3. Střídavé třífázové obvody Příklad 3.1. V přívodním vedení trojfázového elektrického sporáku na 3 x 400 V, jehož topná tělesa jsou zapojena do trojúhelníku, byl naměřen proud 6 A. Jak velký proud prochází topným tělesem, jak velký je odpor topného tělesa v jedné fázi za tepla, jak velký je příkon sporáku? Zadáno: Un = 3 x 400 V, I = 6 A, zapojení D, cosϕ = 1 Určit: If, Rf, P Řešení: Schéma zapojení I Rf
If Rf
U
Rf
U
6
If =
I
Rf =
U 400 = = 115,47 Ω I f 3,46
3
=
3
= 3,46 A
P = 3 ⋅ U ⋅ I ⋅ cos ϕ = 3 ⋅ 400 ⋅ 6 ⋅ 1 = 4152 W = 4,15 kW
Příklad 3.2 Elektrický průtokový ohřívač o příkonu 5 kW ohřívá vstupní vodu o teplotě θV = 5 °C. Určete teplotu vystupující teplé vody při průtoku vytékající vody a) 1 l / min b) 3 l / min Zadáno: P = 5 kW, θV = 5 °C, c = 1,163 Wh . kg-1 . K-1 Určit: θ2 když
Q=
P 60 ⋅ ∆θ ⋅ c
kde Q - průtok vody (l / min) P - tepelný příkon (W) ∆θ (θ2 – θ1) - zvýšení teploty (K) c – měrná tepelná kapacita vody (c = 1,163 Wh . kg-1 . K-1)
Řešení: když rozepíšeme a dosadíme
1
60 ⋅ (θ 2 − θ 1 ) ⋅ c =
P Q P 60 ⋅ θ 2 − 60 ⋅ θ 1 = Q⋅c P 60 ⋅ θ 2 = + 60 ⋅ θ 1 Q⋅c P θ2 = + θ1 Q ⋅ c ⋅ 60 a) θ1 = 76,65 °C b) θ1 = 28,88 °C
Příklad 3.3 El. třífáz. souměrný spotřebič zapojený do hvězdy má tyto jmen. parametry: Pn = 5000 W, Un = 3 x 400 V. Určete příkon a odebíraný proud při jeho připojení na napětí sítě 3 x 380 V. Zadáno: Pn = 5000 W, Un = 3 x 400 V, cosϕ = 1 Určit: P, I při Us = 3 x 380 V Řešení: Příkon P = 3 ⋅ U S ⋅ I f Odpor jedné fáze R f =
Uf If
Proud při U = 400 V P 5000 If = = = 7,225 A 3 ⋅U S 3 ⋅ 400
a z toho
Rf =
Uf If
If při U = 380 V Uf 380 If = = = 6,864 A Rf 3 ⋅ 32
Výkon při U = 380 V P = 3 ⋅ 380 ⋅ 6,864 = 4512 W Nebo ze vztahu P = 3 ⋅U ⋅ I = 3 ⋅U f ⋅ I f = 3 ⋅
U 2f Rf
=
U2 Rf
z toho vyplývá, že 2
2
2
380 380 P U ⇒ P380V = Pn ⋅ = 5000 ⋅ = = 4512 W Pn U n 400 Un
2
=
400 3 ⋅ 7,225
= 32 Ω
Příklad 3.4 Elektrický průtokový ohřívač o příkonu 4,5 kW je připojen k napětí 3 x 400 V. Určete odebíraný proud ze sítě a průtok vody, při kterém dojde k ohřevu vody o 40 °C, když Zadáno: P = 4,5 kW, Us = 3 x 400 V, cosϕ = 1, ∆θ = 40 °C, c = 1,163 Wh . kg-1 . K-1 Určit: I, Q Řešení:
P 60 ⋅ ∆θ ⋅ c
Q=
kde
Q – průtok (l / min) P – tepelný příkon (W) ∆θ – zvýšení teploty (K) c – měrná tepelná kapacita (c = 1,163 Wh . kg-1 . K-1) P = 3 ⋅ U f ⋅ I f = 3 ⋅U S ⋅ I f
If =
P 3 ⋅U S
a průtok
=
4,5 ⋅ 10 3 3 ⋅ 400
Q=
= 6,495 A
P 4,5 ⋅ 10 3 = = 1,612 l / min 60 ⋅ ∆θ ⋅ c 60 ⋅ 40 ⋅ 1,163
Příklad 3.5 El. průtokový ohřívač o příkonu 5 kW je určen k napájení z trojfázové sítě o napětí 3 x 400 V. Určete příkon ohřívače při jeho připojení na síť 3 x 380 V a odpojení jedné fáze (např. pojistkou) a to v případě zapojení topných článků do hvězdy. Zadáno: P = 5 kW, U = 3 x 400 V, spotřebič zapojen do Y Určit: Výkon při napětí 3 x 380 V a při přerušení jedné fáze, Řešení: U S2 400 2 P = 3 ⋅U f ⋅ I f = 3 ⋅U f ⋅ ⇒R= = = 32 Ω R P 5000 když R je odpor jedné fáze a U S = 3 ⋅ U f Uf
U 2 380 2 Při napětí 380 V je P = S = = 4512,5 W R 32 Při odpojení jedné fáze
Is R
I
US
R
I=
US 380 = = 5,9375 A 2 ⋅ R 64
Is Is
P = U s ⋅ I = 380 ⋅ 5,9375 = 2256,25 W
3
R
Příklad 3.6 Elektrický průtokový ohřívač o příkonu 5 kW je určen k napájení z trojfázové sítě o napětí 3 x 400 V. Určete příkon ohřívače při jeho připojení na síť 3 x 380 V a při odpojení jedné fáze (např. pojistkou) a to v případě zapojení spotřebiče do trojúhelníka. Zadáno: P = 5 kW, U = 3 x 400 V, cosϕ = 1 Určit: Výkon při napětí 3 x 380 V a při přerušení jedné fáze Řešení: P = 3 ⋅ U S ⋅ I S ⇒ I S = 7,22 A
IS
If =
3 Uf
Rf =
= 4,16 A U f = US ⇒ Rf =
ale
If
P = 3 ⋅U f ⋅ I f = 3 ⋅U S ⋅
U S 400 = = 96 Ω If 4,16
US 380 2 = 3⋅ = 4512 W R 96
Přerušení jedné fáze:
R US
Rtot =
R
R
R
⇒
R
I R
⇒
I
Rtot
I
96 ⋅ 192 = 64 Ω 96 + 192
I=
U S 380 = = 5,9375 A Rtot 64
P = U S ⋅ I = 380 ⋅ 5,9375 = 2256,25 W
Příklad 3.7 El. trojfázová pec, zapojená do trojúhelníku odebírá při připojení na síť s napětím Us = 400 V proud I = 15 A při účiníku cosϕ = 1. Jaký je příkon pece a kolik kWh spotřebuje při šestihodinovém chodu? Zadáno: Us = 400 V, I = 15 A, cosϕ = 1, zapojení D Určit: Příkon a spotřebu při šestihodinovém chodu. Řešení: P = 3 ⋅ U s ⋅ I ⋅ cos ϕ = 3 ⋅ 400 ⋅ 15 = 10400 W = 10,4 kW práce W = P ⋅ t = 10,4 ⋅ 6 = 62,4 kWh
4
Příklad 3.8 Na štítku trojfázového el. motoru, který je zapojen do trojúhelníku jsou údaje: PN = 5 kW, UN = 690/400 V, cosϕ = 0,8, ηN = 85 %. Jak velký je činný, zdánlivý a jalový příkon, proud ve vedení, jeho činná a jalová složka a proud v jedné fázi statoru? Zadáno: PN = 5 kW, UN = 690/400 V, cosϕN = 0,8, ηN = 85 %. Určit: Pp, S, Q, I, IP, IQ, If Řešení: PN
PpN =
Zdánlivý příkon
SN =
Jalový příkon
Q N = S N ⋅ sin ϕ N = 7,35 ⋅ 0,6 = 4,35 kvar
Proud ve vedení
IN =
ηN
=
5 = 5,88 kW 85 ⋅ 10 − 2
Činný příkon
PpN cos ϕ N
SN 3 ⋅U N
=
=
5,88 = 7,35 kVA 0,8
7,35 ⋅ 10 3 3 ⋅ 400
kde sinϕ = 1 − cos 2 ϕ
= 10,6 A
Činná složka proudu ve vedení Jalová složka proudu ve vedení
I P = I ⋅ cos ϕ = 10,6 ⋅ 0,8 = 8,48 A I Q = I ⋅ sin ϕ = 10,6 ⋅ 0,6 = 6,36 A
Proud ve vinutí jedné fáze
If =
I 3
=
10,6 = 6,12 A 1,732
Příklad 3.9 Stanovte průřez vodiče dlouhého 15 m pro trojfázový el. motor výkonu P = 3 kW na napětí 3 x 230 V. El. motor pracuje při účiníku cosϕ = 0,83 a s účinností η = 0,82. Dovolený úbytek napětí na přívodním vedení je 1 %. Zadáno: l =15 m, P = 3 kW, U = 3 x 400 V, cosϕ = 0,83, η = 0,82, ρ = 0,0178 ⋅ 10 −6 Ω ⋅ m Určit: průřez vodiče S Řešení: P 3 Příkon motoru Pp = = = 3,65 kW η 0,82 Pp I= = 11,04 A Vedením prochází proud 3 ⋅ U ⋅ cos ϕ Dovolený úbytek napětí je 1 %, tj. 4 V. Je to ovšem sdružený úbytek, který musíme přepočítat na fázový, abychom mohli vypočítat odpor a z něho průřez jedné fáze. ∆U 4 Proto ∆U f = = = 2,309 V 3 1,732 ∆U f takže vedení smí mít odpor R = = 0,209 Ω I
5
a z toho průřez vodiče (pro měď)
S=
ρ ⋅l R
=
0,0178 ⋅ 15 = 1,277 mm2 0,209
2
čemuž odpovídá průřez 1,5 mm .
Příklad 3.10 Jak velký je úbytek napětí v trojfázové přípojce délky 400 m s průřezem vodiče 25 mm2 (Cu) ke spotřebiči s příkonem P = 20 kW při napětí U = 3 x 400 V. Pozn.: Přihlížíme jen k odporu vedení. Zadáno: délka = 400 m, S = 25 mm2 , P = 20 kW, U = 3 x 400 V, cosϕ = 1, ρ = 0,0178 . 10-6 Ω.m Určit: ∆U Řešení:
RV = ρ ⋅
l 400 = 0,0178 ⋅ = 0,285 Ω S 25
IP proudu ve vedení
I P = I ⋅ cos ϕ =
P 3 ⋅U
=
20 ⋅ 10 3 = 28,87 A 1,732 ⋅ 400
Když uvažujeme cosϕ = 1 Úbytek napětí ∆U f = I P ⋅ RV = 28,87 ⋅ 0,285 = 8,23 V v procentech ∆u = 100 ⋅
∆U f
Uf
= 100 ⋅
8,23 = 3,58% 230
Příklad 3.11 Jaké jsou výkonové poměry trojfázového spotřebiče zapojeného do hvězdy tvořené impedancemi Z = 100 ∠30 °, v trojfázové síti 3 x 400/230 V, 50 Hz. Zadáno: Z = 100 ∠30 °, U = 3 x 400/230 V, f = 50 Hz Určit: S, P, Q Řešení: Velikost impedancí je Z = 100 Ω, jejich fáze je 30°, cos ϕ = cos 30° = 3 / 2 = 0,866 a sin ϕ = sin 30° = 0,5 . Uf 230 Proud tekoucí impedancí I = = = 2,3 A Z 100 Zdánlivý výkon S = 3 ⋅ U ⋅ I = 3 ⋅ 400 ⋅ 2,3 = 1593,48 A
Činný výkon P = 3 ⋅ U ⋅ I ⋅ cos ϕ = 3 ⋅ 400 ⋅ 2,3 ⋅ 0,866 = 1379,96 W Jalový výkon Q = 3 ⋅ U ⋅ I ⋅ sin ϕ = 3 ⋅ 400 ⋅ 2,3 ⋅ 0,5 = 796,74 var
Příklad 3.12 Transformovna závodu napájí tři haly 1, 2, 3 dle obr. 1, trojfázovou soustavou se sdruženým napětím US = 400 V, 50 Hz. V určitém čase ukazují měřící přístroje na rozváděči tyto činné
6
výkony a proudy odebírané jednotlivými halami, ve kterých jsou jen souměrné spotřebiče induktivního charakteru. P1 = 222 kW I1 = 365 A
P2 = 250 kW I2 = 390 A
P3 = 135 kW I3 = 205 A
Vypočítejte celkový účiník (cosϕ) závodu v místě jeho napájení a celkový proud, odebíraný ze sekundáru transformátoru. Zadáno: P1 = 222 kW, P2 = 250 kW, P3 = 135 kW, I1 = 365 A, I2 = 390 A, I3 = 205 A Obr. 1 22 kV
I3
I1
Hala 1 P1 = 222 kW
I2
Hala 2 P2 = 250 kW
I3
Hala 3 P3 = 135 kW
Určit: celkový účiník cosϕ, celkový proud I Řešení: Zdánlivé výkony hal
S1 = 3 ⋅ U ⋅ I 1 = 3 ⋅ 400 ⋅ 365 = 252,879 kVA S 2 = 3 ⋅ U ⋅ I 2 = 3 ⋅ 400 ⋅ 390 = 270,2 kVA S 3 = 3 ⋅ U ⋅ I 3 = 3 ⋅ 400 ⋅ 205 = 142,03 kVA účiníky jednotlivých hal P1 222 = = 0,8779 S1 252,879 P 250 cos ϕ 2 = 2 = = 0,926 S 2 270,2 P 135 cos ϕ 3 = 3 = = 0,9505 S 3 142,03 cos ϕ 1 =
ϕ = 28,6 ° ϕ = 22,18 ° ϕ = 18,10 °
7
V komplexním tvaru S1 = 252,9∠28,6°
S 2 = 270,2∠22,2°
S 3 = 142,03∠18,1°
Celkový zdánlivý výkon v komplexní formě S = S 1 + S 2 + S 3 = 252,9 ⋅ (cos 28,6° + j ⋅ sin 28,6°) + 270,2 ⋅ (cos 22,18° + j ⋅ sin 22,18°) + + 142,03 ⋅ (cos18,1° + j ⋅ sin 18,1°) = 601,03 + j ⋅ 267,27 = 657,78∠23,97°
činný výkon závodu je reálná složka S. P 601,03 = = 0,914 S 657,78 S 657780 Celkový proud I = = = 949,45 A 3 ⋅U 3 ⋅ 400 Celkový účiník závodu cos ϕ =
Příklad 3.13 Trojfázový generátor v zapojení do Y bez nulového vodiče je zatížen ohmickými odpory R1 = 20 Ω, R2 = 30 Ω podle zapojení. Fázové napětí je 220 V. Jak velký je proud v přívodním vedení? Nakreslete fázorový diagram napětí a proudu. Uf1
I1
Uf2
I3
Uf3
US1
R1
US2
R2
I2
Zadáno: Uf = 230 V, R1 = 20 Ω, R2 = 30 Ω, cosϕ = 1 Určit: I1, I2, I3, nakreslit fázorový diagram napětí a proudů. Řešení:
I1 =
U S Uf ⋅ 3 230 ⋅ 3 = = = 19,9 A R1 R1 20
I2 =
U S Uf ⋅ 3 230 ⋅ 3 = = = 13,28 A R2 R2 30
Proud I3, je dán geometrickým součtem proudů I1 a I2 ve fázi s napětím na odporech.
8
Im - Uf2
US2 60°
US1
Uf3
- Uf2
Uf1
Re
Uf2
I2
I3
60°
180° - α
α = 60°
I1 Podle cosinové věty I 32 = I 12 + I 22 − 2 ⋅ I 1 ⋅ I 2 ⋅ cos(180 − α ) cos(180 − α ) = − cos α
I 3 = I 12 + I 22 + 2 ⋅ I 1 ⋅ I 2 ⋅ cos 60° = 19,9 2 + 13,28 2 + 2 ⋅ 19,9 ⋅ 13,28 ⋅ 0,5 = 28,92 A
Příklad 3.14 Na trojfázovou síť 3 x 400 V, 50 Hz s vyvedeným středem N je připojena elektrická pec, která má celkem 6 topných těles s odporem 10 Ω, z nichž vždy dvě jsou spojeny do série v každé fázi. Vypočítejte proudy tekoucí topnými tělesy při spojení těles do hvězdy a připojení uzlů na střed N. Jak se změní proudy v přívodních vodičích jestliže na jedné sekci topného tělesa vznikne zkrat. Nakreslete fázorový diagram napětí a proudů.
9
L1
I1 R R IN
N
R L3
I3
L2
I2
R
R R
Zadáno: U1 = U2 = U3 = 230 V (fáz. nap), f = 50 Hz, R = 10 Ω, cosϕ = 1 Určit: I1, I2, I3, IN Řešení:
U 1 = U1 U 2 = U 2 ⋅ e − j120° = U 2 ∠ − 120°
U 3 = U 3 ⋅ e + j120° = U 3 ∠ + 120° U1 = U2 = U3 Fázové proudy:
U1 230 = = 11,5 A 2⋅ R 20 U ∠ − 120° 230 I2 = 2 = ∠ − 120° = 11,5 A∠ - 120° 2⋅ R 20 U ∠ + 120° 230 I3 = 3 = ∠ + 120° = 11,5 A∠ + 120° 2⋅ R 20 I1 =
Proud v nulovém vodiči I N = I 1 + I 2 + I 3 = 11,5 + 11,5 ⋅ [cos(− 120°) + j ⋅ sin (− 120°)] + 11,5 ⋅ (cos120° + j ⋅ sin 120°) = 0 Im I3
I2 + I3 I1
I2
Při souměrném zatížení je proud nulovým vodičem roven 0. 10
U1
Re
Při zkratu jedné sekce topného tělesa se změní proudy ve fázích takto: U 230 I1 = 1 = = 23 A R 10 Proudy ve fázi I 2 a I 3 se nezmění, potom proud v nulovém vodiči
I N = I 1 + I 2 + I 3 = 23 + 11,5 ⋅ [cos(− 120°) + j ⋅ sin (− 120°)] + 11,5 ⋅ (cos120° + j sin 120°) = = 23 − 11,5 ⋅
1 3 1 3 − j ⋅ 11,5 ⋅ − 11,5 ⋅ + j ⋅ 11,5 ⋅ = 11,5 A 2 2 2 2
Im
U3 I3
I2 + I3 IN
I2 U2
11
U1
I1
Re
