(freq,20*log10(abs(EA))), grid title('Chybový člen EA'); gtext('\leftarrow |EA(j\omega)|','FontSize',9); xlabel('f'), ylabel('|EA(j)| [dB]'); subplot(2,2,3); semilogx(freq,abs(Ku)), grid title('napěťové zesílení Ku = U5/U2, když. U1 = 0'); gtext('\leftarrow|Ku(j\omega)|','FontSize',9); xlabel('f'), ylabel('|KU(j)|'); subplot(2,2,4); semilogx(freq,faze_Ku), grid title('fáze napěťového zesílení'); gtext('\leftarrow \phi(j\omega)','FontSize',9); xlabel('f'), ylabel('Ku(j)| []'); figure(2); subplot(2,2,1); semilogx(freq,abs(Zvst)), grid title(' Zvst2 invertujícího OZ'); gtext('\leftarrow |Zvst(j\omega)|','FontSize',9); xlabel('f'), ylabel('|Zvst(j)| []'); subplot(2,2,2); semilogx(freq,faze_Zvst), grid title('fáze Zvst2'); xlabel('f'), ylabel('Zvst(j)| []'); gtext('\leftarrow \phi(j\omega)','FontSize',9); figure(3); semilogx(freq,20*log10(abs(A))), hold on; semilogx(freq,20*log10(abs(EA))), grid title(' invertují OZ - zesílení A, chybový člen EA');

% výpočet vstupní impedance

% Vytvoření grafického okna % horní graf vlevo % modulová kmitočtová charakteristika % popis obrázku % horní graf vpravo

% spodní graf vlevo

% spodní graf vpravo

% NEINVERTUJÍCÍ STRUKTURA % ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------R3 = 0.00001; G3 =1/R3;

% Máme-li sestavené matice, nelze počítat s hodnotou R3 = 0, proto musíme zadat alespoň jeho malou hodnotu. Ideální přenos je pak určen i děličem R3,R4: A = (1 + R2/R1)*R4/(R3+R4)

ft = Ao*f1; U1 = 1; U2 = 0; % zadání neinvertující struktury I = [-G3*U1; -G1*U2; G1*U2; G3*U1; 0]; freq = logspace(a,b,fpocet); for f = 1:fpocet; A(:,f) = Ao/(1+j*freq(f)/f1); G_nein(:,:,f) = [-1 0 0 -G3 0; 0 -1 -G1 0 0; 0 0 G1+G2+Gcm+Gd -Gd -G2; 19


0 0 -Gd G3+G4+Gd+Gcm 0; 0 0 -G2+A(f)*Go -A(f)*Go G2+Gz+Go]; U(:,f) = G_nein(:,:,f)\I; Ku(:,f) = U(5,f)/U1; faze_Ku(:,f) = (180/pi)*angle(Ku(f)); Zvst1(:,f) =U1/U(1,f); faze_Zvst1(:,f)=(180/pi)*angle(Zvst1(f)); EA(:,f) = (Ku(f)/(1+R2/R1))*(R4/(R3+R4)); end;

% DIFERENČNÍ STRUKTURA % ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------% odpor R3 má opět hodnotu 10 kΩ U1 = 1; U2 = U1+1; % zadání vstupních napětí I1 = [-G3*U1; -G1*U2; G1*U2; G3*U1; 0]; freq = logspace(a,b,fpocet); for f = 1:fpocet A(:,f) = Ao/((1+j*freq(f)/f1)*(1+j*freq(f)/f2)); G(:,:,f) = [-1 0 0 -G3 0; 0 -1 -G1 0 0; 0 0 G1+G2+Gcm+Gd -Gd -G2; 0 0 -Gd G3+G4+Gd+Gcm 0; 0 0 -G2+A(f)*Go -A(f)*Go G2+Gz+Go]; U(:,f) = G(:,:,f)\I1; Ku(:,f) = U(5,f)/U1; faze_Ku(:,f) = (180/pi)*angle(Ku(f)); Zvst1(:,f) =U1/U(1,f); faze_Zvst1(:,f)=(180/pi)*angle(Zvst1(f)); Zvst2(:,f) =U2/U(2,f); faze_Zvst2(:,f)=(180/pi)*angle(Zvst2(f)); EA(:,f) = Ku(f)/(R2/R1); end;

20


4

15

x 10

fáze Zvst φ [ ˚ ]

Zvst invertujícího OZ Zvst [Ω]

60

10

40

← φ ( jω )

← |Zvst( jω )| 5

20

0 0 10

5

10

10

10

f

5

10

f

10

10

Chybový člen EA EA [dB]

zesílení A OZ A [dB]

150

0 0 10 0

100

-20

50

-40

|EA( jω )| →

← |A( jω )| 0

-60

-50 0 10

5

10

10

10

f

-80 0 10

napěťové zesílení Ku, když U1 = 0

10

180

8

160

6

5

10

140

← φA ( jω )

← |Ku( jω )| 4

120

2

100

0 0 10

10

10 fáze napěťového zesílení φA [ ˚ ] f

5

10

f

10

10

80 0 10

5

10

10

f

10

Obr. 3: Kmitočtové charakteristiky invertujícího zapojení operačního zesilovače – vidíme, že modul chybového členu EA odpovídá poklesu o 3 dB (0,707) na frekvenci asi 90 kHz a fázový posun φ (jω) je zde právě - 45º (fázový průběh φEA (jω) je totožný s průběhem fáze napěťového zesílení φA (jω) – viz [1]). Přesné hodnoty z grafu lze získat vhodnou volbou měřítek.

21


10

4 x 10 Zvst neinvertujícího OZ Zvst [Ω]

fáze Zvst φ [ ˚ ]

0

9.9 -0.5

9.8

← φ ( jω )

9.7

-1

← |Zvst( jω )|

9.6 9.5 0 10

10

5

f

10

10

-1.5 0 10

10

5

10

f

10

Chybový člen EA EA [dB]

zesílení A OZ A [dB]

150

0

100

-20

50

-40

|EA( jω )| →

← |A( jω )| 0

-60

-50 0 10

5

10

10

10

f

-80 0 10

napěťové zesílení Ku, když U2 = 0

15

5

10

10

10 fáze napěťového zesílení φA [ ˚ ] f

0 -20

10

-40 -60

5

← |Ku( jω )| 0 0 10

5

10

f

← φA ( jω )

-80 10

10

-100 0 10

5

10

f

10

10

Obr. 4: Kmitočtové charakteristiky neinvertujícího zapojení operačního zesilovače – modul chybového členu EA odpovídá poklesu o 3 dB (0,707) na frekvenci asi 90 kHz a fázový posun φ (jω) je zde právě - 45º. Napěťové. zesílení Ku = 11 (při R3 = 0 – prakticky při R3 = 1·10-5 Ω – viz program).

22


zesílení A OZ – dva póly přenosu A [dB]

150

Chybový člen EA

100

-50

← |EA( jω )|

50 ← |A( jω )|

0

-100 -150

-50 -100 0 10

5

10

f

10

10

-200 0 10 200

8

150

6

5

10

← |Ku( jω )|

10

10

100

4

← φ ( jω ) 50

2 0 0 10

5

10

f

10

10

5 x 10 Zvst uzel 1 difer. OZ Zvst [Ω]

1.04

0 0 10

5

10

f

10

10

fáze Zvst - uzel 1 - dif. OZ φ [ ˚ ]

1.5

1

← |Zvst( jω )|

1.02

← φ ( jω ) 0.5

1 0.98 0 10 15

f

fáze napěťového zesílení φ [ ˚ ]

napěťové zesílení Ku difer. OZ

10

1.06

EA [dB]

0

5

10

f

10

10

0 0 10

5

10

10

10

f

fáze Zvst - uzel 2 - dif. OZ φ [ ˚ ]

4 x 10 Zvst uzel 2 difer. OZ Zvst [Ω]

50 40

10

30 ← |Zvst( jω )|

← φ ( jω )

20

5

10 0 0 10

5

10

10

f

10

0 0 10

5

10

10

f

10

Obr. 5: Kmitočtové charakteristiky diferenčního zapojení operačního zesilovače – je-li výstupní odpor nulový, pak vstupní impedance uzlu 1 je určena pouze součtem R3 + R4; vstupní impedanci uzlu 2 určíme pomocí U3 a I2 – viz [1 – (3.26)]

23


dif. OZ - zesílení A, chybový člen EA

120 100 80

← |A( jω )|

60 40 20 0 -20

|EA( jω )| → -40 -60 -80 0 10

10

2

10

4

10

6

10

f

8

Obr. 6: Kmitočtové charakteristiky diferenčního zapojení operačního zesilovače



2 Určete pro strukturu z obr. 2 jak se změní napěťové zesílení A a chybový člen EA, bude-li výstupní odpor a) Ro = 500 Ω b) Ro = 5 kΩ



3 Jak se změní napěťový přenos |KU(jω)| neinvertující struktury z obr. 2, budeli hodnota odporu R3 = 10 kΩ.



4 Pro strukturu z obr. 7 určete: a) přenos, vstupní a výstupní impedanci, je-li operační zesilovač definován následujícími parametry (741): Ao =2105, f1 = 5 Hz, (fT = 5Ao =106 Hz), Ro =100 Ω, Rd =2 MΩ; RCM =300 MΩ b) Přenos zesilovače, má-li operační zesilovač dva póly přenosu, přičemž druhý pól je určen vztahem f2 = kA0f1.

(U1)

R3 1 M

(U2)

U1

I1

(1) Rd

-

(2)

U2

+

+ R1

RCM RCM

Obr. 7: a) Schéma k příkladu 4; b) Schéma k příkladu 4 – parazitní vstupní odpory OZ

24


 Řešení: a) Do řešení zahrneme parazitní vstupní opory OZ – obr. 7b). Obvod obsahuje dva uzly a je buzen zdrojem proudu I1. Admitanční matice zapojení je: 1; (+) 2; (-) (o)

1; (+) G1 + GCM + Gd - Gd + (-AGo)

2; (-) (o) - Gd G1 + GCM + Go + AGo



U1 U2

=

I1 0

Pomocí Cramerova pravidla určíme příslušné determinanty: 2 D  G0  Gd  G1  GCM   1  A  G1  GCM  Gd   2Gd G CM  GCM

D1  I1  Gd  GCM  G0  1  A

D2  I1  Gd  G0  A

V praxi je hodnota Go natolik dominantní, že i pro A  0 lze ostatní členy zanedbat. Hodnotu determinantu D pak určíme D  G0  Gd  G1  GCM   1  A

(1)

a napěťový přenos Ro U2 A   U1 1 A Rd 1  A

(2)

Člen Ro/Rd(1+A) popisuje dopředný přenos struktury (přes Rd do Ro, pro Ro « Rd). Vstupní napětí je definováno vztahem U1 = D1/D. Vstupní impedanci Z1 (pro Ro « Rd) určíme vztahem Z1 

U1 1   I1 G1  GCM

1 Gd 1 1  G1  GCM A  1

(3)

Diskuse: 1) Pro A → ∞

je Z1 ( A  ) 

R1 RCM 1  G1  GCM R1  RCM

Diferenční odpor Rd samotného OZ se neuplatňuje, při dané realizaci je na něm vždy nulové napětí (proud odporem Rd neteče). 2) Pro A → 0

je Z1 ( A  0) 

1 G1  GCM  Gd

Odpor Rd se ve výpočtu plně uplatní, protože na vstup (-) OZ není žádné napětí z výstupu OZ. Výstupní impedanci Z2 určíme pomocí Théveninova teorému – tj. zdroj proudu I1 nahradíme jeho vnitřní impedancí (tzn. že jej rozpojíme). Uzlu 2 vnutíme měrný proud I2. Dostaneme tak výstupní strukturu zapojení. Admitanční popis zapojení je 1; (+) 2; (-) (o)

1; (+) G1 + GCM + Gd - Gd + (-AGo)

2; (-) (o) - Gd  G1 + GCM + (1 + A)Go

U1 U2

=

0 I2 25


Z2 (GCM « G1, Gd ) 

G1  GCM  Gd Ro 1  R1 Rd U2    R R I2 Go Gd  G1  GCM   1  A 1 A 1 1 d A1

(4)

Pokud by uzel (1) byl napájen ze zdroje proudu s reálnou vodivostí Gn (ze zdroje napětí s výstupním odporem Rn = 1/Gn, připojí se k odporu R1 paralelně právě odpor Rn. Ve výpočtu pak stačí nahradit odpor R1 paralelní kombinací R1 || Rn.. V praxi je obvyklé, že R1 || Rn « Rd, potom Z 2  Ro 1  A

Diskuse: 1) Pro A → ∞

je Z2 = 0

2) Pro A = Ao

je Z2 = Ro/Ao

3) Pro A → 0

je Z2 = Ro

Nyní můžeme určit všechny požadavky z bodu a). Pro zesílení OZ použijeme model (3.1) [1 – kap.3], tedy A(jω) = ωT /(p + ω1) = (pro ustálený stav p = j2πf ) = 106/(5 + jf). Potom U2 A 106   ; U1 1 A 5  106  jf

Z1 





996,7 103 106  jf ; 106  j1,498f

Z 2  100 

5  jf 106  jf

Výsledky numerických výpočtů pro příklad jsou uvedeny v tabulce Tab. 1. Tab. 1: Hodnoty napěťového přenosu, vstupní a výstupní impedance z příkladu 4. f

[kHz]

0

0,005

10

100

500

1000

|U2/U1|

―

0,999 95

0,999 95

0,999 95

0,995

0,894

0,707

fáze

[˚]

0

-0,000 3

-0,57

-5,7

-26,6

-45

|Z1|

kΩ

996,7

996,5

996,5

990,7

892,2

782,6

fáze

|Z2|

[˚] Ω

0 0,000 5

0 0,000 7

-0,29 0,999 95

-2,8 9,95

-10,2 44,7

-11,5 70,7

fáze

[˚]

0

45

89,4

84,3

63,4

45

b) K řešení problému b) použijeme výsledek (2) s tím, že dopředný člen Ro/Rd(1+A) zanedbáme. Za zesílení A OZ dosadíme do odvozeného vztahu (3.46) – [1 – kap. 3.1.6]: A

Ao1 2  p  1 p   2

kde  2  kT

 k2 U2 k T2  2  U1 p  k T  p  kT2 p 2  2 k  p   k2

kde

 k2  kT2 ;

2 T2  kT

tedy

2 

1  k Q

26


Diskuse: Předpokládejme, že R3 || R4 = R1 || R2 (situace pro R3 || R4 = 0 se bude lišit jen nepatrně a není obtížné ji zkoumat. Pak ze vztahů [1 – (3.34), (3.40)] obdržíme chybový člen EA 

 k2 p 2  p / Q   k2

 Řešení pomocí MATLABu: Výsledky jsou graficky znázorněny na obr. 8. % Sledovač napětí s operačním zesilovačem, hodnoty proudu I1, I2 jsou voleny 3 mA. clear all; clc; Ao = 2e5; f1 = 5; Ro = 100; Rd = 2e6; Rcm = 300e6; R1 = 1e6; ft = Ao*f1; proud1 =1e-3; proud2 =1e-3; fmin = 0; fmax = ft; fpocet = 100; a = 0; b = 8; G1 = 1/R1; Gcm = 1/Rcm; Gd = 1/Rd; Go = 1/Ro; A = Ao; I1 = [proud1;0]; I2 = [0;proud2]; freq = logspace(a,b,fpocet); for f = 1:fpocet A(:,f) = Ao/(1+j*freq(f)/f1); % A(:,f) = Ao/((1+j*freq(f)/f1)*(1+j*freq(f)/f2));

% zesilovač má dva póly přenosu

G(:,:,f) = [G1+Gcm+Gd -Gd; -Gd+(-A(f)*Go) Go+(A(f)*Go)+Gcm+Gd]; U(:,f) = G(:,:,f)\I1; U2(:,f) = G(:,:,f)\I2; Ku(:,f) = U(2,f)/U(1,f); faze_Ku(:,f) = (180/pi)*angle(Ku(f)); Zvst(:,f) =U(1,f)/proud1; faze_Zvst(:,f)=(180/pi)*angle(Zvst(f)); Zvyst(:,f) =U2(2,f)/proud2; faze_Zvyst(:,f)=(180/pi)*angle(Zvyst(f)); end;



5 Jak se změní kmitočtové charakteristiky z příkladu 4, je-li k = 0,5; 0,8 a 1.

27


zesílení A OZ [dB]

fáze Ku φ [ º ]

Ku = U2/U1

200

1

0

0.5

-100

100 0

φ( jω ) →

-100 0 10 x 10

10

10 5

5

f

10

0 0 10

10

10

5

f

10

-200 0 10

10

10

5

f

10

10

fáze Zvst φ [ º ]

Zvst [Ω ]

0

9

-5

← Zvst( jω ) 8

-10

7

-15

← φ( jω )

6 0 10

10

5

f

10

10

-20 0 10

10

5

f

10

10

fáze Zvýst φ [ º ]

Zvýst [Ω ]

150

100 80

100

60 40

50

← Zvyst( jω ) 0 0 10

10

5

f

← φ( jω )

20

10

10

0 0 10

10

5

f

10

10

Obr. 8: Kmitočtové charakteristiky sledovače napětí s operačním zesilovačem: jeden pól přenosu; dva póly přenosu (k = 2)



6 Pro zesilující strukturu se dvěma vstupy z obr. 9, kde R = 10 kΩ, Rb = 100 kΩ, určete: a) přenos struktury s ideálními operačními zesilovači b) přenos souhlasného signálu s různými operačními zesilovači (uvažujte nulové hodnoty výstupních odporů OZ) c) přenos struktury, jsou-li vlastnosti OZ1 a OZ2 stejné (741): A01 = A02 = 2105, f11 = f12 = 5 Hz, Ro1 = Ro2 =100 Ω,

 Řešení: a) přenos struktury s ideálními operačními zesilovači (první odhad) Pro ideální operační zesilovač jsou diferenční napětí nulová, tedy Ud1 = Ud2 = 0 (virtuální zem). Za daných podmínek je tedy U4 = - U2 (OZ1 – invertor). Dále platí: 28


(1) I1 (U1)

R

(5)

Rb

Ib

I4 I2

R

(3)

R

(U2) (2)

(4)

R

Ud2

U4

-

(6)

OZ2 +

(o2)

U6

Ud1

OZ1 +

(o1)

Obr. 9: a) Schéma k příkladu 6; Zesilující struktura se dvěma OZ.

I1 = U1/R I4 = -U2/R ─

Ib = I1 + I4 = (U1 - U2)/R

vstupní proud ideálního OZ2 je nulový

U6 = -RbIb = (U2 – U1)Rb /R = 10∙(U2 – U1) ─ diferenční (rozdílový) zesilovač Vstupní odpor uzlu 1 je R = 10 kΩ, stejný je i vstupní odpor uzlu 2. Výstupní odpor je při ideálních operačních zesilovačích nulový. b) přenos souhlasného signálu Pro další analýzu sestavíme admitanční popis zesilovací struktury z obr. 9. Spolu incidují pouze prvky matice příslušné stejnému OZ – rozlišujeme doplňkovými indexy 1, 2. Pro admitanční popis OZ je použit vztah (2.12 – [1]): 1 1 2 3; (-)1 4; (o)1 5; (-)2 6; (o)2

G 0 0 0 -G 0

2

3; (-)1 4; (o)1 5; (-)2 6; (o)2 0 0 -G 0 U1 I1 -G 0 0 0 U2 I2 G+G -G 0 0 ∙ U3 = 0 -G + A1G01 G + G + G01 -G 0 U4 0 -G -G G + G + Gb -Gb U5 0 0 0 -Gb + A2G02 G02 + Gb U6 0

0 G -G 0 0 0

Předpokládejme, že budící napětí U1 a U2 mají stejný kmitočet ω anebo jsou stejnosměrná. Pak můžeme k řešení použít postup uvedený v [1, čl. 1.7] – tj. řádek 1 a 2 škrtneme a údaje ze sloupců 1. a 2. (s U1 a U2) se převedou vpravo. Získáme tak admitanční (matematický) model. 3

4

3 2G -G 4 -G + A1G01 2G + G01 5 0 -G 6 0 0

5

6

0 0 -G 0 ∙ 2G + Gb -Gb -Gb + A2G02 G02 + Gb

U3 U4 U5 U6

=

GU2 0 GU1 0

(I)

Z admitanční matice systému (I) určíme výstupní napětí U6 pomocí Cramerova pravidla. Pro G01, G02 → ∞ (G01∙G02 » G01, G02) určíme determinanty systému (I) D, D6: D  G01  G02  G4G  2Gb  A1 2G  Gb   2A2Gb  Gb A1 A2 

(5)

29


D6  G01  G02  GU 2  U1   A1 A2G  2GU1 A2  U6 

U 2  U1   A1 A2  2U1 A2 D6  D 4  2Gb / G  A1 2  Gb / G   2A2 Gb / G  A1 A2Gb / G

(6)

Přenos souhlasného signálu pro U1 = U2 = US (i pro R01 = R02 = 0 !) je určen vztahem U 6S  2A2  US 4  2Gb / G  A1 2  Gb / G   2A2 Gb / G  A1 A2Gb / G

Diskuse: Je-li A1∙A2 → ∞ nastává ve vztahu (6) ideální stav – U 6 

(7)

U 2  U1   Rb R

Zajímavá situace ve vztahu (7) nastane při absolutní idealizaci jednoho ze zesilovačů. 1) idealizujme OZ2 – tj. A2 → ∞ . Potom U 6S G 2    US Gb 2  A1

kde

R p  ω11 - b  A01  ω11 A1  ;  T1 » 11 R p  ω11  ωT1 / 2 p  11

Přenos (který má být v ideálním případě nulový) je v tomto případě určen pouze vlastnostmi OZ1, jeho vektorovou chybou. I s ideálním OZ2 a ω → 0 dostaneme U 6S US

 20 A    A 2 2 01  0

tedy postupně pro A01 = 2∙104, 2∙105, 2∙106 je U6S /US rovno -60 dB, -80 dB a –100 dB. 2) idealizujme nyní OZ1 – tj. A1 → ∞ . Potom z (6) určíme

U 6  A2

   U 2  U1  

Rb / R 1  1  2Rb /R  / A2

Souhlasný signál (U1 = U2 = US) není přenášen vůbec. Ideální OZ1 neovlivní dodatkovou vektorovou chybu napětí U2, stále ideálně platí, že U4 = -U2 a v uzlu 5 se proudy odpovídajícím napětím U1 = U2 ideálně odečtou. Zesílení diferenčního signálu je znehodnocováno jen vlastnostmi OZ2 (poznamenejme, že výstupní odpor R02 je zde nulový, idealizovaný; pro R02 ≠ 0 se projeví opět dopředný přenos). 3) Předpokládejme nyní, že A1 = A2 = ωT /(p+ω1). Souhlasný přenos signálu je nyní: U 6S R p  ω1  2 b   US R ωT

kde ω02 

ω02 3  2Rb / R p 2  pωT  ω02 2  4Rb / R

(8)

ωT2 2  4Rb / R

Přenos souhlasného signálu na ω = ωo určíme ze vztahu (8):

30


U 6S 2Rb / R  U S A1 A 2 2Rb / R  3   o

4) Řešení stavu pro A1 ≠ A2 je nyní jen matematický problém. Snadno určíme že: ω02 

ωT 1   T 2 2  4Rb / R





U 6S 2 ωT 1 /  T 2  Rb / R   US   1  2Rb / R  2  ωT 1 /  T 2 o





c) přenos při stejných OZ Problém c) nebudeme řešit algebraickými úpravami (7), ale přímým dosazením za admitance: G = 1/R = 10-4 S, Gb = 1/Rb = 10-5 S, G01 = G02 = 1/R01,2 = 10-2 S, A1 = A2 = 2π∙106/jω – pozn.1). Po dosazení do (I) obdržíme D = 4,2474∙10-12 + 2,305A∙10-12 + A∙10-13







D6  U 2 10 17  1,1A 10 14  A2  10 12  U1 2,03 10 15  2,029A 10 12  A  10 12



po dosazení za A a po úpravách získáme pro výstupní napětí vztah U6 

10U2(p 2  2,533 10 19  p  1,751 10 9  1)  10U1(p 2  5,142 10 17  p  3,229 10 7  1) p 2  1,076 10 12  p  3,669 10 6  1

(9) Vzhledem k poznámce pozn. 1) nás nepřekvapí, že U 6 

pro  0

 10  U 2  U 1  .

Pro    již vlastně zkoumáme dopředné přenosy sítě do obou výstupních odporů OZ, protože operační zesilovače již nezesilují a jsou representovány pouze svými výstupními odpory. Z (9) potom pro tuto situaci platí: U 6(ω  ) 

10U2  2,533 10 19  10U1  5,142 10 17  U 2  2,354 10 6  U 1  4,779 10 4 1,076 10 12

Tuto situaci modelujeme na obr. 9. Za daných poměrůpozn. 2) je napětí U2 děleno (přibližně) nejdříve děličem 20 k – 100  (dělicí poměr  100/(2.104) = 0,005), potom děličem 10 k – 10 k (dělicí poměr  0,5) a nakonec děličem 100 k – 100  (dělicí poměr  0,001). Odtud určíme, že celkový dělicí poměr  5∙10-3∙5∙10-1∙10-3 = 2,5.10-6 (přesně bylo určeno 2,3546.10-6). Napětí U1 je děleno nejdříve děličem 10 k – (10 k + 100 ) (dělicí poměr  0,5) a přibližně děličem 100 k – 100  (dělicí poměr  0,001), tedy celkový dělicí poměr  0,5.10-3 = 5.10-4 (přesně bylo určeno 4,778.10-4).

pozn.1)

Vzhledem k použití modelu [1 – (3.1)] platí další úvahy až pro ω › ω1. Pro ω ‹ ω1 je zesilovač „nadhodnocen” – idealizován, protože 106/f › A0.

pozn. 2)

Úvaha na obr.10 je ryze teoretická. Vždyť již kapacita 3 pF představuje na 1 MHz impedanci (modul) 53052 , tedy na 100 MHz je to pouze 530 . Dopředný přenos pro    nelze v reálném prostředí takto jednoduše nikdy určit. 31


(a)

Rb ;100 k

10 k

10 k

Ro 100

10 k

10 k

Přesně 2,354∙10-6 U2

U2

Ro 100

(b) U1

Rb ;100 k

10 k

10 k

Ro 100

10 k

10 k

Přesně 4,778∙10-4 U1

Ro 100

Obr. 10: Náhradní modely pro dopředné přenosy: a) napětí U2; b) napětí U1 Tím jsme udělali alespoň pro jeden bod fyzikální ověření platnosti vztahu (9). Určíme-li kořeny čitatele i jmenovatele vztahu (9), můžeme jej přepsat pomocí kořenových činitelů do tvaru (10): U 6  10 

U 2(2,533 10 19 )(p  0,316ωn2 )(p  3,162ωn2 )  U 1(5,142  10 17 )(p  0,0222ωn1 )(p  45,06ωn1 ) 1,076  10  12 (p  0,310ωo )(p  3,227ωo )

(10) kde  n21  (5,142.10-17)-1 = (139,455.106)2 ; fn1 = 22,195 MHz  n22  (2,533.10-19)-1 = (1,1987.109)2 ; fn2 = 316,23 MHz o2  (1,076.10-12)-1 = (964,04.103)2 ;

f = 153,43 kHz

Určeme pro srovnání  o2 ze vztahu (8) – má stejný význam:



ωo2  ωT2 2  4Rb /R   ωT2 2  4  100 10  ωT2 42  969,52 103



2

Rozdíl je nepatrný, daný vlivem zaokrouhlování a Ro. Póly přenosu jsou shodné pro U1 i U2: -0,310∙o = - 298,85∙103 rad.s-1 -3,227∙o = - 3,111∙106 rad.s-1

(- 47,564 kHz) (- 495,12 kHz)

Nuly přenosu napětí U2 jsou: 0,316  n 2 = 627,89∙106 rad.s-1

(99,932 MHz)

3,162  n 2 = 6,283∙109 rad.s-1

(999,95 MHz)

32


Nuly přenosu napětí U1 jsou: -0,0222  n1 = - 3,096∙106 rad.s-1

(- 492,73 kHz)

45,055  n1 = 6,283∙10 rad.s

(999,95 MHz)

9

-1

V praxi stačí uvažovat f « 100 MHz, viz i pozn. 2). Potom stačí vztah (10) uvažovat ve tvaru 10U2 U6 

1 1 (0  0,316ωn2 )(0  3,162ωn2 )  10U1 2 (p  0,0222ωn1 )(0  45,06ωn1 ) 2 ωn2 ωn1  1 (p  0,310ω )(p  3,227ω ) o o ωo2

(11)  10

ωo2 (p  0,310ωo )(p  3,227ωo )

(U 2  U 1 )  3,115U1

pωo (p  0,310ωo )(p  3,227ωo )

Zde již ale není „podchycen“ dopředný přenos struktury. Dosazením do (6) za A1 = A2 = T /p získáme (pro Ro1 = Ro2 = 0): U6 

Rb ωo2 R ω pωo (U 2  U 1 ) 2  U1 b  o 2 2 2 R R ωT p  2ξξ o p  ωo2 p  2ξξ o p  ωo

(8), (12)

kde  o2 je uvedeno u vztahu (8) a 2ξ  1/Q 

1  2Rb /R 2  2 1  2Rb /R

(13)

Pro dané poměry je 2ξ  1/Q  21/2  2/21  3,240 0,309  3,549 . Po roznásobení jmenovatele vztahu (11) dostáváme:  p  0,310ωo    p  3,227ωo   p 2  3,573 ωo p  ωo2 , tedy zřejmě platí 2 = 3,573. Opět dostáváme velmi dobrou shodu. Zbývá ověřit výraz Rb ωo 969,52 103   2  10   2  3,086 R ωT 2π  106

Ani zde se oproti hodnotě 3,115 nejedná o podstatnou odchylku. Můžeme učinit ještě další zjednodušující krok. Pro „přesné zesilování“ má smysl používat strukturu pouze pro   0,310 o « 3,227 o (=2∙495,12 kHz). Pro tuto oblast frekvencí lze vztah pro U6 dále zjednodušit U 6  10

ωo2 pωo U 2  U 1   3,115U1   p  0,310ωo 0  3,227ωo   p  0,310ωo 0  3,227ωo 

 10U 2  U 1 

ωo 3,227 p 3,227  3,115U1  p  0,310ωo   p  0,310ωo 

Ale číslo 0,310o = o /3,227 = 3e definuje frekvenci poklesu přenosu o 3 dB, tedy 33


U 6 ωω3e  0,31ωo   10(U2  U 1 )

ω3e p  0,965U1 p  ω3e p  ω3e

d) Použití principu superpozice - součtové invertující zapojení OZ K obdobným vztahům je možné dospět i pomocí výsledků získaných v předchozích analýzách. Pro napětí U4 (obr.8) určíme (OZ1, T1, invertující zesilovač), že U 4  U 2

 3,1 ; p   3,1

 3,1 

ωT1 ω  T1 1  R/R 2

Nyní znázorněme situaci pro OZ2 - obr. 11a). Pro řešení této situace použijeme (b)

(a) R

(3)

Rb

U1

U1 [U4 ]

R

-

U4

OZ2 +

R

(3)

Rb

-

U6

R

OZ2 +

U6

Obr. 11: a) Analýza zapojení OZ2 – součtové invertující zapojení b) Určení jednotlivých příspěvků napětí U1 a [U4 ] při aplikaci principu superpozice. princip superpozice. Právě „neanalyzovaný“ vstup je připojen na zem, obr. 11b), tak se k diferenčnímu odporu Rd (OZ2) paralelně připojuje R, běžně podstatně menší než Rd. Pro dané poměry lze tvrdit, že diferenční odpor OZ2 jde k hodnotě R, tedy R d  R – a to ve vztahu (3.35 – [1]). Proto můžeme určit, že (R1  R, R2  Rb, Rd  R, R 3 R 4  0) 3 

T R 1  R2 / R1  2 Rd

 R R  1  3 4   R1 R2  

(3.35 – [1]), (14)

3,2  T 2 /(1  R2 / R1  R2 / Rd )  T 2 /(1  2Rb / R)

Příspěvek napětí U1 je určen vztahem U 6 (U1 )  

 3,2 Rb U1 R p   3,2

a příspěvek napětí U4 U 6 (U 4 )  

3,2 Rb U4 R p  3,2

V lineárním režimu platí (stejné  pro vstupní napětí) U6 = U6 (U1) + U6 (U4)

Po dosazení za U4 a úpravách obdržíme vztah 34


U6 

Rb  o2 R  p o  U 2  U1   2  U1  b  o  2 2 R R  3,1 p  2 o p   o2 p  2 o p   o

přitom platí  o2   3,1   3,2 

T 1 2

2 o   3,1   3,2 



T 2 1  2Rb R

ωT1 ωT2  2 1  2Rb R

odkud určíme 2ξ  1/Q 

ωT1 1  2Rb /R   2ωT2

ωT2 2  ωT1 1  2Rb /R 

(15)

Srovnání s předcházejícími výsledky (pro T1 = T2) je přesvědčivé. Pro odhad výstupního odporu lze použít vztah (3.31a – [1]). Musíme si uvědomit, že při buzení ze dvou zdrojů signálu je odpor R1 (v našem případě) nahrazen paralelní kombinací R|| R = R/2, 3 je opět dáno hodnotou – vztah (14) 3,2  T 2 1  Rb R / 2  T 2 1  2Rb R 

Určení 3,2 stojí za další obecnější diskusi. Představme si, že součtové invertující zapojení na obr.11 bude mít obecně n vstupů se stejnými vstupními odpory R. Potom je při dílčích výpočtech nutné odpor na vstupu zesilovače (Rd) nahradit paralelní kombinací (n - 1) odporů R, které jsou při výpočtu uzemněny, tedy Rd R/(n - 1). Pro součtové invertující zapojení s n vstupy (stejnými; R2 = Rb, R3|| R4 = 0) potom bude ze vztahu (14) platit  3n 

T 2

1  Rb R  Rb R n  1



T 2 1  nRb R

(16)

Jsou-li vstupní odpory příslušné vstupům 1 až n postupně R1 až Rn, dostaneme stejným postupem frekvenci pro pokles přenosu o 3 dB  3n 

T 2

1  Rb R  Rb R1 R2    Rn 

(16a)

Kmitočet 3n tedy s počtem vstupů vždy klesá, to je nevýhodné. Používáme proto jen tolik vstupů, kolik jich nezbytně pro funkci potřebné. Uzemnit nevyužitý vstup je velmi nevýhodné (z teorie zpětné vazby plyne totéž, zmenšuje se činitel zpětné vazby). Někdy se hovoří o tom, že roste šumový zisk struktury. Můžeme si ho představit jako zesílení šumového napětí UN připojeného do (+) vstupu OZ na obr. 11a). Z principu superpozice jsou při výpočtu zesílení šumového napětí UN zdroje U1 až Un nahrazeny zkratem – šumové zesílení je určeno paralelním řazením všech odporů R1 až Rn, kdežto zesílení užitečných napětí Ui na i-tém vstupu je vždy určeno pouze poměrem Rb/Ri. Ponecháme-li nevyužitý vstup „ve vzduchu“ – nepřipojen – hrozí pronikání nežádoucích rušivých signálů do zesilovací struktury. A to není rovněž výhodné. 35


 Řešení pomocí MATLABu: Výsledek počítačové analýzy je na obr. 12. Jednotlivé křivky zcela odpovídají numerickým výpočtům. Je zřejmé, že rychlá degradace při přenosu US je velmi nevýhodná. Bĕžné diferenční zapojení s jedním operačním zesilovačem je z tohoto hlediska lepším řešením. Napěťový přenos Ku souhlasného signálu 20

6

5

0

4 -20

2 3

-40

-60

1 -80 0

10

1

10

2

10

3

10

4

10

5

10

6

10

7

10

f

8

10

Obr. 12: Přenos souhlasného signálu struktury z obr. 8. 1) stejnosměrná chyba OZ1 – 20∙log(20/Ao) , 2) zesílení OZ2 – A2 je horší než A1, f11 = 5 Hz a f12 = 1 Hz 3) Us = 1V, f11 = f12 = 5 Hz, A1 = A2 = 2∙105, fT1 = fT2 = 1∙106 Hz 4) Us = 1V, f11 = 5 Hz, f12 = 25 Hz, fT1 = Aof1, fT2 = Aof2, 5) Us = 1V, f11 = 5 Hz, f12 = 2∙105 Hz, fT1 = Aof1, fT2 = Aof2, (přiblížení A2 → ∞) 6) 20∙log(Rb/R)



7 a) Napište vlastní program v MATLABu pro výpočet napěťového přenosu Ku a ověřte grafy z obr. 12. b) Určete U6S/US pro A01 = 2∙104, 2∙105, 2∙106.

36


4.2

Filtry

4.2.1 Filtry 2. řádu s invertujícím OZ Při návrhu většiny filtrů 2. řádu vycházíme z obecné Bridgmanovy – Brennarovy struktury. Podrobný teoretický rozbor této struktury nalezneme v [1] kap. 3.2. Zde je ilustrován pouze výpočet s konkrétními hodnotami zapojených prvků.

 8 Navrhněte invertující dolní propust 2. řádu, je-li zadáno: fo = 10 kHz, Q = 10, K = -2 a určete jeho napěťový přenos.

(1)

Y1

Y2

Y6

(2) Y3

(3) -

(4)

(1)

R1

R2

C6

(2) R3

(3)

Y5

C5

a)

(4)

-

+

+

b)

Obr. 13: Struktura k příkladu 8 – a) Obecná Bridgmanova – Brennarova struktura b) Invertující dolní propust – navržené hodnoty jsou: m = 800∙10-6, R1 = 878 Ω, R2 = 1756 Ω, R3 = 390 Ω, C5 = 680 nF a C6 = 544 pF

 Řešení: Při návrhu vyjdeme z obecné Bridgmanovy – Brennarovy struktury – obr. 13a). V případě dolní propusti volíme: Y1 = G1, Y2 = G2, Y3 = G3, Y5 = pC5 a Y6 = pC6 – obr. 13b). Pro návrh jsou použity návrhové vztahy (17) – (21), jenž jsou odvozeny [1] – kap. 3.2, tj. musí být splněna podmínka: m R1 

1 4  Q  K  1

(17)

2



1  1  1  4  m   K  1 Q 2 2  K  m  ωo  C

R2  K  R1 R3 

(18) (19)

1 mC2

R2  ωo2

C5  C



a

C6  m  C

(20) (21)

 Řešení pomocí MATLABu % Filtry – DP 2. řádu (invertující struktura) clear all; clc; f1 = 5; Ao = 2e5;

% parametry OZ - ideální 37


Ro = 0.00001; Go = 1/Ro; % Go → ∞ nelze, proto volena fo = 10e3; % malá hodnota Ro Q=10; K=-2; wo = 2*pi*fo; m =1/(4*Q^2*(abs(K)+1)); % volíme m = 800e-6 m = 800e-6; R1=(1/(2*abs(K)*Q*m*wo*680e-9))*(1+sqrt(1-4*m*(abs(K)+1)*Q^2)); R2 = 2*R1; R3 = 1/((wo^2)*R2*m*(680e-9)^2); a = 0; b = 8; fpocet = 100; freq = logspace(a,b,fpocet); C5 = 680e-9; C6 = m*C5; % hodnotu C5 volíme pC5 = j*pi*fo*C5; pC6 = j*pi*fo*C6; G3 =1/R3; G2 =1/R2; G1 =1/R1; I1 = 3e-3; II1 = [I1; 0; 0; 0]; for f = 1:fpocet A(:,f) = Ao*f1./(f1+j*freq(f)); G_in(:,:,f) = [G1 -G1 0 0; -G1 G1+G2+G3+pC5 -G3 -G2; 0 -G3 G3+pC6 -pC6; 0 -G2 -pC6+A(f)*Go G2+pC6+Go]; U(:,f) = G_in(:,:,f)\II1; Ku1(:,f) = U(4,f)/U(1,f); end; figure(1); semilogx(freq,20*log10(abs(Ku1)),'LineWidth',1.5), hold on gtext('f1 = 5 Hz'); semilogx(freq,20*log10(abs(Ku2)),'LineWidth',1.5), grid gtext('f1 = 0.5 Hz'); [C,I]=max(20*log10(abs(Ku1))); % určení maximální hodnoty Ku1 semilogx(freq(I),C,'r*'); [D,I]=max(20*log10(abs(Ku1))); semilogx(freq(I),D,'r*'), hold off h = legend(' f1 = 5 Hz ',' f1 = 5 Hz ',2); Amplitudová kmitočtová charakteristika – invertující DP 40

f1 = 5 Hz f2 = 0.5 Hz

*

*

20

0

-20

-40

-60

-80

-100 0 10

1

10

2

10

3

10

10

4

4

5

10

6

10

7

10

8

f

10

Obr. 14: Průběh přenosové funkce navržené dolní propusti 2. řádu (pro f1 = 5 Hz f2 = 0.5 Hz) s vyznačenými maximálními hodnotami 38


Je zřejmé, že operační zesilovač s parametry Ao = 2∙105 a f1 = 0,5 Hz, tedy fT = 100 kHz, již zadání nemůže vyhovět. Poznámka:

O tom, že navržený obvod je skutečně dolní propust se lze přesvědčit i z fyzikální úvahy – pro nulovou hodnotu frekvence jsou kondenzátory „rozpojeny“, odpor R3 se vůči vstupnímu odporu operačního zesilovače neuplatňuje. Obdržíme tak strukturu invertujícího OZ s přenosem –R2/R1. Pro dostatečně velké frekvence můžeme kapacity nahradit zkratem, struktura má nulový přenos. To vyhovuje chování dolní propusti.



9 Pro dolní propust z příkladu 8 prozkoumejte: a) vliv změny dopředného přenosu – 1. pólu operačního zesilovače pro f1 = 0,5 – 5 – 50 Hz, je-li hodnota Ao = 2∙105 (viz obr. 14). b) vliv změny výstupního odporu Ro = 10 – 100 – 1000 Ω, je-li Ao∙f1 = 106. c) posuďte vliv změny Ao při f1 = 5 Hz.

4.2.2 Filtry 2. řádu s neinvertujícím zesilovačem Při návrhu filtru vyjdeme opět ze zjednodušené Bridgmanovy – Brennarovy struktury, kde kladné zesílení je realizováno pomocí neinvertujícího zapojení operačního zesilovače – obr. 15. Podrobný teoretický rozbor nalezneme v [1] – kap. 3.3. K = 1+Rb/Ra (3) Y2 Y3

Y1

(1)

(4)

+ (3)

(2)

K 0

-

(4)

(a) Y4

b)

a)

Ra

K

Rb

Obr. 15: a) Zjednodušená Bridgmanova – Brennarova struktura – filtr Sallen – Key b) Realizace kladného zesílení K pomocí neinvertujícího zapojení operačního zesilovače

4.2.2.1

Filtr typu dolní propust

V praxi se vyskytují nejčastěji 3 varianty různých voleb operační sítě pro DP 2. řádu (s neinvertujícím zesilovačem s konečným zesílením K – Sallen – Key filtry). Teoretický rozbor nalezneme opět ve skriptu přednášek [1] – kap. 3.3. Ve stručnosti zopakujme jednotlivé varianty: 1. varianta :

R1 = R3 = R CA = CB = C 39


 02 

1

RC 

2

,

1  3K Q

Algoritmus návrhu pro variantu 1 je: a) Volíme vhodnou hodnotu C b) Dopočítáme R = 1/(0 C) c) Dopočítáme K = 3 - 1/Q Pozornost je nutné věnovat i frekvenční stabilitě systému. Má-li být systém stabilní, musí být činitel jakosti Q kladný. V opačném případě mají póly přenosu kladnou reálnou složku, což odpovídá netlumeným přechodným dějům, tedy nestabilnímu systému. V daném případě to znamená, že pro Rb/Ra 2 se Q blíží k nekonečné hodnotě, vždy proto musí platit u zkoumané varianty, že K  3. 2. varianta :

R1 = R3 = R K=1  02 

1 , R C AC B 2

CB 1  2 Q CA

Algoritmus návrhu pro variantu 2 je: a) Volíme vhodnou hodnotu R b) Dopočítáme C A 

2Q 1 , CB  0 R 2Q 0 R

U této varianty dolní propusti nemůže Q nabýt záporné hodnoty, problém se stabilitou bude zřejmě menší než u varianty předcházející. 3. varianta : CA = CB = C K=2  02 

1 , R1 R3C 2

1  Q

R3 R1

 R1  Q 2 R3

Algoritmus návrhu pro variantu 2 je: a) Volíme hodnotu C b) Dopočítáme R1 

Q 1 ; R3   0C Q 0C

Zaručení hodnoty K = 2 ve struktuře z obr. 15b) není obtížné, stačí pouze volit vhodnou hodnotu Ra = Rb

4.2.2.2

Filtr typu horní propust

Horní propust 2.řádu získáme ze zapojení na obr. 15, zvolíme-li: Y1 = pC1; Y2 = G2; Y3 = pC3; Y4 = G4 – obr. 16. Další úvahy jsou naprosto analogické úvahám udělaným u dolní propusti. Volíme-li například C1 = C3 = C R2 = R4 = R opět platí  o2 

1 ; R C2 2

1  3 K Q 40


R2 (1)

(3) K>0 C1 (2) C3

(4) R4

Obr. 16: Horní propust 2. řádu – filtr Sallen a Key

 10

Navrhněte neinvertující dolní propust 2. řádu v zapojení z obr. 17 – je-li požadováno: fo = 1 kHz a Q = 1 / 2 – Butterworthova aproximace. CA (3)

(1)

K>0 (2)

R1

(4)

R3 CB

Obr. 17: Dolní propust 2. řádu – Sallen - Key

 Řešení: 1. varianta : (R stejné, C stejné): Pro fo = 1 kHz je o = 2∙103 = 6283 Volíme-li C = 100 nF, dostaneme: R

1

oC



1  1592 6283 10 7

K  3  1 Q  1,586

Tím je návrh téměř ukončen. Přenos v pásmu propustnosti je K = 1,586. Volíme-li (obr. 15b) Ra = 10 k, musí být Rb = 2  1 Q  . Ra = 0,586∙10 4 = 5,86 k. 2. varianta : ( K=1, R1 = R3 = R): Volíme-li při stejných požadavcích R = 10 k, dostaneme CA 

CB 

2Q

0 R



2  0,7071  22,51nF 6283 104

1 1   11,25 nF 2Qω0 R 2  0,7071 6283 104

Tím je návrh ukončen. Přenos v pásmu propustnosti je K = 1 (Ra  ; obr. 15b) 3. varianta : (K = 2, CA = CB = C): Volíme-li

C = 100 nF, dostaneme

41


R1 

Q 0.7071   1,125 k  0C 6283 10 7

R3 

1 1   2,25 k Qω0 C 0,7071 6283 10 7

Tím je návrh ukončen, přenos v pásmu propustnosti K = 2 (Ra = Rb = 10 k). Diskuse k příkladu : Pokud nám nevyhovují hodnoty odporů u varianty 1 a varianty 3, je náprava jednoduchá a plyne z podstaty odvozených návrhových vztahů. Kolikrát zmenšíme kapacitu, tolikrát zvětšíme odpor a o se nezmění. Zvolíme-li tedy v obou případech C = 10 nF, obdržíme hodnoty R= 15,92 k u varianty 1 a hodnoty R1 = 11,25 k a R3 = 22,5 k u varianty 2. Všimněme si, že libovolného násobku frekvence lze u všech variant dosáhnout patřičnou změnou hodnot kondenzátorů nebo odporů. Proto se často počítají filtry pro normovanou hodnotu 0 = 1 rad/s. Zopakujme si výpočet např. pro variantu 1 za této podmínky:

o = 1 →

Q = 0,7071.

Volme C = 1F, potom R  1 o C  1  a K se nezmění: K  3  1 Q  1,586 . Jak dostaneme původní hodnoty součástek pro o = 6283? Znamená to, že musíme celkově 6283 krát zmenšit součin RC  1 o . Nejdříve volíme rozumnou hodnotu C = 100 nF, to znamená, že zmenšujeme 10 -7 krát. Musí tedy platit R  107  1 6283

tedy R  1  107 6283  1,59 k

Postup se běžně interpretuje následujícím způsobem:  máme normovanou strukturu, kde R = 1 , C = 1 F, o = 1, Q = 0,7071 (K = 1,586)  požadujeme-li 0 = 6283, musíme odpory dělit číslem 6283 (C je stále 1F) – dostaneme nějakou pomocnou hodnotu Rp = 1/6283 = 1,59.10-4   to ovšem není „rozumná“ hodnota, proto násobíme Rp∙107 = 1,59 k; aby zůstaly zachovány patřičné časové konstanty, musíme stejným číslem dělit hodnoty kondenzátorů, to je číslem 107; dostaneme tak konečnou hod-notu kondenzátorů 1/107 = 10-7 F = 100 nF. Vynásobíme-li v uvedeném příkladu odpor Rp hodnotou 108, dostaneme konečnou hodnotu odporů 15,9 k a konečnou hodnotu kondenzátorů 1/108 = 10 nF. Stále přitom platí, že 0  1 RC  1 15,9 103  108   6283. Obdobně můžeme postupovat i u variant 2 a 3 a u všech analyzovaných typů propustí. Poznámka: Pro nízké frekvence jsou kondenzátory „rozpojeny“, přenos je určen pouze přenosem neinvertujícího zesilovače K. Pro vysoké frekvence „zkratuje“ CB vstup zesilovače K, CA „zkratuje“ uzel 2 s výstupním uzlem zesilovače K, jde o dolní propust Má-li být nyní v uzlu 4 nulové napětí, musí být zesilovač ideální – musí mít nulovou výstupní im 42


pedanci Ro 3. Při našich analýzách tento ideál vždy předpokládáme. V praxi tomu tak není, vzniká dopředný přenos (nežádoucí) na vysokých frekvencích, úměrný hodnotě R0 R1 .

 11

Navrhněte Butterworthovu dolní propust 2. řádu Q = 1 / 2 s přenosem v pásmu propustnosti K = -1, charakteristický kmitočet fo = 100 Hz (o = 628,3).

 Řešení: Zadání vyhovuje struktura na obr. 13 (příklad 8) při vhodné volbě prvků . Ve shodě s popsanými algoritmy zvolíme C6 = 10 nF R1 

1  112,5 k 2  K  Qω0 C6

R2 

1  112,5 k 2Qω0 C6

R3 

1  56,27 k 2  ( K  1)  Qω0 C6

O správnosti syntézy se můžeme přesvědčit dosazením získaných hodnot do analytických vztahů – při správném postupu syntézy musíme obdržet požadavky uvedené v zadání:





o2  1 R2 R3C5C6   1 56,27 103  112,5 103  40  109  10  109  394,92 105 o  628,4 K   R2 R1  1

C6 1  Q C5

 R R R2 R3 2 3     R12 R2 R3 

   10   56,27 112,5  56,27  112,5   1,414  40  112,5 56,27  112,52 

Q  0,707

 12

Navrhněte pásmovou propust s K = -2, o = 104 rad/sec., Q = 2.

C2 (1)

R1

R6 C3 -

R5

(4)

+

Obr. 18: Zapojení pásmové propusti 2. řádu (invertující)

43


 Řešení: Zadání vyhovuje struktura na obr. 18 při vhodné volbě prvků. Volíme-li hodnotu kondenzátorů C2 = C3 = C = 10 nF, pak určíme, že R1 

R5  R6 

Q K oC

2  10 k 2  10  10 8



4

Q 2   3,33 k 8  2  104  108 2Q  K   o C





2

2Q

oC



4  40 k 10  10 8 4

Tím je zadání splněno.

 13

Požadujeme horní propust s fo = 100 Hz, K = -1, Q = 1 2 .

C3

R6

(1)

C1

C3 R5

(4)

+

+

Obr. 19: Zapojení horní propust 2. řádu (invertující)

 Řešení: Zadání je schopna realizovat struktura na obr. 19 při vhodné volbě prvků. Volíme C1 = C3 = C = 100 nF; nyní určíme že C2  C K  100 nF R5  K

2 K  1Q0C  

1  7,503k 3  0,7071 2π  100  10 7





R6  Q 2  K  1 Q0C   0,7071 3 2π  100  107  33,76 k

Tím je opět zadání splněno.

 14

Navrhněte pásmovou zádrž 2. řádu na fo = 1 kHz. Požadujeme šířku pásma B = 200 Hz (pro pokles 3 dB, tedy Q = 1000/200 = 5) a přenos v pásmech propustnosti v rozsahu 1 až 10.

 Řešení: Řešení plyne z diskuse provedené v kapitole 3.4 – [1]. Pásmovou zádrž lze realizovat zapojením dolní a horní propusti podle obr. 20. 44


UDP

K02

Ra

Rb

p2+p0/Q+02 Ui Kp2 2 p +p0/Q+02

UHP Ra -

Uo

+

Obr.20: Systémová realizace pásmové zádrže součtem přenosů dolní a horní propusti 2. řádu Operační zesilovač je zapojen jako invertující součtový zesilovač, takže platí  R U o  U DP  U HP     b  Ra

 R p 2   o2    b  K  U i  Ra  p 2  p o   o2 Q

Rozhodněme se, že HP2 a DP2 budeme realizovat filtry Sallen – Key s přenosem K = 1 (varianta 2). Při návrhu DP2 budeme postupovat ve shodě s příkladem 10, tzn. pro o = 6283; volíme R1 = R3 = R = 10 k; potom C A  2,5 6283 104  159,16 nF a CB  1 2,5  6238 104   1,592 nF. Návrh HP2 pro K = 1 musíme řešit analogicky k postupům v kap.4.2.1 a kap. 4.2.2. Volíme-li K = 1 a C1= C3 = C (obr. 16), zbývá určit R2 a R4 tak, aby bylo dosaženo požadovaného Q a o. Při dané volbě platí: Y1 = Y3 = pC

Y2 = G2

Y4 = G4

K=1

Proto (struktura na obr. 16) bude platit 1  Y1Y3 U4 p 2C 2   2 2 U1 Y1Y3  Y4 (Y1  Y2  Y3 )  Y2Y3 (1  1) p C  2pCG4  G2 G4

p2

 p2  p

 o2 

2 1  2 CR4 C R2 R4

1 ; C R2 R4 2

o Q





2 CR4

Nyní určíme, že 1  2  R2 R4 Q



Q  0,5  R4 R2

Analytické vztahy jsou tak plně určeny. Zbývá určit vztahy návrhové (pro syntézu horní propusti). Zřejmě platí

45


1 C R2 4Q 2 R2

  o2 

R4  4Q 2 R2



2



R2 

1 2Qωo C

 

R4 =

2Q

oC

Tím jsou návrhové vztahy jednoznačně dány. Zvolme nyní C = 10 nF, Potom





R2  1 2,5  6283 108  1,5916 k





R4  2,5 6283 108  159,16 k

Hodnota R2 již není z hlediska zatížení operačního zesilovače příliš vhodná. Proto zvolíme menší hodnotu C = 4,7 nF, což povede ke zvětšení hodnoty odporů





R2  1 2,5  6283 4,7  109  3,386 k





R2  2,5 6283 4,7  109  338,6 k

Můžeme se přesvědčit, že skutečně obdržíme požadované hodnoty o 

1 C R2 R4

 6283,7 ;

Q  0,5  338,6 3,386  5

Zbývá pouze dořešit problém součtového zesilovače. Žádá se zesílení v rozsahu 1 až 10. Zvolíme-li Ra = 3,3 k, musí být proto Rb nastavitelné v rozsahu 3,3 až 33 k. Celkové řešení je shrnuto na obr. 21. 159,2 nF Ui

10 k

10 k +

dolní propust

1,592 nF

-

33 k

UDP 3,3 k

2,7 k 338,6 k + 4,7 nF

4,7 nF 338,6 k

-

UHP

-

3,3 k

+

Uo

horní propust součtový (invertující) zesilovač

Obr. 21: Možná realizace pásmové zádrže na f0 = 1 kHz, Q = 5, přenos v pásmech propustnosti je nastavitelný v intervalu 1 až 10 (invertující struktura)

46


4.2.3 Kaskádní realizace filtrů V předchozí části byly v zásadě popsány základní filtry 2. řádu – 1 tedy filtry, u kterých se mění přenos nejvíce se strmostí 12 dB/okt (20 dB/dek) – viz 2] – obr. 3 a obr. 4. Požadujeme-li větší strmost změny přenosu, musíme použít a realizovat přenosové funkce vyšších řádů – tedy složitější struktury. Základní aproximační vztahy jsou popsány například v 3. Mnohem podrobnější výklad může zájemce nalézt např. v 4. Podstatou je to, že aproximační funkce vyšších řádů jsou rozkládány na součiny dílčích polynomů – nejčastěji 2. řádu (někdy nejvýše 3. řádu). Součinu polynomů, které popisují dílčí přenosy, potom odpovídá kaskádní řazení odpovídacích filtrů nejvýše 2. řádu (3. řádu). Nejčastěji se používá Butterworthova, Čebyševova a Besselova aproximace. Každá má své výhody a své nevýhody – viz citovaná literatura. Butterworthova aproximace vede k monotónně klesající modulové charakteristice; Besselova rovněž, ale strmost změny je menší – zato je lineární průběh fáze, což je často žádaná vlastnost. Čebyševovy aproximace vedou ke zvlnění v pásmu propustnosti, ovšem strmost změny modulu přenosu je zde největší (při stejném řádu filtru, tedy při stejné složitosti); nejhorší je naopak průběh fáze – fázová charakteristika. Mezním případem řešení problému filtrů pro inženýrskou praxi pak mohou být tabulky, které jsou převzaty ze 3. Ve výsledcích jsou zahrnuty vlastnosti aproximace i vlastnosti zvolených obvodových struktur, jež realizují dílčí přenosové funkce (dílčí přenosy). Praktický (rutinní) návrh filtru pak může vypadat velmi jednoduše.

 15

Z technických požadavků v nějakém konkrétním systému jsme zjistili, že pottřebujeme potlačit kmitočty nad 1 kHz, a to tak, že na kmitočtu 2 kHz je útlum větší než 15 dB, v pásmu propustnosti nemá být zvlnění, na fázi neklademe zvláštní požadavky. Tomuto zadání vyhoví Butterworthův filtr 3. řádu – viz Tabulka 1, jehož charakteristický kmitočet fo je současně kmitočtem poklesu přenosu o 3 dB, tedy fo = f3.

 Řešení: V prvním kroku volíme vhodnou velikost R = 10 k. Druhým krokem je výpočet hodnot C A  2 2f 0  R   2 2  104  103   31,83nF





CB  0,5 2f 0  R   0,25 2 2  104  103  0,25 C A  7,958nF





CD  1 2f 0  R   0,5  2 2  104  103  0,5  C A  15,915nF

Tím je návrh filtru ukončen, realizace vyžaduje zapojení tří operačních zesilovačů - viz obrázek v tabulce 1.

 16

Navrhněte horní propust 3. řádu, pro Butterworthovu aproximaci, f3 = 1 kHz.

 Řešení: Použijeme údajů z tabulky 2. Zvolíme C = 10 nF = 10-8 F, určíme hodnoty. 47






R A  0,5 2π  108  103  7958 

RB = 2/(C2fo) = 4∙0,5/(C2fo) = 4 RA = 31 831  RD = 1/(C2fo) = 2∙0,5/(C2fo) = 2 RA = 15 915 

Tím je pro technickou praxi návrh filtru ukončen; je realizován opět se třemi operačními zesilovači – viz tabulka 2. Údaje uvedené v tabulkách 1 a 2 umožňují běžný a nepříliš náročný návrh dolních propustí 2. až 4. řádu pro uvedené aproximace. Typické hodnoty volených prvků (tedy R pro DP a C pro HP) jsou pouze doporučené hodnoty. Použijeme-li operační zesilovače unipolární (s tranzistory MOS nebo JFET na vstupech), lze volit R i řádu M. Odpory musí být konstantní v čase i s teplotou. Velikost C by neměla klesnout pod 100 pF, aby se neuplatňovaly parazitní kapacity propojovacích struktur a aktivních prvků. Maximální velikost C je určena spíše maximálním přípustným rozměrem. Kondenzátory musí být s kvalitním dielektrikem, beze svodů, konstantní v čase – nikoliv tedy elektrolytické. Konstrukce filtrů vyšších řádů vede ke zvyšování požadavků na přesnost a stabilitu použitých součástek. Přesné nastavení filtru například 8. řádu již nepředstavuje pouze problém „výpočetní“. Stavba a oživení vyžadují značné experimentální zkušenosti, každý dílčí filtr 2. řádu musí být nastaven precizně podle požadavků vyplývajících z aproximace a rozkladu na dílčí součiny. Tyto problémy jsou však již náplní monotematických monografií. Zde na ně pouze upozorňujeme, aby nebyly opomenuty nebo podceněny v případech, kdy vznikne skutečná potřeba složitější filtr realizovat. Tab. 1: Realizace Besselových a Butterworthových DP 2. – 4. řádu; vztaženo k f3 (frekvence poklesu přenosu o 3 DB; fo – charakter. frekvence v aproximačních vztazích pro požadovaný filtr – přenos na fo dle aproximace); filtry vhodné pro reproduktorové výhybky.

R

ui

CA R

+

DB 2.řádu -12 dB/okt

ui

R

CA R

-

f

f3

-

R

uo

+

+

CC

ui

R

-

R

k2=1,36

-

CD

CB

k3=1,75

R

+

+ DB 4. řádu -24 dB/okt

CA = 0,9548/(R.2f3) CA = 2/(R.2f0) CB = 0,4998/(R.2f3) CB = 0,5/(R.2f0) CD = 0,7560/(R.2f3) CD = 1/(R.2f0)

CD

CB

CA R

Butterworth

CA = 0,9076/(R.2f3) CA = 1,414/(R.2f0) CB = 0,6809/(R.2f3) CB = 0,7071/(R.2f0)

uo

CB

DB 3.řádu -18 dB/okt

Bessel

přenos DP

0 dB

k4=2,11

R=4k7 až 10k

uo CA = 0,7298/(R.2f3) CB = 0,6699/(R.2f3) CC = 1,0046/(R.2f3) CD = 0,3872/(R.2f3)

f3=f0.kn

CA = 1,0824/(R.2f0) CB = 0,9239/(R.2f0) CC = 2,6130/(R.2f0) CD = 0,3827/(R.2f0)

f3=f0

48


Tab. 2: Realizace Besselových a Butterworthových HP 2. – 4. řádu (vhodné pro reproduktorové výhybky, f3 pokles přenosu o 3 DB. přenos HP

RA C

C ui

Bessel

-

RA = 1,1017/(C.2f3) RA = 0,7071/(C.2f0) RB = 1,4688/(C.2f3) RB = 1,414/(C.2f0)

uo

+ DB 2. řádu +12 dB/okt

C

RB

RA C

ui

C

-

-

C ui

RD

RC C

C

-

k2=1,36

 17

uo RA = 1,3701/(C.2f3) RB = 1,4929/(C.2f3) RC = 0,9952/(C.2f3) RD = 2,5830/(C.2f3)

+


RA = 1,0474/(C.2f3) RA = 0,5/(C.2f0) RB = 2,0008/(C.2f3) RB = 2/(C.2f0) RD = 1,3228/(C.2f3) RD = 1/(C.2f0)

uo

+

RB

RA C

f

f3


Butterworth

0 dB

RD

RB

k3=1,75

k4=2,11

C=4n7 až 10n

RA = 0,9239/(C.2f0) RB = 1,0824/(C.2f0) RC = 0,3827/(C.2f0) RD = 2,6130/(C.2f0)

f3=f0 /kn

f3=f0

Navrhněte neinvertující horní propust 2. řádu, se shodnými kapacitory C1 = C3 = C a rezistory R2 = R4 = R, kde fo = 100 Hz, Q = 5 a fT = 9 MHz. Proveďte : a) analýzu – řešte obvod pomocí zobecněné metody uzlových napětí b) algoritmus pro syntézu c) určete prvky obvodu pro dané parametry a vypočtěte K, f3, fm a KUmax

4.3 Jiné struktury Zesilovač s proudovou zpětnou vazbou tvoří proudový konvejor CCII+ a sledovač napětí se vstupní impedancí Zin – viz obr. 22. Podrobný teoretický rozbor struktury nalezneme [1] – kap. 4 CCII+ (1)

Y

(4) Z

(2)

a

x1

b

3

X Zin

Obr. 22: Model CFA (transimpedančního zesilovače) – složený z CCII+ a sledovače (se vstupní impedancí Zin) 49


 18

Invertující zapojení transimpedančního zesilovače je na obr. 23. Stanovte napěťový přenos zapojení. R2 R1 (1)

(-) (3) (4)

I1

-

(o)

(2)

+

U1

U2

Obr. 23: Invertující zapojení transimpedančního zesilovače

 Řešení: Pomocí dříve uvedeného algoritmu sestavíme admitanční popis celé struktury (neinvertující vstup „inciduje“ se vztažným uzlem – zemí → nemá vliv. 1 1 2(o) 3(-)

G1 0 - G1

2 (o)

3(-)

0 G2 + (Go2) - G2 + (0)

-G1 -G2 + (Go1 Go2Z) G1 + G2 + (Go1)

U1 I1 ∙ U2 = 0 U3 0

Za předpokladu idealizace Go2 → ∞, obdržíme pro přenos neinvertující struktury vztah U2  R2 1   R2 U1 Go 2   R1 1  1  Ro1 / R1 R2  Z

Chybový člen struktury vůči ideální hodnotě (  R2 R1 ) je stejný jako u struktury neinvertující – viz [1] – vztah (4.1).

 19

Signálové schéma neinvertujícího zesilovače (s využitím sledovače) je na obr. 24. Stanovte napěťový přenos zapojení. (1) U1

R1

(3) U3

I1 R2

(+) (-) OTA

U2 (o) (2)

(4) K=1

U4=U2

RZ

Obr. 24: Signálové schéma neinvertujícího zesilovače

 Řešení: Je-li sledovač ideální (K = 1), platí U4 = U2 a odpor RZ (uzel 2) není vstupní impedancí sledovače (ideálně nekonečnou) ovlivňován. Stačí proto popsat pouze „uzly 1 až 3“ – pomocí dříve uvedených algoritmů – pro Go = 0 – získáme matice: 50


1 2(o) 3 (+)

1 G1 0 -G1

2(o) 0 GZ 0

3 (+) -G1 -gm G1 + G2

U1 I1 ∙ U2 = 0 U3 0

Pomocí Cramerova pravidla určíme přenos obvodu g m G1 U4 U2 R2    g m RZ U1 U1 (G1  G2 )GZ R1  R2

skutečně se jedná o neinvertující strukturu. Vzhledem k tomu, že transadmitanci gm je možné řídit proudem (a tedy i napětím – 1), máme k dispozici zesilovač, jehož zesílení lze řídit proudem (napětím).

 20

Analyzujte „řiditelnost“ OTA struktury na obr. 25, která se chová v uzlu 1 jařízení gm + OTA

(o)

-

(a) (1)

(b)

x1

(3) R

(2) IX = I 1 RA

CV X UX = U1 pro

1

C v

0

Obr. 25: Signálové schéma zapojení, které se „chová“ jako řízený odpor RX (změnou gm měníme Rx) ko řízený ekvivalentní odpor RX 1. Jaký má vliv kapacita Cv?

 Řešení: Zesilovač OTA (jeho podrobný teoretický rozbor je uveden v 1 – kap. 2.6) je definován maticí (22), sledovač je pro K = 1 popsán maticí [1], [3] a a b

0 -GoK

b 0 -GoK

(22)

přičemž ideálně platí pro OTA, že Go = 0 (zdroj proudu) a pro sledovač GoK   (zdroj napětí). Pro přiřazené uzly 1 až 3 potom „platí“ popis (předpoklad – 1 / Cv  0 ): 2(-) 1(o)a 3b (gm) 1(o)a (Go) + 0 0 2(-) (0) GA + G + (0) -G ∙ -G 3b -GoK  G+GoK 

U1 U2 U3

=

I1 0 0

51


Pomocí Cramerova pravidla určíme napětí U1 pro Go = 0 a GoK  : U 1  U x  I 1 G  G A  g mG 

a tím i vstupní odpor uzlu 1 Rx  U1 I1  G  G A  g mG   1  R RA  g m

Odpor Rx je možné řídit změnou gm, tedy proudem nebo napětím, což může být velmi výhodné, např. při konstrukci filtrů RC. Nyní můžeme zvážit i vliv Cv. Cv je zařazena do série s Rx, tedy impedance v uzlu X – Zx je obecně Z x  Rx  1 jCv

napětí U1 není totožné s napětím Ux, ale platí U1  U x 

Rx jCv Rx p Ux  Ux  Rx  1 jCv jCv R  1 p  h

kde h 

gm 1  1  R R A   Cv Cv R x

Jedná se o horní propust 1. řádu, vstupem je uzel X, výstupem je výhodně nízko impedanční uzel 3, protože ideálně platí, že U3 = U1. Hodnotu Rx lze řídit změnou gm, proto lze řídit i ωh, což může být při konstrukci filtrů velice žádoucí. Poznámka: Pokud bude definována frekvenční závislost gm (gm  ym), můžeme udělat podobné úvahy, jako byly udělány u struktur předchozích. V uvedených příkladech se zesilovačem OTA byl demonstrován pouze princip výpočtu.

 21

Určete napěťový přenos struktury na obr. 26. CCII+

(1) U1

Y I1 IX

(2) Z IZ

X (3)

U1 R1

R1

R2

U2

Obr. 26: Zapojení neinvertujícího zesilovače s CCII+

 Řešení: Pro ideální CCII+ platí

U 3  U1 , I x   I R1   U1 R1 a U 2   I z R2  I z  I x   I x R2  U1 R2 R1

tedy 52


U 2 U1  R2 R1

Důležité je, že v obvodu prakticky neexistuje zpětná vazba. Frekvenční vlastnosti jsou dány pouze frekvenčními vlastnostmi obvodu CCII+, jsou určeny pásmem, ve kterém uvažovaný popis obvodu CCII+ platí. Výstupní impedance zesilovače je dána hodnotou R2; výstupní napětí naprázdno je totiž U 1 R2 R1 ; výstupní zkratový proud je dán hodnotou proudu I x  U1 R1 . Podíl, ve smyslu Théveninova teorému, určuje opravdu výstupní odpor o hodnotě R2 (pro Go2 = 0 – ideální stav). Vstupní impedance je dána vstupními vlastnostmi sledovače. Pokud je výstupní odpor R2 na závadu, musíme zapojit oddělovací zesilovač – sledovač – s dostatečným vstupním a malým výstupním odporem. Stejný výsledek musíme získat i pomocí algoritmu zobecněné metody uzlových napětí. Maticový popis je opět rozebrán [1] – kap. 2.7 – (2.24), předpokládáme, že Go2 = 0. Výsledný popis je: 1(Y) 2(Z) 3(X)

1(Y) (0) (-Go1) -Go1

2(Z) (0) G2 (0)

3(X) (0) (Go1) G1 + (Go1)

U1 ∙ U2 U3

=

I1 0 0

Pomocí Cramerových pravidel určíme přenos Go1G1 U2 G1 G 1    1  U1 G2 G1  G2 Go1 G2  G2 G1 / Go1 G2 1  G1 /Go1

Pro ideální stav je Go1   a opět dostaneme jednoduchý výraz U2 G R  1  2 U 1 G   G2 R1 O1

což souhlasí s dříve udělanými úvahami.

 22

Analyzujte strukturu na obr. 27, určete napěťový přenos. CCII+

R1 CCII+

(1)

Y´´

Y´

Z´´ Z´

I1 X´

(4)

X´´ (5)

Y2

(3)

Y4 (2)

Y3

Y5

Obr. 27: Struktura pro realizaci filtrů RC 2. řádu se dvěma obvody CCII+

53


 Řešení: Zapojení na obr. 27 se dvěma obvody CCII+ je náročnějším příkladem. Tato struktura může realizovat různé filtry RC druhého řádu podle toho, jak volíme admitance Yi. Opět sestavíme admitanční popis struktury na obr. 27. Volíme uzly 1 až 5, buzen je pouze uzel 1 zdrojem proudu I1. Předpokládáme, že oba obvody CCII+ jsou shodných vlastností a popsány maticí [1] – kap. 2.7 – (2.24). Obvody dále idealizujeme tak, že předpokládáme platnost relace Go2 = 0 (ideální zdroje proudu). 3 1 Y 2 Z 4 X 5 Z X U1 1 Y G1 Y4 + Y5 -Y4 Go1 U2 2 Z 3 -Y4 Y2 + Y3 + Y4 -Y2 ∙ U3 = -Y2 Y2 + Go1 U4 4 X -Go1 Go1 Go1 U5 5 Z X -Go1

I1 0 0 0 0

Řešením systému rovnic pro Go1   dostáváme pro přenos vztah  Y2Y3 U2  U1 Y5 Y2  Y3  Y4   Y3Y4

Odebírat napětí z kteréhokoliv uzlu však musíme přes oddělovací zesilovač, jehož vstupní impedance neovlivní imitanční poměry obvodu. Na základě úvah udělaných o kaskádním řazení dvou obvodů CCII+ [1] – kap. 2.7.4 můžeme ovšem schéma z obr. 27 překreslit do podoby na obr. 28 – s convejorem invertujícím CCII-. CCII-

(1) Y I1

Z R1

X

(4)

Y2

Y4

(3)

(2) Y3

Y5

Obr. 28: Ekvivalent obvodu z obr. 27 Pak můžeme pracovat s maticí [1] – kap. 2.7.4 – (2.31) nebo přesněji s maticí (2.32 – tamtéž). Budeme pracovat s maticí (2.31) a předpokládat, že Go2 = 0. Obvyklým způsobem získáme úplný maticový popis (i zde je jediný budicí veličina I1): 1Y 1 Y G1 2 Z Go1 3 4 X -Go1

2Z

3

4X

Y4+Y5 -Y4

-Y4 Y2+Y3+Y4 -Y2

-Go1 -Y2 Y2+Go1

U1 U2 ∙ U3 U4

I1 0 = 0 0

I zde je pro Go1   přenos 54


 Y2Y3 U2  U1 Y5 Y2  Y3  Y4   Y3Y4

Nemají-li být vlastnosti filtru ovlivňovány následujícími obvody, musí být signál z bodu 2 odebírán přes oddělovací zesilovač s velkou vstupní impedancí (malou admitancí) – tedy nejčastěji přes sledovač. V opačném případě se vstupní admitance následujícího dílu (YVST) prostě zahrne do admitance Y5 , tedy Y5  Y5 + YVST, a odvozené vztahy dále platí.

 23

Navrhněte neinvertující zesilovač s proudovou zpětnou vazbou, je-li požadováno: napěťový přenos +10, napájecí napětí ± 12 V, R2 = 2 kΩ, Ro1 = Ro2 = 0, zo = 106 Ω (příklad řešte obdobně jako v př. 18).

 24

Analyzujte neinvertující zapojení s transimpedančním zesilovačem – obr. 30, z příkladu 26 metodou uzlových napětí.

4.4

Nulorová metoda řešení obvodů

 25

Analyzujte strukturu z příkladu 22 nulorovou metodou. (1) I1 R1

(4)

Y2

(3)

Y4 (2) Y3

Y5

Obr. 29: Nulorový model struktury

 Řešení: Nejdříve si nakreslíme nulorový model struktury – obr. 29 a podle algoritmu uvedeného v kap. 2 (podrobný popis metody je uveden [1]) si sestavíme matici bez nulátoru a norátoru. Výchozí matice: 55


Norátor → proudové propojení

nulátor → „napěťové propojení“ 1 2 3 4 1 G1 0 0 0 2 0 Y4 + Y5 -Y4 0 3 0 -Y4 Y2 + Y3 + Y4 -Y2 4 0 0 -Y2 Y2

U1 U2 U3 U4

∙

=

I1 0 0 0

Výsledná matice s uvažováním nulorů 1+4 1 G1 2 + 4 Y2 3 -Y2

2

3

0 0 U1’4 I1 Y4 + Y5 -Y4-- Y2 ∙ U2 = 0 -Y4 Y2 + Y3 + Y4 U3 0

Výpočtem pomocí Cramerova pravidla obdržíme: U1,4   Y4 Y2  Y4  det U 2   I1Y2Y3 det

-Y2Y3 U2  U1,4 Y5 Y2  Y3  Y4   Y3Y4

takže jsme dospěli ke stejnému výsledku jako v příkladě 22.

 26

Analyzujte neinvertující zapojení transimpedančního zesilovače na obr. 30 nulorovou metodou. I1 R2 R1

(+)

(1)

(4)

(-)

(-) (3) (+)

(1)

CFA

Z

(o) (2)

(3)

(o)

(2)

+ I1

U1

U2 R2

a)

b)

R1

Obr. 30: a) Neinvertující zapojení transimpedančního zesilovače b) Nulorový model struktury

 Řešení: Nejdříve sestavíme matici aniž bychom uvažovali nulátory a norátory ( Y  1 Z ):

56


1 1 2 3 4

0 0 0 0

2

3

0 G2 + Y -G2 -Y

0 -G2 G1 + G2 0

4 0 U1 -Y U2 0 ∙ U3 Y U4

=

I1 0 0 0

První nulátor je připojen mezi uzly (1) a (3) → sčítáme sloupce 1, 3 (U1 = U3 = U1,3), první norátor je připojen mezi uzly (3) a (4) → sčítáme řádky 3, 4. Druhý nulátor je připojen mezi uzel (4) a referenční uzel → škrtáme sloupec 4, druhý norátor je připojen mezi uzel (2) a referenční uzel → škrtáme řádek 2. Výsledná matice pak má tvar: 1+3 2 1 0 0 3 + 4 G1 + G2 -G2 + Y ∙

U1’3 U2

=

I1 0

Napěťový přenos struktury je U2 1  1  R2 / R1   1  R2 / Z U1 Go1 , G02  

 27

Řešte úkol z příkladu 26, je-li Z  Z 01  p  1  viz – kap. 4, vztah (4.2) [1], pro hodnoty – Z0 = 500 kΩ, f1 = 350 kHz a odvoďte frekvenci poklesu o 3 dB (kap. 4, vztah (4.3) [1]).

4.5 Obvody s tranzistory  28

V zapojení se společnou bází (SB) na obr. 31 určete: napěťové zesílení struktury a vstupní impedanci (kapacita CB připojuje bázi na referenční uzel; odpory R1, R2 jsou ze signálového hlediska oběma vývody připojeny k referenčnímu uzlu a proto signálové poměry vůbec neovlivňují, definují pouze pracovní bod).

 Řešení: Analýza stejnosměrného pracovního bodu je stejná jako u zapojení SE (viz přednášky [1] – kap.6.1.1), označíme-li Ra + Rb = RE – obr. 31a. Signálové schéma je na obr. 31b (včetně zahrnutí vlivu CCB). Maticový popis (předpokládáme, že β » 1 a y11 + y21 = 1   re   1 re  y21 ) je: 57


UN RC R1 CV2 (1)

CB

I1 R2

Ra

(3) E

C

Rb

CKB

Cv1

a)

  RE  Rb

RK

B

Ra ui

(2)

b)

Obr. 31: a) Zapojení zesilovače se společnou bází b) Zapojení zesilovače SB – jeho signálový model 1 2 (C) 3 (E) 1 Ga+Gb -Ga 2 (C) GC + pCCB -y21 3 (E) -Ga Ga + y21

U1 ∙ U2 U3

=

I1 0 0

Pomocí Cramerova pravidla určíme uzlová napětí U1 

U2 

GC

I 1 GC  pCCB  . Ga  y 21   pCCB  . y 21Ga  y 21Gb  Ga Gb 

GC

I 1.y21Ga  pCCB  . y 21Ga  y 21Gb  Ga Gb 

Přenos napětí „do kolektoru“ je AUCSB 

kde

y 21Ga RC 0 U2    U1 ( GC  pCCB   Ga  y 21  Ra  re p   0

0  1 RC CCB 

je pól přenosu. Jedná se o neinvertující zesilovač. Vstupní impedance je jednoznačně určena vztahem ZVST 

Ga  y 21 R R  r  U1   b a e  Rb Ra  re  I1 Ga y 21  Gb y 21  Ga Gb Rb  Ra  re

Pro Ra = 0 je vstupní odpor dán prakticky hodnotou re – tedy většinou je velmi malý. To není příliš výhodné. Vstupní impedance (při použitém zjednodušeném modelu) není funkcí CCB, což naopak výhodné je. Při použití dokonalejšího modelu tranzistoru „vnesou“ kmitočtovou závislost parametry y11, y12, y21, y22, které obecně vykazují závislost na frekvenci.

58


Stejně jako u zapojení SE lze určit, že „středofrekvenční“ výstupní impedance je rovna přímo hodnotě odporu RC. Povšímněme si, že zesílení struktury SE a SB (až na znaménko, tedy fázi) je stejné („do kolektoru“), uvážíme-li, že v zapojení SB má signál „v cestě“ odpor Ra + re, kde re je „vlastnost“ tranzistoru v daném pracovním bodě.

 29

Analyzujte zapojení se společným kolektorem (SC – emitorový sledovač) na obr. 32. Určete napěťové zesílení struktury, vstupní a výstupní impedanci. UN CCB C R1 Ri

CV1

(1) C

B

B

(2) E R2

ui

i1

Gi

RE

G1

G2

E RE

  GV= Gi+G1+G2

Obr. 32: a) Zapojení zesilovače SC b) Jeho náhradní signálový model (po přepočtu ui, Ri na ekvivalentní zdroj proudu i1)

 Řešení: Analýza stejnosměrného pracovního bodu je stejná jako v předchozím příkladu; volí se (stejnosměrné poměry) UCESS = URESS. Maticový popis získáme pomocí algoritmu, který je uveden v kap. 2. Na obr. 32b je vidět, že signálový model obsahuje pouze dva nezávislé uzly (a referenční uzel – zem). Výsledná čtvercová matice je proto pouze druhého řádu. 1 (B) 1 (B) GV + pCCB + y11 2 (E) -y11 - y21

2 (E)

∙

-y11 GE + y11 + y21

U1 = I1 U2 0

Pomocí Cramerova pravidla stanovíme uzlová napětí U1 

I 1 GE  y11  y 21  Gv  pGCB   GE  y11  y21   y11GE

U1 

I 1  y11  y 21  Gv  pGCB   GE  y11  y21   y11GE

napěťový přenos (do emitoru, není funkcí CCB) AUESC 

U2 y11  y 21   AUESE  U1 GE  y11  y 21

1 1

re β  RE β  1 59


vstupní impedance ZVST

kde

pro R  GE  y11  y 21    v i 1 Gv  pGCB   GE  y11  y 21   y11GE β  re  RE     Rv p   i Gv

i  1 Rv  CCB 

Výstupní impedanci můžeme určit při buzení uzlu 2 proudem I2 (uzel 1 není buzen). Neuvažujeme-li vliv CCB, dostaneme RVYSTSC 

Gv  y11 Gv  GE  y11  y 21   y11GE

Po úpravách dospějeme ke vztahu RVYSTSK  re 

1  Rv re  1  1   re RE  Rv re 

(23)

Je-li emitorový sledovač buzen ze zdroje napětí, je Gi   , tedy RV = 0 (v našem modelu). Vztah (23) se zjednoduší do podoby RVYSTSK  re 

1    1  re 1  re Re   re Re 1  1   re RE

Je-li emitorový sledovač buzen ze zdroje proudu (což není obvyklý případ), situace se mění; Rv  R1 R2 ( Ri  ) a pro běžné poměry (  » 1 , RE » re ) dostáváme RVYSTSK 

re  Rv   Rv     RE  re  Rv  1  Rv   RE 

Proud odebíraný bází totiž vyvolává na Rv napěťový úbytek, který se projeví jako nárůst výstupního odporu.

 30

Analyzujte základní stavební blok rozdílového operačního zesilovače – rozdílové zapojení tranzistorů, který v nich tvoří vstupní díl a rozhodující měrou určuje vlastnosti celého operačního zesilovače – viz např. [2]. Možné principiální schéma moderního rozdílového zesilovače je na obr. 33a.

 Řešení: Zdroje proudu 2I a I nastavují automaticky vhodný pracovní bod tranzistorů (i na tranzistor T1 „zbývá“ ve smyslu 1. Kirchhoff. zákona právě proud I). Jejich nedokonalost (pro malé signály v okolí pracovního bodu) je popsána paralelními odpory1) RIC a RIE. Pro jednoduchost budeme uvažovat, že změny proudů paralelními odpory se změnou stejnosměrných úrovní jsou zanedbatelné vůči základním hodnotám proudů, tedy že pracovní podmínky tranzistorů se nemění. Ve skutečnosti by zkoumání změn proudů emitory tranzistorů v závislosti na napětí bází nepředstavovalo žádný větší problém. Stačí si uvědomit, že při shodném napětí UB = U1 = U2 na bázích bude 1)



 odporem RIE vždy protékat dodatkový proud asi U B  U CC

R

IE

, který rovněž musí „projít přes“ emi-

tory tranzistorů. 60


+UCC

I

RIC

(3) RIC

U3 U1

U3

U2 (1)

(2) (4) I1

2I

I2

Ud RIE

RIE

U2

U1 -UCC

a)

b)

Obr. 33: a) Principiální zapojení rozdílového zesilovače b) Jeho signálové schéma Malosignálový model je uveden na obr. 33b. Ideální zdroje proudu z něj „mizí“. Představují totiž pro signál nekonečně velký odpor, „zbývají“ pouze „degradační“ odpory. Sestavení matice je rutinní záležitostí. Buzeny jsou dva vstupy, proto uvažujeme i dva budicí proudy I1 a I2. I nyní uvažujeme tranzistory stejných vlastností a to, že platí předpoklady y21 » y11 (β » 1), pak platí y21  y11  y21  g e  1 re – viz [1] kap. 6.1.2. Proto můžeme pracovat se stejnou zjednodušenou maticí tranzistorů jako při odvození vztahu (6.16) – [1]. I zde incidují vždy pouze prvky stejného tranzistoru (matice) – viz úvahy u vztahu (6.16) – [1]. 1(B1) 2(B2) 3(C2) 1(B1) y11 2(B2) y11 3(C2) y21 GIC 4(E1,E2) -y21 -y21

4(E1, E2) -y11 -y11 -y21 GIE + y21 + y21

∙

U1 U2 U3 U4

=

I1 I2 0 0

Tato matice jednoznačně popisuje lineární elektronický systém, jehož malosignálový model je na obr. 33b. Matici řešíme obvyklým způsobem pro neznámá uzlová napětí, jsou-li budicími signály proudy I1 a I2. Situaci však můžeme poněkud zjednodušit. Předpokládejme, že uzly 1 a 2 jsou buzeny ze známých zdrojů napětí U1 a U2; potom neznámou veličinou jsou proudy I1 a I2. Napětí U1, U2 převedeme obvyklým způsobem na pravou stranu systému rovnic, proudy I1, I2 na levou stranu rovnic. Po elementárních úpravách dostáváme nový systém rovnic definovaný maticovým zápisem (jde o přeskládání rovnic vůči novému systému neznámých veličin I1, I2, U3, U4; stačí si rovnice rozepsat, upravit a poté se vrátit k maticovému popisu): -1 0 0 0

0 -1 0 0

0 0 GIC 0

-y11 -y11 -y21 GIE + 2y21

∙

I1 I2 U3 U4

=

-y11U1 -y11U2 -y21U2 y21U1 + y21U2

61


Je zřejmé, že systém rovnic pro určení U3 a U4 lze řešit samostatně: GIC 0

-y21 ∙ U3 GIE + 2y21 U4

=

-y21U2 y21U1 + y21U2

Pomocí Cramerových pravidel snadno určíme, že U3 

 y 21U 2  y 21 y 21 U 1  U 2  G IE  2y21 G IC G IE  2y21 

= ... =

2 U 1  U 2   y 21GIE U 2 y 21 G IC G IE  2y21  G IC G IE  2y21 

(24)

Za běžných poměrů platí GIE « 2y21 a proto U3 

RIC R  U 1  U 2   IC  U 2 2re 2RIE

(24a)

První člen výrazu (24) představuje žádané zesílení rozdílové složky RIC 2re ; druhý člen výrazu  RIC 2RIE  reprezentuje nežádoucí souhlasnou složku zesílení. Pro U1 = U2 = US (souhlasné napětí – složka napětí shodná pro oba vstupy) platí U3 

pro   U S RIC 2RIE U1  U 2  U S

Poměr užitečného rozdílového zesílení k zesílení souhlasnému definuje činitel potlačení souhlasného signálu X X

RIC 2re R  IE RIC 2RIE re

Ideální by bylo, aby druhý člen neovlivňoval U3 (výstupní napětí) vůbec; tedy aby X   . Vztah (24a) lze totiž upravit do tvaru U3 

 R RIC  r  U 1  U 2   e  U 2   IC  U d  U 2 X  2re  RIE  2re

nazveme-li Ud = U1 - U2 rozdílovým (diferenčním) napětím. Známým způsobem určíme i napětí U4 (emitory) U4 



G IC 0

 y 21U 2 y 21 U 1  U 2 

G IC G IE  2y21 



pro U1  U 2 U U2   1  G IE y 21  0 2  G IE y 21 2

2U 2  U d  U2 Ud 2 2

Ze „zbytku“ maticového popisu (první dva řádky) dále určíme, že -I1 - y11U4 = - y11U1 -I2 - y11U4 = - y11U2

Řešení tohoto systému lineárních rovnic vede k výsledku (pro GIE y 21 « 2) I1 = -I2 = y11Ud /2

který umožňuje (při zvolené konvenci na obr. 30b) definovat vstupní diferenční odpor

62


Rd  U d I1  U d I 2  2 y11  2  re

Souhlasný odpor stanovíme pro U1 = U2 = US (tedy Ud = 0): RIS  U1 I1  U1 0  

Tento výsledek je však příliš „optimistický“, při odvození I1 jsme totiž použili vztah pro U4 bez členu GIE y 21 ve jmenovateli. Napravme nyní tento nedostatek a určíme přesněji, opět z prvních dvou řádků maticového popisu, že I 1  y11U d  y11U 2   y11U d  y11U 2   y11

2U 2  U d y11 1    1  G IE 2y21  2 1  G IE 2y21 1  G IE 2y21 y11 2U2  U d   1  GIE 2y21   y11 U d  1  y11  GIE 2U2  U d   2 2 4 y 21

U d G IE   U 2 2  U d 4  2 β

Pro Ud = 0 nyní určíme přesněji, že I1 

G IE U1 2β

a vstupní souhlasný odpor proto je RIS  U1 I1  2 GIE  2  RIE

Předpokládejme, že: UT  26 mV a zdroje proudu mají parametry I = 10 A, RIE = RIC = 10 M. Odpor v emitorech tranzistorů (pro malé hodnoty Ud) je re  26∙10 -3/10∙10 -6 = 2,6 k, napěťové diferenční zesílení U 3 U1  U 2   U 3 U d  RIC 2re  10  106 5,2  103  1,9  103 (65,6 dB), vstupní diferenční odpor ( = 100) Rd = 2re  200∙2,6 k = 520 k, vstupní souhlasný odpor RIS  2RIE = 200∙107 = 2000 M, činitel potlačení souhlasného signálu X = RIE /re  107/2,6∙103 = 3,85∙103 (71,7 dB). To jsou přibližně hodnoty, odpovídající běžnému bipolárnímu operačnímu zesilovači.

 31

Řešte diferenční zapojení vstupního dílu operačního zesilovače na obr. 34a).

 Řešení: Tranzistory T3 a T4 tvoří tzv. proudové zrcadlo. Tranzistor T3 je zapojen jako dioda, tranzistorem T4 (stejných vlastností) protéká stejný proud jako tranzistorem T3 (toto zjednodušení platí pro tranzistory s nekonečně velkým proudovým zesílením), protože bázová napětí pro oba prvky jsou stejná. Pro malé signálové změny (pro malé signály) je napětí báze – emitor T3 popsáno vztahem UBE  reIC3. Je zřejmé, že napětí UBE je shodné se záporně vzatou hodnotou uzlového napětí U5, tedy U5 = - UBE. Tranzistor T4 se chová jako zdroj proudu řízený napětím uzlu 5: IC4 = IC3 = -U5 /re = -U5 ge = -U5∙y21 (pro náš jednoduchý model tranzistorů). 63


Předpokládáme-li dva budicí zdroje napětí U1 a U2 (stejně jako u obr. 33), můžeme určit admitanční popis celého obvodu na obr. 34b. Proti předchozí situaci přibude pouze uzel 5 a zdroj proudu IC4 do uzlu 3, který je řízen napětím U5. Odpory RIE a RIC reprezentují i zde reálné vlastnosti zdrojů proudu. Nejdříve sestavíme pasívní matici obvodu, poté doplníme incidence pro T1 a T2 (opět pracujeme se zjednodušenou maticí [1] – kap. 6.1.2, str. 81). Řízený zdroj proudu IC4 se objeví v sloupcové matici budicích proudů – ve 3. rovnici. +UCC

T3

T4

5

U BE re

UBE

U5 re

3

RIC

5

U1

U2

1

2

3

U1 T1

U2 2

4 RIE

4 IE

a)

T2

1

-UCC

b)

Obr. 34: a) Diferenční zapojení vstupního dílu operačního zesilovače b) Jeho signálový model

1, B1 2, B2 3, C2 4, E1, E2 5, C1

1, B1 2, B2 y11 y11 y21 -y21 -y21 y21

3, C2 4, E1, E2 5, C1 -y11 U1 I1 -y11 U2 I2 GIC -y21 ∙ U3 = IC4 = -U5ge GIE + 2y21 U4 0 -y21 ge U5 0

(25)

Napětí U1 a U2 považujeme za známé veličiny, takže v systému rovnic (25) převedeme všechny jejich součiny na stranu pravou, neznámé proudy I1, I2 na stranu levou. Rovněž člen -U5 ge v třetí rovnici, popisující vliv řízeného zdroje proudu (zrcadla proudu), musíme převést na levou stranu, protože obsahuje neznámé uzlové (řídicí) napětí U5. Po úpravě dostaneme opět maticový popis (zde je již matice smíšená, nikoliv admitanční) -1 -1 GIC

-y11 -y11 -y21 GIE + 2y21 -y21

ge ge

∙

I1 I2 U3 U4 U5

=

-y11U1 -y11U2 -y21U2 y21(U1 + U2) -y21U1

Po této úpravě je vidět, že uzlová napětí U3, U4, U5 lze řešit samostatně, nechceme-li současně řešit i otázku velikosti proudů I1, I2 odebíraných ze zdrojů napětí (signálu) U1, U2. Řešíme tedy systém rovnic:

64


GIC

-y21 GIE + 2y21 -y21

ge

U3 U4 U5

∙ ge

=

-y21U2 y21(U1+U2) -y21U1

Pomocí Cramerova pravidla určíme, že výstupní napětí U3 je (za předpokládaných zjednodušení) definováno vztahem U3 

R y 21  U1  U 2   IC  U1  U 2  G IC re

Diferenční zesílení tohoto stupně je dvakrát větší (o 6 dB) než u struktury předchozí. Souhlasné napětí (za předpokládaných idealizací) není vůbec zesilováno, což je vítáno. Ostatní vlastnosti budou obdobné vlastnostem struktury na obr. 33. Je zřejmé, že odpor zdrojů proudu RIC definuje i výstupní odpor diferenčních zesilovačů. Následující stupeň musí nutně vykazovat vstupní odpor srovnatelný s hodnotami RIC, tedy řádu 10 M. V opačném případě dochází k degradaci napěťového přenosu. Problém se často řeší Darlingtonovým zapojením dvou (nebo i více) tranzistorů.

 32

Analyzujte Darlingtonovo zapojení tranzistorů se zdrojem proudu ve spojených kolektorech na obr. 35. +UCC CK RID

I

CK

RID 2

Ca Ba

z diferenč. zesilovače

Ta

1 Tb

Bb Ta

Cb Tb

Ea 3

Eb Re

RE -UCC

Obr. 35: a) Zesilovací stupeň SE s Darlingtonovou dvojicí tranzistorů b) Jeho signálové schéma

 Řešení: V moderních integrovaných obvodech je I = 0,5 až 1 mA (běžně), ve stupni vzniká napěťové zesílení řádu 100 (40 dB). Současně se zde umisťuje korekční kapacita CK, která upravuje frekvenční vlastnosti celé struktury tak, aby byla stabilní (nekmitala) – CK definuje dominantní pól struktury. Signálové schéma je na obr. 35b, zdroj proudu je reprezentován pouze „degradačním“ odporem RID. Popišme nejdříve samotné řazení dvou tranzistorů. Opět použijeme postup pro sestavování matic. Vnější uzly dvojice tranzistorů (s kterými je spojena vnější pasívní síť) jsou uzly 1, 2, 3. Vnitřní uzel (nestýká se s okolním zapojením – např. Ea a Bb) je výhodné vždy označit 65


největším pořadovým číslem, aby bylo možné použít jednoduché algoritmizace výpočtu – viz dále. Předpokládejme opět, že oba tranzistory jsou popsány shodnou zjednodušenou maticí (y21 » y11). Zcela formálně můžeme definovat systém rovnic pro čtyřpól složený pouze z tranzistorů Ta a Tb a stanovit incidence (pro každý tranzistor zvlášť, indexy a incidují opět pouze s indexy a; totéž platí pro indexy b). Zjednodušená matice tranzistoru B B C E

1, Ba 2, Ca, Cb 3, Eb 4, Ea, Bb

C y11 y21 -y21

1, Ba y11a y21a

E 0 0 0

-y11 -y21 y21

2, Ca, Cb

3, Eb

4, Ea, Bb -y11a -y21a + y21b -y21b y21a + y11b

-y21b y21b -y11b

-y21a

∙

U1 U2 U3 = U4

I1 I2 I3 I4

Uvědomme si, že stejnosměrný proud IEb tranzistoru Tb (emitoru) je přibližně  krát větší2) než proud emitorem IEa tranzistoru Ta: I Ea  I Eb 

Potom platí: y21b = geb  I Eb U T  1 reb y11b  y21b   I Eb  U T   1   reb  y21a  I Ea U T  I Eb  U T  = y11b = y 21b 





y11a  y21a   I Ea  U T   I Eb  2 U T  y11b   y21b  2

Proto můžeme matici zjednodušit, vždy platí, že y21b » y11a 1 1 2 3 4

2 y11a y21a -y21a

3 -y21b y21b -y11b

4 -y11a y21b -y21b y21a + y11b

∙

U1 U2 U3 U4

=

I1 I2 I3 I4

(25)

dále platí, že y21a  y11b  2  y11b . Uzel 4 není z hlediska vnějšího zapojení zajímavý, je vnitřním uzlem obvodu, který nikdy nebude buzen z venku. Proto můžeme uvažovat, že I4 = 0 – pól 4 odpojíme od okolí; U4 už nebudeme schopni změřit, vnitřní souvislosti však stále platí. Napětí U4 jsme schopni vyjádřit ze čtvrtého řádku systému (čtvrté rovnice) jako funkci zbývajících napětí obvodu: -y21aU1 + 0∙U2 - y11bU3 + 2y11bU4 = 0

Po úpravě obdržíme 2)

Exaktně by se měl rozlišovat stejnosměrný a signálový (dynamický) proudový zesilovací činitel. 66


U4 

y 21a y  U1  0  U 2  11b  U 3 2y11b 2y11b

Tento vztah (respektující vnitřní souvislosti v obvodu příslušné uzlu 4) dosadíme do prvních tří rovnic, které upravíme. Obdržíme tak trojpól (uzel 4 byl redukován) popsaný maticí 3 x 3, přitom všechny vnitřní souvislosti byly respektovány. Např. pro první rovnici (první řádek) vztahu (25) dostáváme:  y  y y11a  U1  0  U 2  0  U 3  y11a   21a  U 1  0  U 2  11b  U 3   I 1 2y11b  2y11b 

Po formální úpravě pak  y  y11a  y11a 21a 2y 11b 

  y   U 1  0  U 2   0  y11a 11b 2y 11b  

   U 3  I 1 

Stejným způsobem upravujeme i 2. a 3. řádek vztahu (25) a obdržíme další dvě redukované rovnice:    y y   y 21a  y 21b 21a   U 1  0  U 2    y 21b  y 21b 11b   U 3  I 2 2y11b  2y11b       y y   0  y 21b 21a   U 1  0  U 2   y 21b  y 21b 11b   U 3  I 3 2y11b  2y11b   

Vnější chování obvodu je nyní popsáno pouze pomocí napětí U1, U2, U3 a tomu odpovídající admitanční maticí (jeden uzel původní matice byl redukován). Výchozí systém pro n neznámých (n lineárních rovnic), z nichž n-tá neznámá nás nezajímá a má nulovou pravou stranu je uveden v kap. 2.7.4 1 - soustava (2.28), redukovaný soustava pak (2.29). Podle těchto vztahů potom pro redukovaný systém, ve kterém jsme uzel 4 (n = 4) přeměnili ve vnitřní, např. obdržíme:   a11

pro

  a 21

pro

  a33

pro

r  1, s  1, n  4

r  2, s  1, n  4

r  3, s  3, n  4

 a11  a14a 41 a 44  y11a 

 y11a  y 21a   y11a  y11a y 21a 2y11b 2y11a

 a 21  a 24a 41 a 44  y 21a 

 y 21b  y 21a   y 21a  y 21b y 21a 2y11b 2y11a

 a33  a34a 43 a 44  y 21b 

 y 21b  y11a   y 21b  y 21b y11b 2y11b 2y11b

Algoritmus poskytuje stejné výsledky, jako jsme získali elementárním upravováním rovnic (25). Z těchto rovnic bereme i odpovídající členy ars. Výsledná matice Darlingtonova zapojení dvou tranzistorů (za uvedených zjednodušení a relací na str. 65) tedy je (po úpravách všech redukovaných prvků ars): 1 1 2 3

2 y11b/2β y11b + y11b/2 -y21b/2

3 0 0 0

-y11b/2β -y21b/2 y21b/2

67


I zde můžeme předpokládat, že y 21b 2 » y11b pak matici můžeme dále zjednodušit. Pro popis Darlingtonovy dvojice tranzistorů dostáváme matici (26): 1

2 y11b/2β y11b/2 -y21b/2

1 2 3

3 -y11b /2β -y21b /2 y21b /2

0 0 0

(26)

Matici (26) odpovídá ekvivalentní model tranzistoru na obr. 36, jeho ekvivalentní proudový zesilovací činitel e   2; reb  U T I Eb (IEb – ss proud ). Současně je znázorněn i zjednodušený model se dvěma ideálními tranzistory, spolu se základními jednoduchými vztahy. ICD

2

(CD)

1

Ta (BD)

U1 IBD

U1

βe 0V

   1; I Ea  I Eb  ; stejnosměrně

ICD/β IBD

ICD

0V Uβ

U1 U2

≈ ICD

βreb

0V ICD∙reb

U     reb  I

CD

  reb  I CD

U1  U   reb  I CD  2reb I CD Tb

3 (ED )

rea    reb ; dynamicky

 I CD  U1 2reb  U1 y21b 2

I BD  I CD     I CD  2  reb

 U1 y21b 2 2  U1 y11b 2

Obr. 36: Přibližný model Darlingtonova zapojení tranzistorů vyjádřený jedním ideálním tranzistorem (výchozí situace a základní vztahy – v rámečku) I pro model s jedním ideálním vztahem platí (signálově) I 2  I CD  I ED  U1 2reb  U1 y21b 2

I1  I BD  I CD  e  U1 y21b 2 2  U 1 y11b 2

Stačí proto zkoumat zapojení na obr. 35b s tranzistorem podle obr. 36 (a odpovídající matici). Dospějeme jen k obdobným závěrům, jako tomu bylo u zapojení SE: AU   RID 2reb  Re 

RVST   e 2reb  Re    2 2reb  Re 

Předpokládejme pro příklad, že stejnosměrný proud Darlingtonovou dvojicí je 0,5 mA. Potom reb  26∙10 -3/0,5∙10 -3 = 52 , 2∙reb  100 . Budeme-li uvažovat, že  = 200, pak e =  2 = 4∙10 4 a RVST = 4∙10 4(100 + Re). Pro Re = 100  dostaneme RVST  8 M, pro Re = 1000  je dokonce RVST  44 M. To je dostatečná hodnota. Předpokládejme, že Darlingtonova dvojice realizuje napěťové zesílení AU = -100 a korekční kapacita CK = 3 pF. Tato kapacita se jeví na vstupu jako ekvivalentní kapacita (Millerův jev, viz zapojení SE) 68


Ce  100∙3 = 300 pF

Tato ekvivalentní kapacita vytvoří spolu s odporem RIC diferenčního zesilovače a odporem RVST Darlingtonovy dvojice (dohromady řádově 107 ) dominantní časovou konstantu dom  107∙300∙10-12 = 3∙10-3 s

Tomu odpovídá první zlom přenosové charakteristiky běžných operačních zesilovačů f 0  1 2 dom  1 2π  3  103  53,05 Hz.

Je-li CK = 30 pF, dostaneme stejným postupem f0 = 5,3 Hz. Získané hodnoty jsou opět typické pro běžné bipolární operační zesilovače. Celkové napěťové zesílení operačního zesilovače (za druhým stupněm již následuje výkonový zesilovač, většinou s napěťovým zesílením 1 – tedy proudový zesilovač) je dáno zesílením diferenčního vstupního dílu (v našem případě asi 66 dB) a zesílením druhého stupně (asi 40 dB), tedy 66 + 40 = 106 dB. Tomu odpovídá hodnota 200 000. Diskuse: U zapojení SE a SC jsme vždy předpokládali, že zatěžovací odpor RZ » RC. Počítali jsme vlastně vždy zesílení bez zátěže – naprázdno. Situace se nijak nekomplikuje, neníli tato podmínka splněna – RZ se započítá do RC: RC  RC RZ (obecně se může jednat o zatěžovací impedanci). Stejné tvrzení platí i u kaskody. U zapojení SC se ze stejných důvodů RZ započítá do odporu RE; RE  RE RZ . Stačí si představit připojení zátěží v signálových schématech, vždy se jedná o paralelní přiřazení. Rovněž výpočet hodnoty odporu re má jen orientační platnost. Často bývá uváděn vztah re  nUT I E ;

kde n = 1÷ 2.

Tendence chování obvodu však popisují odvozené vztahy velmi dobře a jsou přiměřeně jednoduché, tedy i snadno použitelné. Existuje také více způsobů pro nastavení pracovního bodu. Popsaná metodika se dá použít vždy (pro lineární obvody). Více informací o pracovních režimech a jejich stabilizaci lze nalézt např. v  2, 3, 8, 9. S upřesňováním modelu tranzistoru (doplnění y22, y12) získáme přesnější výsledky. Na principu se však nic nemění. Pouze vztahy budou méně přehledné a tím i méně vhodné pro orientační odhady.

 33

Udělejme pro příklad analýzu zapojení na obr. 37:

 Řešení: Nejdříve určeme pracovní bod. Stejnosměrné napětí na bázi tranzistoru je (za předpokladu nezatíženého děliče) určeno vztahem U B  12·R2 R1  R2   12·5,1 12  5,1  2, 649 V. 69


+12 V RC 3k3

R1 18k

+ 10μ

UB

+

UCE

10μ R2 5k1

RZ 2k

UE +

RE 18 1k 100μ 1k

a)

b)

Obr. 37: a) Zapojení pro analýzu z příkladu 33 b) Úprava pro nastavení zesílení bez změny pracovního bodu Stejnosměrné napětí na emitoru je

UE  UB - 0,6  2 V.

Stejnosměrný proud emitorem je

I E  2 1000  2 mA.

Je-li proudový zesilovací činitel 100, je proud báze

I B  2·103 100  20 A.

Proud odporem R2 je U B R2  2,649 5100  519 A » 20 A. Výpočet UB proto s dostatečnou přesností platí. Nyní můžeme odhadnout, že pro

n = 1 je re1  26  103 2  103  13  n = 2 je re1  2  26  103 2  103  26 

Pro signály se v emitoru uplatňuje signálový odpor: n = 1:

re1 + 18 = 31 

n = 2:

re2 + 18 = 44 

V kolektoru je celkový signálový odpor RC RZ  3,3 2,0 3,3  2,0  1,25 k. Zesílení proto bude v intervalu : -1250 44 až  1250 31  2841 až –40,3. Hodnotu zesílení můžeme bez podstatnější změny pracovního bodu upravit v malém rozmezí změnou odporu Re. Podstatnějších změn lze dosáhnout úpravou podle obr. 37b, kde se pracovní bod nemění vůbec; z hlediska signálu se vždy uplatňuje paralelní řazení odporu 1 k a trimru. Pro nulovou hodnotu trimru je dosažitelné zesílení s největší absolutní hodnotou (1250/26 až 1250/13). Vstupní odpor je dán paralelním řazením odporů 5,1 k, 18 k a (100re1 až 100re2), to je paralelním řazením odporu 3970  a (3,1 až 4,4 k ). Je tedy v rozmezí 1740  až 2090 . Upřesnění modelu tranzistoru povede k menším změnám, než změna v odhadu n. Například doplnění y22 řádu 10-5 S (pro křemíkové tranzistory) situaci podstatně nezmění. Zajímavější ovšem může být analýza na vyšších frekvencích, kde admitance vykazují komplexní charakter. 70


Nezapomínejte, že napětí U T  kT q je teplotní napětí, je teplotně závislé – vše, co bylo řešeno, je tedy funkcí teploty. Pokud se má teplotní závislost omezit, musí platit, že Re » re, odpor v emitoru (pro signály) musí být podstatně větší než emitorový odpor samotného tranzistoru (v zapojení SC je to splněno automaticky).

 34

Určete napěťové zesílení struktury na obr. 38. Předpokládejte NMOSFET (s vodivým kanálem), jehož vlastnosti jsou: IDSS = 9 mA, Up = - 4,5 V a UA = 140 V. Hodnoty odporů v zapojení jsou: RD = 3, 9 kΩ RS1 = 430 Ω RS2 = 100 Ω RG = 1, 2 MΩ UDD = 32 V

UDD ID RD IG

U1 RG

U2 G

UGS

D S RS1 RS2

UG

US

Obr. 38: Schéma k příkladu 34.

 Řešení: Nejdříve určíme pracovní bod , potom provedeme úplnou signálovou analýzu. Pro stejnosměrné poměry platí: US = RS1  RS 2   I D = RS∙ID, UG = RS2∙ID

RS = RS1 + RS2

I G  0 

UGS = UG - US = RS2∙ID - RS1  RS 2   I D = -RS1∙ID

Předpokládejme saturační režim tranzistoru, použijeme vztah (6.20) – [1 – kap. 6.2.1] pro stejnosměrný proud ID



ID = I DSS  1  U GS U P2



Po dosazení za UGS a úpravách, získáme pro uspořádání na obr. 38 vztah  RS 1   UP

2

 2  RS 1  1   I D2    I DSS   UP

   I D  1  0 

Dosadíme-li konkrétní podmínky, obdržíme kvadratickou rovnici 9130,9 I D2  302,2 I D  1  0

fyzikálně možné řešení je ID = 3,73 mA. Potom: UGS = - RS1ID = - 1,604 V; UDS = 32 - RD  RS1  RS 2   I D = 15,48 V

(tranzistor je jistě v saturační oblasti);

71


rd 

140  37,53 kΩ ; 3,73 10 3

gm 

2I D  2,576 mS U GS  U P

Nyní uvažujme signálový model na obr. 35 a určíme známým způsobem jeho maticový popis D (2)

I1

RD

G

(1)

S

RG RS2

(3)

RS1 (4)

Obr. 39: Signálové schéma struktury z obr. 34 (buzení proudem I1)

1 (G) 2(D) 3(S) 4

1 (G) GG (gm) (-gm) -GG

2(D)

3(S)

4

GD + (gd) (-gd)

-GG U1 (-gm - gd) ∙ U2 = GS1 + (gm + gd) -GS1 U3 -GS1 GS1 + GS2 U4

I1 0 0 0

Pomocí Cramerova pravidla určíme napěťový přenos modelu:  R  g  g m RD 1  S 2   1  d  RG  g m  U2   U1 1  (g m  g d )  (RS1  RS2 )  g d RD

Po dosazení konkrétně získaných hodnot v daném pracovním bodě dospějeme k výsledku U 2 U1 = - 4,046. Pro běžné poměry RS 2 « RG ; g d « g m  se vztah zjednoduší na tvar g m RD U2  U1 1  g m RS1  RS 2   g d RD

což vede pro stanovené hodnoty k výsledku U 2 U1 = - 4,069.

 35

Určete napěťové a proudové zesílení, vstupní a výstupní impedanci kaskádního zapojení dvou tranzistorů z obr. 40 (při výpočtu zanedbejte vliv vazebních kapacitorů). Vlastnosti tranzistorů jsou: FET (T1) : BJT (T2) :

IDSS = 10 mA, Up = - 3,5 V a UA = 250 V. β = 150, UA = 350 V

Hodnoty odporů v zapojení jsou: RG = 1M Ω 72


RD = 1k5 Ω RS = 130 Ω RE = 2k7 Ω Rz = 2k2 Ω UCC = 15 V

UCC ID RD Ri

U1

C1

G

T1 D

UBE

S

RG

ss ≈ 0 V

T2 B

UDS RS

UGS

C UCE E C2

RE

RZ

Obr. 40: Schéma k příkladu 35

 Řešení: Abychom mohli určit admitanční popis tranzistorů T1 a T2, musíme určit jejich pracovní body. Pro danou konfiguraci tranzistoru T1 (pro stejnosměrné poměry) platí: ID = IDSS∙  1  U GS U P 2

současně platí, že US = - UGS (proud řídící elektrodou G, a tedy i odporem RG, je prakticky nulový) a ID = U S R S  U GS R S

Po dosazení dostaneme rovnost  U GS 130  10  103 1  U GS  3,5

2

Po dalších úpravách dostáváme kvadratickou rovnici, jejímž řešením je UGS = - 0,7833 V. Nyní již můžeme určit pracovní proud ID tranzistoru T1: ID = 10  103  1 - 0,7833 3,52  6,0249 mA

Nyní umíme nakreslit náhradní schéma pro stanovení pracovního bodu tranzistoru T2 – obr. 41.

T2

RD

B

IB 6,025 mA

UCC

IC

6,025 mA + IB C

UCE E

UBE

IE Re

Obr. 41: Náhradní schéma pro určení pracovního bodu tranzistoru T2 Podle 2. Kirchhoffova zákona platí:





UCC = 1500  6,025 103  I B + UBE + RE∙IE

význam všech symbolů je zřejmý z obr. 41. Odporem RD = 1500  protéká proud ID = 6,025 mA i proud IB (bázový proud tranzistoru T2; 1. Kirchhoffův zákon). Emitorový proud IE = IB + IC je dán součtem proudu 73


bázového a kolektorového, přičemž platí IC = ∙IB a tedy i IE = ( + 1)∙IB. Po dosazení za IE dostaneme pro dané poměry





15 = 1500  6,025 103  I B + UBE + RE∙ ( + 1)∙IB

a po algebraických úpravách dále platí



IB = 15  1500 6,025 103  U BE

 1500 Re    1

Uvažujeme-li UBE  0,7 V, dostáváme





IB = 15  1500 6,025 103  0,7 1500  2700 151 = 12,86 A

a tedy i hodnotu proudu kolektorového IC = ∙IB = 150∙12,86∙10 -6 = 1,94∙10-3 A = 1,94 mA

V tomto okamžiku je vhodné zkontrolovat i pracovní bod tranzistorů: T2: UCE  15 - 2700∙IC = 9,762 V – to je správně, napětí mezi kolektorem a emitorem je určitě větší než je napětí saturační, tranzistor je v aktivní oblasti. T1: U DS  15  1500 I D  I B   RS I D  = 15  1500 6,025 103  12,86 106   6,025 103  130  5,36 V. U FETu musíme ověřit, zda jde o lineární oblast (zde se nazývá saturační oblastí – nezaměňovat se saturací bipolárních tranzistorů), zda platí, že UDS  UDSP = UGS - UP = -0,7833 - (-3,5) = 2,717 V

– podmínka je splněna, napětí mezi vývody D a S je dostatečné, vztah pro proud ID byl použit oprávněně. Oba tranzistory se nacházejí ve vhodné pracovní oblasti, jejich malosignálové vlastnosti lze definovat admitančními maticemi. Pro T1 (FET) platí známé vztahy – viz vztah (6.25) – [1 – kap. 6.2.3] g m1 

2I D 2  6,025 10 3   4,435 mS U GS  U P  0,7833  3,5

rd 1  1 g d 1  U A I D  250 6,025·103  41,49 k

Matice definující malosignálové vlastnosti T1 v daném pracovním bodě tedy je G G D S

0 gm1 -gm1

D

S

0 gd1 -gd1

0 -gm1-gd1 gm1+gd1

a po dosazení určených hodnot obdržíme pro T1 matici v podobě G G 0 D 4,435∙10-3 S -4,435∙10-3

D 0 24,1∙10-6 -24,1∙10-6

S 0 -4,459∙10-3 4,459∙10-3

Chceme-li i u BJT (T2) respektovat vliv Earlyho napětí UA (konečnou strmost charakteristik tranzistoru), musíme se vrátit ke struktuře na obr. 39 a obr. 40. Mezi kolektor a emitor je nutné rovněž připojit odpor – obr. 42 – 74


rd2  UA /ICQ

který „strmost“ modeluje, ICQ je kolektorový proud v pracovním bodě (klidový proud). Pro dané podmínky obdržíme rd2  350 1,94 103 = 181,35 k. Admitanční matici určíme z poměrů na obr. 42 - signálový model. (2) C i2 iC

i1

(1) B

0V

iE

id

rE

rd ≈ UA/ICQ

u1 E

Obr. 42: Signálové schéma BJT doplněné o vliv rd u1  re i1, i1  ie   Nyní můžeme sestavit matici pro BJT B B C E

C

E 0 gd - gd

ge/ ge -ge/ - ge

-ge/ - ge - gd ge/ + ge + gd

Pro dané parametry platí (  » 1) re2  U T I CQ = 26  103 1,94 103 = 13,4  = 1 g e . Po dosazení určených a daných hodnot obdržíme admitanční matici tranzistoru T2 (v daném pracovním bodě) B B 497,5∙10-6 C 74,63∙10-3 E - 75,127∙10-3

C

E - 497,5∙10-6 - 74,635∙10-3 75,133∙10-3

0 5,514∙10-6 - 5,514∙10-6

Model pro střídavé signály je nakreslen na obr. 43. Vyznačíme uzly, sestavíme matici pasivních prvků a určíme koincidence. Budeme pracovat s obecnými maticemi a předpokládat vždy, že u T2 platí:    1 ; g e   g d ; g e   g e /  . Potom g e /   g e  g d  g e ;  g e /   g e   g e ;

D (4) B

Ri

(1)

(3)

G

E

S

I1

C

(5) Rg

Rs

Rd

Re

RZ

Obr. 43: Signálové schéma obvodu z obr. 40

75


Maticový popis signálového modelu na obr. 43 je (za daných zjednodušení, buzen pouze uzel 1 zdrojem proudu I1): 1 2(E) 3(G) 4(D,B) 5(S) 1 Gi 0 -Gi 0 0 U1 2(E) 0 Ge+GZ+ge 0 -ge 0 U2 3(G) -Gi 0 Gi+Gg 0 0 ∙ U3 4(D,B) 0 gm1 -gm1- gd1 U4 -ge/ Gd+ge/+gd1 5(S) 0 0 -gm1 -gd1 GS+gm1+ gd1 U5

=

I1 0 0 0 0

Při řešení tohoto matematického modelu lze výhodně pracovat s algebrou determinantů - např. 1. Jestliže si uvědomíme, že zápis není nic jiného než formálně zapsaný systém lineárních rovnic, pak sečtením libovolných řádků se nic nezmění – k oběma stranám rovnice vždy přičítáme stejné číslo (Gaussova eliminační metoda; uzlová napětí patří ke sloupcům – nesčítají se; budící proudy se sečítají – patří k řádkům). Takto si můžeme admitanční matici před výpočty zjednodušit. Například po přičtení řádku 5 (řádek 5 zůstává nezměněn) k řádku 4 obdržíme systém rovnic (se stejným řešením): 1 1 2 3 4+5 5

2 Gi 0 -Gi 0 0

3

0 Ge + GZ + ge 0 -ge/ 0

4

-Gi 0 Gi+Gg 0 -gm1

5

0 -ge 0 Gd + ge / -gd1

0 0 0 GS GS + gm1 + gd1

U1 I1 U2 0 ∙ U3 = 0 U4 0 U5 0

Dalším krokem by mohlo být přičtení řádku 1 k řádku 3 (řádek 1 zůstává nezměněn), zde se ovšem objeví budící proud I1 i ve 3. řádku, takže tento krok již nemusí být z hlediska náročnosti výpočtu jednoznačně výhodný: 1 1 2 3+1 4+5 5

2 Gi 0 0 0 0

3

0 Ge + GZ + ge 0 -ge/ 0

4 -Gi 0 Gg 0 -gm1

0 -ge 0 Gd + ge / -gd1

5 0 0 0 GS GS + gm1 + gd1

U1 I1 U2 0 ∙ U3 = I1 U4 0 U5 0

Pomocí Cramerových pravidel určíme, že přenos zkoumané struktury je U2  U1



Gi ge   G g  Gi Ge  GZ  g e



 g m1GS GS (Gd  g d1 )  Gd (g m1  g d1 )  (GS  g m1  g d1 ) 

Ge  G Z  Ge  G Z  g e

ge



Gi  4,04 G g  Gi

Náročným algebraickým úpravám (a zanedbáním) se snadno vyhneme, vzdáme-li se obecného popisu přenosu struktury a budeme od začátku pracovat s číselným modelem obou tranzistorů i struktury:

76


1 1 Gi

2(E) 3(G) 0 -Gi -3 0,37∙10 + 2(E) 0 0,45∙10 -3 + 0 75,13∙10 -3 3(G) -Gi 0 Gi+1∙10 -6 4(D,B) 0

4(D,B)

5(S) 0

0

U1

I1

-75,13∙10-3

0

U2

0

0 0 ∙ U3 = 0 -3 0,67∙10 + 0,5∙10 -4,46∙10 -3 U4 0 + 24,1∙10 -6 -6 -3 -3 -24,1∙10 7,69∙10 +4,46∙10 U5 0 -3

-0,5∙10 -3

4,44∙10 -3

0

-4,44∙10 -3

5(S) 0

Přičteme-li nyní k řádku 1. řádek 3. a k řádku 4. řádek 5., obdržíme maticový popis struktury v následující podobě: 1 2 3 4 5 1+3 0 0 1∙10 -6 0 0 -3 -3 2 0 75,95∙10 0 -75,13∙10 0 3 -Gi 0 Gi+1∙10 -6 0 0 4+5 0 -0,5∙10 -3 0 1,17∙10 -3 7,69∙10 -3 5 0 0 -4,44∙10 -3 -24,1∙10 -6 12,15∙10 -3

∙

U1 U2 U3 U4 U5

=

I1 0 0 0 0

Přímou aplikací Cramerových pravidel určíme, že přenos struktury je nyní určen vztahem (mimo zaokrouhlování nejsou učiněna další zanedbání):  I 1Gi .2,57.106 U2    4,22 Gi / (Gi  1  10 6 ) U1 I 1(Gi  1  10 6 ).0,609.106

Tento výsledek odpovídá předchozímu řešení, kde byla ovšem udělána některá zjednodušení. Vstupní impedanci můžeme určit jako podíl napětí a proudu uzlu 1 (Cramerovo pravidlo): Z vst  U1 I1  I1 D11 D I1  D11 D

kde D11 je subdeterminant vzniklý vynecháním prvního řádku a prvního sloupce a D je determinant matice. V našem případě by byla vynaložená námaha zbytečná, je zřejmé, že platí: Zvst  Rg.

Formálně bychom mohli určit i zde výstupní odpor Ro2 uzlu 2 tak, že obvod budeme budit pouze do uzlu 2 proudem I2, určíme napětí U 2' a potom Ro 2  U 2' / I 2 , determinant systému (matice) se nezměnil. Můžeme však vyjít i z vlastností emitorového sledovače, v jehož bázovém obvodu je odpor Rd a výstupní odpor tranzistoru T1. Výstupní odpor T1 je





RoT1  rd 1  RS 1  g m1rd 1   41,49 103  130  1  4,435 103  41,49 103  65,41 k

V bázi emitorového sledovače je tedy (ze signálového hlediska) celkový odpor RV  Rd RoT1  1,466 k

Ze vztahu (23), (př. 29 – str. 59) dostaneme RVÝSTSK  re 

1  RV  β  re   1  1 β  re RE  RV  β  RE  77


 13,4

1  1466 150  13,4  22,82 Ω 1  1 150  13,4 2700  1466 150  2700

Zbývá ještě určit proudové zesílení struktury AI. Platí velmi jednoduchá úvaha: AI 

I ZATEZE I U U  ZATEZE  2  1 I1 U2 U1 I 1

Je zřejmé, že poměr : U 2 I ZATEZE odpovídá zatěžovacímu odporu RZ U 2 U1 je napěťový přenos struktury AU

U1 I 1  Rg  Ri

Proto můžeme dále psát, že AI 

 36

I ZATEZE 1 1   AU  Ri  Rg    4,04 106  1836 I1 RZ 2200

Na obr. 44 je diferenční zapojení se dvěma tranzistory (JFET) stejných vlastností: UP = - 4 V, IDSS = 8 mA, UA = 160 V. V základním pracovním bodě je ve vývodech „S“ zapojen zdroj proudu Io = 6 mA („znehodnocený“ paralelním odporem Ri = 40 k). Určete vlastnosti obvodu a činitel potlačení souhlasného signálu (CMRR  X). Napětí UDD = 15 V, UEE = - 15 V, hodnota odporů Rd = 3,3 kΩ UDD

Rd

Rd u01 u02 T1

T2

G ui1

G

~ UGS

I/ 0

Ri

~

ui2

Io

UEE

Obr. 44: Zapojení diferenčního stupně s tranzistory JFET

 Řešení: Nejdříve musíme určit pracovní bod. K tomu lze použít metodu půlení symetrického obvodu – situace je jednoduše naznačena na obr. 45. Výsledkem je, že stačí zkoumat pracovní bod jedné poloviny obvodu na obr. 44 – tedy situaci na obr. 46. K určení pracovního bodu lze zaujmout dvojí přístup:

78


I/0/2

I/ 0

I /0 Ri

≡

Io

Io/2 2Ri

2Ri

Io/2

2Ri

I0/2

2Ri

  UEE

Ri

UEE

Io

I/0/2

Io/2

UEE

Obr. 45: Rozpůlení symetrického obvodu pro zkoumání pracovního bodu UDD (15 V) Rd

RdId

ID UDD

D

G

UDS

S UGS

I/0/2 UI

2Ri

I0/2

UEE

Obr. 46: Ekvivalentní polovina obvodu z obr. 44 pro určení klidového pracovního bodu

UEE (-15 V)

 / 2  3 mA a) V základním pracovním bodě Q je fakticky nastaven proud IDQ – I DQ  I oQ

( I o  6 mA ). Odpor 2Ri se potom uplatňuje při změnách napětí US = - UGS následovně: UI = - UEE - UGS; - použité symboly viz obr. 46  2  I o 2  U IQ 2  Ri  I oQ

Mění-li se napětí UI (UGS) podle vztahu UI = UIQ  ΔU I , platí  U IQ  U I I oQ I o I U I  o    2 2 2Ri 2 2Ri

Poměry jsou znázorněny na obr. 47 ID 

I o 2

 I oQ

(3 mA)

2 UIQ

UI

Obr. 47: Grafické znázornění vlivu změny UI při nastavení ID = Io /2

79


b) V základním pracovním bodě UIQ je nastaven proud zdroje I o , tedy Io /2 = 3 mA. Potom je situace poněkud složitější, proud ID musíme určit  2  I o 2  U IQ 2  Ri  I DQ  I oQ

graficky je situace znázorněna na obr. 48. ID 

I o 2

 I oQ 2

UDS/(2Ri)

Io/2

(3 mA)

UI

UIQ

Obr. 48: Grafické znázornění vlivu změny UI při základním nastavení Io /2 = 3 mA Rozdíly ve výsledných hodnotách budou záviset na velikosti Ri. Pro velké hodnoty Ri se bude jednat o nepatrné odchylky. Uvažujme případ a): IDQ = IoQ /2 = 3 mA. Potom ze vztahu (6.20) – [1 snadno určíme, že 3  103  8  103  1  U GS -4

2

Po úpravách dostaneme řešením kvadratické rovnice pracovní napětí UGSQ = -1,551 V (druhé řešení nemá fyzikální smysl). Uvažujme nyní případ b), kdy je nastaven zdroj proudu tak, že platí Io /2 = 3 mA. Pro proud IDQ nyní platí: I DQ  I o 2  U I 2  Ri  – viz obr. 46 – přičemž UI = - UEE - UGS. Použijeme i nyní vztahu (6.20) – 1] a dosadíme za IDQ: 3  103  -U EE  U GS  2Ri  8  103 1  U GS -4

2

Po úpravách (pro poměry na obr. 46) dostáváme kvadratickou rovnici: 2 U GS  8,025U GS  9,643  0

jejím řešením je pracovní napětí UGSQ = -1,471 V a proto proud IDQ je roven hodnotě 3  10-3    15   1,471 80  103  = 3,206 mA. Další postup je již stejný, ať uvažujeme případ a) nebo b). My budeme uvažovat případ b), tedy IDQ = 3,206 mA a UGSQ = -1,471 V. Musíme zkontrolovat, zda se tranzistory nalézají ve správné pracovní oblasti – saturační, zda platí, že UDS(Q)  UGS(Q) - UP = -1,471 -(-4) = 2,529 V. Ze situace na obr. 46 snadno určíme (2. Kirchhoffův zákon), že UDS(Q) = UDD - RdIDQ + UGSQ = 15 -3300∙3,206∙10-3 - 1,471 = 2,966 V Podmínka je tedy splněna a můžeme určit malosignálové parametry. Ze vztahu (6.25b) – 1] určíme gm 

2I DQ U GSQ  U P



2  3,206 10 3  2,536 mS  1,471 (  4)

80


Ze vztahu (6.24) – [1] určíme rd  1 g d  U A I DQ  160 3,206 103  49,98 k

Nyní již můžeme sestavit maticový popis pro daný pracovní bod [1] – za daných předpokladů stejný pro oba tranzistory: G G D S

D

0 gm -gm

S 0 gd -gd

0 -gm-gd gm+gd

Signálový model obvodu na obr. 44 je uveden na obr. 49.

Rd

Rd Uo D1 G1

(1)

S2 I1

ui1

D2

(3) (4) S1

I2 (2) G2

(5)

~

~

ui2

Ri

Obr. 49: Signálový model diferenčního zesilovače s JFETy Za výstup budeme považovat rozdíl napětí Uo = U3 – U4, vstupními veličinami jsou napětí Ui1 a Ui2, proudy I1 a I2 jsou prakticky nulové. Sestavíme maticový popis struktury s tím, že formálně považujeme za zdroje signálu proudy I1 a I2 („incidují“ pouze prvky téhož tranzistoru; ne tedy např. D1 – G2): 1(G1) 2(G2) 3(D1) 4(D2) 5(S1,S2)

1(G1) 2(G2) 3(D1) 4(D2) 5(S1,S2) 0 0 0 0 0 Ui1 0 0 0 0 0 Ui2 gm 0 Gd + gd 0 -gm - gd ∙ U3 0 gm 0 Gd + gd -gm - gd U4 -gm -gm -gd -gd Gi + 2(gm+ gd) U5

=

I1 I2 0 0 0

V daném případě stačí řešit poslední tři rovnice systému, napětí Ui1 a Ui2 jsou totiž známá vstupní napětí. Platí tedy

gm 0 -gm

0 gm -gm

Gd + gd 0 -gd

0 Gd + gd -gd

Ui1 Ui2 -gm - gd ∙ U3 -gm - gd U4 Gi + 2(gm+ gd) U5

=

0 0 0

Nyní není obtížné převést členy systému obsahující známé veličiny na pravou stranu; výsledkem je upravený maticový popis: Gd + gd 0 -gd

0 -gm - gd Gd + gd -gm - gd ∙ -gd Gi + 2(gm + gd)

U3 U4 U5

=

-gmUi1 -gmUi2 gm (Ui1+ Ui2) 81


Určíme determinant matice D: D  Gd  g d   Gi Gd  g d   2  g m  g d 

V tomto okamžiku již můžeme určit i rozdíl napětí U3 a U4 : U3 U4   g mU i1 

0

 g mU i2 Gd  g d g m(Ui1  U i2 )  gd

 gm  gd

Gd  g d

 gm  gd Gi  2(gm  g d )

0  gd

D

 (Ui1  U i2 )



 g mU i1

 gm  gd

 g mU i2  gm  gd g m(Ui1  U i2 ) Gi  2(gm  g d ) D

 gm Gd  g d

Přenos struktury můžeme upravit do formálního tvaru a vyčíslit pro dané poměry diferenční zesílení Adif: Adif 

U3 U4 Rd rd 3,3  103  50  103  gm  2,536 10 3  7,851 U i1  U i 2 Rd  rd 3,3  103  50  103

Je možné určit i zesílení pro nesymetrický výstup, tedy určit přenosy U 3 U i1  U i 2  a U 4 U i1  U i 2  . Jde vlastně o mezikrok předchozího výpočtu. Pomocí Cramerova pravidla určíme napětí U3 a napětí U4: U3 

 gm  Gd  g d

 Adif

U4 

1 2

Gd g m  g d  Gi G d  g d

1 1 2

 gm  Gd  g d

 Adif

1



1 1 2


(Ui1  U i2 )  g m  2  (Gd  g d )

 U i1  (U i1  U i2 ) 

1 1 2

 U i1 

U i 2 

Adif 2



Adif 2



1

Gi G d  g d  2Gd g m  g d



1 G G  gd 1 i  d 2Gd g m  g d

(Ui1  U i2 )  g m  2(Gd  g d )

 U i 2  (U i1  U i2 ) 

1

1 G G  gd 1 i  d 2Gd g m  g d



1 G G  gd 1 i  d 2Gd g m  g d

Ideálně platí, že Ri  , tedy Gi  0, potom z uvedených vztahů obdržíme vztahy mnohem jednodušší: U 3  U i1  U i2   Adif 2 U 4   U i1  U i2   Adif 2

Nyní přistupme k výpočtu potlačení souhlasného signálu, tedy ke zkoumání stavu, kdy platí, že Ui1 = Ui2 = Ui. Je zřejmé, že za popisované situace (ideální shoda obou tranzistorů v daném pracovním bodě), je mezi uzly 3 a 4 napětí Uo = 0, souhlasný signál je tedy potlačen absolutně. V praxi však tyto ideální podmínky nejsou nikdy splněny. 82


Můžeme ale posoudit nesymetrické výstupy (proti vztažnému uzlu, zemi). Zkoumejme například výstupní napětí U3 pro Ui1 = Ui2 = Ui: U 3  Adif

 Adif

 U i  U i  U i  

1 G g  gd 1 2 d  m Gi Gd  g d

1 1 2

Gd g m  g d  Gi Gd  g d

Adif 2



1 G G  gd 1 i  d 2Gd g m  g d



U i

Tato složka představuje neužitečné souhlasné zesílení. Druhá složka ve výrazech pro U3 a U4 definuje užitečné diferenční zesílení. Činitel potlačení souhlasného signálu X je definován poměrem užitečná /neužitečná (složka): Adif U3 U i1  U i 2 X U3 Ui



1  2

1 2

1 Gi G  gd 1  d 2Gd g m  g d 1 Adif Gd g m  g d 1 2  Gi Gd  g d

2 



Gd g m  g d  Gi Gd  g d 1   G G  gd 2 1 i  d 2Gd g m  g d 1 2



Ri 1  g m rd  Rd 1  rd Rd

 R 1  g m rd 1  1  2 i   Rd 1  rd Rd

  

Pro uváděné poměry obdržíme

X

1  2

1 2

40  103 1  2,536 10 3  50  103  3,3  103 1  50  103 3,3  103

 40  10 1  2,536 10  50  10 1  1  2   3 1  50  103 3,3  103  3,3  10 3

3

3

  



1 192,82   95,91 2 1  1 191,82

Pro vyjádření v dB je obvyklý symbol CMR(R) = 20 logX = 20 log 95,91 = 39,64 dB

Pro nesymetrický výstup z uzlu 4 obdržíme stejný výsledek. Zbývá dořešit problém výstupního odporu mezi uzly (3) a (4). Ten je možné zjistit (ve smyslu Théveninovy věty) z výstupního napětí Uon naprázdno (RZ mezi uvedenými uzly je nekonečně velký, což je dříve řešený stav) a z proudu Iok nakrátko (RZ = 0 – uvedené uzly jsou zkratovány). Do obvodu na obr. 49 doplníme odpor RZ mezi uzly (3) a (4). V matici se to projeví tak, že doplníme vodivost GZ = 1/RZ do polí (3,3) a (4,4) a hodnotu – GZ do polí (3,4) a (4,3). Všechny ostatní kroky zopakujeme jako v předchozí části, takže snadno získáme popis struktury se zahrnutím vlivu RZ: 3 4 5 3 Gd + GZ + gd -GZ -gm - gd U3 -gmUi1 4 -GZ Gd + GZ + gd -gm - gd ∙ U4 = -gmUi2 5 -gd -gd Gi + 2(gm + gd) U5 gm(Ui1 + Ui2) 83


Systém rovnic se nezmění, přičteme-li k 5. řádku řádek 3. a 4.; získáme tím na pravé straně jednu nulu, což je při úpravách vždy výhodné: Gd+GZ+gd -GZ Gd

-GZ Gd+GZ +gd Gd

-gm-gd -gm-gd Gi

U3 ∙ U4 = U5

-gmUi1 -gmUi2 0

Pomocí Cramerova pravidla dostaneme: Uo U3 U4   Adif  U i1  U i 2 U i1  U i 2

 g m  Gd  g d   Gi  2  g m  g d   Gd 



2Gd  g d GZ Gi  4g m  g d Gd GZ  Gd  g d  Gi  2Gd  g d g m  g d Gd 2

Výstupní napětí naprázdno stanovíme pro RZ   , tedy GZ = 0 : U on  U i1  U i 2

 g m  Gd  g d   Gi  2  g m  g d   Gd 

Gd  g d 

2

 Gi  2  Gd  g d   g m  g d   Gd



gm Gd  g d

a to souhlasí s předchozí analýzou. Platí proto, že napětí naprázdno je dáno vztahem gm  U i1  U i 2  Gd  g d

U on  

Proud zátěží Io je definován Ohmovým zákonem a jeho zkratovou hodnotu Iozk proto jednoduše určíme ze vztahu (RZ  0, GZ = 1/RZ   ) I ozk  lim U o  GZ   lim  GZ 



GZ 

 g m  Gd  g d   Gi  2  g m  g d   Gd  U i1  U i 2   GZ

2Gd  g d GZ Gi  4g m  g d Gd GZ  Gd  g d  Gi  2Gd  g d g m  g d Gd 2

  g m  U i1  U i 2  



Gd  g d   Gi  2  g m  g d   Gd 2  Gd  g d   Gi  4  g m  g d   Gd

Zbývá stanovit výstupní odpor Rout 



U on  I ozk

gm  U i1  U i2  Gd  g d Gd  g d   Gi  2  g m  g d   Gd  g m  U i1  U i2   2  Gd  g d   Gi  4  g m  g d   Gd 

2 1  2  Rd  Gd  g d 1  Rd rd

Výstupní odpor ovšem můžeme určit i jiným způsobem. Můžeme položit v lineárním signálovém modelu Ui1 = Ui2 = 0 a vnutit systému napětí do uzlů (3) a (4) – viz obr. 50. Vzhledem k tomu, že pracujeme s napěťovou metodou, předpokládáme při sestavování modelu, že formálně jsou buzeny uzly (3) a (4) proudy I3 a I4. To nám umožní použít známý jednoduchý algoritmus (uzly (1) a (2) jsou nyní uzemněny, odpovídající řádky a sloupce se prostě škrtají): 84


Uo

I3

I4

Rd

Rd

(4)

Uo

(3)

I4

I3 U3

U4

G2 (5) Ri

Obr. 50: Signálový model pro určení Ro 3 3 4 5

4 Gd + gd 0 -gd

0 Gd + gd -gd

5 -gm - gd -gm - gd Gi + 2(gm + gd)

∙

U3 U4 U5

=

I3 I4 0

Definujeme-li napětí (mezi uzly 3 a 4) jako Uo = U3 - U4 (U3 a U4 jsou uzlová napětí vůči referenčnímu uzlu), platí vždy pro poměry na obr. 45, že I4 = -I3, ekvivalentní odpor zesilovače mezi uzly 3 a 4 je určen proudem I3 odebíraným ze zdroje napětí Uo: Rout  U o I 3

Podmínku I4 = - I3 zahrneme do uvedeného maticového modelu: Gd + gd 0 -gd

0 Gd + gd -gd

-gm - gd -gm - gd Gi +2(gm + gd)

∙

U3 U4 U5

=

I3 -I3 0

Napětí Uo nyní pomocí Cramerova pravidla snadno určíme jako: Uo  U3  U 4

Nyní je možné stanovit ekvivalentní výstupní odpor jako Rout  

Uo 2  Gd  g d   Gi  4  g m  g d   Gd   Gd  g d   Gd  g d   Gi  2  g m  g d   Gd  I3 2 1  2  Rd Gd  g d 1  Rd rd

Toto je výsledek identický s postupem předchozím. Všechny správné postupy by měly vést při řešení stejného problému i ke stejným výsledkům.

 37

Pro Darlingtonovo zapojení na obr. 51 (BiFET  BJT + FET) je stejnosměrné napětí UG nastaveno tak, že stejnosměrná hodnota Uo výstupního napětí je 2,5 V. Hodnoty prvků v obvodu jsou: RD = 1 kΩ, RS = 820 Ω, UDD = 5 V. Parametry tranzistorů jsou: BJT:  = 200 UA = 150 V FET: UP = - 2V IDSS = 5 mA UA = 200 V a) Určete potřebnou hodnotu UG 85


b) Určete napěťový přenos obvodu na obr. 51 UDD RD IDD T1 D

G

ID

S IB

Ui UG

~

Uo

C

IC T2

B

UGS E

IS

=

UBE RS

Obr. 51: Darlingtonovo zapojení tranzistoru FET a BJT v zapojení SE

 Řešení: Nejdříve určíme pracovní body tranzistorů. Ze základních zákonů určíme pracovní proud IDD odporem RD: I DD  U DD U o  Rd  2,5 1  103  2,5 mA. Předpokládejme dále, že úbytek napětí UBE mezi bází a emitorem tranzistoru T2 je 0,6 V. Potom platí (viz obr. 51; aplikace 1. Kirchhoffova zákona): I DD  I D  I C  I S  I B   I C

Dále platí, že I S  U BE RS

a

I B  IC 

a tedy i I DD  U BE RS  I C 1  1  

Po úpravě obdržíme vztah pro určení proudu kolektorem tranzistoru T2 (BJT):





I C  I DD  U BE RS   1  1    2,5  103  0,6 820 1  1 200  1,76  103 mA

Dále určíme proud ID vývodem D tranzistoru T1 (FET) I D  I DD  I C  2,5  103  1,76  103  0,74 mA

Nyní jsme již schopni určit napětí UGS nutné pro nastavení proudu ID. Použijeme vztah (6.20) – [1, přímo dosazujeme konkrétní hodnoty: 0,74 103  5  103  1  U GS  2

2

Získáváme tak kvadratickou rovnici 2 U GS  4UGS  3,408  0

jejímž řešením získáme odpovídající hodnotu napětí UGS = - 1,23 V (druhý kořen nemá fyzikální význam). Aplikací 2. Kirchhoffova zákona dospějeme k potřebné hodnotě stejnosměrného napětí (symbolický zdroj signálu Ui představuje z hlediska nastavení pracovního bodu zkrat) UG = UGS + UBE  - 1,23 + 0,6 = - 0,63 V

86


Je vhodné zkontrolovat i oprávněnost použití vztahu pro určení napětí UGS, tedy ověřit, zda tranzistor T1 pracuje skutečně ve správné pracovní oblasti. Musí platit, že stejnosměrné napětí UDS mezi vývody D a S je větší než napětí UGS - UP = -1,23 - (-2) = 0,77 V. Za daných podmínek můžeme napětí UDS určit opět z 2. Kirchhoffova zákona: UDS = Uo - UBE  2,5 - 0,6 = 1,9 V

Podmínka je splněna, napětí UGS a UG byla určena správně. Můžeme tedy pro T1 (FET) určit, že g m1  2  I D U GS  U P   2  0,74 103  1,23  2  1,922 mS

rd 1 

UA ID



200  270 k = 1 g d 1 0,76  10 3

Zanedbáme-li (gm1 » gd1), dostáváme G G D S

0 gm1 -gm1

D

S 0 gd1 -gd1

G

0 -gm1 - gd1 gm1 + gd1



G D S

D

0 gm1 -gm1

S 0 gd1 -gd1

0 -gm1 gm1

Pro T2 (BTJ) můžeme určit g e  1 re  I C 26  103  1,76 103 26  103  67,69 mS rd 2  1 g d 2  U A I C  150 1,76  103  85,23 kΩ

Admitanční matice tranzistoru T2 tedy je B C E B 0 ge/ -ge/ C ge gd2 - ge- gd2 E -ge -ge/ -gd2 ge+ge/+gd2

= » 1; ge » gd2

B B ge/ C ge E -ge

C 0 gd2 - gd2

E -ge/ - ge ge

Na obr. 52 je signálový model zapojení i s vyznačenými uzly. Zdrojem signálu je zdroj napětí Ui  U1; za dané situace lze uvažovat, že vstupní proud (proud do uzlu 1) je nulový, I1 = 0. Sestavíme maticový popis, který modeluje danou situaci; pracujeme se zjednodušenými maticemi T1 a T2 (Gd = 1 Rd ; GS = 1 RS ): 1, G 1, G 0 2, D, C gm1 3, S, B -gm1

2, D, C 3, S, B 0 0 Gd + gd1 + gd2 -gm1 + ge -gd1 GS + gm1 + ge/

∙

U1 U2 U3

=

I1 = 0 0 0

Napětí U1 = Ui je známé vstupní napětí, není je potřeba řešit. Přeskládáním rovnic je převedeme na pravou stranu, první rovnice nemá význam, škrtá se. Pro dvě neznámé veličiny (U2 a U3) tak zůstává systém dvou rovnic (naznačen postup): gm1 -gm1

Gd + gd1 + gd2 -gd1

-gm1 + ge GS + gm1 + ge/

∙

U1 U2 U3

=

0 0

87


Gd + gd1 + gd2 -gd1

(1)

-gm1 + ge GS + gm1 + ge/

S

I1 Ui

U2 = Uo U3

=

-gm1Ui gm1Ui

(2)

D

G

∙

C B

(3)

E

~

RS

Rd

Obr.: 52 Signálové schéma obvodu z obr. 51 Napětí Uo určíme pomocí Cramerových pravidel, pro přenos U o U i obdržíme: platí - li nyní

Uo  g m1  GS  g e  1  1     U i Gd  g d1  g d2   GS  g m1  g e    g d1  g e  g m1  

g d1, 2   Gd ;

1 β

 1

 g m1  GS  g e  Gd GS  g m1  g e    g d 1  g e  g m1 

Po dalších úpravách dospějeme ke vztahu Uo R  d  Ui re

1  re / RS  1 R 1  1   1     d  RS   re  g m1 rd 1

 1     1   g m1  re 



po dosazení získaných a daných hodnot

  67,692 1,018 1,938  35,558

Možný způsob získání napětí UG pro nastavení pracovního bodu je znázorněn na obr. 53 – ovšem pro případ, kdy je k dispozici záporné napájecí napětí. Pokud tomu tak není, lze použít některého z dnes již dostupných integrovaných měničů pro vytvoření záporného napětí. Vliv změny hodnoty napětí UG na pracovní bod, a tím i na chování obvodu, lze posoudit snadno, předpokládáme-li, že oba tranzistory jsou vždy ve správném pracovním režimu (a to vždy kontrolujeme). Ui

1G -5 V

33k 6k8

Obr.: 53 Vytvoření napětí UG Pro stejnosměrné poměry platí, že UG = UGS + UBE (obr. 51), tedy UGS = UG - UBE 88


Potom lze určit, že proud ID je určen upraveným vztahem – (6.20) 1]  U  U BE I D  I DSS   1  G UP 

  

2

Dále můžeme určit proud báze IB a proud kolektoru IC: I B  I D  I S  I D  U BE RS

I C    I B    I D  U BE RS 

Proud IDD odporem Rd je roven součtu shora uvedených proudů I DD  I D  I C    1  I D   U BE RS

Nyní je možné určit i stejnosměrnou hodnotu napětí Uo Uo = UDD – Rd ∙IDD

(a zkontrolovat správnost pracovních bodů obou tranzistorů). Tím jsou získány všechny potřebné údaje pro určení linearizovaných modelů (matic) obou tranzistorů. Dosadíme-li UG = -0,630 V, dostaneme výsledky identické s výsledky předchozími. Dosadíme-li např. UG = -0,628 V, dostáváme postupně: ID = 0,745 mA, IC = 2,655 mA, IDD = 3,4 mA, Uo(SS) = 5 - 3,4 = 1,6 V. Nepatrná změna vyvolala dalekosáhlé následky; uspořádání obvodu vede k velké hodnotě proudu do báze T2, proud IC významně vzrostl. Úplně stejnou změnu vyvolá změna napětí UBE o 2 mV (na 0,598 V) při UG = -0,630 V. Tento způsob napájení obvodu (stanovení pracovního bodu) není proto pro praxi příliš výhodný; vhodnějším způsobem je vytvoření automatického předpětí na odporu – např. obr. 54. Blokovací kondenzátor vhodné velikosti zkratuje odpor RE pro střídavé signály, takže i zde platí signálové schéma na obr. 52. Nezmění-li se pracovní body tranzistorů, nezmění se ani již učiněné signálové úvahy. UDD IDD Rd

Ui

T1 D

G

S IB

IB

C

IC T2

B

UGS Rg

E

RS

UBE IS

RE

Cf

Obr.: 54 Obvod s upraveným nastavením pracovního bodu Předpokládejme, že i nyní chceme dodržet pracovní proudy (uvedeny přesnější hodnoty) IDD = 2,5 mA, ID = 0,7405 mA, IC = 1,7595 mA, IS = 0,7317 mA. Zřejmě platí, že (obr. 54) celý proud IDD protéká i odporem RE. Proto U GS  U BE  R E I DD

Současně již víme, že potřebné UGS = - 1,2303 V. Proto můžeme dopočítat, že RE   U GS  U BE  I DD  1,2303 - 0,6  2,5  103  252,12  89


Napětí mezi D - S a C - E poklesnou proti předchozímu stavu o hodnotu 252,12 2,5  103  0,6303V, oba tranzistory však zůstávají v aktivní pracovní oblasti. Jakékoliv změny IDD se projeví i změnou UGS. Růstu IDD odpovídá pokles UGS (růst modulu; záporné číslo), T1 se zavírá, IDD klesá; jedná se o zápornou zpětnou vazbu, která stabilizuje pracovní bod. Odvoďme vztahy, které nám umožní posoudit chování pracovního bodu při změnách poměrů v obvodu. Platí:



I D  I DD  I C  I C    I B  I DD    I B  I B  I D  U BE RS  I DD    I D  U BE RS



Nyní můžeme určit, že I D  1     I DD   U BE RS

Ze vztahu U GS  U BE  RE  I DD určíme, že I DD   U GS  U BE  RE

Z posledních dvou vztahů vyplyne ID 

 U GS U BE β  U BE    β  1  RE  β  1  RE  β  1RS

Současně pro T1 musí platit, že  U I D  I DSS   1  GS UP 

  

2

Proto platí, že  U I DSS  1  GS UP 

2

  U GS U BE   U BE       1  RE   1  RE   1  RS 

Po úpravách posledního vztahu dospějeme ke kvadratické rovnici, která nám umožní určit napětí UGS pro dané poměry v obvodu:   UP 2 2 U GS  U GS  U P 2   UP   β  1  R I E DSS  

 U BE  1   β  1  RE I DSS 

 β  U BE 0  β  1  RS I DSS 

Pokud jsme řešili problém správně, musíme pro RE = 252,12  dospět opět ke stejné hodnotě, tedy UGS = - 1,2303 V. Po dosazení (UP = -2 V, IDSS = 5 mA, UBE = 0,6 V,  = 200, RS = 820  ) obdržíme kvadratickou rovnici 2 U GS  U GS  4,015787 3,427018 0

Fyzikálně oprávněným řešením je skutečně hodnota UGS = -1,23032 V. Předpokládejme nyní shodu obvodu na obr. 54 ve všech parametrech kromě UBE; to poklesne o 2 mV, tedy na hodnotu 0,598 V. Kvadratická rovnice bude mít tvar 2 U GS  U GS  4,015787 3,428928 0

Řešením je napětí UGS = -1,23155 V, proud ID tranzistorem T1 je proto nyní I D  5  103  1 - 1,23155 22  0,7381 mA

Proud odporem RS je I S  U BE RS  0,598 820  0,72927 mA 90


Proud do báze tranzistoru T2 je IB = ID - IS = 0,00883 mA

a kolektorový proud je IC = ∙IB = 1,766 mA

Celkový proud odporem RD je dán součtem proudů ID + IC = 2,504 mA a stejnosměrné napětí na výstupu zesilovače dosáhne za daných podmínek hodnoty Uo = UDD - Rd∙IDD = 2,496 V

To je podstatně výhodnější situace proti chování obvodu na obr. 51. Střídavé vlastnosti pro malé signály zůstaly téměř nezměněny (až na maximální rozkmit signálu, ten je nyní zmenšen). Obdobným postupem můžeme zkoumat vliv změny kteréhokoliv parametru obvodu na polohu pracovního bodu, tedy obecně na vlastnosti obvodu.

 38

Analyzujte strukturu z obr. 55a) (zapojení SE), jsou-li zadány hodnoty: RZ = 60 kΩ, RC  R Z 5  RC = 10 kΩ. Požadujeme zesílení AUCSE = -10, napájecí napětí UN = 12 V. UN

I1 IC R1 Ri

CV1

RC

UC

CV2

IB

Re  RE RE

UCE 0,6 V ui

IE RE

R2 UR2

UE

RZ

RE

R’E

Obr. 55: a) Základní zapojení zesilovače se společným emitorem – SE, na obr. jsou vyznačeny stejnosměrné poměry b) Úprava zapojení pro střídový signál

 Řešení: Nejdříve určíme stejnosměrný pracovní bod tranzistoru, jehož proudový zesilovací činitel β = 100. (Změny β = 100  20 nezpůsobí při daném návrhu žádné výražné změny pracovního bodu. Také změna napětí UBE (např. s teplotou) jsou uvedeným zapojením potlačeny.) Určíme odpor emitoru : RE = RC 10 = 1 kΩ Pak : U E  U N RE 2RC  RE   12  1 2  10  1  0,6 V I C  I E  U E RE  0,6 mA

91


I B  IC  

pro β  100

 6 μA

U N R1  R2   12 R1  R2   5,6 μA = 30 μA  R1  R2   12 30  106  400 kΩ

Volíme R1 + R2 = 300 kΩ a dopočítáme R2:

R2  U E  0,6  300  103 12  30 kΩ

určíme potom, že R1  R1  R2   R2  300  103  30  103  270 kΩ V praxi zvolíme R1 = 270 kΩ a místo R2 zapojíme proměnný odpor složený ze dvou částí – z odporu o hodnotě 22 kΩ a trimru s hodnotou 15 kΩ. Pracovní bod pak lze nastavit podle potřeby. Nyní můžeme odhadnout, že při pokojové teplotě (23˚C) je re  1 y21  U T I E  26  103 0,6  103  43 Ω 1 y21  h11E    re  4300 Ω pro   100

Další podrobný teoretický rozbor struktury nalezneme v [1] – kap. 6.1.1

 Řešení pomocí MATLABu: Grafické výsledky jsou uvedeny na obr.56. Rz = 60e3; Rc= 10e3; A = -10; UN = 12; beta = 100; UT = 26e-3; fpocet = 100; a = 0; b = 10; Re = Rc/10; Ue = UN*Re/(2*Rc+Re); Ie = Ue/Re; Ic = Ie; Ib = Ic/beta; R12 = 300; % Un/(R1+R2)  5.7e-6 → Un/(R1+R2)=30e6 → 12/30e6 = 400e3 = R1+R2, volím R1+R2 = 300e3 R2 = (Ue + 0.6)*R12/12; R1 = R12 - R2; re = UT/Ie; y21 = 1/re; h11e = beta*re; y11 = 1/h11e; Ge = 1/Re; Gc = 1/Rc; Ccb1 = 3e-12; freq = logspace(a,b,fpocet); for f = 1:fpocet A1(:,f) = (j*2*pi*freq(f)-(y21*Ge)/(Ccb1*(y21+Ge)))/(j*2*pi*freq(f)+Gc/Ccb1); end; pol1 = 1/(Rc*Ccb1); nula1 = ((Rc/Re)*1/(1+re/Re))*pol1; for f = 1:fpocet w1(:,f) = (j*2*pi*freq(f)-nula1); end; for f = 1:fpocet p1(:,f) = (j*2*pi*freq(f)+pol1); end; figure(1); 92


semilogx(freq,20*log10(abs(A1)),'LineWidth',1.5), grid figure(2); semilogx(freq,20*log10(abs(A1)),'LineWidth',1.5), grid

200

A 20 [dB] 18

150

16

250

100

14

AUCSE 50 [dB]

12

0

10

-50

8

-100

6

-150

4

-200

2

-250 0 10

10

2

10

4

10

6

10

8

10

10

0 0 10

10

2

10

4

10

6

10

8

10

10

Obr. 56: a) modulová charakteristika přenosu zesilovače pro kapacitu kolektor – báze Ccb1 = 3 pF – srovnej s obr. 6.5 na str. 80 v [1] b) modul napěťového zesílení pro různé hodnoty kapacity kolektor – báze: Ccb1 = 3 pF Ccb2 = 6 pF Ccb3 = 12 pF Ccb4 = 24 pF

 39

Analyzujte strukturu bootstrap (napěťový závěs) z obr. 57 UN RK

R1 II

RBO I u2

IBSS

Cv1

iBO

CV2

u1 CBO

u1

u3

u3 R2

UESS

RE

Obr. 57: Strukturu bootstrap pro potlačení vlivu R1 R2

 Řešení: Dělič R1, R2 zmenšuje vstupní odpor zapojení SE podstatným způsobem. Na obr. 57 je upravená struktura, která nežádoucí vliv paralelní kombinace odporů R1 R2 eliminuje. Využívá se skutečnosti, že napětí na emitoru je prakticky rovno napětí na bázi – viz hodnota přenosu AUESE, vztah (6.10) – kap.6.1.1 v [1]. Báze tranzistoru je stejnosměrně napájena z děliče R1, R2 přes doplňkový odpor RBO. Ten volíme tak, aby stejnosměrný proud báze IBSS nevytvářel podstatný napěťový úbytek, tedy musí být dodržena podmínka RBO∙IBSS « 0,6 + UESS V. Z hlediska střídavých sig93


nálů je odpor RBO připojen na napětí u3 pomocí kapacity CBO (do bodu II). Střídavý (signálový) proud odporem RBO je potom iBO  u1  u3  RBO 

u1 u  1  u3 u1   1  1  AUESE  RBO RBO

a ekvivalentní odpor bodu I (přes který teče signál k R1 R2 ) je nyní RBO u1   i BO 1  AUESE

RBO  RBO 1  RE re  1 1 1  re RE

V ideálním případě by pro AUESE = 1 bylo dosaženo nekonečně velké hodnoty. Energie střídavého signálu do děliče R1, R2 je nyní odebírána z místa energeticky ( - krát) bohatšího – t.j. z emitoru tranzistoru, přičemž ideálně je napětí signálu v bodech I a II stejné (u složitějších struktur lze bod II propojit přes kapacitu CBO i do jiného místa X, musí pouze platit uX = u1 a k dispozici musí být energie řádově větší než na vstupu struktury). Poznámka: Strukturu bootstrap lze zkoumat zcela obecně - obr. 58. Určíme, že pro idealizovaný zesilovač AB (jeho vstupní proud nechť je nulový) je ZVST  U1 I 1 

U1 U1  U1 AB ZB

 Z B 1  AB 

Je-li ZB připojen na stejné potenciály (AB = 1), platí vždy ZVST  . Zapojíme-li však například Z B  1 pCB , může být diskuse mnohem rozsáhlejší. Platí ZVST  1  pCB  1  AB 

ekvivalentní kapacita je CEKV  CB  1  AB 

Máme-li k dispozici invertující strukturu s elektronicky řízeným zesílením AB  0, potom platí AB   AB a C EKV  C B  1  AB



kapacita se zvětšuje s růstem absolutní hodnoty zesílení invertující struktury – jedná se o klasický Millerův jev. ZB IB AB U1

ABU1

Obr.58: Zobecněná struktura napěťového závěsu Pro neinvertující zesilovač je AB  0 a platí

94


C EKV  1  AB  

0

pro AB  1 (bootstrap)

C B pro AB  0

Kapacitu lze elektronicky řídit v rozmezí 0 až CB – např. pomocí převodníků D/A (digital./analog). Nebo ji lze řídit pomocí jiných struktur s řízeným zesílením (např. i pomocí analogových násobiček).

 40

Určete napěťové zesílení A(ω), vstupní impedanci ZIN(ω) a výstupní impedanci Zout(ω) struktury z obr. 59 jsou-li zadány hodnoty: Auo = 10, RB = 470 Ω, RC = 4k7 Ω,. IC = 1 mA, CCB = 5 pF, β = h21 = 100 a napájecí napětí Un = 12 V. Un RC CCB

R1

Cout

CB

R2 Ra Cin u1 Rb

Obr. 59: Zapojení k příkladu 40

5

Závěr

Předložená sbírka příkladů je pouze určitým výběrem z oblasti lineární elektroniky. Soubor příkladů lze rozšířit nejjednodušeji tak, že změníme parametry aktivních prvků v zapojení (a tím zkoumáme vliv těchto změn). K dalšímu studiu struktur lze použít libovolnou dostupnou literaturu a v ní uvedená lineární zapojení.

95


6

Literatura

[1] Punčochář, J.: Lineární obvody s elektronickými prvky. FEI, VŠB –TU Ostrava, 2002 (ISBN 80-248-0040-3) [2] Punčochář, J.: Zobecněná metoda uzlových napětí III. Katedra teoretické elektrotechniky FEI, VŠB –TU Ostrava, duben 1997 [3] Punčochář, J.: Operační zesilovače v elektronice. BEN – technická literatura, Praha 1999 (4. doplněné vydání, ISBN 80-86056-37-6) [4] Mohylová, J.: Využití programového prostředí MATLAB ve výuce předmětů TO I a TO II. XII. sešit katedry teoretické elektrotechniky, Albrechtice, listopad 1999 , str. 51-53, (ISBN 80-7078-731-7) [5] Mohylová, J.: Analýza EEG signálu v prostředí MATLAB. Seminář teorie obvodů (STO-6), Brno, září 1997, sborník str. 56-59 [6] Mohylová, J.: Sylaby Teorie obvodů I, II a III. Katedra teoretické elektrotechniky FEI, VŠB –TU Ostrava, 1997 - 2001 [7] MATLAB, The Language of Technical Computing, Version 5.2, The Math Works, Inc. 1998 [8] Huelsman, L. P., Allen, P.E.: Introduction to the theory and design of active filtrs. Mc. Graw – Hill, 1980 (rusky Radio svjaz, Moskva, 1984) [9] Punčochář, J.: Vliv vlastností reálného zesilovače na přenos některých zpětnovazebních systémů. Disertační doktorandská práce, Katedra elektroniky, FEI, VŠB –TU Ostrava, září 1995 [10] Punčochář, J.: Dynamické vlastnosti operačních zesilovačů a jejich orientační určení z katalogových údajů, Sdělovací technika č. 4, 1982, str. 123-127 [11] Biolek, D.: Úsporný popis obvodů s transimpedančními operačními zesilovači modifikovanou metodaou uzlových napětí. Seminář teorie obvodů (STO-5), Moderní směry výuky elektrotechniky a elektroniky, Sborník prací celostátní konference, Brno, říjen 1994 (Katedra elektrotechniky a elektroniky VA Brno a VTS VA Brno), str. 182-185 [12] Zíma, V., Braun, J., Žilka, Z.:Lineární obvody s aktivními prvky. SNTL, Praha 1976 [13] Rektorys, K. a kol.: Přehled užité matematiky. SNTL, Praha 1968

96

LINEÁRNÍ OBVODY S ELEKTRONICKÝMI PRVKY

Recommend Documents