Obudai Egyetem RKK Kar Feladatok a Matematika I tantárgyhoz
Gyakorló Feladatok a Matematika I Tantárgyhoz
Els® rész: Feladatok 1. Halmazelmélet, Számhalmazok, Függvények.
Legyen A = {x : x + 3 = 3}, B = Igaz-e, hogy A = φ és B = φ. 1.1. Feladat.
1.2. Feladat.
halmazt.
x : x2 = 25, 3x = 12 .
Adja meg elemeik felsorolásával az A = x : (x − 2)(x2 − 9) = 0
Legyen A = {x, y, z}, B = {x, y}, C = {x, y, w}. Melyik állítás igaz melyik hamis: a) B ⊂ C ; b) C ⊂ A; c) A = C . 1.3. Feladat.
Legyen adott az alaphalmaz H = {a, b, c, d, e, f, g} és a részhalmazai: A = {a, b, c, d, e}, B = {a, c, e, g}, C = {b, e, f, g}. Végezze el a kijelölt S S m¶veleteket: T a) A C, b) B A, c) C \ B, d) B H C, e) B × C . 1.4. Feladat.
1.5. Feladat.
Igazoljuk a de Morgan-féle azonosságot: A
1.6. Feladat.
Igazoljuk, hogy: A \ (B
T
C) = (A \ B)
S
T
B=A
(A \ C).
Teljes indukcióval bizonyítsuk be: a) 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) = n2 minden n természetes számra; 1.7. Feladat.
b)
n X k=1
1 n = minden n természetes számra; k(k + 1) n+1 1
S
B.
. Határozza meg a megoldáshalmazt:
F8
a) |x + 3| + |x − 5| = 20; x b) + 2 ≤ 3. 2
. Vázolja az alábbi függvények gra konját: a) f (x) = ||x + 1| − 7|, x ∈ <; 2x + 3 b) f (x) = , x ∈ < \ {1}. F9
x−1
. Írja fel az g ◦ f és a f ◦ g kompoziciót a következ® függvények esetében: √ a) f (x) = 1 − x, g(x) =√x2 ; b) f (x) = 1 − x2 , g(x) = x.
F10
2.
Valós számsorozatok konvergenciája
2.1. Feladat.
1. lim
A sorozatok határértéké de niciójá alapján számítsa ki:
n+1 2n − 3
2. lim
3. lim n3 2.2. Feladat.
1 2n + 3
4. lim = −n2 + 10
Számítsa ki a sorozat határértékét:
1. an =
n2 + 3n − 1 n2 + 5n − 2
2. an =
2n2 + 4n + 5 n3 + 4
3. an =
5(n − 1)3 + (n + 1)2 (n(n + 1)2 + (n − 2)(n + 3)
4. an =
2n2 + 3 4n2 + 1 − 2n − 1 4n + 3
6. an =
√ √ √ n( n − 1 − n + 1)
√ 3n2 n − n + 2 √ 5. an = n5 + n
√
4 √ 7. an = n(n − n2 + 1)
8. an =
2
√ n3 − n − n3 + 2n 6n
√ √ 3n + 1 − 3n √ 9. an = √ n+1− n−1 n
n
10. an =
23n−1 − 27 3 23n + 22n+1
n
8 3 +1 − 4 2 +1 + 2n 4n 11. an = 23n + 22n+1 2.3. Feladat.
1. lim 3. lim
√ n
A közrefogási elv segítségével számítsa ki:
5n
10n n!
2.4. Feladat.
1. an = 1 − 3. an =
p n n2 + 49
4. lim
n! nn
Számítsa ki a (an )bn tipusú sorozatok határértékét!: 2 n+1
n2 + 1 n2 − 1
2.5. Feladat.
2. lim
2n
n+3 n
3n + 2 n 3n − 2n
2. an =
2n2 +1 4. an =
n +2
2
3n−2 +5
Feladatok gyakorlásra:
! n+3 p p n2 + 2n + 3 1. lim + 2n2 − 4n − 1 + 2n2 =? n2 + 4n + 5 q q √ √ 3n − 3 2n+1 2. lim =? n3 + n3 − n3 − 2 n3 3n + 4 2 n2 +3 ! √ √ √ n −1 3. lim ( n + 1 − n + 2)(1 + 2n) + =? n2 − 2 2n3 + 3 3n3 −4 p p 1 2 2 n + 5 − 4n − 2 =? 4. lim √ 2n3 − 4 n2 − 3 ! r r 1−3n4 √ 9n2 + 1 9n2 + n 1 − n2 n−n2 5. lim n − =? n+3 n−6 n − n2 √ ! √ r r 5√4 n+1 √ 4 n+2 n+1 n n+2 n 2 n− n √ 6. lim n 2n2 + − 2n2 + n+2 n+3 n+3 n+3 2 n + 10
3
√ n 7. lim
√ n2 − 2 n n + 1 √ =? n n−1
3. Függvények határértéke 3.1. Feladat.
1. 4. 7.
A de nició alapján számítsuk ki a következ® határértékeket:
lim
x+2 x2 − 4
2.
lim
1 x
5.
lim x3
8.
x→−2
x→0
x→∞
1 x−1
10. lim
x→1
3.2. Feladat.
határértékeket: √ 1. lim
x→0
lim x2
6.
x→0+
x→∞
x3
lim
x→−∞
lim
x→1
x+1−1 x
13. lim
x→∞
x+2 x+5
16. lim x2 sin(x) x→0+
x→0
2. lim
x→4
1 + 2x − 3 √ x−2
x2 + 2 3x2 − x + 1
x→∞
x→0
1 − cos(x) x2
lim x2
x→−∞
9. lim
√
8. lim
x→0
x→0−
1 x2
. A határérték kiszámításának a módszereivel számítsa ki a
sin 3x 4x
10. lim
1 x
lim
1 (x − 1)2
5. lim
x→1
x→0
3.
1 3 − ) x − 1 x3 − 1
4. lim (
7. lim
11.
1 x
lim
tan 4x tan 2x
11. lim
x→−∞
14 lim (cos(x)) 1
17. lim 2 2−x x→2−
4
x2 + 2x x3 − 1
6. lim
x→−∞
x→0
cot(x)
x→0
x→∞
9. lim
x2 + 2x3 x3 − 1
2x+3
p √ 3. lim ( x2 + 1 − x)
(sin 2x)2 x2 x2 + 2 3x2 − x + 1
12. lim
x→∞
15. lim
x→∞
3x2 − 2 3x2 − 5 1
18. lim 2 2−x x→2+
2x2 +10
3.3. Feladat.
Feladatok gyakorlásra
sin (x2 − 2x − 3) 1 − cos2 x √ 2. lim x→3 x→0 4 − x2 + 16 x−3 p √ √ sin(x(x2 − 14x + 49)) x( 1 + sin 2x − 1 − sin 2x) 4. lim 3. lim =? 2 x→7 x→0 x2 − 5x − 14 sin 3x
1. lim
5. lim √ x→0
sin 3x √ =? 6. limπ (cot x)tan 2x =? x→ 4 1 + tan 4x − 1 − tan 4x √
sin 5x =? 7. lim √ x→0 9 − tan x − 3
8. lim
x→0
√ 4x2 + x + 2 − 4x2 − x + 2 =? tan 2x
4. Függvények folytonossága 4.1. Feladat.
fajtáját:
(
1. f (x) :=
Határozza meg az alábbi függvények szakadási helyeit és azok sin x |x| ,
1, (
2. f (x) :=
ha x ∈ < \ {0} ha x = 0;
x2 −5x+6 , x2 −7x+10
0,
ha x ∈ < \ {2, 5} ha x = 2, x = 5;
Az α paraméter mely értékei esetén lesz mindenütt folytonos a következ® függvény: 4.2. Feladat.
1. f (x) :=
αx2 + 4x − 1, ha x ≤ 1 −x + 3, ha 1 < x;
2. f (x) :=
−2 sin 2x x cos 2x , x2 + α,
ha 0 < x < π/4 ha x ≤ 0;
5. Függvények deriváltja
A de nició alapján számítsa ki a f (x) = függvény deriváltját, ott ahol létezik.
√
5.1. Feladat.
5.2. Feladat.
Számítsa ki az alábbi függvények deriváltjait:
5
x2 − 1, x ≥ 1,
3
2
1. f (x) = x + 4x − 3x + 7; 3. f (x) =
1 ; x
√ 2. f (x) = 2 x − 4. f (x) =
5. f (x) = 2x4 + sin x − 5 cos x;
√ 3
x
x4
;
3 − tan x; x5
6. f (x) = 7 5x − 4 ln x + 3ex
A szorzatfüggvény derivalási szabályát felhasználva határozza meg f 0 (x)-et, ha 5.3. Feladat.
1. f (x) = x2 cos x; 3. f (x) =
√
x ex ;
2. f (x) = x3 tan x; 4. f (x) = (2 + x2 ) ln x;
A hányadosfüggvény derivalási szabályát felhasználva határozza meg f 0 (x)-et, ha 5.4. Feladat.
x3 − 2 ; x2 + x + 1 √ x 3. f (x) = ; ln x 1. f (x) =
2. f (x) =
ex ; ln x
4. f (x) =
ln x ; 2x
Az összetett függvény derivalási szabályát felhasználva határozza meg f 0 (x)-et, ha 5.5. Feladat.
4
1. f (x) = sin (x3 );
2. f (x) = ex ;
3. f (x) = 3sin 2x ;
4. f (x) = sin 2x ;
5. f (x) =
q √ x + x;
7. f (x) = cos 43x+5 ; 5.6. Feladat.
6. f (x) =
p x4 + 5;
8. f (x) = tan (x3 + 3x)2 .
Határozza meg a következ® függvények deriváltját:
1. f (x) = xx , x > 0;
2. f (x) = (ln(x))x , x > 1;
3. f (x) = (sin x)cos x ;
4. f (x) = (tan x)ln x .
6
Írja fel az f függvény gra konjának az x0 abszcisszájú pontjához tartozó érint® egyenesének és normálisának az egyenletét: 5.7. Feladat.
π 4
1. f (x) := sin x, x0 = ; 2. f (x) := x2 3x , x0 = 1; 3. f (x) := tan 4. f (x) :=
ln x , x0 = 1; x
2x , x0 = 1; cos ln x
5. f (x) := (x2 + 1) ln x, x0 = e; 6. f (x) :=
p 1 1 + x2 , x 0 = ; 2 1
7. f (x) := x x2 , x0 = 1; 8. f (x) := arctan
√ 4
x, x0 = 1;
cos2 x , x0 = 0; 1 + sin x p 10. f (x) := sin x x3 + 1, x0 = 0; 9. f (x) := √
11. f (x) := e
x2 +x+1 x+2
, x0 = 0;
12. f (x) := (arctan ln x)2 , x0 = e; 1 13. f (x) := x arctan(2x + 1), x0 = − ; 2
6. L'Hospital-szabály 6.1. Feladat.
Számítsa ki a határértékeket:
7
x2 − 1 x→1 2x2 − x − 1 1 1 3. lim − x x→0 x e −1 1. lim
x2 x→∞ e3x
2. lim
4. lim e−2x ln x x→∞
2
5. lim x
1 x−1
x→1
sin 2x2 x→0 ln(1 + x2 )
7. lim
x − 1 − ln x 9. lim 2 x→1 x − 2x + 1
e−x − 1 + x2 6. lim x→0 x4 x x 8. lim x→∞ x + 1 2
ex − 1 10. lim x→0 x sin(3x) e5x − e3x + 2x x→0 arctan(2x) − arctan(3x)
11. lim
cos(6x) − 1 x→0 1 − cos(10x)
12. lim
13. lim (x + sin x)tan x
14. lim
x→0+
x x→∞ ln(1 + 2ex )
15. lim
1
17. lim (xe x − x) x→∞
tan x − x x→0 x2 sin x
16. lim
x→0+
√
x ln x 1
18. lim (ex + x) x x→∞
5
19. lim (cos 3x) x x→0
7. Függvényvizsgálat 7.1. Feladat. Határozza meg a függvény monotonitási intervallumokat és lokális széls®értékhelyeit:
8
1. f (x) =
x2 (x + 2)2
3. f (x) = x +
1 x2
2. f (x) =
x3 − 9x 10
4. f (x) =
x2 + 16 x
5. f (x) =
e2x x+1
6. f (x) = e
7. f (x) =
ex (x − 1)2
8. f (x) = ln(2x2 + 3)
9. f (x) =
ln(1 − x) x−1
10. f (x) = e x (2 + x)
11. f (x) =
ex (2x − 3)2
x3 −x 3
1
12. f (x) = e1−x
2
Határozza meg a függvény konvexitási illetve konkávitási intervallumokat és in exiós pontjait: 7.2. Feladat.
1. f (x) = ln(2x2 + 3) 3. f (x) =
4 − 4x (1 + x)2
5. f (x) = e(1−x
7. f (x) =
2)
8x3 − 1 x
2. f (x) =
10x 1 + x2
4. f (x) = ex (5x − 2)
6. f (x) =
x2 + ln x 2
8. f (x) = (x − 3)2 (x + 2)
9. f (x) = x2 + ln(6x2 ) 10. f (x) = x2 −
11. f (x) =
3x4 − 1 x2
12. f (x) =
1 x
x4 − 8x3 + 16x2 x−4
9
8. Integrálás 8.1. Feladat.
Keressük az alábbi függvények primitív függvényeit:
1. 7x6
2.
√
1 x+ √ x
3.
ln5 x x
sin x 4. √ 3 cos x
5.
e3x e3x + 5
6. √
7. sin2 (4x) cos(4x) 9. √ 4
x2 x3 + 2
x x2 + 2
8. (e2x + 1)3 e2x 10. e3 cos(2x) sin(2x)
Parciális integrálással keresse meg az alábbi függvények primitív függvényeit: 8.2. Feladat.
1. xe2x
2. x2 sin(2x)
3. x3 ln x
4. ln x
5.
ln x x5
6. (8x − 2) sin(8x)
7. arcsin x
8. arctan x
9. e3x sin(2x)
10. sin x cos 2x
11. (x + 2)2 ln(x + 2)
12. x2 arctan(4x)
8.3. Feladat.
vényeit:
Határozza meg az alábbi racionális függvények primitív függ-
10
1.
1 x − 15
2.
3 (x + 1)5
3.
x (x − 2)2
4.
x2 (x − 2)2
5.
3 (x − 2)(x + 4)
6.
2x + 3 (x + 1)(x + 3)
7.
x5 − 2x3 + 4 x2 + 3x
8.
x6 − x5 + 2x3 + 2 x3 + x
9.
3x2 + x + 1 (x + 1)(x + 2)2
10.
x2
2x + 1 + 2x + 2
11.
1 4 − x2
12.
1 4 + x2
13.
x2 4 − x2
14.
x4 4 + x2
15.
1 x2 + 10x + 25
16.
1 x2 + 10x + 29
17.
1 2 2x − x − 3
18.
x2 − 3x + 2 (x2 + 2)(x − 3)
Helyettesítéses integrálással keresse meg az alábbi függvények primitív függvényeit: 8.4. Feladat.
√ x+1+1 1. √ x+1−1 3. √
5.
1 √ x+ 4x
e3x 1 + ex
√
2.
3x + 1 + 1 √ 3x + 1 − 3 3x + 1
4. √ 3
6.
1 √ 2x + 1 + 2x + 1
1 + ex 1 + e2x
11
e6x + 3 e3x − 1
7.
e3x + 4 e6x + e3x
8.
9.
1 sin x + cos x
10.
1 sin x
5 5 + 3 cos x
12.
1 5 + 4 sin 2x
11.
8.5. Feladat.
Z
1
1. −3
Z
1 dx (13 + 4x)3
1
3.
xe 0
Z 5.
π 2
Határozza meg az alábbi határozott integrálok értékét:
−x
Z 2. 0
Z dx
4. 0
e2x cos 2xdx
0
Z
4
7. 0
Z 9. 0
4
1
ex
1 dx + e−x
e−1
ln(x + 1)dx Z 2 1 6. dx 2 −2 x + 4 Z
1 √ dx x+2 x+1
e
x3 ln(x2 )dx
8. 1
√
Z
2x + 1 √ dx 2x + 1 + 2x + 1
10. 0
12
1
e2x dx e2x + ex
